Асимптотическое поведение решений полулинейных параболических уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

Механико-математичесий факультет

На правах рукописи УДК 517.956

Филимонова Ирина Владимировна

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

Специальность: 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук '

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.А Кондратьев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. Л. Скубачевский,

кандидат физико-математических наук, доцент В. Н. Денисов.

Ведущая организация: Математический институт

им. В.А Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится " 14 " мая 2004 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы. МГУ, механико-математический факультет, аудитория Ю-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " 14 " апреля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор (

Т. П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Качественные и асимптотические свойства решений полулинейных параболических уравнений рассматривались многими математиками, в частности им посвящены монографии Д.Хенри1 и А.А. Самарского, В.А. Галактионова, СП. Курдюмова, А.П. Михайлова2.

Изучение асимптотического поведения решений представляет значительный интерес как само по себе, так и с точки зрения приложений. При математическом моделировании процессов химической кинетики3, а также в других областях математической физики4 и популяционной генетики5 часто возникают вопросы об асимптотическом поведении при больших временах решения задачи Коши и решения краевой задачи в цилиндре.

Внимание многих .математиков привлекали вопросы, связанные с асимптотическим поведением в цилиндрической области решений полулинейных параболических уравнений.

Более двадцати лет назад в работе П. Баро и Л. Верона6 было охарактеризовано асимптотическое поведение при t —t оо решений уравнения

где /(и) — непрерывная вещественнозначная монотонно возрастающая функция, /(«) = °{и) при и -4 0, удовлетворяющих условию ^ = 0 на границе ограниченной области Пв К". В теореме 2 этой работы показано, что для любого решения u(x,í) и произвольного а > 0 существует равномерный по ^ предел ^-¡j r=t С прп решение задачи Коши

1 Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений, М., Мир, 1985

J Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений, М.: Наука, 1987

3 Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений, // У МП т. 14 (1959), в. 2(86), стр 87-158,

4 Pao C.V. Nonlinear parabolic and elliptic equations, Plenum New York, 1992 (MR 94c:35002)

5 Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологин. Лекции о моделях, М., Мир. 1983

'Вагаз, P. and Vcron, L. Comportement asymptotique de la solution d'une equation d evolution semi-lhie&irc de la chaleur Ц Commun. Part. Differ. Equat. 1979 vol. 4 pp. 795-807

!-UG НАЦИОНАЛЬНАЯ { БИБЛИОТЕКА I

причем С = const не зависит от а и принимает одно из значений {-1,0,1}.

В работе П. Баро и Л. Верон отмечают, что в случае /(и) =

¡и^и, а — const > 0 существуют решения уравнения, удовлетворяющие однородному условию Неймана, убывающие по t степенным образом, а именно эквивалентные при t оо.

Если вместо однородного условия Неймана рассмотреть однородное условие Дирихле, то все решения стремятся к нулю экспоненциально. Для функций /(и), удовлетворяющих условию

/ m^cis < оо. это было получено в работе А. Гмира и Л. Верона7. -1

До конца случай решений уравнения (1) с нелинейностью /(и) = lul"«, а = const > 0, удовлетворяющих условию Неймана, был исследован в работе В.Н. Арефьева и В.А. Кондратьева , при этом наряду с оператором Лапласа в старшей части уравнения рассмотрен равномерно эллиптический оператор в дивергентной форме с переменными коэффициентами. В их работе установлено, что любое решение уравнения (1), удовлетворяющее условию Неймана, имеет вид

где либо С — 0. либо |С| = (аво)"1^, г = const зависит от и, а а = const > 0 от и не зависит. Более того в работе показано, что С = 0 тогда и только тогда, когда решение обращается в ноль при сколь угодно больших t.

На случай стремящихся к нулю решений слабонелинейных эллиптических и параболических систем дивергентного вида с более общей нелинейностью зависящей от u, t эти результаты обобщены в работе Ю.В. Егорова, В.А. Кондратьева, О.А. Олешшк9. В частности в этой работе показано, что если и(х, t) стремящееся к нулю при t -» оо решение уравнения вида (1) с нелинейностью

7Gmira, A. and Veron, I- Asymptotic Behaviour of the Solutions of я Semilincar Parabolic Equation // Monatshefte für Mathematik, Bd. 9-1 (1982), .Y'-I, pp. 299-311.

