Асимптотические задачи теории чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Р Г Б ОД

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

- Э ОІІТ 1935

На правах рукопису

ВАРБАНЕЦЬ Павло Дмитрович

АСИМПТОТИЧНІ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ЧИСЕП

01. 0.1. 06 — алгебра і теорія чисел

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеня доктора фізико-математичних наук

Київ - 1995

Лисертацією в рукопис.

°обота віконана на ха^іеч.оі алгебри і теорії члсел Одеського державного університету ім. ІЛ .Мечникова.

Ог-іційні опонента: Акаїемік АН /горщики

доктор математичних наук ІДатаї,

доктор фі зико-математичних наук, процесор 3.1.Берник,

доктор фізико-иатематичних наук, процесор І.В.Протасов

Провіяна оігані зація: Самарський державний університет

на засіпані Спеціалізованої ’’аци Л 01.01.01 при Київському університеті іи.Тараса Шевченка за адресою: 252127, м.£иїв-І27, пр.Академіка Глушкова, б, нехакіко-катематичний факультет.

З дисертаці єю кожна ознайомитися в бібліотеці Київського університету іи.Тараса Шевченка (вул.Володишфська,62).

Захист відбудеться "і

& 1995 р. о 11 год.

Вчений секретар Спеціалізованої Ради, кандидат фізико-иатематичних наук

ЗАГАЛЬНА. ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В дисертації вивчаються методи дослідження асимптотичних задач аналітичної теорії чисел і будуються асимптотичні формули для суматорних функцій. Такі класичні задачі теорії чисел як проблема круга, проблема дільників Діріхле та асимптотичний закон розподілу простих чисел стали генератором методів /всієї/ аналітичної теорії чисел. Головними з них, на наш погляд, е методи твірних рядів Діріхле, тригонометричних сум та функціональних рівнянь. Загальну проблематику цих методів розробляють в теорії функцій, але спеціальні задачі часто виникають в аналітичній теорії чисел. Відзначимо, насамперед, такі напрямки дослідження як тау<5 єрові теореми з залишками, поведінка дзета-функції Римана та інших дзета-подібних функцій в критичній смузі, розподіл нулів дзета-лодібних функцій, оцінки тригонометричних сум з спеціальними функціями в показниках і так далі. Саме такі асимптотичні задачі теорії чисел, в яких використовуються вказані методи, розглядаються в нашій роботі'.

За останні тридцять років значного успіху було досягнуто в оцінках тригонометричних сум, які грунтуються на диференціальних властивостях функції в показнику. Це, насамперед, дослідження Б.Срінівазана, М.Хакслі, Г.Колесника та інших. В роботах вказаних авторів використовується метод експонентних пар. Подальшого розвитку цього методу потребує багато задач статистичної теорії чисел. Тому і в нашій роботі ми будуємо деякі оцінки тригонометричних сум за методом К -мірних експонентних пар.

При дослідженні арифметичних функцій на спеціальних по-

слідовностях, зокрема на арифметичних прогресіях, виникав необхідність мати нетривіальні оцінки спеціальних тригонометричних сум на алгебраїчних многовидах над скінченим полон. В основі побудови таких оцінок лежать дослідження останніх ЗО років Е.Бом-б"ері та Деліня. В цьому напрямку нам відомо ще дуже мало результатів. Зараз знайдені лише окремі приклади оцінок таких тригонометричних сум.

Розподіл значень арифметичних функцій в коротких інтервалах та в арифметичних прогресіях із зростаючою різницею прогресії мають багату історію. Розв'язування таких задач стимулює розвиток спеціальних методів дослідження. Ми в роботі наводимо деякі варіанти теорем тауберового типу, що дозволяють будувати асимптотичні формули в задачах аналітичної теорії чисел. Наші дослідження пов"язані з роботами Хіс-Брауна, М. Юті ли, М.М. Тимофеева, Г.Холесника, Р.Сміта.

