Асимптотическое поведение решений эволюционных уравнений в банаховом пространстве. тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Р Г Б ОЛ

І 5 ДЕН 1335 ' На правах рукопису

ТОМІЛОВ Юрій Володимирович Іо>

Асимптотична поведінка розв’язків еволюційних рівнянь у банаховому просторі ■

01.01.01 — математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття паукового путня кандидата фі шко-математп'ших наук

Кпїи

Дисертацією є рукопис. .

Роботу виконано в Київському університеті імені Тараса Шевченка. Науковий керівник:

• доктор фізнко-магематичнпх наук, професор Дороговцев Анатолій

Якович. '

Офіційні опоненти:

• доктор фізико-матема пічних наук, професор Горбачук Мирослав

Львович,. ■

• доктор фізико-математичних наук, професор Спюсарчук Василь

Юхимович. .

Провідна установа:

• Львівський державний університет ім. І.Я. Франка.

Захист відбудеться “ ” адяхтриа<|а1996 року о 14 год. на засіданні

спеціалізованої вченої ради К 01.01.21 при Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Київ-127, пр. акад. Глушкова, 6, механіко-математичний факультет. ■ . . ..

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58). ' • '

Автореферат розіслано “ ^¿о&ТКА 1996 року.

Вчений секретар '

(тк-ціалпоиаіюі вченої ради

Курченко О. О,

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.

Еволюція багатьох фізичних систем, в залежності від конкретної реалізації, може описуватись диференціальним або різницевим рівнянням. При дослідженні поведінки таких систем на великих проміжках часу природнім чином виникає задача характеризації асимптотичних властивостей розв’язків відповідних еволюційних рівнянь. Сучасні задачі теорії контролю та обчислювальної математики, застосувань до теорій рівнянь у частинних похідних та функціонально-диференціальних рівнянь, вимагають вивчення еволюційних рівнянь у нескінченновимірних просторах. Саме цій тематиці присвячена дисертація.

Різницеві рівняння займають важливе місце у вивченні еволюційних систем. Крім застосувань безпосередньо для опису поведінки системи, вони використовуються в багатьох ситуаціях як модель для відповідного диференціального рівняння. Починаючи з класичних робіт О.Перрона та Р.Беллмана, особлива увага приділялася дослідженню асимптотичних властивостей розв’язків різницевих рівнянь. Зокрема, асимптотична поведінка розв’язків різницевих рівнянь у банахових просторах вивчалася в роботах І.В. Бойкова, А.Я. Дороговцева, B.C. Кіма, 1.1. Мармерштейна, Р.К, Романовського та А.М. Біберман, В.А. Щеглова, К.Кофмана і X. Шефера, X. Логемана, К. Пржилуцького, Г. Папаса і Д. Хінрічсена, Дж. Вейса, Ф. Вірца та'ін. Найбільш систематичне її дослідження було-проведено В.Є.Слюсарчуком. '

На жаль, теорія, що була розвинута, стосувалася переважно'рівнянь, заданих на Z. Про асимптотичну поведінку розв’язків нескінченновимірних різницевих рівнянь на N U {0} було відомо дуже мало. Навіть для рівнянь вигляду

хи+і = Ахп + Ь„, п Є N U {0}, .

у банаховому просторі В, де A g ¿(В), у більшості відомих результатів

. ' З

одержувалися тільки умови належності розв’язків до деякого банахового простору послідовностей на N и {0} для будь-якого Хо з В та будь-якої {6„ : п > 0} з Г. В термінах спектру а (А) оператора А ці умови, як правило, мали вигляд:

' <т(А) С {А Є С : |Л| < 1}. . (1)

■ При цьому складніші типи асимптотичної поведінки майже не розглядалися, а одержувані твердження для таких і більш загальних рівнянь носили достатній характер. Так, для різницевого рівняння вигляду

. х„¥\ = Ахп 4 ВЬп, . п Є N и {0}, '

{А,В} С £(В), класичного об’єкту вивчення теорії керування, більшість результатів формулюється в термінах сумісної поведінки операторів Д, 5, точніше сім’ї {АпВ : п > 0}. При цьому зв’язок між спектральними ' властивостями операторів А, В та асимптотичною поведінкою розв’язків залишається невивченим. Основні труднощі тут полягають в тому, що образ оператора В, Ііп(В), є множиною першої категорії в Н, якщо він не співпадає з Н. Тому твердження типу принципу рівномірної обмеженості - » незастосовні до звужень {^ Ак\іт(Ц) : п > 0}. Деякі шляхи подолання цих

к=0 ' . труднощів запропоновані в дисертаційній роботі.

