Точность аппроксимации и асимптотические разложения для распределений некоторых случайных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. А. СТЕКЛОВА

- 0/1

На правах рукописи

БОРОВКОВ Константин Александрович

ЧНОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

"(01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 1993

Работа выполнена в Математическом институте имени В. А. Стеклова РАН.

Официальные оппоненты:

доктор фцз.-мат. наук, профессор В. А. Ватутин, доктор физ.-мат. наук, профессор В. Б. Невзоров, доктор физ.-мат. наук, профессор В. А. Топчий.

Ведущая о])гашЬацня Петербургское отделение

математического института РАН

Защита диссертации состоится 3 " QZK.fi19оЗг. в " "г/ '' часов на заседании специализированного У ченого Совета Д.(Ю2^.()3 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН (117900 Москва ГСП 1, Москва, ул. Вавилова, 42).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института.

Автореферат разослан и

Ученый секретарь Совета, доктор физико-математических наук

А. С. Холево

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы, Основным предметом настоящей ра боты является построение аппроксимаций II изучение их точно сти для распределений случайных процессов, тестю стланных со схемой суммирования независимых случайных величин, когда н пределе возникает луассоповское и двойственное ему показательное распределение. Главным образом рассматриваются процессы частных сумм независимых случайных величин и околокргтпе-скне марковские ветвящиеся провесы.

Проблематика первой части диссертации восходит к классической работе Пуассона (1837), в которой был доказан факт аппроксимации биномиального распределения (при большом числе испытаний н малой вероятности успеха) распределением Пуассона. Начиная с ] 950-х гг. в работах Прохорова, Ле Кама, Ходжеса, Керстпиа, Франксна и др. были начаты исследования точности такой аппроксимации (в более общей схеме обобщенного биномиального распределения). 13 дальнейшем они были продолжены в работах Чена, Серфлннга, Барбу, Холла, Круописа, Пфанфера, Дтохевельса и др. Но задача выбора оптимальной формы аппроксимирующих законов — как иуассоновского, так и особенно его модификаций (аппрокпшацпяй более высоких порядков), а также нахождения окончательных оценок для точности даваемых ими приближении, остается во многом открытой.

Тематика первой части работы тесно связана с рассматриваемыми во второй и третьей частях задачами об асимптотике распределении околокрпгнчсских марковских процессов — как конечномерных, так и в функциональной постановке. Этому уже классическому кругу задач были посвящены исследования Фелле-ра, Колмогорова, Севастьянова, Ламперги, Нея, Золотарева и др. Здесь большой интерес представляют нахождение предельною поведения условных распределений таких процессов при условии пх невырождения (включая построение асимптотических разложений), особенно в общем случае неоднородных во времени процессов (устойчивость переходных явлений), а также исследование асимптотического поведения п^ траектории и построенных по ним полей п случае большого начального числа чагтпц.

Цель работы — установление оценок точно'-ти аппрокеп мащпт, ь ряде случаен - п собственно нродепьн'мх теорем, п гак-

же построение аппроксимаций высших порядков в описанных выше задачах.

Методика исследования. Для построения аппроксимаций в теореме Пуассона предложен новый метод скорректированного склеивания. Для исследования квазипуасеоновской аппроксимации развивается вариант известного операторного метода.

Для изучения условных распределений ветвящихся процессов предложен новый метод "подстановки". Переходные явления в неоднородном случае исследуются с использованием метода производящих функций.

Функциональные предельные теоремы доказываются в работе в основном с помощью метода одного вероятностного пространства (метода вложения Скорохода).

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит главным образом теоретический характер. Однако часть результатов, в том числе построенные модификации пуассонов-кои аппроксимации, могут представлять интерес и для приложений.

Апробация результатов и публикации. Основные результаты работы докладывались на 4-м Советско- японском Симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике (Тбилиси, 1982), 3-м (Лувсн, 1983) и 5-м (Орхус, 1987) Европейских Конференциях молодых статистиков, 1-м (Ташкент, 1980) и 2-м (Уписала, 1990) Всемирных конгрессах Общества Бернуллп и на 3-м Советско-финском Симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике (Турку, 1991), а также на ряде семинаров.

По теме диссертации опубликованы 12 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех Г лав II списка литературы. Объем работы — 133 странипмжурнального формата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена проблемам пуассоновской аппроксимации и ее уточнений. В ней представлен новый метод "скорректированного склеивания", который позволяет легко получать естественные аппроксимации высших порядков для распределений сумм независимых индикаторов (вместе с оценками точности этих аппроксимаций), а также развит известный операторный метод, с помощью которого установлены весьма точные аппроксимации первых двух порядков для распределений общих цепей Маркова с "редкими" переходами. Следует отметить, что полученные здесь общие оценки являются новыми и во многих случаях лучшими даже в стандартной для теоремы Пуассона схеме. Найдено также очень точное приближенна для важного частного случая распределения числа рекордов в последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин. Материал этой главы частично используется в двух последующих главах при рассмотрении ветвящихся процессов, начинающихся с большого числа частиц.