Мета роботи. І. Побудова нових оцінок для тригонометричних сум за допомогою методу експонентних пар і використання цих оцінок в деяких задачах статистичної теорії чисел.

2. Дослідження тригонометричних сум на спеціальних алгебраїчних многоввдах над скінченим полем.

3. Побудова асимптотичних формул для суматорних функцій деяких арифметичних функцій за допомогою спеціальних тауберо-вих теорем.

Методика дослідження. В роботі використовуються метод експонентних пар, метод твірних рядів Діріхле, спеціальні тауберові' теореми, функціональні рівняння дзета-цо-дібних функцій.

Наукова новина. Знайдено нові оцінки трегоно-

метричних сум спеціального класу функцій в показнику, розроблено метод дослідження розподілу натуральних чисел спеціального типу з дільниками в класах лишків. Застосування цих досліджень привело до слідуючих нових результатів.

1. Побудовано асимптотичну формулу для суми значень мульти-плікатизннх функцій і (п) із спеціального класу ТИа в корот-

0 2195

кому інтервалі (х,х+Ь), х’ «Ь«х.

2. Знайдено оцінки деяких тригонометричних сум на алгебраїчних многовидах над скінченим полем.

3. Досліджено розподіл значень арифметичних функцій г3(п), Тв(п) на спеціальних послідовностях натуральних чисел.

4. Дана оцінка середнього квадрата залишкового члена в узагальненій проблемі дільників.

Теоретична та практична цін-

ність. В дисертації розглянуто нові застосування методу експонентних пар в теорії оцінок тригонометричних сум. Розроблено підходи для досліджень розподілу арифметичних функцій на спеціальних послідовностях. '

Одержані результати можуть бути використані при дослідженні задач статистичної та мультиплікативної теорії чисел, а також для розв'язування деяких діофантових рівнянь.

Апробація роботи. Результати досліджень доповідались на семінарах Московського, Будапештського та Одеського університетів, інститутів математики АН України та Угорщини, на Всесоюзних наукових-конференціях по теорії чисел /Мінськ, Москва, Душанбе, Алма-Ата, Володимир, Вільнюс, Тбілісі, Самарканд і т.д./, на Міжнародних конференціях /Варна /1967 ,І£Г72/, Будапешт /1981,1987/, Вільнюс /1974/, Шланга /1991/, Вишеград

/1993/, Київ /1993//.

П у б л і каці ї. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [І] - [173. Співавторами спільних робіт були мої аспіранти, причому в роботах [8], [10], [II] результати належать порівну кожному з авторів. Результати спільних робіт з Р. ИаггусКі не входили в його кандидатську дисертацію, бо в основному належать першому з авторів.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація містить 197 сторінок машинописного тексту і складається з вступу, двох глав та списка літератури з 83 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано історичні відомості та огляд результатів, пов"язанюс з задачами, що вивчаються в роботі, вказано деякі можливості застосування результатів дослідження. Крім того, коротко викладаються головні результати, одержані в дисертації.

В перлій главі розглядаються два типи тригонометричних сум, які застосовуються в асимптотичних задачах, досліджених в наступних параграфах роботи. Спочатку /§§ 1-3/ вивчаються тригонометричні суми, які виникають при розв'язуванні асимптотичних задач,- пов"язаних з розподілом значень мультиплікативних функцій на арифметичних прогресіях:.

Наведемо деякі' теореми, які доведені в роботі:

Теорема І. Нехай - поле з Ц, елементів, С),=р>, р-

- просте, і нехай многочлен і(х,у,2)Є^Іх,у,г] породжує алгебраїчний многовид ¥ . Ящо для заданих сс,р,^-і для усіх Т Є Жр , за винятком 0(1) значень з них, много-

çpT(x,y) = f (х,у,ту_1-аjf'x-jijfV)

абсолютно незвідний (modp), то

Z2xi Т^сохч-руч-уа)

е 15 « а,

(X,y,Z)eYnFq,

де Tr(x)-= JC4-xp4-...4-xp1>’t xe]F^/стала в символі "<їС. " - абсолютна/.

