Асимптотические свойства максимума модуля и максимального члена рядов Дирихле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Львівський національний університет імені Івана Франка

Притула Ярослав Ярославович

УДК 517.:

АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ МАКСИМУМУ МОДУЛЯ І МАКСИМАЛЬНОГО ЧЛЕНА РЯДІВ ДІРІХЛЕ

(01.01.01 - математичний аналі))

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук •

Львів — 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Шеремета Мирослав Миколайович, завідувач кафедри теорії функцій та теорії ймовірностей Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент Винницький Богдан Васильович, професор кафедри математичного аналізу

Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка

кандидат фізико-математичних наук, доцент Мохонько Валентина Дмитрівна,

завідувач кафедри математики Львівського технічного коледжу

Провідна організація: Харківський національний університет, кафедра теорії функцій та функціонального аналізу

Захист відбудеться “/<?“ трссВия. 2000р. о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою:

79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розіслано “47а А-ВстиЛ. 2000р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої рали /Х^Уу-р МикитюкЯ.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Залежності між зростанням цілої чи аналітичної в одиничному крузі (круг скінченного радіуса зводиться до одиничного круга заміною змінної) функції та поводженням її тейлорових коефіцієнтів присвятили свої праці багато математиків. Ця проблема почала досліджуватись понад 100 років тому після виходу добре відомої праці Ж.Адамара, який вказав формули для знаходження порядку і типу цілої функції через коефіцієнти Тейлора. Пізніше ці формули узагальнювались в працях різних авторів на випадок уточненого порядку, (р,ц) -- логарифмічних порядків і т.ін.

Аналогічна задача для аналітичних в одиничному крузі функцій в термінах порядку і типу значно пізніше була розв'язана Ф.Бойерманом, М.Фуджіварою і Н.В.Говоровим.

Безпосереднім узагальненням степеневих рядів є ряди Діріхле

00

ВД=^ае ", ї=сг+/7

п=0 "

з невід'ємними зростаючими до +°° показниками Л^. Роль рядів Діріхле в

математичному аналізі та суміжніх розділах математики добре відома, а в кінці 20-го століття інтерес до них значно зріс, завдяки працям О.Ф.Леонтьева, М.М.Шеремети, їх учнів та багатьох інших відомих математиків.

Зростання цілих (абсолютно збіжних в Є) рядів Діріхле переважно характеризують Я-порядком та Я-типом. Ще в 1928 році Ж.Рітг вказав формули для знаходження цих величин через коефіцієнти цілого ряду Діріхле. У випадку рядів Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності зростання функцій, зображених такими рядами, вивчалось в працях Е.Я.Дагене та В.С.Бойчука.

Класична шкала, що характеризується порядком і типом, виявилась не досить гнучкою для розв'язування багатьох задач теорії аналітичних функцій. У кінці 60-их років М.М.Шеремета ввів так звані узагальнені порядки, які з часом використовувались багатьма математиками при розв'язуванні тих чи інших задач теорії функцій та з їх допомогою вивчив зв'язок між зростанням цілих та аналітичних в одиничному крузі функцій і поводженням їх тейлорових коефіцієнтів. Він же разом з Я.Д.П'янилом в термінах узагальнених порядків вказав зв'язок між зростанням цілих функцій, зображених абсолютно збіжними в Є рядами Діріхле з невід’ємними показниками, та спаданням коефіцієнтів, а разом з Ю.М.Галем таку ж задачу розв'язав для рядів Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності.

Зростання ряду Діріхле з довільною абсцисою абсолютної збіжності

ототожнюють зі зростанням максимуму модуля функції, яку він задає, на вертикальній прямій з абсцисою и<а . Знаходження зв'язку між зростанням

цього максимуму модуля та поводженням коефіцієнтів здійснюється в два етапи. Спочатку знаходиться зв'язок між зростанням максимального члена ряду Діріхле та поводженням його коефіцієнтів, а потім знаходяться оцінки максимуму модуля зверху через максимальний член (вони залежать від

щільності показників), які разом з аналогом класичної нерівності Коші дають зв'язок між зростанням максимуму модуля і максимального члена ряду Діріхле.

