Асимптотическое решение уравнений электродинамики средних полей для модели тонкой сферической конвективной оболочки солнца тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Многие космические объекты (звезды, планеты, галактики и т.д.) обладают относительно сильными магнитными полями. Особый интерес представляет изучение магнитной активности Солнца, которая обладает рядом интересных свойств таких как, например, устойчивый 22-летний цикл. Магнитное поле Солнца на протяжении долгого времени исследуется наблюдательными методами. В результате наблюдений накопился большой объем информации октуре солнечного магнитного поля.

В настоящее время общепринято, что механизм, ответственный за генерацию космических магнитных полей раскрывается в рамках электродинамики средних полей (или теории динамо средних полей). Основы этой теории были заложены в работах Лармора, Паркера, Зельдовича, Казанцева, Штеенбека, Арнольда и других исследователей. В результате появились хорошо разработанные модели и методы исследования магнитных полей в турбулентно движущейся среде Земли, Солнца, звезд и галактик. В частности, Штеенбеком, Краузе и Рэдлером (1966) были получены уравнения генерации для среднего магнитного поля в турбулентно движущейся проводящей среде. В астрофизических задачах такой средой является межзвездная плазма, а также плазма конвективной зоны Солнца и звезд. Казанцевым (1968) были выведены уравнения для корреляционных функций.

Еще до вывода основных уравнений электродинамики средних полей, уравнения для магнитного поля в турбулентно движущейся среде в различных конкретных приложениях были исследованы рядом ученых. Так, Бабкоком (1961) и Лейтоном (1969) были рассмотрены феноменологические модели генерации магнитных полей на Солнце. Брагинским (1967) были построены модели генерации земного магнитного поля. Паркером (1955) была предложена теория, описывающая природу магнитных циклов. Зельдовичем (1957) было доказано, что турбулентное динамо представляет собой существенно трехмерное явление и дана иллюстрация самого процесса динамо, приводящего к генерации поля. Арнольд и др. (1981) связали идеи теории динамо с представлениями теории динамического хаоса. Уравнения электродинамики средних полей были всесторонне исследованы численно в работах Бранденбурга (1993, 1994), Мосса (1990) и других исследователей.

В уравнениях динамо фигурируют поля, усредненные по определенным образом выбранному пространственно-временному масштабу. Этот масштаб должен быть выбран с таким расчетом, чтобы все случайные колебания величин механической скорости среды, магнитного и электрического полей были усреднены, но в то же время была выявлена структура пространственного распределения этих величин внутри астрофизических объектов.

Для описания начальных стадий генерации магнитного поля используют линейное, или кинематическое приближение, в котором параметры среды считаются независящими от магнитного поля. Для последующих стадий следует рассматривать нелинейную модель динамо, поскольку магнитные поля велики и следует учитывать их обратное влияние на движение среды, т. е. на коэффициенты уравнений динамо.

Возникающие решения часто имеют осциллирующий характер, причем наблюдаются осцилляции во времени. Типичным примером такой магнитной активности являются солнечные циклы. Уже с семнадцатого века ведутся наблюдения солнечной активности, начало которых восходит к работам Галилея по систематизации наблюдений солнечных пятен. Позднее Маундером были построены временные широтные диаграммы солнечной активности, так называемые баттерфляй-диаграммы. Кратко резюмируя имеющиеся на сегодняшний день результаты наблюдений, можно утверждать, что на Солнце существуют две пары волн магнитной активности (в северном и южном солнечных полушариях). При этом, в каждом из полушарий одна из волн, называемая далее основной волной, распространяется от средних широт к экватору и имеет максимум на широте около 40°; другая, много более слабая волна, называемая далее полярной волной, распространяется примерно от 70° к полюсу. Следует также отметить то, что наблюдаемое на Солнце магнитное поле в основном дипольно. Это значит, что магнитное поле Солнца обладает определенной пространственной четностью (в смысле отражений относительно экватора) и при этом поля, возникающие в северном и южном полушариях антипараллель-ны. Что касается временной зависимости магнитного поля, то помимо четкого 22-летнего цикла (цикл Шваба) заметен также дополнительный цикл, имеющий период около 100 лет (так называемый цикл Глайсберга).

Указанные выше наблюдения укрепляют теоретические представления о природе циклов солнечной активности как о динамо-волнах. Впервые теоретическая модель динамо-волны была развита Паркером в 1955 году. Однако, феноменологическая модель Паркера не ставила целью объяснение многих важных свойств магнитной активности Солнца. Даже впоследствии полученные рядом авторов более детальные модели не позволили исчерпывающим образом объяснить такие явления, как поведение динамо-волны в приполярных областях Солнца, наблюдаемую пространственную четность магнитного поля Солнца, цикл Глайсберга.