За допомогою цієї теореми можна одержувати оцінки спеціальних тригонометричних сум, що виникають в мультишіікативній теорії чисел. Наведемо деякі з них:

Теорема 2. Нехай a,b,çeZ, р - просте, (a,b,c,p}=al, t - натуральне. Тоді'

Z£xi ах'>Ь^С^

е2хг р « р.

x,y,ZCmodp) xVy2i-za за Icmodp)

Теорема 3. Нехай a.b.ceZ, (Ь,р)=*1 . Тоді

•£—і 2лі аЬчЬ(НЩЧди

2-і Z-» Є р « р.

_Л=1 4-і

■hh. я îcmodp) uû*i(modp)

Теорема 4. Нехай ЯєШГ^*, ().*=pv . ТЬді

Z. ДіхіТг.Сх.ч-ДІ

, „3 е * «9"

(X,y,Z)e]Fl '

x2y+sz~o _ j

Доведення теореми І суттєво використовує результати Bombieri

та Delitm&2) про кількість та модулі характеристичних коренів

^ E.Bombieri, On exponential sums infinite fields', її., invent. Math., 47 (1978), 29-39.

P.Peigne, La conjecture de Weile.I.IL, Publ. Maik. INES, 43(1974), 273-307’, 52(1980), 137-252.

дзета-функції алгебраїчного многоввду У .

Далі, при а,р,Ь £Ж<^ розглянемо многовид

У - {(х.у.ХЛОе ¥< | (|)*)-‘+р (XV (ї)*)-1-1}.

Позначимо

3(«,р)-2І є*“'

Гх,?,ХЛОєУ

За допомогою леми

Дема. Для кожного р € маємо

Оті *ІУ(хч-уч-Х+У) ' Р

Щя«,/»)4 -

■*

«єЖ*

д,4 + 0(о^2), яид0 1 Ьа ^ о,

0(9-2)* якщо 1 + Ь2 *= 0 /сталі в символах " О " не залежать від С^, р, Ъ / ми доводимо теорему

Теорема. Існують абсолютні сталі' С0 , Сх такі, що

І 5<ос,£)| < с^,

як тільки р > С0.

Тригонометричні суми другого тилу /див. §§ 4-7/, що розглядаються в роботі, мають вигляд

’У'

> С д/

де Х> - область к -мірного евклідового простору, причому

ЗХ {(х1.......і=1,...,к],

а І - дійсно-значна функція.

Для побудови оцінок таких тригонометричних сум ми викорис-

товуємо иегод експонентних пар," засновниками якого можна вважати ван дер Корпута та Філліпса. Основу методу експонентних тар складають два перетворення тригонометричних сум Д/.

Лема /перетворення А/. Нехай X) - К -мірна область, що

належить прямокутнику {.(Х:,...,хх)бВкІХ^хі42Хі,і нехай

І іх1г...,хк) - дійсно-значна функція в Т> . Для кожного 1,

позначимо 11

0 о

Нехай ще цх,..., с^г - додатні числа такі, що тоді для уї ^ ІШ маємо

Vi

V ~ad.fi*............Ші +

Чі-і

£ Б

2xtfi(x;h)

де

IDI- 2 1 .

(Хл,...,хх)вХ>

xjez,

cxt..x*)6Dk

Dh = {(х15... ,хк) є ВI Cx^ hA,...,x^ht, xt+1,...,e D,

Дема /перетворення В/. Нехай І Сх1,...,ХіО^'Ах“і...х£* /в означенні Срінівазана 3//. Тоді для кожного і, 1< І , маємо

Е е*“1л.......ад«х>...хс(Ах:ї..х;'‘Ті

(*,..хкіех» 1 УАЛі....Лк

де

з)

Б.В. Srinivasan, Lattice Points of Many Dimensional Hyperboloids, Math. Ann., 160 (1965), 280-311.

