Асимптотическое поведение процессов накопления и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГ8 Ой

^ , ,,« ЙКАДШЯ HftïK УКРА1НИ

'¿ í tüíl

1НСТНТУТ ШЕШЙКИ

На правах рукопису

ГРЩНКО Василь Олександровнч

йСИИПТОТИЧНй П0ВЕД1пИй ПРОЦЕС!В НЙКОПИЧЕННЗ ТА IX ЗЙСТОСУВЙННЯ

01,01.05 - теор1я Яййв1рноствй та натематична статистика

ЙВТОРБФЕРЙТ

дисертацН' на эдобутга ачэного стцпеиа доктора <Нзико-иатеиатичш!У ко^и

¡Мв - 1995

Робота винстана в 1нстнтут! изтокатшш ЙК.икрзТни

0ф1ц1 й!г1 опонечти: академ!к АН Укракни, шпор ф!зико-ватематичних кауи, доктор твхн1чних наук, профвсор КОВМЕНКО I.H.,

доктор Ф1оико-натематичних наук.

професор

С0Й0ВЙ0В О.Д.,

доктор ф1зико-матеиатичних наук,

професор

Т9РБ1Н А.Ф.

ПровЦна установа: КяШькиЯ ун1верситет 1и. Тараса !евченка

Захист в!дбулеться ÜL________ -1993 р. о

...lA _ roamii на засЦани! спвц1ая1зовано1 ради fl 016 50 01 при 1нститут1 иатематики ПН ЧкраУни за адресов: 252601, Ки1в-4, ГСП, вул. TepensHKlBCbKa, 3.

3 дисвртац1ев мовна озпайоиитися в б1бл1отец! {нституту Йэтореферат роэ!слано 1993 р.

Вч&ний секретер спец!зл1зованоГ ради

ГНСЙК -Д.В.

ЭЙГАЯЬНЙ ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ йкт^адьн!сть теии. Серцевинов розвитку класичнич розд1л!в reopiï й«оп1рностей £ И частини, присвячен! асиип-тотичн!й повед1нц! сим необыехено зростаючо'и числа незалев-них однаково розподШних випадкових величин. Тону ц!лком природно постае проблема побудови аналог 1чно1' теорП для процес1в накопичення. Kpiм загальнонаукового ¿,начен"ч гаке досл1днення розыирве ¡юяливост! виксристання пгоцее1ь накопичення при вивченн! асикпюткчио!" повед1нки адитивиих фднкц1оиая1в. визначених на тр..,ктор!ях повед(нки складних стохастнчних систем, цо е однкш з центральних задач ыагеиа-tk4hoï Твор 1 ï HàfllftllOCTi.

Нета роботи. Поиирення класичних результатiв про асиаптотичну повед!нку суи незалевних випадкових величин нз ,ситдац1в, коли анал'зуеться накопичення деякого показника стохастично!' систем« на необиекено зроставчому в1др1зну часу, визна« чого на траекторП ïï повед!нкн в схем! сср{й,якце топппог!я граничного переходу задаеться деянии Функч1онал£.ч. системи.

Методика___досл<я»ення. Використас! кинстрхкгив1 !

ивтди reopi ï йиовlpHocteft î апарат граничннх теории. Результатом дисертац!Y е розроблениЯ автором метод эобрагення характеристик повед1нки стохастичних систзи у виглядf значень деякого регенсрувчого процееу.

Нацковй новизна, теоретична t практнч'не зкачення.

1. йперве проведено анал1з гранично! поведЬши р1д!эчих hotohJb иляхоа зведення проблем« апрокси*"<цП' до

-визчення облает! д!\' ослаблено1! форми закону их чисел.

2. Знайдено ряд анал1-ичних критерПв. як! Здбозлечу-ать виконания ослаблено!' <$ормн закону великих чисел. Запра-юнована методика конструктивно!' пооудови посл1яовностей, до 1абезпечувть вмконання ослаблено!' Форам закону великих чисел.

3. Установлена ззгальнз форма гс.щично!' про зб1ин1сть принесу ппкопичення до процесу з ита."-»ииии приростами.

4.-Роэробдено човий метод побудови вкладных npouecls пЦновлення. l^nponounf. то понятТх узд г тьненоГ тачки père-черапП.

. 5. Чстачимеио грчинчн! теореии про эй11нïст ^чкчЬчил ie »»итианого типу ю. a peu ее le з иезили mw п;»-

- г -

ростами.

4. Розроблено новий метод побудови вкладених процес1в вЦновлення. Запропоновано поняття узагальнено1' точки реге-нерацП.

5. Нстановясно граничн! теореми про зб1ан!сть Функц!онал!в адитивного типц до процес!в з к залешими приростами. , \

6. Розробл? ) методика апрок^имац]У поток! под!й на траектор!ях еволюцП' систем обслуговування.

7. Запропоновано метод ск1нченних траектор!й в оц1нц! над1Яност1 складних систем.

Рпробаи!я роботи. Основн! результати роботи 1 Гх застосувашш допов!дались на 1У, У М!инародних В!льнвських конференц1ях з теорН' йиов1рностей та математично* статистики, на IV. У! Радянсько-Японських симпоз!умах з теорIУ ймов!рностей та математично! статистики, на 1 ВсесвНньому Конгрес! Товариства матенатично1" статистки та теорП" ймов!рностей !в. Бернулл1, а такой на р1зних республ!канських коис-ренц1ях I нацкових сеи!нарах Якра\'ни та РосП, в том« числ! на секчП теорН ймов!рнрстей та математично! статистики при вчен1й рад! 1нституту математики АН УкраУки.

