Асимптотическое поведение решений краевых задач для квазилинейных параболических уравнений и систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб ОА

- 2 ОПТ 139э

На правах рукописи Вишневский Михаил Петрович

УДК 517.95

АСгаЖГОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ.

01.01.02 - дифференциальные уравненния

Автореферат диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1995

Работа выполнена в Институте математики СО РАН и в НГУ

Официальные оппоненты: доктор физико математических наук,

член-корреспондент Российской Академии наук, профессор Коновалов А.Н. доктор физико-математических наук, профессор Пухначев В.В. доктор физико-математических наук, профессор Белов Ю.Я.

Ведущая организация: Институт прикладной математики

им. М.В.Келдшза

?? У о

Защита диссертации состоится " " 1995г.

в час. на заседании диссертационного совета Д 063.

98. 02 в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск 90 ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета по указанному адресу.

А/, од

Автореферат разослан 1995 года.

Ученый секретарь ¿с^е^^/^А.В.Кажихов

диссертационного совета доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Одной из важнейших задач современной математической физики является изучение качественного поведения решений нелинейных эволюционных задач. Этим вопросам и посвящена настоящая диссертация.

Наибольшее продвижение в решении этой проблемы достигнуто для обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом наиболее полные результаты получены лишь для динамических систем на плоскости. В диссертации изучаются качественные свойства нелинейных параболических уравнений и систем. Первым этапом в изучении качественных свойств таких задач было построение теории разрешимости начально-краевых задач для линейных и нелинейных параболических уравнений и систем. Такая теория разрешимости была построена в работах И.Г.Петровского, А.Н.Тихонова, В.П.Михайлова,

B.С.Белоносова, В.А.Солонникова, О.А.Ладыженской Н.Н.Уральцевой и других для линейных задач и в работах О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой, О.А.Олейник,

C.Н.Кружкова, и других для нелинейных уравнений и систем. Дальнейшее исследование качественных свойств нелинейных параболичееских задач проводилось в работах Т.И.Зеленяка, С.Н.Кружкова, С.Н.Курдкмова, В.А.Гзлактионова, В.П.Михайлова, А.К.Гущина, С.И.Похожаева А.В.Бабина, М.И.Вишика и других. Укажем еще несколько монографий и обзоров [2-81 наиболее близких к теме диссертации .

В работах [1-2] Т.И.Зеленяком был получен ряд важных результатов о качественном поведении решений краевых задач для автономных нелинейных параболических уравнений с одной пространственной переменной. Дальнейшее развитие эти исследования получили во многих работах ( см., например, обзоры [6-8], где имеется достаточно подробная библиография по этой тематике ).

Опишем подробнее результаты, полученные в работах 11-21, [91. В этих работах был предложен метод

обобщенных функционалов Ляпунова, который позволил получить для решений краевых задач для автономных нелинейных параболических уравнений с одной пространственной переменной ряд фундаментальных фактов о качественном поведении решений. Доказана, в частности, теорема о стабилизации любого ограниченного решения задачи к единственному стационарному решению, оценено число стационарных решений задачи, получены критерии устойчивости стационарного решения задачи, которые охватывают в том числе и критические случаи. В этих работах также описаны области притяжения асимптотически устойчивых и устойчивых стационарных решений.

Отметим, что многие важнейшие результаты, полученные в этих работах оказываются неверными уже для динамической системы обыкновенных дифференциальных урав нений на плоскости. Это в частности относится к таким принципиальным результатам, как теорема о стабилизации любого ограниченного решения краевой задачи для автономного квазилинейного параболического уравнения с одной пространственной переменной , как описание границы области притяжения асимптотически устойчивого решения задачи через стационарные решения этой же задачи (см., например, работу 1111). Такие свойства верны только для скалярного уравнения с одной пространственной переменной вида:

ir(t) = facti), ко? = и;

Укажем еще несколько важных качественных свойств, которые верш для уравнения (1).

Рассмотрим любое непостоянное решение задачи (V. Это решение либо монотонно возрастает, либо монотонно убывает. Пусть и ~ два соседних стационарных решения задачи

(1). Тогда существует монотонное решение T)ff j, f^J,

которое соединяет стационарные решения и в том смысле,

что решение f](t;t1,^2) сходится к одному стационарному

решению при t-+co и к другому стационарному решению при t

Если задача (1) диссипативна и С - асимптотически устойчивое сверху стационарное решение, то найдется

неустойчивое снизу стационарное решение такое что

область притяжения решения 5 содержит интервал

Предположим, что функция ?(£) аналитична по 5. Тогда либо /а) = О, либо в ограниченной области у задачи (1) не более конечного числа нулей, которые -являются стационарными решениями задачи (1).

Цель диссертации состоит в том, чтобы показать, что аналоги приведенных вше качественных свойств с некоторыми естественными ограничениями и оговорнами справедливы и для автономной смешанной задачи ' для квазилинейного параболического уравнения вида: п 2

и, = 2 а{ + аСх.и.т). (2)

11=1 1 ^

(3 = П * (О, на), П - ограниченная область в пространстве Нп с

гладкой границей <ЭП.

На границе Г = ЗП * (0,+<а) цилиндра 9 предполагаются

выполненными следующие граничные условия: п

Ви = суг +а1( £ Ьь(х)^г + в(х,и)) = О, (хЛЦТ. (3)

1=1 1 При í = О задаются начальные данные:

м(х,0) = и0(х) (4)

Решение задачи (2)-(4) будем обозначать через и(х,Х;и0).

В диссертации рассматривается и случай периодической зависимости функций ,и,чи), 8(х,г,и) от

времени:

п 2

иг = 1 дзгдх' + (5)

11=1 1 3

п

Ви = суыа^ + = О, (6)

(=7 1

и(х,0) = и0(х) (7)

+ = a£JCx,t,u,^7U^, аГг.г + ы,и,чи) =

= аГхД,и,то;, + а,и) = в(х,г,и).