(Уі.Ук^ЄІ^

І)1с{(у1,...,ун)€Жк|Уі^<2Уі, і=і,...,*}, У)=АХ!1...Х?-Х'/, і=і,...Д; Уз=Х3,

Іі<Уі....VII) = і(у ....yt.Vui.--yя)-<ЙУ*- - “У»^.

срА , ... , у і, - розв"язок системи рівнянь ^ (Ч>1.....дЧ.Уі-и.-.Ук) -.у- і

ул.

Тепер за допомогою перетворень А і Б, виконаних в спеціальній послідовності, ми в § 5 доводимо теореми:

Теорема І. Нехай И,Ы,х>1 - дійсні числа, (10Ді)-одномірна експонентна пара /в означенні Срінівазана/; се,£ є <Ц, ос 4 0,1; £ £ 1 . Покладемо

1

Г -3-21о, 4+За-*210(2+«П

Но “їх к ] ,

1

Г 3+21» - - За+2(1+ВНо+2гі^т'(4+3о:+21о(2+а')')і7+їй

^ = [X М К ] .

Якщо виконується умова то

/хМ2^и \г /_з 9Є+8д -іо-аів ^ Ц ^ +ІЯ,М хЯ ^якщо М>М0,

Х4МІ+І^М"ІК, якщо М4М0.

Теорема 2. Нехай Н, Н,Х > 1 - дійсні числа, И<И=6

Сх’/з і (10, її) - двомірна експонентна пара. Покладемо

Е Ее"1^«

М<яі«2М ІГ<пі1Ґ<21Г

1

/ 2і..гЧЗі-2<х)г1>и _-і-сі-г^г^^хЗГПлП)

С},1 - (х N М- ) ,

1

^ _ ^х3+6і0-211^-а42с(-і)и-(3+2а)і1^3^(1+2и-а-2ірмі+3і^3+і71.'3г1

' ’ 1

_ ^5+1010-21!^-(6+5«)С1+2и)-^+2а)11*1о^Й+5^(1+210-а-2-р)ііГ31<^и+25і<1-311

= ГПІП (хМ*И'1'°‘)’/2).

Тоді, якщо виконується умова •■

і

^ < ^-(3+2а)11-10^-(1-2р)и+(1-га)^ЗС11.-гй) .

то магмо

П Л «

И<т<М'г2М ^<п«К'«2М

« + М'іО4І0$(МЮ+{хМ1^“‘)*

Теорема 3. Нехай х,>3,Н >1 і нехай (10Ді), (Ьо.Ьз.)-експонентні пари розмірностей 2 і 3 відповідно.

Існує ефективно обчислювана функція <^,=с],(х>М,1і,10Д1,Ь.,Ь1) така, що оцінка

Ц т, ем® «

И<Ш«М'«М К<п«К'й2М

« М° х' к"*1^1 тіп(аДмУн і)+мУн“а;^

Дв 1_________ .

-24-32и-161,». •

а, = 44 + (62+1210+4г*)Ь0- (22^610+210^; а2-17+ (24 + 610+210^0- (6 МІо^ІдЗЬ^,

аз =-50 - (70 +281+28І^Ьо* 14(1+ Іо+ ІОЬ*; а4= 6 + (6 + 41о-20и)Ь.+ (5-21в+10дЬ1, має місце як тільки

2(1-1,-4) / -1+бЬЛ 1*61.1. АТ--4-2ЬИ221а

тахЦ.Я' )х М М «1.

Зауваження. Лицо покласти

1

І , » 15 + 181,! 7+аь0-ЮЪх -22-261у0+34Х,1 \ 15-» ЗОІ^-ДІІ^

х М ) ,

і

^ _ ^15+141.-ІЄІ1 10-H2.X-.-12L! ^-19-а21,о+32Ь1^15+301„-2.11'і

/м4-9^*и-

м-—і

Ъ°~ 15+Ів-51і)(3+4Ь<г2Ь3) + (3+2Ь<>+71,і) ’ то функція с^= ^(х,М.Ы,10,и,Ь.,Ь1) ПО означенню дорівнює

^-ГПІП^.^.^а, (ХМН*3)'Л).

