Асимптотическое поведение и устойчивость решений некоторых классов кусочно-линейных разностных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

нащональна академш наук укра1ни 1нститут математики

попович Св1тлана 1гор1шга

УДК 517.9

асимптотична повед1нка та стшкють

розв'язюв деяких кллст кусково-лшшних изницЕвих ртнянь

01.01.02 — диференгцальш ршняння

Автореферат

диоертацп на одобуття паукового ступени кандидата ф1оико-математичних наук

Ки'ш - 2000

Днсертащею с рукопис.

Робста виконана у вцщш оничайних диференщалышх pimmnb та Teopii коливань 1нституту математики HAH Украши

Пауковий кер1вник кандидат фкэико-математичних наук

МЛЙСТРЕНКО IOpiii Леонддович 1нстнтут математики HAH Укра'ши, старший науковин ствробтшк

Офщшш опоненти:

доктор фюикоматематичнпх наук ХУСАШОВ Денис Лхьевнч

Кишський Иацюпальнпй ушверситет ¡меш Тараса Шевченка, факультет кибернетики, эав]дувач кафедрн моделювашш склад-них систем

кандидат фпзико-математичних наук ДОБРИНСЬКИИ Володимнр Олексаидрович Ыстутут математики HAH Укра'ши, старший науковин спшробтшк

Провщиа устакоиа:

Харк1вський нацюналыпш ушверситет im. В.Н. Ivapaoina, кафедра математичноТ физики та обчислювальноТ математики м.Хармв

Захист В1дбудетьсл ^PfP року о годит на

оааданш спец1ал1зовано1 вченоГ ради Д.26.206.02 при 1нститут1 математики HAH Укра'ши за адресою: 01601 Кит - Л, вул. Терещен-

klbcbku, 3.

3 днсертащсю можна оонаномнтнсь у б^блютец! 1нституту математики HAH Укра'ши (Кшв, вул. Терещенктська, 3). Автореферат роо5слано " т.- АУйФ.1!!?^ ШР. р.

Вчений секретар cneuicUiiooBaiioi вчено! ради

ПЕЛЮХ ГЛ!.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальшсть теми. В останш рокп значна увага прндшяеться доандженшо Heflinifiiiiix рюницевих pimmnb, за допомогою якнх мо-делюються япища та процеси в напр1зномаштшшнх галузях науки та техшки. Особливсн актуальное^ вивчення таких piaiwub набуло в аз'яэку о ix використанням для вивчення детермшованого хаосу та внникнення структур. Важливим випадком нелшиших рюницевих piBHHHb е так зваш ланцюги зв'язаннх вщображень (осцилятор1в), па допомогою якнх моделюють явнще синхрошзаци, яке полягае у тому, що ов'язаш осцилятори аснмптотично (з часом) демонстру-ють одиакову поведшку.

Теор1я синхрошзаци иерюдичннх систем активно розвивалась з 30-х рокш иашого стор!ччя, почннаючи о класичних праць Б. Ван Дер Поля, О.О. Андронова, A.A. Вггта. В середшп 80-х роюв X. Фужшака та Т. Ямада вперше показали можливкть синхрошзаци хаотичних систем, що стало поштовхом до подальшнх числешшх до-сл1джень в цьому напрямку, як теоретнчних так i екслерименталь-ш1х. Режим хаотично! спнхрошзаци застосовуеться в радюшже-нерп для передач! сигналу з використанням хаотично!" несучоТ (ро-боти JI. |1екори, М. Хаслера, О.С.Дм1тр1ева. В.Шварца), в бюлогп та медицин! (роботн К. Канеко, Е. Мозеюльде, Ю. Курца), в фюиц!, економиц та шших галузях науки.

Доапдження явшца синхрошзаци хаотичних систем ticho пов'я-зано з вивченням новнх тишв б1фуркацш таких, як б1фуркацп ро-орщженпя та розшнрення, а також репнтчато! структури облает i прнтягувашш атрактора. Цш тематищ приезячеш роботн Дж. Алек-сандера, Д. Йорке, Б. Ханта, П. Ешвша, Ф. Астона, Ю.Л. Майс-тренка, П. Глендшшга та ¡шиих. Особлива увага придшялась досл1дженшо piaiinx тишв ст1Йкост1 еннхрошзуючого хаотичного атрактора.

Явшце хаотичноУ еннхрошзаци виникас в системах зв'язаних од-HOBHMipniix неперервних вщображеш» як а лшшннм, так i нелшш-нпм зв'язком. В ирацях Ю.Л. Майстренкд, В.В.Астахова та шших розглядались системи двох зв'язаних квадратнчних в!дображень, де

бу.ю дослщжено втрату cTuiKocxi атрактора хаотично! синхротзацп через жорстку i м'яку б1фуркацп подвоення, б1фуркащю вилки (pitchfork) та вкаоаао на роль транскритично1 та С1дло-вуолово1 б1фуркацн при порушеши снметрп.

