Асимптотические свойства целых функций конечного логарифмического порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

• МІНІСТЕРСВО ОСВІТИ УКРАЇНИ Львівський державний університет імені Івана Франка

р г 5 ОД На праЬах рукопису

Тарасюк Роман Іванович

Асимптотичні властивості цілих функцій скінченного логарифмічного порядку

01.01.01 — математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Львів — 1997

Дисертацією с рукопис.

Робота ізпконана на кафедрі теорії функцій та теорії ймовірностей Львівського державного університету ім. І. Франка.

Науковий керівник - кандидат фізико-мн,тематичних наук, доцент Заболоцький М.В.

Офіційні опоненти: доктор фізико-матеманічних наук,

професор Боднар Д.І., доктор фізшді-математнчиих наук, доцент Винницький Б.В.

Провідна установа - Харківський державшій університет

Захист відбудеться ” <2_2.” т~о $і-____________ 1997 р. о Л5~ год,

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 04.04,01 у Львівському державному університеті ім. І. Франка (290001, м. Львів, вул. Університетська, 1). .

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського держанного університету (м. Львів, вул1. Драгоманова, 5).

Автореферат розіслано ” ІЛ. ” Я-________ 1997 р.

Вчений секретар „

спеціалізованої вченої ради Я.В.Микитюк

Актуальність теми. Одним з центральних об’єктів у загальній теорії аналітичних функцій с клас цілих функцій, з яким так чи інакше має справу кожен математик. У сучасних дослідженнях з теорії цілих функцій можна виділити дві основні тенденціі: з одного боку, доводяться результати, що стосуються всього класу цілих функцій, а з іншого, виділяється той чи інший їх підклас і вивчаються його властивості. До таких підкласів належить клас цілих функцій / скінченного порядку. Як і у загальному класі, так і у ііого підкласах (зокрема, у класі функцій скінченного порядку), основні задачі стосуються двох проблем: вивчення зв’язку між зростанням функції / і поводженням її нулів, а також між зростанням функції / та спаданням коефіцієнтів її розвинення в степеневий ряд.

Стосовно першої проблеми, у 1914 році Ж. Шілірон показав, що у випадку, якщо всі нулі функції / від’ємні, рахуюча функція іі нулів »(/) ~ (£ —► оо), де Д Є (0,+оо) і р-неціле число, то для будь-якого

5 > 0 рівномірно відносно 0 6 [-тг-*-<ї, 7Г — ¡ї] виконується співвідношення

1п Дгеів) ~ (,■ оо),

НІН тгр

де 1іі/(;) однозначна в куті {г : |іи^г| < 7Г - <ї} вітка многозначної функції Ілі/(;г) така, що 1н /(()) =: 0. ІІнм також доведено, що коли / має нецілий порядок р, всі її нулі від’ємні і

то n(t)Atp (t —¥ oo). Значно простіше доведення останнього твердження дав Е. Тітчмарщ у 1927 році.

Теореми, в яких за відомою асимптотикою n(t) робиться висновок про асимптотику 1 nf(z) позивають теоремами типу Валірона, а теореми, де за відомою асимптотикою 1п|/(г)| на промені робиться висновок про асимптотику «(<), - теоремами типу Валірона - Тітчмарша. В.М. Логвиненко (1973 р.) довів теореми типу Валірона і Віїлірона-Тіт-чмарша для цілих функцій нецілого порядку р в термінах двочленної асимптотики.

Зв’язок між зростаням функції / та спаданням коефіцієнтів а„ їі розвинення в степенешш ряд розглядав Е. Ліндельоф. У 1903 році він знайшов необхідні та достатні умови на поведінку коефіцієнтів и„ для виконання співвідношення lnAiy(r) = (1 + о(1))агр (г —> +ос), де М/(г) = шах{|/(г)| : |г| = j}, 0 < р,а < +оо.

Цей результат при р — 1 був перевідкрнтин М.В. Говоровим та

Н.М. Черних. М.М. Шеремета (1990 р.) посилив результат Е. Лінде-льофа на випадок двочленної асимптотики. Він показав, що для того, щоб

In М/(r) = агр -і- о і г*>1 + о(гРі) (?• —> -f оо),‘

де 0 < рі < р < +оо,0 < а < +оо і ffi Є К, необхідно і досить, щоб для будь-якого £ > 0 виконувались нерівність

та існувала зростаюча до +оо послідовність (я*,.) натуральних чисел така, що iik+i - Пк = о (^п[р+р'^2р^ (к -+ +оо) і

1» KJ > - — In — + (а, - є) (—') (к Є N).

