Асимптотическое поведение решений одной системы двух дифференциальных уравнений

Иванова, Мария Анатольевна

Асимптотическое поведение решений одной системы двух дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Иванова, Мария Анатольевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Якутск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Асимптотическое поведение решений одной системы двух дифференциальных уравнений»

Автореферат диссертации на тему "Асимптотическое поведение решений одной системы двух дифференциальных уравнений"

На правах рукописи

ИВАНОВА Мария Анатольевна

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Якутск - 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа Якутского государственного университета им. М.К. Аммосова Министерства образования и пауки Российской Федерации.

Научные руководители: кандидат физико-математических

наук, доцент Егоров И.Г. доктор физико-математических наук, профессор Попов СВ.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, академик РАН Монахов В.Н. кандидат физико-математических наук, доцент Софронов Е.Т.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский

государственный университет

Защита состоится 28 апреля 2005 года в 15.00 часов на заседании диссертационного совета К 212.306.05 при Якутском государственном университете им. М.К. Аммосова по адресу: г. Якутск, ул. Кулаковского, 48, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета им. М.К. Аммосова.

Автореферат разослан 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

В.Е. Федоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения решений одной системы двух дифференциальных уравнений

Всюду в работе предполагается, что функции, входящие в правую часть системы (1), непрерывны при всех значениях своих аргументов, при всех и выполнены обобщенные условия Рауза - Гурвица:

Му) + М1) < °> ^(у)кА(х) - /г2(х)/13(х) > 0, хуф 0, (2)

где йз(ж) = 1^0.

Актуальность. В диссертационной работе рассматриваются вопросы устойчивости движения. Проблемы устойчивости возникли впервые в механике при изучении состояния равновесия. Основы теории устойчивости движения разработаны в конце XIX века А.М.Ляпуновым. Впоследствии теория развивалась в трудах Е.А.Барбашина, И.Г.Малкина, Н.Г.Четаева и других.

В связи с новыми задачами об устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования и в связи с проблемами стабилизации управляемых движений с 50-х годов прошлого века возрос интерес к реальным системам, в которых начальные возмущения могут оказаться большими, и их трудно или нецелесообразно заранее оценивать. Поэтому было введено определение асимптотической устойчивости в целом движений при любых начальных возмущениях. Эту устойчивость иногда

(чаще в зарубежной литературе) называют глобальной устойчивостью.

Современные методы исследования вопроса устойчивости в целом нулевого решения нелинейной системы второго порядка, основой которых является метод Ляпунова, были разработаны в работах Н.П.Еругина, И.Г.Малкина, Н.Н.Красовского, Ю.Н.Бибикова, И.Г.Егорова, В.К.Поливенко и других.

С помощью функций Ляпунова можно оценить область притяжения, т.е. многообразия всех начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы заданной области. Построение этой области является одной из центральных проблем в теории устойчивости. Особенно важное значение эта задача приобрела в связи с потребностями теории автоматического управления, которой и принадлежат наиболее важные результаты в этой области.

Ряд первых результатов, связанных с построением области асимптотической устойчивости, был получен при решении задачи об абсолютной устойчивости. Первое фундаментальное исследование этой задачи для системы из двух уравнений было приведено Н.П.Еругипым в 1950 году. В.А.Плисс рассмотрел оставшийся неизученным особый случай этой задачи, когда область устойчивости оказывается ограниченной, и дал способ построения этой области; он же изучил случай трех уравнений.

Вопрос об устойчивости в целом нулевого решения системы из двух дифференциальных уравнений, исследованной в диссертации, также был изучен И.Г.Егоровым (1998). В частном случае, при к/у) = 0, Г.С.Кречетовым (1985) решен этот вопрос и описаны конфигурации областей устойчивости (когда устойчивости в целом нет), построены оценки границ этих областей. Эти же задачи были решены Г.С.Кречетовым (1992), когда функция к1 зависит от х. Для такой системы, т.е. когда в системе (1) к1 зависит от х. Гу Чао-Хао (1954) получил достаточные

условия асимптотической устойчивости в целом нулевого решения.

Цель работы: исследование асимптотического поведения решений автономной системы второго порядка (1). В соответствии с выдвинутой целью решались следующие задачи исследования:

1) Исследование нулевого решения системы на устойчивость в целом.

2) Построение области притяжения состояния равновесия, когда устойчивости в целом нет.

Метод исследования. Основным методом исследования является синтез второго метода Ляпунова с методами качественной теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы. В диссергации получены следующие основные результаты:

1. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости в целом нулевого решения системы. Указаны случаи, когда эти условия становятся необходимыми. Тем самым получены условия, при выполнении которых областью притяжения состояния равновесия системы является вся плоскость R2.

2. Для системы (1) описаны конфигурации областей устойчивости (когда устойчивости в целом нет), построены оценки границ этих областей.

Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут найти применение в многочисленных проблемах физики и механики, связанных с устойчивостью движения, и в теории автоматического регулирования, которые, в свою очередь, имеюг большую практическую ценность.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы

докладывались и неоднократно обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Института математики и информатики Якутского государственного университета, на научном семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" (руководитель профессор И.Е.Егоров) Научно-исследовательского института математики при ЯГУ; докладывались на XL международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, апрель 2002), на республиканской научно-практической конференции "Математика. Информатика. Образование", посвященной 25-летию математического факультета ЯГУ (Якутск, ноябрь 2002), на первых аспирантских чтениях (Якутск, февраль

2003), на Лаврентьевских чтениях Республики Саха (Якутск, апрель 2003), на семинаре "Неклассические уравнения математической физики "(руководитель профессор А.И.Кожанов) Института математики СО РАН (Новосибирск, октябрь 2003), на семинаре профессора Ю.Н.Бибикова (Санкт-Петербург, апрель

2004).