В роботах 10. Мэ-йстренка та Т. Каштаняка рооглядались систем» двох зв'язаних кусково-лшппшх в'щображень о лшшним зв'яз-ком. В робот! М. Хаслера та IO.JT. Майстренка вивналась система двох ав'яоаних тент-в1дображень а лншшнм та нелшшним зв'язком. Роботи А. ГПковського, П. ^азбергера та П. Гпендшшга присвячеш систем1 зв'язаних тент-в1дсбражень, де внвчаеться б1фуркащя роз-ширення. Були анайдеш моменти б1фуркацш розр1Дження та роз-ишрення для синхрошзуючого хаотичного атрактора.

Незважаючи на зростаючу кьчьккть роб1т, що присвячеш хао-тичшй синхротзацп, анал1тичш результата, що стосуються стш-KocTi синхрошзуючого атрактора та його б1фуркацш, вдаеться от-риматн лише в деякнх спещалышх випадках.

Зв'язок роботи а наукошгми програмами, планами, темами. Робота проводилась зпдно з загалышм планом доойджень в1ддшу звичайних днференшалышх piBiwiib та теорп коливань 1н-стнтуту математики НАН Украшн.

Мета i оадач1 досл1Джения. Метою дано! роботи е доо-нд-ження асимптотично! попедшки роов'язк1в систем кусково-л'иппнчх р1зницевих р1внянь, а саме: одержання умов кнування хаотичного синхрошзуючого атрактора, областей його асимптотичноТстшкосп, cTifiKocTi за Мшюром, нестшкост! за Мшнором та сильно! нестш-кост1 для систем нелшпшо зв'язаних кусково-лннйнпх ушмодалышх та б1модальних В1Дображень.

Наукова новизна одержаних результатов. Основннмн результатами, як! визначають наукову новизну та вниосятъся на за-хист, е так1:

- в npocropi параметр1в знайдено облает! ¡снування та CTifiKOCTi точ-кових щшнв та.циклов хаогичннх ¡нтерва-'нв для б1модального одио BiiMiptioro кусково-лпшшого в'щображешш. Винчено б1фуркашю переходу шд ужмодального до бшодалыюго воображения. Довег^но,

що 11 результатом е поява прнтягуючнх цикл1в, що утворюють каскад додавання перюду;

- знайдено област1 асамптотично! стшкост1, спйкост1 (нестшкост!) за Мшнором та сильно! нест1йкост1 синхрошзуючо! хаотично! мно-жннн для система дпох нелшшно зв'лзаних кусково-лншших у;имо-дальннх та б1модалышх вщображень;

- одержат точт бфуркацшш поверх!» для б1фуркащй розрщження, розшнрення та б1фуркацп переходу до хаотичного адла для система дпох зв'язаних ушмодалышх та б!модальннх кусково-лшшннх в1до-бражень;

- одержано обласач рюннх ташп стшкост! хаотично! синхрошзуючо] множшш для системи N пелшшно зв'язаннх ушмодалышх кусково-лшшннх вщображень та вивчено б1фуркацп, що вщбуваються при омни типу стшкостч в эалежност! в5д параметры».

Практична шшчешш отрпмапнх реоультпт1в. Отримаш результата узагалыпогать та доповшоють в'щпошдш досгндження не-лшнпшх ркзшщевих р1внянь першого порядку та систем зв'язаних нелппшшх вщображень. Результат!! першого роздшу можуть бути Бнкористаш яри вивчешп систем б1лыно! розкчрност!, коли базове воображения с бшодалышм кусково-лшшшш, оскшьки ва б1фур-кацшш поверхш знайдено в явному выгляди Результата другого роодьчу будуть кориспими при моделюванш конкретних прикладных задач хаотично! синхрошзацп. Знандешш явний вигляд функ-цп Щ1ЛЫ!ост1 для ¡нвар1антно! ймов1ршсно! м1рн може бути внкори-сгаиий при знаходженш точних момент1в б/фуркацц розшнрення, тоб-то втрати спйкос-п за Мишором.

Особистнп виесок одобувача. Визначешш загального нап-рямку доапджень I постановка задач належать пауковому кер1внаку

- Ю.Л. Майстренку. Доведения вах результатов дисертацп, як! ви-носяться на захист, проведено автором особисто.

