Асимптотические свойства медленно меняющихся функций и субгармонических функций нулевого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



На правахрукописи

ТАРОВ ВЛАДИМИР АНДРЕЕВИЧ

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ ФУНКЦИЙ И СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2004

Работа выполнена в Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской Академии наук

Научный руководитель чл.-корр. РАН, д.ф.-м.н.,

профессор Напалков В.В.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор Мерзляков СП,

к.ф.-м.н., доцент Водопьянов В.В.

Ведущая организация Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Защита состоится 11 июня 2004 г. в 1630 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской Академии наук (450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, д. 112)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской Академии наук

Автореферат разослан

Учёный секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н. .

Попёнов СВ.

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы. В диссертации исследуются асимптотические свойства субгармонических функций нулевого порядка, а также свойства медленно меняющихся функций, которые используются при изучении роста субгармонических функций нулевого порядка.

Изучением роста субгармонических функций нулевого порядка занимались Валирон Ж., Гольдберг А.А., Братищев А.В., Коробейник Ю.Ф., Заболоцкий Н.В., Шеремета М.Н. и др. математики.

Асимптотические свойства медленно меняющихся функций исследовались Балкемой А.А., Гелуком Ж.Л., Де Хаан Л., Гольдбергом А.А. и рядом других авторов.

Исследование асимптотики отношения положительных, определённых на луче функций и правильно меняющихся функций (в частности, отношения функций нулевого порядка и медленно меняющихся функций) часто всречается как в работах по математическому анализу, так и в работах по другим разделам математики. Замена правильно меняющейся функции на эквивалентную ей функцию с большим числом "правильных" свойств позволяет в ряде случаев получить о функции, которую сравнивают с правильно меняющейся функцией, дополнительную информацию. Отметим, что в такого рода исследованиях бывает важно, чтобы суперпозиция нескольких функций, одна из которых является правильно меняющейся функцией, была выпуклой или вогнутой.

Задача изучения взаимосвязи между ростом максимума модуля субгармонической функции и распределением масс её ассоциированной (по Риссу) меры, является одной из центральных задач тео-" рии субгармонических функций. Случай субгармонических функций нулевого порядка интересен сочетанием свойств различных классов

£ РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

субгармонических функций. Так логарифм модуля трансцендентной целой функции нулевого порядка (важный частный случай субгармонической функции нулевого порядка) имеет и свойства, сходные со свойствами логарифма модуля целой функции конечного положительного порядка, и свойства, сходные со свойствами логарифма модуля полинома.

Цель работы. Цель работы — построить для любой монотонной медленно меняющейся функции эквивалентную ей бесконечно дифференцируемую функцию, которая обладала бы рядом дополнительных свойств, в частности, модули всех её производных были бы правильно меняющимися функциями, знак каждой производной был бы постоянным на луче при этом для эквивалентной функции

сохранялись бы свойства исходной функции (если таковые имелись), связанных с выпуклостью или вогнутостью некоторых суперпозиций исходной функции. Кроме того, в диссертации ставится цель установить взаимосвязь между гладко меняющимися функциями и функциями из некоторого подкласса уточнённых порядков. Целью работы также является получение формул типа и нижнего типа субгармонической функции нулевого порядка, а также точных оценок типа.

Методы исследования. Использованы методы теории субгармонических функций и математического анализа. Для получения результатов применён ряд интегральных преобразований, которые являются обобщениями известных интегральных преобразований на отрезке и на луче.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми. Решены следующие задачи:

1. Для любой монотонной медленно меняющейся функции Л(г) с помощью ряда интегральных преобразований построена бесконечно дифференцируемая на луче (0,с») функци^р^одул и всех производных которой являются правильно меняющимися функциями, а

знаки производных на луче (0, с») постоянны, причём если Л(ег) выпукла на некотором луче, то д(ег) строго выпукла на К, а если 1пЛ(ег) вогнута на некотором луче, то строго вогнута на

2. Установлена взаимосвязь между гладко меняющимися функциями и совершенными уточнёнными порядками; которые составляют подкласс бесконечно дифференцируемых сильных уточнённых порядков.

3. Получены формулы типа и нижнего типа субгармонической функции нулевого порядка.

4. Получены точные оценки типа субгармонической функции нулевого порядка через её верхнюю и нижнюю плотности распределения масс, а также через верхнюю плотность распределения масс и нижний тип этой функции.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в теории целых, мероморфных, субгармонических, субгармонических функций, в теории- приближения функций и в выпуклом анализе.

Апробация диссертации. Основные положения, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на семинаре по теории функций в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, на уфимском городском семинаре по теории функций комплексного переменного им. чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева и на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Уфа, 2000 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведён в конце автореферата. Из шести работ три выполнены в соавторстве с научным руководителем проф. В.В. Напалковым. Результаты диссертации, которые опубликованы в этих трёх работах, получены автором диссертации.

Структура диссертации» Диссертация состоит из введениями трёх глав. Объём: 126 страниц. Библиография: 54 названия.

Краткое содержание диссертации

Приведём некоторые обозначения и определения. Полагаем, что кр = +оо, е к € и р =и +ол и если к €

если или если

и р = —со; 1Р = 1 Ур £ [—сю, +оо]. Полагаем также 1пО = —оо.

Определение 1 (ср. [10]). Измеримая положительная на некотором луче функция называется правильно меняющейся порядка р € [—оо,+оо], Л(г) 6 Яр, если для любого к > 0

нш т=к>.

(1)

г->+00 Л(г)

Определение 2 (см. [10]). Если Л(г) 6 Не, тоЛ(г) называется медленно меняющейся функцией.

Определение 3 (ср. [12]). Непрерывно дифференцируемая в неко-той окрестности +оо правильно меняющаяся ф у н к ц ифЛ о р я д -ка называется нормализованной, если

НШг-ц-ооГЛ'^/Л^) = р.

Определение 4 (ср. [12]). Положительная бесконечно дифференцируемая на некотором луче называется гладко меняющейся функцией порядка если для любого

Условимся называть функции Л(г) и д(г) эквивалентными, если эти функции эквивалентны при г —> +оо.

Любая правильно меняющаяся функция порядка р 6 К эквивалентна [12, теорема 1.8.2] некоторой гладко меняющейся функции того же порядка р.

Из (2) вытекает, что гладко меняющаяся функция порядка р.£ [—оо, +оо], являясь (утверждение 1.4) правильно меняющейся функцией этого же порядка р, имеет, помимо свойства (1), дополнительные свойства, сходные со свойствами степенной функции.

Кроме того, если учесть вышеупомянутую теорему 1.8.2 [12], то ввиду (2) заключаем, что любая правильно меняющаяся функция порядка эквивалентна функции, которая строго монотонна в некоторой окрестности

Оказывается, что медленно меняющиеся функции, эквивалентные монотонным, обладают рядом свойств, сходных со свойствами правильно меняющихся функций порядка

Дадим следующее

Определение 5. Положительная бесконечно дифференцируемая на некотором луче (а,оо), а ^ 0, функция Л(г) называется правильно дифференцируемой функцией порядка если Л(г) € Я, и |Л(п)(г)| € V« <Е N.

Множество всех правилы.о дифференцируемых функций обозначим через БК

Заметим (утверждение 1.4), что ЮИр С но не всякая глад-

ко меняющаяся функция является правильно дифференцируемой. Например, если то

Краткое содержание главы 1

В главе 1 с использованием ряда интегральных преобразований для любой монотонной медленно меняющейся функции получена эквивалентная ей правильно дифференцируемая функция.

В §1 главы 1 рассмотрено несколько вспомогательных утверждений.

