Асимптотический анализ локальных вероятностей сумм независимых случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГ6 од

5 / ШОП 1993

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В. И. РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи

МУХИН Анатолий Борисович

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛОКАЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

01.01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ташкент — 1993

Работа выполнена на кафедре теории вероятностен и математической статистики Ташкентского государственного университета.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор В. Ф. Колчин доктор физико-математических наук, профессор М. У. Гафуров доктор физико-математических наук Ш. А. Хашимов

Ведущая организация — Московский государственный

университет имени М. В. Ломоносова.

0 7 О аьон*) 1Г.М

Занята диссертации состоится _»_ _19Уо г.

в ^ часов на заседании специализированного совета Д 015.17.21 в Институте математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, Ташкент, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан « ^Лл ^ ^ 1 ЯРЯ г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-маг. наук

Ш. А. ХАШИМОВ

0БВ1АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЛБОТЯ

Актуальность темы. Закономерности, опись® ающиа поведение распределений сумм независимых случайных величин с росточ числа слагаемых,составляют значительную часть исследований современной теории вероятностей и служат основой для различных прикладных иаптьЕшлештй. Эта иссле/.оааная в основном касевтся свойств распределений в целом. В менызей степени изучено асимптотическое поведение "локальных" вероятностей сушх - вероятностей областей,составляющих молу в часть от всего распределения. Определились два направления исследования локальных вероятностей: оценки функций концентрации Св том числе максималь-Л!К вероятностей в случае решетчатых распределений) я различного типа локальные предельные теоремы. В работах А.П.Колмогорова, Б.А.Рогозина, Зссеена, Кестена, С.Х.Сираждииова и И. К.йорманова, В.Паулаускаса, Знгера,-Зигеля, Халаиа, С.Н.Лна1-ньевского, А .Л.Мирошникова, В.В.Ларина и др. получены разнообразные неравенства для функций концентрации сумм,выраженные через различные характеристики слагаемых я описывающие убывание концентрации с ростом числа слагаемых. Локальные предельные теоремы для плотностей и вероятностей отдельных значений сумм решетчатых случайных величин зашмаст математиков уне несколько десятилетий (Б.В.Гнеденко, Ю.В.Прохоров, В.А.Стату-лядичус, Т. А. Аз ларов, В.В.Петров, Т.Л.Иерввиадэе. Другие более конкретные ссылки будут указаны далее). Тем не менее,полноценного резения этой проблемы в общей постановке нет. Неудовлетворенность пгашимкея в этой области результатами отмечается, например, в книге В.Ф.Кодчпяэ "Случайные отображения". И.: Наука, 19£4. Несколько позднее начато и менее продвинуто

изучение локальны! яределышх теорем дня вероятностей попадания су им ПРОИЗВОЛЬНЫХ случшишх величин в огранич&ннув область (Стоун,1965 г.; А.В.Нйгаев,73,02,- Ийллер,78; ГриффЕН.66).

Указанные два направления. изучения локальных вероятностей раэыЕвадвсь независимо друг о у друга, использовали различный аппарат и плохо состыкованы одно с дуугин. ПолучааиыЗ из оО-ндх неравенств порядок убывания функций концентрации сумы с ростом числа слагаемых не всегда достигает гот,который получи-ется из локальных предельных теорем. За исключением частных случаев нет оценок функций концентрации сверху и снизу с одинаковый иорядкон уйцьанля.

Нкеится фундаментальные исследования,посвященные асимптотическим свойствам сгланквания распределений супы случайных величин на прямой и на произвольной локально компактной гр/лле с ростом числа слагаемых'(са., например,монографию Х.Хейера-"Вероятностные меры аа локально" компактны* группах". М.: Нир, 1981). Однако,свазь этих свойств с классическими предельными -теореыаци теории вероятностей! и в частности с асимптотическими свойствами локальных вероятностей практически не исследована.

Цель работы.

1. Дать анализ условий,со'еспечкващих "правильное" асимптотическое поведение локальных вероятностей.

2. Описать классы последовательностей серий независимых случайных величии,удовлетворяющих докальпой предельной теореме в той пли иной форие. Установить связь пеклу различными формомл локальных теорем,

3. Исследовать асимптотическое поведение локальных вероятностей. в условиях более широких,чек при выполнении локальных предельных теорем. В частности .построить оценки функций ковцен-

тра;;ии с экстремальным порядком убнвачкя (т.е. двусторонние оценки с•одинаковым порядком убывания сверху и снизу).

Методика исследований. Используется метод хорактэристиче ■ окцх функции -з сочетании о методами пряного вероятностного анализа. Условия, связаннкз со структурой слагаемых потвоянвт получить удобнее верхние оценки модуля гарактеристичйскях фикций сумм в счделыпк точках. Существенно новин является ясполь-зовпчие опенок "в среднеи",т.е.оценок интегралов »о ограниченным оПлястял от подудл характеристических функций. Такие оценки справедлив:« при выполнения определенных условий (Д,А0,А1, А2), не связанных со структурой слагаемых.

Научная новизна. В диссертации впервые поставлен вопрос об исследовании асимптотического поведения локвльпих вероятностей нули независимых случайных величин с обвей точки зрения, включая такие направления как верхние оценки функции концентрации и лскальннз иределаые тсорзны, изучавшиеся ранее независимо друг от друга;двустороннее оценивание функций концентрации, ранее з обгеЯ постановке не изучавиееся и др.

Вявдвнн структурен" характеристики случайных величии (оценивашгит близость у^сяте: деления к рзгаетчатоиу) и с их по-жмдо и? 1Д-Э9Ц условия на структуру -слагаемых мияиматьно необ-холигг.е, чтобы обеспечить "правильное" поведение локальных вероятностей. Обоснована концепция,согласно которой,одних уело-в;й на структур? слагаемых недостаточно лля эквивалентности интегральней н локальной предельных теорем. Исследованы условия (пз связанные со структурой слагэешх), обеспзчтеавдё до етаточно б;(строе убивание функций концентрация сумм (в частно

сти.ддя су;:м одинаково распределенных 5 -мерных случай них ве~

~ 5 ¡х

личяя более бкетр.нй лорядок ¿'буван'ля, чем Ц , где Я~ число слагг.2!иг:-;)-

- б -

В сбчих условная получены двусторонние оценки функций концентрации и одинаковые порядком убивания по И сверху и снизу,a Taicie аналогичные оценки для самих локальных вероятностей. В ьтих fie условиях решен вопрос о построении оптимальной нормирующей последйвателности.обеспечивапцей стохастическуи компактность нормированных и центрированных сумм независимых случайных величин, Доказан ряд новых неравенств ддя функции концентрации сумм,учитывающих структуру слах'аеиых.