Пцбд1кац11. " Основн! результат» дисертауП еикладен! в 20 роботах автора.

Структура дисертацП. Дисертац1я пкладаеться 1з вступи, трьох глав I списку лИератури.

. ЗН1СТ ДЙСЕРТПиП

Прнроднив уэагальненням процес!й наростаючих сум

випадкгвих величин <£> * ■ е процеси нзкопичення, як! Пули вменен! в науковий об!г В.Си!том в

В лиг.ертИ п1я лроцесом накопичення ^ «и рп прочие, пова,«прений зл сукупн!ггю йсзлжчмих одмяко-рп ¡т'.дящ"* (п'ч » рип1пнл«и* РЯРЧе»ч1.»

е, - <4, (* 1. Г ) , ' *7.-\

-- 3 -

з кошкшентанн бг -Ь £(о, <ю); сормумш

Д8

¡)({) ^ ¡гиль { к.' * ,

= т, + • -■ *

Процеси накопичення зустр1чазться досить часто в застосуваннях. В теорП' маелво- обслугоаування, коли иомен-ти регенерацП' з йыов!рн1стй 1 наступать через ск1нчешИ проы1вкн часу, моана розглядати, напрмклад

- сумарний час зайнятост!;

- суаарний час, затрачений викагакк перебузання в черз I;

- загальну к!льк1сть вимог-, в моненти мрибутта якин величина черги леревнцувала I.

Доешь просто цеЯ список иовпа продоваити.

До приг «I, 8нх результате В.См!та в 1 дносно лроцес!в нако.,ичення треба вЦнести энайден1 »им уыови з61знсст1 до нормального закону при I—» розподШв центрьааня.-. I

иорнованих значеиь 2 а).

Перыа частина дисертацП' < глав а !) присвоена узагальненнв цього результату з синсл! анал!зу уыов зб1аност1 процесу накопичень в схек! сер 1 а до процесу з яе-заленнини приростами,

В так!й загальнМ фора! ца ироблекз ранIее не ставилась, але окреиI результати безумовно були, Даниу , аыкани окоплюаться граннчн) теореии про рIд 1 1 потоки, но йдуть о1д Й.РеиЫ", 1 граяичн1 теореии ¡юао мокенту перво* ра-ал!зацП налойиов1рно1' подП в регеиеруичому процес!, знай-ден( О.Д.Соловйовим.

Головноа перепанов, чо не дозволила сфорыуд« щ г'ра-ничну теорему про зб1вн1сть до процесу э иезалеаиивн приростами в1драяу я п!еля введения лоняття процесг .накопкчвннй. е кол{з!а. пов'азана з наяьн1ств останнього члена в <н. 1 иовдийлв ча!!? .Iста а!« чонпомтаки ©I .

Прирояно Лило починати дослЦввння для гнтулцЛ, ноли граничим« лиг Tyti.it пу/-ггон5яськиЧ проц«5с. Ч цьокч ?в*«з-

кц iстотяиД вклад у розв'язок дакого питания внесли й.К.Беляев, Б.В.Гнеденко, fl. И. Зуйков, I .М.Новаленко. А.РенЫ, О.Л.Соловйпв. Й.Я.Х1нчйн.Sk виявилось, виэначальне значения в питакн! збiвност1 процесу накопичення до прпцесу з незалс5!1ими приростами мае виповнен!сть деяксп' ослаблено! форми закону великих чисел (О.З.О.Ч.) для посл1доэ-ност! Т"^

Випновком став новий якiский тип граничн t теореыи, де ствердяуеться иоялив1сть апроксинацП розподШв з! змию» т!льки ыасвтабу часу без включения в умсви вигляду апрокси-мувчих закон!в 1 !з новлив{ств стохасткчних залевностей к!в елементами bhxIahoY сукупност! випадиових елемент1в. Ваяливо т!лькм виконання О.З.В.Ч.

Означения. Сукцпн! сть додатних випадкових величия {Tfvt } • ие 2. 1ндекс сумувэння. и-»«*» -параметр cepli, задовольняе О.З.В^.. як«о 1снуе попл1иовн1сть постЮних така, ко для дов!льного х>0

1 V- * __ / Р и „ '

~ = (2)

Оск!лькя тут структура {£""„.<>} така, «о виводить нас за рамки процесу накопичення (1), то для униннення плутанини ■ елекенти, цо сумуиться, «и позначаеио . к * 1 . При

цьону для них накладаеться умова:

ß § t гл.1 роэглядаеться аналог процесу накопичення

де

^уч (ж ) « то.« { к : £ . Т~л; £ * j.

йчрт,гимутчий рпчпод|л для ¿Г тут звдае г.уиа

fl ЗС

^Г , ( . Так, эгЦиг. э теоремою ) р уморах (?) ' <3> для Гг!ч »!•." F. I КСРИ'ТЛ '.TJ~0 411 м!счг

Для пор1вняння цього pe¿e тату з вЦимиии. ыи повинн1 зробитн припуцення, цо пари ), ¿ъ нс-залсвн! i од -

маково розподиен!, тобто для ситуац!Í, коли розпйд1 д ¿j.f*") апроксимуеться пуассои1вськки законом. Питания зводиться до знаходаення аналогНних критерП'в вичораиня O.3.S.4., чому присвачено §2 гл.1. Наведемо Ix:

К 1. Iснце така посл1Дпв(|1сть ß ^ . на

ífíiii- + p/V --

* Г*, 1 (г,, £ gS).