У кожному конкретному випадку та чи інша формула мала своє доведення. Тому виникла необхідність розробити методику, яка б з єдиної точки зору дозволяла довести твердження, з яких можна було б отримати найзагальніші формули для знаходження зв'язку між зростанням максимального члена та поводженням коефіцієнтів ряду Діріхле та оцінки максимуму модуля через максимальний член.

Актуальною є також і точність таких оцінок. Це стосується і добре відомої нерівності Ж.Валірона, доведеної ще в 1924 році, задачу про точність якої поставив Б.В.Винницький на Львівському міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій .

В 1903 році Е.Ліндельоф вказав умови на коефіцієнти цілої функції, заданої степеневим рядом, при яких її порядок дорівнює нижньому порядку, а тип дорівнює нижньому типові. Для випадку, коли порядок дорівнює 1, результат Е.Ліндельофа був перевідкритий Н.В.Говоровим та Н.М.Черних. М.М.Шеремета і М.В.Заболоцький знайшли умови на коефіцієнти ряду Діріхле, при яких логарифм максимального члена еквівалентний заданій опуклій функції Ф. Крім такого виду еквівалентності, в сучасній математичній літературі часто зустрічаються ситуації, коли логарифм максимуму модуля чи максимального члена цілого ряду Діріхле дорівнює Ф(сг+о(1)) при сг->°о, а ряду Діріхле з нульовою або нескінченною абсцисою абсолютної збіжності — Ф((1+о(\))и) при, відповідно, сгТо або сг—>оо. Актуальним постало питання, якими мають бути показники і коефіцієнти ряду Діріхле для справедливості таких співвідношень.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Матеріал другого розділу є складовою частиною досліджень держбюджетної теми Мт-202Б "Цілі функції, ряди Діріхле та їх застосування". Матеріал третього розділу є складовою частиною досліджень держбюджетної теми Мт-380Б "Аналітичні функції та ряди Діріхле". Напрямок досліджень, обраний в дисертації, передбачений планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка.

Мета і задачі дослідження.

1. отримати якнайкращі оцінки максимуму модуля через максимальний член, показати їх точність; зокрема показати, що класична оцінка Ж.Валірона є непокращуваною.

2. знайти необхідні та достатні умови на коефіцієнти ряду Діріхле для того, щоб логарифм його максимального члена дорівнював Ф(а+о(1)) або Ф((1+о(1))сг) при сгТсга, та вказати на застосування отриманих результатів

для знаходження зв'язку між зростанням максимуму модуля та поводженням коефіцієнтів.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи сучасної теорії рядів Діріхле та деякі прийоми з робіт Б.В.Винницького, М.М.Шеремета.

з

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати є новими. У роботі:

1. отримано непокращувані оцінки максимуму модуля через максимальний член для різних класів рядів Діріхле з додатними зростаючими до +°о показниками. Показано, що класична нерівність Ж.Валірона є непокращуваною.

2. знайдено необхідні та достатні умови на коефіцієнти ряду Діріхле для того, щоб логарифм максимального члена цілого ряду Діріхле дорівнював Ф(а + о(\)) при сг—>со а ряду Діріхле з нульовою або нескінченною абсцисою абсолютної збіжності — Ф((\ + о(1))сг) при, відповідно, crto або ег->со. Вказано застосування отриманих результатів до знаходження зв'язку між зростанням максимуму модуля ряду Діріхле та поводженням його коефіцієнтів. Узагальнено класичну теорему Е.Ліндельофа.

Практичне значений отриманих результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер і є певним внеском в теорію рядів Діріхле. Вони можуть бути використані як у теорії рядів Діріхле, так і в загальній теорії аналітичних функцій та інших розділах сучасної математики.

Особистий внесок здобувача. У спільній роботі [5] з М.М.Шереметою і С.І.Фединяком, М.М.Шереметі належить теорема 1 та лема 1 (вони наводяться у дисертації з його дозволу), а С.І.Фединяку результати розділу 3 роботи [5]. В дисертацію увійшли тільки результати отримані автором дисертації. У статті [4] М.М.Шереметі належить постановка задачі та ідея побудови прикладу 1. Зі спільної роботи з О.М.Мулявою [6] в дисертацію увійшли тільки результати отримані автором дисертації.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на :

Міжнародному Конгресі Математиків '98 (Берлін, 18--27 серпня 1998

року);

Фінсько-Польсько-Українській літній школі з комплексного аналізу (Люблін, 19—22 серпня 1996 року);