"Арефьев В.Н., Кондратьев В.Л. Асимптотическое поведение решении второй краевой задачи для нелинейных параболических уравнении. // Дифференциальные уравнения т. 29, К'12 (1993), 2104-2118

'Егоров Ю.В., Кондратьев В.А., Олейник O.A. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях. // Матем. сб., т. 189, (1998), стр. 45-68

/(м10» /(0, = 0, измеримой по « > 0, дифференцируемой по u, и имеющей равномерный по I € (0,оо) предел Пшц^о = О,

то найдётся такое решение ^(г) уравнения Х + = О,

равномерно по

Более сложным оказывается случай нелинейного члена, зависящего от решения и(х, £) и переменной х € Случай уравнения

Щ

-Е

<j=i

д . ди , ~дх-^ ' а = const > "

с измеримыми а^(х) удовлетворяющими условию равномерной эллиптичности, и а(х) — неотрицательной ограниченной функции такой, что и его слабых решении, удовлетворя-

ющих условию Неймана

— = ^ dij(x)uZj COS(n,Xj) = О,

i.J=l

(3)

был рассмотрен в работе В.А. Кондратьева и Л. Верона10. В этой работе показано, что все решения этого уравнения, удовлетворяющие условию (3), стремятся к нулю при < ^ оо равномерно в Я и

оо. А именно

найден первый член асимптотики решения при доказано, что для любого решения существует равномерный по предел при

tlf<ru{x,t)=iA £ {—со, 0, с0}, где с0 = (a^g^)

Функция \(t) ~ СоГ1/' является решением обыкновенного дифференциального уравнения Х + =0- Однако в случае а(х) ф const доказать, что и(х, t) — \(t + т) + о(схр(—at)) невозможно. Рассматривая уравнение как линейное, заменив |и(я,<)|<т

на МОГ достаточно легко понять, что если а(х) Ф conто разность u(x,t) — \(£) есть функция существенным образом зависящая от х уже в членах 1 при t ~^

В связи с этим представляется актуальным найти следующие члены асимптотики положительного решения.

10Kondratiev. V.A. and Veron, L. Asymptotic Behaviour of Solutions of Some Nonlinear Parabolic or Elliptic Equation». Asymptotic Analysis 1997 И №2 pp. 117-156

Цель работы. Цель настоящей работы охарактеризовать асимптотическое поведение при ^ —> оо

1. решений слабо-нелинейных параболических задач (решений полулинейного уравнения, удовлетворяющих условию Неймана, и решений линейного уравнения, удовлетворяющих нелинейному краевому условию), определенных в полубесконечном цилиндре

2. решений задачи Коши для полулинейного параболического уравнения в случае критического показателя

Во всех задачах вхождение неизвестной функции в нелинейный член предполагается степенным.

Методы исследования. В работе используются методы качественной теории уравнений с частными производными. Используя принцип максимума, построение суб- и суперрешений, неравенство Харнака, получается информация об асимптотическом поведении решения, достаточная для того, чтобы свести задачу к линейной. При исследовании линейных задач используются теоремы Л.А. Багнрова и В.А. Кондратьева о существовании решений, удовлетворяющих однородному условию Неймана на границе цилиндрической области, убывающих по г степенным образом, и теоремы С. Агмона и Л. Ниренберга об асимптотическом поведении решений линейных уравнений с независящими от г коэффициентами.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Для обобщенных положительных решений полулинейного параболического уравнения с коэффициентами зависящими только от х, удовлетворяющих условию Неймана на границе цилиндра, найден асимптотический ряд при , и доказана асимптотическая единственность положительного решения с точностью до сдвига в классе экспоненциально убывающих функций.

2. Доказана асимптотическая единственность положительного решения краевой задачи в цилиндрической области для линейного параболического уравнения ( без младших членов и с коэффициентами зависящими только от х), с нелинейным краевым условием, с точностью до сдвига в классе экспоненциально убывающих функций.

3. Показано, что положительное решение полулинейного параболического уравнения, с коэффициентами зависящими от х, г и с сублинейным источником зависящим только от и, удовлетворяющее условию Неймана на границе цилиндра, отличается от некоторого решения соответствующего обыкновенного уравнения на экспоненциально убывающую функцию.

4. Доказано, что решение задачи Коши для полулинейного уравнения теплопроводности без младшпх членов со стоком

в случае критического показателя о — 2/п и финитного суммируемого начального условия будет "/'2) при £ —» оо.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены при исследованиях в области качественной теории эллиптических и параболических уравнений.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

Семинар кафедры дифференциальных уравнений "Уравнения с частными производными" под руководством проф. Рад-кевича Е.В., проф. Кондратьева В.А. в сентябре 2002 года;

- XXIX Международная молодежная научная конференция 'Та-гаринские чтения" (Москва, 8-11 апреля 2003 г.);

- Семинар отдела математической физики в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН под руководством Гущина А.К., Михайлова В.П, в апреле 2003 года;

- Семинар по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством проф. Каменского Г.А. и проф. Скубачевского А.Л. в Московском авиационном институте в марте 2004 года.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка цитированной литературы. Главы 1-3 разбиты на параграфы. Общий объём текста - 82 страницы. Список литературы содержит 32 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1. Первая глава носит вспомогательный характер. Глава 2. Рассматриваются решения в Q х К+ полулиншного параболического уравнения

" 0 Он ^ Q ц

£ а^^а^ + £ " -= (4) «,j=i * 3 i=i *

удовлетворяющие на 5П х R+ условию Неймана (3).

