Асимптотические свойства некоторых ортогональных систем

Приходько, Максим Александрович

Асимптотические свойства некоторых ортогональных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Приходько, Максим Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Асимптотические свойства некоторых ортогональных систем»

Автореферат диссертации на тему "Асимптотические свойства некоторых ортогональных систем"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

ООЗОбТОВВ

На правах рукописи

ПРИХОДЬКО Максим Александрович

УДК 517.5

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ

(01.01.01.— математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

003067068

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Сорокин

доктор физико-математических наук, профессор В. А. Калягин

кандидат физико-математических наук, A.B. Червов

Институт прикладной математики РАН им. М. В. Келдыша

Защита диссертации состоится 9 февраля 2007 г. в 1615 на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 9 января 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 доктор физико-математических наук, профессор

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Т. П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация относится к классическому разделу математического анализа — она посвящена изучению асимптотического поведения ортогональных систем, связанных с классическими ортогональными многочленами и другими классами специальных функций.

Дано приложение полученных асимптотических формул к задачам теоретической физики, а именно к теории водородоподобного атома и гармонического осциллятора в модели Козлова-Никишина.

В начале введения мы даем краткое описание этой модели, которая порождает ряд интересных ортогональных систем, изучению которых посвящена диссертация.

Затем формулируются основные результаты диссертации.

Предшествующие работы в этом направлении (см. ссылки ниже) были посвящены решению аналогичных задач, но в классических нерелятивистских моделях.

Исследование энтропии и энтропийного соотношения неопределенности различных систем привлекает все большее внимание.

Существует множество работ, написанных на эту тему1 2 3 4, однако все они ограничиваются нерелятивистским случаем. Один из способов исследования релятивистского случая предложили В. В. Козлов и Е.М. Никишин5 для пространства Минковского с тремя пространственными и одной временной координатами.

В 1986 г. В.В. Козлов и Е.М. Никишин предложили модель взаимодействия релятивистских частиц, отличающуюся от общепринятых подходов Клейна-Гордона и Дирака. В частности, в рамках этой модели была получена формула Бора для энергетических уровней атома, а также волновая функция для координатного представления.

Дальнейшее исследование модели не проводилось.

Цель работы.

1. Исследовать асимптотическое поведение информационной энтропии ато-

1J. S. Dehesa, R. J. Yanez, А. I. Aptekaiev and V. Buyarov. Strong asymptotics of Laguerre polynomials and information entropies of two-dimensional harmonie oscillator and one-dimensional Coulomb potentiels. J. Math. Phys. Volume 39, Number 6. June 1998. P. 3050-3060.

sYanez R.J., Van Assche W., Dehesa J.S. Position and momentum information entropies of the D-dimensional harmonie oscillator and hydrogen atom. Phys. Rev. 1994. A 50. P. 3065-3079.

3Dehesa J.S., Martinez-Finkelshtein A., Sorokin V.N. Quantum-information entropies for highly-excited states of single-particle systems with power-type potentiels. Phys. Rev. 2002. A 66. P. 1-7.

4Dehesa J.S., Martinez-Finbelshtein A., Sorokin V.N. Asymptotics of information entropies of some Toda-Iike potentials. J. Math. Phys. 2003. V. 44. N 1. P. 36-47.

^Козлов В. В., Никишин Е. M. Релятивистский вариант гамильтонова формализма и волновые функции водородоподобного атома. Вестник Московского Университета. Серия 1. Математика. Механика. №5. М., 1986. С. 11-20.

ма водорода и гармонического осциллятора в модели Козлова-Никишина при различных предельных переходах.

2. Исследовать соотношения неопределенности для этих переходов.

3. Получить общий вид волновой функции в импульсном представлении.

Методы исследования. В диссертации применяются асимптотические методы анализа, методы теории аналитических функций, методы теории специальных функций и дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Основные результаты работы следующие.

1. Описано асимптотическое поведение волновых функций атома водорода и гармонического осциллятора в модели Козлова-Никишина как в координатном, так и импульсном представлениях при различных предельных переходах.

2. Получены волновые функции в импульсном представлении для произвольного централыюсимметричного поля.