Работа поддержана Федеральной целевой программой "Интеграция пауки и высшего образования России за 2003 г."(№ з3404/2005) стажировкой в Институт математики СО РАН (Новосибирск) , а также грантом для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов ВУЗ-ов МО РФ (№АОЗ-2.8-541), с помощью которого в 2004 г. осуществлена стажировка на мате-матико-механическом факультете СПбГУ (Санкт-Петербург).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в тезисах трех докладов [1, 5, 6] и четырех статьях [2-4, 7].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем работы составляет 103 страницы, в том числе 9 рисунков, список литературы включает ПО наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи работы, а также дается краткое изложение содержания диссертации.

Первая глава носит вводный характер. В §1 даются основные определения и теоремы. В §2 приведен краткий обзор литературы.

Возможны три случая:

к\{у) < 0 при всех у, /14(2;) < 0 при всех

(3)

(4)

(5)

Для каждого из этих случаев во второй главе получены достаточные условия асимптотической устойчивости в целом нулевого решения системы (1). Указаны случаи, когда эти условия становятся необходимыми. Тем самым во второй главе получены условия, при выполнении которых областью притяжения состояния равновесия системы (1) является вся плоскость R2. Приведем эти результаты.

В §3 для случая (3) доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть выполнены условия Рауза-Гурвица (2). Тогда в случае (3) для асимптотической устойчивости в целом решения х = у = 0 системы (1) достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

2) уравнение Р(х, у) = О определяет единственную кривую L, которая является графиком некоторой непрерывной функции, проходящим через начало коордипат, вдоль которой

вир у = +оо, Ы1 у = -оо.

(7)

Для доказательства применяются метод функций Ляпунова и некоторые геометрические рассуждения, связанные с доказательством устойчивости в целом множеств, на которых функция Ляпунова тождественно равна нулю.

Пример 1. Пусть дана система

Условия (2) выполнены, а уравнение Р(х,у) = 0 имеет един-

У т

ственное р е ш е х =-у€К. ательно, условие 2)

1 + Г

теоремы 1 выполнено, и потому нулевое решение этой системы асимптотически устойчиво в целом.

Пример 2. Пусть дана система

/, I >\ I 1\ ¿у х у

— = -(1 + }у\)х + (1 + \х\)у,

(1 + х2)2 1+х2'

Условия (2) выполнены, а уравнение Р{х,у) = 0 имеет единственное решение т.е. также выполнено условие 2) теоремы 1, и потому пулевое решение системы асимптотически устойчиво в целом. Введем обозначения:

Теорема 2. Пусть выполнены условия Рауза-Гурвица (2) и существуют числа г > 0, с1 > 0, такие, что

г(НхЬл - Мз) > 2(М4 - Мз)

(8)

при |ж| > с1. Тогда в случае (3) для асимптотической устойчивости в целом решения х = у = 0 системы (1) необходимо, чтобы выполнялось одно из условий (6) и (7). Пример 3. Рассмотрим систему

Здесь условия (2), (8) выполнены, а условия (б), (7) - нет. Поэтому по теореме 2 решение х - у = О системы не является асимптотически устойчивым в целом. Пример 4. Рассмотрим систему

^ = -{1 + у2)х + {1 + х%

йх

1 + Х2 1 + X'

г'

Условия (2) выполнены. Уравнение Р(х, у) = 0 определяет две кривые: При этом кривая

Ь2 не являются непрерывной и не проходит через начало координат. Показано, что решение х — у = 0 системы не является устойчивым в целом.

В §4 в случае (4) доказаны следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (2) и

Тогда в случае (4) для асимптотической устойчивости в целом решения х = у — 0 системы (1) достаточно, чтобы хотя бы при

М ^ ^ > 0 выполнялось условие

Пример 5. Рассмотрим систему

(11)

Условия (2) и (9) выполнены. Для системы (11) при |у| > ¿>0

Следовательно, для нее выполнены все условия теоремы 3 и потому нулевое решение этой системы асимптотически устойчиво в целом.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (2), (9) и существуют числа r > 0, d > 0 такие, что

Hih4 - h2h3 < г (hihi - h2h) (12)

при |х| > d. Тогда в случае (4) для асимптотической устойчивости в целом решения х = у — 0 системы (1) достаточно, чтобы выполнялось условие

(13)

Пример 6. Рассмотрим систему

dx х ,„ . dy

Для этой системы выполнены все условия теоремы 4, т.е. решение х — у — 0 этой системы асимптотически устойчиво в целом.

Отмстим, что к данной системе теорема 3 не применима, ибо условие (10) этой теоремы не выполняется.

Теорема 5. Пусть выполнены условия (2), (9),

(14)

и существуют числа г > 0, /Л > 0 такие, что неравенство (12) имеет место при |у| > й. Тогда в случае с1 > 0 для асимптотической устойчивости в целом решения х — у = 0 системы (1) достаточно, чтобы выполнялось условие (13).

