Асимптотическое интегрирование систем линейныхдифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом при наличии точек поворота тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

рУ Ь ОЛ

1 о МН1 'зй

Київський університет 1м. Тараса Шевченка

диференціальних рівнянь з відхиленням аргумента при наявності точек повороту

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат дисертаці ї на здобуття вченого ступеня

На правах рукопису

Рашевський Микола Олександрович

УДК 517.928

Асимптотичне Інтегрування систем лінійних

кандидата фізикр-математичних наук

КиГв - 1993

.Дисертація с рукопис ,

Роботу виконано на кафедрі математичного аналізу Українського державного педагогічного університету їм. М. П. Драгоманова

Наукові керівники: академік АПН України,.

доктор фізико-математичних наук, професор ПІкіль Микола Іванович;

. кандидат фізико-математичних наук.' доцент Підченко Юрій Петрович Офіційні опоненти-, доктор фізико-математичних наук Яковець Василь Павлович. -

. кандидат фізико-математичних наук, професор Сотніченко Микола Адамович Провідна організація: Одеський державний університет

і м.І.І. Мечникова

Захист дисертаці / відбудеться 1995 р,

0 цИ.” годині на засіданні спеціалізовано/ вчено/ ради К 01.01.21 у Ки/вському державному університеті їм. Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Ки/в, просп. академіка Глуш-кова, .5, механіко-математичний факультет. .

З дисертацієй можна ознайомитись у бібліотеці Ки/вського державного університету їм. Тараса Шевченка, Ки/в, вул. Воло-димирська. 58. ^

Автореферат розіслано " ^3" іддд р.

Вчений секретар -спеціалізовано/ вчено/ ради Гурченко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сингулярно збурені рівняння та системи з точками повороту СТІГ) необхідно досліджувати при розв’язанні багатьох фізичних та технічних задач; Названі рівняння, як правило, не інтегруються в квадратурах.

. Ефективними методами наближеного інтегрування систем сингулярно збурених рівнянь € асимптотичні0 методи. Останні різними обмеженнями вимагають стабільності спектра граничного оператора, тобто відсутності ТП.

Системи, що містять ТП вивчались у роботах Р. Лангера,

A. А. Дородніиина, Т. Черрі. В. Базова» М. Івано, У. Сибуйя,

B.П. Маслова, М.В. Федорюка, В. В. Кучеренка та ін. Побудовані у їх роботах асимптотики містять спеціальні фуннкці їі що створює труднощі як при побудові асимптотики, так і при числових розрахунках.

У зв’язку з цим актуальної) € проблема побудови такої асимптотики розв’язку, яка б не містила спеціальних функцій. У цьому випадку говоритимемо, то асимптотичний розв'язок виражено в елементарних функціях.

Розв’язанні) названої проблеми присвячено ряд робіт М. І. Шкіля, Г.В. Завізіона, В.П. Яковця, Ю. І. Карпенка. У названих роботах встановлено достатні умови для побудови в елементарних функціях асимптотичних розв’язків лінійних систем звичайних диференціальних рівнянь першого та другого порядків, а також побудовано згадані розв’язки. При цьому накладались обеяення як на коефіцієнти системи, так і на Млени асимптотики.

Об'єктом дослідження роботи < системи вигляду

є^1 — = АС(.сЗх + /С/.еЗехр(/е~^0Ш} . СІ)

сі/

сН & = А«.С)Ж + ВС/.СЖ/-А.С). С2)

сі/

с йїИіСІ = да.еЖ<,еЗ + Ва,є)жС<-Л.сЗ. СЗ)

<Й

с ^Ь-£І = АС<.сЗлСі,сЗ + ВСМОжа-А.еЗ + сі/

+ СС/.сЗх Сі-А,є), С4Э де лС /,єЗ- шуканий п- вимірний вектор; АС /,с). ВСЛс),

СС/.’е) та /С<.с)- дійсні відповідно пхя-матриці та вектор-функція, що зображуються збіжними рядами за степенями дійсного малого параметра с > 0: •

АСІ.е) = £ екА.СП; ВС<.сЗ = £ екВ.С»;

к=0 к к=0 к

» ш С5)

СС/.с) = £ екС.СП; /С/.є) = ЦеЧсО;

к=0 к к-о к .