Все перечисленные результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории функций, функциональном анализе и квантовой механике. В дальнейшем они могут быть использованы специалистами, работающими в МГУ им. М. В. Ломоносова, МИАН им. В. А. Стеклова, ИПМ им. М. В. Келдыша, ИТЭФ им. А. И. Алиханова, Нижегородском филиале ВШЭ.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа в МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством проф. А. И. Аптекарева, проф. В. Н. Сорокина и доц. В. С. Буярова, в отделе комплексного анализа МИАН им. В. А. Стеклова под руководством ак. РАН А. А. Гоначара, чл.-к. РАН Е. М. Чирки и проф. А. И. Аптекарева.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 2 работах автора, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введе-

ния, двух глав и списка литературы, содержащего 13 наименований. Общий объем работы 51 страница.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы основные результаты диссертации. Приводится кратко описание модели Козлова-Никишина.

Конфигурационное пространство системы — это четырехмерное пространство Минковского 0 = К4 с декартовыми координатами {й = (<Л, х, у, г)} и с иденфинитной метрикой

з2 = сЧ2-х2-у2-г2. (1)

Здесь с — скорость света; х, у, г — пространственные координаты частицы относительно центра взаимодействия, £ — рассогласование собственных времен частицы и центра. Обозначим

/С = {я е О : в2 < 0}

прострапственноподобный конус в конфигурационном пространстве.

Для того, чтобы частица могла взаимодействовать с центром, рассогласование времен должно быть "достаточно мало". Формально, это условие сводится к тому, что точка 5 принадлежит пространственноподобному конусу

/С = {й : в2 < 0}.

Таким образом, состояние системы описывает волновая функция

Ф : /С —» С, удовлетворяющая лоренц-инвариантному уравнению Шредин-

гера

+ (2)

\дх2 ду*^ дгУ

— оператор Даламбера, т. е. кинетическая энергия частицы, и — потенциальная энергия, Е — полная энергия (не включающая в себя внутреннюю энергию то с2). Здесь Н — постоянная Планка, то — масса частицы. В общем случае полагают

и = Щр), р> о,

где р2 = -в2 = х2 + у2 + 22 - сЧ2 > 0.

В атомной системе единиц рассматриваемое уравнение принимает вид

(-£ + □ +ОД) Ф = 0, (3)

Это уравнение инвариантно относительно группы Лоренца, т. е. группы линейных преобразований конфигурационного пространства, сохраняющих квадратичную форму (1).

Наряду с конфигурационным пространством 0 рассмотрим сопряженное пространство импульсов Р = (3* = К4 с декартовыми координатами

5* = (&*,х*,у*,г*), которые имеют смысл энергии и трех импульсов соответственно, и с иденфинитной метрикой, аналогичной (1). Обозначим К* пространственноподобный конус в сопряженном пространстве.

Переход от координатного представления к импульсному осуществляет преобразование Фурье, которое в безразмерных единицах имеет вид

= (4)

где

= <?и* - хх* — уу* - гг*

иденфинитное скалярное произведение, а в,¡¿(в) = с сИ йх йу ¿г — элемент объема. Тогда Ф* будет волновой функцией в импульсном представлении. Напомним, что мы рассматриваем волновые функции Ф, определенные в конусе К., тем самым в (4) полагаем Ф = О вне К.

Определим гильбертово пространство Л — подпространство в состоящее из функций, носители преобразований Фурье кото-

рых принадлежат К.*. Аналогичным образом определим сопряженное пространство Н*. Тогда преобразование Фурье будет унитарным оператором

*:Н—+ Н*.

В модели Козлова-Никишина ищутся решения стационарного уравнения Шредингера (3) с потенциалом II(р) — — принадлежащие гильбертову пространству И.. Ищутся связные состояния системы, т.е. решения уравнения (3), интегрируемые с квадратом: Ф 6 Ь2(/С).

В работе5 было показано, что дискретный спектр уравнения (3) состоит из энергитических уровней, определенных формулой Бора:

= п = 1,2,3,...

п2

Соответствующие собственные функции Фп,и,1,т нумеруются четырьмя квантовыми числами, а именно:

• п — 1,2,3,... — главное квантовое число,

• V = |,|,...,п — | — квантовое число, не имеющее аналога в классическом случае и связанное с временной координатой,

• 1 = р, и + 1,1/ + 2,... — орбитальное квантовое число,

• т = —I, —1+1,...,1 — магнитное квантовое число.