Свойства правильно дифференцируемых функций изучаются в §2 главы 1. В этом параграфе, в частности, доказаны следующая

Теорема 1.1. Пусть функция Л(г) положительна и бесконечно дифференцируема на некотором луче причём для любого п 6 N найдётся такое ап ^ ао, что Л^'(г) ф 0 при г > а„. Тогда в том и только в том случае, когда

Обобщением известного правила Лопиталя является

(3)

Утверждение 1.5. Если для бесконечно дифференцируемой на интервале (а, оо), а € [—оо, +оо), вещественнозначной функции Л(г) для любого п 6 Z+ найдётся такое а„ о, что -ф 0 при

г > а„, и существует предел ПиПт-н.«, равный -с», +оо или О

(Нтг.,.).^ Л(г) может быть и конечным не равным нулю числом (I, если |Л(г) — медленно меняющаяся функция), то для любого к > О имеет место бесконечная цепочка неравенств

Ответ на вопрос о том, для каких функций приведённая выше цепочка нестрогих неравенств обращается в цепочку равенств дает

Теорема 1.2. Пусть Л(г) — бесконечно дифференцируемая на интервале (а, оо), а 6 [—сю, +оо), вещественнозначная функция, причём для любого п 6 2+ найдётся такое о„ ^ а, что ^ 0 при г > а„.

Тогда для любого имеет место

г-»+оо Л(г) Г-++ОС (л(г))1п'

в том и только в том случае, когда

Для вещественнозначной измеримой на луче [а, оо), а ^ О, функции Л(г) такой, что ф у н к ц егрируема на этом луче, определим преобразование:

(4)

Свойства преобразования (4) изучаются в §3 главы 1.

Определим следующее преобразование вещественнозначной, измеримой, локально интегрируемой на луче функции

(5)

Свойства преобразования (5) изучаются в §4 главы 1.

Обобщение преобразования (4) рассматривается в §5 главы 1. В этом параграфе доказана

Теорема 1.3. Пусть дважды

дифференцируема, Тогда

найдутся число Ь > а, дважды непрерывно дифференцируемая, положительная, возрастающая на луче и непрерывно дифференцируемая, положительная, неубывающая на этом же луче функция такие, что для функции

выполняются следующие свойства:

1) д(г) непрерывна на [Ь, оо) и дважды непрерывно дифференцируема на (Ь, оо);

2) д(г) > 0 Vr > 6;

3) д'(г) > 0 Vr > 6;

4) g{r) ^ h(r) Vr ^ Ь;

5) limr_+00i/(r)//i(r) = 1;

6) £(г) е NRo;

7) Ишr-t+oo rg"{r)/9'(r) = -i;

8) если Л(ег) выпукла на (1па,оо), то д(ет) выпукла на (1пЬ, оо).

9) если In Л(ег) вогнута на (Ina, оо), то Inд{ег) вогнута на (In b, оо);

10) если ИШг-»+ооrh"{r)(h'{r) ^ с, где с е (-оо,—1], то Птг-+0ог5"(0/5'(г) > с.

Отметим, что linv-n-oo v(r) = +оо, а через у>_,(г) в (6) обозначена определённая на луче [у(Ь),оо), обратная кфу)н к ц и я .

Отметим также, что если в (6) положить tp(r) = ги ß(r) = 1 Vr € [Ь, оо), то в этом случае преобразование (6) является преобразованием (4) на луче [6, оо).

Обобщение преобразования (5) рассматривается в §6 главы 1. В этом параграфе получена

Теорема 1.4. Пусть на луче (а,оо), а ^ 0, h(r) дважды дифференцируема, Л(г) > 0 и h'(г) > 0; Л(г) 6 NRo\ linv-++oo^(r) = +оо; limr_»+00 rh"(r)/h'(r) > -оо. Тогда найдутся число с > а и дважды непрерывно дифференцируемая, положительная, возрастающая на луче [с, оо) функция w(r) такие, что для функции

9(r)=^jlr»'mm-h(c))dt. (7)

выполняются следующие свойства: 1) з(г) непрерывна на [с, оо);

3) д(г) дважды непрерывно дифференцируема на (с, оо);

8) если Iimr_»+00r/i"(r)//i'(r) ^ -1, то limr^+co гд"{г)/д'{т) = -1.

, 9) если Л(ег) выпукла на (1па,оо), то 5(ег) выпукла на (1пс,оо).

10) если 1пЛ(ег) вогнута на (Ina, с»), то 1пр(ег) вогнута на

Заметим, что если h(c) — 0 и в (7) положить ш(г) = гУг£ [с, оо),

то в этом случае преобразование (7) представляет собой преобразование (5) на луче [с, оо).

В §7 главы 1 (лемма 1.28) для любой медленно меняющейся функции Л(г), монотонной и не равной константе в некоторой окрестности +оо, построена такая эквивалентная ей дважды непрерывно дифференцируемая, положительная на луче (0,оо) функция д(г), что имеет место

(8)

Отметим, что в этом построении использовались преобразования (4) и (5) и последовательно применялись преобразования (6) и (7). Отметим также, что для полученной д(г) выполняется неравенство </(г) > 0 (д*(г) < 0) при г > 0, если h(r) не убывает (не возрастает). Из указанных неравенств для д'(г) и (8) следует, что |гд'(г)| 6 NRq.

Отметим ещё, что для д(г) из леммы 1.28 имеют место свойства, указанные (см. ниже) в пп. 7 — 10 теоремы 1.5.

Заметим, что в [3] для любой монотонной медленно меняющейся функции Л(г) построена эквивалентная ей непрерывно дифференцируемая функция p(r) такая, что |r<7'(r)| G До- Если

lim rg"(r)/g'(r) = -1.

r-»+oo

то в указанном построении на последовательности отрезков, покрывающих полупрямую, "исправлялась" производная некоторой функции, связанной с Н[г). При таком построении отдельные свойства исходной функции утрачиваются. Например, если 1пЛ(ег) вогнута, то 1пд(ег) вогнутой не будет.

Пусть Л(г) € Яр, р € (—1,1), Л(г) неотрицательна на луче [0, оо) и 1о + г)2 ^ < оо Уа е (0,оо). Определим преобразование:

В §8 главы 1 изучаются свойства преобразования (9). С использованием вышеупомянутой леммы 1.28 и преобразования (9) в §9 главы 1 доказана теорема 1.5. Прежде чем сформулировать её дадим три определения.

Определение 6. Функция Л(г) € называется гладко меняющейся на луче (0,оо), Л(г) е 5Яр(0,оо), если Л(г) обладает следующими свойствами:

1) А(г) положительна и бесконечно дифференцируема на (0, оо);

2) 8§п((г")(п))'1(п)(г) > 0 Уг > 0, Уп 6 {1,.. .,р), если рбН;

3) ((г")М)Л<">(г) > 0 Уг > 0, Уп 6 N. если р € К \ Ъ+\

4) Л<"'(г) > 0 Уг > 0, Уп е N. если р = +оо;

5) (-1)"Л(п>(г) > 0 Уг > 0, Уп € М, если р - -оо.

Определение 7. Функция Л(г) 6 называется правильно диф-

ференцируемой на луче эбладает

следующими свойствами:

1) Л (г) 6 5ЯР(0, оо);

2) (-1)"+1Л<'+п>(г) > 0 Уг > 0, Уп е N.

если и

3) (-1)ПЛ<"+П)(г) > 0 Уг > 0, Уп € N.

Л(0) при г = 0.

если р € 2+ и (—ЛО»+1>(г)) € Я_1.

Определение 8. Функция h(r) € DRP (Л(г) € DRP(0,оо)), р g Z+, называется функцией первого типа, h(r) G DRPI (Л(г) G £)ЯР(0, оо)/), если h(p+t,(r) 6 и функцией второго типа, h(r) £ DRPII

(Л(г) € ЯЯДО, оо)//), если (-Л<'+1>(г)) € Л_1.