Д > 0 - стале відхилення; 0С/) - дійсна скалярна функція;

0 < /і € ®; / = Vі-1"; 1 € [0.Ы , Ь < «. ■

Для системи (1) ставиться задача Коші: лСО)=л0. а для систем

С23.СЗЗ- основна початкова задача: на півінтервалі 0 < і £ Ь

побудувати розв’язок хС*.е). що при -і ї І ї 0 задовольняє

рівність

ла.с) = ?С/3. СЄЗ

для системи С43 основна початкова задача запишеться так;

жС/.с) - <рС/), С73

з

х U.e) - р СЮ, C7)

Вимагається виконання такйх умов:

1°. Матриці А)(СО, BkCO, вектори /fcC*3, 'функція ОСО

та вектор p(t) нескінчено диференційовні відповідно на

проміжках [0.L3 та f-Д.ОЗ. k = 0,і».

2°. Корені характеристичного рівняння

РСЛ.П п detil Л0СП-АЕ 11=0 С8}

різні на CO.LJ і збігається при і - 0; Е - одинична матриця.

3°. AqC0) подібна жордановій клітці розмірів п х п з

числом р на діагоналі.

Точками повороту СТГО називатимемо ті значення змінноГ

/. що одержуються виключенням \ із системи ,

РСЛ.ОЮ. =0'

Використовуються підстановки:

JtC/.cD = ехр{ е'^-С^є}} VCtlzCt.cJ;

zCf.E) = РС/.с)уС/, с) ;

де _ '

£С/.є) = 4- f trAC/.cJdi; PCf,c)iA|;,1P.C<)ei/7CW;

о i-о 1

VCt) та PCt.c)-nxn- матриці, що зводять AQC<} та

V_1Cn< Au+t]Cf.E)VC/D - і IrAC/.cD - V СШ С93 відповідно до сільвестрово/

> */' Vя 'Ї.Н * ' Sl 1-1 "Ї.Н (І0>

та канонічноГ форми Арнольда ; th3 та гСМ- відповідно ціла частина та знаменник числа h;

4

[Л+1] .

Аи+,]с'-е3

5ц- символ Кронекера; є ЄІ

Арнольдову форму матриці (93 позначимо через СС/,сЗ і

введемо до розгляду характеристичне рівняння

РСА./.с) в detli CU.e)-AE І! = 0; С113

Вимагатимемо виконання умов ' .

- t /

4°. |RCP.P^ ЗС/,сЗ|а|ЯСР,Рд 3(0,е3|*<) V < € CO,LI, де /

RCP.Рд З- дискримінант многочлена РСА.і.е); та с^и.ЕЗс^СіЗ > S > 0 , /є [O.fJ. 00, (123

аі пі • . 0 0

де та с|«)- елементи матриці СС/,£3. 6 і не залежать від є.

Нехай А^Ш. А2(13,..., Ад(*3 - корені рівняння С83 Якщо З *0є [Д.L3 таке, що

A. С^З = А С< - ІДЗ. A С13 ю А, С<- (АЗ. Сі33

k -Ті k -Тс

ik.jk с С 1.2......п }, І € С 1,2.;.. >.

то говоритимемо, що у системі має місив точковий резонанс. Системи CD. С23 називатимемо майже діагональними. якщо існує неособлива матриця ТШ є Cw[0,L] така, що

ГЧ/З/^СОТСО « diag< Я^З. А £П..............А СО >.

причому

AjCO - <ч fy/3. J - ГТїї; q € IN; KfO € C®[0,L]; ftjCO) * Х~С03. і * j, i.J = ІТгй V і AjC03 * 0.

Мета роботи-

•дослідити можливість побудови та побудувати в елементарних

з ■

функціях асмптотики розв’язку систем С1).С23 з ТП; побудувати наближені розв’язки системи СЗ) з майже діагональнов матрицеїз та системи (4Э з точковим резонансом. .

Методика дослідження. При розв'язанні сформульованої задачі використовуються методи М. І. Шкіля інтегрування систем лінійних диференціально-різницевих рівнянь і. систем звичайних диференціальних рівнянь з ТП; метод В. Базова побудови асимптотик майже діагональних систем.