Важливою задачею в теорії різницевих рівнянь є дослідження рівнянь високого порядку як природніх. узагальнень рівнянь згадуваних вище. Відзначимо, що навіть для різницевих рівнянь другого порядку, як правило, не вдається одержати спектральні критерії обмеженості розв’язків. Відомі лише достатні умови, що формулюються в термінах норм операторних коефіцієнтів. Тому знаходження типів таких рівнянь, що допускають спектральну характеризацію обмеженості розв’язків, являє значний інтерес. В дисертації розглядається один з таких типів. . •

Велика увага в теорії еволюційних рівнянь приділяється вивченню Со-напівгруп. Важливе значення Со-напівгруп полягає, насамперед, в тому, що вони однозначно відповідають рівномірно коректній задачі Коші та описують її класичні розв’язки. Однак дослідженню асимптотичної

поведінки Со-напівгруп, зокрема зв’язку цієї поведінки з властивостями генератора напівгрупи, до останнього часу приділялася недостатня увага. Лише з середини 80-х років почалося інтенсивне вивчення асимптотичної, експоненціальної та інших типів стійкості Со-напівгруп, гіперболічності, теорем про відображення спектру та ін. Найбільш істотній вклад у розвиток цієї тематики був внесений В. Арендгом, Ш. Бетті, Дж; Вейсом, Ву Куок Фонгом, Я. Нірвеном, Ю. Латушкіним, Ф. Робігером, В. Робелем, Ф.Л. Хуангом та ін.

Завдяки широкому застосуванню перетворення Лапласа до вивчення Со-напівгруп особливу роль набувають інтегральні умови для різних типів їх асимптотичної поведінки. Цьому напрямку досліджень присвячені роботи Дж. Вейса, Р. Датко, А. Лебоу, В. Млака, Н.К. Нікольського, Я. ван Нірвена, А. Пазі та ін. Однією з найпоширеніших у згадуваних роботах є умова інтегровності в певному сенсі всіх орбіт Со-напівгрупи. В дисертації розглядаються інтегральні умови нового типу, що вимагають інтегровності лише деяких підмножин множини орбіт напівгрупи. Вивчаються інші інтегральні умови такої ж природи. .

У 1984 році. Я. Прюсом була одержана характеризація типу Со-напівгрупи у гільбертовому просторі як абсциси обмеженості резольвенти її генератора. (Такий же результат був отриманий раніше у 1979 році Л.Гірхартом для напівгруп стиску.) Ця характеризація має зручний для застосування вигляд. На жаль, в класі банахових просторів В вона перестає бути вірною. Тому природньо виділити умови На Со-напівгрупу . або простір, в якому вона діє, для того щоб зберігти вказане вище співвідношення в більш загальному випадку. Так, у 1994 році М. Кашуком та С. Вердгойн Ланелем були введені умови інтегровності резольвенти генератора, що гарантували справедливість твердження Прюса-Гірхарта у довільному банаховому просторі і виявилися корисними при вивченні асимптотичних властивостей розв’язків диференціально-функціональних рівнянь. В дисертації показано, що для деяких банахових просторів ці умови

можна істотньо спростити.

Із сказаного випливає актуальність досліджуваної теми. '

Мета роботи.

Дослідити зв’язок між асимптотичною поведінкою розв’язків різницевих рівнянь у б ¿шаховому просторі та спектральними властивостями операторних коефіцієнтів цих рівнянь. Отримати нові умови від’ємності спектральної межі генератора СЬ-напівгрупи та знайти, застосування цих умов до вивчення асимптотичної поведінки Со-напівгруп. Дослідити зв’язок асимптотичних властивостей Со-наїїівгруп у деяких банахових просторах з геометрією цих просторів. ■

Методи досліджень.

Використовуються методи функціонального аналізу, зокрема, теорії банахових алгебр, теорії операторів та геометричної теорії банахових просторів.

Наукова новизна. .