Апробац1я реоультатш дисертащУ. Результата дисертацш-т¡о! робота допов1дались i обговорювались на семшарах вщдЬу звн-Ч лйних диференц!алып1Х р1вняньта теорп коливань 1нституту мат<> м.чтнки ИЛИ Украши; на м^жнародному симпоглум1 " Егп;гкПс икю/у

arid dynamical systems" (червень-липень, 1995 p., Варшава, Полыца); на м1Жнарод!шх наукових конференцшх "Нелшшш диференщальш р1вняшш" (серпень 1995р.,КиТв, Украша); "Nonlinear dynamics, cha-. otic and complex systems" (листопад, 1995 p., .Закопане, Польща); "Contemporary problems in theory of dynamical systems" (липень, 1996 p., Нижнш Новгород, Роая); "Nonlinearity, bifurcation and chaos: the doors to the future" (вересень, 1996 p., Добешков, Полыца); "Applied chaotic systems" (вересень, 1996 p., Лодзь, Полыца); "Beyond quasiperiodicity: complex structures and dynamics" (с!чень, 1999 p., Дрезден, Гермашя).

Публ^каци. Змкт днсертацп вщображено у 4 журиалышх стат-тях, 2 роботах в об^рпнках наукових праць та 3 теоах лпжнародних наукових конференций [1-9]. Роботн [1-8] namicani у сшвавторств'1. Науковому кершпнку належать постановки задач, обговорення ме-тод!в Ух доаидження. Bci результат», ям внносяться на о ахнет, доведен! дисертанткою самостшно.

Структура та об'ем дисертащУ. Дисертацшна робота скла-дасться i3 вступу, двох роздЫв з 6 параграфов, внсиовпв та списку цитовано! л1тературн ia 58 назв i викладена на 115 CTopiHKax.

У BCTyni обгрунтовуеться актуальность теми днсертацп, аналь зуеться сучасний стан проблеми, даеться огляд лггературн i стисло викладено осиовш реоультатн.

У першому роад!л! днсертацп доопджуються бофуркаци атрак-Topie б1модального кусково-лшпшого неперервного вщображеннл / = fi,Plb ■ К1 —* R1, що мае внгляд:

ОСНОВШШ 3MICT РОБОТИ

де с\ — b + 1/р, С2 = Ь — 1 /р - крнтичш точки функцп /.

Параметр» I та. р е кутовнми коефщкнтами лиш'шнх частин /; Ь - координата перетину графка функцп у = f(x) о Diccio ОХ на штервал! (с^сг). Вважаемо, що параметр« вщображешш / = ДР,ь набувають оначень в област1

В = {(l,p,b)eR3 :1 ре(-оо,-1), \ь\ < 1-+ 1/р}. •

При (l,p,b) £ П воображения / мае едшшн iimapiaiiTiimV штервал [—1,1], який притягуе Bei траекторй, i вщображення на ньому с-бшо-дальним. Точшше, ште,р»ал [—1,1] с абсорбуючнм для вщображення / в тому cenci, що для будь-якоУ початково! точки хо £ К трасктор!я {/n(^o)}?Lo потрапляс в штервал [—1, 1] гза ск'шчеииу к'шьк'югь ¡терший i там оалишаеться.

В § 1.1-1.2 у npocTopi параметр1в опайдено точт формули для границь областей ¡снування стшкнх цнхл1в pioinix кош[нгурацш та дослщжено ix б1фуркацп. Основна увага придшяеться б!фуркащям, що вщбуваготься при ироходжент параметричнс! точки (/, р, Ь) черео поверхш р' = 0 та |Ь| = 1 — р', де р' = —1/р, як\ можна умовно на-звати б1фуркац1ями переходу "вщ вщображешш кола до б!модального вщображення" та"вщ ушмодального до б1модалыгого вщображення" вщповщио.

Для довольно! перюдлчноУ траекторй {fk{xo)}kZo: fk(xо) = го} впедемо узагальнсне число обертання

»{«•='1,п :/■'(») €(»*,!]} _ г п п1

де х* - нерухома точка вщображення /, Ц - кшькшть точок циклу, що належать вщр!оку (г*, 1], п - перюд циклу. Прнчому цей др1б може бути i скоротним.

Точковий цикл, з уэагальнешш числом обертання r/n будемо по-оначатк 7г/„, а область його ¡снувапня i CTiiiKocTi в параметричному npocTopi- Пг/П.

Кожтй траекторй т) = {/' (z)K=o поставимо у тдповщшсть сим-В0Л1ЧНУ лослщовшсть

що складаеться о елемент1в множшш символ1в L, М, R, Cj, С2 огццю о правилом:

ь, Г(*)е[-1,ь+1/р),

А/, /*'(«) 6(6+1/|>,6-1/Р),

/г, /'(x)g(6-i/p,i],

Сь /'» = Ь+1/р,

с2, /'(х) = Ь-1/р,

(2)

г = 0,1,....