Новизна дослідження У дисертаційній роботі побудовано асимптотичні розв’язки систем (13-С4) при наявності ТП. Для даного класу задач уперше: -

- побудовано формальні розв’язки неоднорідної системи звичайних диференціальних рівнянь з простими і кратними. ТП; доведено- асимптотичний характер формального розв'язку без обмежень на члени асимптотики; досліджено "резонансний" та "нерезонансний" випадки;

- побудовано асимптотичні розв’язки систем диференціально - різницевих рівнянь при наявності ТП. з точковим резонансом та майже діагональних систем:

- на основі діаграмного аналізу однорідної системи вста-

новлено достатні умови для побудови асимптотики в елементарних функціях при наявності простих ТП;. ,

’ - досліджено питання побудови асимптотики в елементарних

функціях при наявності кратних ТП. • ' •

Теоретична та практична цінність •

Результати дослідження систем С1Э-С4) можуть використовуватись для розв'язання різних задач прикладного характеру,

побудови двопараметричних асимптотик. З асимптотичних зображень розв'язку можна одержати числові розрахунки як безпосередньо, так і зведенням задачі до регулярної з допомогоЬ перших наближень розв’язку.

Апробація та публікації Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на семінарі відділу диференціальних рівнянь Інституту Математики НАН України (керівник чл.-кор. НАН України /V,М. Самойленко) / 1994/; на семінарі з асимптотичних методів у теорії диференціальних рівнянь при УДПУ Ім М.П. Драго-' манова (керівник.акад. АПН М.І. Шкіль)/ 1990-1994/; на 47-й конференції науково-технічної творчості молоді КДПІ їм. 0.М. Горького. / 1992/. За матеріалами дисертації опубліковано З роботи.

Положення. що виносяться на захист

- Існує формальний розв'язок систем (13,(2) вигляду

т ,, . ( ш . •

х С/.е) = £ іг*Ц(/,с)ехр{с_А(‘ Л(з,е)6з}с + £ігр.((,сЗ + т .А к о ы> к

+ і^а.е); - (14)

- розв'язок (14), виражається в елементарних функціях на досліджуваному проміжку. Прості ТП при цьому можуть міститись лише на кінцях проміжна, а кратні також і всередині;

- елементи матриць ик(*.є), Ш.е), та вектора й^і.є) (залишкового члена) мають полюси по є у ТП. Порядки полюсів Істотно залежать від кратності ТП.

- для числа т є N існує обмеження знизу, виконання якого є необхідною умовою для асимптотичного характеру розв’язку

СШ.

- Величина залишкового члена та число ш залежать від елементів матриць А^С/3. що має місце у випадку тотожно кратного спектра матриці А0Ш.

- Достатні умови для асимптотичного характеру розв’язку можна встановити у загальному випадку діаграмним аналізом системи С13.

- Залишковий член Нормального розв’язку системи С23 маз полюс по с не тільки у ТП ( = 10,агя і в точках ;0+кА, ке Я.

Зауважимо, що побудовані асимптотики не а рівномірними.- залишковий член прямую до нуля разом з е, але закони прямування істотньо різні у "класичній" та "резонансній" зонах.

- асимптотику розв’язку систем (33 і С43 о майже діагоальнон матрицею або при наявності точкового резонансу можна побудувати, визначапчи коефіцієнти як розв’язки скалярних сингу-г лярно збурених диференціальних рівнянь першого порядку. .

Структура та обсяг дисертації. Дисертація містить вступ, дві частини, загальні висновки і список літератури, що має 71 назву. Повний об’єм складає 104 сторінки.

ЗМІСТ РОБОТИ .

У вступі обгрунтовано актуальність теми, сформульовані мета роботи, наукова новизна одержаних результатів, їх практична цінність та основні положення, що виносяться на захист.

У частині І- "Асимптотичне інтегрування лінійних систем ди-

ференціально-різницевих рівнянь з повторивши точками повороту"- побудовано асимптотики розв’язків задач С1)~(3). С6). У § 1 сформульовано постановку задачі та необхідні у подальшому допоміжні твердження.

