Асимптотические свойства правильных решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г* ОДЕСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ

° ' 1м I. I. МЕЧНИКОВА

ВАСИЛЬеВА Натал1я Семешвна

УДК 517.925

АСИМПТОТИЧН1 ВЛАСТИВОСТ1 ПРАВИЛЬНИХ РОЗВ'ЯЗК1В ОДНОГО КЛАСУ НАШВЛ1НШНИХ ДИФЕРЕНЦ1АЛБНИХ РЮНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

01.01.02 — Диференщальш р1вняння

Автореферат дисертацп на здобуття наукового ступени кандидата ф1зико-математичних наук

Одеса - 1998

Дисертащею е рукопис.

Робота виконана на кафедр! диферешцальних р1внянь Одеського державного утверситету iM. 1.1. Мечникова

Науковий KopiBHHK:

кандидат ф1аико-математичних наук, доцент 6ВТУХ0В Вячеслав Михайлович,

Одеський ушверситет iM. 1.1. Мечникова, завщуючий кафедрою.

Офщшт опоненти:

член-кореспондент HAH УкраЗши, доктор ф1зико-математичних наук, професор ПЕРЕСТЮК Микола Олексшович,

Кшвський ушверситет iM. Тараса Шевченка, завщуючий кафедрою, декан факультету;

кандидат ф:зико-математичних наук, доцент В1ТРИЧЕНКО Irop евгенович, Одеський ушверситет iM. 1.1. Мечникова

Провшна установа:

1нститут математики HAH У крайни, м. Ктв.

Захист вадбуде'ться « о » 1998 р. о ¿5 годит

на засщант спещал13овано1 ради К 41.051.05 при Одеському державному утверсктеп iM. 1.1. Мечникова за адресою: 270026, м. Одеса, вул. Дворянська, 2.

3 дкергащею можна ознайомитися в науковш б1блштещ Одеського держутверситету (270026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24).

Автореферат розкланий *ЪО» ТУиЛ, 1998 р.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальтсть теми. Один з напрямк1в у теори ¡стотио нелшшних неавтономных диференщальних р1внянь пов'язаний з класичним р1внянням Емдена-Фаулера,

яке виникае в багатьох галузях природознавства. Огляд основних результапв, що стосуюгься поведшки розв'язк1в цього р1вняння, як! отримаш. в перюд кшедь XIX - початок XX столтя, зроблено в монограф1ях Дж.Сансоне" таР.Беллмана21. Вони стали важливою основою для побудови теори нелшшних диференщальних р1выянь бшып загального виду.

В роботах Ф.В.Аткшсона, Ш.Белогорця, 1.Т.Шгурадзе, Т.Д.Чантур1я, О.В.Костша та багатьох шших автор!в розглядалось р1вняння

де 0 < а ^ 1, р:[а, +оо[ -> R \ {0} — неперервна функщя, яке мае назву узагальненого píbhhhhh Емдена-Фаулера. Ochoshí результати про поводження розв'язшв дього равняння, як: встановлено в перюд з 1955 року по 1990 piK, викладено в монографп 1.Т.Югуралзе i Т.А.Чантур1я3).

У роботах О.В. Костша та В.М.Свтухова досладжувалось р1вняння

яке листить у прав1й частин! ще 1 похщну. Так! р1вняння виникають при вивчент розпод1лу електростатичного потенщалу в сферичпо-симетричному об'ем1 плазми продукйв згоряння.

Поряд з двочленними р1вняянями на практищ часто зустр1чаються також диференщальш. р^вняння другого порядку, як1 мктять в правш частиш суму доданюв з нелшшностями типу Емдена-Фаулера.

11 Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Т.2. — М.: ИЛ, 1954. - 415 с.

21 Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. -М.: ИЛ, 1954. - 216 с.

31 Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1990.

у" = ±tny°.

У" = Ж)|>Г sign у.

- 430 с.

В робоп Л.О.Беклемашево! було розглянуто випадок р1вняння

¡■=1

де а, е {-1,1}, n¡ е К, a ai — рацшнальш числа з непарним знамешшком.

Для цього píbhhhhh з використанням многокутника Ньютона були дослвджеш асимптотичн! властивосй ycix його неколивних розв'язк!в. Але методика ще! робоги не дозволяв охопити р1вняння

У" = ¿ (0Ы°' |У Г' sign у, (1)

1=1

у якому р.: [а, +оо[ ]0, +оо] (i = 1,...,п) — веперервт функцп, вщмшт Bifl степеневих, а. е {-1,1}, а., \ е R (i = 1,...,п).