Впервые исследованы локальные предельные теоремы различных типоь в od'u;eû постановке для серий независимых случайных величин с произвольней предельный законен. Получены критерии «эквивалентности локальных предельных теорем всех видов и интегральной предельной теоремой (впервые даже для одномерных целочисленных случайных величин с нормальный предельным законов). С помощью названных вше условий двух «сипов дано наглядное списание классов последовательностей серий случайных вели-чин.удовлетворяюиих локальным предельная теоремам в различной форие (в виде разнообразных достаточных условии справедлив оста локальных теорем,выраженных через различные характеристики слагаемых). Показано,что наиденные достаточнее услошм перекрывают нодавлявь1уЕ1 часть получзнных'ранее. Исследована связь различных форм локальных предельных теорем.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации могут (¡ыть ислолъз овины в различных областях математической статистики,теории восстановления,георди чисел. Введзн-uue структурны^ характеристики распределений,оценка характеристических функций сумм независимых случайных величин в отдельных точках и "в среднем",другие методы могут применяться в различных вероятностных исследованиях,особенно связанных с

суммированием случайных величин. Общая постановка вопроса об асимптотическом поведении локальных вероятностей породила ряд новых проблем, указала новые перспективные направления исследований.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 1-У Международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике (1973,77,61¡85,89 гг.), I а II Всемирных конгрессах общества км. Бернулли (1986,90), семинарах по проблемам устойчивости стохастических моделей (IS82, 83,85,89), иколах-коллоквиумах по теории вероятностей и нате-мвтической статистике в Бакуриани (1982,И,87), II-III Ферганских коллоквиумах по теории вероятностей, семинарах по дискретной математике (1990,91), а также на семинарах в ИИАН СССР (руководителя Ю.В.Прохоров и В.В.Сазонов), E1I7 (рук. В.И.Золотарев, В.М.Кругдов, В.В.Калашников), ЛГУ (рук. В.В.Петров), НИЩ (рук. Г.И.Ивченко), ИШИ, .Математической институте АЯ Узбекистана я многократно обсуждалась на семинаре по теория вероятностей н математической статистике при Ташкентском государственном университете.

Публикации.' Основные результаты диссертаций опубликованы в работах [г - 24].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, краткого обзора, четырех глав, разбитых на 15 параграфов и списка литература, содержащего 168 названий. Обций ойьем 301 стр.

- в -

СОДЕРПНИЕ РАБОТЫ

Рассматривается сушш независимых,

lL К = 1

преимущественно неодинаково распределенных,случавнах величин (о.в.) со значениями в f^ (случай вещественных с.в.,5-1,

йудет оговариваться особо). Вероятности

для ограниченных Сорелевских ^ называются локальными. Название оправдывается тем, что рассматривается ненормированные суммы,наг каких лийо условия на малость слагаемых и, как правило Р^СВ)-> 0 • Все пределы и асимптотические формулы

рассматривался при —на оговаривается пр9тив-ное. В автореферате сохранена та se нумерация теорем и лемм, что в в диссертации (первая цифра - номер главы, вторая - номер параграфа в данной главе). .

Глава I. Сглааивание' распределений при суммировании незаг висимих с.в. Структурные характеристики распределений. "Правильное!' поведение локальных вероятностей,например,такая аппроксимация:

(здесь J4. - лебегова мера в & ( ^ >

плотвость некоторого распределения) исключается, если распределения всех или значительной части слагаемых решетчато с общей решеткой или йлкзко к рдиетчатому.

В } I.I вводятся структурные характеристики с.в.«оценивающие отклонение распределений от решетчатого. Положим для произвольной с.в."X и deB_s

где ((л., Ь) - скалярное произведение в & , Ы. - расстояние от о£_ до ближайшего целого числа. С.в. «взывается решетчатой с параметром с! (в одномерном случае с пегом | о! 1 ),

если

P{(d , (Х-О.)) С ? ^ i при каком либо Cl

Таким образом,равенство является критерием

решетчатости с параметром d ■ Обозначая через X симметри-

зовоннув с,'-*., полояиы

D лемме I.I.I среди прочих свойств введенных характеристик показано, что

№,dMH(X,d)£44KXfdb

поэтому в дальнейшем можно использовать более удобную характеристику Н(Х,0).Экв!шалвнтные характеристики для' одномерных с. в. независимо, но позднее диссертанта введены Х.Германном (Wirs.2.Friedrich-Schi ll<?r-(Jnivprsi tat. Jena.Mnth.-Nat.Beihe. 19PO,Jg.29.Heft 2-S.271-?7ß).

В теоремах I.I.I и 1.1*2 указаны различные оценки отде-ленности

от ну ля, выраженные с помощью плотности ЗС^если она существует, или плотности абсолютно непрерывной компоненты распределения Например,если распределение X имеет ограниченную плотность

^СО , ТО

Боли р Н. (X), где И. (ОС.) - интегрируемая в Л

функция, то

K(X,d)^ e(s,K)(iA Id!1). (3)

Здесь в далеа С • • ) - положительные постоянные,зависящие только от параметров в скобках, С - абсолютные полонн-тельные постоянные, о4 Л jb Н iTLLIt •

Половим для рассматриваемой последовательности серий с.в. ^

del8;

Клш- K^(d), a>0.

^ ' nildlilu ■ 1 ■ .

Назовем условием Б следущее: jl^(LL)-—^ 00 для лвбого U_ ^ i • ^

В случае "накопленных" сумм S и ^ К > где

с 1С s t

последовательность независимых с.в.,условие В акви-валентно сходимости для лвбого d с |d) ^-1'.