І> <'Р° \ря/

В останнє тридцятиріччя, окрім класу цілих функцій скінченного порядку, пиичасться клас цілих функцій так званого скінченного логарифмічного порядку

■ In hi Mr (г)

pi — hin sup —-——-—1 < ос.

r-too 111 111 r

До цього часу Пули підомі лише формули для знаходження рс через коефіцієнти розвинення в степеневий ряд. Про теореми типу Валірона та Валірона-Тітчмарша для функцій даного класу в літературі мова не йшла.

Отже, актуальною стала задача про встановлення аналогів теорем В.М.Логвнненка та М.М.Шоремети для цілих функцій скінченного логарифмічного порядку. Цій проблемі присвячена дана дисертаційна робота.

Мста роботи полягає у доведенні теорем типу Валірона та Валірона-Тітчмарша для цілих функцій скінченного логарифмічного порядку, а також у встановленні аналогів теорем Е. Ліндельофа та М.М. Шереме-тн для функцій згаданого класу.

Наукова новизна. ІЗ роботі:

1. Отримано аналоги теорем типу Валірона та Валірона-Тітчмарша для цілих функцій скінченного логарифмічного порядку, коли лічильна функція нулів має двочленну асимптотику логарифмічного вигляду.

2. Встановлено критерії регулярності асимптотики цілих функцій скінченного логарифмічного порядку. Ці критерії с аналогами теорем Е. Ліндельофата М.М. Шеремети, У випадку двочленної асимптотики In М/(г) побудовано приклади функцій, які Показують істотність обмежень на зростання другого члена цієї асимптотики.

• Всі отримані результати є новими.

Теоретична і практична ЦІННІСТЬ. Результати дисертації є повним внеском у теорію цілих функцій. Вони можуть знайти своє застосування як у теоретичних, так і у практичних питаннях.

Основні положення дисертації, шо пиносяться на захист:

1. Доведення теорем типу Валірона та Валірона-Тітчмарша для цілих функцій скінченного логарифмічного порядку.

2. Встановлення критеріїв регулярності асимптотики цілих функцій скінченного логарифмічного порядку.

3. Побудова прикладів функцій, що показують істотність обмеження на зростання другого члена асимптотики.

Методи д'опіджень. При доведенні наведених в роботі результатів використовувались методи загальної теорії цілих функцій, а також деякі прийоми з праць В.М. Логвшіенка та М.М. Шеремети.

Апробація роботи. Результати роботи доповідались на Міжнародній математичнії! конференції, присвяченій пам’яті Ганса Гана (10-13 жовтня 199-1 (і., Чернівці), Четвертій Міжнародній науковій конферен-ціі ім. академіка М. Кравчука (Київ, 11-13 травня 1995 р.), а також на Льпіпеькому міському семінарі з теорії аналітичних функцій (керівник проф. Гольдберг A.A., 199G, 1997 р.) та Харківському міжвузівському семінарі з теорії функцій (керівник проф. Ронкін Л.І., 1997 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в працях [1] [5], список яких подано в кінці автореферату.

Особистий внесок дисертанта. V статті [3] М.М. Шереметі належить ностічіовка задачі і загальне керівництво над ії розв'язуванням, а результати належать автору дисертації та M.D. Заболоцькому в однаковій мірі. Результати роботи [4] отримані дисертантом у співавторстві з M.D. Заболоцькнм. Всі інші результати отримані автором самостійно.

Структура та об’єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, двох розділів, які загалом містять 9 параграфів, та списку літератури із 21 назви. Загальний обсяг роботи - 99 сторінок.

Автор дисертації висловлює щиру подяку М.М. Шереметі, вважаючи його також своїм науковим керівником. •

У першому розділі дисертаційної роботи розглядається залежність між асимптотикою логарифма цілої функції скінченного логарифмічного порядку та двочленною асимптотикою іі рахуючої функції.