В § 1.1 вивчаеться б1фуркац1я переходу в;д воображения кола до б1модального воображения. Встановлено, що при переход1 череа по-иерхию р' = 0 виникають спйк! точков! цикли, що характеризуются уаагальнешш числом обертання 1/п, п = 2,3,.... Ц1 стшю точное! цикли с неперервним продовженням по параметру так ованих 'яэикш Арнольда" в1дповщяого воображения кола, в яке / переходить при р' —» 0 (р -»• оо).

Пооначимо

1 — 2/п-1 + /" , 1 - 2/"-2(1 -/) ь1/п =-;—ъ-Р +

1 -/"

1-2/ + /" . \-21п~1 + 1" -Р +

1 _ ¡п Г . 1 _ /ч

В TeopeMi 1.1.1 одержано границ! областей ¡снупання TacrifiKocTi вказаних цикл1В у простор! параметр1в (1,р',Ь).

ТЕОРЕМА 1.1.1.

1) ГЯдображенпя / = Др,ь виду (1) мае стШкий гиочковий цикл з числом обертання 1/п та символичного гюслгдовнгсгнго L"~lR,

п > 2, modi i тгльки modi, коли

(1,Р',ъ) £ п;/п = {(/,р',ь) е п: ь~/п < ь < ь+ „}.

2) Шдображення / = /(,р,ь oudy (1) мае стШкий точковий цикл з числом обертанг1Я 1/п та символгчгюю послгдовгпстю Ln~1M,

п > 2, modi i гтльки modi, коли

(l,p',l)e пу)„ = {(l,p\b) 6 п : 6+/п < Ь < б-р'}.

В §1.1.2 встановлено, що при виход1 параметрнчно! точки (1,р,Ь) оа меж! облает! ГЦ/,» у вщображення / народжуються п iimapiaiiT-ннх штервал!в, на кожнгму з яких вщображення /п е ушмодаль-пим кусково-лшшпим. Вщбуваеться б1фуркащя, що отримала наяву б1фуркацп зггкнешш о границею ("border-collision"). Таким чином, знайдено, що гпсля втрати стшкосп циклу перюду л у вщображення / з'являеться або стшкий точковий цикл перюду пк, к > 2, або стш-кий^цикл хаотичннх штервалш одного о перюд1в 2пк, пк чц п, де к>2.

В §1.1.3 показано, що знайдеш облает! Пг/П ¡снування стшких точкових цикл1в для б1модального воображения, що народжуються в результат! б!фуркацп переходу вщ вщображення кола до б!модаль-ного воображения, можна упорядкуватн вщповщно р!вням еклад-itocTi так само, як це мае мкце для язик!в Арнольда вщображення кола. За перший ртень складност! беруться облает! з числами обер-тання 1/пта (я— 1)/п. М!ж кожними двомасусщшмиобластямипер-шого piBHH складност! знайдеться дв1 послщовност1 областей другого р!вня складност! з узагальненими числами обертання q/(nq + 1) та q/(q(n+l)-l) (при Ь > 0), (?("—1) + 1)/(п<7+1) та (п?-1)/(?(п+1)-1)

(при Ь < Э) q — 1,2..... Облает! другого р1вня складност! знаходяться

як облает! першого pinim складност! деякого допом!жного вщображення. На цьому шляху отримано рекурентш формулн для областей довшьного р!вня складност!.

У §1.2 дослщжусться б!фуркащя переходу вщ ушмодального до б1Модалыюго вщображення в пром!жку м!ж областями П1/2 та П1/3. Встановлено, що результатом ц!с1б!фуркац!1 едв! послщовност! етт-ких точкових циклов yPki та з узагальненими числами обертання та символ!чннми послщовностями виду:

^ = (LM)^LM4R..., h = 0,1,.-

5 + 4«i

Рк' = TTW2' (LM)2k3MLR~, = о, 1,....

Доведения цього результату базуеться на властивост! монотонност! ищшгт ун!модального вщображення, в яке переходить вщображення

/ = /|,Р.6 при |Ь| = 1 -р'.

У другому роодш! дисертацп дооиджуються системи нелшшно ов'язаних одновим1рних вщображень, де базове одновимфне воображения е кусково-лшшшш ушмодальним чи б1модальним. У простор! параметр1в онаходяться облает! асимптотично! стшкоеп, стшкоеп (нестшкост!) оа Мшнором та сильно! нестшкосп для синхрошзуючо! хаотично! множили, яка моделюе режим хаотично! сннхрошзаци.