В общем случае эти условия не эквивалентны (приведены контрпримеры).

С помощью неравенств (2),(3) и других легко проверить ' выполнение условия В для конкретных последовательностей. Это условие моает выполняться и для последовательностей,состоящих только из с.в. с сингулярными распределениями. Например, в случае hL-последовательности условие В эквивалентно нерз-шетчатости свертки всех распределении (под Ш. -лоследова-тельностьн понимается последовательность серий о.в. с конечным числом - различных распределений,причеи предполагается, что число ел?.- серии,имеющих определенное распределе-

нае (любое из ftl) неограниченно возрастает при Ц. —^^ )-Характеристики

) м J И OCKOBSHHOS

на них условие В позволяет,как будет д&лее показано,минша-

знровать условия нп структуру слагаемых, обеспечив авале справедливость (I) и другие асимптотические свойства локальных вероятностей. В основной это прязано со олеадвцзй двусторонней оценкой характеристической функции (Х,Ь)с.в..Х(лекма 1,1.2):

§ 1.2 П7с?ящен описания структуры целочисленных с.в.,т.е. векторов с целит компонентами, если 5 > 1 . Б диссертации для краткости расснатрш'ается только этот частный случай решетчат ух с.в. Некоторые утверкдйикя для обизго случая, а также для случая -реыэтчат.чх распределений с Ич. г; 1 5 — Л. > подучены л совместных работах диссертанта и Ю.О.Ларина я в дальнейших работах Ларина.

Для целочисленных с.в. и С| Е ^ . очевидно, = ЯМХ,с1)~0 • Сглааивакие при суммировании ттях с.в.,т.е.

выравнивание вероятностей {г(1_(1и) Р | & ^ ~ М. \ на рзпетке связано с стдедекностьв от пуля н точках м X . Обозначил

Ц Ц V-1 е\£ Г : I а и Л1. а(сЦ) * (р).

Для последовательности серий {Х^К ^ полоши

Для с| £ справедливо неравенство:

^ М |с! I1 С5)

(оно следует из лспмы 1.1,4 диссертации). Периодичность-

H (d) по компонентам cj и неравенство (5) обьяецаьт выбор области ь ('I). Основным условие«' связавяш со структурой целочисленных слагаемых о /дет сходимость к —> 00 • Назовем его условней В дм целочисленных с.в.

К характеризацви структуры решетчатых с.в. обращались иногда специалисты теории вероятностей, Ддя одномерных целочисленных с„в. в работах Ю.В.Прохорова .(Докл. Ай СССР, 1954, т.98, I 4, с.535-538) и Ю.А.Розанова (Теория вароятн. п ее apinieu., 1957, т.II, & 2, с.275-260) использованы следующие естественные в эффективные характеристики.:

¿=0-ЙЫ 4

здесь fil ^ 1С (faOQ п..) означает, что не целое,

йти характеристики близки к (X ,d)- В леиые 1.2.1" установлено, что для

КеК

Б связи с этими характеристиками мояет возникнуть пред-полокение, что вкестз условия 11. ^ •—> в . одномерной случае достаточно потребовать, чтобы К n(d) —> дьл

/ll> к—... или я рациональных точках (^¡l^jv^-

(, /^f ' Vil • Однако, оказалось, что условие II 1г—> вффакншыее, т.к. исключает возможность прлолааения распределений слагаемых к рэиетке с иррациональные шагом (цасиотря на цалочпслеь/ность,ато не исклшеао для произвольных серии слагаемых) или иегов калейлвциыся с изненеиием И. Отлетал шкже, что характеристики \| (X , к.) трудно естественным обрааои обобщить на многомерный случай. Очевидно ,ье достато-

чно у плозии на вое отдельные компоненты вектора X.

Укажем способ сценок К(Х,сЗ) и Ь. с поноиы) более простых характеристик. Для с.п. X со значениями в К. поло--я им

п.(X) пшг. Ц Р(ш) лР(|ц+е1),

где Р^И^'^р |х 5= , ~ единичные координатные

векторы. Близкая характеристика использовалась Н.Г.Гамкрелидзе (Теория вероятн. и ее примен.,1985, т.XXX, Л 2, с.401-405):

о(Х)-1Ь ^ |Р(т)-Р(т+ I .

Связь не яду вткии характеристиками выражается таким неравенством :

(¡ДХ) * Ти-£(Х)) . (б)

Для одномерных с.в. (б) превращается в равенство. Хотя дтя- целочисленных с.в. с единичным максимальным саг ом не обязатедь-

•ноС^(Х)>0, но Хк)—> 4

при —^^где Х^ .. . , Хе независимые с.в. одина-

ково распределенные с X (Этот результат легко получить из упомяну той реботы Гшжредидзе или других работ).

Лемма 1.2.2. Для лпбой целочисленной й -мерной о.в. и вектора С^СГЦ1/!)

|1 45^

В диссертации рассматривается связь введенных характеристик с,в. и с другими известными структурными характеристиками. В лемме 1.2.3 указан ряд оценок характеристических функций, например, при|"Ь{ ~ 01

- 1Ч -

ifCx^Ui-Híjr^k, , .. (7)

где kf-Uj K(X,d) ;

аеад^/ч)

В § 1.3 введенные структурные характеристики прилепятся для списания одного из свойс,гв"сглй1ИБация"раслредвлзний сунн с ростом числа слагаемых. В упомянутой вина работе Ю.В.Прохорова последовательность иелочаолошш* одноц.зрнцх с.ь. казьаиь асшшго тпчески равномерно распре деленной, если дл>1 льоогс

К.е Ц и о, V-- к'i

P|Sn k¿CmodHl—> (9)

Введен аналогичное свойство относительно сгль*аышиа распраде-

. ç

лений произвольных î> -мерных с.ь. во в cea пространсавз . Последовательность ¿^назовем асимптотически равномерно распре деленной, если для льбых

e}eflb С №1Ф0 И Л,-(ОД)

L- - Ci

СЮ)

Оказывается,вто определение ьквизалентио след/вквиу,ес-iac»вендому для R." ; для левого множества [> иепрзЕЯоЬостк кары JU, взеодяце'го s S -ыерннЛ icyd с едшычным ребром и на-вироаденноа матрацы Q

Т/М^е —> ш)

'с е Я? h

Если S И —- ^"V X иа > to ьшюлш^аие свойств «зш-i

птотаческм равнеиеркой распределенности будь« относить и к самой посдедоБйтельноста серий | Х- к^:; Еул«к говорят! od

асимптотически pai ноцерио.1 распредеданноотл * ; сагеанок ели-

ОЛО. ?СЛЙ СПрЧЧедДКВОСТЬ (9),(10). ИЛИ (II) НО наругается при отбрасывании конечного числе слагаемых (в диссертации имеется более строгое формальное определение).