Предполагается, что ^ - ограниченная область в с липши-цевой границей, коэффициенты измеримы, удовлетворяют

условиям равномерной эллиптичности и симметричности

ограничены и измеримы, - неотрицательная ограниченная функция такая, что

Под решением ti(x.t) уравнения (4), удовлетворяющим условию (3), понимается функция, принадлежащая х {а,Ь)) П L.X(Q х [а, Ь]) при любых 0 < а < ^ < со, удовлетворяющая уравнению (4) и условию (3) в смысле интегрального тождества. Такие решения непрерывны в

Из условий на а(я) в §2.1 выводится, что при t> 0 выполнена оценка i)l ^ ct~^la. где с = const - зависит от решения. Это неравенство доказывается аналогично оценке (1.43), полученной

В.А. Кондратьевым и Л. Вероном на пером шаге доказательства леммы 1.5 работы10. (Отметим, что в леммах. 1.5 -1.7 этой работы получен первый член степенной асимптотики решения уравнения (4), удовлетворяющего условию (3), в случае а,(х) = 0.)

Опираясь на эту оценку, в § 2.2 доказывается теорема, характеризующая поведение знакопеременных решений Теорема 1. Если решение u(x,t) уравнения (4), удовлетворяющее (3), обращается в ноль в точках tti +оо, то

|ji(ar,i)| < cexp(-af),

где си а положительные константы, причем а не зависит от и.

Доказательство теоремы по сути повторяет доказательство леммы 2 работы В.Н. Арефьева и В.А. Кондратьева8.

Для анализа положительных решений в § 2.3 показывается, что в формуле

можно так подобрать непрерывные в Q функции <Рп(х) € W.j(fl), у'оо (*) > что функция Uf/(x,t) будет в i2xR+ обобщенным решением неоднородного уравнения вида (4) с правой частью o(t~'~N) при t —> оо, удовлетворяющим условию (3). При этом оказывается, что функции 900(^)1 VnW = const определены однозначно, функция у'юМ определяется с точностью до константы, и при фиксированном произволе в выборе (¿>ю все коэффициенты ряда при определяются однозначно, а при с точно-

стью до произвольной константы. Если увеличивая N сохранять произвол в выборе функций не зависят от

Отметим также, что константа > 0, причем равна 0 тогда и только тогда, когда

Случай а(х) = const > 0 изучен В.Н. Арефьевым и В.А. Кондратьевым. В этом случае ими установлено, что любое решение уравнения (4), удовлетворяющее граничному условию (3), имеет вид (2).

В общем случае асимптотическое поведение положительных

решений уравнения (4), удовлетворяющих граничному условию (3), характеризуется следующими утверждениями из §2.4, §2.5 : Теорема 2. Каждое положительное решение уравнения (4), удовлетворяющее условию (3), имеет вид

и(х, t) = un(x, t) + o(i1_»~'v) при t -> oo,

где Utf(x,t) определено формулой (5), с фиксированным произволом в выборе функции ^ю(^)^ зависящем от u(x, t)

Теорема 3. Для любых двух положительных решений u{x,t) и v{xЛ) уравнения (4), удовлетворяющих условию (3), существует такая константа т, что

где а = const > 0 не зависит от u(r,t), j;(r,£).

В теореме 3 за а = const можно взять любое число такое что, в полосе |ReA| < о-, А = 0 - единственное собственное значение А задачи:

Доказательство теорем 2 и 3 использует ряд свойств решений линейных задач, а именно, теоремы 3.1 и 4.1 работы Л.А. Баги-рова и В. А. Кондратьева11 и предложение вытекающее из работы С. Агмона и Л. Ниренберга12.

В §2.6 для случая (¡¡(х) = 0 методом Шаудера доказывается существование в пололштельных решений

уравнения (4), удовлетворяющих граничному условию (3) и отличающихся на нетривиальную экспоненциально убывающую функцию. Для таких решений в §2.7 дается уточнение остаточного члена где числа

" Багиров. Л. \ Кондратьев, В А. Об асимптотических свойствах решений уравнения диффузии, Т\>улы семинара им. II. Г. Петровского 2002 т. 22 стр 37-70

1г Aginou, S. and Nirenbcrg, L. Properties of Solution of Ordinary Differential Equations in Uauach Space, Communications on Pure and Applied Mathematics 1963 №16 pp 121-239

образуют возрастающую последовательность и являются линейными комбинациями с неотрицательными целыми коэффициентами собственных значений зачачи (С), функции обладают асимтпотическими разложениями вида (о).

Глава 3. Изучаются положительные решения уравнения

£

ij=l

д . . . ди.