Пример 7. Рассмотрим систему (И).

Все условия теоремы 5 выполнены, и потому нулевое решение системы асимптотически устойчиво в целом.

В данном случае георема 4 не применима, ибо условие (12) при этой теоремы не выполняется.

Теорема 6. Пусть выполнены условия (2) и существуют числа г > 0, ё > 0 такие, что при |х| > й выполняется условие (8). Тогда в случае (4) для асимптотической устойчивости в целом решения х = у — 0 системы (1) необходимо, чтобы выполнялось одно из условий (10) и (13).

Пример 8. Рассмотрим систему

В этом случае с1 — 1, условия (2), (8) выполнены, а условия (10), (13) теоремы 6 не выполняются. Следовательно, решение х = у — 0 системы не является устойчивым в целом. В доказаны следующие теоремы.

При с4 > 0 рассмотрен более частный случай

Нх (а;) > 0.

Теорема 7. Пусть выполнены условия (2) и (9). Тогда в случае (15) для асимптотической устойчивости в целом решения х = у = 0 системы (1) достаточно, чтобы хотя бы при \у\ > 5 > 0 выполнялось условие (10).

Теорема 8. Пусть выполнены условия (2), (9) и существуют числа г > 0, ( > 0 такие, что при |х| > ё. выполняется условие (12). Тогда в случае (15) для асимптотической устойчивости в целом решения х = у = 0 системы (1) достаточно, чтобы выполнялось условие (13).

Теорема 9. Пусть выполнены условия (2) и существуют числа г > 0, ( > 0 такие, что при ¡а;| > (I выполняется условие (8). Тогда в случае (15) для асимптотической устойчивости в целом решения х = у = 0 системы (1) необходимо, чтобы выполнялось одно из условий (10) и (13).

Третья глава посвящена построению области притяжения состояния равновесия системы (1) в первом случае.

В §6 дается постановка задачи.

Предположим, что нарушаются оба условия (6) и (7) теоремы 2. Тогда асимптотической устойчивости в целом не будет, и возникает проблема построения области притяжения состояния равновесия системы (1). Конфигурация этой области существенно зависит от того, каким образом нарушаются условия (6) и (7). Возможны три случая нарушения этих условий:

I. Условия (6) и (7) выполняются при х < 0 и не выполняются при х > 0, т.е.

+00

(16)

(18) (19)

II. Условия (6) и (7) выполняются при х > 0 и не выполняются при х < 0.

III. Условия (6) и (7) не выполняются как при х < О, так и при х > 0, т.е.

(20)

(21)

Далее в каждом из случаев строится область притяжения состояния равновесия. Вид этих областей зависит от свойств функций, входящих в правую часть системы уравнений.

В §7 в случае I изучается поведение сепаратрисной кривой, ограничивающей область притяжения состояния равновесия, в I координатной четверти и кривой, обладающей некоторым свойством, в IV четверти. Справедлива следующая теорема:

Теорема 10. Предположим, что выполняются все условия теоремы 2, за исключением (6), (7). которые нарушаются при Тогда для дифференциального уравнения

(22)

1) существует сепаратрисное решение у = уЦх). лежащее в первой четверти выше кривой L, и такое, что lim у^(х) =

const ^ Kl ;

2) существует решение у — у4(х), лежащее в четвертой четверти, и такое, что lim у±(х) = где Кг — фиксированные по-

г-f+oo

стоянные.

Далее из условия (17) следует, что возможны два подслучая

Теорема 11. Если выполнены условия теоремы 10 и условие (23), а также траектория у — у (х) не пересекает кривую L, то решение (22) стремится при t —> +оо к (0,0) тогда и только тогда, когда (х0,у0) 6 Gi = {{х,у) : -оо <х < +оо, у < yi(x)}. Теорема 12. Если выполнены условия теоремы 10 и условие

(23), а также траектория у = у1(х) пересекает кривую L, то решение (22) стремится при t —> +оо к (0,0) тогда и только тогда, когда (хо,уо) € G2, где G2 - область, ограниченная траекторией

Теорема 13. Если выполнены условия теоремы 10, условие

(24) и |у10| < у/Щ, то решение (22) стремится при С —> +ос к (0,0) тогда и только тогда, когда (^о, г/о) £ G3, где G,, - область, лежащая ниже траектории у = у1 (х).

В §8 рассмотрен случай II. Относительно свойств траекторий в левой полуплоскости (х < 0) справедливы утверждения, аналогичные теореме 10. Картина расположения областей устойчивости отличается от соответ-

ственно лишь поворотом на 180° вокруг начала координат.

Справедливы утверждения, аналогичные теоремам 11-13, при замене переменных х = —х и у = —у.

В §9 рассмотрен случай III, когда выполняются условия (20), (21;. '

Теорема 14. Предположим, что выполняются все условия теоремы 2, за исключением (6), (7). Тогда для дифференциального уравнения (22) существуют

1) сепаратрисное решение у = у^{х), у~(Щ ~ Ук, > 0 :

2) решение у = % (я). % (0) = у2о > ü : lim у^(х) — 2

3) сепаратрисное решение у = у£(х), = у30 < 0 : lim Уъ(т) — const < —Ki,

.Г->+00 '

4) решение у = уА (ж). = у40 < 0 : ^lim^y4"(2;) = -2К3.