Выбор связных состояний с фиксированными квантовыми числами обусловлен законами сохранения соответствующих физических величин.

Для квантовых чисел п, т мы используем стандартную терминологию. Квантовое число V не имеет аналога в нерелятивистской теории, оно

появляется из-за временной координаты. Но фактически, число v также, как числа I и т, связано с законами сохранения вращательного момента и его проекций.

Волновые функции были получены в работе5 методом разделения

переменных в псевдосферических координатах. А именно, в пространствен-ноподобном конусе /С вводятся следующие криволинейные координаты:

t = psh'4>, 0 < р < +оо,

z — pch^cosfl, — сю < чр < +оо,

у = Р chip sine COS <Р, 0 < в < 7Г,

х — pchipsindsinip, — оо < ip < +00 (mod 27г), (5)

Элемент объема в псевдосферических координатах равен d/x = p3ch2^sin0dp¿ф dd dip.

Тогда

Фп {в м-

Радиальная составляющая выражается через многочлен JIareppa:

ÄnAp) = ^АМ Ап<и(р) = p«+}e-ZLt} (&) , Р5 \nj

(6)

где k = п — V — | = 0,1,2, —

Временная составляющая выражается через собственные функции потенциала Пешля-Теллера6

¿P 1(1+11 2гТ1

-г-гТ + 9 'Т = 1У2Т,

#2 ch2 V

а именно

где

Г = -i-Т + 1 + 1

и (p)fc — p(p + 1) • • • • • (p + к — 1) — символ Похгаммера. Угловая составляющая — это сферическая функция

УЫ(в, ф) = Öi,m(Ö) - Су SinH 0С™3 (СО8 0),

6Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. Мир, М., 1974

где — многочлен Гегенбауэра.

Здесь С а, От, Су — положительные нормировочные постоянные.

В первой главе в дополнение к работе5 вычислены волновые функции в импульсном представлении.

Для произвольного центрально-симметричного потенциала волновая функция в импульсном представлении, как и в координатном представлении, разделяется по переменным и фактически состоит двух частей — не зависящей от вида потенциала угловой составляющей и радиальной функции, которая зависит от вида потенциала II (р) и вычисляется с помощью интегрального преобразованием, ядром которого является функция Бесселя. При этом угловая составляющая отличается от нерелятивистского случая добавлением функции отвечающей за временную координату.

Теорема 1. Волновые функции в импульсном представлении имеют вид

где

Км- [АпАр)^-РЫр. (7)

Для радиальной волновой функции в импульсном представлении вычислена равномерная асимптотика при п —» оо.

Теорема 2. При тг —> оо имеет место равномерная асимптотическая формула

ИШЬ <8>

где

ф = аг^(пр).

Вычислена энтропия волновой функции в координатном и импульсном представлении при различных предельных переходах. Наибольший интерес помимо очевидного перехода п —> оо представляют случаи / —> оо при фиксированных ти V и I — 1> —>■ оо.

Теорема 3. Для энтропии волновой функции в координатном и импульсном представлении верны следующие выражения:

1). При п —>оо, ? = I/ = т =

Бф = 81x1 п + 21п 2 + 41п тг + ^ + о(1),

5Ф. = —41пп+ 71п2 + 41п7г —— + о(1).

2а). При I —> оо, v — 771 = п = 1:

5Ф = 2Ы + 31п2 + 21птг + - +о(1), = 21П/ + 91П2 + 31птг + 7-^ + О(1).

2Ь). При V = I —> оо, п = I/ + §:

5$ = 7Ы + 31п2 + 21птг + | + о(1), 5ф. = -4Ы + 31п2 + 1птг + о(1).

Здесь и далее 7 — постоянная Эйлера.

Для доказательства теоремы 1 была доказана лемма об интегральном преобразовании временной составляющей волновой функции — функции Ти,1{Ф), которое является частью преобразования Фурье, следствием интеграла Сонина-Гегенбауэра и с точностью до константы совпадает с самой функцией Т^тр).

Лемма 1. Справедлива формула

оо /

ch\p Vachip

где

а = рр chip, b—ppshijj'.

В дополнение к основным результатам вычислены вакуумные волновые функции для основного состояния в координатном и импульсном представлениях, после чего вычислена их энтропия и исследована с точки зрения соотношения неопределенности.