У §2 розділу 1 даної роботи доведено теореми тішу Валірона та Ва-лірона - Тітчмарша ь термінах мнагочленноі асимптотики для цілих функцій скінченного логарифмічного порядку, тобто доведено наступні теореми

Теорема 1.2.1. Нехай 2 < д < р < д + 1 < оо, Д 6 (0,+оо) , Ді є К, а <Рі~ інтегрована на кожному скінченному проміжку з М+ функція така, що пря деякому тп > 1 З х*

У Ь?і(*)Г«Ьво(Т(1пТ)га(«~а)) , Г -*'+оо. (1)

ІЬді, якщо р — 0, всі нулі функції / від'еині і

п(<) = Д1пр< + Ді Іц4 <+.у>і(0 (*>1),

то для будь-яких в Є {-я,, тг] справедлива рівність

1п /(ге") = 1пр+‘ г + -4“- 1пч+1 Г + ів{ Д 1пр г + Д! 1пч г)+

р+ 1 д+1 ’

+ І (Дріп^'г + Дідігі4-1 г) + фі(г) , г = ге'9,

Де

Фі{г) == о(1п4-1 г)

при z —> oo зовні деякої виняткової мн ожини £'(/). Ця виняткова множина E(f) складається з не більш як зліненного об’єднання прямокутників {г : х'п <Пег. < .т" , |Ітг| < t/n} таких, що х'І < 0, Т,\х'п\<іі(х" ~ хп) = °{Щ І в"Р{Уп ■ Wn\ < Л} =* о(Л) при R-* оо. Якщо, крім того, умова (1) виконується для деякого т > 1, то рівномірно відносно в

\Mreia)fdx = о , Т-і+оа.

Теорема 1.2.2. Нехай числа р, q, Д і Ді такі ж, як і в теоремі 1.2.1, функція*/ має лише від’ємні нулі І

la\f(rei0)\ = -A- lnp+1 г + Ai_ і„ч+> г+

' \ Л р+1 9+1

+ ^ - 0а j (Др1пр~1 г + Ді91пч—1 г) + фі{ге,е)

для значень 0 = 0 і 0 = п, де ф2 для деякого т > 1 задовольняє умову

f \ф2{х)\т<Іх = о(т{\пТ)т(ч-'А , г->+«>. (2)

JT<|t|<2T 4 7

Тоді

п(0 = Д,1пр( + Ді1пЧ + ^2(<) (t > 1),

Де .

ф2Ц) =» o(ln4t) .

при £-4 0о зовні деякоі множини нульової ліпійноі щільності, тобто множини Е С [0, +оо) гакоі, що тез (В П [0, <]) = o(t) , t —оо. Якщо

умова (2) справедлива, для деякого т > 1, то

fîT "

\<p2(t)\mdt = о(Г!п"“'Т) , Т -> ос..

і;

IT

У §1 першого розділу доведено леми, необхідні для доведення наведених теорем. В §3 подано зауваження, що стосуються випадків, коли числа р і q не зв’язані умовами теорем 1.2.1 і 1.2.2, тобто вказано можливість отримати різні аналоги теорем типу Валірона та Валірона -Тітчмарша. Також у §3 показано, що коли у теоремі 1.2.2 обмежитися двочленною асимптотикою In |/| лише на додатному промені (або на довільному промені argz = <р, <р ф —it), то двочленної асимптотики для n(i) не отримується. Дану теорему можна вважати аналогом теореми М.М.Тян: *

Теорема 1.3.1. Нехай ціла функція / має нульовий порядок і лише від’ємні нулі, а

1н|/(г)|= _A_ln»’+,r + Аі_іп?+»г+о(1п,,-,г) , г-юо,

р + 1 q + .1

де —1 < q < р. Тоді для n(t) точною є оцінка ,

; П(*)=Д1„'’* + 0(І^) , *->+00.

У §4 розглядається питання про ’’величину” виняткової множини > теоремі типу Валірона (доведено, що вона є Cq-множиною). Також j цьому параграфі доведено, що для виконання асимптотичної рівност вигляду ii(t) = Д lnp t + Ді In'7 t + ipі (t) достатньо наявності двочленно асимптотики 1п|/| лише на промені arg г = — тг, тобто на промені, д< розташовані нулі /.

• '

Теорема 1.4.2. Нехай р, q, Д , Д і такі, як о теоремі 1.2.1, функція f мис від'ємні нулі і

повні множиніі нульової лінійної щільності. -

Результати першого розділу узагальнюють та посилюють результати Ж. Валірона, В.М. Логвинснка, М.М. Тян.