В зависимости от расположения точек ую, у'¿о, у за, ущ на оси ординат получаем различные конфигурации областей притяжения системы (1) для случая III.

Работы автора по теме диссертации:

[1] Иванова М.А. К устойчивости в целом нулевого решения одной автономной системы второго порядка // Лаврентьев-ские чтения Республики Саха (Якутия): Тезисы докладов. -Якутск, 2000. С. 19-21.

[2] Егоров И. Г., Иванова М. А. К устойчивости в целом нулевого решения одной автономной системы второго порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, вып. 2.С. 23-33.

[3] Егоров И.Г., Иванова М.А. К устойчивости в целом нулевого решения одной автономной системы второго порядка. 2 // Мат. заметки ЯГУ. 2001. Т. 8, вып. 1. С. 15-26.

[4] Егоров И.Г.. Иванова М.А К устойчивости в целом нулевого решения одной автономной системы второго порядка. 1 // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 1. С. 24-32.

[5] Иванова М А К устойчивости в целом нулевого решения одной автономной системы второго порядка // Материалы ХЬ международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика / НГУ. Новосибирск, 2002. С. 42-43.

[6] Иванова М.А. Построение области притяжения // Тезисы докладов республиканской научно-практической конференции "Математика. Информатика. Образование"/ Изд. УН-ПО МНиПО РС(Я). Якутск, 2002. С. 7-8

[7] Иванова МА Построение области притяжения для одной системы автоматического регулирования // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 1. С. 18-40.

Подп. к печ. 14.03.2005. Формат 60x84/16. Печ.л. 1,0. Тир. 100 экз.

Отпечатано в ООО РИЦ "Офсет" г. Якутск, ул. Билибина, 10А.

г ? ^ /00:

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Иванова, Мария Анатольевна

Введение

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ

§ 1. Устойчивость в целом

§ 2. Методы построения областей притяжения

ГЛАВА 2. УСТОЙЧИВОСТЬ В ЦЕЛОМ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§3. Неположительность обеих слагаемых h\{y) < 0, h^{x) <

§4. Положительность первого слагаемого h\(y)

§ 5. Положительность второго слагаемого h^{x)

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО

РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 6. Постановка задачи

§ 7. Построение области притяжения в первом случае.

§8. Построение области притяжения во втором случае.

§ 9. Общин случай

Введение диссертация по математике, на тему "Асимптотическое поведение решений одной системы двух дифференциальных уравнений"

Диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения решений одной системы из двух дифференциальных уравнений dx dv = 1ц(у)х + 1г2(х)у = Р{:г, у), = fz(x) + h4(x)y. (1)

Всюду в работе предполагается, что функции, входящие в правую часть системы (1), непрерывны при всех значениях своих аргументов, /з(0) = 0, Ji2(x) > 0 при всех х, и выполнены обобщенные условия Рауза-Гурвица:

Л, (/у) + h4(x) < О, - h2(x)h3(x) > 0, ху ф 0, (2) где h3(x) = я ф 0.

Актуальность. В диссертационной работе рассматриваются вопросы устойчивости движения.

Проблемы устойчивости возникли впервые в механике при изучении состояния равновесия. Основы теории устойчивости движения разработаны в конце XIX века А.М.Ляпуновым [67]. Впоследствии теория развивалась в трудах Е.А.Барбашина [6]-[12], И.Г.Малкнна, Н.Г.Четаева и других.

Теория устойчивости движения занимается исследованием влияния возмущающих факторов на движение материальной системы. Под такими факторами понимаются силы, не учитываемые при описании движения, вследствие их малости, по сравнению с основными силами. Они обычно малы и действуют мгновенно, что сводится к малому изменению начального состояния системы, т.е. начальных координат движе--шш-п скоростей, называемых начальными возмущениями движений.

Для практики важно не только выяснить, является ли движение асимптотически устойчивым, но и определить область дополнительных начальных возмущений. Этим вопросом Ляпунов не занимался, но разработанные им методы дают возможность решать и эту задачу. Начиная с 50-х годов XX века, большое число работ было связано с оценкой области возмущения. Такие задачи рассматривались, например, в работах Н.П.Еругина [30]-[37], И.Г.Малкина [68], В.А.Плисса [86] и других авторов.

Современные методы исследования вопроса устойчивости в целом нулевого решения нелинейной системы второго порядка, основой которых является метод Ляпунова, были разработаны в работах Н.П.Еругина [30]-[37], И.Г.Малкина [68], Н.Н.Красовского [54]-[57], Ю.Н.Бнби-кова [14], И.Г.Егорова [29], В.К.Поливенко [87] и других.

Ряд первых результатов, связанных с построением области асимптотической устойчивости, был получен при решении задачи об абсолютной устойчивости [1]. Первое фундаментальное исследование этой задачи для системы из двух уравнений было приведено Н.П.Еругиным [30] в 1950 году. После того как Н.П.Еругин и Н.Н.Красовский дополнили исследование задачи об абсолютной устойчивости на плоскости, ученик Еругнна В.А.Плнсс [8G] рассмотрел оставшийся неизученным особый случай этой задачи, когда область устойчивости оказывается ограниченной, и дал способ построения этой области; он же изучил случай трех уравнений.