• Для широких класів різницевих рівнянь першого порядку у банахових просторах одержані критерії обмеженості та асимптотичної періодичності розв’язків в термінах геометричної структури спектрів операторних коефіцієнтів та їх інваріантних підпросторів. Доведена сумовність за Чезаро розв’язків цих рівнянь за умови їх обмеженості.

• Для деяких різницевих рівнянь другого порядку отримано спектральний критерій обмеженості їх розв’язків.

• Одержані нові інтегральні умови від’ємності спектральної межі генератора Сц-напівгрупи у банаховому просторі, які узагальнюють відомі умови цього типу. Одержані також наслідки цих інтегральних умов стосовно асимптотичної поведінки певної множини орбіт напівгрупн.

• Отримано характеризацію типу Со-наиівгруп у деяких Д-опуклих просторах, яка містить в собі відомий резольвентний опис типу таких' напівгруп у гільбертових, просторах та є частковим узагальненням теореми Кашука-Вердюйн Ланеля про тип напівгрупи з інтегровною резольвентою генератора. -

Теоретична і практична цінність роботи. .

Одержані результати мають теоретичне значення та можуть бути використані при дослідженні конкретних фізичних систем ,. що описуються різницевими рівняннями та рівняннями в частинних похідних, практичних задач теорії контролю, автоматичного регулювання.

Апробація роботи.

Результати, одержані в дисертації, доповідались на семінарах кафедри математичного аналізу Київського університету (кер. проф.

А.Я. Дороговцев)^ семінаре« з теорії рівнянь в частинних похідних інституту математики НАН України (кер. проф. M.JI. Горбачук), на міжнародній конференції, присвяченій пам’яті Г. Гана, м.Чернівці, 1994, на міжнародній конференції ’’Nonlinear differential equations”, Київ, 1995, на другій міжнародній конференції ’’Difference equations and applications”, Veszprem, Hungary, 1995, на міжнародній конференції ’’Mathematical analysis and applications”, Lincoping, Sweden, 1996.

Публікації.

Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1-6].

Структура і обсяг дисертації.

Робота складається зі вступу, чотирьох глав, висновків та списку літератури із G9 найменувань. Обсяг роботи 73 сторінки.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність проблематики дисертації, наводиться короткий огляд робіт за темою дисертації, характеризується зміст роботи.

Нехай далі В — комплексний банахів простір, В* ■— спряжений до нього, С(В) — банахів простір лінійних обмежених операторів з В в В. Для оператора А Є £(В) позначимо через А" його спряжений, через <у{А), сгр{А) його спектр та точковий спектр відповідно, через г{А) його спектральний' радіус та через р{А') його резольвентну множину. Символами Іт(А), Кег(А). будемо позначати відповідно образ та ядро оператора А.

Глава 1 дисертації присвячена внвченню обмеженості та асимптотичної періодичності розв’язків різницевого рівняння

. і„+і = Ахп + Ьп, пені) {0}, . (2)

у банаховому просторі В, де А Є С(В) та {6„ : п > 0} С В - обмежена або Т'-періодична послідовність. Нагадаємо, шо послідовність [Ьп : п > 0} С В називається Т-періодичною, якщо Т Є N — найменше число, таке що . Ьп+т ~ ^пі ті ^ 0. ■ ■ • -

§1.1 носить допоміжний характер. Він містить основні поняття та означення, необхідні для формулювання теореми Ю.І. Любича -М.Ю. Любича про відокремлення граничного спектру майже періодичних операторів. . :

Далі, у § 1.2 доводиться наступний критерій обмеженості розв’язків рівняння (2).

Теорема 1.1 Для того, щоб розв’язки різницевого рівняння (2) були ' обмеженими для будь-яких Хо Є В та Т-періодичної послідовності {&„ : п > 0} С В, необхідно і достатньо, щоб

, 1) зир Ц А"|| < оо; ; . . . .

п>0 . ■

2)1 ~€Р(АТ). ' . , . ■ ■. •

. За допомогою теореми 1.1 та ергодичної теореми для середніх у § 1.2 встановлюється сумовність-за Чезаро розв'язків (2) при умові їх

обмеженості.