У § 2 побудовано формальний розв’язок системи (1) та досліджено коефіцієнти формального ряду у припущенні, ідо ТП Є простои: at=l у СЮ), тобто

,0- С15)

Теорема 1.2.1. Нехай виконуються умови 1°. 2° та 4°. Тоді система СІ) на проміжку 10.L1 має формальний розв'язок вигляду

хСі.сУ = ехрС є"Л;Сt.c]> VCtmt.cyyCt.cy, С16)

yCt.cl = ІІ(/,ЕЖ/.е)ехр{ е'лС/0Ш-<;СЛе)3}. де UCf.e)- itxn- матриця. bCt.c)- вектор-функція, що визначається системою

ch 4L. = с hu.e) +(£ 'сі.с) - ів'итіь + гСі.є); d/

ЛСі.с) - діагональна пхп- матриця; .

UCi.c) = £с,ЛІШ.е); ЛСі.е) = Г с №/Ш.є). С17)

. і=0 1 і=о *

Лема 1,2.1. Нехай виконуються умови 2°. 3°. С12), (15).

тоді для І-К/,с) та ACt,с) маять місце оцінки-.

OrCty = 2lD±12-; ОгСЛ } = -..1 s . .

де Ог(Ш - максимальний порядок полиса по с елементів матриці UCO.c). .

У § З доведено асимптотичний характер фэрмяпьного роз-

в'язку, оцінено залишковими член у "резонансному" та "нерезонансному" випадках,

Теорема І. 3.1. Нехай виконуються умови попередньоГ теореми, а також умоей (12) та . .

к > 1 + ІЛі; С18)

І?еС пЛ,С«.є) +■ ІгАС*.е)) з 0. /є С0.Ы Тоді існує натуральне число таке, що Уш > ш1 *тС*,е) е асимптотичним зображенням деякого точного розв'язку х(<,е) системи СІ) і має місце нерівність

. .. шп + т + 2п - 1

цй 4 У--------------------

їй - ж ІІ 5 СС1пс)е “ .

ш

де 0 < і» - стала, г = Л у "нерезонансному" і у = пЛ/Сп+І) у "резонансному" випадку; число т повинне задовольняти нерівність

_ ч _ _ пЛ + 2п - 1 - пт га > ті----------гїїГ- п ~1~

У § 4 результати § 2,3 застосовуються для побудови наближеного розв'язку системи (2) методом кроків. -

Теорема 1.4,3. Якщо виконуються умови 1°- 3°, С12), С18), а також умови

йеЛ,С« 5 0;

V /,< *2. іу /2€ СО.И *,«,) * Л3(Г2). = Т7ІЇ;

’ пЛ(С<2) £ пА^.е) + ігАС/^с),

то система рівнянь С1.3) у випадку простої ТП на г-му кроці С Сг-1)Ді / 5гД ) має розв’язок вигляду

• ^ », ‘ р-а лП.е) = ТСП^и С/,е)ехрС с'ь/ А С?.е)сІЄ > с+ £ Р, х

* Сг-1)А г ,)=! Ч

и -и

X ехрС С л / Л. , ,Сі.е)сіі} с,+ й г ,С1.с)ехр{ £ п%

Сг-1-рД * н ] * Г“1

Кг-1)4 ,

х і С Л.Сі.е) + п хгАСі.е)Е)сЮ с . + р Сі.е) + о 81

+ є^-^аСі.е).

Г

де CJ = ГТгЗ- сталі вектори; матриці К^Сі.є), І^Сі.е). Л^Сі.с) та вектор р^Сі.с) зображується сумами вигляду

І) Сі,с) =(5£~'є1иС,:)т; Л Сі.е) є ХСі)Сі);

* і=0 г >г і=0 г

І? Сі.е) ^Є^.^С/.Є); р Сі.е) = +Е :

*г к*0 1 Кг

J - гтг=г. г = ггптгг;

вектор агСі.е) мае полис по є при і = Сг~1)й. порядок якого

залежить від э і не перевищує числа (5-г)й для б > 50; число

б0 обчислено далі.