Кожна з наведених теорем І-З доповнює дві інші, бо умови, яким повинно задовольняти Ц , не завжди виконуються.

В параграфі 6 першої глави розглянуто застосування цих теорем для побудови асимптотичної формули для кількості 0 (х, 1г) безквадратнгх чисел, що знаходяться в інтервалі (эс.х+К].

чЬ0

12и,-4г1)Ъо-(Ю-611>-21.^Ъ1 2а-и-г^(3+4и-2:и+(і-ЄЦ)\

___________________________X________________________

^ ІЄ-?и-71і) (3+41/о-а^+ (4*21^-221,0 І

Ми маємо

Q (х, h) = Z >Лп) =4 h + 0(К*)+0(^0^X),

.

x<n*3s+h.

ДЄ

SA= шах Л *(Vf)

#,1* I N<n<N'*2If 1йН«х'/з

S2= îtiax

N-, N' léN^JC

Уз

H *(#)! ,

K<n<K'^2if

Tj-(U) - I’

и- [и] - 4> , якщо и - неціле,

О , ягацо и - ціле.

Як показано в лемі 2 /§ 2, гл.І/, оцінки сум 3* та зводяться до оцінки тригонометричних сум

11,-2: 21 еа""а

-“•Sr

N<ni 2N

п,- и и є

П4т£2М !{<л*2Я

,2X1^

Тому, за допомогою теорем 1-3 з § 5, ми одержуємо

Q (X! h) - $ h + О (h*)+Q(xaMK ).

Цей результат покращує раніш знайдені результати П.Шмідта, М.А.Фугело, Г.Колесника-С.Грехема.

Крім того, в § 6 знайдена асимптотична формула

2Z. fin) = C,h + 0((Н,Л+X°’ai9S)-шах x<«x*h £ ' «62Vx /’

і(п) = 2ИФ(сі),

• ЛаІп

ааіп

а

Фсп) -ОСл1'*),

£ > 0 - як завгодно мале.

Б § 7 першої глави досліджується тригонометрична сума

Знайдено нетривіальну оцінку суми /2/ та розглянуто застосування цієї оцінки в задачі про кількість нвізоморфних абельових груп, порядки яких не перевищують /зростаючого/ параметру X.

Друга глава дисертації складається з шости параграфів і в ній розглядаються асимптотичні задачі про розподіл значень арифметичних /і, насамперед, мультиплікативних/ функцій.

В першому параграфі будується асимптотична оцінка суматор-ної функції для (П) - кількості зображень натурального п ; у вигляді суми трьох квадратів цілих чисел, п=и2-*-Vі-*-"УУ2. Отже, доведена теорема

Теорема. Нехай а, ^ -натуральні, х>1 -

дійсне число. Тоді для кожного фіксованого <2 > 0 при має місце асимптотична формула

Є

М<т«2М іГз<п^2Л^ ¿ = 1,2

/2/

л

п*х

Дй

_ к-1

2 _2_ , якщо 2 11 а , к - непарне;

2'^'1 (і + (-І)Ч2), якщо а = 2ЧаА, а*ааЭ(пи>(14},

К - непарне, Кіш;

2-І-1 (2+(-1)^), ЯКЩО а=2ках, ^,2)^1,

Ь - парне і хоча б одна з умов т-3, або а1=*3(тос14) не виконується

/стала в символі " 0 " залежить тільки від £ /.

Б § 2 вивчається питання про кількість рішень діофантового рівняння

х2 + у2- аъ = М , (а,Ю = 1,

при умові Х2+уЧХ, х,у,

Доведено, що існує фіксоване А> 1 таке, що для кожного натурального N і деякого а , 1*а*» А , вказане вище діо-фантове рівняння має розв”язок (Х,у, 2) такий, що 2С+уй4Х.