Лемма 2. В основном состоянии

2е~Р 1 1 [2 e±!'f

Фу = ——---у=—з--V 81П0 ■

yJ'ZTT

<ь* _ 1 1 1 f~-—a e±i^

Лемма 3. Энтропийные соотношения неопределенности выполнены. S$v + = 71п7г + 81n2 - i - 7 « 12.4811 > 4(1 +1птг) и 8.57892.

у/Р 0 V 7Г V2?'

4л/2 1 11 /2

S$ + ~4Inn, n—► oo.

+ 5$. ~ 4 In Z —> oo, z/ = const.

5$ + 5ф. ~ 3 In I, l = v oo.

Во второй главе диссертации изучен случай гармонического осциллятора.

Найден вид радиальной составляющей волновой функции в координатном представлении, а также уровни энергии.

Теорема 4. Для гармонического осциллятора U = р2 радиальная составляющая волновой функции имеет вид

А(р) =

где L'* — многочлен Лагерра.

Уровни энергии:

Еп = 4n + 2(i/+ 1), п = 0,1,2____

Вычислена волновая функция в импульсном представлении, которая с точностью до константы совпадает с волновой функцией в координатном представлении.

Теорема 5. Радиальная составляющая волновой функции в импульсном представлении с точностью до константы совпадает с координатным представлением.

/w _ i'V'fHM^, _ Лиг.-Wv>.

J я* рр т

Вычислена асимптотика волновой функции в координатном и импульсном представлениях для различных предельных переходов. Исследованы предельные переходы, аналогичные тем, что были рассмотрены в первой главе.

Теорема 6. Для асимптотики волновой функции в координатном и импульсном представлении верны следующие выражения:

1). При п —► oo, I — и = то =

= = 2 In п + 4 In 2 + 4 In 7Г — - 4- о(1).

2а). При I —► оо, I/ = m = п = 0:

7 -у

5ф = 5ф. = 2Ы + 1п2 + -1птг + 1 + ^ + о(1).

2Ь). При v = I —> oo, n = 0:

5$, = 5$. =ln/ + 21П7Г+-Ь2 + 2 + О(1).

Вычислены вакуумные волновые функции в основном состоянии в координатном и импульсном представлениях. Также вычислена их энтропия и исследована с точки зрения выполнения соотношений неопределенности.

Лемма 4. В основном состоянии

_ дф ПГе-4 1 1 /2 г—г е^

Фу = % = \ г- rZ ■ -:=—3-~ ■ W-Vsinfl- -=.

V V7^ \fp V^chv 7Г v^r

Лемма 5. Энтропийные соотношения неопределенности выполнены.

S$v + 5$-, = 4 - 7 + 2 In 2 + 71птг « 12.8222 > 4(1 + 1птг) « 8.57892.

+ ~ 4 In n, п —* оо.

5ф + ~ 4 In Z, i —> оо, v — const.

<S$ + ~ 2 In I = z/ —► оо, п — 0.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю В.Н. Сорокину за постоянное внимание, искреннюю заинтересованность, постановку интересной задачи, многочисленные обсуждения и ценные советы, а также всестороннюю поддержку в течение всего диссертационного исследования.

Работы автора по теме диссертации

[1] Приходько М. А. Асимптотика информационной энтропии для двумерного аналога релятивистского атома водорода в модели Козлова-Никишина. Математические заметки. Т. 78. Вып. 5. Ноябрь 2005. Стр. 727-744.

[2] Приходько М.А. Информационная энтропия релятивистской модели Козлова-Никишина. Теоретическая и математическая физика. Т. 148. Вып. 3. Сентябрь 2006. Стр. 444-458.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать 12. Об Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. ¿9, У5

Тираж 100 экз. Заказ 32

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Приходько, Максим Александрович

Введение

Глава 1. Информационная энтропия релятивистского атома водорода

1 Введение

2 Волновые функции связных состояний в координатном и импульсном представлении.

3 Асимптотическое поведение энтропии.

4 Принцип неопределенности.

Глава 2. Информационная энтропия релятивистского гармонического осциллятора

1 Решение уравнения.

2 Вычисление энтропии в координатном представлении.

3 Соотношение неопределенности.