Міжнародній конференції "Проблеми механіки і математики" (Чернівці, 23—27 червня 1998 року);

Міжнародній конференції "Сучасні проблеми механіки і математики" присвяченій 70-річчю Я.С.Підстригача (Львів, 20—22 травня 1998 року);

Міжнародній науковій конференції присвяченій 100 річчю Ю. Шаудера "Nonlinear partial differential equations" (Львів, 23—29 серпня 1999 року);

Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу (кер. проф. М.М.ИІеремета);

Львівському міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (керівники: проф. А.АХольдберг, проф. А.А.Кондратюк, проф. О.Б.Скасків);

Люблінський міському семінарі з теорії функцій (Польща, кер. проф. Jozef Zajaz).

Семінарі з теорії функцій у Харківському національному університеті (кер. проф. А.П.Грішин)

Публікації. Результати дисертації опубліковано у 8 роботах (5 без співавторів): 5 журнальних статей, 4 з яких (2 без співавторів) — у виданнях із переліків, затверджених ВАК України, в яких слід опублікувати результати дисертації, 1 препринт та 2 у матеріалах міжнародних наукових математичних конференціях.

Основні положення дисертації, що виносяться на захист:

1. непокращувані оцінки максимуму модуля через максимальний член для різних класів рядів Діріхле з додатними зростаючими до +со показниками. Непокращуваність класичної нерівності Ж.Валірона.

2. необхідні та достатні умови на коефіцієнти ряду Діріхле для того, щоб логарифм максимального члена цілого ряду Діріхле дорівнював Ф(а+о(\)) при а—>оо, а ряду Діріхле з нульовою або нескінченною абсцисою абсолютної збіжності — Ф((\+о(\))а) при, відповідно, стТо або сг->оо.

Структура і об’єм роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації 121 сторінка. Список використаних джерел займає 6 сторінок і включає 51 найменування.

Зміст роботи

У вступі обговорюється актуальність теми, дається короткий огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи, та загальна характеристика дисертації.

У першому розділі наведено огляд праць, що стосуються даної дисертаційної роботи, а також формулюються основні результати дисертації.

Розділ 2 присвячений оцінкам максимуму модуля через максимальний член зверху для ряду Діріхле з довільною абсцисою абсолютної збіжності.

Нехай А={Л^ 0 —зростаюча до +оо послідовність невід'ємних чисел, Л0 = О, а ряд Діріхле

І^)=ао + ^а/Л", .у=ст+;7, (1)

и=І

має абсцису абсолютної збіжності ст^ = А є(-оо,+ооу. Для а<А покладемо М(<у)= М(а, Р)= хир(Р(о+И)\:1 сГЦ

— максимум модуля ряду (1) і нехай

¡.¡(а)=Р)=тах{\а\ехр(аХ^):п > 0}

— максимальний член ряду (1).

Через Л(А) позначимо клас додатних необмежених на (~со,А) функцій Ф таких, що похідна Ф'є неперервною, додатною і зростаючою до +=о на (-<*>, А).

позначати функцію, обернену до Ч*, а через <р — функцію, обернену до Ф'. В підрозділі 2.1 доведено, що функція Ч' неперервна і зростаюча до А на ('-осі, А).

Підрозділ 2.2 присвячений оцінкам М(а,Р) через /и(а,Г) зверху, які разом з нерівністю Коші М(а,/•')<¡4а,У), <г>а0 дають зв'язок між зростанням даних величин.

Через ЦА^А), - со < А() <А< +со, позначимо клас неперервних на (-аз, г о) функцій <7, які задовольняють наступні умови:

1) на (А,А(у> функція ^зростає до А;

2) якщо Л0>-оо,то <і(х)=д(А0) для х<Ао;

3) якщо А<+оо, то ц(х) = ц(А) = А для хіА .

Для д(А0)<сг<у(А) = Апоклгіпемо

Нижче через А будемо позначати абсцису абсолютної збіжності ряду (]). Основною в підрозділі 2.2 є така

Теорема 2.3 Нехай ц є ЦА^, А) і

Оскільки теорема 2.3 може бути незручною для користування, то наведемо наступну теорему, яка є значно простішою і наслідком з теореми 2.3.