Во второй главе работы изучается сходимость конечномерных распределений марковских ветвящихся процессов. Здесь тоже предложен новый метод "подстановки", напрямую связывающий предельное поведение условных распределений процессов (при условии их невырождения) с поведением вероятностей их невырождения. Этот метод позволил весьма просто получить несколько известных предельных теорем, а также найти ряд новых результатов. Главным образом, это асимптотические разложения для преобразований Лапласа рассматриваемых процессов. Кроме того, во второй главе впервые рассмотрена проблема устойчивости переходных явлений для околокритичеекпх ветвящихся процессов при нарушении однородности процессов во времени, найдены оценки скорости сходимости к покзателыгому закону условных распределений неоднородных процессов,, а для процессов Гальтона Ватсона — и асимптотические разложения для математических ожиданий для широкого класса функций от процессов.

Третья глава посвящена теоремам типа принципа инвариантности Для ветвящихся процессов. Впервые рассмотрена задача аппроксимации распределения траектории неоднородного ш--

тпящегося процесса в случае большого начального числа частиц распределенном процесса Феллера. Найдены оценки точности такт'! аппроксимации в терминах метрики Лепи Прохорова. Получен также ряд теорем, описывающих предельное поведение случайных полей, построенных по ветвящимся процессам и более подробно описывающих эволюцию ветвящейся популяции. В качестве вспомогательного результата, представляющего самостоятельный интерес, установлена оценка скорости сходимости в принципе инвариантности для случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве.

Глава 1. Пуассойовская аппроксимация и ее уточнения. В первом параграфе главы излагаются постановка задачи и известные результаты, полученные ранее в этом направлении. Пусть А" I, Л"2.... ,Хп — независимые бернуллиевы случайные величины,

Р(Х,- = 1) = 1 - Р№ = 0) - 7 = 1,2,..., п.

Классическая теорема Пуассона утверждает, что когда р^ малы, распределение суммы 5'п — Л"( -{-...+ Хп (обобщенное биномиальное распределение) хорошо приближается распределением Пуассона

\к

Пд(Л) = е-Л £ —, л С г, кел

и

с параметром Л = ^ ру Расстояние между законом С(8п) суммы

Бп н распределением II д оценивается, как правило, и терминах метрики полной вариации

Й(Р,<?) = вир |Р(Л) - С?(Л)|. (1)

ЛС7,

Для получения оценок использовалось несколько методов (метод характеристических функций, каплинг-мстод, метод Чена Стейна), один из наиболее известных здесь результатов - оценка Барбу-Халла

¿(С(Бп), ПА) < (1 - е-*)^, Л*. = ¿?-: . (2)

Те же авторы построили (с оценками Погрешности) аппроксимации высших порядков с использованием полиномов Щарлье (аналог разложений Эджворта в центральной предельной теореме). Иные (и в известном смысле более естественные) аппроксимации были предложены Круописом.

В § 1.2 описан новый метод "скорректированного склеивания" для уточнения иуассоновскоц аппроксимации. Идея метода "склеивания" (капяинга, в более общем варианте — метода одного вероятностного пространства) состоит в том, чтобы построить на одном вероятностном пространстве две случайных величины с исходным и с "аппроксимирующим" распределениями соответственно так, чтобы они совпадали с возможно Поль. шей вероятностью. Оценки для вероятности несовпадения дают немедленные оценки в терминах полной вариации для этой пары распределений. Новый метод состопт по сути, в предварительной "корректировке" исходного распределения с тем, чтобы добиться более "точной" подгонки случайных величин, с последующим преобразованием "склеенных" распределений, приводящим к исходному распределению. В задаче нуассоновской аппроксимации эта корректировка производится путем сворачивания со специально подобранным сложным иуассоновскпм законом. Такой подход приводит к.аппроксимациям высших порядков для обобщенного биномиального распределения. В частности, аппроксимация второго порядка имеет тот же вид, что и предлжепная Круоппеом, но с иным (более близким к оптимальному) выбром параметров (оценка точности оказывается при этом при умеренных значениях А существенно лучше). Именно, пусть II/,л --- мера па . с производящей функцией (и. ф.)

£ г"П,,АШ) = - 1) ~ Ф2 ~ !))■

ОС

Теорема 1.1 утверждает, что

где

. п

п

= N=Pj/(i-Pj)-

i=l

Отметим также, что, в отличие от других аппроксимаций высших порядков, полученные нами оценки справедливы на самом деле не только для распределения суммы Sn, но и для расстояния между законом всей последовательности S{,..., Sn и соответствующим аппроксимантом.