У другому розділі дано! роботи розглядається зв’язок між зростанням логарифма максимума модуля ціло» функції скінченного логарифмічного порядку та спаданням коефіцієнтів <і„ ії степеневого розвинення в ряд Тейлора (г0 = 0). .

Метою другого розділу є встановлення аналогів теорем Е. Ліндельо-фа та М.М. Шеремсти для функцій скінченного логарифмічного порядку.

Т

Тоді

n(t) — Д ln'’ t + Д і ln4 t + <p(t) ,

lf(t) = o(\nq t) , t, —} oo ,

У §1 Другого розділу наведено допоміжні результати, необхідні для доведення подальших теорем. В §2, зокрема, знайдено формули для знаходження величини типу та шшгього типу цілої функції / логарифмічного порядку рі = 1+я через коефіцієнти її розвинення у степеневий ряд.. Також у цьому параграфі доведено аналог теореми Е. Ліндсльо-фа, тобто знайдено необхідні та достатні умови на коефіцієнти ап для виконання співвідношення

1пМ/(г) «= (1 + о(1))Т1п,,+1 г (г —► +оо, 0 < Т < +оо) (3)

для будь-якої цілої функції скінченного логарифмічного порядку:

Теорема 2.2.2. Для того, Щоб для цілоі функціі / логарифмічного порядку рі — 1+р,0 < р < +оо, виконувалось співвідношення (3), иеоб-

та існувала зростаюча послідовність (пк) натуральних чисел така, що . пь+1 -Пк = о(пк+1) (к -¥ оо) і ' '

У §3 вводиться поняття типу та нижнього типу другого члена асимптотики цілої функціі скінченного логарифмічного порядку та вивчаються їх властивості.

хідно та досить, щоб для будь-якого є Є (0; Т) виконувалась нерівність

(* Є 14).

Нехай 0 < р < +оо,рі < р і 0 < Т < +оо. Величина

Т* = іпї{г Є К : (Зг„(т))(Уг > г0){1пЛ//(г) < Т1пр+1 г + т 1п"'+1 г}}

г. = вир{т Є К : (Зг0(т))(Уг > г0){1пЛ//(г) > Г1пр+1 г + т 1пр,+1г}}

нижнім типом другого члена асимптотики цілої функції / логарифмічного порядку рі — 1 + р.

Покладемо також -

Справедливі наступні теоремш

Теорема 2.3.1. Якщор\ > —1, то справедлива рівність т* = Ґ; •

Теорема 2.3.2. Якщо рі > тах{ — 1,— р} і хп = |п„_і/ап| ^ +оо (п -+ оо), то т* =

У цьому параграфі також побудовано приклади цілих функцій, що показують істотність умов рі > —1 та рі > шах{—1,— р} в теоремах 2.3.1 та.2.3.2.

називається типом, а

В §4 доводиться теорема, котра опису** необхідні та достатні уменш існування регулярної двочленної асимптотнкн 1п М/(г) у випадку, коли Р> Р і > тах{-1,-р}:

Теорема 2.4.1. Нехай 0 < р < +оо, шах{ — 1,— р} < р\ <? р,

0 < Т < +оо і т Є М. Для того, щоб виконувалося співвідношення

ІпМ/(г) = 2Іп1+;)?* + (т + о(1))1н1+>" /* (г —> Н-оо),

необхідно і досить, щоб для кожного є > і) виконувалась нерівність

та існувала 'зростаюча послідовність (пк) натуральних чисел така, що

. id-.ni \ . '

П*+1 ) № +°°)

’ +{т~е){тїїЬ)) ' (1€М)

У заключному параграфі другого розділу розглядається питання про регулярну двочленну асимптотику 1ц М/(г) для.випадку р — 1 та рі = —1. Якщо р = 1, то теореми 2.3.1, 2.3.2, 2.4.1 залишаються справедливими у випадку Рі > — 1- Якщо ж ]>і — —1, то приклад функції

Л(*) = ^ехр |-Іп2 + т]л’\ ’

п=0 *• -*

' 14

Пк+1

ІП К| < -рТ [тТ^І

для якої 1пЛ//0(г) > Іп2 7+г+Іп(4тг— 1), а отже, V = г, т* > т+1п(47г —1), иокапуе сутгсшсть умови > — 1 у згаданих теоремах.