Лема Г.4.1. Для того, щоб на 1-му кроці побудувати

асимптотичне зображення розв’язку системи С2) з точні сто до

0Сек) , к с N. на першому кроці слід будувати б-наближення

таким, щоб число э задовольняло нерівність -

_ ч _ ^ пНІ + Ск+2)п -1

э > 50г - пК - п 1 . •

У § 5 методом діаграмного аналізу М. Івано та У. Сибуйя

одержано достатні умови, що дозволять встановити можливість побудови в елементарних функціях асимптотики системи СІ) Розглядається система СІ) з Арнольдовою матрицею АСі.с), /Сі,є) я 0. Вимагається виконання таких умов:

а) елементи д^Сі.с) зображуються рядами за степенями є:

а..Сі.е) = £ еЧ&'Ъ),

а?.к?/3 = 2 11ь5)к,Ь'). яЯк,К'1= 0 при Ь < ш..б Н и СО), и ь=п Ч ч “

ЧГ" к=0 « ,

причому 0 хоча 6 для одного 1 є Ч! 1.2,... 3;

д^СОЗ = 0;

63 функціГ а^СО «г аналітичними у деякому околі точки

і = 0. що не залежить ВІД Є: .

со „?0

Опишемо коротко метод, що використовується у даному параграфі . На координатну площину ОХУ нанесемо точки

й = С Л;-1 3 . С 4“: ------>----) ■

Опуклу оболонку множини нанесених точок назвемо характеристичним полігоном {діаграмою). Позначимо координати точок, що належать полігону через Са^ІЗ.З, і = і.ш, т € N. Числа, що визначасться рівністю -

^ї_і ——

9ї--*гКх і = 1,га'

назвемо показниками характеристичного полігону.

Вимагатимемо також виконання умови 4° та деяких обмежень на на зображення нулів результанту рядами Плі зо:

1 МЛ^ ^ . І « N. V «,<... . 0+.

а саме: . •

V і 10.11. С19)

Візьмемо один з нулів результанту, наприклад, 1 в

С13. введемо нову змінну в = і - <(СсЗ. Тоді система С13 запишеться у вигляді

£к dx.Cs, Є ) = д(5 + ^сСОс к,е)жС5.е).

Матрицю АС*,О останньої системи розкладемо в ряд Тейлора у околі точки б = 0. в результаті чого одержимо систему

|1 & = &б, fjOxCs.fi), С20)

во .

де XCs.fi) = /иСэ) + (і9 £ м'а.Сз), (л = с1 Ір, р - спільний 0 1=0 1 . .

знаменник показників а{ С і=0,1,...), елементи матриць Х(Сб) виражаються через елементи матриці АСі.с) та їх похідні. Побудуємо характеристичний полігон системи (.20), Нехай 0 < р,< р2<...< р - показники полігону. Справедливою € така теорема.

Теорема 1.5.1. Якщо виконуються умови а), б), 4° і (20) то при р5> ра0 асимптотика розв’язку системи СІ) виражається з допомогою елементарних функцій.

У § 6 результати § 2,3 узагальнено для кратних ТП, Нехай у

- СЮ) а. = р 2 а г а г ... * а ; р є { 2,3.. .. }.

І л •£ П

Число р називається кратністю ТП. .

Теорема 1.6.1. Якщо виконуються умови теореми 1,2.1, умова С12), а також И > р_,+ п-1 та

КеСпА,(/,е) + ІгАСГ.е))- ї 0, V / є [0.1]. і = І7п. то система СІ) з ТП кратності р має формальний розв'язок вигляду (16), який є асимптотичним зображенням деякого точного розв’язку системи; має місце нерівність

ш/і + у - Стп+тр+пСІ-ф^рХпрГ1 - Іг Их - X II 5 Се .

т

де С < в - стала, то не залежить від є; г = Л у "нерезонанс-

ному", 1 т “ пМп+р)-1 у "резонансному" випадках.

У § 7 дано асимптотичні оцінки залишкового члена при менш жорстких обмеженнях, ніж у попередніх теоремах.'

Теорема 1.7.1. Якщо виконуються умови теореми 1.2.1. леми 1.2.1, то на відрізку [0,И для кожного формального розв’язку хкі.с) системи СІ) існує точний розв'язок 3&/.Є) для якого даний формальний « його асимптотичним зображенням при £->01 V т е N має місце нерівність:

П^С/.е) - лг3СЛє)П а СстН~г ехр{ с-нЯе І Л.С/.еЗб/ У. т 0 і

С- стала, що не залежить від с; у = гГ’Стгс + ш +2п - 1).