Теорегш_1.Э.I. /а-' того чтобы |Х ц у | была асимптотически рчвнеиврио распределенной в усиленном смысле (в форма (10) лди (II)4), необходимо к достаточно .чтобы }{(1_(с1) —^ для либо го -4 Ц"- 0 •

С почощы)' характеристик К. л (с1) ' ножво оцеяять' ско-роегь сходимости в (10). В частности, справедливо следугцее неравенство (теорема 1.3.'»):

Последний параграф первой главы посвящен оценкам с помощью структурных характеристик разностей

■ АДт)^ sup , те?5

для целочисленных o.a.;

для произргльль'х с.в.к аналогичных разностей для плотностей.

or S

Тзсрома 1.4.1. Лдя целочисленных с.в.я лрбого i

— --------—- ' _ S+S.

1

. (К)

Отсюда л одучяз одинаково рэсптеделенянх с.в.и лгбого £ € ^

Огс^ЧХ^

(13)

uvjsi'Hti,4iа порядок убывания caibis ьерсатксстйВ Pn (К1)

с ростом Ц ■ для сумм одинаково рьспредзлеыних целочисленных

одатзких с коиечмш втории мопантоа и едшшчииа меьсшюьным

- SA ... s+i

а атом • п.' • Так что порядок убывши 11 * ь ild) и

(13) сбаспечиаееадя с&пнеииеи самих вероятностей £'п (И) и

+ i.e. Bi'O -гоже некоторое свойство сглаьшшшя.

Зависимость С(5) в (12) к (13) раскрывается в явной форме.

Б те орана 1.4.Ч при определенных ионеигких ограничениях

в сочетании с ограничениями на структуру слагьзццх полу чаны

асимптотические форь/лы для А |г ( в>, in) с лййо аыдвлзпиш

гаьмьц членом. Аналогичные »вореша лт цвяочисл&шшх с.в. ц

плотностей рассмотрены в potior«.* То Аль Зунга (Изв.AM УзССР,

сарил фаз.-иат.наук, 1966, & 2, с.4^-51), для одномерных с.в.

еце ранее в работе диссертанта .

Глава II. Оценки концентрации pacngeделаний су><и_ незавя-

скиых с.в. Ввздец ряд сходных по характеру условий, которые.

наряду с условиями гаде В на структуру сдагиеиих,определяет

ссшшюткческое поведение локальных вероятностей. В чазпюо-

ти.вти условия обеспечивавт достотсчко Оыстроа уСьааниз ф/ш;-

дий концентрации (ф.к.) сумы. Опознании

161 = 1 ,

1 ^ .... •

гдз K - ск.чаеoy.45obuhhos распределение A ftR -

Будем говорить,что ьшолнано условие АО с иоследова-телькостьп , если существует такс« М >0, что

При ьшюлнонаи втого условия

' хе^

однако, для наших целеп оно сзишкри лестко?, з частности, при его выполнении (з, ^ О ( ) • Укаяек менее огроннчитэлыш'з

условия, допускающие возиошость ¡и выполнения при В> ^'Г^-УVI" ~ В следующих условиях, помимо будет

участвовать последовательность Л ^ 0 > -М- ¡1^ 0 ( '

А. Существует о(. такое, что начиная с некоторого н.

(существует Я0,что для Н. ^ Я0 - • • )

£>ЛМП) • си)

А1. Существуют Ы. > 0 , С (0,1] , ре(о,1] токке, что для Ц. £ ^М^Т&^З' начиная с некоторого И ,

(15)

При у ~ 1 условие А1 совпадает с А, однако, прнр<1 требование (15) слабее чем (14), т.к.

. А2. Существуют оС > 0 к натуральное С такие .что дм С-кратной итераций функции В> ^ ^ Ц_ ^ выполняется неравенство:

О^пЫ^' • п) ...) » «* В> . :

При С—1 услоззис А2 совпадает с А. Условие А введено В.А.Статулявичуссн (Теория вэроятн. и ее прямей.,1965, т.Х, £ 4, с.645-659) при рассмотрении локальных теорем для- плотностей одномерных с.в. Затеи условия подобного типа использовались в работах Ниталаускаса, Дубмн-скайге и др.

- ie -

l'c о реи a 2.2.1. При выполнении одного из у слоьий А, А1/ 12 справедлива оценка:

Q(S,l>?)6a(^)5 , ; - а«

где поланительния постоянная не зависящая от М u р •

Пра Ьи.^^и^и) условие А выполняется автоматически и неравенстьо (16) шраввдякво без ъбяких условий.

В § 2.1 рассмотрены классы последовательностей с.в., ддл которых выполнены условия A, AI идя 12 с соответствущаыи последовательностями В> ^ u М а . Например.

Зешечаниа. Если для вещественных с,в. X n е существуют ^ > L, oL > й , L>0, 0Со такие, что для X. ^ X 0

■ у^

то выполняется условие AI с постоянным -Н и — JL. Таким образои, в srou случае ) •

Оценки ф.к. близкие к последней прямым путем получены е рьбс та А.П.Сучкова и Н.Г.Ушакова (Теория версятн. .и ее' прилен., 1989, тДХЫУ, & 3, с.604-607).'