В § 1.3 рассмотрен важный частный случай числа рекордов 5„ в последовательности независимых одинаково непрерывно распределенных случайных величин £2, • • ••'

■ [U в противном случае.

Изучение распределения Fn(x) ~ Р(Sn < х) представляет интерес не только для теорий рекордов, но и в ряде других приложений. По известной теореме Реньи, индикаторы рекордов Xj суть независимые бернулливые величины с вероятностями успеха pj = 1Ц. Известно представление для точности оптимальной пуассоновской аппроксимации. Его главный член имеет вид /3/ log 7i, где /3 = 0,078... (точность нормальной аппроксимации составляет лишь 0(log-1'2 п)). Нами предложена простая модификация пуассоновской аппроксимации в духе рассмотренных в § 1.2, ошибка которой всего 0{п~2). Именно, пусть L(x) — функция распределния знакопеременной меры с п. ф. 1/Г(1 -f 2), Г(г) есть гамма-функция, V„(x) = e-m"(/0(a;) + lnI2(2)),

m"= 2(ñ-PT)' '»= 5(effln"1 -

Iic{x) — вырожденная в точке к функция распределения. Положим

3

Мп = Пл(„, * L *у„, \(п) = log(n + 1) -

2(n+ 1)

Теорема 1.5 уверждает, что для любого п > 1

где с„ =

4(п- I)'2'

Сг

шах Ul=i

Г(2

< 1.0615. Из этой теоремы

следует также новая асимптотическая формула для чисел Стир-лпнга первого рода.

В § 1.4 изучается более общая задача цсевдопуассонопской аппроксимации общих цепей Маркова. Пусть Sk, к > 0, — цепь Маркова в произвольным фазовом прстранстве (...', 5) с начальным распределением та и переходной функцией

рк(х, 13) = р(sk е в\= х), х ел\ в es, к>\.

Пусть Рк = (1 - Рк)1 + ркР, 0 < рк < 1, к > 1, где 1(х, В) = Е В) п Р есть общее стохастическое ядро. Таким образом, на к-м шаге состояние цени не меняется с вероятностью 1 — рк, u с вероятностью рк происходит переход согласно ядру Р. Положим

О

hl А :

ра — max pj, т = Л2 + - Азе-110 -J- 2р0. l<j<n о

Псевдопуассоновский процесс Yt определяется как однородный марковский процесс в (Л', 5) с переходной функцией

Qt(x, В) = Р(1ï+3 е DI у; = .г) - exp(t(P - /)) = с-' £ ±tkPk.

к=й

к\

Обозначим также QttS — exp (t(P — I) — а{Р2 — I)) , и положим для функции 61 : П +

l(t) = Ei„(/), L(t) = E

JT(i)

- 1

эл-(()>

¿,(0 = ШП = тш(1А(/), 2/(0).

Н теореме 1.0 содержатся следующие оценки для аппроксимации закона Д5„) распределением иц, (<1 есть ниже метрика полной варианпи (1), но с ьирле<;; Пш обозначает результат дей-с.аия шнегралышго оператора с ядром И на меру т).

Для любою начальною распределения та

<11 ('($„), Q\"iи)

f e' xA_j при А < 2, \ ег-'0 при всех Л > I).

1м ли для некоторого распределения т^ на (Л", >5)

'/(Г*"™,,, »»по) < Ь, к > 0, Рт-п = , (.4)

го

¿(ф„),дмп0)<2сЧ(\)\2.

Мела (.4) выполняется равномерно для всех распределений ш(! на (.V, 5), то для любого начального распределения тп

й(£(5„), <?Л»»о) <етДГ2(Л)Л2.

Это означает, в частности, что для равномерно эр! одических испей, т.е. когда (3) выполняется для всех ?ми и />„ — Ср", 0 < С < со, П < '> < 1, имеет место

г/(Г(5„), < ССг-('-',)аЛГ2(С,^А)Л7.

.лоЛ'2(С,л,А) = шт{2) С{2Л-\ (1 - я))2},

Л < [ р^'42 , П,)И А -

~ \ (^/е^)'^2 при всех А > П.

Теорема 1.7 оценивает точность ппироксимацпп расиределе нпя Я„ (вообще говоря, знакоиреметтной) мерой Г^ Для лто [»>го начальною распределения тп

г/( £:(.5"т1).\3/2"'о) <

< Гсг-л(4А3+А4) приА<:!,

~ \ ст(с1А3А-',/г ! с2А-1 А-2) при всех А > 0.

I ;«• '.] о'/2е-з/2 < 0.547, Г2 _ 40-2 < 0.542. Если (3) ииегч место для некоторого распределения па (.V, <5), ю для начального распределения т()

,/(£(5„). дАч>2.л,/7»'п) < 4 Л,) .