Розглянута задача аналогічна дослідженню Хіс-Брауна про зображення натуральних чисел сумою трьох квадратно-повних чисел.

В § 3 ми знову досліджуємо розподіл безквадратних чисел, але тепер це безквадратні числа з кільця цілих гаусових чисел Ж СИ • За допомогою двох лем:

Лема І. иехай Р - скінчена множина, яка має Р різних простих неасоційованих гаусових чисел, і нехай ллг(Ос) - не -від'ємна функція, означена для всіх ос € 2 ЇЛ1 , причому "Уї(оо= = 0, якщо ос = 0 або М"(ос) > ЄР , так що ряд 21 '!ЛГ(сх) збіга-

СХ

ЄТЬСЯ. Тоді -8 \ ,

1!1,У«о5«р121'5У£а)+Р Л І )|,

аеЖИ] аєХОз 01

Д0 (рс^) - С2МБ0Л Якобі в кільці Zti].

Лема 2. Нехай ОС, ß, X - цілі гаусові числа. Тоді

71

о(т ос

. т, <х8+$(8~1)г . ,

Є ^ 6 r T(X*)N((a,PX>),

ftmody-) deZci]

(S',y)=l, SS’^slCmodj*-)

де N(X) - норма у з Q(i) в (& , тобто N(X)e ІХ\й»

(oc,j3, х) - найбільший спільний дільник чисел а, р, X’t

ми доводимо теорему:

Теорема. Нехай р0є2[із, N(p<>) = l. Тоді

YL jfmjjL(«■>-£„) = хх П* (і- шрр)+ 0(хйto^19x)

1І(0С)«Х У

з абсолютною сталою в символі "О Аут знак * означає, що добуток береться по всім неасоційованим простим гаусовим числам

Тр/-

Цю теорему можна розглядати як асимптотичну формулу кілько- , оті безквадратних "сусідніх" гаусових чисел, t вона є аналогом результату Хіс-Брауна ^ про сусідні безквадратні натуральні числа.

Цілі гаусові числа вивчаються і в п"ятоиу параграфі глави П дисертації. А саме, ми вивчаємо розподіл значень функції d(w; а„, х) і яка означає кількість дільників S' цілого гау-сового w таких, що S^Oca (mody-)-

За допомогою десяти лем /деякі з них мають самостійний інтерес/ будується асимптотична формула для суматорної функції для d (W; осо,^) . Наведемо деякі з цих лем:

D.R. Heath-Brown, The square sieve and consecutive Square free numbers, Malh. Ann.,266, Jfr3 (1984), 251-259.

Лема. Нехай ос0, у, Л(а.і < Ису) - цілі гаусові числа. Тоді при Т — сх> і кожнім як завгодно малім £>0 - маємо

т ..

сЬз«

Л(Т/ т т ^

ВеЗ=

« (Т\тТ+*- НеїГ)1+е,

де 2іт(з;8', іїе) - дзета-функція Гекке, яка-в*'області ВеЙ > 1

....;" ■ ь^п-о-

задається рядом

г„С8-,ї,й)- 5 теХ,

N(431*0

а Б - сукупність цілих гаусових чисел з нормою 0 або І.

Лема. Нехай X - дійсне число, (Х>, ^ - цілі гаусові,

причому 0 < М(0со)<Н(Ю<Х. Тоді кожний інтервал (у- К(Т),

Ґґ Х‘\)6. \

■у + Іісу)) з Шх)<У«х містить О Ц'Мгу 'Xе) цілих гау-сових чисел виду (а^+рх) ■ 5 .де р, 5 - цілі гаусові, р ф.

¿В ; <2>0 - як завгодно мале.

А тепер наведемо основні теореми п"ятого параграфу.