Тут i длл1 1(A) - ¡ндикатор подП' А.

К 2.,Для

i— м i __, o

И 3. Для ¿>0

К 4. IсHje така послЦовнкть . «о задчвслмы-.

a»*« J*" *.Нтя,Ыъ\\

О

¿ РГП, > X) '

* "tzz "

К 5.

VC РСси, ----, о

А «

"--' =>•

1

¿It* Р г<:r„f <:<1*)>0

К 6.

/V —~с о-о

и > ПО

К 7.

¿-.-г "Ж-

к

о,

символом £ з>0.позначена зб11н!сть за Х1нчи-И

нны, яка визначаеться сп1вв1дно«еннями

«Л

X

сс е

Ни наиагались навести вс! т! модиф!кац1Т унов р!зних автор1в чодо повед!мки розпод1лу Т~Н1 . як! виникали при роэробц! критерПв з61 жност! норнованого часа до лервоУ ре-зл!эаи1Г малойнов1рно)" под!У до показниково роэпод1лецоУ. Так. сп1вв1дно«ення в К 2 було введено О.Д.Соловйовим. 0к~ реки* випадксы К 2 вистулае сп!вв1дно»ення

N С*

-„о,

якч, кояливо. стало найб1лъ* уливаним серед спец1ал|ст1в-над1ймисчик1в при аиал1з1 малоймов!рних под!й, Наприклал. при побудов! "ктучиих"* моиент1в р«генераи1У 1.Й, Копчика ст?ц1ал1сти користувались «значении резул»,та-то* О.Ц.голор»ова в так1й *одиф1кац1У К 2 : для дечкого

Сиз м Т;, >0,

• > —л ли г < оо.

- ? -

Фораулсэаннэ К 4 1 !! В тез були'запропонован! ран!ые ь анзл!з) иалойноо1рннх поя!Я (I.Л.Коваленко). Уиова К 1 впер-па була запрононовача О.Д.Соловйовчн, а посл1дсвно зико-ристовувалась А.А.Еахбазовни у тому з зз'яэку з ыалой-Сив1рК!ШИ под! якк.

Добре вЦоыо, насн!льки числ^нн! в^р1анти перенесения гранично!' теоренн про зб1 кн!сть часу до перйо!' руал 1 зац 11 1'.злоймов!рноУ под 1Г до поиазникизоУ з регенерусчоги ;фоцесу на б!льа загальн! иатоматнчн! нодел1, скэа1ао на нап!виарк!зськ! пронеси. При м .ому п1дхсд1 до ц!е1' проблема тане перенегкння зеоди(Ься до пспрв!рки О.З.В.Ч, дла э!дпов!Дких посл1довностей Бипедкових величии. Пг.иведско двй результат« в цьоку напрямку.

Пехай

с .. >^1, - випадиова посл!довн!сть

з! ск1нченноо нновинов стаи 1п;

'Сг,г (■>', ^ „ '»Л, } 1 - киоеина ненМ'снннк, нвзалРйних о сукупкост! 1 неэалеяних в!д ' випад-кових I-''Ли ¡ил, рсэпод!ли якнх иг залегать в I д !ндексу V ! задоводьняеть при коаноку ^ О.З.В.Ч.: {спишь т. „ так!, цо

I

П, т ^ *

Питания ставиться так: при яких додаткових уморах посл!довн!сть = ^/"О, О задовольняс О.З.В.Ч.? Оиявляеться, якдо пазначнтн V,, 5 С') - к!лькГ-ь ^лучеиь ппсл!довност! 3-е., (к) р стан а за 1 С1рибк1в, то для позитивно! в!дпов1д! на поставлеие пнтання достдтньс, «пб !снували так! числа ЭГ . ', «о для ко*ного t > О

к <

—

С _ »»их*

Ьигий "яр!амт Г.ОСА\¡еы1** гронмив ■ чпсу

- В -

виникае при еная1з1 снствй обслуговування стандартного внгладу. Нехай к & г - посл1вовн!сть, цо задо-

рольняс О.З.В.Ч.:

JL 7-Kt Ал Р , , _ .

- -* j -¿>0 ;

¿-г а „ н—»c»

k ^ ~ посл.довнють натуральнозначннх'

випадкових .величин, ао задоволышг О.З.В.Ч.:

jLT- Ai 1 i>o-,

nt ¿-кг, ¿п

Нрок1*ки часу Форкувться за правилом:

Виконуван!сть О.З.В.Ч. для "с^ £ . означае

Виявляеться.це мае м!сце, коли або Лпь неэалеак! 1 однаково розпод!лен1, або 1снуе постЮна 4> така, чо ^jj1 « 1 .