Введение диссертация по математике, на тему "Асимптотические свойства некоторых ортогональных систем"

Диссертация относится к классическому разделу математического анализа — она посвящена изучению асимптотического поведения ортогональных систем, связанных с классическими ортогональными многочленами и другими классами специальных функций.

Дано приложение полученных асимптотических формул к задачам тео-ре1ической физики, а именно к теории водородоподобного атома и гармонического осциллятора в модели Козлова-Никишина.

Затем формулируются основные результаты диссертации. Предшествующие работы в этом направлении (см. ссылки ниже) были посвящены решению аналогичных задач, но в классических нерелятивистских моделях.

Состояние квантово-механической системы описывается волновой функцией определенной в конфигурационном пространстве, и удовлетворяющей уравнению Шредингера

ЯФ = £Ф,

Л где самосопряженный оператор Я — это гамильтониан системы, а Е — ее энергия Уравнение Шредингера служит выражением закона сохранения энергии.

Связным состояниям системы соответствуют интегрируемые с квадратом решения этого уравнения. Тогда |Ф|2 представляет собой плотность распределения частиц в конфигурационном пространстве (после соответствующей нормировки)

Переход к импульсному представлению Ф( q ) Ф*(д*) осуществляет преобразование Фурье. Важную роль во всей квантовой механике играет принцип неопределенности Гейзенберга, который в безразмерных величинах имеет вид

Aq ■ Aq* > с, где q — одна из обобщенных координат, с — некоторая константа, зависящая, например, от размерности пространства,

Д qf = ((q-{q)f).

Аналогичное выражение справедливо для Aq*. При этом q) = J q\*\2dlt. 3

С другой стороны для изучения меры неопределенности плотности вероятности используется так называемая информационная энтропия Больцма-на-Шеннона

В работе [6] было доказано неравенство

5ф + 5ф. > (1п7г+ 1) • D, где D — размерность конфигурационного пространства.

Это неравенство также описывает неопределенность квантово-механи-ческой системы и возможно является более точной мерой неопределенности.

Существует множество работ, написанных на эту тему (см., например, [9], [11], [7], [8]), однако все они ограничиваются нерелятивистским случаем. Один из способов исследования релятивистского случая предложили В В Козлов и Е. М Никишин [4] для пространства Минковского с тремя пространственными и одной временной координатами, т. е. для D = 3, где D в дальнейшем — число пространственных координат.

В 1986 г в работе [4] В. В. Козлов и Е. М. Никишин предложили следующую модель взаимодействия релятивистских частиц, отличающуюся от общепринятых подходов Клейна-Гордона и Дирака. В частности, в рамках эюй модели была получена формула Бора для энергетических уровней атома

Конфигурационное пространство системы — это четырехмерное пространство Минковского Q = М4 с декартовыми координатами {,s = (ct, x:y,z)} и с иденфинитной метрикой s2 = c2t2-x2-y2-z2. (1)

Здесь с — скорость света; х, у, z — пространственные координаты частицы относительно центра взаимодействия, t — рассогласование собственных времен частицы и центра. Обозначим

С = {s G Q : s2 < 0} пространственноподобный конус в конфигурационном пространстве. Соответственно,

JC± = {seQ:s>0,±ct>0} конусы абсолютного будущего и абсолютного прошлого, а

С0 = {s G Q : s2 = 0} световой конус

Для того, чтобы частица могла взаимодействовать с центром, рассогласование времен должно быть "достаточно мало". Формально, это условие сводится к тому, 41 о точка s принадлежит пространственноподобному конусу

С = {s : s2 < 0}.

Таким образом, состояние системы описывает волновая функция

Ф : К, —> С, удовлетворяющая лоренц-инвариантному уравнению Шредингера где dt2 С \дх2 + ду2 + dz2) оператор Даламбера, т.е. кинетическая энергия частицы, U — потенциальная энергия, Е — полная энергия (не включающая в себя внутреннюю энергию тос2) Здесь h — постоянная Планка, то — масса частицы. В общем случае полагают

U = U(p), р> о, где р2 = -s2 = х2 + у2 + z2 - c2t2 > 0.

В гамильтониан входят следующие физические постоянные:

• е0 = 4.80294 • Ю~10 ед. СГСЭ - заряд электрона,

• то = 9.1086 • Ю-28 г — масса электрона,

• с — 2.997928 • Ю10 см/сек — скорость света в вакууме,

• h — 1.054 • Ю-27 эрг • сек — постоянная Планка (введенная Максом Планком в 1900 г.).