(7)

определенные в> Q X ¡R+, удовлетворяющие на Oil XI краевому условию Неймана: ди

. нелинейному

ди

+ a(s)|u|<r« = 0.

(8)

Предполагается, что П — ограниченная область в R", д(1 — многообразие класса С1 ,коэффициенты а^(х), симметричны, удовлетворяют условию равномерной эллиптичности, а(х) — неотрицательная ограниченная измеримая на dil функция такая, что

f0Qa(x)ds > 0, а = const > 0.

Под решением u[x,t) уравнения (7), удовлетворяющим условию (8), понимается обобщенное решение из класса L.^ilxfa, 6]) для любых 0 < а < b < с». При наложенных условиях на а(х) для решений уравнения (7), удовлетворяющих условию (8), выполнен принцип максимума. Используя его в §3.1 доказывается, что все решения уравнения (7), удовлетворяющие условию (8) стремятся к 0.

Для положительных решении уравнения (7), удовлетворяющих условию (8) в доказывается теорема об оценке разности двух решений, аналогичная теореме 3.

План доказательства в основном такой же как для решений уравнения (4), удовлетворяющих условию (3). Сначала в § 3.1 для произвольного проводится построение функции , определяемой формулой (5), удовлетворяющей неоднородному уравнению вида (7) и неоднородному условию вида (8) с правыми частями о(гН) при t —> 00. Отсюда выводится, что все положительные решения уравнения (4), удовлетворяющие условию (3) при t —> оо имеют вид

где со = (ff/Sna(s)<is)~1^7(mesii)1''<\ сц = const > 0. Для окончания доказательства в §3.2 получается теорема об альтернативе между степенным убыванием с фиксированным показателем, определяющимся параметрами задачи, и экспоненциальным убыванием, решения линейного уравнения (7), в цилиндрической области удовлетворяющего краевому условию

Это утверждение является аналогом теоремы 4.1(5.2) работы11. Его доказательство получается сведением третьего краевого условия к однородному условию Неймана, и использования теоремы 4.1

работы11.

Глава 4. Рассматриваются положительные решения уравнения

в , удовлетворяющие условию (3) на

Предполагается, что уравнение (9) равномерно параболическое, коэффициенты a,-(x,t) ограничены в Q X М+, П — ограниченная область в S". с лнпшицевой границей 8Q. Под решением u(x,t) уравнения (9), удовлетворяющим условию (3), понимается обобщенное решение И^'^П X (а,Ь)) П L^Q х [а,Ь]) при любых а,Ь :

Основной является Теорема 4. Пусть u(x,t) положительное в Пц решение уравнения (9), удовлетворяющее условию (3). Тогда

где а = const > 0 не зависит от м(х, t), tq = const зависит от

- При доказательстве теоремы 4 используется принцип максимума для положительных решений уравнения (9), удовлетворяющих условию (3), и неравенство Харнака вплоть до границы, что позволяет свести задачу к линейной и получить асимптотику.

Глава 5. Рассматривается решение u(t,x) задачи Коши t > О, х € Rn полулинейного параболического уравнения

с финитным начальным данным щ(х) G L^R"). Уравнение предполагается равномерно параболическим, а > 0. Под решением понимается функция w(t,х), принадлежащая пространству И^'ДК+х R") Г) х R"), и удовлетворяющая уравнению (10) в смысле

интегрального тождества.

Для решения u(t,x) задачи Коши, с финитным начальным данным uo(x)., известны следующие оценки |u(i, х)| < и |u(f, х)| < сГп/г. Первое неравенство доказано в работе В.В. Чистякова13, второе вытекает из принципа максимума, и оценки решения задачи Коши для линейного уравнения, имеющейся в работе Дж. Нэша14. Параметр а при котором эти оценки совпадают называются критическим.

Теорема 5. В случае критического параметра О = п/2 для решения u(t,x) уравнения (10) с финитным начальным данным «(0, .г) 6 ¿'(R") выполнено

и = o(t~"^) при t —> со

равномерно по X G Л".

Случай a¡j = ¿¡j рассмотрен в работах А. Гмнра и Л. Верона15 и В.А. Галактнонова, СП. Курдюмова, А.А. Самарского16. Доказательства, имеющиеся в этих работах, существенным образом используют структуру оператора Лапласа.

В силу принципа максимума достаточно доказать теорему 5 для положительных решений. Доказательство теоремы проводится в два этапа.