Повертавчись до загальноУ проблеыи апроксииацП', вира-«еноТ пп1вв1дна»енням (4), в1дзначимо, «о ней результат в пввких умоаах иоке бути уточнении встановленняи оц!нок близ-koctI. Так, як«о Ь , к »1 >: неэалекн! в сукупност! з додатним ыатеыатичнии спод1ванняи М. ^ 1 ск1нченною диспергкв , а в)дносно 2.П.4 виконана нер}вн1 сть

дг , £ ■- нев1дЧкн1 числа, тл ДСР Г',!* питии £

, \Шт)*Е)-PCZ.T/,. S£))

Зупиниаосз це па проблей!

anpoitcKuaitii ^ ". ^ ¿fti зссон1сськ)ш законом. Прсблека ползгае в розробц, процодчрн агг-pocKuastfi сун залепних випадкових величии. Практична на всьоку про-тяз! розвитку теорП' fiaoBipno. :ей р1зн( автор» налагались пвглнби-тпсь у BitpiaeHHi цього питания. Внкористапий нами п!дх!д депо гко-екй з {деез С.Н.Бернштейна епрексинацП' суп залеяник величин га-усс1вськни законом.

. Ь'и проводимо пуассон1всьну апроксииац!в сун випадкозкя величин у припучвнн!, чо доданки взаеивзадевШ. йлз в уыовах ПйрЕ^ба-чггться, до розлодЗлн додатНв мозуть зм!1тэатнсь в деавнх ояолая. 1'од{ апрокс!мац1я сдан потр13них нац залевних величии праоедитьсй оляяоа npouisrtoY побудовн допои1йного Ймоз1рн1саого простору з не-залеймши вг здновиии величинами на ньонц, як! найлнгазть notplйяу супу i розпод!лм яких попадасть у згадан1 околи. Перевага иього Шдкода полягзг о пор!внян1й простот! Лого цетрично* частиии. Та», за!ст теореки J 9 3 вводиться до такого твердавипя. Яизо <5"»* { fe-,-.---, fey«.- незалевн! випалков! величини з! значамнчин (з ■(<5,4,■■■ } ' ДЛЯ Р03л°л5л!в ЯПИХ ИЭ£ Ulcus

Д V3« * >(0~ А >

, 21 г., л .

то для всhhoshh в

/и

* Z (»**■ (Jif ftu) * Р*/а. )).

Прикладов еикористанн« сп1!в1дио«е»'н9 (9) нова елузити тра-диц1йна в ванону • контекст| задача про тс г?ере5чб»нна нап!вмзрк!вського првцесч я п!и*ис»им1 етан1е, ян*о ймозip/ясгь йи-»01144 rtf дкнпвгнни аги«(поткч«о ыш. ifiS вывми кмщрмгноз -

гатнкть наяегп лЦходу, ми роэглянули окремиЛ сипадок ц!еТ задач! (икоаила стан!в ск1нченна), але б рампах ¡Нльв вироких, н!в загаль-чгчфийнято:

1. Для час!б перебування в станах вимагаеться виконання Я.?.8.4.

?.. ВЦиосно ппреуЛдиих ймов!рностей рихага ^ься т!льки умова ст!йкост! частит вдучень у станн.

3. Вимагаеться ^т!йк!сть деяк(ь 1нтсгральноУ •арактеристики эа гтзц1онарнов м!роп (параметра апроисикуючого розлоц!лу).

Ни присвячуемо ст!льки ы!сця' тесретичним аспектам онал1зу на-поймов1рних пол 1 й в эг'язку з 1'х прикладною значим1стю для матеыа-'"•тп? теорП над1йност1. до чого ми повертаемось у глав1 И.

4 гл 1 присвячений анал1зу эб1яност1 процесу накопнчення - загэльному вигляд}. Певна . р!ч. оск5льки тут Яде нова про 'Гпен!сть до пронесу з незалекниии приростами, то 1 унови зб!ялост1 пг-Ч" юрстк1|1 в пор1внянн1 з чисто р!д1вчими потоками.

В ц!локу уиови гранично! теореки ц!лкоы природн1, досить за-;шин ) зводяться до таких:

(й): пронес сум

** (¿ь>нк -аО,

Д8

И - параметр серП, йц. - иентруяча величина,

зб!гаеться до процесу з нозаяеяними приростами;

(Б); пром!аки чагу - ь *

задовольняять К1 - крнтер!ю виконання 0.3.Б.Ч.;

<В); 1счуе граница дислерс!йноУ ыатриц1 гаусс1всько!' коыпо-

(П: винсга про монлив1гть асииптотичного знехтування першого I пг.мннього доданн!в процрсу накопичення.

Зав«р«ивчи ан.чл1з глави I дисертацИ', п1дкреслимо, во моги-вац'с* «ля п^^уку 1 дочедення агкмптотичних результат 1в в 1снуючоку . в'^'п! кг!и злглл|.|;онаукпвоу за«(кавпеи,ост1 була непбх1дн1 сть аД^рл^к I нпри^вк гл л».» { П'лтгнМ георрци длр с!н£й прпуес'р. тппто Сх£ч1 ГРр)?. коли Т('Я<?Л«Г ¡ Я Гр^НЙЧНОГп Пчр^ЧИЛЧ РКЛВЧйе Г< С чби мйгмпул»1)П'. за'я:?<?н1 * псТ'Ь/5,овО(о »очок регр"ег*Щ,'Т • Таким щ'ном ми IIIд'Мшм до рроЖиекйтикя глас« Г!

- н -

Головна проблема, яку поставив перед собою автор в глав* П. цр поаук матеыатичноТ иодел!, зручпоГ для описания 0ункц1снузання скдадних стохастичних систем з нетога анал1зу над!йнисних характеристик та обгрунтуеання цього вибору.