Наслідок 1.1 Якщо розв’язки {а:„ : п > 0} різницевого рівняння (2} обмежені в В для будь-яких хо і Т-періодичної послідовності {6,і : п > 0} С

В, то вони сумовні за Чезаро для будь-яких хо і Т-періодичної послідовності {Ьп:п> 0}. .

У § 1.3 досліджується асимптотична періодичність розв’язків рівняння (2). Нагадаємо, що розв’язок {х„ : п > 0} С В рівняння (2) називається асимптотично періодичним, якщо існує періодична послідовність {с„ : п > 0} С В, така що Ца^ — с„|) —» 0, п —У оо. .

Нехай Во := {і Є -> 0, п —»■ оо},арег(Ат) = {А Є ар(Лг)|Зп Є N :

А" = 1}, Т€ N. Тоді справедливе наступне твердження.

Теорема 1.2 Для того, щоб розв’язки різницевого рівняння (2) були

асимптотично періодичними для довільного хо Є В і довільної Т-періодичної послідовності {Ьп : п > 0} С В, необхідно і достатньо, щоб

1)ІЄДАГ); • '

2) В = Во ® Вг, де Вт = ® Кег (Лт - А;/)., ш Є N.

{Аі : 1 < г < тп} С сгреДЛ1^), якщо стРег(Ат) ф {0} та Вт = {0} в інших

випадках.

Доведення цього твердження базується на вже згаданій теоремі про відокремлення граничного спектру майже періодичних операторів та деяких тотожностях, що дозволяють звести дослідження розв’язків рівняння (2) до аналізу розв’язків відповідного однорідного рівняння. '

Також, в § 1.3 показано, що клас Т-періодичних послідовностей є в певному сенсі оптимальним Для отримання нетривіальних умов асимптотичної періодичності розв’язків (2). Так, якщо клас Т-періодичних послідовностей замінити на клас послідовностей вигляду {¿>„ = + іп :

п > 0}, де {с„ : п > 0} — Т-періодична послідовність,Цгіп!( —»• 0, п -> ос, то необхідні і достатні умови асимптотичної періодичності розв’язків рівняння (2) будуть мати вигляд (1). '

В главі 2 дисертації вивчаються різницеві рівняння вигляду

• хп+і = Ахп +ВЬп, п Є N и {0}, -■ . (3)

у гільбертовому просторі Я, де {А, В} С С{Н) та {Ьп : п > 0} С Н - обмежена або Г-періодична послідовність. § 2.1. є допоміжним. В .. ньому наводяться деякі властивості алгебри Калкіна та пов’язаних з нею операторів. У § 2.2 досліджується обмеженість розв’язків рівняння (3) для довільних іо Е Я та обмеженої послідовності {Ьп : п > 0} С Я. Пропонується вивчати “образ” рівняння (3) у фактор-алгебрі Калкіна .А = £(Н)/К(Н) (К(Н) - підпростір компактних операторів в С{Н)):

' Хп+1=ил(Хп) + иЁп(Вп), п > 0, ■

де Іїд : X -> АХ, ІІц ; X ВХ - відповідні фактор-оператори. Якщо (ііхпН = оо, то алгебра А нетривіальна. Використовуючи властивості А, вивчення рівняння (3) для певного класу операторів В зводиться до вивчення рівняння вигляду (2). Таким чином, у § 2.2 одержаний наступний результат.

Теорема 2.1 Нехай сосііт Іт(В) < +оо. Для того, щоб розв’язки різницевого рівняння (3) були обмеженими для довільних Є Н та обмеженої послідовності {Ііп : ті > 0} С Я, необхідно і достатньо, щоб існували підпростори {Но, Ні} С Н, інваріантні відносно А, такі що

1) Я = Яо Ф Ні, ЛшЯі < оо; .

. 2) а) г(Л|я0) < 1, Ь) Іт(В) С Я0;

3) якщо Ні ф {0}, то а{А\'ц1) С {А Є С||А| = 1}, причому оператор А\цх має діагональну жорданову форму. , . " .

Якщо, крім того, АВ = В А, то умови 1) - 3) необхідні і достатні і в тому випадку, коли Іт(В) замкнена, сііт Кег(Я) < +оо.