Функцію

називатимемо асоційованою з функцією Ф за Ньютоном. Через ¥ будемо

Тоді для всіх <у е(д(А^,А) справедлива нерівність

Що) ^ К0^д-\а)уа) + К0ф0!.

Теорема 2.4 Нехай />0 — довільне число, а 8-А(у-\), коли -со<Л<+ео, і 3>в — довільне число, коли А = +оо. Якщо

(у -\)1п\а (+ЙІ ІЙ,—

то для всіх сг<Л, досить близьких до А, мас місце нерівність

де К — додатна ста ю, яка не залежить від а.

Якщо в теоремі 2.4 візьмемо у = 1, то з неї отримуємо справедливість наступної нерівності Валірона.

Наслідок 2.1 [Ж.Валірон, 1914] Якщо А = +оо і

Ііт ^р=г<+оо Л-*00 А

п

то для кожного є>0 при а>а^(с.) справджується нерівність М(а, Р) < //(сг + г + £,/<), а-> оо.

При відповідному виборі у і 8, з теореми 2.4 легко отримати як відомі раніш наслідки 2.2 і 2.4, так і новий наслідок 2.3.

Наслідок 2.2 [М.Ю.Галь, М.М.Шеремета] Якщо А = +оо і

Іп\а | л-*ю /ял П ’

тодлякожного £' є^О,/? -1) при а > є) мас місце нерівність

{ (Р -є)е\ /3,-е

М(е)те)\~^_т^] ' .

Наслідок 2.3 Нехай А = +оо, ФєГу+оо^, а <р і Ч*— відповідні функції, визначені вище. Тоді, якщо

Ііт-В—Г-Гш—=Р->1,

и—>оо 2

/ ІпМ(а,Р)<<Ь(а) для всіх ає(-сс,+ао), то для кожного е>0 при а>а^в) справедлива нерівність

Наслідок 2.4 [М.ІО.Галь, ММ.Шеремета] Якщо А-0 і

Іп\а \

П—>00 ІПП 1

то для кожного єе(0\Р) і всіх a e(aJe)P) справедлива нерівність

і+іг*

((Р -є)а\ Р^-є

В підрозділі 2.2 доведена також наступна

Теорема 2.5 Нехай у — додатна неперервна спадна до 0 на [0,+оо) функція, виконується умова

Ііт , І™1. ;</7<ю п-їсс А У( А )

п п

і .4 = 0. Тоді для кожного є>0 при а0(є)<а<0 справедлива нерівність M(u,F) < d-^-AexMX+єу{--------------------------------^----J)1.

' ' пі+г і 7 " К(р+С)а+В?)\

З цієї теореми випливає

Наслідок 2.5 Нехай А = 0 і Ф eO{Q). Тоді якщо М(о,Р)<Ф(а) і виконується умова

Ш______Ьт____<-L<oo

“ZAnMtfAn))\- Р2К ' то для кожного є > 0 при ст0(е) < а < 0 справедлива нерівність

Непокращуваність нерівності Валірона доводиться в підрозділі 2.3. З цією метою через S(А) позначимо клас цілих рядів Діріхле з заданою

послідовністю показників А=(А Г „. Справедлива така

п п=0

ф-(-^

s

Теорема 2.6 Нехай тє[0,+ю). Для того, щоб для кожної функції F eS(A) справджувалось співвідношення

M(o,F)< f^cr + z + o(\),fj, <х-»оо,

необхідно і досить, щоб

Ііт < т.

«—>СС Л П

З теореми 2.5 видно, що якщо lnn=0(XJ, п—>сс, то ЬА(a,F)<¡J(ky,F) для всіх досить великих а . Якщо ж

ііт =оо, (2)

п

то не можна вказати сталої А с[і+<х) такої, щоб для кожної F eS(A) і для всіх

0 > а0 виконувалась нерівність M(a,F)<p{Aa,F).

На це вказує наступна

Теорема 2.7 Для кожної послідовності А, яка задовольняє умову (2), і сталої А єЦ+°°) існують функція FeS(A) і зростаюча до + оо послідовність (а .)

такі, що

М(аF)> J^A а.