13 Чистяков В В. О свойствах решений полулинейных параболических уравнений второго порядка, Труды семинара И.Г.Петровского вып. 15 (1991), 70-107

н Нэш Дж. О непрерывности решений параболических и эллиптических уравнений, сб. переводов Математика 4:1 (I960) 31-52

15 Gmira, А. ао<1 Veron, L. Large Time Behaviour of the Solutions of a Semilinear Parabolic Equation in III*, Journal of Differential Equations 1984 vol. 53 pp. 258-276

16 Галактионов B.A., Курдюмов С.П., Самарский A.A. Об асимптотических "собственных функциях* задачи Коши для одного нелинейного параболического уравнения. Математический сборник, 1985, т. 126(168), 4, стр 435-472

Сначала методом аналогичным работе А. Гмира и Л. Верона15 доказывается, что /к„и'г+}с1х(11 < оо. Окончание доказательства проводится с использованием неравенства Харнака, применяемого к областям вида И<л = {.г2 <t,X<t< 2А}. При этом используется, что в силу оценки |и(<,х)| < сС"''2 константу в неравенстве Харнака можно считать независящей от А. Отсюда и из того, что /и'л О ПРИ А —> оо, получается утверждение теоремы:

и = о^-"/'2) при £ оо равномерно по х € Я"-

Автор искренне благодарит своего научного руководителя доктора физико-математических наук, профессора Владимира Александровича Кондратьева за постановку интересных задач и постоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Filimonova I.V. Asymptotic Behaviour of Positive Solutions of a Semilinear Parabolic Equation // Russian Journal of Mathematical Physics, vol. 10, No. 2, 2003, pp. 234-237

2. Филимонова И.В. Асимптотика при t —» оо решений задачи Неймана в цилиндре для полулинейного параболического уравнения. // Вестник МГУ, сер. 1 (Математика, Механика) 2003, №6, стр. 50-53

3. Филимонова И.В. Асимптотика решений полулинейного параболического уравнения в цилиндрической области. // Ма-тем. сб., т. 195, 2004, №2, стр. 141-156

4. Филимонова И.В. Асимптотика при решений задачи Неймана в цилиндре для полулинейного параболического уравнения. XXIX Гагаринские чтения, Международная молодежная научная конференция, Тезисы докладов, т. 2, стр. 87

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ЮОэкз.Заказ № ¿3

»-769 7

0.1 Введение.

0.2 Основные определения, обозначения, накладываемые условия

1 Вспомогательные результаты

1.1 Принцип максимума и гладкость решений.

1.2 Теоремы об асимптотическом поведении решений одного линейного уравнения

1.3 Вспомогательные теоремы из функционального анализа

1.4 Применение теорем из функционального анализа

2 Нелинейность: — a(x)\uYu, а > 0.

2.1 Стремление решений к нулю

2.2 Экспоненциальное убывание знакопеременных решений

2.3 Асимптотическая эквивалентность положительных решений

2.4 Асимптотическое разложение положительных решений

2.5 Оценка разности двух положительных решений

2.6 Экспоненциально отличающиеся решения.

2.7 Полная асимптотика положительных решений.

3 Положительные решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющие нелинейному краевому условию

3.1 Асимптотическая эквивалентность положительных решений

3.2 Аналог теоремы об асимптотическом поведении решений линейных уравнений

3.3 Теорема о разности положительных решений.

4 Положительные решения уравнения с нелинейностью +u9signu, 0 < q <

5 Задача Коши. Случай критического показателя

Работа посвящена изучению асимптотического поведения решений некоторого класса параболических задач в цилиндрической области. Изучаются решения полулинейного параболического уравнения, удовлетворяющие условию Неймана на некомпактной части границы, и решения линейного параболического уравнения, удовлетворяющие нелинейному краевому условию. Основное внимание уделено асимптотике положительных решений.

Глава 1 носит вспомогательный характер.

В главе 2 в полубесконечном цилиндре (я, t) g Q x R+ рассматриваются решения полулинейного параболического уравнения

0 ди ди щ = 'S а = const > 0 j=

J dxi dxj dxi удовлетворяющие на Ш x R+ краевому условию Неймана: ди п cos(n,Xi) = 0, (0.2)

J=i

Предполагается, что Q — ограниченная область с липшицевой границей, коэффициенты ciij(x) удовлетворяют условию эллиптичности и симметричности, а;(х) — ограничены и измеримы, а(х) — неотрицательная ограниченная функция такая, что ess info а(ж) ф 0. Под решением и(х, t) уравнения (0.1), удовлетворяющим условию (0.2), понимается обобщенное решение и(х, t) принадлежащее [а, 6]) при любых 0 < а < 6 удовлетворяющее уравнению (0.1) и условию (0.2) в смысле интегрального тождества. Точный вид интегрального тождества приведен на странице 31, определение пространства W2'1 дано в § 0.2. Здесь отметим только, что из теории линейных параболических уравнений следует, такие решения непрерывны и гель-деровы в каждом конечном цилиндре U х [а,Ь], а > 0 вплоть до его границы.