Предполагается, что уравнение (2) равномерно

параболично. Предполагается также, что а^ + а^ > о, с^ ^ О, п

^ Ъ1(х)Соз(п,х1) 2 > О. Аналогичное условие выполнено и 1=1

для уравнения (5), и для граничных условий (6).

Начальные данные ид(х) задачи (2}-(4) и задачи

(5)~(7) предполагаются принадлежащими следующему множеству: Е - { и0(х)£01(й); Ви0(х) = 0 ).

Функции ац(х,и,р), а(х,и,р), в(х,и), ,и,р),

а(х,Т,и,р), р = (р1,...,р ) предполагаются трижды

гладкими по всем переменным и удовлетворяющими условиям типа С.Н.Бернштейна, которые обеспечивают оценку классического

2+а-р-

решенйя и(х,г;и0) в С £ (йт) задачи (2)-(4) ( или

задачи (5)-(7)) в С х | (Я^) , если известна оценка

этого решения в С(<2у), Т < на (см.141).

Во многих теоремах, доказанных в диссертации, требуется, чтобы задача (2)-(4) ( или задача (5)-(7)) была

диссипативна, то есть чтобы для любых начальных данных и0(х)

из Е решение и(х,г;ид ) задачи (2)-(4) существовало при

всех X > 0 и удовлетворяло неравенству:

ТТй |и(Т,1;ип;|9 < йп.

¿-лЧю и и и

Методика исследования основана на подробном изучении поведения решений квазилинейных параболических уравнений вида (2)-(4), (5)-(7) в окрестности стационарного, для первой задачи, и в окрестности периодического, для второй задачи, решения. При этом оказалось, что результаты, описывающие поведение решений в окрестности стационарного или периодического решения, можно получить, не усложняя значительно рассуждений, и для значительно более общего класса параболических систем. Это и проделано в первой главе

диссертации. Отметим, что для получения этих результатов в работе применяются точные шаудеровские оценки в Гельдеровских классах с весом. Такие оценки были впервые получены в работах В.С.Белоносова (21,[101. Применение этих оценок позволило в первой главе диссертации избежать ряда ненужных, но громоздких ограничений, которые обычно при доказательстве подобных утверждений делаются.

Одним из основных методов исследования, который применяется в диссертации, является принцип максимума и различные следствия из него: как то теоремы сравнения, теорема Крейна-Рутмана, теорема Заремба-Жиро.

Автором диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

1. В окрестности периодического решения в критическом случае, когда у линеаризованной на периодическом решениии параболической задачи есть нетривиальные периодические решения, построено устойчивое интегральное множество, притягивающее решения задачи (глава I).

2. Получен критерий экспоненциальной устойчивости нулевого решения линейного параболического уравнения с коэффициентами, зависящими от времени (глава 2).

3. Для задачи Неймана для уравнения (5) в случае, когда aíJ(t,u,vu), аГГ.и.та; не зависят от пространственных

переменных и область П - выпукла, показано, что устойчивое периодическое решение задачи тоже не зависит от пространственных переменных (глава 2).

4. Для диссипативной задачи (5)-(7) на множестве периодических решений установлен частичный порядок (глава 3).

5. Для диссипативной задачи вида (5)-(7) доказано существование максимального ш-периодического решения задачи и минимального ш-периодического решения задачи (глава 3).

6. Доказано, что область -притяжения асимптотически устойчивого периодического решения, которое лежит мевду максимальным и минимальным периодическим решением, ограничена сверху и снизу периодическим решением задачи (глава 3).

7. Для задачи (2)-(4) доказано существование

единственной монотонной по времени связной орбиты, которая соединяет два соседних стационарных решения. Под связной орбитой понимается решение задачи (2)-(4), которое определено при всех г > О и сходится при {-»-да к одному стационарному решению и при t-^■ш¡ к другому стационарному решению (глава 3).

7. Построен пример периодического решения автономной задачи вида (2)-(4) (глава 3).

8. Для диссипативной задачи (2)-(4) доказано

существование открытого и плотного в С1(&) множества и ¡начальных данных, таких что если и0(х)€М, то решение

~и(х^;и0) стабилизируется к единственному стационарному

решению (глава 4).

9.- Показано- для диссипативной задачи (2)-(4), что если функции р),а(х,и,р) аналитически зависят от и,р, то

у задачи в ограниченной области не более конечного числа устойчивых стационарных решений. Показано, что для открытого

и плотного в С1СП; множества начальных данных решение и(х^;и0) становится строго монотонным (глава 4).

Основные результаты работы докладывались на семинарах: академика Л.В.Овсянникова (Институт гидродинамики СО РАН), члена-корреспондента С.П.Курдюмова (Институт прикладной математики им. ' М.В.Келдыша), академика С.К.Годунова (Институт математики СО РАН), члена-корреспондента В.Г.Романова (Институт математики СО РАН), члена-корреспондента А.Н.Коновалова (Вычислительный центр СО РАН), профессора Т.И.Зеленяка (Институт математики СО РАН), профессора Ю.Е.Аниконова (Институт математики СО РАН),

профессора В.Н.Врагова (Институт математики СО РАН),

профессоров В-П.Михайлова и А.К.Гущина (Институт математики

им. В.А.Стеклова), профессора В.Ловицара (Институт математики в г. Праге, Чехия),на Всесоюзных конференциях: Математические методы в химии ( в 1975 году в г. Новосибирске и в 1982 году в г. Ереване), 5 Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных

уравнений в 1979 году в г. Кишиневе, Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений ( в 1986 году в г. Омске, в 1989 году в г. Барнауле, в 1992 году в г. Красноярске), на конференции по дифференциальным уравнениям в 1986 году в г. Кацивели, на Всесоюзной конференции по неклассическим задачам математической физики в 1988 году в г. Новосибирске, на Дальневосточной математической школе в 1988 году в г. Находке, на Международной математической школе по дифференциальным уравнениям в центре Банаха в 1990 году в г. Варшаве, на Советско-японском семинаре по условно-корректным задачам в 1991 году в г. Новосибирске, на Всесоюзной конференции по условно-корректным задачам в 1992 году в г. Новосибирске, на Международной конференции вдш)ПЧ,-8 в 1993 году в г. Братиславе (Словакия).