Оцінки, отримані в наслідках 2.2 — 2.4 також покращити не можна. Це випливає з результатів підрозділу 2.4, де розглядаються дещо інші ряди Діріхле. Нехай 0<Л<+оо, а П(А)— клас функцій, аналітичних в fs: 0<Res<A}

1 обмежених в кожній смузі {s: 0<a^<Res<a2<A}. Вивченню функцій з класу П(оо) присвячена глава III відомої монографії Ш.І.Стреліца “Асимптотические свойства аналитических решений диференциальньїх уравнений”. До класу Щсс) належать, зокрема, цілі ( абсолютно збіжні в С ) ряди Діріхле з невід'ємними зростаючими до + оо показниками X і комплексними коефіцієнтами Ь .

В підрозділі 2.4 розглядаємо ряди Діріхле, показники яких не обов'язково монотонні і можуть приймати значення з /-оо,+оо), але будемо вважати, що серед Х^є нескінченно багато додатних. Вважаємо також, що

(п—>оо). Через Пд(Л) позначимо клас рядів Діріхле

F(s)=s=cr+it,

Я = 1

абсолютно збіжних в (*:()<о<А}, коефіцієнти і показники яких задовольняють наведеним вище умовам. При цьому, якщо 0< А < і, то вважаємо, що ряд

збігається для будь-якого сгє[0,А) і розбігається для будь-якого а > А, a якщо А = -ню, то вважаємо, що ряд (4) збігається для всіх ст > 0 . Іншими словами, А є абсцисою абсолютної збіжності ряду (3).

Домовимось також, що \b\exp(aXJ-0 для всіх ст > 0, якщо Л^ = -со.

Нехай спочатку 0<А<+оо. Через TlD(A,h) позначимо клас функцій

F єП ґА) таких, що

Справедлива наступна

Теорема 2.8 Нехай [і є(0,+оо). Для того, щоб для кожної функції FeX\D(A,h) виконувалась нерівність

для всіх о є[0,Л), необхідно і досить, щоб /?>й.

Нехай тепер А = +со. Через Пв(оо,Л) позначимо клас функцій ГєП (<ю) такт, що

Справедлива

Теорема 2.9 Нехай /? є [0,1). Для того, щоб для кожної функції /гєП (<а,Ь) виконувалась нерівність

(4)

n^:rAn(h\exp{AAJ)

he[0,+ао).

KQ = const >0,

для всіх а > 0, необхідно і досить, щоб {¡>h.

Нехай П (0) — клас рядів Діріхле з невід'ємною зростаючою до

+ оо послідовністю показників і нульовою абсцисою абсолютної збіжності. Будемо говорити, що F eTlD(0,¡і) h є[0,+оо), якщо Fі

Tim !nV,=h.

П-+0ОШ\b п

Теорема 2.11 Нехай /3є(0,-№о). Для того, щоб для кожної функції F єП. (QJi) виконувалась нерівність

чі +р

M(a,F)<Kj^,F} , const >0,

<\+Г

для всіх а < 0, необхідно і досить, щоб р>И.

Нарешті, в підрозділі 2 5 показано, як застосовується теорема 2.4 до встановлення зв'язку між зростанням М(а,Р) і поводженням коефіцієнтів в термінах узагальнених порядків.

В 1903 році Е. Ліндельоф довів, що для того, щоб для цілої функції

f(‘)='La/‘

л=0

виконувалось співвідношення

ІпМ^(г) = (\+о(\))тгр, г —>со, тє(0,+ао)

необхідно і досить, щоб для кожного є >0:

1) існувало п0 є N таке, що для будь-якого п > п0

ln\a І<-—/я

р ерт(\ + є)

2) існувала зростаюча послідовність (пк) натуральних чисел така, що

пГ”к»(п-*вз) '

п, п,

Іп\а ]>—-Іп-----—г*

и р ерц\-є)

Третій розділ дисертації присвячений узагальненням і доповненням теореми Ліндельофа. Основними в цьому розділі є наступні теореми

Теорема 3.1 Нехай Ф єО(+оо). Для того, щоб Іпр(су, !‘)=Ф(а + о(\)) при а —> +со, необхідно і досить, щоб для кожного є > 0 ;

1) існувало п0 еИ таке, що для будь-якого п > п0

и

1^<ЭД)+£1 (5)

2) існувала зростаюча послідовність (пк) натуральних чисел така, що

1п\а \>-А У(<р(А ))~ЄК (6)

"і \ пк "і

Ііт

А:—юс

я -я

*+і

Ьг І

ф

А X пк+1 _ . у ..