Исследованием асимптотического поведения решений уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2), занимались P. Baras, L. Veron, В.Н. Арефьев, Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев, О.А. Олейник. Основные результаты содержатся в работах [17, 21, 18, 22] и других.

В работе [18] рассматривалось уравнение (0.1) с о,-(аг) = 0, и было доказано, что все его решения, удовлетворяющие условию (0.2), стремятся к нулю при t —> оо равномерно в и найден первый член асимптотики решения при tоо. А именно доказано, что для любого решения существует равномерный по П предел при t —> оо: tV'uM^Л 6 {-со, 0, с0}, где с0 = •

В случае произвольных аг-(я) доказательство стремления всех решений к нулю может быть проведено аналогично (§2.1).

В работе [21] установлено, что если а{х) = ао = const > 0, то любое решение уравнения (0.1), удовлетворяющее граничному условию (0.2), имеет вид u(x,t) = C(t + г)-1'" + о(е~ы) при t-> оо, где либо С = 0, либо |С| = (стао)-1^, т. = const зависит от и, а а = const > 0 от и не зависит. Более того С = 0, тогда и только тогда, когда решение обращается в ноль при сколь угодно больших t.

В главе 2 настоящей работы доказывается, что пространство решений уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2), в "целом" устроено также, как в случае а(х) — const > 0. В теореме 2 §2.2 доказывается экспоненциальное убывание при t —оо, осциллирующих, то есть обращающихся в ноль при сколь угодно больших t, решений уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2). Отметим, что такие решения существуют.

Асимптотическое поведение положительных решений характеризуется теоремой 4 §2.4, утверждающей, что для любого положительного решения u(x,t) уравнения (0.1), удовлетворяющего условию (0.2), можно при любом N подобрать непрерывные в Q функции <Pk,i{x) (k = 0,. ,iV;z = 0,. ,к), такие что к—А' г=к и(х, = Г°~к In'1 + °(гl/cr~N) при t оо, (0.4) к=0 £=0 причем 9оо = const, 9п = const — не зависящие от решения, и <рц = 0 тогда и только тогда, когда а(х) — const.

В теореме 5 §2.5, показано, что для любых двух положительных при t оо решений u(x, t) и v(x, t) уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2), существует такая константа г, что u(x, t) — v(x, t + r) = о(е~а'), при t —> оо где а = const > 0 число меньшее, чем вещественная часть любого ненулевого собственного значения однородной краевой задачи Неймана в области Q.

Доказательства теорем 4 и 5 основано на методах разработанных в [20].

В §2.7 в случае а\(х) = 0 дается уточнение формулы (0.4). Строится асимптотическое разложение решений уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2), в виде оо u(x,t) ~ щ(х,Ь) + vm(x,t)e Arnt при t —> оо m=l где Am = const > 0, функция щ имеет асимптотическое разложение определямое формулой (0.4), функции vm(x,t) обладают степенной асимптотикой вида (0.4).

В главе 3 рассматриваются положительные решения линейного уравнения теплопроводности i,j= 1 J удовлетворяющие на Q х нелинейному краевому условию Неймана: jj + a(s)\u\"u = 0 (0.6) коэффициенты aij(x) = aji(x) — измеримы и удовлетворяют условию эллиптичности, функция a(s) > 0 ограничена и такова, что fan a(s)ds >

Для любых двух положительных решений u(x,t) и v(x,t) уравнения (0.5), удовлетворяющих условию (0.6) доказывается существование такой константы г, что разность u(x,t) — v(x,t + г) = o(e~ai) при t —оо, где а = const > 0. План доказательства в основном такой же как для решений уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2). Сначала для решения линейного уравнения (0.5), удовлетворяющего краевому условию + (ф)Г1 + о(Г1~£))и = 0. (0.7) на границе цилиндрической области доказывается теорема 8, об альтернативе между степенным убыванием с фиксированным показателем, определяющимся параметрами задачи, и экспоненциальным убыванием. Это утверждение является аналогом теоремы 4.1(5.2) [20] для случая краевого условия (0.2). Доказательство теоремы 8 получается сведением условия (0.7) к условию (0.2), и использования теоремы 4.1 работы [20]. Для окончания доказательства теоремы 8 требуется теорема 1, доказанная в §1.2 методом, аналогичным примененному в [22].

В главе 4 изучается асимптотическое поведение в цилиндрической области положительных решений уравнения удовлетворяющих условию Неймана (0.2). Доказывается теорема 10, утверждающая, что все решения имеют вид и(х, t) = [(1 -q)(t + П))]1^ + 0(e~at), при t оо где а = const > 0 не зависит от решения.

В главе 5 изучается решение задачи Коши для полулинейного параболического уравнения l-(aij(x,t)^-)-\ и\°и = щ (0.8) с финитным начальным данными(0,х) G L\(Rn) в случае критического параметра а = п/2.