У § 2.1 рооглядаеться система двох рюшщевнх р!в1шнь першого порядку

(х(п+1),!/(п+1)) = Р,(®(п),!/(п)), »6 2+ (3)

де у(п) е К1, а вщображешш F : Е2 -> М2 мае вигляд:

\У ) \М+е(Н*)-Ш) )' {)

€ € 1К1 — параметр зв'язку, / : М1 —¥ Е1 - неперервне одновнморне кусково-лппйне ушмодальне або б1модальне вщображення.

Диагональ И — {(х,у) | х = у} е швар1антиою по вщношеншо до дп вщображешш Г, а динамка систем» (4), коли !! овуонти на Д1'аго-наль Б, визначаеться лише./. Якщо вщображешш / мае хаотнчннй атрактор А, то множина

= {(х,у) е Л2 : х = уе Л} ей (5)

е хаотичною швароантною множиною двовнм1рного вщображешш F. Вивчаеться питания ст1нкост1 дано! одновнлирно! хаотично! множили в двовикирному фазовому простор^ Ооначешш 1. Множина

Б(Лл) = {(1,у)еЕ2|и;(х,у)СЛ0}, (6)

де ш(х,у) - и-гранична множина траектори {Рп(х, назн-

ваеться областю притягування множннн Ар пщ д1ею воображения Р.

Ооначенил 2.' Кажуть, що в системг (3) мае мгеце режим хаотично! синхрошзацп, якщо для вгдображения Р Iснус хаотична

множина Ad виду (5), область притягування яког B(Ajj) с к2 мае додатну Mipy Лебега в Ж2.

Для будь-лкого розв'я^ку система (3), початкове оначення лкого (я(0),у(0)) належить мпожиш В(Ао), внконуеться умова.

|x(n)-j/(n)|->0

при п —> оо. Тккнм чином, динам1ка в систем! (3) аснмптотично при п -> оо реал'юустьсл на шдмножиш Ло синхротзуючого многовида D {(х,у) € | х = у}, якнй с швар1антшш пщ Д1ею вщображення F, тобто F(D) С D. При цьому, звуження F на D сшвпадае о одновнм1ргшм воображениям /, тобто F\d = /• Означения 3. Множина Ад С D виду (5) називастъся асимпто-тнчно егшкою па Ляпуновим (просто аеимптотнчпо стшкою), якщо для будь-якого i'i' околу U(Ad) в К2 гснус гнший i'i' окм V{Aq) та-кий, що для будъ-яког точки (х,у) £ V(Ad) виконуютъея умови:

1) Fn{x,y) G U(Ad) для вегх тг € S+;

2) p(Fn(x,y),AD) —> 0 при п —»■ оо, де />(•,•) — евклгдова метрика в К2.

Означения 4. Множина Ad називастъся стшкою за Мшнором, якщо i'i' область притягування B(Ad) мае додатну Mipy Лебега в К2, : нестшкою за Мшнором - в противному випадку.

Якщо хаотична множина Ad с аеимптотнчпо стшкою, то i'i область притягування B(Ad) мктить деякнй охш U(Ad), аотже мае додатну Mipy Лебега в К2. При 3Mini параметра зв'язку е множина Ad може втратитн асимптотнчну стншсть через так звану бхфур-кацт розргдження (riddling). ГОсля б!фуркацп розрщження область притягування синхрошзуючо1 множини може все ще мати додатну Mipy Лебега в М2, тобто бути CTii"iKoio за Мшнором.

Подалына омша параметра е може приовести до втрати множп-ною А о ст1Йкост1 за Мшнором. Момент втрати cTimcocTi множини Ad називасться бгфуркацхао розширення (blowout,). Зауважпмо, що 1псля б1фуркацп розширення (коли множина Лд.вже с нестшкою за Мшнором) можуть все ще шнувати траскторн в R2, як! притягу-ються до синхротзугочо!' множини Ad, ajie i'x Mipa Лебега дор1внюе нулю.

Введемо також поняття сильно? нестшкостч синхрошзуючо! мпо-жнни Ав. Позначимо Рге(Ао) = {(г,у) € К2 | Вп е N : Рп(х,у) € Ао} множину прообразов Ао- Очевидно, що Рге(Ао) С В(Ао). Означения 5. Множина Ао називастъся сильно нестшкою, якщо В(Ао) — Рге(Аи), тобто множина Ар притягуе лише сеоГ прообразы.

Доведет в дисертаци теореми стшкосп видшяють област1 в простор! параметр1в, де синхрошзуюча множина Ао с асимптотично стшкою за Ляпуновим, стшкою за Мшнором, нестойкою за Мшно-ром та сильно нестшкою. Зазначимо при цьому, що з асимптотично!' стшкост1 за Ляпуновим випливае стшпсть за Мшнором, а ¡з сильно'{ нестшкост1 - нестптсть за Мшнором.