У частині II - "Асимптотичне інтегрування лінійних диференціально-різницевих. систем з нестабільним спектром"- побудовано наближені розв’язки задач СЗ),С4),С6),С7). Досліджено системи СЗ),С4) з майте діагональною матрицеп АС/,с) та при’ наявності точкового резонансу. •

У § 1 сформульовано постановку задачі та необхідні у подальшому допоміжні тверднення.

У § 2 побудовано наближений розв’язок системи С4) з точковим резонансом. . '

Вимагається виконання таких умов:

а) корені характеристичного рівняння С8) залишаються

простими на проміжку [0,1,1. '

б) А,Ст) * 0; (?е А,Ст) 5 0 V т е [О.Ы. 1 - ТТїї;

в) V т, < т3. т,. гг є ІО.Цч [Й, С/+1)Д)

Л,Ст,) * А^т^, 1^ = ГГп. .

Теорема II.2.1. Якщо виконуються умови 1°, а), б), в).

то система С4) на СЫЭ- му кроці С/Л а т г С/+1}ДЭ ма^ розв’язок вигляду ■ .

пні . і Т

лСт.є) = ТСт)£ с1 мСт,є)ехр{ зд Лш ^Сз.сЭф} х

/ , т

X с, ,+ Ї К .ехрС ^ / Л .. ,С5.є)б5>с,+ рга . ,Ст.е)^ + j =1 С^-^рй м-з і *п «■*

+ Бт"'-* в|+1Сг.сЭ.

де у = яСц+13-1; я- порядок дотику функцій й(С<) та ?Ш-Ш

. л

у ТОЧЦІ І = <0; С|~ сталі вектори; СС(і)- рівномірно обмелений у околі точки є = О вектор, а матриці 1іт |+1, Лт (+1'. та вектор рш зображуються сумами вигляду

У § 3 побудовано наближений розв’язок система СЗЗ з майже діагональної) матрицею АСі.с) у випадку суто уявних коренів рівняння С8). .

Теорема 11,3.1. Якщо виконується умова 1°, то майже діагональна система рівнянь СЗ) на першому кроці СО £ т £ Д} має розв’язок вигляду .

хСт.с) = ТЧтЖт.єЗехрС- ^ / ЛСэ.еЗбз )[С,+ | / Г.Сб.сЗсіз] +

о о

+ 0Сс(га'ч-І^<чИЬ,

де С^- сталий вектор; Г,Сг,еЗ » МСт.єЗ^Ст-Д.є), МСт.є) = « К'Чт.сЖт.сШт-Д.є) ; Ш.є)- з точністю до 0Сеш^ч^Ъ фундаментальна матриця системи С4) при ВСі.с) и 0: •

х ~

ХСт.с) « ТСт)иСт,е)ехр{ ^ / ЛСт.йЗбт > + еч+,РСт,е);

о

елементи матриці РСг.еЗ є рівномірно обмеженими в околі точ-

• с

т е - 0. .

р.Ст.е) = ехрС- ^ / ЛСт.сЗсіт > ІГ1 Ст.сЗ’Г1 СтЗрС/);

о . ,

X / ЛСт.гЗбт >Г,Т-,]РСт.сЗехр{ - | / ЛСт.еМг >и-1Г-1. о о

Використовупчи рекурентну формулу

Т ' -~Г - 1 т

^,Ст,є) а - І Г.Сэ.еЗбз + С.+ є44- / Г0Сз,£)с1з.

1 о 1 о

ч Т -~г - Г

^Ст.е) = Є І МСЗ.ЄЗУ^СЗ-Д.ЄЗсІЗ + Сг+ С 4 1 X г

х £ Г^в.еЗбэ, г = 1.2....

де Г^э.сЗ - вектор, рівномірно обмежений у околі точки с=0. Сг~ довільні сталі вектори, доведено таку теорему.