Фактически в уравнении Шредингера вместо то должна стоять приведенная масса электрона, получающаяся после перехода к системе центра масс Но поскольку масса протона примерно равна 1840то, то столь малой погрешностью принебрегают.

Подчеркнем, что время t не является собственным временем электрона, это — рассогласование времени электрона и времени ядра. Этим объясняется выбор просгранственноподобного конуса в конфигурационном пространстве — для того, чтобы электрон мог взаимодействовать с ядром, рассогласование времен должно быть "достаточно мало".

В дальнейшем пользуемся атомной (кулоновской) системой единиц: h = ео = то = 1, также полагаем Z = 1, с = 1.

Перейдем к атомной системе единиц, в нашем случае совпадающей с кулоновской

• единица массы — то,

• единица длины — а» = ~~ — 0.529 • Ю-8 см — боровский радиус, т. е радиус первой боровской орбиты атома водорода (полученный Нильсом Бором в 1913 г),

• единица времени — = 0-24 • Ю-16 сек — характерное время атомных процессов,

• единица энергии — = 27.21 эл.-вольт,

• единица заряда — ео

Тогда рассматриваемое уравнение примет вид

-£ + □ +[/(р)) ф = 0, (3)

Это уравнение инвариантно относительно группы Лоренца, т. е группы линейных преобразований конфигурационного пространства, сохраняющих квадратичную форму (1).

Наряду с конфигурационным пространством Q рассмотрим сопряженное пространство импульсов Р = Q* = 1R4 с декартовыми координатами s* = (ct*,x*,y*,z*), которые имеют смысл энергии и трех импульсов соответственно, и с иденфинитной метрикой, аналогичной (1). Обозначим JC* пространственноподобный конус в сопряженном пространстве.

J Щз)е™'<1М, (4) Q где ц* * * *

SS = сtt — XX — уу — ZZ иденфинитное скалярное произведение, a dji(s) = с dt dx dy dz — элемент объема. Тогда Ф* будет волновой функцией в импульсном представлении. Напомним, что мы рассматриваем волновые функции Ф, определенные в конусе /С, тем самым в (4) полагаем Ф = 0 вне /С.

Определим гильбертово пространство Н — подпространство в Z/2(/C, cf/х), состоящее из функций, носители преобразований Фурье которых принадлежат №. Аналогичным образом определим сопряженное пространство ТС*. Тогда преобразование Фурье будет унитарным оператором

В модели Козлова-Никишина ищутся решения стационарного уравнения Шредингера (3) с потенциалом U(p) = принадлежащие гильбертову пространству Н. Ищутся связные состояния системы, т е. решения уравнения (3), интегрируемые с квадратом: Ф € L2(/C) Для волновых функций, нормированных условием

J |Ф|2g?/z = 1, dfi = dxdydzdt, к. величина |Ф|2 будет плотностью распределения вероятности обнаружения частицы в данной точке пространственноподобного конуса.

В работе [4] было показано, что дискретный спектр уравнения (3) состоит из энергитических уровней, определенных формулой Бора

Соответствующие собственные функции ФП)1/^тнумерую гея четырьмя квантовыми числами, а именно:

• п = 1,2,3,. — главное квантовое число,

• = — | — квантовое число, не имеющее аналога в классическом случае и связанное с временной координатой,

• I = и, и + 1,^ + 2,.— орбитальное квантовое число,

• т = —I, —l + l,.,l — магнитное квантовое число.

Выбор связных состояний с фиксированными квантовыми числами обусловлен законами сохранения соответствующих физических величин. Мы видим, что энергитические уровни Еп имеют бесконечное вырождение.

Для квантовых чисел п, I, т мы используем стандартную терминологию Квантовое число и не имеет аналога в нерелятивистской теории, оно появляется из-за временной координаты. Но фактически, число v также, как числа I и ш, связано с законами сохранения вращательного момента и его проекций

Волновые функции Ч!n,v,i,m были получены в работе [4] методом разделения переменных в псевдосферических координатах А именно, в простран-ственноподобном конусе К, вводятся следующие криволинейные координаты. t = рьЪф, z = р ch^cosf?, у = р ch ij; sin в cos </?, х = р ch 1р sin в sin ip,

0 < p < +oo,

- 00 < Ф < +00, о < 9 < 7Г, oo < (p < +oo (mod 2тг), (5)

Элемент объема в псевдосферических координатах равен dfi = pz ch2 ipsmO d pdtjj d6 dip.