Поскольку условия типа к не свяаыш со структурой слагаемых, они не могут дать оценок отклонения модула от единицы вне окрестности нудя в отдельных точках. Однако, ¡та условия обеспечивав? отклоненае от единицы модуля х.ф. сумм "в среднем", i.e. интегралов от них. В § 2.1 показано, что при выполнении одного из условий A, AI, ¿2 для любых J3 >0

равномерно по Ti R.^

гле ^

В 5 2.2, иомимо теоремы 2.2.1, доказан рйгд сценок ф.к. сумм, усиливающих (16). Одно из направлений исследовании ф.к, -"лекальные" по терминологии введенной Б. А.Рогозиным оценка ф. к. (Кестен Г.,Рогозин Б.А..Мироыников А.Л..Ананьевский С.И., Хелви Г. и др.). Эта оценки хором о описывают поведение ЬЦо^,^) при-малых р (или 'j> —> û внссте с 11 - г-л )

благодаря наличию множителя ' SU-P (3 (л пк > Р j ила

шши способом. Однако, такие оценки us аффективны, если расп--ределения слагаемых имеют положительную аассу в отдельных точках. В этой случае полезно приводимое ниже неравенство. Теорела 2.2.3. Если при некоторых j J4 ^

} 11

IM

выполняется одно из условий A, Al, А2, .то дчя р > О

4 -¿-.¿.IfHé-^

' (17)

Û, не зависит от К и у .

Из теоремы 2.2.3 вытекает такое следствий*. Если внаолня-ется уел«-Ли В и одно из условий A, AI, А2 п постожшым.М, то

Q(S^) ¿aS-t [fs '

где oL ^ —■> Û и на зависит от ^ •

В случае одинаково распределенных слагаемых из теореиы получаем: Если общее распределение Р имеет на нулевую аД-сольтно непрерывную компоненту, г:,

Коли яерешатчзта, то

здесь а1 ^ ~0 » причем | Ы зависит только от 5 пР. На (17) и других оценок ф.к. получаются разнообразнее

оценки дая ^ ьЦр Руг (х). б частности, есля слагаем

еыне инеит обцае распределение х с ненулевой абсолютно непрерывная компонентой, та Рн - 0 (О.1^ ), где (X. = 0_(Р) < 1.

е I

Если Р нерешетчато, то Р^ ), Если Р нерепет-

таго, причем сосредоточено в конечном числа точек, то Р^" 0^1 ) , Для произвольного не вырожденного Р .

161-1-

Ярд наличия моментов третьего порядка условие А выполняется автоматически'при соответствуете}! выборе последовательностей а ц и -М- а • Это позволяет вывести аффективные оцешсл ф.к..вырагенные через моменты. Не привода общих оценок подобного типа, укажем оценку дли одномерных одинаково распределенных с.в. с конечным третьим моментом

0 (& п, Р) < С11Чг 0 с X и, р) (1

»дась |}=К|Хи-КХ<.1|',

5 2.3 посвящен оценкам разностей локальных вероятностей с учетом убывания ф.к. сумм. Эти оценки более точные, чем з § 1.4, ко справедливы яри дополнительных услозкях типа А.

- 2L -

Глада III. Двусторонние всишгготичаск'л? оценки Л.к. го -

хаотическая компактность нормироьашшх сумм. В § 3,1 рассшк

рмвьегся случаи вецестьзшшх с.а. ílojoami ¡1

I , И- й

Qltcu) --а ^ е4 + г. (лч •

Будем считать, что ВД, i\L) 00 д. ".л достаточно Зольного Ц (при Ц —У со ). Тсгда ураьынна W (г ( Ц) 1 su» or относительно LL ара до.паточно болыси iL нив реиеная арачем b,, —><->0, И:.оледените Г,

«Зудот ол}'5итг. "норииду&щей" поедздсвательцоотсь для ьирс^шс классов последовательностей серия ] X ц ^ | ■

Еуде.и говорить, что аилолнеко усдоаие A3 с поол^дони-

Vá.abHOCTI.n i'l Ц (), :;СЛИ CyB.eCTBJ ОТ ï.'UOa >1 < С.О . TT; ДИ

a ÍJ-^U) ¿ К £>\ Cu.) , Ü8)

выполняется уело»;;« АО а ^, ~ \

ílio«1-5' ;f:K

легко проверить, выполняется условие A3 со eveunonupmi: аэ-сладовып^ькосты) Mк ~ M . В диосортацап > кяэайи С; од-рокко iudcou аоследовамлыюотвй, удовлетворили* A3,

Последовательности одинаково растр? д^лзшшх с.т;. ./aoveös • ворчпцих (16), иэучави довольно осаовигвлыс. Цачагс -лici ио-слздоьвиияи ПОЛОЬСНО B.Sb.iiiSpûH ( i'roc , F] !'"th Гн х f' -1 ' У {.>»,>. fu th. L'ta t in t . at.d Гг nUit>., 1965 .V. > . !'.373-->7ú) ,

эшееи upas&.víeao в работах И.Даеааа и C.Opa (I9íto), В.G. npyüTh ÍI98I), il.Холла (1903), Я.О.Гркффина (1903,64 ,¡36) и др. Hbiííloiufí законченные разул/.тг.гн ссs paootsferifün i'.

Лгт.РгоЪаЬ.,1986, V. 14, N 1 , р.224-24 Ь).

Результаты главы III в значительной части являются обобщение?! названных наше результатов на случай различно распределенных с.в. Доказательства в отлкчке от указанных работ спираются на результаты главы II и отчасти I, в частности используется тот факт, что условие АЗ влечет условие А.Г с теми те _М ^ и &а=4ЧСлеыма 3.1.1).

Теорема 3.1.2. Пусть для некоторой последовательности положительных М.^*5 выполнено условие АЗ. Тогда

1) Для любого ^ > О

ецм^;1 < ^^ф^ми^Л

й.-ь>0и не зависят от Ц . Зц-№ес|$ц.

2) Последовательность распределений----—«----

Ьк

атохастичеоки коштактна.