Важливим кроком у досуцджент р1внянь такого i бшып загального виду стали результата О.В.Коетша про асимптотику розв'язшв, яка визначаеться формальним застосуванням формул Г.Хардь

Одначе залишалося вщкритим питания про асимптотичне поводження ycix неколивних розв'язмв р^вняння (1).

Об'скт дослшження. В дисертацй розглядаегься нелшшне диференщальне р1вняння другого порядку

У" + £(0/ = Ё <*( Л (0[l + \y't* sign у, (2)

i=l

де а. е {-1, 1}, \ е R \ {1, 2} (i = 1, ..., n), X. * X¡ при i ф }, р(: [а, со[ -»]0, +оо[ (ю < +QO; i = 1,..., п) — неперервно диференщйоват функцп, g: [а, со[ R та г.: [а, со[ R (i = 1,..., п) — неперервш функцп, причому

limr.(í) = 0 (i = l,...,n).

(ta Л '

Розв'язок у р1вняння (2), визначений у деякому л1вому ок<ш со, будемо називати правильним, якщо для кожного т з цього околу

sup{y'(í)¡:x<í <ю}>0.

Правильний розв'язок назвемо коливним, якщо bíh мае послздовшсть нул1в, що зб1гаеться до и, та неколивним — в протилежному випадку. Мета робота. При природних обмеженнях на коефцценти р1вняння

(2) встановити асимпготичт зображення при tîa для ycix його правильних неколивних розв'язмв, а також одержати ознаки коливност1 та неколивност! ycix правильних розв'язк1в дього р1вняння.

Методика дослмжения. У дисертацп поряд з методами, hkî застосовувалися рашше у роботах 1.Т.К1гурадзе, Т.А.Чантур^я, О.В.Костша, В.М.Свтухова та шших автор1в при вивчеяш узагальнених р1внянь типу Емдена-Фаулера, використовувався метод дослвдження р1вяянь виду (2), який базуеться на щеях, закладених у роботах Г.Хард1 та О.В.Костша, присвячених встановленню асимптотики розв'язк!в Нелшшних диференд!алышх р1внянь першого порядку з полшонпальною правою частиною.

Наукова новизна та ochobhî результата, шо виносяться на захист.

Bei результата дисертацц е новими. Бьльш того, в окремому випадку двочленного р1вняння (n = 1) вони в деякш Mipi доповнюють результати В.М.бвтухова.

Головними з них е TaKi:

1) теореми про асимптотику ycix правильних неколивних розв'язшв р1вняння (2);

2) яеобхццп та достатш умови кнування у pîbhhhhî (2) правильних неколивних розв'язюв 3i знайденими асимптотичними зображеннями;

3) достатш ознаки коливносп та неколивносп ycix правильних розв'язив р1вняння (2) у випадку, коли 0 < л. < 1 (i = 1,..., n) та g(t) s О на пром!жку fa, ю[.

Теоретична та практична шнтсть. Робота мае в основному теоретичний характер. Результати дисертацц та запропонована в нш методика дослщження можуть використовуватися для вивчення асимптотичних властивостей розв'язкгз нелшшних диференщальних pÏBHHHb 61льш високих порядив, а також для досладження конкретних нелшшних диференц1альних р1внянь, HKi зустр1чаються у теоретичнш ф1зиц1, механщ1 тощо.

Апробация роботи. Результати дисертади допов1дались на республшанськш науково-методичнш конференщх, присвяченШ 200-р1ччю ввд дня народження МЛ.Лобачевського (Одеса, 1992 р.), на Всеукрашськш науковш конференцп «Розробка та застосування математичних метод'ш в науково-гехшчних дослщженнях», присвяченш 70-pi44io в1д дня народження професора II.C.Ka3iMipcbKoro (Льв1в, 1995 р.), на ceMiHapi з HKicHoï Teopiï диференщальних р1внянь у Московському держушверситетс iM. М.В.Ломоносова (1995 р., 1997 р.), на М1жнароднш науковш

конференцП «Нелшшш проблема диференц1альних р1внянь та математичнш ф1зищ», присвяченш 80-р1ччю акад. HAH Украши i АН Pocii Ю.О.Митропольського (Нальчик, 1997р.), а також на наукових семшарах в Одеському держушверсигетх iM. I.L Мечникова i в Одееькш державнш академй будгвнидтва та арх1тектури.