Для оператора Лапласа a,j = Sij случай критического параметра изучался в работах [26, 27, 28]. В [26] было получено, что при а — п/2 для любого решения (0.8) с положительным начальным данным из L\{Rn) имеет место оценка

2lnn/2(£ + £oM*,z) > а для а; £ A", t > е, К — компакт в IRn, а = const > 0. В [27] кроме аналогичной оценки снизу, имеется еще оценка сверху u(t,x) < H[(t + to) ln({ + to)]-/2exp{-41,+,0)llJl-,(i+lo)1J всюду в R x IR", с некоторыми постоянными > e2, a > 0, H > 0 для любого решения уравнения (0.8) с начальным данным w(0, х) = о(ехр(—7|х|2)) при |я| —> оо.

В главе 5 доказывается, что для решения уравнения (0.8) с финитным начальным данным и(0,х) выполнено и = о(£~п/2), при t оо равномерно по х G Rn.

Автор искренне благодарит своего научного руководителя В.А. Кондратьева за постановку задач и постоянное внимание к работе.

0.2 Основные определения, обозначения, накладываемые условия х = {х\,. хп) — точка в IRn

Q — ограниченная область в Нп, с липшицевой границей dQ, таким образом для каждой точки G dQ существует шар В(хо) центром в а?о и такое взаимно однозначное отображение ф этого шара В на D G JR", что 1) ф(ВПО) С IR+, 2) ф{ВПдП) С 3) ф G С0>1(#), ф~1 G C0,1(D). (см [4, стр 95]) п — единичный вектор внешней нормали Па,ь — цилиндр {(я,£)|:е G G (a,b)}

Па = Паоо

Sa,b — боковая поверхность цилиндра {(:c,f)|# G dQ,t G (а,Ь)} ~ Satoо

Для функциональных пространств используются следующие обозначения, принятые в [1] :

1^2(0) — гильбертово пространство состоящее из всех измеримых в смысле Лебега на Q функций, суммируемых по Q со степенью 2. Скалярное произведение в нем определяется равенством (и, v) = f uvdx, n норма обозначается ||w||2

Loo{ty — существенно ограниченные функции в Q, с нормой ||w||oo = ess supn |и(ж)|

WjM^) — гильбертово пространство состоящее из всех элементов £2(0), имеющих обобщенную производную по каждой из переменных принадлежащую £2 (О)

И^'^Па^) — гильбертово пространство со скалярным произведением u,v)w1,0 = f (uv + ELi uXkvXk)dxdt ne,b

И^'^Па^) — гильбертово пространство со скалярным произведением и, v)wi.i = f (uv + utvt + J2kZi uXkvXk)dxdt n0)6

2(Па,ь) — банахово пространство, состоящее из всех элементов W21,0(n< имющих конечную норму ||u||y3 = ess max \\u{x,t)\\L2^ + ||Vu||£2(nafr) , 1/2 здесь ||Vw||L2(na,b) = [fnabEk=:iuidxdtJ

V2l'°(naib) — банахово пространство, состоящее из всех элементов ^2(Па,б), непрерывных по t в норме ^(О), то есть t + h) - и(х, t) ||jr,(n) -> 0 при h -> О, с нормой max NM)||*(n, + ||Vu||La(neib)

О решениях:

В основном все решения уравнений, о которых пойдет речь, можно рассматривать, как обобщенное решения в По уравнения

П Q Tl дхМ^^ + *)u*< + *)и ~ Щ = ^ i,j=l 1 3 i—i удовлетворяющее на So краевому условию: ди где = a>ij(x,t)ux. cos(n,^-), — производная по конормали.

Коэффициенты а^- как правило зависят только от х. При этом предполагается, что они — измеримые в функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности п

Но : i/ilCl2 < < */2|£|2, при 0 < < е IRn i,j= 1

В случае когда коэффициенты ау зависят и от предполагается что при любых а,& функции aij(x,t) измеримы в Па>& и удовлетворяют в По условию п

Щ v\\Z,\2 < М*» *)&£» ^ при 0 < щ < 1/2 ij= 1 в котором Vii = const не зависят от а, Ь.

Обычно также предполагаются выполненными условия симметричности

Hi : a,ij = aji

От других коэффициенов требуется следующее

Щ ' a,i(x,t),a(x,t) измеримы в П^, ограничены в По.

Если коэффициенты а^ зависят только от х, f(x,t) G 1/2{На,ь) и выполнены условия Щ - #2, то решение из пространства И^'^Па^), то есть когда имеет место тождество я п р П Л / uiptdxdt + ^^ / aij(x)ux^x.dxdt — / ai(x,t)uXiil>dxdt—

П0)6 г,7=1 1=1 ''Па,6 / a(x,t)uil)dxdt + / f(x,t)ipdxdt = 0, «/па,6 Jna,b ri.i. для всех функций ф(х,Ь) € W2' (Па1ь), таких что = = 0, является элементом И^1' (Па>б), и справедливо

С " г " г

I Ufipdxdt + 2] I aij(x)uXjipXidxdt / ai{x,t)ux.ipdxdt— / a(x,t)uipdxdt + / f(x,t)il>dxdt = 0, •/na,6 Упа,ь для всех функций ip(x,t) G И^21,0(Па1б). [5, 3]

1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа// Москва, Наука, 1967.

2. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа// Москва, Наука, 1973.

3. Ильин A.M., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. //УМН т. 17 3(105) (1962) 3-146 //(перепечатано) Труды семинара И.Г.Петровского вып. 21 (2001), 9-193

4. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка// Москва, Наука, 1989.

5. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики М, Наука, 1973

6. Moser J. A Harnack Inequality for Parabolic Differential Equations // Communications on pure and applied mathematics, vol 17 (1964), pp. 101-134

7. Нэш Дж. О непрерывности решений параболических и эллиптических уравнений. сб. переводов Математика 4:1 (1960) 31-52

8. Порпер Ф.О., Эйдельман С.Д. Свойства решений параболических уравнений второго порядка с младшими членами // Труды московского математического общества, том 54 (1992), 118-159

9. Agmon, S. and Nirenberg, L. Properties of Solution of Ordinary Differential Equations in Banach Space // Communications on Pure and Applied Mathematics 1963 №16 pp. 121-239

10. Davies E.B. Heat kernels and spectral theory, Cambridge University Press, 1989

11. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа // Москва, Наука, 1965.

12. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // УМН 1964 т 19 №3 стр 53-161

13. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых векторах и индексах линейных операторов // УМН 12, вып 2, 1957, стр. 43-118

14. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Доклады Академии Наук СССР, 1951, (LXXVII), вып 1, стр 11-14

15. Гохберг И.Ц., Сигал Е.И. Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы Руше // Матем. сб. 1971 vol 84 (126) №4 стр 607-629

16. Gmira, A. and Veron, L. Asymptotic Behaviour of the Solutions of a Semilinear Parabolic Equation // Monatshefte fur Mathematik, Bd. 94 (1982), №4, pp. 299-311.

17. Baras, P. and Veron, L. Comportement asymptotique de la solution d'une equation devolution semi-lineaire de la chaleur // Commun. Part. Differ. Equat. 1979 vol. 4 pp. 795-807

18. Kondratiev, V. A. and Veron, L. Asymptotic Behaviour of Solutions of Some Nonlinear Parabolic or Elliptic Equations // Asymptotic Analysis 1997 vol. 14 №2 pp. 117-156

19. Багиров, Л.А. Кондратьев, В.А. Об асимптотике решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Математический сборник, 1991 т. 182, 4, стр 508-525

20. Багиров, Л.А. Кондратьев, В.А. Об асимптотических свойствах решений уравнения диффузии // Труды семинара им. И. Г. Петровского 2002 т. 22 стр 37-70

21. Арефьев В.Н., Кондратьев В.А. Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи для нелинейных параболических уравнений. //Дифференциальные уравнения 1993. 29. N 12. 21042116.

22. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А., Олейник О.А. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях. //Мат сб т. 189 3(1998) 45-68

23. Кондратьев В.А. Об асимптотических свойствах решений нелинейного уравнения теплопроводности. //Дифференциальные уравнения 1998. 34. N 2. 246-255

24. Кондратьев, В.А. О некоторых нелинейных краевых задачах в цилиндрических областях. // Труды семинара им. И. Г. Петровского 1996 т. 19 стр 235-261

25. Чистяков В.В. О свойствах решений полулинейных параболических уравнений второго порядка // Труды семинара И.Г.Петровского вып. 15 (1991), 70-107

26. Gmira, A. and Veron, L. Large Time Behaviour of the Solutions of a Semilinear Parabolic Equation in IR^ // Journal of Differential Equations 1984 vol. 53 pp. 258-276

27. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Самарский А.А. Об асимптотических "собственных функциях" задачи Коши для одного нелинейного параболического уравнения // Математический сборник, 1985, т. 126(168), 4, стр 435-472

28. Cazenave Th., Dickstein F., Escobedo M., Weissler F.B. Self-Semilar Solutions of a Nonlinear Heat Equation // J. Math. Sci. Tokyo. 8 (2001), 501-540.

29. Filimonova I.V. Asymptotic Behaviour of Positive Solutions of a Semilinear Parabolic Equation // Russian Journal of Mathematical Physics, vol. 10, No. 2, 2003, 234-237

30. Филимонова И.В. Асимптотика при t —> оо решений задачи Неймана в цилиндре для полулинейного параболического уравнения. // Вестник МГУ, сер. 1 (Математика, Механика) 2003, 6, стр 50-53