(^елн (.')) сирапедлпоо равномерно для всех вороятиоп ных мер то нл (Л". <.9), зо лля любого начального распределения п/ц

<ИС(Я„). , д,.лг/2»т) < е'" ( ¿Л/л(Л)А:, 4 Л?,(А).\Л .

Следует отметить, uro это не только первые нетриицалиал; шп аки для цеевдопуассоиовскои аппроксимации цепей Маркова. Эти результаты очень точны и улучшают также во многих ситуациях известные результаты и для обычной теоремы Пуассона (в частности, оценку (2)). В общем случае они демонстрируют, как эргодичность вложенной цепи Маркова (с переходным ядром Р) может улучшить точность аппроксимации для исходной цени. Полученные оценки представляют наибольший интерес в "про межуточном" случае, когда среднее число переходов А еще не настолько велико, чтобы распределение 5„ было очень близко к стационарному, но в то же время достаточно большое, чтобы существенно улучшить оценки в теоремах 1.6—1.7 (по сравнению со стандартными результатами для пуассоновской аппроксимации)'. В качестве примера в работе рассмотрено приближение простой системы обслуживания с дискретным временем моделью с непрерывным временем.

Глава 2. Сходимость конечномерных распределений ветия-щцхся процессов. В § 2.1 представлен новый метод доказательства одного класса предельных теорем для марковских (главным образом, околокритических) ветвящихся процессов. Он основан на одном приеме, устанавливающем прямую связь .между ноне дением вероятности невырождения процесса и сходимостью его услогшых распределений при условии невырождения. Пусть

{/.«(i), / > О}^0

есть семейство, вообще говоря, неоднородных во времени iieripe .рышшх справа марковских ветвящихся процессов, //' '(О) — | (верхний индекс мы в дальнейшем для краткосш писал, не будем),

Q,(i) --- P(/i(f I- а) > Ó|/f(í) = 1), FIi(u) = iur|s : С nj, О < и < 1, и предположим, чго

lim QM - Ü)/Qu(t) = 1,

"i с

Пусть семейепю функций .1 -- .-1''*'(/) > 0 таъоно. чн»

Ii tri Jl /) — 0. limsup lila -A--T < Г -V . • •< • - ,. .v ь im

Положат Ft(x) = P(A(t)fi(t) < oo|/i(f) > 0),

Отправным пунктом служит теорема 2.1, которая утверждает, что семейство распределений Т'\ имеет при г, { —> оо слабый предел I7 тогда и только тогда, когда для любого Л > С существует НтГ1(„,0од(<, А) = у>'. При этом

I v~Xr(lF(.r) = 1 - <р(\).

Далее в работе показано, как предложенный метод позволяет легко п< пучить ряд известных предельных теорем для критических процессов Гальтона Ватсона, в том числе характери-загопо Слэка для сходимости условных распределений процесса (теорема 2.2). Затем он используется для обобщений теоремы Ламперти-Нея о сходимости конечномерных условпых при (/((1) > 0 распределений процесса

Ыг) = 0 < * £ 1}

при I —» оо на случай критического процесса Гальтона -Ватсона /«(/) с бесконечной дисперсией. Пусть

• • • ! 'т! Aj, • . . , Arn) —

зЕ^ехр

1 = 1

,l(t)>[)},

А< > о, /(я) — п. ф. числа непосредсгпеных потомков <>мп. частицы.

Теорема 2.3 гласит, что если

/(,,) = в + (1 - - я), 0 < п < 1,

где L — медленно меняющаяся в нуле функция, и t;/t —» г,-, i -оо, 0 < Х\ < ... < ,тп1 < 1, то существует

lim Ф|,,„(<1,..., <„,; Ль • ■ ■, Am) = Ф",О'т, ■ ■ •,Ai, ■ • • • А,„),

t—»oo

ГДе функции Ф™, IIЫ'ШСЛЯЮГСЯ ГЮ рекуррентной формуле

\ f.....А+_,)-'

-«С|/ЛФГ„-|(*Г......-Г-_1;АГ,....А-_,)."

Здесь r± - хп f (Ат + (1/2 ± 1/2)(1 - 4 ~ г;/,■>.

Af = ¡ц/ А,-.

D частности, для условных одномерных распределений пне

ем

Ф«<.г; А) = {.г + (А + (1 - i)-1'")-*) ~i,a - (:г + A-")-I/r>,.