В § 2.1.2 система (4) вивчасться для випадку, коли ушмодальне вщображення / мае внгляд:

lx+l-l-l/р, X < 1 -f 1/р,

рх-

X > 1 + 1/р.

(7)

Параметри 1,р с кутовими коефипентамн лшшннх частин. Нехай

(1,р) € П = {(1,р) : р < -1,0 < / < р/(р + 1)}.

(8)

Нехай воображения / виду (7) мае хаотичний штервал 1\ = [0,1]. Тйд! на /[ icnye едина ймов1ршсна iHBapiaHTiia Mipa ft = р, абсолютно неперервна вщносно Mipii Лебега. Позначимо т = pniP({x € [1 + 1/р, 1]}); к = [2 - 1п(1 + р(/ - 1))/Ы], де [•] - цша частина.

ТЕОРЕМА 2.1.1

Хаотична множина Ао, де А = 1\ с: I. Асимптотично стШкою modi i тмъки modi, якщо

е е

Ghpl'H1^])' npu ,<W:

£е u

(' i y/fc1 if ( i \1/fc U-mpi; *2 l + \ik-i\p)j

при I > |p|.

II. CmiuKOK) за Ммнором, якщо

е е

а

fl 1 1 1

/l-m|p|m '2

III. НестШкою за Мынором, якщо

€ \ f1" U 6 [*+ ^bp]1 +c°)'

IV. Сильно нестШкою modi i тмьки modi, якщо при I < |р|;

,+оо

K'-h)]u[Ki + H),+-) - '>|р|'

В § 2.1.3 за допомогою результатов першого розд1лу дисертаци (§ 1.1.2) дослщжено pi3Hi типи ctuikocti для спстемн виду (4) для випадку, коли баоове вщображення / = /|,р,ь с б1модальним. Нехай вщображення (1) мае цикл хаотичннх штервашв /„ перюду п, якин з'являеться в результат! б1фуркацп зггкнення з границею для циклу 7i/n 3 узагальненнм числом обертання 1/п та символьною посль довностю Ln~lR. Розглянемо допом1жне ушмодальне вщображення //»,1—1 р з кутовнми коефвдентамц лшпших частин 1п та 1п~1р. Для нього ¡снус едина iiiBapiaiiTna iiMOBipiricua Mipa ft — ¡¿¡«j*-ip, абсолютно неперервна вщносно Mipn Лебега. Позначимо тп = ц({х € [1 + 1/(/"-'Р), 1]});*= [2 ТЕОРЕМА 2.1.5

Хаотична множима Ар де А= 1„ с: I. Асимптотично сгпШкою modi i тгльки modi, якщо

ЧК'-^МО-^))

II. Стшкою за Мхлнором, як що

е е

(Цг__i

1 '2

,|р|т„

III. НестШкою за Мглиором, якщо 1

1 +

_!_П.

¿"-т„|р|т„ у

е е

(-00,1

1

/п-

'Ы"

)иа

1+

¡П — ГПп |р|м

,+оо

IV. Силыю иестШкою тад1 i тмьки тодг, якщо

.*п*_11р|

1 /к\

и

И-

1

.1пк~1\р\.

1 /к\

,+оо .

У § 2.2 рооглядаеться система N > 2 рюницезих р!внянь першого порядку

*,(» + 1) = (1 - е)/(*,(»)) -Ь »)), (9)

¿=1'

де I = 1,.. . ,ЛГ, х = (Х1,Х2, • • € / : Е1 М1 - неперервне кусково-лшщне одновтпрне вщображек ля прямо! в себе виду (7).

Якщо вщображення / мае хаотлчний атрахтор А, то хаотична синхрошоуюча множина

А% = {(®1,..., */,) 6 : в, = ... = хК £ Л)

(10)

належать головшй д1агонал! N-сим^рного фазового простору Наетупна теорема дае умовк стшкост! дано! хаотично! множили Лд в Ш^1 для випадку, коли одиовш.прие вщображення е ушмодалышм кусково-лшшним ВИДУ (7).

Нехай вщображення Др мае хаотичшш штерзал 1\ = [0,1], ймов!ршсна швар1антна «¡ра унимодального вщображення Др на ш-тервал11х, абсолютно неперервна вщносно г.йри Лебега. Позначпмо т = е [1 + 1 /р, 1]}); к = [2 - + р(/ - 1))//п/], де [•] - цша

частина.