Публшаци. Основш результата дисертацИ вадображеш у роботах [1] —[8], з яких [1], [2], [5], [6] виконаш у сшвавторствЬ Науковому KepiBHmcoBi належать постановка задачу розробка методов дослвдження натвлшшних диференщамьних р1внянь другого порядку та обговорення теоретичних результат. Уй теореми po6iT [1], [2], [5], [6] одержат автором самосгшно з застосуванням занропонованих методик.

Структура та обсяг роботи. Дисертащя складаеться i3 вступу, чотирьох роздшв, висновк1в та списку л1гератури, який мштить 96 найменувань. Загальний обсяг роботи — 109 сторшок машинописного тексту.

ЗМ1СТ ДИСЕРТАЦИ

У встуш розкрито сутшсть 1 стан науково! проблеми за темою дисертацИ, обгрунтовано актуальн1сть тема, подано загальну характеристику роботи.

У першому роздш дано огляд лггератури, у якому окреслено основш етапи розвитку науково! думки за проблемою дисертаци. Шляхом анал1зу та пор1вняння з вадомими розв'язаннями проблеми обгрунтовано виб1р напрямку дисертацшних досшджень, розроблено загальну методику IX проведения, сформульовано основш результата, одержат автором. .

У другому роздш. дисертаци дослвджуеться нелшшне.диференщальне р1вняння першого порядку такого спещального виду

п

м' + а(т)м = £аД(т) 1"1Х,[1 + еДт)] (3)

¡=о

де а е {-1, 1}, X. е Е\{1} (1 ■» 0, 1, и); \ * \ нри 1 ф л Ь,: [0, М ->

]0, +оо[ (1 = 0, 1, ..., п) — неперервно диференцшоваш функци, а: [0, +»[.-> II та е.: [0, +оо[ —> К (1 = 0, 1, ..., п) — неперервш функци, причому

Нш £,(т) = 0 <1-0,1.....

г-»+оо

Правильним розв'язком р1вняння (3) називаеться розв'язок,

визначений в деякому oKojii +00, та задовольняючий для будь-якого s i3 дього околу умову

sup|;у(т)': s < т < +со| > 0. Введемо дв1 множини:

N0 = {0,1,...,n})JQ= {(/, j) GiV0 X N0:i * j]

i наступт означения.

Будемо вважати, що функци

/:[а,ш[->р,-н»[ (i = о, 1,..., п)

асимптотично пор1вняш при тТсо (о < +оо), якщо для будь-яко'1 пари (к, m) е J0 кнуе скшченна чи неекшченна границя

Ш

lim V7 :

Головним елементом системи таких функцш будемо називати кожну функцпо fs (s s N0), для яко'1

г Ш

um — = const fs(t)

при Bcix k e N0.

PiBHHHHH (3) дослзджуеться у випадку, коли для будь-яко! фжсовано'1 пари (i, j) е J0 виконуються HacTynHi умови: Sj) функци

ф,(т) = /гДт)

V

К(т))

, s = 0,1,..., п (4)

е асимптотично пор1вняш при т +оо;

S2) для кожного головного елементу системи функщй (4) ¿снуе скшченна або нескшченна границя

lim

де

'щ

ЛДх)

ш

Основт результати про асимптотичне поводження правильних розв'язщв р1вняння (3) сформульоват в п.2.1. В п.2.3 щ результати доведено. П.2.2. мае доштжний характер. В ньому наведет результати, яш випливають з теорем О.В.Костща про кнування у квазшншного р1вняння першого порядку розв'язк!в, ям зникають у неюинченносп.

Одним з головних результапв другого роздигу дисертаци е

Теорема 2.1. Нехай для будь-яко! фшсовано! пари ]) е J0 виконуються умови йт) (т = 1,2). Тод! кожний правильний розв'язок и(т) р1вняння (3) допускав при т -> +°о одне з наступних асимптотичних зображень:

Ь+о(1)], (/,7) е70, (5)

ы(т) = ехр

■[с+о(1)],

(6)

X л

(1-Я*)/адехр (1-^)/а(Г)сЙ

1

де с , с — В1ДШНН1 в1д нуля стал1,

$

, ч тг

0 Ж

А =

О, якщо

S

(1-Я.k)\a(l)dt

)hk(s)e 0 ds= +со

о

(\-\k)[aU)dl

+00, якщо J hk (sje 0 cls < +=o.