Теорема 1.5. Для любой медленно меняющейся функции h(r), положительной, монотонной и не равной константе на некотором луче [а, оо), а > 0, найдётся такая функция g(r), что:

1) з(0) = 0, если Л(г) не убывает;

2) 5(0) G (0,оо), если h(r) не возрастает;

3) з(г) непрерывна на [0,оо);

4) lirrv-n-oo fl(r)/'l(r) = 1;

5) ?(r) € DRo(Q, оо)/, если Л(г) не убывает;

6) #(г) £ DRoi0, оо)//, если Л(г) не возрастает;

7) если liirv-^+oo h(r) — +оо и Л(ег) выпукла на"(1па,оо), то д(ег) строго выпукла на R;

8) если lim^+ooh{r) = +оо, h(er) выпукла на (Ina,оо) и linv-^+oo /i(r)/lnr = с < +оо, то lng(er) строго вогнута на R;

9) если lim^+ooh(r) = +оо и 1пЛ(ег) вогнута на (Ina,оо), то 1пу(ег) строго вогнута на R;

10) если h(г) не убывает и linv_n.no h(r) < +оо, то lng(er) строго вогнута на R;

11) Л(г) = exp(r/(r) + J*e(t)/tdt) при г € [а,со), где функция-г/(г) измерима на [a,oo), limr^+oo»i(r) = lng(a), е(г) = rg'(r)/g(r) — бесконечно дифференцируемая на (0, оо) функция, linv_»+00 г(г) — 0;

11.1) e(r) G Ro, если h{r) не убывает;

11.2) (-e(r)) G До, если Л(г) не возрастает;

11.3) е'(г) < 0 Vr > 0 в тех случаях, когда lng(er) строго вогнута

на R;

12) при выполнении неравенства limr_H.oo Л(г) > 0 имеет место представление Л(г) = v(r) f* s(t)/tdt при г € [а, оо), где функция и(г)

измерима и положительна на [а,оо), Шпг~ц-оо "(г) = 1; s(r) е NRo> s(r) положительна н бесконечно дифференцируема на (0,оо);

12.1) s(r) = rg'(r), если limr-*+oo h(r) = +оо;

12.2) s(r) = crg'(r)/(c-g(0)), если limr-,+00 Л(г) = с, 0 < с < оо;

12.3) если limr_,+00h{r) = +оо и h{er) выпукла на (Ina,с»), то з'(г) > 0 Vr > 0;

13) при выполнении равенства limr^+x>h{r) = 0 имеет место представление h(r) — в (г) /г°° s(t)/t dt при г [а, оо), где функция в(г) измерима и положительна на (a,oo) , limr-v+oo б(г) = 1, s(r) G NR0, s(r) положительна и бесконечно дифференцируема на (0, оо), s(r) = -rg'(r).

Для рассматриваемых в теореме 1.5 функций пп. 11, 11.1 - 11.3 являются усилением теоремы 1.2 [10], а если учесть пп. 5 и 6, то и усилением леммы 1.7 [10]. Пп. 12, 12.1 - 12.3, 13 представляют собой усиление теоремы 1 [3].

Заметим, что если измеримая положительная в некоторой окрестности +оо функция Л(г) удовлетворяет условию limr_»+00 Л(г) б (0,оо), то эта функция эквивалентна двум медленно меняющимся функциям hi(r) и Л2(г), причём ftj(r) возрастает на луче [0,оо), а Л2(г) убывает на этом луче. Тогда вследствие теоремы найдутся функции <?i(r) и дг(т), такие, что (с соответствующими изменениями в обозначениях) для <7i(r) выполняются пп. 1, 3 — 5, 10, 11, 11.1, 11.3,12 и 12.2, а для д2{г) — пп. 2 — 4, 6, 11, 11.2, 12 и 12.2 теоремы 1.5.

Заметим ещё, что если гЛ'(г) 6 До, то по теореме 16 [11] для Л(г) найдётся эквивалентная ей д(г) б DRq, причём для каждой производной <7{г) найдётся своя окрестность +оо, в которой эта производная имеет постоянный знак. Построение, использованное в указанной теореме, не обеспечивает сохранение некоторых свойств исходной функции Л(г). Например, есйи Л(ег) (1пЛ(ег)) выпукла (вогнута),

то <?(ег) (ln<7(er)) не будет выпукла (вогнута).

Обратим также внимание на то, что класс возрастающих медленно меняющихся функций такой, что если h(r) принадлежит этому классу, то в некоторой окрестности +оо функция Л(ег) выпукла, а функция In Л(ег) вогнута, находит применение [1, 9] при исследовании асимптотических свойств субгармонических функций нулевого порядка.

Функции, эквивалентные правильно меняющимся функциям конечного ненулевого порядка, рассмотрены в следующей теореме.

Теорема 1.6. Пусть Л(г) — правильно меняющаяся функция порядка р € К \ {0}. Тогда найдется такая функция д(г), что:

1) д(о) = 0, если р > 0;

2) 0(О)е(О,оо), если р<0;

3) д{г) непрерывна на [0,+оо);

4) Итг_+005(г)/Л(г) = 1;

5) g{r) е SR,{0,CQ)-,

6) g{r) е DRp(0,oo)I, если р £ N, а h(r)/rp не убывает и не равна константе на некотором луче (ai.oo), ai ^ 0;

7) з(г) € ДДр(0, оо)//, если р € N, а h(r)/rp не возрастает и не равна константе на некотором луче (аг, со), 02 ^ 0;

8) если In Л(ег) вогнута на (Ina, оо), то In <?(ег) строго вогнута на R;

9) если существует Птг^+00Л(г)/(г''1пг) = с, 0 < с < оо, то 1п<?(ег) строго вогнута на R;

10) если Л(г)/гр не убывает и не равна константе на луче [<4,00) и Ишг_++0оЛ(г)/г'> = d, 0 < d < оо, то lng(er) строго вогнута на Е;

11) д(ет) строго выпукла на К, если р > 0.

Отметим, что если linv-t+oo h{r)/r" = d, 0 < d < оо, то верно замечание, аналогичное замечанию, сделанному после теоремы 1.5.

Отметим также, что в теореме 1.8 3 [12] доказано существование для правильно меняющейся функции порядка р 6 R\Z+ эквивалент-

ной ей бесконечно дифференцируемой функции, все производные которой монотонны на луче (0,оо).

Отметим ещё, что функция д(г) из теоремы 1.5, если #(0) = 0, а также функция д{г) из теоремы 1.6, если р € (0,1) (в этом случае имеет место 5(0) = 0) являются вогнутыми на [0, оо). Вогнутость д(г) на [0, оо) и свойство д(0) — 0 влекут полуаддитивность д(г) на [0, оо), т. е. упомянутые выше функции д(г) из теорем 1.5 и 1.6 являются модулями непрерывности.

Заметим, что порядком положительной в окрестности +оо функции Л(г) называется величина р = limr_>+00ln/i(r)/lnr. Множество всех функций порядка р обозначим через Ар.

В §10 главы 1 доказана

Теорема 1.7. Пусть Л(г) 6 Ар, р € К. Тогда найдётся такая функция д(г), что:

1) Шг-++соЦг)/д[г) = 1;

2) 5(0) = 0, если Игаг^+00Л(г)/гр > 0;

3) 5(0) € (0, оо), если limr_+M Л(г)/г" = 0;

4) д(г) непрерывна на [0, оо);

5) 5(г) € DRp{0,oo)I, если Нт_»+00 МО/г" > 0;

6) 5(r) е SRP(0, оо), если linwoo h(г)/г" = 0;

7) если р > 0, то д(ет) строго выпукла на R;

8) если р = 0, Л(ег) выпукла в некоторой окрестности +сю и НгПг-н-оо Л(г) = +оо, то д(ег) строго выпукла на R;

9) если р = 0, h(eT) выпукла в некоторой окрестности +оо и limr^+00 Л(г) = +оо, то найдётся такое г0 > 0, что h(r) < g(r) Vr ^ г0;

10) если limr-n-oo h(r)/rp > 0, то Inд(ет) строго вогнута на R.

Заметим, выполнение п. 1 теоремы 1.7 означает, что Л(г) имеет при д(г) нормальный (т. е. конечный положительный) тип.

В §11 главы 1 (теорема 1.8) для некоторых правильно меняющихся

функций строятся эквивалентные им функции, являющиеся характеристиками целых функций.

Для целой функции /(г), г € С, введём следующие обозначения её характеристик: М/(г) = тах{|/(г)|: |г| = г}, п/(г) — число нулей функции /(г) в круге {г : |г| < г}, каждый нуль считается столько раз, какова его кратность.

Теорема 1.8. Пусть Л(г) еЛ^р 6 (0,1); причем если р = 0, то Л(ег) выпукла в некоторой окрестности +оо и Нт^+оо Л(г)/1пг = +оо. Тогда найдётся такая целая трансцендентная функция /(г), все нули которой лежат на луче (-оо,0), что:

1) 1п М/(0) = 0;

2) п,(г) € Др;

3) 1п М/(г) € £>Я,(0,оо);

4) Вт^+оо А(г)/1пЛ/,(г) = 1/(Г(р + 1)Г(р- 1));

5) Нт^пД^/^ОпЛ/Лг))') = 1/(Г(р+ 1)Г(р- 1)), где Г(р) — гамма-функция Эйлера.