По теме диссертации опубликованы работы автора [121-128].

Структура диссертации: диссертация состоит из введения и четырех глав. Каждая глава разбита на параграфы.

Общий объем работы 206 страниц.

Библиография 108 наименований.

Внимание автора к вопросам, которые рассматриваются в диссертации, было привлечено Т.И.Зеленяком. Автор благодарит его за постоянное внимание и интерес к работе, а также благодарит В.С.Белоносова и М.М.Лаврнтьева-мл. за обсуждение результатов.

Содержание диссертации

Результаты, полученные в первой главе, носят в основном вспомогательный характер.

Пусть нп - п-мерное евклидово пространство, точки

которого обозначаются Через П обозначим

ограниченную область в пространстве и" с границей вй,

0^=0*(0,Т) <а£=Ох(1:,Т) <3=П« (0,-к») о_=П*(-а>,т;) (-оо.+оо).

Боковую поверхность цилиндра (Зу будем обозначать Гу.

Аналогично обозначается и боковая поверхность других цилиндров.

Пусть функция I(хД) определена в . Обозначим через

А^Г=:Г(х,1;)-Г(у,1;)

Пусть т - фиксированное натуральное число г<з. Для каждой функции и(х,1;), определенной и непрерывной на множестве вместе со всеми производными Б^и

порядка Введем, следуя работам В.С.Белоносова

[21, [101, полунормы:

(з-2щ-1V |;

^г.а.дГ®1^ " >лЖи| 1х-у|[3]"5

е=га1п(к,1); верхняя грань берется в первом случае по

всевозможным различным точкам (х,1;), (х,т) из и всем р.,г>

таким, что 0<з-2тц-|г>| <2т, а во втором случае - по всем

(х,1;), (у^) из 2пц+^|=[б] ([э] -целая часть б) Кроме

того, при целых к^о положим д Л-г

{и}гуз=аир (t ),

где верхняя грань берется по всем (х^)ео^ и всем ц, V таким, что 2тц+|у|=к. Пусть, наконец, при целых в Ягр Ят Ят

Ыг,з=1и}г,з + М^а,* при нецелых в

О* От. Оп

Яф От

Символами [и]3 и {и}^ обозначим полунормы, получающиеся из

От 0*

[и]^ и ^ при отбрасывании весовых множителей

з=г з-г й-г

^Эп )62и ^.Эл _ Еоли функция и не завйсит от t> то величины

От От

[и]^ и {ц}^ превращаются в обычные гельдеровские

полунормы, которые будем обозначать [и]д и {и}^. Пусть

е^О, Пространством Сг^т^ назовем множество функций

и(х, 1), которые принадлежат Сг(Оу), имеют при 2тр.+ |у|$з непрерывные производные в а^, порядка Б^О^и и конечную норму: 0? 0Т „ От

Оф<з

Обозначим через Н^(Оу) б^о, г^з.г целое пространство,

получающееся замыканием функций из СГ(0Г) по норме с®(Оу).

Для нецелых г положим Н^СОу^с^Оу).

Рассмотрим в цилиндре О следущую краевую задачу

2т

1Л1= - А(х,г,Вх)и=/(х^,и, и), (х,г)£0 (8)

В{и|г=0, 1=1,...,тЯ, (9)

и(х,х)=и0(х). (10)

Здесь и, и0 - Еектор-столбцы с N компонентами, X

равномерно 2т-параболичен по И.Г.Петровскому, граничные

условия удовлетворяют в каждой точке боковой поверхности

условию дополнительности по отношению к оператору (8),

операторы А,В, ш-периодичны по времени. Предположим,

2т

что функции /(х,г,и, и) имеют следующий вид:

I /ар^'^х *

|а|£2т-й й<г|р|«2й-а

где <Хк^2т, /ар,/а зависят от х,1 и и всех производных О^и

до порядка й включительно. В зависимости от к система (8)-(10) будет либо квазилинейной при ~к<2т, либо

нелинейной системой общего вида (к=2т). Предполагается, что функции /цр./ц достаточно гладкие. Потребуем, чтобы для

достаточно малого I было справедливо неравенство:

Здесь через Р обозначено отображение и(х^) -

- из пространства в H^~2m(Q).

Начальные данные и0(х) везде на протяжении первой главы

будут предполагаться принадлежащими Сг(й) и удовлтеворящими условиям согласования порядка г, (см. [21,[101 ). Выберем число з таким образом, чтобы выполнялось неравенство 2т < з < 2т +1.

Пусть оператор сдвига по траекториям решений

линейной однородной задачи (в)-(10), которая получится, если положить 1(\х) з о. .Оператор переводит решение

однородной задачи (8)-(10) в момент времени ? = О в решение этой 1.з задачи в момент времени t = ш. Оператор 7(ы) вполне непрерывен и ненулевые точки-его спектра разбивается на три множества: множество о содержит точки спектра, лежащие внутри единичного круга на комплексной шюкости, о0 - точки спектра, лежащие на единичном круге комплексной плоскости и сг+- точки спектра, лежащие вне единичного круга.

Обозначим через Р_, Р0, Р+ спектральные проекторы,

отвечающие множествам о_, а0, а^. Через Е~, Е* обозначим

области значений соответствующих проекторов.

Если обозначить У_, 7+, У0 сужение оператора У(ы) на

подпространствах Е~, то спектр оператора Ч_ совпадает

с множеством о_, спектр оператора У0 совпадает с о0 и спектр

7+ - с о+. Операторы У0, имеют обратные, так как

множества о0, не содержат нуля.