В общем случае при решении задач по расчету магнитных полей в астрофизических объектах приходится иметь дело со сложной системой уравнений, не поддающейся аналитическому решению. Обычно применяемые при решении подобных задач численные методы не дают ответы на некоторые весьма важные вопросы о строении и природе магнитных полей. Это связано во-первых с тем, что в рамках численных расчетов трудно выделить слабые эффекты на фоне основных, во-вторых все численные модели опираются на конкретный вид коэффициентов уравнений электродинамики средних полей (поле скоростей, спиральность и т. д.), в то времяя кале эти коэффициенты являются неопределенными функциями для которых известны лишь некоторые общие свойства. Для исследования многих тонких вопросов должны применяться иные методы. Применение асимптотических разложений часто дает неплохие результаты, которые многое проясняют и согласуются с данными наблюдений.

Возможность получения аналитических решений уравнений для среднего магнитного поля связана с наличием в уравнениях динамо большого безразмерого параметра - так называемого динамо-числа До. Это безразмерное число характеризует интенсивность генерации среднего магнитного поля и аналогично числу Рейнольдса в гидродинамике. Упомянутые аналитические решения являются результатом асимптотических разложений решений уравнений динамо для случая |До| 1. Впервые подобное решение уравнений солнечного динамо было получено Кузаняном и Соколовым (1995). Ими была рассмотрена модель Паркера, в которой поле генерируется в тонком плоском слое. Было получено асимптотическое решение, соответствующее лидирующему собственному значению.

Для построения аналитических решений уравнений электродинамики средних полей существенным оказывается то обстоятельство, что эти уравнения являются формально аналогичными уравнению Шредингера в квантовой механике. Для реШения последнего уравнения был разработан богатый арсенал математических методов. Формальная схожесть уравнений динамо среднего поля и уравнения Шредингера позволяет применить ряд квантовомеханических методов (квазиклассичекое приближение или метод ВКБ, метод Цваана, метод функций Грина, методология задачи Лифшица и т. д.) для решения интересующих нас уравнений. Важно подчеркнуть, что в контексте гелиофизики упомянутые методы приобретают новые черты, не характерные для других областей их применения. Поэтому помимо нахождения аналитических решений уравнений электродинамики средних полей, представляется важным разработать обобщение указанных методов для решения уравнений средних полей.

Изложенные выше соображения обосновывают актуальность настоящего диссертационного исследования.

В основе диссертации лежит асимптотическое ВКБ-решение уравнений электродинамики средних полей в модели Паркера с учетом кривизны солнечной конвективной оболочки. Исследуется спектр уравнений в сферическом слое, соответствующий растущим во времени решениям. При этом помимо решения, соответствующего лидирующей моде (аналог основного состояния), исследуется вопрос о существовании дополнительных растущих мод (аналог возбужденных состояний). Выводятся уравнения на спектр, аналогичные условиям Бора-Зоммерфельда в квантовой механике.

Во второй части диссертации изучаются свойства пространственной четности солнечного магнитного поля. В основе этого исследования лежит предположение о том, что магнитное поле генерируется в различных солнечных полушариях практически независимо, в соответсвии с тем, что интенсивность источников генерации поля вблизи солнечного экватора практически равна нулю. При этом задача о генерации магнитного поля на Солнце становится формально аналогичной известной задаче Лифшица в квантовой механике (задача об одномерном движении частицы в симметричном потенциале, представляющем собой две потенциальные ямы, разделенные слабопроницаемым барьером). Адаптируя метод решения этой задачи к нашей проблеме, при учете слабого взаимодействия волн в приэкваториальной области, можно получить расщепление мод возбуждения магнитного поля на дипольный и квадрупольный подуровни. При этом оказывается, что для реалистичных динамо-чисел скорость временного роста дипольной моды больше, чем скорость роста квадруполь-ной моды, что является одним из возможных объяснений наблюдаемой на Солнце дипольной конфигурации поля. Кроме того, в результате исследования уравнений генерации в приэкваториальной области, появляется дополнительная относительно слабая волна, движущаяся от экватора (аналог подбарьерного прохождения в квантовой мехнике). Следы такой волны видны из наблюдений солнечой активности в конце минимума Маундера.