В шших теоремах другого роздшу з'ясовуеться питания про фактичне кнування у р1вняння (3) розв'язк1в кожного з даних в теорем! 2.1. тип!в. При цьому спочатку одержуються необхщш умови 1снування кожного з таких розв'язшв, а потам доводиться, що в бшыпоста випадшв щ умови е й достаттми. Незначт додатшш обмеження на коефпценти р1вняння (3) необхццга накладати лише при вивчент розв'язк1в виду (5) (у випадку,

коли

-t-JJ

|фДх)(/т =

+с0). KpiM того, тут також уточнюються

асимптотичш формули (5)-(7).

У третьому роздШ дисертаци (п.п. 3.1, 3.2) дослЦжуеться асимптотичне поводження правильних неколивних розв'язк!в р1вняння (2). У п.3.1 формулюються ochobhí теореми третьего роздьлу, а в п.3.2 щ теореми доводиться.

Тут вводиться TaKi допоьпжш позначення:

а0=-1; >.0 = 2; p0(t)= 1; r0(t) = 0;

ф,(0 =

Pj(t)

т.

seN0.

(8)

i розглядаеться випадок, коли для кожноУ фжсовано! пари (i, j) е J0 (множина J0 визначена вище) виконуються умови: sj функци (8) е асимптотично nopÍBHAHi при tico;

s) для кожного головного елементу Ф системи функщй (8) icHye ¿ р

скшченна чи нескшченна границя

Н°М,Л = иш

МО

де

gЛt) =

фдо -

)

рМ) РШ

Через Г.. позначаеться множина уйх тих значень р £ М0, для яких Ф — головний елеменг системи функцш (8).

При цих умовах ргвняння (2) за допомогою перетворення змшних

/(0

= Т = т(/),

де — неперервно диференцшована на [а, ю[ функщя така, що

т'(г) > 0 , т(в) = 0 , 1ипт(Г) = -н»,

/То

зводиться до диференщального р1вняння виду (3), у якому

Ф)=*(')) = ~ , ш = /Цт(о)=,

вМ = ет(т(0) = га(0, (теДГ0). Враховуючи умови та в2), неважно зрозуаити, що для р1вняння (3) виконуються умови та 82), тобто до одержаного р!вняння можуть бути застосоваш ус! теореми другого роздшу. 3 використанням цих теорем та замш (9) встановлюються там основш результата третього роздшу.

Теорема 3.1. Кожний правильний неколивний розв'язок р1вняння (2) допускае при 1;Тш одне з асимптотичних зображень:

/С) ( РМ)

уИ) УрМ

[Су +6,(0] , (/,/)

еЛ

(10)

1

/СО у(0

= ехр

-

[с+5(/)],

(П)

у'(0 | V

■УУ ■> \ Ль

и [У, + бк(/)], кеМ0,(12)

де 8Ц0) = 0(1) ((У)е^), ЭД - 0(1), $к(1) - 0(1) при 1Те>, Сц. с-вэдмшш вщ нуля сгал1,

V* = в^П

I л

4 =

а, якщо

ш, якщо

а а

СО 5

¿¡5= +со

(IУ < +00

Теорема 3.2. Нехай для будь-якох пари (У) е <10

со

< при Р е •

Тод! для 1снування у ргвняння (2) правильних розв'язшв, яш допускають аеимптотичн! зображення у вигляд1 (10) необхщно 1 достатньо, щоб виконувалась одна з двох умов:

1) тип

< +со;

Ш

Теорема 3.30. Нехай для будь-яко! пари (1, ]) е <10

ю

|фр{г)с1г = +00 при р е гц.

Тод1 для кнування у р!вняння (2) правильних розв'язк1в, що задовольняють асимптотичне стввщношення вигляду (10) необхдао виконання двох умов:

1) |я?(|",у)|< +«о;

2) с,. — коршь «характеристичного» р1вняння

(14)

отеП,

Теорема 3.31. Нехай поряд з (13) виконуються умови 1), 2) теореми 3.30. Тод1, якщо

т ег„

X атА°трК Су " Су ~ Л Ф О,

то у р1вняння (2) к:нують правильн! розв'язки, що задовольняють асимптотичне стввщношення виду (10), причому для кожного такого розв'язку при додатковш умов!