Теорема І. Нехай о^, у - цілі гаусові числа. Тоді для кожного £ > 0 і достатньо великого х мав місце асимптотична формула

*0(^1*455)1. 0<-->,

де 0 < з - стала з асимптотичної формули для кількості точок решітки, які лежать в колі радіуса з центром в точці

(0,0); Ос* - число ваду а*+-ру- з найменшою нормою, а

с(ос.,р =х2Ин(у+р)"1 + 0(і).

^еВ а

Теодша 2. При тр«*1'* і і+е

має місце асимптотична формула

/сталі в символах "О " не залежать від х, ос„, у, /.

В четвертому параграфі глави Л дисертації досліджується

розподіл натуральних чисел з дільниками в класах лишків за даним модулем. Самостійний інтерес має наступна лема цього параграфу.

Дама. Нехай ХЄ.Ж, а.с^еЛК .причому 0<а^^4хк,

£ > 0 - як завгодно мале. Тоді для кожного Па ввду ти, =

= (а+ШоС0П>, щ,,г0бМ в інтервалі СПо-с},, гів+ф, п0<х, міститься не більше О^х^І-*-чисел виду П=(а+ГПС),)Г, т,г € М.

Ця лема дає можливість довести одну спеціальну теорему тау-берового типу, яка використовується при доведенні теореми:

Теорема. Нехай {Ък} - дві послідовності натураль-

них чисел

А(п)=^]Сі, £>(п)=И 1 , йп-,аа)=Х^А(т)В(сі)-,

^ ^ тс1=п.

а-К~л Ь*“П ¿=а(гаосІ ц,)

°° OO

ÜW-E4ÍS1'

і її

Припустимо, що A(r0, Bfa)« n5 / >0 - як завади мале/. 1 нехай їх(5), %(S), F(¡?) - аналітичні в області ...

- '"‘лТ-ч- . ■ ,

Q

Res > 1 “(гЬрЧкЗ))*“ ’ 0<Г<1. ct> 0 - сталі, ...

за виключенням /може бути/ точки S = І, причому ДЛЯ КОЖНОГО -Т > 3 в області

с* С

Res > 1~(To^j’jr ’ |3msl«T, Іs-11 >^0^Т)ї--

мае місце ощнка

F(s> «(l +

0«^!<1, с2>0 - сталі (¿ = 6+it, ltl-*-oo).

Тоді для 0 < а«; cj, і х сю

XI fcn;a,cp ==2^ \ (f£S) - í§jr FiCS))^-ds +B<a)EA(ti)+

Л4Х ri ■/ X

Cp á

+ 0(|е-л(^хУ'Г'Є'

з деякою абсолютною сталою А > 0 .

В роботі розглянуто застосування цієї теореми:

Теопема. Нехай всгп^і , якщо m можна зобразити у вді m=uV-i падку. Позначимо

'2.

вигляді m=u-*-v, u.yeZ і 8(т) = 0 в протилежному ви-

, :ТБ(ща,ср = 1 .

8<m)=l, d* â(modq)

0<£ібс^<х

„ Vioô5T .

Тоді для кожного К « iô^lo^3i ПР0 Х—~°о має місце

асимптотична формула

- Д.^ (4%f + lСІ М)'*+

h-o 4 ■ ; ; •. _

+о(і (losir1) - о(5 (tort 0(1 e ЙИ^ГІ)

/сталі в символах "О " не залежать від х, а, cj, , а сталі Ло, Ао, Бл і 1* - ефективно обчислювані/.

Нарешті, в § 6 ми вивчаємо узагальнену задачу дільників. Нехай h, h€]N, (h,k)-l. Розглянемо ряд Діріхле

П*1

Спочатку ми доводило, що E(s; можна зобразити у вигляді Е(s-, &) =E1(s-,^)+Ea(s-,£), де кожна з функцій Ej(s;£) допускає аналітичне продовження на всю В -площину /за винятком точки S = І/ і мають місце функціональні рівняння Риманівсько-го типу

kV3ra(f)E1(s;fe)-li“Vsr!(iÿ)E1(l-s;l),

kVr’C^EiS; g) - k1’xY(l- DEJl-S; 5),

/де hh ®l(Hiodh)/.