Существует такое положительное число -в>0, что для любого достаточно малого еХ> найдутся постоянные С^е),

1г,з '

что если v_eE VgfjP то

S Cjfe) exp(-(k-E)m»\vJg

|V"4l2 * c2(e) exp(-ce-E)m)\v+l^ (11)

|V?y+la > сз(е> exP(("O-eJm)|u+ тг$Ю.

Предположим дополнительно, что F(O) = О. Основными результатами первой главы являются следующие теоремы."

Теорема 1.6.

Пусть выполнены сделанные предположения. Найдется положительное число l1ty>0, такое, что если СХК110, то существует отображение из Е° в С3(П), которое обладает следующими свойствами:

1) пусть (X-)<min(Q,\J, где числа А. и 9 из неравенств fííj» u(x,t) - решение задачи (8)~(10) с начальными данными u(x,0)=u.q(x)+®0(Vq) , Vq - произвольная функция из Е°. Решение u(x,t) определено при всех tefl и удовлетворяет неравенству:

|ufx.t;ezpMr|t|;i2 « Cf7J|u0|®.

2) если Vq, Vq - две любые функции из то

|®0fvQ)-V0(v¿)\aa « 0Í7Л |»0-yó£ •

3) <а0(0)в0.

4) если u(x,t) - решение задачи (8)~(10), определенное при всех í, причем функция u(x,t)exp(~i\t\) принадлежит классу HS(Q0), то u(x,0)=v0+®0(vQ), Vg-pJlcx.O).

Теорема 1.7.

Найдется 1 JC¡, такое что при CXKl J0 существует

отображение Ф^ из которое

обладает следующими свойствами:

1) если u(x,t) - решение задачи (8)-(10) с начальными данными вида Uq(x)=u(x,0)=v_+v0^q(v_+Vq), то решение u(x,t)

существует при всех ОО, и функция u(x,t )exp(-*(t)

принадлежит классу H^fQ), причем справедливо неравенство:

2) если u_, Vq, Vq - произвольные функции из Е~, соответственно, то

3) ®q(0)B0.

4) если u(x,t) - решение задачи (8)~(10), определенное при всех такое что функция u(x,t)exp(-jt) принадлежит классу HpQ), то

rv fV IV iV (V (V iW rv rv

u(x,0)=v_+v0+®0(v_+v0), v_=P_u(x,0), v(j=Pcjj.(x,0),

v_=P_u(x,0).

Теорема 1.8.

Пусть выполнены предположения теоремы 1.6. Существует отображение Шд из Е++1г в £~+Е, которое обладает следующими свойствами:

1) любое решение задачи (8)-(10) с начальными данными u.q(x)=u(x,0)=Vq+v++<Sq(Vq+v+) существует при всех t^O,

функция u(x,t )exp(i[t) принадлежит классу H3(Q_) и удовлетворяет неравенству

¡u(x,t)exp(yt)i3~ < СГТЯfly+Ig+S"08з •

2) если Vq, Vq, v+, у; - функции из Е°, Ef соответственно,

то < G(j)l(\v0-v^l^ +

3) ®q(0)=0.

4) если u(x,t) - решение задачи (8)-(10), определенное при всех КО, причем функция u(x,t)exp(^t) принадлежит

Q rv rv rw , rv rv rv /V

lr(Q_), to u(x,0)=v04-vi_+^Q(v0+v_h), v(j=P(jj.(x,0), v+=P+u(x,0). Теорема 1.9.

Пусть выполненеы все предположения, сделанные в теореме 1.6, СХ1<110. Существует отображение Ф_ из Е~ в Са(й),

которое обладает следующими свойствами:

1) если u(x,t) - решение задачи (8)-(10) с начальными данными u(x,0)=u.q(x)=v_+VJv_), то решение u(x,i) существует

при всех оо, принадлежит классу H^iQ) и удовлетворяет неравенству:

Здесь и_ - произвольный элемент пространства Е~, 0<К^<к, -число X из неравенства (11).

2) если - две произвольные функции из Е~, то

3) Ф_го;=О.

4) если u(x,t) - решение задачи (8)-(Ю), и существует : СКХтакое, что u(x,t )ехр(к^) принадлежит H^(Q), то

u(x,0)=v_+<SJvJ, v_=Pu.(x,0).

Рассмотрим снова задачу (8)-(10). Множество M(t) будем называть интегральным множеством, если из того, что (и0(х,1),1) принадлежит (Ы(х),т) следует, что (u(x,t;u0),t)

принадлежит (M(t),t) при всех t из области определения решения u(x,t;uQ) задачи (8)-(10).

Рассмотрим в пространствах Сг(й) и cFtfV следующие

множества:

¡/¿Cz)=(v_(x,i)^v0ixrT)^g(irv_(x,z)^v0(x,i)); v_(x,t)eZÇ(D; v0(x,ï)zTîP(i));

М+0(i)=(v+(x,i)*v0(xrz)+^(t,v+(x,i)+vQ(x,i)); v+(x,i)<zE+(i); Vq(X,X)Ç.IP(1))',

M0(i)={V0(X,I)+V0(%,V0(X,I)); V0(XpT)ÇEPCZ)J;

H~(i)={vjx,i.m_(i,vjx,z)); vJx,t)iET(i));

H+(i)={v+(x,i)+V+Ct,v+(x,%));

Доказано, что множества Mg(t), . HqH), U°(t), M~(t),

M+(t) являются интегральными множествами задачи (ВЫЮ).

Теорема 1.10.

Предположим, что выполнены все сделанные ранее в теореме 1.9 предположения. Предположим также, что (ХЫ110.

Тогда, если и(\т,г; - произвольное решение задачи (8)-(10), то найдется единственное решение (,(х,1), лежащее на множестве И+0(г), такое что

где (XX <К, - постоянная X, такая же, как и в неравенствах (11).

Во второй главе диссертации рассматриваеется следувдая краевая задача:

г. 2 п

иГ I аи(х'г)ЩдхГ 2 а1(х'г)дх~ + <12>

и=1 1 1=1 1

=Ых^)и., (Т,Пе<2х, гей.