1 г ФЩ/Г

я -я і V2

. п К X

V *+1 * у

= 0.

Г7>

Як наслідок з теореми 3.1 при Ф((т)-тсра і Я^-п випливає класична теорема Ліндельофа.

Теорема 3.2 Нехай Ф еП(А) і А = 0 або А = +оо. Для того, щоб Іпр(а,}•)=Ф((\ + о(\))а) при <т^> А, необхідно і досить, щоб для кожного є > 0:

1) існувало п0 є N таке, що для будь-якого п > п0

1 и1 1 + £

(я

(8)

2) існувала зростаюча послідовність (и4) натуральних чисел така, що

А

Іп\а !>-т——Т

'V і-«

(А

\~Є

V V JJ

(9)

Ф

ґ і > У щх)).

А -Я і /

VI "* ,

-=1

Ііт-----

¿-+оо "І+1

г-Ьг-V. "4 \

Нехай ^ є5(Л,0), де ¿’(Л,©) — клас цілих рядів Діріхле, для яких

Іп\а \<-А ©СЯ ), п>п,

1 и п п 0’

де 0— неперервна додатна зростаюча до +оо на [0,+ю) функція. Використовуючи один з результатів М.М.Шеремети, а також теореми 3.1 та 3.2 в розділі 3 отримуємо, також, наступні теореми

Теорема 3.3 Нехай Ф сП(+хі) така, що

(п)

а показники цілого ряду Діріхле для будь-якого є > 0 задовольняють умови

Ш---------1Ш-----^<1

л-»°° X ( ( X

\ + Є М1+£

_ Ф~'(/»«) ,

1,т —7----------------------г І ї' -1

Ф", •, ,

і+г П. i+^J

V V V sj

Для того, щоб

lnM(a,F)=<i>((\+o(\))a), а—>со

необхідно і досить, щоб виконувались умови 1) і 2) теореми 3.2.

Теорема 3.4 Нехай ФєГ2(+°°^ задовольняє умову (11), а послідовність Хп цілого ряду Діріхле для будь-якого є>0 задовольняють умови

Щ, . Іпп

і

7— Ф ~'(М

Для того, щоб

In М(а, І‘') = Ф(а+о(\)), сг->оо

необхідно і досить, щоб виконувались умови 1) і 2) теореми 3.1.

Висновки

Результати дисертації умовно згуртовані навколо близьких одна до одної двох проблем: оцінок максимуму модуля ряду Діріхле з невід’ємними зростаючими до + °о показниками й довільною абсцисою абсолютної збіжності

і узагальнень класичної теореми Е.Ліндельфа про регулярність зростання цілих функцій скінченного порядку на випадок таких рядів Діріхле.

Що до першої проблеми, то в роботі отримана загальна оцінка максимуму модуля через максимальний член, з якої як наслідки випливають класична нерівність Ж.Валірона та оцінки, отримані М.М.Шереметою, Я.Д.П'янилом, Б.В.Винницьким. Показано, що ці оцінки покращити не можна. Використовуючи загальну оцінку максимуму модуля через максимальний член і зв'язок між зростанням максимального члена та поводженням коефіцієнтів, в термінах узагальнених порядків встановлено зв'язок між зростанням максимуму модуля і поводженням коефіцієнтів. Отримана в цьому напрямі теорема містить відомі теореми Я.Д.ГГянила і М.М.Шеремети для цілих рядів Діріхле та ІО.М.Галя і М.М.Шеремети для рядів Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності.

Стосовно другої проблеми в дисертації отримані два критерії про справедливість співвідношень lnp(a,F)-9(<J+o(\)) для цілих рядів Діріхле і lnfi(a,F) = <S>((\+o(\))a) як для цілих рядів Діріхле, так і для рядів Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності. Такі ж теореми доведені і для логарифма максимуму модуля.

Основні результати мають критеріальннй характер. При їх доведенні використовувались сучасні методи теорії рядів Діріхле.

Список ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Притула Я.Я. Максимум модуля і максимальний член цілого ряду Діріхле // Вісник Львівського університету "Питання алгебри та мат. фізики" — 1995. — Том 43. - С. 25-30.