так лто предел для /'¡(1) > 0) имеет среднее 1 — (1 -

В § 2.2 теорема Лампертн -Нея обобщается в ином плане: показано, нто при конечном третьем моменте (третья производная /^(1) < со) функция <[>(.„, допускает при t, — .т,((1 + о(г)), т — t ~' log асимптотическое разложение (с поправочным членом порядка г). Для ирг бразонаннй Лапласа

Ф,(Д) = Б (exp(-A<?W/<('))| m > О)

однородных марковских критических ветвящихся процессов с не прерывным йременем удастся при этом получить асимптотические разложения любого порядка (при наличие достаточного числа конечных моментов). Теорема 2.6 утверждает, что эти разложения имеют следуют"! вид. Пусть /о(г) — иифтштезимальнпя функция такого процесса, производная /г'",+2'(1) < ею. Тогда

. m к

ф'(д) = щ+Л г*Е<мд) w+°(г"')>

к-1 >=0 ' , -

коэффициенты Afcj пыписыпаются в терминах произодных н.ф.

^ £ Результаты-Главы 1 позволяют получить из этих теорем разложения и для процессов, начинающихся с большого числа частиц. . •

И 2.Л 2.5 изучаются переходные явления для для неоднородных ветвящихся процессов с дискретным временем. Именно, выясняются условия, при ко торых условные распределения таких процессов сходятся (как и в случае одного критического процесса) к показательному распределению С \ (через Си мы обозначим гамма-рапределение с показателем а, С а — вырожденное в нуле распределение), а также характер этой сходимости. Пусть распределение числа'непосредствеияых потомков одной частпны на / ;,( (и,ч1 с процесса описывается п. ф.

OüoiiiauuM Л j = fj(l), Hj = fj'i I), Cj — /"'(1) (имеются в виду левые производные), и пусть

а — «(«) = mux — 1|,

j<n

. AU^^AjAj^ .. .A,H> A(j -f 1, j) — 1,

T - T(n) = - Yi B)Mj I 1, n)/Ajt Sm{x) = —--p j=l

Ь'„Д1) — т. Условное распределение процесса и вероятность его невирождения суть

КИ - Р < ,,(„) > üj , Q(n) = РЫ«> > »).

. Введем теперь следующие классы функций. Пусть Т есть класс всех невозрастающих функций ip : [0, оо) —> (0, оо), таких что р(х) —* 0 при х —> оо. Для произвольной фулкшш <р € Т в натурального к введем класс п. ф.

= 1 / : Е m"<J'" ^ ^ ! > гдо М = £

I ш>г 1 »n>ü

Очевидно, случайные величины с п. ф. из класса равно-

мерно интегрируемы в к-в степени; наоборот, для любого класса А.' г/. ф. случайных величин с равномерно интегрируемой к-я

сгеиспьк» сущее ni унт <р 6 Т такая, что К С пгпользопагь обозппчгппо п для 'р — с — const:

Мы <Н 'К

K'k.r — С / : "'Vh. í г

m>t-

I

lepe i Ai (Л') мы будем обозначать класс всех ветвящихся процессоп указанного выше типа, у которых псе /(- £ К/ > ], где К - некоторый класс п. (|i.. а через К'{1>), b > 0 сгженп<> класса К:

К(Ь) ~ Л'П {</> : /"(I) > ?>}.

Фикс ируем произвольные у G Т ii 6"> 0. Теорема 2.7 утпер жпаот, что при п -> со, <у —» П ■

Д„ sup |ВД - <7,(.г)| -ч 0, I '

г \ 1, wJ

равномерно по .4 (Л.о,.,-('»))■ Таким образом, оказывается, что переходные эффекты m.tfíOT мс». го при разумных ограничениях л для неоднородных ветвящихся процессоп с равномерно по поколениям близкими к единице средними. В теореме 2.8 этот результат переносится на безусловные законы петвящпхея пропессоп. начинающихся с большого числа частиц.

В § 2.4 установлены оценки скорости сходимости в переходных явлениях. Обозначим А — iм;\хi < j<4 1 A(j, п). Теорема 23 г ласит, что при фиксированных b > 0, с < оо

Д„ =0(Л7-ЧоК2Г)

при п —+ оо, а —» 0 равномерно по классу

Для процессов Гальтопа Вагсона в этих условиях имеет место опенка.

Д„ - О ((.9-' )оК5 I- |,1 - 1|)!о,г'5), S - Л - A¡.

В § 2.5 получены асимптотические разложения для мате-магических ожиданий-функций-от процессов Гальтона Ватсопа. Оказывается, что полученттое п § 2.2 представление для преобразовании Лапласа таких процессов ие влечет соответствующего

разложения для функций распределения (математических ожиданий индикаторов), но переносится на математические ожидания функций с минимальными требованиями на их гладкость. Именно, введем класс 'И-ф, rj> £ Т, всех функции Н ограниченной вариации на вещественной прямой, для преобразований Фурье-Отилтьеса h(i) = j e'txdH(x) которых справедливо неравенство

|(|>г

Фиксируем iр^ф £ J', (i > 0. Теорема '2.10 утверждает, что равномерно по Н £ для процессов Галь тона Ватеона из имеет место

j }](х) ilFn(x) = аоЯ(0) + j{\ - «р - а3+

■\ (х - 1)(й2 + а3 1о&х)УгЧ1(а:) ,1с + а(|Л - lj + S~l log 5),

4)(-'l - 1), 7 = 0.5772...