Из доказательства теоремы 1.8 вытекает

Следствие. Если все нули целой функции ¡{г) лежат на одном луче е**, <ре[ 0,2тг), тг,(г) 6 Ир (р е [0,1)) и /(0) = 1, то 1 пМ/(г) е ДЛр(О.оо).

Заметим, что выполнение п. 2 теоремы 1.8 влечёт (при условии, что /(0) ф 0 и все нули /(г) лежат на одном луче) выполнение п. 5 этой теоремы ввиду свойства 1.2 [8} и, если р = 0, соотношений (1) и (2) в [5], а если р е (0,1), то теоремы 1 в [6].

Краткое содержание главы 2

Во многих работах, особенно в работах, касающихся роста субгармонических функций, положительные в окрестности +оо функции

сравниваются с функциями вида Л (г) = где р(г) — уточнённый порядок.

Определение 9 (см. [7]). Вещественнозначная дифференцируемая на некотором луче (а, оо), 0, функция р(г) называется уточнённым порядком, если

Дадим следующее

Определение 10. Бесконечно дифференцируемый в некоторой окрестности +оо уточнённый порядок р(г) называется совершенным, если 11ШМ+ТО г" 1пгр(п)(г) = 0 Уп е N.

В приводимой ниже теореме установлена взаимосвязь между гладко меняющимися функциями конечного порядка и совершенными уточнёнными порядками.

Теорема 2.1. Пусть р € К. Положительная бесконечно дифференцируемая на некотором луче функция является гладко меняющейся функцией порядка тогда и только тогда, когда функция р(г) = 1пЛ{г)/1пг является совершенным уточнённым порядком, для которого выполняется равенство

Заметим, что известно [8, свойство 1.2] аналогичное теореме 2.1 утверждение, связывающее непрерывно дифференцируемые уточнённые порядки и Нормализованные правильно меняющиеся функции.

Определение 11 (см. [8]). Уточнённые порядки р\(г) и рг^У) называются эквивалентными, если Нт^+оо^М — /^(г)) 1пг = 0.

Следствием теоремы 2.1 является существование для любого уточнённого порядка эквивалентного ему совершенного уточнённого порядка. В частности, для любого уточнённого порядка найдётся эквивалентный ему сильный уточнённый порядок, т. е. дважды дифференцируемый в окрестности +оо уточнённый порядок, для которого выполнено

Ещё одним следствием теоремы 2.1 является

Теорема 2.2. Для любой положительной на некотором луче (а,оо), а ^ 0, функции <р(г), удовлетворяющей условию | Пш г^+00 In ys(r)/ In г | < с», найдутся число Ь > а и совершенный уточнённый порядок р(г) такие, что v?(r) ^ г^ при г ^ b и Йтг^+оо tp{r)/rpW = 1.

Краткое содержание главы 3

Введём обозначения, u 6 К2, ip{u) —субгармоническая в К2 функция нулевого порядка, для которой выполняется <¿>(0) ф —оо; Mv,(r) = max{v+(u) : |tx| ^ г}, ^+(и) = тах{у)(и),0}; ц^, — ассоциированная (по Риссу) мера функции /v(r) = /v(iu £ '• М ^ г})! пАг) = (Мг)1 Мг) ^лая часть /^(r)), Nv(r) = fQr(/Jv(t)/t) dt.

Пусть lim Цу{г) > 1. Если для г0 > 0 п^(го) - п^го — 0) = i <Е

Г-++00

N, то Ап = A„_t = • • • = An_it+i = го, где n = nv(r0). Таким образом, построена неубывающая последовательность {А,,}".!, где m € N или т — со.

Порядком субгармонической функции уз (и) называется порядок функции Л/^(г), порядком-целой функции /(z) — порядок функции 1пМ/(г).

Обозначим через SHq класс субгармонических в R2 функций нулевого порядка, не являющихся константами и удовлетворяющих неравенству уз(0) ф —оо, через Ра — класс целых в С функций нулевого порядка.

Для положительной дифференцируемой на луче (0,оо) функции Л(г) такой, что Л'(г) > 0 Vr > 0, введём функцию sh(r) = гЛ'(г).

Типом и нижним типом функции € SH0 при функции Л(г)

Г—. M<p(r) I- Mv(r) D

назовем величины ff«, а = lim ■ ; . . и q^ h = lim ■ , , . . Верхней

r-^+oQ Л(г) г TT«. Л(г)

плотностью распределения масс и нижней плотностью распределения масс функции <р{и) € SH0 при функции sh(r) назовём величины

Д„,А = Ш Ит Ш.

г-t+oo sA(r) r-t+oo Sh(r)

Если /(z) € Po, то будем считать, что n/(r) = Nj(r) =

Nv{r), 0j,h = с^.л, £/,д = л, А/,л - Д^л, Д/,л = Д,л, где <p(Re г, Im z) = In |/(z)|.

Остановимся сначала на двух доказанных в §1 главы 3 утверждениях, которые играют важную роль в теории субгармонических функций нулевого порядка и ранее приводились в математической литературе при больших ограничениях на функции сравнения Л(г).

Утверждение 3.2. Пусть h(r) € До, lim h(r) = +оо, ip(u) е SH0

г-»+оо

и <xVih < оо. Тогда linw+oo f^>(r)/h(r) = 0.

Заметим, утверждение 3.2 при условии, что Л(г) = гр(г\ где р(г) — непрерывно дифференцируемый уточнённый порядок, следует из доказательства теоремы 1 [4].

Утверждение 3.3. Пусть A(r) е До, lim h(r) = +оо и ip{u) е SH0.

Г—++00

Тогда

М„(г) р- Nv(г)

1) ^.Л = ,1т" "ТГГ = Iim ТГГ>

v г-*+оо Л(г) Г-++00 л(г)

2) если a^h < +оо, то h = lim -rV- = hm

В [1, теорема 5] п. 1 утверждения 3.3 доказан при дополнительных ограничениях на функцию Л(г), определённую на промежутке [а, оо), а ^ 0: h(r) абсолютно непрерывна на каждом отрезке [а, Ь], а ^ b < оо; lim rti(r)/h(r) = 0, где Е — множество тех г > г0, для

г-»+оо, гее

которых Л'(г) существует и конечна, причём Л'(г) > 0 на £7; функция гЛ'(г)/Л(г) не возрастает на Е и limf._t+00lnr//i(r) = 0.

П. 1 утверждения 3.3 для целых функций доказан также в [2] при условии, что lirnj-n-ooNj(r)/h(r) < оо, а h(r) — гр(г), где р(г) — уточнённый порядок.

Обратим внимание на сходство свойств субгармонических функций, для которых limr-»+oo /v(r) < (многочленов в случае целых функций) и субгармонических функций нулевого порядка, для которых linir-n-oo^r) — +00 (целых трансцендентных функций нулевого порядка в случае целых функций), которое вытекает из утверждений 3.1 и 3.2.

Для положительной непрерывно дифференцируемой на луче (а,оо), а ^ 0, функции h(r) такой, что h'(r) > 0 Vr > о и функция Л(ег) выпукла на интервале (Ina,оо), введём функцию /д(г) = Л(г)

In г —

гЛ'(г)"

Следующая лемма использована при доказательстве теорем 3.1 и

3.2.

Лемма 3.1. Пусть функция Л(г) положительна и непрерывно дифференцируема на луче (а,оо), а ^ О, h'{r) > 0 Vr > а, функция Л(ег) выпукла (строго выпукла) на интервале (Ina,оо). Тогда

1) i/i(r) не убывает (возрастает) на (а, оо);

2) если lim = +оо, то lim /л(г) = +оо.

r-*+oo In Г г-»+оо

Если /А(г) возрастает, то через /¿"'(г) будем обозначать функцию обратную к /ft(r).

В приводимой ниже теореме из §1 главы 3 получены формулы типа и нижнего типа субгармонической функции нулевого порядка.