2. Prytula Ya.Ya. On the Lindelof theorem // Мат. Студії -- 1997. -- Том 8(1). -- C. 31-42.

3. Prytula Ya.Ya. Maximum modulus and maximal term of an absolutely convergent in half-plain Dirichlet series // Bulletin de !a Soc. et des Lettr. de Lodz. —1998 — V. XLVIII. - P. 57-61.

4. Шеремета M.H., Притула Я.Я. Максимум модуля и максимальный член одного класса рядов Дирихле // Изв. вузов, Матем. — 1998. — N 2(429). -- С. 77-83.

5. Шеремета М.М., Притула Я.Я., Феднняк C.I. Зростання рядів Діріхле // Препринт Центру мат. моделювання ІППММ НАН України. -1995. — 32 с.

6. Мулява О.М., Притула Я.Я. Оцінки максимума модуля цілого ряду Діріхле //Вісник Львівського ун-ту. Серія мех.-мат. -- 1998. — Т. 49. -- С. 65—70.

7. Притула Я.Я. Аналог теореми Ліндельофа // Матеріали Міжнародної наукової конференції "Сучасні проблеми математики" Част. 2. - Київ: ІМ НАН України. - 1998. - С. 237-239.

8. Prytula Ya.Ya. Generalization of the Lindelof Theorem // Abstracts of Short Communications and Poster Sessions of International Congress of Mathematicians. -Berlin. - 1998. -P. 149.

Притула Я.Я. Асимптотичні властивості максимуму модуля і максимального члена рядів Діріхле. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01. — математичний аналіз. — Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2000.

У дисертаційній роботі отримані непокращувані оцінки максимуму модуля через максимальний член для різних класів рядів Діріхле з додатними зростаючими до нескінченності показниками. Одержані необхідні та достатні умови на коефіцієнти ряду Діріхле для того, щоб логарифм максимального члена цілого ряду Діріхле був еквівалентним деякій опуклій функції.

Ключові слова: ряд Діріхле, степеневий ряд, аналітична функція, максимум модуля, максимальний член ряду, узагальнений порядок функції.

Prytula Ya.Ya. Assymptotic properties of maximum modulus and maximal term of Dirichlet series. — Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Phisical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01. — Mathematical Analysis. — Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2000.

Non-improval estimates of maximum modulus via maximal term for different classes of Dirichlet series with positive and increasing to infinity exponents are obtained. There are found the necessary and sufficient conditions on the coefficients of Dirichlet series for logarithm maximal term of an entire Dirichlet series to be equivalent to a convex function.

Key words: Dirichlet series, power series, analytic function, maximum modulus, maximal term of a series, generalised order of a function.

Притула Я.Я. Асимптотические свойства максимума модуля и максимального члена рядов Дирихле. - Рукопись.

Дисертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ, Львовский национальный университет имени Ивана Франка, Львов, 2000.

Дисертация состоит из введения, трех разделов, выводов и списка использованных источников. Объем дисертации 121 страниц. Список используемых источников включает 51 наименований. Во введении дано обоснование актуальности темы, наводятся цель и задачи исследования, научная новизна, практическое значение и аппробация полученных результатов.

В первом разделе приведены ранее извесные результаты, которые касаются находжения порядка и типа аналитических функций представленых степенными рядами и рядами Дирихле, а также обзор работ касающихся теоремы Линделефа. Кроме этого, в первом разделе формулируются основные результаты дисертации.

Второй раздел посвящен оценкам максимума модуля ряда Дирихле через его максимальный член, доказана общая теорема об оценке максимума модуля ряда Дирихле с произвольной асциссой абсолютной сходимости через его максимальный член, из которой следуют как новые, так и уже известные оценки. Доказана неулутшаемость таких оценок, в том числе и неравенства Валирона. Показано применение полученых результатов для нахождения обобщенного порядка ряда Дирихле с произвольной абсциссой абсолютной сходимости.

Третий раздел посвящен нахождению условий на показатели и коэфициенты целого ряда Дирихле для того, чтобы его логарифм максимума модуля или максимального члена были эквивалентны Ofa + oflJJ при сг—>оо, и для ряда Дирихле с нулевою или бесконечной абсциссой абсолютной сходимости — Ф((\ + o(\))<j) при, соответственно, crío или ег-»°о, где Ф — выпуклая положительная возрастающая к +оо функция.

Ключевые слова: ряд Дирихле, степенной ряд, аналитическая функция, максимум модуля, максимальный член ряда, обощенный порядок функции.