Q(n) = \{А ~ 1 + S-l)|l - (1 - D)(A - 1)-

Глиаи 3- Функциональные предельные теоремы для ветья щнхея процессов. В § 3.1 изучается сходимость неоднородных марковских ветвящихся процессов ц(к), к = 0,..., п, с дискретным временем и с большим начальным числом частиц к соответствующему диффузионному процессу. Пусть, как и выше, A t — Eia есть среднее число непосредственных потомков одной частицы на к-н шаге, v^. обозначает случайную величину с «ют-нентпуыщим распределением; C't(s) - Efi't — s > 2, есть

i це

■ «о -US"1 log 5, a2 = D{2

2 С

аз = -ЩА- 1), Д=1-зв2, ec'ib постоянная Эйлера. При этом .

И")

я-й центрированный абсолютный момент этого распределения, 4 = Ск(2), Цз) = ii пусть :

to'= 0, f* = ifc_t + dk, 1 < к < п, tn+i = оо,

где dfc = (vl(l, к - I))-1. Мы рассматриваем ступенчатый

процесс

y{t) = ц{к)/Л{1,к), tfc<t <.{*+!, 0<к<п. '•

Такой выбор весьма естественнен, ибо в околокрптпческом случае в качестве предельного процесса (для £y{t/e) при п -+ оо и надлежащем выборе е) выступает один и тот же процесс Феллера rj(t,) со стохастическим дифференциалом

<¥<) = тг112м*)- •' -(4)

Распределение т;(г) при фиксированном t — это пуассоновская смесь показательных распределений.

Обозначим Ь = /((())/£„, и определим процесс

Vn(i) = 0<<"<1.

Пусть 77^(4), t > 0, есть решение уравнения (4) с начальным . условием т]х{0) = .т, п |( ■ || означает равномерную норму на [0,1}.

• Утверждение теоремы 3.1 состоит в.том, что можно построить случайные процессы уп и Ць на одном вероятностном пространстве так, что при любых а> 0, г = 1,2, q € (0,1) и, г 6(1,2)

P(||yn-%||>12|IogtM1/2zi+*2) <

+ ex p(-J^)

. +5Ма127Н1'27х;10!17 при 2g|logl/r| > 56 и U?~4),r + г"1 niaxfc<ndfc < где

" *<п

l'> JbCri " " t<u

Эта теорема, доказанная с помощью метода вложения', приводит в случае процессов Гальтона-Ватсона к следующим оценкам в терминах расстояния Левп-Прохорова di между распределениями >/(, и ijn (теорема 3.2). Если /t = п — 1,2,...—. последовательность таких процессов (соответствующие им величины отмечаются верхним индексом М),

Д<"> = 1 + 0(п-1), <т(,1) > с0 > 0, C(n)(i) = 0(1), 6(п) < Ьо < ос,

(5)

то

ddy(n\rib) = О +„-'/») .

Наличие последнего слагаемого обусловлено плохой аппроксимацией вблизи поглощающей границы 0, где поведение ветвящегося процесса и диффузии начинают значительно отличаться друг от друга. Если рассматривать "остановленные" в момент достижения фиксированной границы z > 0 процессы, то точность аппроксимации улучшается до

О

Таким образом, при 2 < з < 7/2 скорость сходимости совпадает (с точностью до логарифмического множителя) с оценкой в. классическом принципе инвариантности при тех же моментных ограничениях. •

Если начальное число частиц — к = к^п) растет быстрее чем <„, то аппроксимирующий процесс 'сближается с винеров-.ским (с большим начальным значением). В этом случае можно воспользоваться менее грубой нормировкой и рассмотреть новый процесс ' .

Ш^„Г1/2(А-тКггг)-к) при t-^<t<Щ±±.

'п 1'П

Из теоремы 3.3 следует тогда, что в условиях (5) имеем при 2 < в < -1 ■ ■ . Ь(уп,ч)) <Ье\1о$е\1/2+ е0,

,9-и центрированный абсолютный момент этого распределения, а\ - Ск(2), lk(s) = Cfc(я)(T^■^ й пусть

t0 —0, tk — ifc_i + dk, 1 < к < n, fn+1 = oo,

где dk = /с — l))-1. Мы рассматриваем ступенчатый

процесс

y{t) = fi{k)/A(l,k), h<t<,tk+1,Q<k<n.-

Такой выбор весьма естественнен, ибо в околокрптическом случае в качестве предельного процесса (для £y[t./e) при п —> оо и надлежащем выборе е) выступает один и тот же процесс Феллера rj{t) со стохастическим дифференциалом

dn{t) = mrl'2dw(t).. ' (4)

Распределение rj(t) при фиксированном t — это пуассоновская смесь показательных распределений.