На границе Гт мы предположим, что выполнены следующие

граничные условия: п

1

где (х,г)сгх= дп*(%,-к»), гей.

При í=т зададим следующие начальные данные:

Будем предполагать, что а^(хЛ){С3((}0),

а1(х,г)^с2(Я0), а(х,г)ес1(Я0) Я^а* (-*.■*»), 1,}=1.....п.

Предположим также, что выполнено условие равномерной

параболичности: п

Относительно граничных данных преположим, что выполнены

следующие условия: ^1(х,Х)^С1н1(Т0), Г^АП* (-со, но), п

1=1.....п; ^ ?1(хЛ)Соа(п,х1)%10>О, п - вектор нормали к

1=1

границе вП в точке (х.иеГд.

В работах [1-21 Т.И.Зеленяком была рассмотрена задача

вида (12)-(14) в случае, когда коэффициенты задачи не зависят от времени. В этих работах был доказан критерий устойчивости нулевого решения. Аналогичный результат во второй главе диссертации получен для задачи (12)-(14): Теорема 2.1.

Следующие три условия эквивалентны:

1. Нулевое решение задачи (12)-(14) экспоненциально устойчиво, то есть существуют такие положительные числа ц,

К, что [и(хЛ)\2£<&ехр(-р.(г-'1))\и(хгх)\2Н1, при

2. Если и(х,г) - решение ¿задачи (12)-(14), то найдутся такие положительные функции, а(х^), г {Сх,1/, 1=1,2,3, (х,г)€(30, что

г1(х,г)х^( х,«;аг = гг(х,г)\^(х,г)<ЗБ

а до

п

- 2 р1,(х^)а(х^)(г3(х^)и(х^))х (г3(х,г)и(х,г))х О.г.

и=ю 1 . *

а(х,г)$ао>0.

3. Существует ограниченное при всех tíR положительное решение p(xгt) параболического уравнения:

t )=L(x,t)p(x,t; +ер(т^), е>0, удовлетворяющее следующим граничным условиям: В(х,г}р(х,г)"1, (х,г)£Т0, ею.

Полученные результаты применялись для исследования

задачи:

а 2

иг= 1 аЦ(*'и'гт)дх~дх~ + аС*^'™)* (х,Х)&0 (15) 11=1 1 }

= о, (х,г)аг0 (16)

и(х,%)=и0(х) (17)

Доказана следующая теорема: Теорема 2.3.

Пусть <р(х,г)еС3+а(Я0) - экспоненциально устойчивое решение задачи (15)-(17), область О выпукла. Тогда решение <р(х,г) не зависит от пространственных переменных. Рассмотрим в цилиндре 0=П«(О, но) задачу (5)-(8).

Приведем некоторые определения.

Пусть ср(x,t) - периодическое решение задачи (5)-(7). Будем говорить, что решение cpfr,t) устойчиво сверху, если для любого положительного числа £ найдется положительное число Ö, что из Uq(.E, U(yxp(x,0), 1и0-ц>(х,0)\^<в следует, что

решение u(x,t;uQ) существует при всех tzo, принадлежит

классу H^fQ), причем lu(x,t;u0)-(p(x,t)\^2m<s. Устойчивое

сверху периодическое решение будем называть асимптотически устойчивым сверху, если дополнительно

Um |itfx,t;u0;-<prx,i;i|9=o.

t~HO

Аналогично определяется устойчивость снизу и асимптотическая устойчивость снизу.

Будем говорить, что решение <p(x,t) устойчиво если для любого положительного числа е найдется положительное

число 0, что из UfjiE, \uQ-<p(x,0)следует, что решение u(x,t;u0J существует при всех tzO, принадлежит классу

Hf^fOJ. причем lu(x,t;u0)-<p(x,t)\^ 2+а<е' Устойчивое

периодическое решение будем называть асимптотически

устойчивым, если дополнительно

Um |ufx, t ;un)-<p(x,t) 19=0. со и

Решение задачи (5)-(7) будем называть неустойчивым, если существует положительное е такое, что для любого

положительного ö найдутся начальные данные и^Е и момент времени tjX), что Ju0-(prr,OJ|^<ö, и |ufx,t 1;u0)-<f>(x,t1 Л^е.

Таким же образом определяются устойчивые сверху, устойчивые

снизу, просто устойчивые, асимптотически устойчивые и неустойчивые стационарные решения.

Функцию u*(x,t) будем называть верхним решением задачи

(5)-(7), если и?(x,t)ilf+a(Q) и выполнены неравенства:

п 2 +

ut> I a£ 1(х'г'и+}дх~д x~ + )• при (x,t)zQ0

tj=1 1 J

B(xft)u+-g(x,tfu+)ф, при (x,t)iV; или в случав первой краевой задачи u+(x,t)X>, при fx.t^r.

Если функция u+(x,t) ^-периодична по времени, то u*(x,t) - w-периодическое верхнее решение задачи (5)-(7). Если ке функция и*(х) не зависит от времени, то это - верхнее стационарное решение задачи (2)-(4).

Аналогичным способом можно определить и нижнее решение, и нижнее апериодическое решение, и нижнее стационарное решение. Обозначим нижнее решение задачи (5)-(7) через u~(x,t).

Пусть ср(x,t) - притягивающее сверху периодическое решение задачи (5)-(7). Областью притяжения А(<р) решения сp(x,t) будем называть множество:

{Uq^E, Ilm Iufx,i;u0)-<p(x,t)$=0). t-*+00

Основными результатами третьей главы являются следующие теоремы:

Теорема 3.3.