3) Для любого конечного не вырожденного интервала В> и

| Уц^ такой, что М У^« ^а существуют СЦи (1

на зависящие от И и ОС такие, что

для | ОС-, где ОС определяется условием:

При выполнении АЗ с постоянным неравенство (19) с постоянным конечно, моют не выполняться ввиду отсутствия ограничений на структуру слагаемых. Однако, если выполняется кроме того а условно В, то для лпбого конечного не вырожденного интервала В>

здесь CL4 из зьзаскт от И м X , | Лс — ОС. ц | CL 6 п > определяется ьналогнчпо предыдущей/ утверждению. Аналогичные результаты справедливы дяя вероятностей отдельных значений решатчатих с.в. и гаотностбЯ.

§ 3,2 и 3.3 пссзязены £ьус:ор:шнш сдьякш $.а. и прл-шжьвди вопросек дзл оуцц шогоизриш. с.в. В частности, получены иасгонерина GciodcpHiw узореии 3.1.2.

Глодп 17. пу&аглыша таерзач. В avoü iv - иа раа-

еинтуйчиисся условия, ирк Kütcpüx vertniLü;^ нр.зд;~1 в:«/ юз-реыа (п.п.т.) и хокильнаа предельная a.Jopeua (ï.n.v.) и ¡:uíuíí либо Jopaá эквивалентны. (I.п.т.,как известно, всегда влечет а.п.т., речь идет od сортной штлнкащш). ]¡ ойцен случае иод н.н.т. с операторной лорипрозкоа будаи яоншеть существование у iv.^ и почихздцадео определенных сшшетричиих иатрнч

Q. с II Q

nil - J^r «и^™ и таких, что распределение (jl Ъ 1г~ 1г) слайо схо/гзтсд к раслределении с равномерно

с

жирвршкш « плотиостьв (J (X) • Б/дзи говорить, что вшоднйяа л,п,т. для ца.то'мсяениых с.в.(т.е. случайные bôkvû-рсз со зНпч&нп/ти в ЗГ ), ьсля риыюиерно по СИ. £ ^ "

P^m^ckí СЦ (Q^m- 2 п)\у о (сМ Qn.) ■ его)

Л.н.т. для ойзастей означает, что рылпмфно яо X £ iu^

д,:щ' ограниченных ипоаес-гь В» тпрер.-внект. п<»и jl-t • Аналогично («¡»¿иаеггея х.п.т. плотйоотеа. Еелл I!. диагональ-

- ?л -

вая матрица о общим элементом на диагонали В ц. , то скуден говорить о предельных теоремех оо скалярной нормировкой.

Укален простые критерии эквивалентности и.п.т. и л.п.т., выраженные через разности локальных вероятностей.

Лекаа 4.1.2. Для того чтобы | ^ ^ ^ ) удовлетворяющая и.л.т..удовлетворяла л.п.т. в форме С21.), необходимо и достаточно, чтобы

для любого куба с ребром длины А/ > О н

таких, что | б п. ^ п. I -^ 0 •

Аналогичные критерии имеются относительно л.п.т. дм целочисленных с.в. и плотностей. Отметим,что здесь не обязательно суша с,в. Указанные критерии является единственными в настоящее время необходимыми й достаточными условиями эквивалентности и.п.т. и л.п.т. Однако, не смотря на лаконичность формулировки, они трудно проверяемы и нз решают полностью проблему описания класса последовательностей, удовлетворявшие л.п.т. В диссертации эти критерии использустся как аппарат дая доказательства достаточных условий л.п.т. Более? удоейшми для проверки являются условия типа В, выраженные через характеристики слагаемых.

Теорема 4.1.1. Условие В является необходимы}!, дет спра-ведхизостн л.п.т. дяя областей в усиленном смысле (справедливость (21) не- нарушается при отбрасывании конечного числа слагаемых). Условие В для целочисленных с.в. является необходимым для состаетствувщей л.п.т. Необходимым условием ллг.т. дал плотностей в усиленно« смысле является условие:

14 к ■(<*)—

Достаточными для эквивалентности и.п.т. и л.п.т, у слога..

ища Б без дополнительных ограничзнай на лв.тлвтел - .„¡-агаг. соответствующие примеры. Из этих примеров'ясно, что вообще условий, связанны;; только со структурой слагаемых, не достаточно д.'Ш эквивалентности и.п.т. и л.п.т. В § 4.2, 4.3, чЛ рассматриваются достаточные условия л.ц.г. в различии* формах нь основе условии типа А и В.

Имеется большое число работ,посвященных л.п.г., особенно для целочисленных с,в. - Ю.В.Прохоров, Ю.А.Розанов, 'Г.А.Аэла-рон, В.В.Петров, А.А.Мнталнускас, В.А.Стагулявичуо, A.J.Oauid, й.Дубинскайте, А.С.Атаиатов и др. (далее £ авторе!;п подробнее в диссертации указаны белее конкретные ссшшО. Утл работы содержав различные достаточные условия справедливости л. п.т., выраженные через разные характеристики и слабо связанные между собой. Названные достаточные условия в болкишетне случаев-трудно проверены и вместе с тем не дао? ясного представления о классе асах последовательностей,удовлетворявших ¿.п.т. Предельный закон в этих работах,лак правило,нормальный или устойчивый, чао суиазт ойцкоать постановки. В укпзпшых работах, за исклочаииеы работ Фомина,рассматривался па&шшь иив с/ишч íto тшсна сумает постановку, т.к. пароход " oreas серий зачастую принципиально меняет ситуации.

Получение предельно широких я вместе с теп достаточно простых достаточных условий справедливости л.и.т. для одномерных с.в. было для диссертанта более слоало»: н пршаяивль-иов задачей, чем их обобщение на многомерны.; аду чай. Но ио-океш.ку почти все результаты иолу чени и для многопарных с.«а. , по крайней мерз со скалярной нормировкой, то в диссертации рассматривается только л.;, т. ;;

- гв -

Теорема 4.2.1. Пусть для серий | Целочисленных

а.в. выполняется к.п.т. со скалярной нормировкой и условие В (целочисленный лориант). Для того чтобы выполнялась л.п.т., т.е. чтобы

достаточно выполнения одного мя условии:

I. в^-оОч^ ^

П. Существует ^ < Т такс.?, что для -М-ц. — выполняется условие АI.