• В § 2.3 розглядається приклад, який свідчить, що твердження теореми

2.1 не поширюється на випадок оператора В з незамкненим образом. • У § 24 одержуються критерії обмеженості та асимптотичної періодичності розв!язків рівняння (3), які є узагальненнями теорем 1.1, 1.2 у

випадку гільбертового простору Н. За допомогою оберненої ергодичної теореми Буцера-Вестфаля вдається отримати включення Im(B) С — І), яке в силу факторизаційної теореми Дугласа еквівалентне співвідношенню: В — (Ат — І)С для деякого С Є £(В). Це дає змогу розглянути загальний випадок В Є £(В) та уникнути жорстких умов комутовності операторів А, В. .

Теорема 2.3 Для того, щоб розв’язки різницевого рівняння (3) були обмежені для довільного хо Є Н та довільної Т-періодичної послідовності {Ьп : ті > 0} С Н, необхідно і достатньо, щоб

1).Іш(В) С Іт(Лг — І)\ - '

2) sup ||ЛП|| < +оо. . ,

п>0 ■ ' • . .

Таким асе чином, як і у главі 1, доводиться сумовність за Чезаро розв’язків рівняння (3) при умові їх обмеженості. ■

Наслідок 2.1 Припустимо, що розв’язки рівняння (3) обмежені для довільного xq та довільної Т-періодичної послідовності {6„ : п > 0}. Тоді ці розв’язки сумовні за Чезаро для довільного xq та довільної Т-періодичної послідовності {Ьп : ті > 0}. ' . .

За схемою доведення теореми 1.2 у § 2.4 одержується наступний критерій асимптотичігої'періодичності розв’язків рівняння (3).

Теорема 2.2 Для того, щоб розв’язки різницевого рівняння (3) були асимптотично періодичними для довільного хо Є Н і довільної Т-періодичної послідовності [Ьп : п > 0} С Н необхідно і достатньо, щоб

1) Іш(В)С Іш(Лт-/); ‘

2) Я = Но Ф Нт, де Нт = ® Кег (Ат — А,7), тп Є N, {А,- : 1 < і < m} С

І = 1

. ^рсг(>1г), якщо (ТрсДЛ7) ф {0} та Нт = {0} в інших випадках.

В главі 3 дисертації вивчається обмеженість розв’язків різницевого рівняння другого порядку • •

+ п <Е N, (’4)

у банаховому просторі £(В), де {Лі.Лг} С £(в) та {Вп : п > 0} С £(в)-обмежена послідовність. ..... • '

Вище відзначалося, що для різницевих рівнянь високого порядку, як правило, не вдається одержати спектральні критерії обмеженості розв’язків. Рівняння (4) займає виняткове положення, що ілюструє наступна

Теорема 4.1 Для того, щоб розв’язки різницевого рівняння (4) були обмежені в £(В) для довільних Хц.Хі з £(В) та обмеженої послідовності {Вп : п > 1} С С(В), необхідно і достатньо, щоб

1МЛ2)С{АЄС||А|_<1}, . ■

2) \/р Є а(Аі), Уд Є ст(Л2) : 1 - І9І2 > ІР+<?РІ- '

Доведення теореми 4.1 є змістом §. 3.1. Воно істотньо використовує структуру рівняння (4) та той факт, що простір £(в), де розглядається (4), є банаховою алгеброю. В § 3.2 вивчаються наслідки з теореми 4.1, а саме, зв’язок обмеженості розв’язків рівняння (4) з обмеженістю розв’язків рівнянь ■ . ,

-Хп+і = -АА, + АіХп-і + Дії 1, в просторі £ (В), та '

Яп+1 = А1ХП + А2хп-1 + ЬПІ п> 1, , '

в В. ■ 1 _ . ' . .

У § 3.3 наводяться приклади, що ілюструють одержані в § 3.1, § 3.2 твердження.

Глава 4 дисертації присвячена дослідженню зв’язків інтегровності Со-напівгруп з їх асимптотичною поведінкою. У § 4.1 наводяться деякі допоміжні відомості з теорії Со-напівгруп. Нагадаємо, що сім’я (Т(^))4>0 с £(В) називається Со~-напівгрупою, якщо вона задовольняє наступним умовам: . ’

■'а)Т(0) = /; •

Ь)Т(«+в).= Г(0Т(в), *,8>0;

. її’

с) функція t -> T(t)x неперервна в точці 0 для будь-якого х з В.