Теорема II.3.2. Якщо виконуються умови попередньої теореми, то система рівнянь СЗЗ з ТП кратності ч на г- му кроці СґД а т й Сг+ІЗД) має розв'язок вигляду

хСт.е) = ТСтЗиСг.еЗехрС * X ДСз.сЗсЗэ > [ С + 1 } МСг.еЗ х

о , о

X *мСз-Д,сЗсіз] + 0СсСт“гЧ'г:) Лч+135і

У § 4 побудовано асимптотичний розв'язок системи СІ) з майже діагональною матрицеп АС/,сЭ 1 Припускається існу-

вання неособлиЕоґ матриці ТС*.є) класу С“С0,1] такоГ, що Г'А^СІ.еЗТ = (ІіадС А^.є). АдСі.е)..... >, -

, 18 причому ВТ CI.eDU £ Т,, а - стала;

де А{л+1]С/,е) = А0С/) + еА,С*) +..'.+ сГ А[ Л+1]СО.

Для одержання деяких оцінок вимагається, щоб

беї А,С О * 0. / € [0. /,]. <,>0. (22)

Теорема ІІ.4.1■ Якщо виконуються умови 1°, (21), С22)і

|РСР1.РіЛ)Сі,є)| г (ЙСР^Р^КО.е)! * О. ’

де Р,в беУ! Аи+1]С«.є) — ЛЕ Н = 0.

то система диференціальних рівнянь (1) з майже діагональною матрицею АС(.є) має формальний розв’язок вигляду

хСі.с) = ТС/.е)ІІ(/.е)ехрС е-Л / ЛСт.е)бт )с.

о

де иСі.с) та ЛС/.є) зображуються рядами вигляду С17). с -сталий вектор; формальний розв’язок € асимптотичним зображенням деякого точного розв’язку, якщо /і > 2 і функцій

КєС^О.с) - А^С/.еЗ) V і^ = ГГп зберігають знак на проміжку [О.ІЛ. Має місце нерівність: . •

И*}а.£) - ^СЛс)И 5 С^-2) ехр{ е'н ПеГ ).

ш о *

\) = ТТп.

Лема II. 4,1. Якщо виконуються умови 1° . С21) і

беІА^СО * 0. то для и4С/,є) та Л4СЛс) мають місце оцінки:

ОгСіу = 2э - 1; 0г(Л&) = 2Сє - 1).

Запропоновані методи побудови розв'язків систем С1)-С4) Ілюструються прикладами.

Основні результати дисертації опубліковано у роботах:

1. Пкіль Н.І., Рашевський И.О. Асимптотичне зображення розв’язку систем лінійних диференціальних рівнянь з простої) точкою повороту./”/ ЛАН Укра/ни,- 1992.-№ 4.- С. 13-17. -

2. Рашевский Н.А. Асимптотическое решение некоторых систем дифференциальных уравнений с точкой поворота // Дифференциально-функциональные уравнения. - Киев: КГПИ, 1991.-

С. 83-88.

3. Рашевський М.0. До питання про побудову асимптотичного . розв'язку систем лінійних диференціально-різницевих рівнянь // Асимптотичні методи в диференціальних рівняннях, -К: Вища шк. . 1993. - С. 132-137.

РашевскиП Н.А. Асимптотическое интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с отклонявшимся аргументом при наличии точек поворота.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Киевский ун-т, Киев, 1995.

В работе исследуются асимптотические решения линейных систем дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений с точками поворота. Установлены достаточные условия, при которых асимптотики не содержат специальных функций. Исследованы также почти диагональные' системы и точечный резонанс в дифференциально-разностных системах. Предложен способ построения асимптотик таких уравнений. Приводится оценка невязки. IOiD40Bi слова: асимптотика розв'язку; точка повороту. Rashevsky N. A. Asymptotic Solutions of the Linear Differential Equations Systems vith Delay and vith available Turning Points.

Thesis for a degree of candidate of science in physics and mathematics CPh. DD. the spesiality 01.01.02 - differential equations.

In this work an asymptotic solutions of the linear systems of differential and differential-difference equations containing turning points have been investigated. These ones did not include any special functions. A sufficient conditions for that are obtained. Almost diagonal systems and differential -difference systems with resonance are considered. Asymptotic solutions to these equations are obtained and a remainder member is estimated. .