Используя оценки дяя через более простые стцукг/рнно характеристики саагаеных, из I получаем легко проверяет» и вместе с тем достаточно обцлз достаточные условия л.п.т., особенно при •х 0(4). В частности, а случпз однэтгешых с.в. с конечными вторш.и номентемн (тогда Ъ ) 11 нормаль-

ной предельном законе отсюда следует теорема Гагкрэлидэо Н. (Теория Бэроятн. и ее пркиен. ,1968, т.ХШП, £ 2, с.373-~."б). Для одномерных с.в., можно вывести еце белее простые достаточные условия. Например (следствие 3), если

11 '

то 5Г.П.Т. и л.п.т. эквивалентны.

При бистром росте Вз^ йслее обпан является второе условие. В условии II, конечно, А1 мокно заменить условием А или проверять условие А1 ддя постоянного М>0.С небсльяимл оговорками можно в вгом пункте условие А1 заменить на А2 или А.З. Хотя условие II к не является неоскодиш;: для спразс-дливссг? л.п.т., оно близко к необходимому, во всяком случае распи-

• •• - 27 -

рить его, положив ^ ь: , нельзя (имеются контрхрип ери). Если для последовательности однсцерних целочисленных с.в. выполнено AI с постоянным и и.п.т., то (следствие 5) необходимый и достаточный условием справедливости д.п.т. в уси-

со |

ленноа смысле является расходимость ряда ¿¡^ ^ ^Х ^ , К.)

для любого целого К £ [2. . Отсвда следупт теоремы *Тро-хорова-Розанова (ссылки см. выше).

Для л.п.т. с операторной нормировкой получены достаточные условия аналогичные I и II (теорема 4.2.4). Например, аналогам условия I будет служить следующее: существуют О. > О и П. о такие, что для d £ Я (1/<L , £/ч) и И 5? И 0

K^ccJ) > c^la^

Для справедливости последнего условия, очевидно,-достаточно, чтобы. || О|1 О . в случае скалярной норми-

ровки это совпадает, с I.

Изучение л.п.т. об асимптотическом псвздепин вероятностей попадания сумм в ограниченную область началось сравнительно недавно и было продвинуто значительно меньше других форп л.п.т. В случае одинаково распределенных- слагаемых проблема решена в работах Стоуна, А.В.Нагаева и др. Для суын различно распределенных одноиерных слагаемых наиболее зачетный результат содераала работа Маллсра (stochastic {юсепаеь агЛ their Applications,197В, N ?, р. 101-111). Этот результат приведен в § 4.3 диссертации,где показано, что он перекрывается предлагаемыми теоремами. Для многомерных различно распределенных с.в. ряд результатов получен С.С.Ход-жабагяном и Й.В.Лариным. Эти результаты обобде.от на ннаго-кврный случай получзшше ранее .адсеертанто'а л. :т.т. для одно-

мерных с.в. В диссертации рассматриваются-л.п.т. для областей в более общей постановке. В целом для этой формы л.п.т. получены столь ке общие достаточные условия, как и для других форм. Предлагаемые в диссертации достаточные условия справедливости л.п.т. в различных формах отличаются лишь в части ограничений на структуру слагаемых. Условия типа А остаются неизменными. Например, справедлива л.л.т. для областей, аналогичная теореме 4.2.1 с соответствующей заменой условия В.

Л.ц.т, для плотностей рассмотрены в § 4.4.

Полученные ранее различными авторами достаточные условия справедливости л.п.т. для.плотностей выращены с помощью ограничений на максимумы плотностей всех слагаемых или других ограничений на плотности. Для одномерных с.в. эти исследования суммированы в фундаментальной работе В.А.Статулявичуса (см. ссылку на стр.17). Обобщением теорем Статулявичуса является теорема 4.4.3 диссертации, однако, в ней', как и в других предлагаемых теоремах, не требуется обязательного существования большого числа плотностей. ■

Вопрос о точности аппроксимаций локальных вероятностей и плотностей выражениями из л.п.т. для данной диссертации не являежся центральным. Вместе с тем, рассмотренные здесь характеристики.распределений и разработанный аппарат дают основу для получения искомых оценок.

В § 4.5 предлагается ряд оценок в л.п.т. для сумм целочисленных с.в.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. О слабой форме локальной предельной теоремы // Теория вере-

ятн. и ее приыен. 1976. Т.XXI. 13. С.648-653.

2. Верхние оценки интегралов от произведений характеристичес-

ких функций // В сб. "Предельные теоремы и иатем. статистика". Ташкент: Фан. 1976. С.Ш-И7.

3. Одна оценка быстрого убывания концентрации распределений

сумм независимых случайных.величин // В сб."Предельные теоремы и цатем.статистика".Ташкент: Фан. 1976. С.117-121.

4. О слабой форме локальной предельной теоремы // Изв.АН Уз

ССР. Серия физ.-мат.наук. 1976. Я 2. С.32-37.

5. Предельные теоремы для вероятности попадшшг сунн незави-

симых случайных величин в отрезок // Вторая Вильнюсская конф. по теории вероятностей-и матем. статистике. Тезисы докл. Т.2. Вильнюс. 1977. С.58-59.

6. Локальные предельные теоремы для произвольного закона. I,

ИДИ.// Изв.АН УзССР. Серия физ'.'-кат.наук. 1977. Л I. С.24-27; 1977. # 4. С.18-22; 1978. 2 3. С.30-36. . 7. 0 сглаживании композиций распределении // Изз. АН УзССР. . Серия физ.-мат.наук. 1979. .2 3. С.14-20. 8., Локальные предельные теоремы для распределений сумм независимых случайных векторов // Третья' Международная Вильнюсская конф. по теории вероятн. и матеы. статистике. Тезисы докл. Т.2. Вильняс. -1981. С.69-70.'

9. Локальные предельные теоремы дня' плотностей сумм ¡гз зав и см ■

мых ¿лучаПиих векторов.1.11,111.// Изв.АН УзССР. Серия физ.-маг.наук. Г983. I 5. С.25-29; 1964. В I. 0.32-3$; 1984. & 3. С.20-24. .

10. Локааьние предельные теоремы для распределений сума независимых случайных векторов // Теория вероятн. и ее приыен.

" 1984. Т.XXIX. &2. С.360-366.