и)

де

теГ„

Ф«(0_ 40

Ф до

^■[1+^(0]

+

+

иеЛ/оХГ^ ^рКЧ

тёГ,

g(f(0 фр(0

мае мкце асимптотичне зображення

y{t) ~Сехр

*Л

'rfptf МО-

dx

при tTo,

у якому С — в1дмшна в1д нуля стала.

У TeopeMi 3.32 наведена достатня ознака ¡снування у р1вняння (2) розв'язмв, що задовольняють асимптотичне сшввщношення виду (10) у випадку, коли

Z a,r^,nÄl,\c,j\" sign с,7 - н°ра, j) = о >

теГ,

При цьому встановлено, що р1вняння (2) допускае два типи розв'язюв, якд задовольняють асимптотичне стввЦношення (10).

KpiM того, подано методику досл1дження випадку, коли «характеристичнее р1вняння мае KopeHi довишно! кратность

У теоремах 3.4. та 3.5 наводиться необхЦт та достатш умови 1снування у р1вняння (2) правильних розв'язюв, що допускають асимптотичт зображення (11), (12), а також одержуються сшввцшошення для функцш 5(t), Sk(t) (k е N0) яку дозволяють здшснити уточнения них асимптотичних зображень.

У четвертому роздип (п.п. 4.1-4.3) розглядаеться натвлшшне диференщальне р1вняння

У" = £ «,-#(0 Я0 yV)sign у,

/=1

(15)

деа. е {-1, 1} (i= 1, ..., п); 0 < \ < ... < \ < 1; р.: [а, и[ -» ]0; +х[ (i = 1, ... п) — неперервт функци. Для цього р!вняння одержан! умови коливност! та неколивносп ycix його правильних розв'язшв.

У п. 4.1 встановлюеться необхвдна для подальшого достатня ознака хснування правильних розв'язшв у р1вняння (15). Цей результат використовуеться у п.п. 4.2, 4.3 при доведент наступних двох теорем.

Теорема 4.1. Нехай для деякого к е {1,..., п} на пром1жку [tQ, ш[, де t0 е [а, а>[ виконуеться нер1втсть

i i л \ ^¡"^

1 — Ai,

1

1=1

\2-Хк

2-Х, {.2-

(16)

де

А(0 = Д(0[я.(/) Г'. (17)

f t, якщо (Й = +00 , Л<э W — \ ю-t, якщо (Й < +00 . Тод1 кожний правильний розв'язок р1вняння (15) е неколивним.

Теорема 4.2. Нехай с^ = an = -1,

m = max {i е {1, ..., n}: а( = -1 при 1 < i < m},

1 = min {i e {1, ..., n}: а. = -1 при 1 < i < n},

r+ = {ie{2,..., n-1}: a¡ = 1}.

Якщо для деяких k e {1,..., n} i t0 e [а, co[ виконуються HepißHocri

JL. l-Ti ' " 1 1-7

inf

/ф0,со[

n -Za,pJ( o ;=i 1-Я., 1 1-Я.,

2-Я., "2-Я./ 2-Я.,

¡nffZA(0

1-Х,

2-Х,

-Za(0

/еГ+

2-Хt

1 1-Я..

2-х \2-X

m I m

!„-А*

2-Х.

г,-}..

16Г.

1- К

2- \*

>

>

1

2-Хг

■2-Х

де р.4 — функци з формули (17), то кожний правильний розв'язок р1вняння (15) е коливним.

При п = 1 та = 0, тобто у випадку лшшного диференщального р1вняння

теореми 4.1 та 4.2 сщвпадають з вщомими результатами А. Кнезера.

висновки

1. На основ! досл1джень 1.Т.Шгурадзе, О.В.Костша 1 В.М.бвтухова побудовано П1дх1д, який дозволяв встановити точш асимптотичш формули для у«х правильних неколивних розв'язкав нашвлшшних диференц1альних р1внянь виду (2).

2. При деяких природних умовах на коефщ1енти р1вняння (2) одержано

теорему про асимптотику ус1х його правильних неколивних розв'язшв.

3. Встановлено необх1дт1 достатш умови ¡.снування розв'язк1в кожного

з можливих тишв.

4. Здшснено уточнения уых асимптотичних формул для правильних неколивних розв'язюв р1вняння (2).

5. Одержан! результата дозволяють встановлювати асимптотику не ильки

правильних, але 1 уах тишв сингулярних неколивних розв'язк1в р1вняння (2).