Це дозволяв знайти для суматорної функції

П£Х

аналог формули Вороного ’ Л

Л(х.£) -.Т>ЬЬгд-н

{еXИв + *«Г*К>*9)}.

Ми буцузмо асимптотичну формулу для середнього квадрату модуля Д(х-,

Теорема. Для Х»к має місце асимптотична формула х

^ ІД (х-, ГсЬс = 0^1 £4(і) $ *(3) НХ* + о (ьхіо^х)

і

з абсолютною сталою в символі "О ".

Якщо к дорівнює І, то ми маємо класичний результат в проблемі дільників Діріхле.

ПШГІКАЦІЇ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Варбанец П.Д. 0 распределении решений сравнения х1+угеЕІ(то<ірп)) Укр.Матем.журн., 21 /І/, /1969/, 95-98.

2. Варбанец П.Д. О сумме числа делителей в арифметической прогрессии, Тезисы Всесоюзн. симп. по теор. чисел, Алма-Ата,

/1969/, 21.

3. Варбанец П.Д. Проблема круга в арифметической прогрессии, Ма-тем. заметки, 8, І б /1970/, 787-798.

4. Варбанец П.Д. Несимметрические задачи в арифметической прог-

pecсии, Ш конгрес на бьлгарските математице, Варна /1972/, 27-28.

5. Варбанец П.Д, Целые точки овала в арифметической прогрессии, Lietuvos Math. Rinkin-ys , 12, № 2 /1972/, 143-145.

6. Варбанец П.Д, Распределение норм целых дивизоров в арифметической прогрессии,Annates Uniy.Sci.,Budapest, 15/1972/, 45-51.

7. Yarbanec P., Multiplicative functions of special type in short intervals, Coll.Math.Soc.J. Bolyai, 34 (1981), 1577-3584.

8. Варбанец П,Д. .Жанбырбаева 7.Б. Задача делителей гауссовых чисел в арифметической прогрессии, Изв. АН Каз.ССР, сер, физ.-матем. наук, 5/ІІ4/, /1983/, 18-21.

9. Yarbanec Р., !Zarzycki P., Sums of the Kloostermannsums with characters, Colt. Number Theory, Budapest (1987), 36-39.

10. Fuijelo N., Yarbanec P., On a trigonometric sum audits application, Acta Mathem. Hun^.,49 C3-4), (1957), 339-348.

11. Варбанец П.Д., Федоровский С.В, Приближенное функциональное уравнение для £(s,u). Деп. в УкрНИИНТИ, № 93?-Ук. 89/1989/, стр.19.

12. Yarbanec?., ZarzyckiP.,Divisors of the Gaussian Interns in an Arithmetic Progression, 3ourn. Humber Theory, 33 (1989), 152-169.

13. Yarbanec P., Zarzycki P., Divisors of integers in arithmetics progression, Cfcnad. .Майї. Bull., 33(2) (1990), 129-134.

14. Варбанец П.Д,, Фугело Н.А, Пары бесквадратных в коротких ин- _ тервалах, Республ.конф.,посвят. 200-летию Н.И.Лобачевского, Одесса /1992/, 8-9.

15. Yarbanec P., On the distribution of natural numbersyrithdivisors from an arithmetic progression, Acta Arithm., 57(1991),245-256.

16. Yarbanec P., Multiplicative functions of special type in short intervals, Uew trends in Probabilistic and Statistic (Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory), v.2, (1992), 1S1-188.

17. l/ai’banec P., TriQonomeivic sums and their1 applications, Ann. Univ. Budapest I.Xora.nd,

Sec. Comp и іаіо т-і da., т. XIY (1994), 219-2-40.