Як наслідок а) - с) легко вивести

с').T(t)x неперервна на R+ для будь-якого із В.

. Генератором Со-напівгрупи (T(t))t>о називається оператор Л, заданий

рівністю .

: T(t)x-x

. Ах = lim ----------

t—v0+ f ' ' .

з областю визначення D[A) = {х Є В|3(1іт т^*~х}.

Позначимо через wo := lim lrl-^^ - тип капівгрупи (T(t))t>о, та через

t-H-oo 1 . ~

s(.4) sup{Re,\|A Є ст(Л)} - спектральну межу її генератора А.

У § 4.2 доводяться узагальнення відомих інтегральних умов'від’ємності спетральної межі генератора Со-напівгрупи, що належать Дж. Вейсу і Я. Нірвену, С. Штраубу та Л. Вейсу.

Нехай С°°(Л) := П Z^/T'KC^M’) := П D(A,n) - простори нескінченно

■ п=1 • п=1 •

диференпійовних векторів операторів Л та А* відповідно. Відзначимо, що множини С°°(Л), С°°(Л*) є ненульовими. Позначимо через Д(Д,Л) резольвенту оператора А, Справедливі наступні твердження.

. Теорема 4.1 Припустимо, що для довільного х Є С°°(Л) та довільного х* Є С°°(Л‘) :- . ' . .

/1

\(T(t)x,x*)\dt <,+оо.

о

Тоді; • , #

• 5(Л) < 0.

Теорема 4.2 Припустимо, що

{X є C|ReA > 0} с р(Л); для довільного х Є С°°(Л) і довільного х* Є С°°(Л*);

В доведенні теорем 4.1, 4.2 основну роль відіграє специфічна будова просторів нескінченно диференційовних векторів. Також використовуються теорія перетворення Гельфанда для Со-напівгруп та деякі властивості спряжених напівтруп. Також, у § 4.2 доводиться наступне твердження, що є С°°(Л)-варіантом відомої теореми Пазі. •

Теорема 4.3 Нехай для довільного х Є С°°(А) :

- ОС

, J ||Т(і)а;||рЛ < +оо, р Є [1, +оо).

о ■

Тоді . ,

. в(А) < 0. ■

Відзначимо, що існує широкий клас Со-напівгруп (диференційовні, компактні), що задовольняють рівність = а(Л). Для таких напівгруп теореми 4.1, 4.2 дають умови рівномірної стійкості.

Далі, використовуючи недавню операторну тауберову теорему Ш. Бетті, у § 4.2 одержується важливий наслідок з теорем 4.1, 4.2 стосовно асимптотичної поведінки (Х’(і))і>о.

Наслідок 4.2 За умов теореми 4.1 або 4.2 існує то Є Н, таке що

||Г(і)ігп,°(Ло,А)||-»0, г-^+оо,

для деякого До Є р(Л).

Таким чином, інтегральні умови теорем 4Л, 4.2 забезпечують рівномірну стійкість ’’достатньо гладких” орбіт Со -налівгрупи.

В § 4:3 наводяться приклади, що показують незворотність тверджень теорем 4.1, 4.2.

§ 4.4 присвячений характеризації типу Со-напівгруп у деяких В-опуклих банахових просторах. За Ж. Буржемом, В-опуклі простори можуть бути описані наступним чином. Нехай В — комплексний баиахів простір. Наступні твердження еквівалентні:

1) В с В-опуклим простором.

2) для будь-якої скінченної множини М з Z і буль-якої послідовності {хк ■■ к Є М} С В : .

ЇМ*) " < ( Лі Е Г'(5)

\/сєМ / кєЛ/ / ЧЛгЄА/ /

. де рі > 1, Р2, Сі, С2 — деякі додатні сталі.

Верхня межа р(В) тих р\, для яких виконується нерівність (4), називається типом В-опуклого простору В. • . '

Накладаючи додаткові умови на В-опуклий простір В, в § 4.1 одержується часткове узагальнення теореми Кашука-Вердюйн Ланеля про тип напівтрупи з інтегровною резольвентою генератора. ,

Теорема 4.4 Нехай В є В-опуклим простором з типом р(В). Припустимо, що існує 7 Є К, 7 > шо таке, що для деякого р Є (1,р(з)] і для довільного х Є X інтеграл ' '

. . 7+ІОО - '

• І ||Л(Є,А)*||^ . ■ '

7~/оо

збігається. Тоді - .