Пусть у задачи (5)-(7) есть верхнее и нижнее

± 4 -

ш-периодическое решение и (x,t), причем и (x,t)zu. (x,t), (xtt)iQw. В этом случае у задачи (5)-(7) есть

апериодические решения U(x,t) m(x,t) из H2+a(Qw), которые обладают следующими свойствами:

1. M(x,t)2m(x,t), Cx.tJeQy.

2. Любое другое feu-периодическое решение ср (x,t) задачи (5)-(7), удовлетворяющее неравенству: u+(x,t)2<p(x,t)2u~(xtt), (x,t)iQfo}, удовлетворяет также и

неравенству: M(x,t)яр(х,t)2m(x,t), (x,t

3. Если M(x,t)m*(x,t), то M(x,t) - асимптотически устойчивое сверху периодическое решение задачи (5)-(7), причем множество А(М) решения M(x,t) содержит множество

(ифЕ, и+(х,0)2и0(х)2М(х,0), refiJ.

Аналогично, если m(x,t)tu~(x,t), го m(x,t) асимптотически устойчивое снизу периодическое решение и

множество А(т) решения m(x,t) содержит множество (utfiE, иГ(х,0Ш0(х)т(х,0), хеШ. В случае задачи (2)-(4) теорема 3.3 имеет следующий

вид:

Теорема 3.3'.

Пусть у задачи (2)-(4) есть верхнее и нижнее ± + -

стационарные решения и (х), причем и (х)2и (х), хеП. В этом случае у задачи (2)-(4) есть стационарные решения М(х)

т(х) из Н2н1(П), которые обладают следующими свойствами:

1. Ы(х)Ът(х), хеП.

2. Любое другое периодическое или стационарное решение <p(x,t) задачи (2)-(4), удовлетворяющее неравенству: t/(x,)$<pfx,tj£if (xj, (x,tJeQ, удовлетворяет также и неравенству:

M(x)xp(x,t)$m(x), (x.tjeQ.

3. Если М(х)*и+(х), то М(х) - асимптотически устойчивое сверху стационарное решение задачи (2)-(4), причем множество А(М) решения Н(х) содержит множество

{Uq£E, U+(X)2Uq(X)21I(X), nil).

Аналогично, если т(х)^и~(х), то т(х) асимптотически устойчивое снизу стационарное решение, и множество А(т) решения т(х) содержит множество (UqZE, и~(х)^и0(х)^а(х),х(.Q)

Теорема 3.4.

Предположим, что задача (5)-(7) диссипативна. Тогда у нее существует максимальное апериодическое решение U(x,t) и минимальное (^-периодическое решение m(x,t), которые обладают следующими свойствами:

1. И(x,tm(x,t), (x,t)iQw.

2. Любое периодическое решение cp (x,t) задачи (5)-(7) удовлетворяет неравенству:

M(x,t.r&p(x,t)}m(x,t), (x,t)iQ.

3. Область притяжения периодического решения M(x,t) А(М) содержит следующее множество: iu^E; и0(х)^Ы(х,0), хеШ.

Аналогично, область притяжения периодического решения m(x,t)

2С

Aim) содержит множество fи^Е; uQ(x)^n(x,0)f хф).

В случае задачи (2)-(4) теорема 3.4 имеет следущий

вид:

Теорема 3.4'.

Предположим, что задача (2)~(4) диссипативна. Тогда у нее существует максимальное стационарное решение М(х) и минимальное стационарное решение m(x,t), которые обладают следующими свойствами:

1. Ы(х)2т(х), x€fl.

2. Любое периодическое решение <p (x,t) задачи (2)-(4) удовлетворяет неравенству:

U(x)^p(x,t)^ri(x). (x.t)tQ.

3. Область притяжения стационарного решения Ы(х) А(Ш) содержит следующее множество: (и^Е; и0(х)2Ы(х), хф).

Аналогично, область притяжения стационарного решения т(х) А(т) содержит множество (и^Е; и0(х)$п(х), xiQ).

Теорема 3.5.

Предположим, что выполнены все условия теоремы 3.3 или теоремы 3.4. Пусть <f(x,t)- few-периодическое решение задачи (5)-(7), лежащее между u+(x,t), u,~(x,t):

vt(x,t), < <p(x,t) < u~(x,t), Cx,t)eQ; и притягивающее сверху. Тогда решение <p(x,t) асимптотически устойчиво сверху и возможны два варианта:

1. ф(x,t)=M(x,t).

2. Существует неустойчивое снизу йимгериодическое решение ty(x,t), такое что

M(x,t) > <j)(x,t) > (р(x,t), (x,t)eQ, и область притяжения А(<р) устойчивого сверху fcu-периодического решения ф(x,t) содержит множество:

{Uq£E, <р(х,0) Z uQ(x) > <р(х,0), uQ(x) 2 ф(х,0) ).

Для автономной задачи (2)-(4) справедлива теорема, аналогичная теореме 3.5, которую можно в этом случае переформулировать следующим образом: Теорема 3.5'.

Предположим, что выполнены все предположения теоремы 3.3' или теоремы 3.4'.Пусть q(x) - стационарное решение задачи (2)-(4), притягивающее сверху и лежащее меаду

и+(х). и (х):

и+(х) < <р(х) « и~(х), (х,г)аЯ; Тогда решение у(х) устойчиво сверху и возможны два варианта:

1. ф(х)=М(х).

2. Существует неустойчивое снизу стационарное решение $(х), М(х) > <\>(х) } ц(х), хеП, такое, что область притяжения А(<р) устойчивого сверху стационарного решения <р(х) содержит множество:

{и0$Е, ф(х; > и0(х) 2 ц>(х), и0(х) ? §(х) ).

Пусть ф(\гД)- устойчивое сверху йл-гориодическое решение задачи (5)-(7), а ф(х,Т) - неустойчивое снизу йш~периодическое решение задачи (5)-(7), сущеестЕование которого доказано в теореме 3.5. Теореиа 3.6.