Треба визнати. ко на сьагодняин1й день д^Яциту в к!лькос;! р1зних моделей нема. Моина наз!ть визнати, ио в значн1й м!рI цей етап математичпоТ теор!Т заверюився в зв'язку з виданням п1дгумко-вих монографий I дов1днил1в. Набуть зараз найб1льш ун!версалънсч моделлю для эгаданих ц!лей служать нап!вмари1вськ! процеси, пайб!лья повис тлуиачення використання яких дано у в1домих моног-раф!ях В.С.Королюка 1 Й.Ф.Турб1на.

За основу наипго досл1диення була взята 1дея використання ре-генерувчих процес!в 5 модна И наэвати побудовою узагальнено! точки регенерацП'. На в1ди1ну в!д методу Кендалла побудови вкладених мо-иент!в регенерацП' нака констрдкц1я передбачае тану структуру под!й, за якими будуються моменти майбутнього регенеруючого прочесу, що в моменти (х зд1йснення у спостер!гача чедостатньо 1нфор-иацП" для прийнчття ; 'зення, чи наступив черг ивий момент регенерацП' - спостер1гачу для цього потр!бно це "заглянути в кайбут .". В1 д цього характеристики пер!оду регенерацП' дещо "розназуються". '9 цьому вЦношенн! проблема под1бна до т1е1", яка виникае при побудов! "итучноГ" точки регенерацП' 1.к.Коваленка.

Витоки ц!еУ тематики спец!ал1сти знаходять у Дебл1на. Тра-диц!йно складалося так, що 1стотие просування в проблемах ергодич-ност1 ! ст!йкост1 випадкових процес!в досягзлося з використанням но вих метод!в чисто ймов1рн1сно1' природи, до яких, з' зеыа. в1дноситься метод склеввання; а те, цо ми назвали узагальненою точкою регенерацП', тея е певною кодиф1кац!ев методу склеввання.

Вперве метод склеввання для задач теорП' над!йносг! розробив Г.М.Коваленко. На сьогодн!вн1й день ц! питания одержали значний розвиток. Яле , на наш погляд, вс( в!дом1 конструкцП иавть С1льа теоретичний 1нтерес. Нам знадобилась розробка нового методу п 'удо-ви узагальнено!' точки регенерацП', оск!льки 1снуюч1 ме ди вимага-вть умов анал1тичного вигляду подо ядра нарк!вського ланцвга (умо-ва м!норування), ко по пут! означае 1снування неперервноГ- компоненти вIдпов1дного розпод!лу.

Центрзльним обЧктом розбору глави П <■ вш, дкова погл1 ловн1 сть 1(6) & (2.^ , 4- 1, . Ме, <в т знэхпдяенно

умпр. при р»'их Ъ-(ь) мота подати у вигляд) (I).

/|чч г.ироирнчя Фпрнуторань ми виходимо з того, ею пчбудова

ведеться' на баз! деяко!' вих!дноV послЦовност! випадковип елецент!в . , як1 незалещн! 1 однаково розпод!лен! Б

С 7С, . Передбачено, що ъ(6) вим1рна в1дносно -

м- алгебри, породаеноТ (¿ь>0> ■■■,На тому ш 1мов!рн!сноыу простор! задано ланцаг Маркова , ^ 1 з! значенняии у

вии1рноиу простор! (Ц\ *Ы>) 1 початковим станом и а . Пехай уЦ^т. - ^-алгебра, породаека (ик, к >»0 , причоиу У1/7ы*, — • ®1ксувться танок так; три об'екти:

Й- деяка Шдмногина стан!в ланцюга ия>п; -

Й- натур^льне число;

Сформулвено цыову, яка забезпечуе кнування под 1 , при зрЛйснагш яки 1 будс спистер1гатися нсзалекнкть "нинулка"! "кайбутк!м":

( V >: для будь-як».*

Л е

Л г. 6 лГ,, ^ , Ч. , ^ п <С. П-г_

иае ы1сце тотоинкть

\ЧЛ,> Лг ¡ик1А, Я У) =

Бмадений процес в!дновлення будуеться так. Пехай

. ~ О , и £ 0 .

©ГО'-21 Л,

^ (ч ) = М^г { к ; п },

> ¿>1

ч т^п {> I: ик-е]А »> ^ * ^ ) .

Теорема 1 3 2 глзви П ствердзуе, що так побудова|П випадков! врличини , А незалет! ! сднаково при к > 1

розпод!лен1.

Для того, лоб перейти в!д процесу в!дновлення до регенеруючо-го процесу, вводиться уиова

( и ):

дой^Г*) вим!рмо подо )

з розпод!лон, ®о не залегить в!д -Ь

На основ! 1! 1 е 1" уиови вводиться с!мейство незалежннх еленент!в Сдд.Г*), С^ ). формулами:

Р^оое Е, г; =

Теорема 2 2 глави П ствердяуе моялив!сть на ц!й основ! эобраяення (!).

§3 гл. ¡1 присвячено внкористаннв эобраяення (!) для <~'ал1 зу асимптотичноУ повед!нки Функц!онал!в адитивного типу в!д траекто-р!У еволэцй' системи обслуговування виду Сг1|С / и-» | д/ . Ц! характеристики, зрозун1ло , повинн! вкладатись в уиови (V) 1 ( V ), а тому ми Ух називаемй 0- характеристиками. В Ух число входять практично вс1 б1льв~иеня повирен1 адитивн! функц!онали.