11. О иекотррых необходимых и достаточных условиях локальных предельных теорем // Докл.АН УзССР. 1984. 1 8. С.7-8.

-12. Некоторые оценки функций концентрации локального типа // '. • Докл.АН УзССР. ¿985. Л 9. 0.7-8.

13, Оценки концентрация .распределений сумм независимых случай-

иых векторов // Четвертая Международная Вильнвсская конф. по теории вероятностей в матем. статистике. Тезисы докл.' Т.Н. Вильнюс. 1985. С.229-230.

14. Оценки локальных вероятностей сумм независимых случайных величин // Первый Всемирный конгресс Общества им. Бернул-ли. Тезисы. T.II. Москва. I986. С.800.

15. Двусторонние сценки функций концентрации // Докл.. АН Уз ССР. 1987. £ 2. С.7-8.• .

16. Асимптотические оценки локальных вероятностей сумм независимых случайных величин // Изв.АН УзССР.Серия фиэ.-мат. наук. 1967. Л 5. СЛ2-47.

17. Асимптотические оценки локалышх вероятностей суии независимых многомерных случайных величин.// Изв. АН УзССР. Серия фйз.-мат. наук. 1988'. J 3. С.27-32.

18. Od одной оценке функций концентрации // Изв.АН УзССР. Серия физ.-мат.наук. 1988. & б. С.18-19.

19. Локальные предельные теоремы для решетчаты^ случайных величин // Докл.АН" УзССР. 1988. £ 12. С.7-10.

20. Асимптотический анализ локальных вероятностей сумм независимых случайных величин ■// Пятая Международная Вильнюсская конф. по теории вероятностей и матем. статистике. Тезис«.докл. Т.П. Вильнюс. 1989.

21. Предельные теоремы-для ло.катыгых вероятностей сумм независимых многомерных случайных величин //' Изв. АН УзССР. Серия физ.-мат.наук. 1989. Л 3... С.26-31/

22. О локальных вероятностях суш независимых случайных величин // Теория вероятн. и ее пршгн. 1989. Т.XXXIX. £ 4. С.677-685.

23. Хокальные предельные теоремы для реиетчатых случайных величин // Теория вероятн. и ее иркмен. 1991. Т.36. £ 4.

С.660-674.

24. Условия эквивалентности интегральной и локальной предельных теорем. I.II. // Узбекский математический гурнал. 1992. t I. С.30-38; JS 3-4. С.72-80.

БОПЩСШ ТАССЩШШ ШКДОШР йШОДСШШГ JLOKÄJl ЭДОЛОШШВШГ АСИМПТОТИК ТАЭДШШ

Мухин А.Б.

Я ёки k.S да цийыет цабул килувчи биглицсиз тасоцвфай шщ-дорлар аигандиси курплади. Диссертация PÍ $ 1 , ß-

К '

чегараланган борад тртиаилари лекал эхтимолларанинг аиимпготик тахлилига багишланган. Цаълункп. тосодифий шэдорлар Зирппдиол-ни .урганиш ^озирги авмон эх'штеллар паз ария сшшнг асасикн таик:1л ;;ида;ш. Декан йу сохадэги тадащаглар acocan твчевкогдар-гаиг J311HH тахлнл нинпшх'а ба шаланда н. Дпкал о^ймол.такларнк ург&ниш асосан. инки йуналишда олиб борилаци: концентрация фушацшлари-ни бахилаш еа локал лшгат теоремалар.

Локал эхтимол.гшкларнн тадкиц килим учун диссарташшда нккп тилдагп шартлар киритилган га ургшшлган: цу^слуьчпларнинг структурам билан ооглин шартлар (В) ва чушвлуг-чйларшшг струк-турасига боглщ буллаган шартлар (А). Куншлуечклар с.лш уевши бияаи йягиндпеишшг гацешлотини "сияличяанит" хосаси ей улар>ш В тинвдаги шартлар орасидагп иуноеабатлари урганилган. А тшш-даги шартлар ёрдаиада йнгандишшг концентрация функцияси учун И öyini'Ä'- камаГшш даражаси кцорк булган бахолар олипган. Концентрация' функцияеньи кшайиш даражаси бир хил булга» чуйидан ва юцоридан бахолаш иасаласи кури б чивдлгян А а В типдащ иартлар Зрдоызда хар хал фот*таги локал лшят тоорегзларни i¡a~ иоатлангирувчи тасодцфпй пквдорлар иетыа-квт!<аликлари синфи адщлансан. Хар хил форгадаги локал лимит теоремалар ораоидаги $орланиш ургапилгаа..

- 32 -

ASYMPTOTIC ANALYSIS OF THE J,CCJ>L IRCBAB1IITIES OF S»Mj OP independent random VARIABLES Л.В.МУКН1Н

Consindcr S^ a sum of independent randor; vBT'°.blt.'5 ИНт'Р values in П or r" .In the dissertation Mtym»t«ttc b?£>-"lcv.r of the "local" probabilities С S } is studied.f.heri» В ie a bounded measurable set. Roeenrch of distributions of eum forms basis of th»'modern probability tbpery.Hovever, tber-c investigations coaceras mainly asymptotic behnriour cf the «Ш- *.« iibuticn on the whole.Study of the local уvobeblllti«>c is liri-tad oneself two directions: estimations cf the concc.ntrati^r funotiona and locsl limit theorems.

For research of the local probabilities! in ihv dissertation is introduced and in detail Btudied condition:-' of two types : ccnnectad with structure of sunranndes (B) and dependent on behaviour of the distributions of sumraandeB in "tails" <A), Connection of the' conditions of type A and the properties of

"eoothiBg" of the dietributiens cf S ..by a-is etudlc-b

By means of tl:e conditions of type A the entirntionf 'of the concentration function of cum with a great сгйлг cf decrees"-is obtained. The question в bout two-sided cstiratiorm £>i t1;® concentration function with the gasie order of decrease iron above and from below io oonnidered.Ey means cf the'conditions of type A and В the e<rt of oeguences catiafyirs local lime f. theorems in various forra in ¡3«.'ecri,l>el,The conr.?cvion hrtsver.;; various .ferns of local linit tr,eorens ie studied.