При сделанных ранее предположениях существует решение которое обладает следующими свойствами:

1. Решение r|(x,t;(p,ф) определено при всех Гей и удовлетворяет неравенству: т)(хЛ;ф,ф.) > т)(хД + ш.-ф.фЛ

2. Решение г\(х,г;ц),ф) удовлетворяет соотношениям:

11т £-♦—00

11т |-г)Гх,1;ф,ф;-<рГх,1;55+г1=0-

Применим полученные результаты для классификации периодических решений, которые лежат между периодическими решениями Ш(х,Х) и т(х,Х). Предположим дополнительно, что у рассматриваемой задачи только конечное число периодических решений и что оператор сдвига на период у линеаризованной на периодическом решении задачи не имеет собственных чисел на единичной окружности комплексной плоскости.

Если М(х,г (х^) т.(х,1)?и~(х,1), то при сделанных предположениях Ы(х^) т(х,Х) - устойчивые апериодические решения задачи.

Обозначил через ,чр,ф; решение, которое опредеелено при всех Гей и соединяет периодические решения и

<p(x,t), то есть либо сходится к периодическому решении q>(x,t) при t—на и к периодическому решению ty(x,t) при t—со в случае, когда <p(x,t) асимптотически устойчиво сверху, а ф(г,t) неустойчиво снизу, либо наоборот решение t\(x,t;(p,<p) сходится к фСгД.) при t-+<», а к q>(x,t) при

t->—со.

Пусть последоватеельность периодических решений задачи С5)-(8) обладает следующими свойствами:

M(x,t) < (p^x.t) < ц>2(х,t) < ____ < фi(x,t) < m(x,t),

(xrt)iQ и для любых двух соседних решений (pjfx.tJ, фг+^('х, t J

существует решение •q(x,t;(p-l,ipl+1J, которое их соединяет.

Назовем такую совокупность решений контуром, соединяющим наибольшее и наименьшее периодические решения.

Доказанные ранее утверждения позволяют сформулировать следующую теорему. Теорема 3.7.

Если выполнены сделанные ранее предположения, то у задачи (5)-(8) есть конечное число контуров, которые соединяют решения M(x,t), m(x,t). На каждом контуре устойчивые и неустойчивые периодические решения чередуются. Любое периодическое решение принадлежит хотя бы одному контуру.

Аналоги теорем 3.6, 3.7 справедливы и для автономной задачи (2)-(4). Теорема 3.6'.

При сделанных ранее предположениях решение ri(x,t ;ф,ф;, которое обладает следующими свойствами:

1. Решение -q(x,t;<p,<p) определено при всех ieR и строго монотонно и единственно с точностью до сдвига по времени.

2. Решение T]fx,i .чр.ф,) удовлетворяет соотношениям:

Ilm ¡т]ГхД;ф,ф;-фСхЛ2т=0 £ -»—00

Ilm 8т)СлгД;ф,ф;-фГх.)|р, =0. t-»+ 00 с

Теорема 3.7'.

Если выполнены сделанные ранее предположения, то у задачи (2)-(4) есть конечное число контуров, которые соединяют решения И(х); т(х). На каждом контуре устойчивые и

неустойчивые стационарные решения чередуются. -Любое стационарное решение принадлежит хотя бы одному контуру.

Одним из основных результатов четвертой главы и всей диссертации являются следующие теоремы, которые доказаны в четвертом параграфе главы. Теорема 4.6.

Рассмотрим задачу (2)-(4). В Е существует открытое и плотное в с'СП; множество М такое, что если начальные данные ид принадлежат И, то решение

стабилизируется при .

Предположим, что решение и(х,4;и0) стабилизируется. И в

этом случае поведение решения и(хЛ;и0) может быть

достаточно сложным. В теореме 4.6 мы доказали, что для открытого и плотного в Е множества начальных данных М

решение и(х^;и0), построенное по функции и0 из Ы,

стабилизируется.

Теперь мы докажем, что если функции а^^(х,и,р),

а(х,и,р) аналитичны по (и,р) и дважды дифференцируемы по х, задача диссипативна, то существует открытое и плотное в Е

множество Ы^, такое, что если и^М^, то решение иг г, £ ;и(-})

становится монотонным при I > тСформулированное

утверждение будет следовать из следующих теорем. Терема 4.7.

Предположим, что для задачи (2)-(4) функции а^(х,и,р), а(х,и,р) аналитичны по (и,р) и дважды

дифференцируемы по х, задача диссипативна и <р(х) - устойчивое стационарное решение задачи. Пусть и0, и(у.А(ф I, и0 2 v0,

и0 * иО и решение ;и0) пересекает стационарное

решение ц>(х) при всех I > О. Тогда существует положительное

число 1(и0) такое, что при г > решение и(х,г;и0)

строго больше ц>(х) и монотонно убывает. Аналогичное утвервдение справедливо и в случае, когда и0 < и^.

Обозначим через 5 стационарные решения задачи

(2)-(4), которые обладают следующими свойствами:

А

1. Пусть феЯ, тогда у спектральной задачи:

л.? = £Сфд, хеп, вгфД = о, хева не более одного собственного числа в правой полуплоскости комплексной плоскости. (Здесь, как и ранее, через Ъ(<р) и В(ц>) обозначены линеаризованное на стационарном решении <р(х) параболическое уравнение (2) и граничные условия (3)).

2. Обозначим через второе собственное число

линеаризованной задачи. Предположим, что множество (Х2((р),

щБ } не имеет предельных трчек на мнимой оси комплексной плоскости.

Справедлива теорема: Теорема 4.8.

Предположим, что выполнены все предположения теоремы 4.7. Зафиксируем произвольную положительную постоянную К.

Тогда у задачи (2)-(4) не более конечного числа решений из Б, не превосходящих по норме С1(П) постоянную К.

Обозначим через Ы1 подмножество множества Е, состоящее из функций, для которых решение и(х,Х ;пд), посторенное по

начальным данным и0 из строго монотонно при t ^ х(и0).

Теореыа 4.9.

Пусть выполнены все предположения теоремы 4.7. Тогда множество М^ содержит открытое и плотное в Е подмножество.

В заключеешпе коротко перечислим основные реезультаты диссертации.