6. Встановлено умови коливност1 та неколивноеп ус1х правильних розв'язшв р1вняння (15), як1 е аналогами ввдомих теорем А.Кнезера для лшйних диференщальних р1внянь другого порядку.

ОСНОВНИЙ ЗМ1СТ ДИСЕРТАЦЙ ОПУВЛ1КОВАНО В НАСТУПНИХ РОБОТАХ:

1. Евтухов В.М., Васильева Н.С. Асимптотические представления правильных решений одного полулинейного дифференциального уравнения второго порядка // Сообщ. АН Грузии. — 1995. — Т. 152, №2. — С. 228-234.

2. Евтухов В.М., Васильева Н.С. Асимптотические представления правильных решений одного полулинейного дифференциального уравнения второго порядка // Диф. уравнения. — 1995. — Т. 31, №9. — С. 1591-1592.

3. Васильева Н.С. Об условиях колеблемости и неколеблемости решений одного полулинейного дифференциального уравнения второго порядка // Диф. уравнения. — 1997. — Т. 33, №2. - С. 851.

4. Васильева Н.С. К вопросу об асимптотике правильных неколеблющихся решений полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики: Сб.науч. тр. — Киев: Ин-т математики АН Украины, 1997. — С. 68-71.

5. Евтухов В.М., Васильева Н.С. Асимптотические свойства решений одного класса дифференциальных уравнений второго порядка // Деп. в УкрНИИНТИ, 1984, №1855. - Ук-84, 28 с.

6. Евтухов В.М., Васильева Н.С. Асимптотические представления правильных решений одного полулинейного дифференциального уравнения второго порядка // Деп. в УкрНИИНТИ, 1990., №333. — Ук-90. - 45 с.

7. Васильева Н.С. Асимптотические представления решений одного нелинейного дифференциального уравнения первого порядка // Деп. в ГНТБ Украины, 1996., №776. - Ук-96. - 42 с.

8. Васильева Н.С. Об условиях колеблемости и неколеблемости решений полулинейного дифференциального уравнения второго порядка // Деп. в ГНТБ Украины, 1996., №777. — Ук-96. - 16 с.

Васильева Н.С. Асимптотичт властивост1 правильних розв'язк^в одного класу нaпiвлiнiйниx диференщальних р1внянь другого порядку.

Рукопис. Дисертащя на здобуття наукового сгупеня кандидата ф1зико-математичних наук за спещальтстю 01.01.02 — диференщальт р1вняння. Одеський державний ушверситет, Одеса, 1998.

У кандидатськш дисергаци встановлеш асимптотичт зображення для ус1х правильних неколивних розв'языв одного класу нашвлшшних диференщальних р1внянь другого порядку. Одержан! необхэдш та достатш умови ¡снування розв'язшв з встановленими асимптотичними зображеннями. Кр1м того встановлеш достатт умови коливносп та неколивносп у<пх правильних розв'язкхв такого типу р1внянь.

Ключов1 слова: р1вняння типу Емдена-Фаулера, нап1влшшт р1вняння, коливш та неколивт правильш розв'язки, асимптотичн1 зображення неколивних розв'яз1ав.

Васильева Н.С. Асимптотические свойства правильных решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения. Одесский государственный университет, Одесса, 1998.

В кандидатской диссертации установлены асимптотические представления для всех правильных неколеблющихся решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Получены необходимые и достаточные условия существования решений с найденными асимптотическими представлениями. Кроме того установлены достаточные признаки колеблемости и неколеблемости всех правильных решений такого типа уравнений.

Ключевые слова: уравнение типа Эмдена-Фаулера, полулинейные уравнения, колеблющиеся и неколеблющиеся правильные решения, асимптотические представления неколеблющихся решений.

Vasilyeva N.S. Asymptotic properties of regular solutions of a class semilinear differential equations of the second order.

Thesis for a degree of Doctor of Philosophy in Physycs and Mathematics by speciality 01.01.02 — differential equations. Odessa State University, Odessa, 1998.

In the dissertation are established asymptotic representations for all regular nonoscillation solutions of a class semilinear differential equations of the second order. All necessary and sufficient conditions of existence of solutions with obtained asymptotic representations are also derived. Besides, the sufficient conditions of oscillation and nonoscilation of all regular solutions of equations of that type are obtained.

Key words: Emden-Fowler equation, semilinear equations, oscillation and nonoscilation regular solutions, asymptotic representations for the nonoscillation solutions.