Тогда

Фп ,f,l,m — An,и

Радиальная составляющая выражается через многочлен Jlareppa: где к = п — v — \ = 0,1,2, —

Временная составляющая выражается через собственные функции потенциала Пешля-Теллера [5] d2 т Щ-1-11 2гп Т + ^ 9 'Т = и Т, d-ф2 ch ф а именно

Ш = g-ЗД), где т мл 1 -*)*(" + * + !)* 1 ch (i/ + l )kk\ (e^ + lf1 к—О и (р)^ = р(р + 1) •. • (р + к — 1) — символ Похгаммера. Угловая составляющая — это сферическая функция

YltmiPM = QiAO) = CY sin,m| ocj^ (cos 0), где С^ ~ многочлен Гегенбауэра.

Здесь С а, Ст, Су — положительные нормировочные постоянные такие, что

00 ос j\CAAnM\2dp=l, j IСтТ„М\Чф = I,

О -00

2тг 7Г

J J \%n(0,<p)\2 Sine dO dip = I. 0 0

Отличительной особенностью этой модели является рассмотрение анги-периодических (по переменной <р) сферических функций.

Диссертация состоит из двух глав. В первой главе в дополнение к работе [4] получены результаты, позволяющие вычислить волновую функцию в импульсном представлении в общем виде.

Для произвольного центрально-симметричного потенциала волновая функция в импульсном представлении, как и в координатном представлении, разделяется по переменным и фактически состоит двух частей — не зависящей от вида потенциала угловой составляющей и радиальной функции, которая зависит от вида потенциала U(p) и вычисляется с помощью интегрального преобразованием, ядром которого является функция Бесселя При этом угловая составляющая отличается от нерелятивистского случая добавлением функции Т^(ф), отвечающей за временную координату. вид где

Теорема 1. Волновые функции в импульсном представлении имеют ос

КЛР)= I a„Ap)Jj^p'dp. рр

Для радиальиой волновой функции в импульсном представлении вычислена равномерная асимптотика при п —> оо.

Теорема 2. При п —> оо имеет место равномерная асимптотическая формула

8 2 cos5 Ф n'J К J yft sini2ф \ 2 4

VK 7Г cos 2пф -I- — + —

1+0 ft'

8) где ф = arctg (пр).

Вычислена энтропия волновой функции в координатном и импульсном представлении при различных предельных переходах. Наибольший интерес помимо очевидного перехода п —> оо представляют случаи I —> оо при фиксированных т и и и I = v —> оо

Теорема 3 Для энтропии волновой функции в координатном и импульсном представлении верны следующие выражения 1) При n—^oo,l = v = m — \.

5Ф = 81nn + 21n2 + 41nTr + i + o(l),

Ф. = -41пп + 71п2 + 41п7г- —- + 0(1).

2а) При I —> оо; v = т — п = 1:

5Ф = 2Ы + 31п2 + 21птг + - + о(1),

17 21П/ + 91П2 + 31П7Г + 7 —— + о(1). о

2Ь). При v = 1 оо, п = v + \ 1

5Ф = 71п/ + 31п2 + 21птг + - + о(1), - -4Ы + 31п2 + 1п7г + о(1).

Для доказательства теоремы 1 была доказана лемма об интегральном преобразовании временной составляющей волновой функции — функции T„ti(ip), которое является частью преобразования Фурье, следствием интеграла Сонина-Гегенбауэра и с точностью до константы совпадает с самой функцией Tv0).

Лемма 1. Справедлива формула ос

-ос h ф л/а ch ф где а = ррс\\ф, Ъ = рръ)\ф.

Вычислены вакуумные волновые функции для основного состояния в координатном и импульсном представлениях, после чего вычислена их энтропия и исследована с точки зрения соотношения неопределенности.

Лемма 2. В основном состоянии

2е~Р 1 1 /2 е1*?