Теорема 3.1. Пусть Л(г) € Rq, h(r) положительна и непрерывно

дифференцируема на луче (0, оо), h'(r) > 0 Vr > 0, функция h(eT)

In г

строго выпукла на К, lim -у-г = 0, <р(и) 6 SHq и lim fiv(r) = +оо.

r-H-oc n[r] ——

Тогда

!) av,h = l»m

n-»+oo

'' Г-++00 h(r) n(ini;l(rn)-rn)

П—►+oo

1

К1~Лг»))

, где r„ = -

nln A„ — £ lnAfc

2) если oVth < оо, то = lim ■

n-»+oo

Jb=l

A( A„)

Замечание. Если /(г) 6 Р0 и /(0) Ф 0, то А„ = |<„| Угс £ N. где {С„}~=1 — множество нулей /(г).

Подчеркнём, что теорема 3.1 позволяет вычислять оу)А| а при а/,А < оо и ст/,л, через нули/(г) 6 Ро. в отличие от известных [7, теоремы 2 и 2']) формул типа целой функции ненулевого порядка, в которых тип вычисляется через коэффициенты разложения целой функции в ряд Тейлора.

В §2 главы >3 получены точные оценки типа субгармонической функции нулевого порядка.

. Для чисел а и Ь, удовлетворяющих неравенствам 0 ^ а ^ 6, 0 < 6 < оо, и положительной непрерывно дифференцируемой на луче (0, оо) функции Л(г) такой, что Л'(г) > 0 Уг > 0 и Цт = +оо,

4 ' 4 ' г-»+оо тг

а функция Л(ег) строго выпукла на К, определим величину

М°,ь)= йза- —т—/ 5а(г)дА(г)\\-

Отметим, что яА(г) возрастает на (0,оо), если Л(ег) строго выпукла на К. Отметим также, что 1/>л(а,6) € [0,1].

Теорема 3.2. Пусть <р{и) € 5Я0, Л(г) £ До, Л(г) положительна и непрерывно дифференцируема на луче (0,оо), Л'(г) > 0 Уг > 0, Л(ег) строго выпукла на К, Нш гут = 0, 0 < Д«л < оо. Тогда

г-»+оо П\Т)

2) найдётся такая /(*) £ Р0, что Д/л = £/>л = Д/,л = Д^л,

3) найдётся такая д(г) £ Р0, что Д^ = с^ = <тг,л = Д9,л =

_ _ _ _

5) найдётся такая д(г) € Р0> что Д,А = «т^д = г^.л, Д7,л = Д^л,

о,,к ~ Д*>,ь)Д,л-

В статье [1] введена величина Дл = Hin rh'(r) sup 7т~-г

г—*оо l<fl<oo п(вг)

и для

функций Н(г) из более широкого класса функций, чем класс функций, рассмотренный в теореме 3.2, доказаны неравенства Д^ Л ^ ДдД^ь < о^ь и ^ Д^л, причём для каждого из этих трёх неравенств показано существование Л(г) и <р(г), для которых соответствующее нестрогое неравенство обращается в равенство.

Если Л(г) удовлетворяет условию теоремы 3.2, то

Дл = ^7,(0, Др,л) = Иш

SA^^Inr)) r-Фоо Sft(r)

Последнее'равенство позволяет в ряде случаев (см. [1]) упростить вычисление Да-

Заметим,-что если функция 1пЛ(ег) вогнута на К,.то по следствию.

2 леммы 4 [1] имеет место неравенство Д«л) ^

' е _

Заметим также, что использование величин ^(Д^а, Д^л) и Д^а)» как это было сделано в теореме 3.2, позволяет, вообще говоря, улучшить оценку а^ снизу; так как ^(а, Д^,л) является неубывающей функцией переменной а на отрезке [0, Д^а]-

Цитированная литература

[1] Братищев А.В., Коробейник Ю.Ф. О некоторых характеристиках роста субгармонических функций // Матем. сб. — 1978. — Т. 106(148). — № 1(5). — С. 44-65.

[2] Гольдберг А.А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложение к теории целых функций. II // Матем. сб. — 1963. — Т.61 (103). — №3. — С. 334-349.

[3] Гольдберг А.А. Интегральное представление монотонных медленно меняющихся функций // Известия вузов. Сер. матем. — 1988.

— №4. — С. 21-27.

[4] Гольдберг А.А., Заболоцкий Н.В. Индекс концентрации субгармонической функции нулевого порядка // Матем. заметки. — 1983.

— Т. 34. — Вып. 2. — С. 227-236.

[5] Гольдберг А.А., Коренков Н.Е. Асимптотика логарифмической производной целой функции вполне регулярного роста // Укр. матем. журн. — 1978. — Т. 30. — № 1. — С. 25-32.

[6] Гольдберг А.А., Коренков Н.Е. Асимптотика логарифмической производной целой функции нулевого порядка // Укр. матем. журн. — 1978. — Т. 30. — №3. — С. 291-298.

[7] Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. — М.: ГИТТЛ, 1956. — 632 с.

[8} Маергойз Л.С. Индикаторная диаграмма целой функции уточнённого порядка и её обобщённые преобразования Бореля-Лапласа // Алгебра и анализ. — 2000. — Т. 12. — Вып. 2. — С. 1-63.

[9] Напалков В.В., Таров В.А О некоторых свойствах субгармонических и целых функций нулевого порядка // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. Сборник статей. — М.:

АФЦ, 1999. — С. 113-129.

[10] Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985.

— 144 с.

[11] Balkema A.A., Geluk J.L., De Haan L. An extension of Karamata's Tauberian theorem and its connection with complementary convex functions // Quart. J. Math. Oxford(2). — V.30. — 1979. — №120.

— С 385л116.

(12] Bingham N.H., Goldie CM., Teugels J.L. Regular variation. Encyclopedia of mathematics and its applications. V.27. — Cambridge: Cambridge University Press, 1987. — XX+491 c

Публикации автора по теме диссертации

1. Напалков В.В., Таров В.А. О некоторых свойствах субгармонических и целых функций нулевого порядка // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. Сборник статей. — М.: АФЦ, 1999. — С. 113-129.

2. Напалков В.В., Таров В.А. Правильно меняющиеся функции и уточнённые порядки // Вестник УГАТУ.'— 2003. — Т. 4. — №1. — С. 48-54.

3. Напалков В.В., Таров В.А. Функции, эквивалентные правильно меняющимся функциям // Доклады АН.' — 2003. — Т. 391. — №5. — С. 598-601.

4. Таров В.А. О точных оценках типа и нижнего типа субгармонической функции нулевого порядка // Труды международной конференции. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Ч. I. Комплексный анализ. — Уфа: РИЦ БГУ/2000. — С. 179-182.,

5. Таров В.А. Об одном классе монотонных медленнно меняющихся функций // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математика. — 2003. — Вып. 1. — С. 121-131.

6. Таров В.А. О функциях, эквивалентных монотонным медленно меняющимся функциям // Спектральная теория дифференцильных операторов и родственные проблемы: Труды международной научной конференции, Стерлитамак, 24-28 июня 2003. Т. 2. — Уфа: Гилем, 2003. — С. 207-211.

Таров Владимир Андреевич

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ ФУНКЦИЙ И СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 05.05.2004 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл.печ.л. 1,49. Уч.-издл. 1,17. Тираж 100 экз. Заказ 309.

Редакционно-издательский отдел Башкирского государственного университета 450074, РБ, г.Уфа, ул.Фрунзе, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г.Уфа, ул.Фрунзе, 32.

»11088

Указатель основных обозначений

Введение

Глава 1. Интегральные преобразования медленно меняющихся функций и правильно дифференцируемые функции

§1. Несколько вспомогательных утверждений.

§2. Свойства правильно дифференцируемых функций

§3. Среднее функции на луче.

§4. Неполное среднее функции на отрезке.

§5. Обобщённое среднее функции на луче.

§6. Обобщённое неполное среднее функции на отрезке

§7. Последовательное применение обобщённого среднего на луче и обобщённого неполного среднего на отрезке

§8. Преобразование, связанное с производным преобразованием Стилтьеса.

§9. Функции, эквивалентные монотонным правильно меняющимся функциям.

§10. Функции конечного порядка.

§11. Целые функции с правильно меняющимися характеристиками

Глава 2. Совершенные уточнённые порядки

Глава 3. Тип субгармонической функции нулевого порядка ~

§1. Формулы типа субгармонической функции нулевого порядка

§2. Точные оценки типа субгармонической функции нулевого порядка.