Таким образом, в середине 50-х годов усилиями ряда исследователей была создана основная часть теоретического фундамента для решения задачи построения области притяжения. Были установлены: инвариантность множества всех точек границы области притяжения (Н.П.Еругин [32]), эквивалентность множества всех точек области притяжения некоторой выпрямляемой системе (Е.А.Барбашин [7]), существование во всей области асимптотической устойчивости функций Ляпунова (Е.А.Барбашин [7], Ж.Л.Массера [105], В.И.Зубов [42].

Наиболее полные исследования выполнил В.И.Зубов [42]-[44] при помощи созданного им метода, центральное место в котором занимает теорема о необходимых и достаточных условиях того, что заданное открытое инвариантное множество динамической системы, расположенной в произвольном метрическом пространстве, является областью прнтяжения асимптотически устойчивого по Ляпунову замкнутого инвариантного множества этой системы.

Вопрос об устойчивости в целом нулевого решення системы из двух дифференциальных уравнений, нсследованной в диссертации, также был изучен И.Г.Егоровым [29] (1998). В частном случае, при h\{y) = = О, Г.С.Кречетовым [59] (1985) решен этот вопрос и описаны конфигурации областей устойчивости (когда устойчивости в целом нет), построены оценки границ этих областей. Эти же задачи были решены Г.С.Кречетовым [61, G2](1992), когда функция h\ зависит от х. Для такой системы, т.е. когда в системе (1) h\ зависит от х, Гу Чао-Хао [25] (1954) получил достаточные условия асимптотической устойчивости в целом нулевого решення.

1) Исследование нулевого решения системы на устойчивость в целом.

2) Построение области притяжения состояния равновесия, когда устойчивости в целом нет.

Научная новизна работы. Полностью решены задачи 1 и 2. Полученные результаты задачи 1 усиливают результаты работы [29], что подтверждается приведенными в работе примерами.

Задача построения областей притяжения данной системы ранее не решались. Полученные результаты задачи 2 являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут найти применение в многочисленных проблемах физики и механики, связанных с устойчивостью движения, и в теории автоматического регулирования, которые, в свою очередь, имеют большую практическую ценность.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и неоднократно обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Института математики и информатики Якутского государственного университета, на научном семинаре ''Дифференциальные уравнения с частными производными" (руководитель профессор И.Е.Егоров) научно-исследовательского института математики при ЯГУ; докладывались на XL международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, апрель 2002), на республиканской научно-практической конференции "Математика. Информатика. Образование", посвященный 25-летию математического факультета ЯГУ (Якутск, ноябрь 2002), на первых аспирантских чтениях (Якутск, февраль 2003), на Лаврен-тьевских чтениях Республики Саха (Якутск, апрель 2003), на семинаре "Некласснческие уравнения математической физики" (руководитель профессор А.И.Кожанов) Института математики СО РАН (Новосибирск, октябрь 2003), на семинаре профессора Ю.Н.Бибикова (Санкт

Петербург, апрель 2004).

Работа поддержана Федеральной целевой программой "Интеграция науки н высшего образования России за 2003 г." (№ з3404/2005) стажировкой в Институт математики СО РАН (Новосибирск), а также грантом для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов ВУЗ-ов МО РФ (№ А03-2.8-541), с помощью которого в 2004 г. осуществлена стажировка на математико-механнческом факультете СПбГУ (Санкт-Петербург).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в тезисах трех докладов [45, 46, 47] и четырех статьях [26, 27, 28, 48].

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Основные результаты, которые выносятся на защиту:

1. Для одной системы двух дифференциальных уравнений исследован вопрос устойчивости в целом нулевого решения.

2. Для этой же системы описаны конфигурации областей устойчивости (когда устойчивости в целом нет), построены оценки границ этих областей.

Рис. 2:

У, и

2КЪ + >■10

У = У\{х) О

Уп^Уи,

У = УзЮ 2Г3

Рис. 4:

2 К 2

У20 : = . о

У = Ух (*)

У = У 2<х)

30 740

Рис. 5:

У=Уз(-х)

У = УЛх)

Рис. 6:

Рис. 7:

Рис. 8:

Рис. 9:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения решений одной системы двух дифференциальных уравнений. Результаты диссертации могут найти применение в многочисленных проблемах теории механики, связанных с устойчивостью движения, и в теории автоматического регулирования, которые в свою очередь имеют большую практическую ценность.

Анализ результатов главы 2.

Во второй главе рассматривается вопрос об устойчивости в целом нулевого решения автономной нелинейной системы второго порядка, названной, по весьма условной классификации Кречетова, системой второго класса . Отметим работы выдающихся ученых Н.П.Еругина [30-37], В.А.Плисса [84, 85], посвященные этой теме. Современные методы исследования вопроса устойчивости в целом нулевого решения нелинейной системы второго порядка, основой которых является метод Ляпунова, были разработаны в работах Н.П.Еругина, И.Г.Малкина [69], Н.Н.Красовского [55-58], Ю.Н.Бибикова [14], И.Г.Егорова [29], В.К.Поливенко [86] и других.

Этот вопрос для данной системы решался в работе И.Г.Егорова [29] и в частном случае - Г.С.Кречетова [60], Гу Чао-Хао [25].

Получены достаточные условия асимптотической устойчивости в целом нулевого решения системы. Указаны случаи, когда эти условия становятся необходимыми. Тем самым, получены условия, при выполнении которых областью притяжения состояния равновесия системы является вся плоскость R2.