Обозначим Ь = p(0)/in, и определим процесс

Vn(t) = t-iy{ttn), 0<Г<1.

Пусть rjx(t), t > 0, есть решение уравнения (4) с начальным . условием г[х(0) = х, и || • || означает равномерную норму на [0, lj.

Утверждение теоремы 3.1 состоит в .том, что можно построить случайные процессы уп и 1]ь на одном вероятностном пространстве так, что прй любых х; >'Ö, i = 1,2, g G (0,1) и. г 6 (1,2)

Р(11г/п - Ы1>12|ЬвС/гГ/2ж1 + Х2) <

. +5.3 Ь^Н^Х^С11 при 2g|log Ur| > 5b и Ur1~q^r ■+ f"1 тах^<п dk < где

" k<n

н = + 4r - d)-"V/8M3).

к<п " " fc<u

Эта теорема, доказанная с помощью метода вложения, приводит в случае процессов Гальтона-Ватсона к следующим оценкам в терминах расстояния Левц-Прохорова di между распределениями щ и у и (теорема 3.2). Если ц — и = 1,2,... —. последовательность таких процессов (соответствующие им величины отмечаются верхним индексом

= 1 0(гГ1), ог(п) > с0 > О, «) - 0(1), Ьм < bo < ос,

(5)

то

dc(y<;t\T,b) = o(n-<>-i>'<ias-17)iogn + Tr1'ri).

Наличие последнего слагаемого обусловлено плохой аппроксимацией вблизи поглощающей границы 0, где поведение ветвящегося процесса и диффузии начинают значительно отличаться друг от друга. Если рассматривать "остановленные" в момент достижения фиксированной границы z > 0 процессы, то точность аппроксимации улучшается до

О

Таким образом, при 2 < s < 7/2 скорость сходимости совпадает (с точностью до логарифмического множителя) с оценкой в классическом принципе инвариантности при тех же моментных ограничениях.

. Если начальное число частиц /i(0) = к = к^ растет быстрее чем4и, то аппроксимирующий процесс сближается с винеров-.ским (с большим начальным значением). -В этом случае можно воспользоваться менее грубой нормировкой и рассмотреть новый , процесс

y„(t) =*.(*t„r1/2(A'-ra/»(m) - к) при Ь. < t <

'n 'n

Из теоремы 3.3 следует тогда, что в условиях (5) имеем при 2 < s < 4 ■ •.

L(y п, w) < öfllogej1^2 + ео,

где w —- стандартный вииеровский процесс.

е — а\(ик) '(•+') ffi2(/,-/n) 5, - 0{п~ j log7 »),

величины <;,• ограничены л выписываются в явном виде в терми-пах моментов величины /■'.

В fj 3.2 рассмотрела задача оценивания скорости сходимости в принципе инвариантности в гильбертовом пространстве. Получение оценки позволяют получать в рассматриваемой пами ниже в § 3.3 задаче изучения аппроксимации случайных полей, построенных по ветвящимся процессам, оценки в более сильной чем равномерная норме, и представляют самостоятельный интерес. Пусть Х(, ■ ■ — независимые случаиые величины со значениями в сеиарабелыюм гильбертовом пространстве II со скалярным произведением (•,•). Предположим, что-ЕЛ';,. — 0, E|.Vi |2 < 00; к = 1, 2,..., v, где (х|2 = (з;, .г), причем Хк имеют иодобпые коварпационпе операторы <т\ В, ак = К suP|j-|=i ^ 1 ■

кКп

Положим tm ~ Yj

к<т

5(0 = У] хк 4-, 1 1т) хт+и .

и пусть и(<), / € [0,1] — Я-значнып гауссовскни процесс с независимыми приращениями, у.Которого ».>(<) имеет нулевое средник п ковариационный оператор Ш. Символ здесь вновь обчзна- ' чает расстояние Лепи- Прохорова, но уже между распределениями п банахоггом пространство //-знатных непрерывных функций на [0,1]. Кроме того, мы, предположим, что в Я существует ортонормированньш базис {е, }_,->] такой, что для каждого к = 1,2,...,71 найдется взаимнооднозначное отображение <р — : 7л ^ , при котором последовательность {(Л^е,^))}^, '

является мартингал-разностыо. В этом случае справедлива следующая оценка (теорема 3.4). При 2 < я < 5

.в + 2

ю

где Lsj = J2 ER^fc,fcj')|s и cq — абсолютная постоянная. Отме-'

k<n •

тнм, что эта оценка имеет правильный порядок па п (неулучша-емый уже в одномерном случае).