В диссертации исследуются асимптотические свойства субгармонических функций нулевого порядка, а также свойства медленно меняющихся функций, которые используются при изучении роста субгармонических функций нулевого порядка.

Изучением роста субгармонических функций нулевого порядка занимались Валирон Ж. [50]—[54], Хейман В.К. [46], Эдрей А., Фукс Дж. [47], Гольдберг А.А. [7, 9, 12], Братищев А.В. [2, 3], Коробейник Ю.Ф. [4], Заболоцкий Н.В. [14]—[18], Шеремета М.Н. [41, 49] и др. математики.

Асимптотические свойства медленно меняющихся функций исследовались Де Бруином Н.Г. [45], Балкемой А.А., Гелуком Ж.Л., Де Хаан L. [43], Гольдбергом А.А. [8] и рядом других авторов.

Приведём некоторые обозначения и определения.

Символами N, Z, Z+, Ш и С будем соответственно обозначать множества натуральных, целых, целых неотрицательных, вещественных и комплексных чисел.

Полагаем, что кр = +оо, если к G (1,оо) и р = +оо или если к (Е (0,1) и р = —оо; кр = 0, если к G (0,1) и р = +оо или если к € (1, сю) и р= —оо; 1Р = 1 Vp € [—оо, +оо].

Определение 0.1 (ср. [32]). Измеримая положительная на некотором луче (а, оо), а ^ 0, функция h(r) называется правильно меняющейся порядка р € [—оо,+оо], h{r) 6 Rp, если для любого к > 0 цт = (0.1) r-Я-оо h{r)

Определение 0.2 (см. [32]). Если h(r) Е -Ro> то Мг) называется медленно меняющейся функцией.

Определение 0.3 (ср. [44]). Непрерывно дифференцируемая в не-котой окрестности +оо правильно меняющаяся функция h(r) порядка p G [—со, +оо] называется нормализованной, h(r) G NRp, если lim rh'{r)/h{r) = p. (0.2) г—>+oo

Пусть п € R. Будем считать, что р — п = 4-оо, если р = +оо, и р — п — —оо, если р = —оо. Полагаем также, что +оо • (+со) = +оо, —оо • (+оо) = —оо.

Определение 0.4 (ср. [44]). Положительная бесконечно дифференцируемая на некотором луче (а, оо), а ^ 0, функция h(r) называется гладко меняющейся функцией порядка р £ [—оо, +оо], h{r) 6 SRP, если для любого п G N rnh№(rI аз)

Условимся называть функции /г(г) и р(г) эквивалентными, если эти функции эквивалентны при г —> +оо.

Любая правильно меняющаяся функция порядка р Е R эквивалентна [44, теорема 1.8.2] некоторой гладко меняющейся функции того же порядка р.

Из (0.3) вытекает, что гладко меняющаяся функция порядка р G [—оо,+оо], являясь (утверждение 1.4) правильно меняющейся функцией этого же порядка р, имеет, помимо свойства (0.1), дополнительные свойства, сходные со свойствами степенной функции.

Кроме того, если учесть вышеупомянутую теорему 1.8.2 [44], то ввиду (0.3) заключаем, что любая правильно меняющаяся функция порядка /эб1\0 эквивалентна функции, которая строго монотонна в некоторой окрестности +оо.

Оказывается, что медленно меняющиеся функции, эквивалентные монотонным, обладают рядом свойств, сходных со свойствами правильно меняющихся функций порядка р Е K\Z+.

Дадим следующее

Определение 0.5. Положительная бесконечно дифференцируемая на некотором луче (а, +оо), а ^ О, функция h(r) называется правильно дифференцируемой функцией порядка р Е [—оо,+оо], h(r) Е DRp, если h(r) eRp и |/i<n)(r)| Е Rp-n Vn E N.

Множество всех правильно дифференцируемых функций обозначим через DR.

Заметим (см. утверждение 1.4), что DRp d SRp, но не всякая гладко меняющаяся функция является правильно дифференцируемой. Например, если р Е N, то rp Е SRP, но rp ^ DRP. Однако если р Е К. \ Z+, то =

В главе 1 с использованием ряда интегральных преобразований для любой монотонной медленно меняющейся функции получена эквивалентная ей правильно дифференцируемая функция.

В §1 главы 1 рассмотрено несколько вспомогательных утверждений.

Свойства правильно дифференцируемых функций изучаются в §2 главы 1. В этом параграфе, в частности, доказаны следующая

Теорема 1.1. Пусть функция h(r) положительна и бесконечно дифференцируема на некотором луче (ао,оо), ао ^ 0, причём для любого п Е N найдётся такое ап ^ ао, что h^(r) ф 0 при г > ап. Тогда h(r) Е DRp в том и только в том случае, когда гД(п+1)(г) lim f, w ч = p — n Vn € Z+. г-Ц-oo fr(n)(r)

Обобщением известного правила Лопиталя является

Утверждение 1.5. Если для бесконечно дифференцируемой на интервале (а, оо), a Е [—оо,+оо), вещественнозначной функции h(r) для любого п Е Z+ найдётся такое ап ^ а, что h^(r) ф 0 при г > ап, и существует предел lim^+oo hSn\r), равный —оо, -foo или О linir-j.+oo h(r) может быть и конечным не равным нулю числом d, если |/i(r) — d\ — медленно меняющаяся функция), то для любого к > О имеет место бесконечная цепочка неравенств r-»+oo h(r) r->+oo (h[r)Y r-Ц-оо (h{r)){n>

Ответ на вопрос о том, для каких функций приведённая выше цепочка неравенств обращается в цепочку равенств даёт

Теорема 1.2. Пусть h(r) — бесконечно дифференцируемая на интервале (о, оо); a G [—оо, +оо), вещественнозначная функция, причём для любого п G Z+ найдётся такое ап ^ а, что h^n\r) ф 0 при г > ап. Тогда для любого к > 0 имеет место ми . (МИ)(п) w ™ lim -VT- = lim \Л Nw ч Vn G N r-Я-oo h[r) r-t+oo (fl{r)pn> в том и только в том случае, когда |/г(г)| Е DR.

Для вещественнозначной измеримой на луче [а, оо), а ^ 0, функции h{r) такой, что функция h(r)/r2 интегрируема на этом луче, рассмотрим преобразование: г f°° h(t)/t2 dt при г > а и при г = а, если а > 0;

0.4) h(0) при г = 0, если а — 0.

Функцию g(r), будем называть средним функции h(r) на луче [а, оо). Свойства преобразования (0.4) изучаются в §3 главы 1.

Рассмотрим следующее преобразование вещественнозначной, измеримой, локально интегрируемой на луче [а, оо), а ^ 0, функции Л(г): g(r) = <

1/г) /аг h(t) dt при г > а и при г = а, если а > 0; ^ г(0) при г = 0, если а = 0.

Функцию #(г) будем называть неполным средним h(r) на отрезке. Заметим, что (интегральным) средним функции h(r) на отрезке [а, г] называется (см. [42]) величина да(г) = (1 /(г— а)) Ц h(t)dt. Отметим также, что если а = 0, то при г > а д(г) = да{г), а если а > 0 и д(г) > 0 в некоторой окрестности +оо, то g(r) ~ да{г) при г —> +оо.

Свойства преобразования (0.5) изучаются в §4 главы 1.

Пусть h(r) € NRq] на луче (а, оо), а ^ 0, h(r) дважды дифференцируема, h(r) > 0 и Ы(г) > 0; limr>+00 h(r) = +оо. На луче [6, оо), Ь > а, рассмотрим преобразование где (р(г) — дважды непрерывно дифференцируемая, положительная, возрастающая на луче [6, оо) функция; <р~г(г) — определённая на луче [</?(&), оо) функция, обратная к функции cp(r); fi(r) — непрерывно дифференцируемая, положительная, неубывающая на луче [Ь, оо) функция.

Отметим, что если в (0.6) положить <р(г) = г и p(r) = 1 Vr € [6, оо), то в этом случае преобразование (0.6) является преобразованием (0.4) на луче [6, оо). Функцию д(г) в (0.6) будем называть обобщённым средним h(r) на луче [Ь, оо).