Дал! вс! теоретичн! смадност! зводяться до знахс яення сп1вв1дноаень н!з параметрами системи обслуговування, ! забеэпе-чували б виконаиня уиов теореми про граиичну повед!нку процесу на-копичення (теорема 2 & 4 гл. 1). Найб!^лы» нзглядну форму таких умов одержано для багатол!н!йноУ системи без черги, для якоТ достатн!м виявляеться кнування математичного спод!вання числа надходувчих вимог п1д час одного обслуговування. г такои строгоУ р!докр(?мленпгт1 в!д нуля ймг>п!рност! обслчгпвцпанич однкУ вимоги

за час, кали в систему надходить число вимог, ¡¡¡о дор!внюе к1лькост! обслугозиших пр^строУв. Для систш з riiсцями для чекання анал!з склад|Мвий, яхцо добиватись максимального узагальненна. Якцо харак-.еристики не залзить в1д параметра cepiï, то уыови тут елемен-тарн!: загрузка систеыи повинна бути ыеквоа вiд одиниц1. В схем! серïfi е mcïjiiisictb використання нерiвностi О.Д.Соловйоеэ, одерваноУ ним для ftiiûBipHocTi "опорожнения" однол1н1йноУ системи з ыетош анал!зу загальноУ системи у випадку УУ "исокиУ над1йност1. Ця HeplBHicri, цЬткои придзтна для перев 1рки умови (Б) нзшоУ загаль'шУ теоремн. Завершупься глава П теоремой про зб1ан!сть npcqecy накопления Q - характеристики, який спост ер iгаеться в аоненти надход-сепнк вииог.

Глава S „исертацП' присвячена анал!зу з&iаностi потону втра-чених внког з улова;; налоймов!рних втрат. Граничниын тут виступавть процеси типу пуассон1'вс1.,.ого з тими ильки узагальнснняыи, як1 вк-никавть в раз! неьинонання О.З.В.Ч; для npouiskîс Mis паступаннянп вимог.

Нитання анал!зу потоку втрачених вимог добре 1листруе теор i ta зб!ыност1 адитивного функц!онаяу. Треба зазначити, 140 пкля пераих о риг¡кальки* пу (Зл 1 кац i й на цв тему О.Д.Сояоьйова, коло гчец!ал1ст1в, як i продоввувал» дану тематику, весь час розкирлва-jiucb i, 110 cyri, ц{ прикладШ по вЦношенню до Ttopiï випадкових процессе роботи, стали потушим стимулом зля в1дпов!дних досл1дв8к! в рамках нап1в«арк1вських првцес1в. Особливо це сто-суеться вивчення процес1в з укрупнениям Фазового простору i наяв-hïciû асимптотично несуттевих стан1в (B.B.fliiirJMoe, I.M.Коваленко, Б.С.Королюк, А,Ф.Турб1н).

¿1 глави В присвячено граиичним теоремам для систем обслу-говування виду Q 1 | G | И | 0 . як1 е прямим продовиенням теорем п.д.Ооловйова про асимптотичну повед1нку часу до периоУ втратн вимоги системою обслуговування 3i швидким пбслуговуванням.

Haïe узагчльнення двоянв. По-перме: умову-ивидкого обслуговування ми зам1нюемо на б1лыа слабну вимогу р!дких втрат. По-друге: якшо у О.Д.Соловйова було знайярно риглад характрриггичноУ функ ц1Y часу до втрати

<

i * a П)

то ми Цгй ре'чл^йт одемуе-ио як пас л! док Т ого, 40 пртсяс егра-

чених вимог на границ! описуеться суперпознц!ев незалеяних и!ж сорога ионотонного процесу з незаленннми приростами 1 пуассон!вським процесом. Теоретичн! конструкцП под!бного типу досл!дзувзлись ран!ве в роботах В.В.Йн!с!мова I Д.С.С1львестропа. Принциповим для нааоУ модел! стало доведения незалеяност! процес!в - компонент суперпозицП'.

Тополог1я граничного переходу, яку ми назвали умовов р!дких втрат.мае такий вигляд;

е^тРС^гл^-*-**,) °°Р( ¡^ ¿V •• о

де ~ час обслуговуванна к -У вииоги

А £ - час и1я поступанняни ](- 1' 1 к*-1- 1' вимог.

Вводиться малий параметр р —+ О . який гра« роль нормуичого мномника. Числово ¡О дор1внюе ймов1рн!сть того, *о за час обслуго

вування 1-1.....т.-1-Х вимог втрат не буде, а за час обслугову-

вання (У1-Г вимоги втрата наступить при умов!, хо перма вимогя над1йила в пороянв систему.

Серед умов принциповою е вимога про притягання часу м1* поступаннями!до деякого безме1но-под!льного закону.

Вивчапться процеси Т/^, накопичення в!дпов1дно час!в

А и 1 1ндикатор1в втрат вимог , просумованих в!д 1 до

¿/р . Тод! мае м!сце зблияення Ух розпод!л!в з розпод!лами неза летних процес!в з незалевними приростами. Розпод1л часу до к -1" втрати вимоги асимптотично збликуеться при £ О з роз; ц1лом значения процесу та) в момент, колй неза'леяний в!д нього процес \^)досягае р!вня к .