Аналнз результатов главы 3.

В третьей главе решается вопрос о построении области притяжения, когда необходимые условия устойчивости в целом не выполняются.

В настоящее время считается уже общепризнанным, что вычисление или оценка области притяжения является задачей значительно более нужной и трудной по сравнению с задачей установления самого факта устойчивости. В самом деле, каковы должны быть возмущения, чтобы в данной регулируемой системе процесс протекал нормально? Очевидно, чтобы ответить на этот вопрос для этого нужно знать величину области притяжения, которую без знания ее формы найти трудно.

Проблема нахождения области притяжения нелинейных динамических систем занимает важное место в теории управления и ее приложениях. Основным инструментом исследования этой проблемы является аппарат функций Ляпунова.

Настоящая работа, в которой также используется метод функции Ляпунова, близка к работе Г.С.Кречетова [62, 63].

Построены различные конфигурации областей притяжения данной системы автоматического регулирования.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Иванова, Мария Анатольевна, Якутск

1. Айзерман М.А. Об одной проблеме, касающейся устойчивости в большом динамических систем // Успехи мат. наук. 1949. Т. 4, № 4. С. 186-188.

2. Александров А.Ю. Об асимптотической устойчивости равновесия неавтономных систем // Прикл. мат. и мех. 1998. Т. 62, вып. 1. С. 35-40.

3. Альбрехт Ф. Замечания к теореме Важевского об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений // Бюлл. Польск. АН, Отд. 3. 1954. Т. 2, № 7. С. 319-322.

4. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова // Итоги науки и техники. Общая механика. 1975. Т. 2. С. 53-113.о. Атрашенок П.В. Некоторые вопросы теории устойчивости движения // Вестник ЛГУ. 1954. № 8. С. 79-106.

5. Барбашин Е.А. К теории обобщенных динамических систем // Уч. зап. МГУ. 1948. Вып. 135. С. 110-133.

6. Барбашин Е.А. Метод сечений в теории динамических систем // Мат. сборник. 1951. Т. 29 (71), № 2. С. 233-280.

7. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 224 с.р 9. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

8. Барбашнн Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. 1952. Т. 8G, № 3. С. 452-45G.

9. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. О существовании функции Ляпунова в случае асимптотической устойчивости в целом // Прикл. мат. н мех. 1954. Т. 18, вып. 3. С. 345-350.

10. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилин-ф дрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969.

11. Белюстина Л.Н. Об одном уравнении из теории электрических машин // Памяти А.А. Андронова. М.: Изд-во АН СССР, 1955. С. 173-186.

12. Бибиков Ю.Н. Об устойчивости в целом нулевого решения одной системы двух дифференциальных уравнений // Вестн. ЛГУ. 1961. № 19, вып. 4. С. 156-161.

13. Блинов А.П. К вопросу о построении функции Ляпунова // , Прикл. мат. и мех. 1985. Т. 49, вып. 5. С. 724-729.

14. Будак Б.М. Понятие движения в обобщенной динамической системе // Уч. зап. МГУ. 1952. Вып. 155. С. 174-194.

15. Булгаков Н. Г. Знакопостоянные функции в теории устойчивости. Мн.: Изд-во "Университетское", 1984. 80 с.

16. Булгаков Н. Г., Калитин Б.С. Обобщение теорем второго метода Ляпунова. I. Теория // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. н. 1978.• № 3. С. 32-36.

17. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функции Ляпунова. Киев.: Наук, думка, 1981. 412 с.

18. Веников В.А., Бамии Ю.С. Возможности, методология и перспективы исследований устойчивости электрических систем прямым методом А. М. Ляпунова. Электричество, 1972, jYj 12.

19. Веретенников В.Г., Зайцев В.В. Применение второго метода Ляпунова для оценок областей устойчивости и притяжения // Прикл. мат. и мех. 1984. Т. 48, вып. 5. С. 714-724.

20. Впкин А.В. Исследование устойчивости нулевого решения нелинейной системы // Изв. РАЕН. Дифф. уравн. 2000. № 3. С. 20-22.

21. Виноградов Н.Н. Методика построения областей устойчивости // Научн. докл. высш. школы. Физ-мат. н., 1958. № 3. С. 3G-39.

22. Виноградов Н.Н. Методика построения областей устойчивости // Труды Уральского политехи, ин-та. 1961. сб. 113. С. 26-34.

23. Гу Чао-Хао. Об устойчивости двух уравнений. Шусюэ сюэбао // Acta math, sinica. 1954. Т. 4, № 3. С. 355-357.

24. Егоров И.Г., Иванова М.А. К устойчивости в целом нулевого решения одной автономной системы второго порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, вып. 2. С. 23-33.

25. Егоров И.Г., Иванова М.А. К устойчивости в целом нулевого решения одной автономной системы второго порядка. 2 // Мат. заметки ЯГУ. 2001. Т. 8, вып. 1. С. 15-26.

26. Егоров И.Г., Иванова М.А. К устойчивости в целом нулевого решения одной автономной системы второго порядка. 1 // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 1. С. 24-32.

27. Егоров И.Г. Обобщенная проблема Айзермана для автономных систем второго порядка. М.: Наука. Фнзматлит, 1998. 208 с.

28. Еругин Н.П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом // Прнкл. мат. и мех. 1950. Т. 14, вып. 5. С. 459-512.