В §5 главы 1, ^ частности, показано, что в (0.6) можно подобрать число Ь и построить по h(r) <р(г) и (3(г) так, чтобы (теорема 1.3) д{г) была эквивалентна h(r) и выполнялось равенство Шг.++00гд"(г)/д'(г) = -1, причём если Иmr^+00rh"{r)/h'(r) ^ -1, то lim rg"{r)/g'{r) = -1. (0.7)

Г—Ц-ОО

Пусть h(r) е NRo-, на луче (а, оо), а ^ 0, h(r) дважды дифференцируема, h(r) > 0 и h'{r) > 0; linv^+oo h(r) = +оо. Рассмотрим на луче [с, оо), с > а, преобразование s(r) = W)[ "WW - hW dt' (°-8) где u(r) — дважды непрерывно дифференцируемая, положительная, возрастающая на луче [с, оо) функция.

Заметим, что если h(c) = 0 и в (0.8) положить (p{r) = г Vr G [с, оо), то в этом случае преобразование (0.8) представляет собой преобразование (0.5) на луче [с, оо). Функцию д(г) в (0.6) будем называть обобщённым неполным средним h(r) на отрезке.

В §6 главы 1, в частности, показано, что в (0.8) можно подобрать число с и построить по h(r) uj(r) так, чтобы (теорема 1.4) д(г) была эквивалентна h(r) и имело место равенство ]m\r^+00rg"{r)/g'{r) = —1, причём если Иmr^+OQrh"{r)/h'{r) ^ —1, то верно (0.7).

В §7 главы 1 для любой медленно меняющейся функции h(r), монотонной и не равной константе в некоторой окрестности +оо, построена (лемма 1.28) такая эквивалентная ей дважды непрерывно дифференцируемая и положительная на луче (0,оо) функция <?(г), что имеет место (0.7). Отметим, что в этом построении использовались преобразования (0.4) и (0.5) и последовательно применялись преобразования (0.6) и (0.8). Отметим также, что для полученной д{г) выполняется неравенство д'(г) > 0 (д'{г) < 0) при г > 0, если h(r) не убывает (не возрастает). Из указанных неравенств для д'(г) и (0.7) следует, что \rg'(r)\ Е NRo.

Заметим, что в [8] для любой монотонной медленно меняющейся функции h(r) построена эквивалентная ей непрерывно дифференцируемая функция д(г), такая, что rg'(r) G Rq. В указанном построении на последовательности отрезков, покрывающих полупрямую, "исправлялась" производная некоторой функции, связанной с h(r). При таком построении некоторые свойства исходной функции утрачиваются. Например, если 1пД(ег) вогнута, то In д(ег) вогнутой не будет.

Пусть h(r) е Rp, где р Е (—1,1), и h(r) неотрицательна на луче [О, оо). Рассмотрим преобразование

Отметим, что преобразование /0°° h(t)/(t + г)2 dt называется [40] производным преобразованием Стилтьеса.

В §8 главы 1 изучаются свойства преобразования (0.9).

С использованием вышеупомянутой леммы 1.28 и преобразования (0.9) в §9 главы 1 (теорема 1.5) показано, что для любой монотонной медленно меняющейся функции h(r) найдётся эквивалентная ей правильно дифференцируемая функция д(г), обладающая рядом дополнительных свойств. В частности, каждая производная д(г) имеет постоянный знак на (0, оо); если h[er) выпукла в окрестности +оо, то д{ег) строго выпукла на R; если In h(er) вогнута в окрестности +оо, то In д(ег) строго вогнута на R.

Заметим, что если rh'(r) € Ro, то по теореме 16 [43] для h{r) найдётся эквивалентная ей g(r) G DRq, причём для каждой производной д(г) найдётся своя окрестность +оо, в которой эта производная имеет постоянный знак. Построение, использованное в указанной теореме, не обеспечивает сохранение некоторых свойств исходной функции h(r). Например, если h(er) (ln/i(er)) выпукла (вогнута), то д(ег) (1п<?(ег)) не будет выпукла (вогнута).

Обратим внимание на то, что класс возрастающих медленно меняющихся функций такой, что если h(r) принадлежит этому классу, то в некоторой окрестности +оо функция h(er) выпукла, а функция 1 nh(er) вогнута, находит применение (см. [4], [27]) при исследовании асимптотических свойств субгармонических функций нулевого порядка.

0.9)

В теореме 1.6 для любой правильно меняющейся функции h(r) порядка р 6 R \ {0} получена эквивалентная ей гладко меняющаяся функция д(г), бесконечно дифференцируемая и положительная на луче (0, сю) и имеющая ряд других дополнительных свойств, причём если функция h(r)/rp эквивалентна монотонной функции, то д(г) — правильно дифференцируемая функция.

В §10 главы 1 для любой функции h(r) конечного порядка построена функция g(r) Е DRP с некоторыми дополнительными свойствами такая, что h(r) имеет нормальный (т. е. конечный положительный) тип при д(г), причём g(r) Е DRP, если Нтг»+00 h(r)/rp > 0.

В §11 главы 1 изучаются свойства целых трансцендентных функций порядка меньше 1 с правильно меняющимися характеристиками, у которых все нули расположены на одном луче.

В многочисленных работах, особенно в работах, касающихся роста субгармонических функций (частным случаем которых являются логарифмы модулей целых функций) положительные в окрестности +оо функции сравниваются с функциями вида h(r) = гр(т\ где р(г) — уточнённый порядок.

Определение 0.6 (см. [23]). Вещественнозначная дифференцируемая на некотором луче (а, + оо), а ^ 0, функция р(г) называется уточнённым порядком, если linv-я-оо p(r) = р, р е R,. и linV-^+oo г lnrp'(r) = 0.

Функция h(r) = rp(r\ где р(г) — уточнённый порядок, является, как это следует из леммы 5 [23, гл.1, §12], правильно меняющейся функцией порядка р, если Нт^+оо р(г) = р.

Дадим следующее

Определение 0.7. Бесконечно дифференцируемый в некоторой окрестности +оо уточнённый порядок р(г) называется совершенным, если для любого п € N lim rn In rp(n) (г) = 0. (0.10)

Г-++00 4 v '

В главе 2 (см. ниже теорему 2.1) установлена взаимосвязь между гладко меняющимися функциями конечного порядка и совершенными уточнёнными порядками.

Теорема 2.1. Пусть р Е №. Положительная бесконечно дифференцируемая на некотором луче (а, +оо), а ^ 0, функция h(r) является гладко меняющейся функцией порядка р тогда и только тогда, когда функция р\г) = —

In г является совершенным уточнённым порядком, для которого выполняется равенство lim р(г) = р.

J—У+ОО

Дадим ещё одно определение.

Определение 0.8 (см. [24]). Уточнённые порядки р\{г) и P2W называются эквивалентными, если linv^+oo^^r) — Р2 W) lnr = 0.

Следствием теоремы 2.1) является существование для любого уточнённого порядка эквивалентного ему совершенного уточнённого порядка. В частности, для любого уточнённого порядка найдётся эквивалентный ему сильный уточнённый порядок, т. е. дважды дифференцируемый в окрестности +оо уточнённый порядок, для которого выполнено (0.10) при п = 2.

В теореме 2.2 показано, что для любой <р(г) 6 Лр, р £ R, найдётся её совершенный уточнённый порядок, т. е. совершенный уточнённый порядок, при котором <р(г) имеет нормальный тип, причём ^ на некотором луче [Ь, оо).

В §1 главы 3 рассматриваются некоторые свойства субгармонических функций нулевого порядка. В частности, для этих функций получены формулы типа и нижнего типа, причём если субгармоническая функция является логарифмом модуля целой функции, то типы вычисляются через нули целой функции.

В §2 главы 3 (теорема 3.2) найдены точные оценки типа субгармонических функций нулевого порядка через верхнюю и нижнюю плотности распределения масс, а также через верхнюю плотность распределения масс и нижний тип. Точность оценок показана для каждой функции h(r), используемой в теореме 3.2 для получения характеристик субгармонических функций нулевого порядка.

Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах: [27]-[29], [33]—[35]. Работы [27]—[29] выполнены в соавторстве с научным руководителем проф. В.В. Напалковым. Результаты диссертации, которые опубликованы в этих трёх работах, получены автором диссертации.