В § 3.3 рассматривается главным образом, предельное поведение случайных полей вида

/<СМ) = ]>>(;) (О, 9<j<A:=jx(0), 0<i<«> ¡<i

где — независимые копии ветвящегося процесса ft с одной начальной частицей. Такое поле можно представлять себе как результат наблюдений над линейно упорядоченным "массивом ячеек", в каждой из которых эволюционирует независимым образом ветвящийся процесс одного и того же типа. Изучены качественно различные случаи

К — —* О, К —> const 6 (0, оо). К —> oo, ' п

в каждом из которых описано предельное поведение соответствующим образом нормированных вариантов z(s,t) поля ¡г(j,i). В первом случае условное (при условии невырождения) распределение такого варианта поля сходится к распределению "ступеньки", ниже которой (при 6 < т, г соответствует положению той частицы, чье потомство выжило) имеем тождественный нуль, а выше — цилиндрическую поверхность с траекторией диффузии Ламнертн -Не'я в качестве направляющей. Во втором случае (безусловный) предел устроен следующим образом. При фиксированном з это непрерывная диффузия, а при фиксированном t — чисто разрывный сложный пуассановский процесс, скачки которого имеют показательное распределение. В третьем случае в. пределе возникает броуновский лист. В последнем случае установлены также оценки скорости сходимости к пределу (в метрике Леви-Прохорова в подходящем пространстве).

где L3ij = ej)ls 11 co — абсолютная постоянная. Огмс-

fc<n '

тим, что эта оценка имеет правильный порядок по п (неулучша-емый уже в одномерном случае).

D § 3.3 рассматривается главным образом предельное поведение случайных попей вида

0 = £m(Q> 0<j<k:= м(о), о<1<п,

Kt .

где — независимые копии ветвящегося процесса ц с одной начальной частицей. Такое поле можно представлять себе как результат наблюдений над линейно упорядоченным "массивом ячеек", в каждой из которых эволюционирует независимым образом ветвящийся процесс одного и того же типа. Изучены качественно различные случаи

К := — —» О, К —» const £ (0, оо), К —> оо, ' п

в каждом из которых описано предельное поведение соответствующим образом нормированных вариантов z(s,t) поля ¡i(j, /). В первом случае условное (при условии невырожденпя) распределение такого Варианта поля сходится к распределению "ступеньки" , ниже которой (при s < т, т соответствует положению той частицы, чье потомство выжило) имеем тождественный нуль, а выше — цилиндрическую поверхность с траекторией диффу-зип Ламперти-Нея в качестве направляющей. Во втором случае (безусловный) предел устроен следующим образом. При фиксированном з это непрерывная диффузия, а при фиксированном t — чисто разрывный сложный пуассоновский процесс, скачки которого имеют показательное распределение. В третьем случае в пределе возникает броуновский лист. В последнем случае установлены также оценки скорости сходимости к пределу (в метрике Леви-Прохорова в подходящем пространстве).

где ги —

стандартный шшеровский процесс,

__ г—3 ^ , ^

£ — а.](пк) 2('+1) + a2(Vr')_ 5 > е« = i log» н),

величины а; ограничены п выписываются в явном виде в терминах моментов величины /•'.

В § 3.2 рассмотрена задача оценивания скорости сходимости в принципе инвариантности в гильбертовом пространстве. Получение оценки позволяют получать в рассматриваемой нами ниже в § 3.3 задаче изучения аппроксимации случайных полей, постро енных по ветвящимся процессам, оценки в более сильной чем равномерная норме, и представляют самостоятельный интерес. Пусть A'i, Л"2,... ■ — независимые случаные величины со значениями в еепарабелыюм гильбертовом пространстве Л со скалярным произведением (•,•). Предположим, что- ЕЛ";.. — О, Е|Л^.|2 < оо; к — 1,2,.... п, где \х\2 — (г., .т), причем Х^ имеют подобные ковариационне операторы of f.!, ^ of, — 1, sup|Ti_, \Вх\ < 1.

к<п

Положим f ~ ah

к<т

t € [tm, <m + l]i -

и пусть w((), t 6 [0,1] — //-зпачнып гауссовский процесс с независимыми приращенпямй, у.Которого ш(<) имеет нулевое среднее и ковариационный оператор ill. Символ di злесь вновь обина- • чает расстояние Лепи Прохорова, но уже между распределениями в банаховом пространстве Н-зпачных непрерывных функций на [0,1]. Кроме того, мы предположим, что в Я существует ортонормированный базис {е/};>] такой, что для каждого к = 1, 2,.... к найдется взаимнооднозначное отображение <р = <Pk I—» Z+ , при котором последовательность {(Xfc, cv(j))}j>i ' является мартингал-р'азностыо. В этом случае справедлива следующая оценка (теорема 3.4). При 2 < s < 5

s(i) = ]Г хк +

t-

к<т

т+ 1

~tn

-X

m-bii

L

19