1

теорема. 2.2.1

Хаотична множина Ад виду (10), де А — 1\ с: I. Асимптотично стШкою modi i тмьки modi, якщо

//. СтШкою за Ммнором, якщо

1

1-

/1-трт' 1 + /1

III. Нестхйкою за Ммнором, якщо

-i-V

-mpm J

е 6 -оо, 1

и 0+

1

Ц — гПрт

IV. Сильно нестШкою modi i тмьки modi, якщо l/fc]

£ G -оо, 1 -

1 V/fcl i ( i \l/k \

£ € -оо, 1 -

IpIJ

U ! + ]Я'+0С) npui>ipi-

Наступиий § 2.3 прнсвлченпй онаходженшо явного внгляду функ-411 ццлыюсп р{х) ¡нвар1антно1 ймов!ршсноГ чфи /<для ушмодалыюго воображения в моменти гомохлипчнсм б1фуркацп иерухомо! точки (теорема 2.3.1) та народжеши циклу максимально! конф1гураци (теорема 2.3.2).

Пооначпмо

1 1 _ 1 - 1{+1

81 =

14

P(P-1)

fc-2

(p»(i-O-p+O E+ ¿.+x(p2^-1 + Li-ii'-Hp-0) •=p

ТЕОРЕМА 2.3.1

Нехай значения параметров 1,р вгдображення /¡iP виду (7) задо-вольняють умову

р21к( 1 - /) + р(1 - 1к) - /(1 - /*) = 0, ке N.

Todi функцгя щгльностг р(х) едино? шваргантноt ijMoeipnicHoi Mtpu ц вхдображення (7) мае вигляд:

р{х) = <

«ь Lisi,

Lk-isi, Lk-isi, -ps ь

О < x < /(0), /(0) < * < /2(0),

fk~l <х< l + l/p,

1 + 1/р<е<р/(р-1), р/(р~1)<х<1.

(Н)

У § 2.4 рооглядаеться система двох ов'язаних нещентичних одно-виклрних ьпдображень вигляду:

з.Яз М-/»

\ У / \ Лз.Рз (у)) У • 1 '

£ 6 К — параметр зв'язку, Др : К1 К1 - ушмодальне вадобра^ ження, причому = ha, р2 = рф i хоча б одне io чисел а або ß в!дмшне Biß 1.

Дтагональ D не е ¡нвар1антною множиною для двовим1рного вщображеная F (якщо тшьки е ф 1/2), тому вола вже не може MicriiTii синхронюуючо! хаотично! множили. За допомогою чисель-ного експерименту демонструеться структура притягуючо! множини воображения F, коли /t ф 1з або pi ф рг-

висновки

1. Для б1модальаого кусковолипйного одношшорного вОображен-ня в npocTopi параметр'т знайдено облает! ¡снувапия та спй-KOCTi точкових mix.iiB та циклш хаотичных ¡нтервал1в. До слщжено б!фуркаш! переходу вщ воображения кола до бимодального воображения, а також вО ушмодального до 6!модаль-

. ного вОображення.

2. Доведено теоремн ст!йкост1 для систем« двох лелпийно зв'я-ааних ушмодалышх та б1модальних кусково-лпшишх пОобра-жень. В npocTopi параметров онайдено области, де синхрош-зуюча хаотична множина с аснмптотично стшкою, стшкою за Мшнором, нестшкою оа Мишорсм та сильно нестшкою.

3. Знайдено T04ni б!фуркацшш поверхш для б1фуркашй ро-зрОженнл, роошнрення та б!фуркаци переходу до хаотичного адла в систем! двох эв'яааних ун1модалышх та бшодалышх кусково-лиийннх вОображепь.

•4. Одержано облает! piaintx тншв ст!йкост1 хаотичноТ еннхрошэу-ючоТ множинн для снстемн /V нелшшно ов'язаннх ушмодалышх хусково-лшишнх в1дображень.

список опубл1кованих автором праць за темою дисертацп

1. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L., Vikul S.I. and Chua L.O. Bifurcations of Attracting Cycles from Time-Delayed Clma's Circuit // Int. j. Bifurcation and Chaos. - 1995. - 5, No. 3. - P.653-671.

2. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L. and Vikul S.I. Bifurcations of attracting cycles of piecewise linear interval maps // j. Technical Physics. - 1996. - 37, No 3-4. - P.367-370.

3. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L: and Vikul S.I. On Period-adding Sequences of Attracting Cycles in Piecewise Linear Maps // Chncs. Solitons к Fractals. - 1998. - 9, No 1/2. - Р.67-7Г).

4. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L. and Popovych S.I. On "unimodal-bimodal" bifurcation in a family piecewise linear maps // Нелишни коливашш. - 1998. - No 2. - C.29-38.

5. Мацстренко 10.JI., Попович C.I. Piaiii типи ctíhkoctí в систем! двох ов'яааннх р1зннцевнх piBiwiib // Bíchhk Кшвського ушверситету. Ccpi« фюнко-математнчних наук. - 2000. - N 2.

- С. 81-90.

6. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L. and Vikul S.I. Transition from unimodal to biinodal map in one-dimensional piecewise linear mqd-els // Proceeding of the Intern. Conf. "Nonlinearity, bifurcation and ciiaos: the doors to the future".- Lodz-Dobieszkow, Poland. -1996. - P.173-179.

7. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L. and Vikul S.I. Regions of synchronization and their destructions for piecewise linear maps // Abstracta Intern. Conf. "Nonlinear differential equations". - Kiev.

- 1995. - P. 107.

8. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L. and Vikul S.I. Unimodal-bimodal" bifurcations for one-dimensional piecewise linear maps // Abstracts Intern. Conf. "Contemporary problems in theory of dynamical systems".- Nizhny Novgorod, Russia. - 1996. - P.

9. Vikul S.I. Period adding cascades'due to "unimodal-bimodal" bifurcation"// Abstracts Intern. Conf. "Applied chaotic systems".

- Inowlodz/Lodz, Poland. - 1996. - P.25.

t

Попович C.I. Асимптотична поведшка та стптсть роов'язкш деяких клаав кусково-лшшних рюницевих р)внянь. - Рукопис.

Дисертафя на одобуття паукового ступеня кандидата ф1зпко-математичних наук за спец!альшстю . 01.01.02 - диференщ'алып ршняння.- Ыститут математики НАН Украши, Ки'ш, 2000.

В днсертацн доведен! теорсми ctíhkoctí для систем нелпшпю ии'язаних ушмодалышх та б1МОдалышх кусково-лппиних одновимор-

них вщображепь. Для синхрошзуючо! хаотично! множинн у простор! иараметрш знайдено област1 аснмптотнчно! стшкост1 оа Ля-пуновим, епйкосп оа Мьнюром, нестшкостч оа Мшнором та сильно! неспйкость Дослужено б!фуркацп розрщження, рооширення та переходу до хаотичного сщла.

Ключов1 слова: кусково-липйне воображения, хаотична сннхрош-защя, аеимптотична стптсть оа Ляпуновим, стншсть оа Мшнором.

Попович С.И. Асимптотическое поведение и устойчивость решений некоторых классов кусочно-линейных разностных уравнений. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.0*2 - дифференциальные уравнения.- Институт математики НАН Украины, Киев, 2000.

Диссертация посвящена поучению асимптотического поведения и устойчивости решений кусочно-линейных разностных уравнений. Диссертация состоит из впедения, 2 разделов, заключения и списка литературы.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется ее цель и основные задачи", дается краткое содержание.

В первом разделе изучается трехпараметрическое одномерное непрерывное кусочно-линейное бимодальное отображение. В пространстве параметров найдены области существования устойчивых точечных циклов и циклов хаотических интервалов, изучены их бифуркации. Исследованы бифуркации переходов от отображения окружности к бимодальному отображению и от унимодального ч бимодальному отображению.

Во втором разделе диссертации доказаны теоремы устойчивости для систем двух нелинейно связанных одномерных отображений, где базовое отображение является одномерным-кусочно-линейным унимодальным или бимодальным. В пространстве параметров найдены области асимптотической устойчивости по Ляпунову, устойчивости по Милнору, неустойчивости по Мнлнору и .сильной неустойчивости для хаотического синхронизирующего множества. Найдены топ-

ные бифуркационные поверхности для бифуркаций разрежения (riddling), расширения (blowout) и бифуркации перехода к хаотическому седлу. Получены области разных типов устойчивости хаотического синхронизирующего множества для системы Лг нелинейно связанных унимодальных отображений. В моменты гомоклиническнх бифуркаций неподвижной точки и появления точечного цикла максимальной конфигурации для унимодального кусочно-линейного отображения был найден явный вид функции плотности единственной вероятностной инвариантной меры абсолютно непрерывной относительно меры Лебега.

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 научных работах, докладывались на международных научных конференциях и семинарах.

Ключевые слова: кусочно-линейное отображение, хаотическая синхронизация, асимптотическая устойчивость по Ляпунову, устойчивость по Мнлнору.

Popovych S.I. Asymptotic behavior and stability of solutions of certain classes of piecewise linear difference equations.- Manuscript.

Thesis for candidate degree by speciality 01.01.02 - differential equations.- The Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2000.

In the thesis, stability theorems are proved for systems of nonliuearly coupled unimodal and bimodal piecewise linear one-dimensional тарз. it: the parameter space, regions of the Lyapunov asymptotic stability, Milnor stability, Milnor instability, and strong instability for a chaotic synchronized set are found. The bifurcations of riddling and blowout and bifurcation of transition to chaotic saddle are investigated.

Key words: piecewise linear map, chaotic synchronization, Lyapunov asymptotic stability, Milnor stability.