Проте, аналоги теореми Шорсмети можна отримати і у цьому випадку, якщо другий член асимптотики простас швидше, ніж Ігіїпг. Сформулюємо один з варіантів таких теорем (р = 1): ,

Теорема 2.5.1. Нехай 0 < Т < +оо,0 < q < І і т Є Ш. Для того, щоб

1ііі\/у(г) = Т1п2г + (1+о(1))г1п1+,1пг (г-++со),

необхідно і досить, щоб для будь-якого є > 0 виконувалась нерівність

1и|яп| < +(г + £:)1п1+'7»і (п>п0(є)) . .

41

та існували зростаюча послідовність (п^) натуральних чисел така, що Пк+І —Пк = 0 (іп^пн-і) (к-*оо)

І

ІП ІПпіІ > + {т- є)1п1+,п*. (к Є ГЧ).

Висновки

У дисертаційній роботі доведено теореми типу Валірона та Валі-роиа-Тітчмарша для класу цілих функцій скінченного логарифмічного порядку, коли лічильна функція нулів мас двочленну асимптотику логарифмічного вигляду. Встановлено, що з асимптотики 1й|/| на; всій

дійсній осі М, або на від’ємному промені функції / з від’ємними нулями, можна отримати двочленну асимптотику для рахуючої функції n{t) її нулів, а коли обмежитися асимптотикою ln |/| лише на додатному промені (або на довільному промені argz = <р,<р ф —тг), то двочленної асимптотики логарифмічного вигляду для n(t) не отримуємо. Встановлені критерії регулярності асимптотики ln Mf(r) для функцій згаданого класу, що є аналогами теорем Е. Ліндельофа та М.М. Шереметн. Побудовано приклади функцій, які показують істотність обмежень на зростання другого члена у випадку двочленної асимптотики ln Mf(r).

Основні результати дисертації опубліковані в наступних статтях;

1. Тарасюк Р.І. Про двочленну асимптотику цілих функцій, представлених степеневими рядами // Волинський математичний вісник.-1995 - вин. 2 - C. 1G2-1G4.

2. Тарасюк Р.І. Теорема типу Паліропа-Тітчмарша, для цілих функцій

скінченного логарифмічного порядку // Мат. студії. Праці Львівського Мат. Тов.- 1995.- вип. 5. С. 31-38. .

3. Sliereineta М.М., Tarasyuk П.І., Zabolotskii M.V. On asymptotic of entire functions of finite logarithmic older / / Мат.физ., анализ, геом,-199G.- T. З, N 1/2.- C. 14G-1G3.

4. Заболоц'ькгн M.В., Тарасюк Р.І. Теореми типу Валірона та Валіро-на-Тітчмарша для цілих, функцій нульового порядку // Міжі арод-на математична конференція, присвячена пам’яті Ганса Гана (10-13

жовтня 1994 р., Чернівці): Тези доповідей.- 1994.- С. 169.

5. Тарасюк Р.І. Про двочленну асимптотику цілих функцій скінченного логарифмічного порядку з нулями на- промені // Четверта Міжнародна наукова конференція ім. академіка, М.Кравчука (Київ. 11-13 травня 1995 р.): Тези доповідей - Ін-т. математики НАН України, 1995,- С. 232.

Тарасюк Р.И. Асимптотические свойства целых функций конечного логарифмического порядка.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - - математический аніидпз, Львовский государственный университет, Львов, 1997.

Изучены аслмптотические свойства целых функций конечного логарифмического порядка. Исследована связь возрастания целой функции конечного логарифмического порядка с поведением ее нулей, а также с убыванием коефициентов ее разложения в ряд. .

Tarasyuk R.I. Asymptotic properties of the entire functions of finite logarithm order.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01 — mathematical analysis, Lviv State University, Lviv, 1997.

The asymptotic properties of the entire functions of finite logarithmic order are studied. Connection between growth of the entire function of finite logarithm- order with behaviour of its zeroew and with decreasing of its power serie’s coefficients are investigated.

Ключові слопа: цілі функції, логарифмічний порядок, скінченний логарифмічний порядок, рахуюча функція нулів, двочленна асимпто тика, максимум модуля, максимальний член, тип, нижній тип функції.