Получен критерий экспоненциальной устойчивости нулевого решения линейного параболического уравнения с коэффициентами, зависящими от времени. Для задачи Неймана для уравнения (5) в случае, когда а('t,u,vu-^

не зависят от пространственных переменных и область Н

выпукла, показано, что устойчивое периодическое решение задачи тоже не зависит от пространственных переменных. Для диссипативной задачи (5)-(7) на множестве периодических решений установлен частичный порядок, доказано существование максимального и-периодического решения задачи и минимального

ш-периодического решения задачи. Доказано, что область притяжения асимптотически устойчивого периодического решения, которое лежит между максимальным и минимальным периодическим решением, ограничена сверху и снизу периодическими решениями задачи. Для задачи (2)-(4) доказано существование единственной монотонной по времени связной орбиты, которая соединяет два соседних стационарных решения. Построен пример периодического решения автономной

задачи вида (2)-(4). Для диссипативной задачи (2)-(4)

доказано существование открытого и плотного в С1(й)

множества Ы начальных данных, таких что если и0(х)еМ, то

решение и(х,Х;и0) стабилизируется к единственному

стационарному решению. Показано для диссипативной задачи

(2)-(4), что при условии что функции а^^(х,п,р), а(х,и,р)

аналитически зависят от и, р, то у задачи в ограниченной области не более конечного числа устойчивых стационарных

решений. Показано, что для открытого и плотного в С'(й) множества начальных данных решение и(х^;и.0) становится

строго монотонным.

Литература

1. Зеленяк T.M. О качественных свойствах решений для квазилинейных смешанных уравнений параболического типа// Мат.сб. 1977. 104.С. 486-510.

2. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск: НГУ, 1972.

3. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева. H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.-М.: Наука. -1967. -736С.

4. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно йЛЗшптических и параболических квазилинейных уравнений, тлеющих неограниченные особенности // Успехи маг. наук. 1986. Т.41. С.59-83.

5. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений // Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. - М.:Наука. -1987. -480С.

6. Hale J.K. Asymptotic behavior of dissipative systems, Math. Surveys líonogr. 25, Amer. Math. Soo., Providence, R.I., 1988.

7. Protter И.Н., Weinberger H. Maksimum principles in differential equations. Berlin, Springer Verl., 1984.

8. Hirsoh M.W. Stability and covergence in strongly monotone dynamical systems // J. Reine Angev. Math. 1988. Bd. 383 P.1-53.

9. Зеленяк T.M. 0 стабилизации решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка с одной пространственной переменной // Дифференциальные уравнения. Т.4. С. 34-45, 19S?.

ю. Белоносов B.C. Оценки решений нелинейных параболических систем в гельдеровских классах с весом и некоторые приложения. //Мат.сб. 1979. T.II0. Я2. С.165-188. II. Фокин М.В. О предельных множествах траекторй динамических систем градиентного типа // Мат.сб. 1981. Т.116. J64. С.502-514.

Список работ автора по тепе диссертации:

12. Вишневский М.П. . Интегральные множества нелинейных параболических систем // Динамика сплошной среды. В.54. 1982. С.74-84.

13. Вишневский М.П. Критерий устойчивости решений смешанных задач для параболических уравнений // Краевые задачи для уравнений с частными производными (Труды семинара С.Л.Соболева) Т.1. 1984. С.5-22.

14. Вишневский М.П. О некоторых качественных свойствах периодических решений квазилинейных параболических уравнений // Динамика сплошной среды. В. 64. 1984.С. 11-23.

15. Вишневский М.П. Области притяжения устойчивого стационарного решения параболического уравнения // Динамика сплошной среды. В.67. 1984. С.3-20.

16. Вишневский М.П. Инвариантные множества нелинейных параболических систем // Некоторые приложения функционального, анализа к задачам математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1986. С.32-56.

17. Вишневский М.П. Ограниченные решения нелинейных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: ММ СО АН СССР, 1987. С.35-49.

18. Вишневский М.П. Асимптотическое поведение решений смешанных задач для квазилинейных параболических уравнений// Краевые задачи для уравнений с частными производными. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1988. С.65-80.

19. Вишневский М.П. О поведении при большом времени решений параболических уравнений с многими пространственными переменными // Динамика сплошной среды В.85. С.34-41.

20. Вишневский М.П. О нелокальном поведении решений квазилинейных смешанных задач для параболических уравнений// Математическое моделирование. 1990. Т.2, №4. С.67-77.

21. Вишневский М.П. Периодические решения автономных параболических уравнений // Динамика сплошной среды. 1990. В.98. С.98-106.

22. Вишневский М.П-. Области притяжения периодических решений квазилинейных параболических уравненй // Некоторые

применения функционального анализа в задачах математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1990. С.З1-И.

23. Вишневский М.П. О стабилизации решений слабо связных параболических систем // Матем. сб. Т.183, ШО. 1992. С.45-62.

24. Вишневский М.П. Об устойчивых стационарных решениях параболических уравнений // Сиб. мат. «. J82. 1993. С.

25. Вишневский М.П. Критерий экспоненциальной устойчивости нулевого решения слабо связных параболических систем // Сиб. мат. ж. ЖЗ. 1993. С.ЗЪ~5Ч.

2в. Вишневский М.П. Монотонные решения квазилинейных параболических уравнений // Сиб. мат. ж. №4. 1993. С.50-60.

27. Вишневский М.П. О стабилизации решений краевых задач для квазилинейных параболических уравнений, периодически зависящих от времени // Сиб. мат. ж. J65. 1993. С. U-ZZ-

28. Vishnevskii М.Р. Solvability as a hole systems of reaction-diffusion// Abstracts Conf. EQUADIPP 8, Bratislava, 1993.

Подписано в печать 08.06.95. Формат 60x84 Г/16

Печать офсетная Усл.п.л. 1,7.Уч.изд.л. 1,5. Заказ й394 Тираж 100 экз. Беспдатно

Участок оперативной полиграфии ИГУ:630090, Новосибирск - 90,ул. Пирогова, 2