‘ • - ' •

и>о = > в(Л): Я(£, А) обмежена на І1е£ > и;}.

Доведення використовує- підхід, в якому на основі нерівності (5) застосовується апарат рядів Фур’є до дослідження векторних функцій зі значеннями в В. . .. •

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові, професору А.Я. Дороговцеву за плідні співбесіди та постійну увагу до роботи.

ПІДСУМКОВІ висновки

• Одержані спектральні критерії обмеженості та асимптотичної періодичності розв’язків для широких класів операторних різницевих рівнянь першого порядку.

• Отримано спектральний критерій обмеженості розв’язків деяких операторних різницевих рівнянь другого порядку.

. г-т' .

• Одержані нові інтегральні умови від’ємності спектральної межі генератора Со-напівгрупи у банаховому просторі, досліджені їх застосування до вивчення асимптотичної поведінки Со-напівгруп.

• Отримано резольвенту характеризацію типу Со-напівгруп у деяких банахових просторах.

1. Томилов Ю.В. Асимптотическое поведение одной рекуррентной последовательности в банаховом пространстве // Сб. науч. трудов

. ’’Асимптотическое интегрирование нелинейных уравнений”. - Киев: Ин-т математики АН Украины. - 1992. - С. 146-153.

2. Томилов Ю.В. Об асимптотическом поведении последовательностей, заданных рекуррентными соотношениями, в банаховом пространстве // Укр. мат. журн. - 1994. - 16, №5. - С. 633-641.

3. Томилов Ю.В. Об асимптотическом поведении некоторых . рекуррентных последовательностей в гильбертовом пространстве

// Тези Міжнародної математичної конференції пам’яті Ганса Гана. Чернівці.'- 1994. - С, 146. ' .

4. Томилов Ю.В. Об асимптотическом поведении некоторых бесконечномерных рекуррентных последовательностей // Укр.

. мат. журн. - 1995. - 17, №1. - С. 133-137.

5. Tomilov Yu.V. On local and global asymptotic properties of Co- .

semigroups // Abstracts of conference ’’Aspects of Spectral Theory”. Vienna, Austria. - 1996. - P. 38. .

6. Tomilov Yu.V. On asymptotic behavior of Co-semigroups // Confer-

ence on mathematical analysis and applications, Abstracts. - Lincoping, Sweden. - 1996. - P. 87. '

■Томилов Ю.В., Асимптотическое поведение решений эволюционных уравнений в банаховом пространстве. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности

01.01.01 — математический анализ. Киевский университет имени Тараса Шевченка, Киев, 1996. '

В диссертации исследуется асимптотическое поведение решений некоторых эволюционных уравнений в банаховом пространстве. Для широких классов разностных уравнений в банаховых пространствах получены^ критерии ограниченности и асимптотической периодичности решений в терминах структуры спектров и инвариантных подпространств их операторных коэффициентов. Найдены новые условия отрицательности спектральной грани генератора Co-полугруппы, изучены применения этих условий • к исследованию асимптотического поведения таких полугрупп.. Получена характеризация типа Co-полугрупп в некоторых -О-выпуклых банаховых пространствах.

Tomilov Yu. V., The asymptotic behavior of solutions to evolutionary equations in a Banach space.

Manuscript. Thesis of dissertation for obtaining of the degree of candidate oi sciences .in physics and mathematics, speciality 01.01:01—mathematical analysis. Kiev Taras Shevchenko university, Kyiv, 1996.

There are investigated the asymptotic behavior of solutions to some evolu- ' tionary equations in a Banach space. For wide classes of difference equations there were obtained the criterias for boundedness and asymptotic periodicity of solutions in terms of the spectra and the invariant subspaces structure of their operator coefficients. The new conditions for the negativeness of the spectral hound of generator of Co-semigroup were established, the applications of this conditions to the investigation of such the semigroups have been studied. The characterization of the type of Co-semigroup in some B- convex spaces was obtained.

Ключові слова: різницеве рівняння, банахів простір, оператор, спектр, Со наніш'рупа, нескінченно диферснційовні вектори, резольвента, В опуклий просі ір. 1