ГИдкреслино: ми вимагаемо де«о менее, н!я 0.3.8.4. для нром1як!в м1я ноступаннями вимог, ! тим самим вийвли за рамки пу-ассон!вського закону, Якзо керуватися практичними м1ркуваннями, то умова в форм! О.Ь.ВЛ. Шлком задов!льнэ, бо дозволяе супрс одити .кимптотичн! висновки оц!нкаии близкост! в!дпов!дних ,)0зп0л!л!в. Цюму ми присвячуемо §2 гл. В.

Перша теорема цього параграфу иле оц!кку ймов(рност{ в(дсуг-ност! втрат вимог грред пермих п., чи1 поступили ч ппрпжнш гисте-м чР&^О).

Т<1'(. коти

то

а Иуз \/7~Ги2 / * X ,

при цьсиу, якцо позначити ^>СХ) - число втрачених вимог на про-тяз! часу х , то розпод!л часу до першо! втрати буде збливатись з

експонентоа. Гф'ичоиу, якщо ~ '-^/("(Чл ^. то

__^ (5)

«з V/ V +

Поток втрачаних вимог апроксиыуеться в цьоиу параграф! стриб-иипод!бш!м процесои з незалевниыи приростами.Величина стрибка за-даеться тут конструктивним чином - як число втрачених вимог вих!|но1" систеии обслуговування на початковому в!др!зку фцнйц!оиу-ва. (я.

Дал! окреыо розглядаеться клас систем обслуговуванняи з! ввндкии обслуговування«. Це систеии, для яких ыатеьттичне спод!ван-ня числа вимог , як1 надходять п!д час одного обслуговування, с дооатньо мало, цо визначае б!лыи аорстку тополог!ю граничного переходу —5. О

Як«о позначити р>к - ймов!рн!сть того, во на прои!шку [0,^) Суде втрачено рIвно к вимог, то розпод!л числа загублених вимог серед. перш«х п. поступивких анроксиыусться розпой!лом випадкоьоУ величини ¿^ , характеристична функц)я акоТ мае вигляд

'к

М * } « ¿~р {к рк (е1 * - 0} ,

1 для вс!х множим

1РО. е Е) ~ Р(4 „ € Е)| $ 1

Тут не даеться аналог1чнд (5) оц!нка близькост! розпод1л4о

На завершения параграфу показана можлив1сть розповсюдяення розробленого методу на си^теми обслуговування, вх1дн! потоки яких не е взагал! каяучи, рекурентними, а часи обслуговуяань нв обов'яз-ково маить однаков! ФункцП' розподГпу. ®оправда, в1дносно час!в обслуговування припускаеться, ио в зобраяенн!

т

неспадн1 функцП'. Тополог1я граничного переходу задаеться так:

— о. .

Основною особлив!ств такоУ системи е те, що тут пропадае. ефект групових втрат. Так, коли

^ и ~~ 1 = 1 Р<•' )

I * А иг)***),

то для вс!х мнояин Е

| < /и < I

- (А

зокрема,

Зауваиимо' т!льки, цо остання оц1нка справедлива 1 для дещо б!льш слабко!' топологП' граничного переходу.

Проблекн оц!нок параметра через ск1нченн1 суыи 1нтеграл1в . ^глядаються в останньону параграф! дисертацП'.

Якщо мае ы!сце

р=Р(), >&)=<?,

де (1 1 0 - константи, не залеан! Ь1д параметра сер!!, .то ¡з явного вигляду негайно випливае зображення його ск!нченною су»£0Ю. В !нщих випадках доводиться обыекуватись оц!нкаыи р з точн!ств до мнзкника (и o(iУ) .

Аналог! а проблема виникае ! для ¡ныих високонад!йних систем при знаходкеши середнього часу до в!дкови. Iснуе методика оц!нки ц 1 еве,'(ячики, запропо. -вана I.М.Коваленком, яка зводиться до об-числения ййов!рност! в!дмови по ионотонн!й траектор! 1. О.Д.Соловйо-виы.при деяких обыекеннях встановлено аналог!чну властив!сть для систем обслуговування з1 ивидким обслуговуваниям. Одначе, правило обч^слення йков1рност! в!дмови по ыонотонних траекториях н!як не всеохоплшаче. На це звернув увагу автор в [51. [.Ы.Коваленко показав суттевий вплив неыонош,..их траектор!й для систем Н|С|т|и.,

& дан1й дисертац!1 обгрунтовуеться деяке узагальненпя згада-ного правила, яке мояша назвати принципом с к 1 н ч е н ->■ и х т р а е к т о р ! й.

Обиеауеыось ын т!льки систеиаыи з! ывидкик обслуговування«. Б в ,(»ться нове поняття - вкпадковог величини, стар!ючоУ порядку в!дносно деяко!' посл1довност1. Це поняття- е клшчовим у даноыу узагальненн! 1 принципово в1др!зня£ться в!д поняття . стар!ичо¥ випадковсУ величини, бо носить конструктивна характер.

Нами прнпускаеться, «о час обслуговування ^ е стар!юча нерядка I1 —^О в!дносно поел!довностI - прон!вк!в

»¡а надкодкенняыи вимог:

- Тод! величина р чц!нветься Амов1рн1стю об'еднлння ск!нчен но\ и1лькост! ПГ.Д5Й виду

нг * '* А*)£е1 * v

- 19 -

формулою Я

• ¿с; рсно.

На приклад! показано, що

н,)-0 Р(И")

а наших умовах, взагал1 каяучи, не мае м1сця.