Фу = —— • -7=—^— \ -у/втв • л/р V^chV 7Г V2TT = 4>/2 1 1[2 /—7 ^

7 V^\/P(l+P2)2'v^ch^'' VTT ЬШ ' v^F"

Лемма 3. Энтропийные соотношения неопределенности выполнены. = 7 In тг + 8 In 2 - ^ - 7 « 12.4811 > 4(1 + In тг) « 8.57892.

5ф + ~ 4 In 72, 71 —> 00. ^ф + 5ф. ~ 4 In / —» оо, г/ = const.

5ф + 5ф* ~ 3 In I, I = v —> оо.

Во второй главе диссертации изучен случай гармонического осциллятора

Найден вид радиальной составляющей волновой функции в координатном представлении, а также уровни энергии

Теорема 4 Для гармонического осциллятора U = р2 радиальная составляющая волновой функции имеет вид где IJr\ — многочлен Лагерра.

Уровни энергии:

En = An + 2{v + l), гг = 0,1,2

Теорема 5. Радиальная составляющая волновой функции в импульсном представлении с точностью до константы совпадает с координатным представлением. JrirWWJM3dp=

J pi VP Р 2 О

1). При п —> оо, I = и — т = 7j\ 3

Зф^Зф, = 21пп + 41п2 + 41п7г — - + о(1). и

2а) При I оо, и = т = п = О

7 7

5Ф = 5Ф. = 21п/ + 1п2 + - 1птг + 1 + + о(1).

Л &

2Ь) При v = I —> оо, п = 0:

Ф = 5Ф. = 1п/ + 21птг + | In 2 + 2 -f о(1).

Лемма 4 В основном состоянии д 11 Д Г—а

Фу = Фу = J——- • ■ \ —vsm0 ■ -=.

Лемма 5. Энтропийные соотношения неопределенности выполнены. S<K = 4 - 7 + 2 In 2 + 71птг « 12.8222 > 4(1 + In тг) « 8.57892. вф + 5ф- ~ 4Inn, п —> оо.

5ф + 5ф» ~ 4 In /, / —> оо, и = const.

6'ф + 5ф> ~ 2 In I — и —» оо, п = 0.

Авюр выражает глубокую признательность своему научному руководителю В. Н Сорокину за постоянное внимание, искреннюю заинтересованность, постановку интересной задачи, многочисленные обсуждения и ценные советы, а также всестороннюю поддержку в течение всего диссертационного исследования

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Приходько, Максим Александрович, Москва

1. Аптекарев А. И., Буяров В. С., Дегеза X. С Асимптотическое поведение LP-норм и энтропии для общих ортогональных многочленов Мат сб 1995. Т 82. С. 373-395.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции Наука, М., 1965

3. Г. Бейтмен, А. Эрдейи Таблицы интегральных преобразований. Наука, М., 1970.

4. Козлов В. В , Никишин Е. М. Релятивистский вариант гамильтонова формализма и волновые функции водородоподобного атома. Вестник Московского Университета. Серия 1. Математика Механика. N°5. М., 1986 С 11-20.

5. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. Мир, М., 1974

6. Bialynicki-Birula I., Mycielski J. Uncertainty relations for information entropy in wave mechanics. Cummun. J. Math. Phys 1975. V. 44. P. 129-132.

7. Dehesa J. S., Martinez-Finkelshtein A., Sorokin V N. Quantum-information entropies for highly-excited states of single-particle systems with power-type potentials. Phys Rev. 2002. A 66. P. 1-7.

8. Dehesa J S , Martinez-Finkelshtein A , Sorokin V N. Asymptotics of information entropies of some Toda-hke potentials. J. Math. Phys. 2003. V. 44 N 1 P 36-47

9. G N Watson. Theory of Bessel Functions. Cambridge. At the University Press 1922

10. Yanez R J , Van Assche W., Dehesa J S. Position and momentum information entropies of the D-dimensional harmonic oscillator and hydrogen atom. Phys Rev 1994 A 50 P 3065-3079.Работы автора по теме диссертации

11. Приходько М.А. Асимптотика информационной энтропии для двумерного аналога релятивистского атома водорода в модели Козлова-Никишина Математические заметки. Т. 78 Вып. 5. Ноябрь 2005 Стр 727-744

12. Приходько М.А. Информационная энтропия релятивистской модели Козлова-Никишина. Теоретическая и математическая физика Т 148 Вып 3. Сентябрь 2006. Стр. 444-458.