29. Еругин Н.П. Качественное исследование интегральных кривых системы дифференциальных уравнений // Прнкл. мат. н мех. 1950. Т. 14, вып. G. С. G59-G60.

30. Еругин Н.П. Некоторые общие вопросы теории устойчивости движения // Прикл. мат. и мех. 1951. Т. 15, вып. 2. С. 227-236.

31. Еругин Н.П. Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования // Прикл. мат. и мех. 1952. Т. 1G, вып. 5. С. 620-628.

32. Еругин Н.П. Качественные методы в теории устойчивости // Прнкл. мат. и мех. 1955. Т. 19, вып. 5. С. 599-61G.

33. Еругин Н.П. Методы решения вопросов устойчивости в большом // Труды 2-го Всесоюзн. совещ. по теории автомат, регулирования. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1955. Т. 1. С. 133-141.

34. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1972. 664 с.

35. Ерушн Н.П., Немыцкий В. В., Васильева А. Б. и др. // История отечественной математики, 1917-1967. Киев: Наукова думка, 1970. Т. 4, кн. 1.

36. Ершов Б.А. Об устойчивости в целом некоторой системы автоматического регулирования // Прнкл. мат. и мех. 1953. Т. 17, вып. 1. С. 61-72.

37. Ершов Б.А. Одна теорема об устойчивости движения в целом // Прнкл. мат. и мех. 1954. Т. 18, вып. 3. С. 381-383.

38. Железнов Е.И. Форма области притяжения положения равновесия одной асимптотически устойчивой системы // Труды Уральского политехнического института. 1961. Сб. 113. С. 26-34.

39. Жуков В.П. О достаточных и необходимых условиях асимптотической устойчивости нелинейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1994. № 3. С. 24-36.

40. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957. 241 с.

41. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высш. школа, 1973. 272 с.

42. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высш. школа, 1979. 400 с.

43. Иванова М.А. Построение области притяжения // Тезисы докладов республиканской научно-практической конференции "Математика. Информатика. Образование" / Изд. УНПО МНиПО РС(Я). Якутск, 2002. С. 7-8

44. Иванова М.А. Построение области притяжения для одной системы автоматического регулирования // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 1. С. 18-40.

45. Ильина Г.Л. Признаки асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами // Изв. РАЕН. Дифф. уравн. 2001. № 5. С. G5-G7.

46. Калитин Б.С., Третьякова Л.В. Оценка области притяжения методом Ляпунова // РАН СО. Иркут. ВЦ-Новосибирск. 1992. С. 210-215.

47. Каменецкпй В.А. Построение областей притяжения методом функций Ляпунова // Автоматика и телемеханика. 1994. № 6. С. 10-26.

48. Каменецкий В.А. Построение функций Ляпунова для оценки областей притяжения // Доклады АН (Россия). 1995. Т. 340, вып. 3. С. 305-307.

49. Комарова Г.Л., Леонов Г.А. Об оценке областей притяжения состояний равновесия динамических систем прямым методом Ляпунова // Прикл. мат. и мех. 1985. Т. 49, вып. б. С. 900-908.

50. Красовский Н. Н. Теоремы об устойчивости движений, определяемых системой двух уравнений // Прикл. мат. и мех. 1952. Т. 1G, вып. 5. С. 547-554.

51. Красовский Н.Н. Об одной задаче устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. 1953. Т. 88, № 3. С. 401-404.5G. Красовский Н. Н. Об устойчивости решений системы двух дифференциальных уравнений // Прикл. мат. и мех. 1953. Т. 17, вып. G. С. G51-G72.

52. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Фпзматгиз, 1959. 212 с.

53. Кречетов Г. С. Функцин Ляпунова для автономных систем второго порядка первого и второго классов // Днфференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 5. С. 772-778.

54. Кречетов Г.С. Устойчивость системы первого класса с нулевым первым диагональным коэффициентом // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 11. С. 1891-1898.

55. Кречетов Г.С. Об устойчивости в целом одной автономной системы второго порядка // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 8. С. 1325-1333.

56. Кречетов Г.С. Об асимптотических свойствах решений систем первого класса I // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 5. С. 760-764.

57. Кречетов Г.С. Об асимптотических свойствах решений систем первого класса II // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 6. С. 956-961.

58. Ла-Саль Дж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. 186 с.

59. Лето A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Гостехнздат, 1955. 312 с.

60. Лозгачев Г.И. Об одном способе построения функций Ляпунова // Автоматика и телемеханика. 1998. № 10. С. 18-23.

61. Лурье А.И., Постников В. Н. К теории устойчивости регулируемых систем // Прикл. мат. и мех. 1944. Т. 8, № 3. С. 246-248.

62. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950.

63. Малкнн И.Г. Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования // Прикл. мат. и мех. 1952. Т. 16, вып. 4. С. 620-628.

64. Математика в Петербургском-Ленинградском университете / Под ред. акад. Б.И. Смирнова. ЛГУ, 1970.

65. Матросов В.М. Метод векторных функции Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: МАИК "Наука / Интерпериодика". 2001. 380 с.

66. Монахов В.Н., Селезнев В.А. Динамические системы, определяющие квазиконформные отображения // Докл. РАН. 1992. Т. 322, № 5. С. 189-192.

67. Монахов В.Н., Селезнев В.А. О некоторых свойствах квазиконформных динамических систем в целом // Докл. РАН. 1992. Т. 324, № 1. С. 541-544.

68. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем. М.: Наука, 1972. 544 с.

69. Нелепнн Р.А. Об исследовании нелинейных автоматических систем методом сечений пространства параметров // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1964. № 6. С. 123-170.

70. Нелеиин Р.А. Об исследовании методом сечений пространства параметров одного класса систем управления // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1965. № 4. С. 126-133.

71. Нелепнн Р.А. Об исследовании нелинейных автоматических систем высокого порядка точными аналитическими методами // Докл. АН СССР. 1965. Т. 161, № 4. С. 771-774.

72. Нелепин Р.А. К вопросу о точной границе области абсолютной устойчивости регулируемых систем // Автоматика и телемеханика. 1967. № 4. С. 30-37.

73. Нелепин Р.А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. JL: Судостроение, 1967. 447 с.

74. Немыцкий В.В. Оценки области асимптотической устойчивости нелинейных систем // Докл. АН СССР. 1955. Т. 101, № 5. С. 79106.

75. Немыцкий В.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Математика в СССР за 40 лет, 1917-1957. М.: Фнзматгнз, 1959. Т. 1. 511 с.

76. Персидский К. П. Об одной теореме Ляпунова // Докл. АН СССР. 1937. Т. 14, № 9. С. 541-544.

77. Персидский К. П. К теории устойчивости интегралов систем дифференциальных уравнений // Изв. физ.-мат. о-ва при Казанском ун-те, 1936-1937. Т. 8. С. 47-85.

78. Петров Б.Н., Нелепин Р.А., Шамриков Б.М. Построение сепара-трисных поверхностей и областей устойчивости в фазовых пространствах нелинейных систем // Докл. АН СССР. 1970. Т. 491, № 3. С. 530-633.

79. Петровский Г.Н. О допустимых заменах времени // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 2. С. 265-270.

80. Поливенко В.К. Глобальное поведение решений систем дифференциальных уравнений на плоскости. Волгоград: Изд-во Волгогр. гос. ун-та, 1997. 233 с.

81. Румянцев В.В. Одна теорема об устойчивости движения // Прикл. мат. и мех. 1960. Т. 24, вып. 1. С. 47-54.

82. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений // Прикл. мат и мех. 1966. Т. 30, вып. 5. С. 922-933.

83. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1976. Т. 1. С. 7-66.

84. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 5. С. 739-776.

85. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 320 с.

86. Самойленко A.M. Изучение динамических систем с помощью знакопостоянных функций // Укр. мат. журн. 1972. Т. 24, № 3. С. 374-386.

87. Скачков Б. Н. Об устойчивости в целом одного класса нелинейных систем автоматического регулирования // Вестник ЛГУ. 1957. № 1. С. 46-56.

88. Сустнна H.JI. Об устойчивости под действием возмущений // Учен. зап. Ульян, гос. ун-та. Фундам. проблемы мат. и мех. 1996. № 1, ч. 2. С. 109-114.

89. Табуева В.А. К вопросу о форме области притяжения нулевого решения некоторого дифференциального уравнения 2-го порядка // Мат. сб. 1959. Т. 47, № 2. С. 209-220.

90. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

91. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965.

92. Шестаков А.А. Теория и приложения обобщенного прямого метода Ляпунова для абстрактных динамических систем (обзор современного состояния геометрического направления в прямом методе Ляпунова) // Днфференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 12. С. 20692097.

93. Якубович В. А. Условия устойчивости в целом для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений автоматического регулирования // Докл. АН СССР. 1960. Т. 135, № 1. С. 26-29.

94. Якубович В. А. Абсолютная устойчивость нелинейных систем в критических случаях. III // Автоматика и телемеханика. 1964. Т. 25, № 5. С. 601-612.

95. De Sarkar A.R., Dharma-Rao N. Zubov's method and transient stability problems of power systems // Proceedings the Institution of Electrical Engineers. 1971. vol. 118, N 8. P. 1035-1040.

96. Genesio R., Tartaglia M., Visino A. On the Estimation of Asymptotic Stability Regions: State of the Art and New Proposals // IEEE Trans. Autom. Contr. 1985. 30, N 8. P. 747-755.

97. Genesio R., Vicino A. Some results on asymptotic stability of the second-order non linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1984. 20, N 9. P. 857-861.

98. Massera J.Z. On Lapunoff's condution of stability // Annals of Matliem. 1949. vol. 50, N 3.

99. Mochizuki Т., Ezima T. The Liapunov function of power systems by Zubov's method // Bull. Kuishu Inst. Technolog. 1971. N 23. P. 35-42.

100. Mufti I.H. Stability in the Large of Systems of Two Equations // Arch. Rat. Mecli. and Analysis. 1961. V. 7, N 2. P. 119-134.

101. Popov V.M. Noi critterii cle stabilitate pontru sistemele automate neliniare // Acad. R.P.R. 1960. anul X, N 1.

102. Vanelli A., Vidyasagar M. Maximal Lyapunov Functions and Domains of Attractions for Autonomous Nonlinear Systems // Automatica. 1985. 21, N 1. P. 69-80.

103. Yu Y.N., Vongsuria K. Nonlinear Power System Stability. Study by Liapunov Function and Zubov's Method // IEEE Trans, on PAS. 1967. vol. 86, N 2, P. 1480-1485.