Для неоднор!дних систем обслуговування, розглянутих в попе-редньому параграф!, дашться тея оц!нки . Чоправда, тут при-лускаеться, во часи обслуговування розпод!лен! за одним ! тим же стар1ччим законом

Тут уие мае м!сце принцип старших траектор!й, але з . .ея в1дм!нн1стю в1д класичного вар1анту, що траекторП в!дмов врахову-яться не в1д сво1'х початк!в,а вибираються 1з с1мейств з ф1ксованими моментами 1х зак!нчення. Тополаг1я граничного переходу задаеться так:

те - м «оср р > ->о

Результат тут такий: коли

& " 1 1 (?* *** * •:• + =

' то при (м £ •< 1 мае н1сце

14 < р < и у\ .

Таким чином, при £ ^гь_> 0 мае м!сце

л = о 4

■ Примочи на приклад! ми покаэусмо, чо одного I' —* О Д"ч ви кпнаш'Я принципд мпнтпших гр.т=|:т*р|й тут не дпетатмю. .

Основн! пояснения дисертацП' опубл!кован1 в таких роботах:

1. Гриценко В.ft. Предельные распределений для момента первой потери требования в системе кассового обслуяивания с полукарковскиы ^ходящим потоком// Кибернетика.- i977.- N 2,- С. 113-119.

2. Гриценко B.fi. Предельные теоремы для одного класса случайных процйссоз// Теория вероятностей и мат. статистика.- 1980.

- Вып. 23. - С. 30-41

3. Гриценко В.ft. Аппроксимация распределения сука случайного числа случайных величин// Докл АН 9ССР. Сер. fi, - 1882. - N '4. -С. 35-40.

4. Гриценко В.А. О случайном суммирования// Докл АН УССР. Сер.

- 1982. - Н 9. - С. 63-64.

5. Гричи.ко В.А. Об оценке надевности слоаных восстанавливаемых систеы// Надевкостъ «.долговечность машин и соорувений. - К.: Наук, думка, 1982,- Вмп. 1. - С. 56-60.

В, Grfschenko V.A. Sue Distribution йрргпхisation for Randoa КивЬвг of Randoa Uarlables and its Application// 1Y USSR-Japan slop. on probab. theory and mathas. stat. Tbilisi. - 1982. - P. 244-245.

7. Гриценко B.fi. Поток потерянных требований в-многолинейных гистеиах обслугивания с редкими потерями// Икр. мат. зурн. - 19G3. -35. - N 4. - С. 422-426.

8. Гриченко В.А. Пуассоновская аппроксимация потока требований, потерянных ыноголинейной системой обслуяиванмя в условиях редких потерь// Кибернетика . - 1983. - С. 83-86.

9. Гриценко В.А. Асимптотический анализ потока редких события на ступекчатоа. случайном процессе// Аналитические методы в теории надежности.- К.: йн-т ыатеыатики АН УССР, 1985. - С. 32-40.

10. Гриценко Б.А. Об экспоненциальном приблииении надобности слоаных систем// Надегногть и долговечность ыаиин и сооруяений,-Н.: Наук, думка, 1984.- Bun. 6. - С. 32-35.

11. Гриценко В.(К Асимптотический анализ потоков потерянных требований в иноголинейнмх системах массового обслуживания// Марковские случайные процесса и их прииения в теории масового обслуяи-ваиия,- Саратов: СГУ, 1985. - С. 37-39.

12. Гриценко В.ft. Асимптотическое поведение потока редких событий на ступенчатом случайном процессе// 1Y Н.евднар. Вильнюс;

конф. по теории вероятностей и мат. статистика, (Вильнзс, 1985 г.), 1985. - С. 131-192.

13. Гриценко В.П. Асимптотический анализ высоконадезннх восстанавливаемых систем.- Киев: Знание, 1985. - 16 с.

14. Гриценко В.й. Пуассоновская аппроксимация потока требований, потерянных многолинейной системой обслуяивания в условиях редких потерь// Кибернетика. - ¡985. - С, 83-86.

15. Гривенко В. А. ьсимптотический анализ потока редких событий на ступвнчатоы случайном процессе// Аналитические методы в теории наде*ности. - К.: Ин-т математики АН 9ССР, 1385. - С. 32-40.

16. Гриценко В.й. Аппроксимация потоков редких событий в системах массового обслуяивания// 1 Всемирный конгресс Общества ма-тенатической статистики и теории вероятностей им. Бернулли.- Н.: Наука. 1986. - С. 561.

17. Гриценко В.Й. Построение полумарковских неделей при анализе неисправностей высоконадеяных систем// Стохастические и детерминированные модели слоеных систем.- Новосибирск: ВЦ СОЙЙ СССР, 1988. - С. 43-50,

18. Гриценко B.ft. Предельные распределения для случайных личин на случайной последовательности// У йеядцнар. Вильнвс. конф.' по теории вероятностей и мат. статистике, (Вильнюс, 1983 Г), - С. 164-165.

19. Гриценко В.А. Предельные распределения для суки случайных величин на процесса восстановления// Стохастические системы и их прилоаения. -К.: йн-т математики АН УССР. 1990. - С. 23-30.

20. Гриценко D.A. Представление аддитивного функционаг суи-иой случайных величин, связанных процессом восстановления// Аналитические вопрос стохастических систем. - К.: Ин-т математики АН Нраинн, 1992. - С. 10-18.