Отметим, что основные результаты главы 1 диссертации опубликованы в [28], [29], [34] и [35], главы 2 — в [28] и [29], главы 3 — в [27] и [33]. Лемма 1.19, а также отдельные утверждения лемм 1.15, 1.26 и теоремы 1.8 опубликованы в [34]. Теорема 1.5, утверждение 1.5 и частные случаи утверждения 1.6 опубликованы в [29] и [35], теорема 1.6 — в [29]. Теорема 2.1 и следствие этой теоремы опубликованы в [28] и [29]. Утверждения 3.1 и 3.3, следствия 1 и 2 утверждения 3.3, теорема 3.1, утверждение 3.4 и следствие этого утверждения опубликованы в [27]. Основные утверждения теоремы 3.2 опубликованы в [33].

1. Брайчев Г.Г. О некоторых характеристиках аналитических функций логарифмического роста // Теория операторов, субгармонические функции. — Киев, 1991. — С. 12-24.

2. Братищев А.В. Несколько замечаний о субгармонических в плоскости функциях нулевого порядка // Матем. заметки. — 1982. — Т.31. — Вып. 3. — С. 363-373.

3. Братищев А.В. Об обращении правила Лопиталя // Сб. "Механика сплошной среды". — Ростов-на-Дону: РГУ, 1985. — С. 28-42.

4. Братищев А.В., Коробейник Ю.Ф. О некоторых характеристиках роста субгармонических функций // Матем. сб. — 1978. — Т.106(148). — №1(5). — С.44-65.

5. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. — М.: Наука, 1965. — 424 с.

6. Валирон Ж. Аналитические функции. — М.: ГИТТЛ, 1957. — 236 с.

7. Гольдберг А.А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложение к теории целых функций. II. // Матем. сб. — 1963. — Т.61 (103). — №3. — С. 334-349.

8. Гольдберг А.А. Интегральное представление монотонных медленно меняющихся функций // Известия вузов. Сер. матем. — 1988. — №4. С. 21-27.

9. Гольдберг А.А., Заболоцкий Н.В. Индекс концентрации субгармонической функции нулевого порядка // Матем. заметки. — 1983. — Т. 34. — Вып. 2. — С. 227-236.

10. Гольдберг А.А., Коренков Н.Е. Асимптотика логарифмической производной целой функции вполне регулярного роста // Укр. матем. журн. — 1978. — Т. 30. — № 1. — С. 25-32.

11. Гольдберг А.А., Коренков Н.Е. Асимптотика логарифмической производной целой функции нулевого порядка // Укр. матем. журн. — 1978. — Т. 30. — Ко 3. — С. 291-298.

12. Гольдберг А.А., Островский И.В. О производных и первообразных целых функций вполне регулярного роста // Сб. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения". — 1973. — Вып. 18. — С. 70-81.

13. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. — М.: Наука, 1979. — 320 с.

14. Заболоцкий Н.В. Обобщение одной теоремы И.Ф. Красичкова / Львов, гос. ун-т. — Львов. 1981. — 9 с. — Деп. в ВИНИТИ 11.01.82, №129-82.

15. Заболоцкий М.В. Теореми типу Вал1рона-Тгтчмарша для щлих функцш нульовогу порядку // Укр. матем. журн. — 1996. — Т. 48. — №3. — С. 315-325.

16. Заболоцкий Н.В. Сильно регулярный рост целых функций нулевого порядка // Матем. заметки. — 1998. — Т. 63. — Вып. 2. — С. 196-208.

17. Заболоцкий Н.В. Существование угловой плотности корней целых функций нулевого порядка // Матем. заметки. — 2003. — Т. 73. — Вып. 5. — С. 698-703.

18. Заболоцкий Н.В., Шеремета М.Н. О медленном возрастании основных характеристик целых функций// Матем. заметки. — 1999. — Т. 65. — Вып. 2. — С. 206-214.

19. Зорин В.А. Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981.544 с.

20. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. — 424 с.

21. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. — 624 с.

22. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. — М.: Физматгиз, 1958. — 272 с.

23. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. — М.: ГИТТЛ, 1956. — 632 с.

24. Маергойз Л.С. Индикаторная диаграмма целой функции уточнённого порядка и её обобщённые преобразования Бореля-Лапласа // Алгебра и анализ. — 2000. — Т. 12. — Вып. 2. — С. 1-63.

25. Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. Избранные задачи по вещественному анализу. — М.: Наука, 1992.432 с.

26. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. В 2-х т. Том II. Дальнейшее построение теории. — М.: Наука. — 1968. — 624с.

27. Напалков В.В., Таров В.А. О некоторых свойствах субгармонических и целых функций нулевого порядка // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. Сборник статей. М.: АФЦ, 1999. — С. 113-129.

28. Напалков В.В., Таров В.А. Правильно меняющиеся функции и уточнённые порядки // Вестник УГАТУ. — 2003. — Т. 4. — № 1.С. 48-54.

29. Напалков В.В., Таров В.А. Функции, эквивалентные правильно меняющимся функциям // Доклады АН. — 2003. — Т. 391. — Kq 5. — С. 598-601.

30. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть вторая. Теория функций (специальная часть). Распределение нулей. Полиномы. Определители. Теория чисел. — Наука, 1978. — 432 с.

31. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. — М.: Наука, 1971. — 432 с.

32. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985.144 с.

33. Таров В.А. Об одном классе монотонных медленнно меняющихся функций // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. матем. — 2003. — Вып. 1. — С. 121-131.

34. Титчмарш Е. Теория функций. — М.: ГИТТЛ, 1951. — 508 с.

35. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х т. Т. 2. — М.: Мир, 1984. — 738 с.

36. Харди Г.Г., Литлльвуд Дж.Е. и Полиа Г. Неравенства. Пер. с англ.М.: Гос. изд. ин. лит., 1948. — 456с.

37. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. Пер. с англ.М.: Мир, 1980. — 304с.

38. Хиршман И.И., Уиддер Д.В. Преобразования типа свёртки. — М.: ИЛ, 1958. — 313 с.

39. Шеремета М.Н. О связи между ростом целых или аналитических в круге функций нулевого порядка и коэффициентами их степенных разложений // Известия вузов. Сер. Математика. — 1968. — Ко6 (73). — С.115-121.

40. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Части 1-2. — М.: Наука, 1969. — 528 с.

41. Balkema А.А., Geluk J.L., De Haan L. An extension of Karamata's Tauberian theorem and its connection with complementary convex functions // Quart. J. Math. Oxford(2). — 1979. — V.30. — № 120.C. 385-416.

42. Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J.L. Regular variation. Encyclopedia of mathematics and its applications. V.27. — Cambridge: Cambridge University Press, 1987. — XX+491 c.

43. Bruijn N.G. De. Pair of slowly varying functions occuring in asymptotic problems concerning the Laplace transform // Niew. Arch. Wisk. — 1959. — V. 7. — C. 20-26.

44. Hayman W.K. Slowly Growing Integral and Subharmonic Functions 11 Comment, math. helv. — 1960. — V. 34, № 1. — C. 75-84.

45. Lee С.М. Generalization of L'Hopital's rule// Proc. Am. Math. Soc.1977. — V. 66. — №2. — C. 315-320.

46. Sheremeta M.M., Tarasyuk P.I., Zabolotskii M.V. On asymptotic of entire functions of finite logarithmic order // Матем. физика, анализ, геометрия. — 1996. — Т. 3. — № 1-2. — С. 146-163.

47. Valiron G. Sur les fonctions entieres d'ordre null // Math. Ann. — 1911. — V.70. — C. 471-498.

48. Valiron G. Sur les fonctions entieres d'ordre null // C. R. — 1913.V.156. — C. 534-536.

49. Valiron G. Sur les fonctions entieres d'ordre null et d'ordre fini et en particulier les fonctions a correspondance reguliere // Ann. fac. sci. univ. Toulouse (3). — 1914. — V. 5. — C. 117-257.

50. Valiron G. Les progres de la theorie des fonctions entieres depuis 1900 // Borel E. Legons sur les fonctions entieres. — Paris: Gauthier-Villars et Cie, 1921. — C. 124-155.

51. Valiron G. Lecture on the General Theory of Integral Functions. — Toulouse: E. Privat, 1923. — 208 c.