Наблюдения Макарова и Сиварамана (1983) показали, что в приполярной области по направлению к полюсу распространяется слабая волна магнитной активности. Заключительная часть диссертации посвящена исследованию поведения этой волны. Описание полярной волны основано на решении уравнений, полученных при разложении уравнений динамо вблизи полюса (т.е. по малому параметру |7г/2 — 0|). При этом удается описать эффект отражения полярной волны от полюса. Таким образом, помимо падающей на полюс волны возникает отраженная от полюса волна. Однако, эта дополнительная волна является крайне слабой и потому едва ли наблюдаема, исходя из современных возможностей наблюдений.

Целью диссертационного исследования является получение асимптотических решений ряда задач теории динамо средних полей о генерации магнитных полей на Солнце. А именно:

1) Получить асимптотические решения уравнений, описывающих генерацию среднего магнитного поля в тонкой сферической конвективной оболочке для неоднородной среды. и) Получить полный спектр уравнений Паркера для сферической оболочки.

111) Изучить свойства пространственной четности солнечного магнитного поля. Получить расщепление мод вобуждения крупномасштабного магнитного поля на дипольные и квадрупольные моды. гу) Изучить поведение динамо-волны в приполярной области.

Научная новизна. В диссертационном исследовании получены следующие результаты:

- Для случая тонкой сферической конвективной оболочки Солнца построено асимптотическое ВКБ-решение уравнений электродинамики средних полей в модели ска;-динамо для неоднородной среды. Вычислены точки поворота и поведение решения вблизи этих точек. Получено пространственное (широтное) распределение магнитного поля, генерируемого в конвективной зоне. Получен полный спектр возбуждения динамо-волн.

- Впервые удалось получить аналитическое решение проблемы четности магнитного поля Солнца. Получены дипольные и квадрупольные решения. Показано, что дипольное решение обладает большей скоростью роста, чем квадрупольное.

- Впервые корректно описано поведение динамо-волны в приполярной области. Количественно описан эффект отражения волны от полюса.

- Помимо описания основной и полярной волн, предсказывается существование двух дополнительных слабых волн - отраженной от полюса и зашедшей за экватор. Найдены глубины проникновения этих волн.

Научная и практическая ценность работы. Полученные решения задач теории динамо могут быть использованы для описания магнитных полей в астрофизических и других объектах.

Полученные результаты могут быть полезны при интерпретации данных многочисленных наблюдений регулярного магнитного поля на Солнце. Результаты можно использовать при описании и долгосрочном прогнозе солнечных циклов, для уточнения наблюдательных данных о внутреннем строении Солнца, при объяснении магнитной активности других звезд.

Результаты могут быть использованы в ИЗМИР АН, ГАИШ, ГАО РАН, ИКИ РАН и других научных учреждениях.

Апробация работы. Основные результаты, приводимые в диссертации, докладывались и обсуждались:

1. На семинаре кафедры Теоретической ядерной физики, МИФИ.

2. На семинарах Лаборатории электродинамики и магнитной гидродинамики (ЛЭМГ) НИВЦ МГУ.

3. На международной конференции "Stellar and Planetary Magnetoconvection", Модра, Словакия, 1997

4. На семинаре Института Ядерной Физики (Institut des Sciences Nuclearies), Гренобль, Франция, 1998

5. На международной конференции "Современные проблемы солнечной цикличности", ГАО РАН Пулково, Санкт-Петербург, 1997

6. На международной конференции "Новый цикл солнечной активности", ГАО РАН Пулково, Санкт-Петербург, 1998

7. На конференции "Научная сессия, МИФИ-99", МИФИ, Москва, 1999

8. На заседаниях 12-ой зимней школе по механике сплошных сред, Институт механики сплошных сред, Пермь, 1999

9. На Ломоносовских чтениях МГУ, апрель, 1999

10. На международной конференции "Крупномасштабная ор-ганзация солнечной активности", ГАО РАН Пулково, Санкт-Петербург, 1999

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ (включая труды конференций).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (50 наименований). В работе приводится 13 рисунков. Общий объем диссертации составляет 100 страниц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, сформулируем еще раз основные результаты, полученные в настоящем диссертационном исследовании:

- На примере линейной модели динамо Паркера для тонкой сферической конвективной зоны Солнца построено асимптотическое ВКБ решение, описывающие генерацию магнитного поля Солнца в рамках указанной модели. В результате сшивки решения в точках поворота по методу Цваана, получен полный спектр соответствующих уравнений. Рассчитан порог генерации магнитного поля. Получены критические динамо-числа, соответствующие различным модам возбуждения динамо-волны.

- Построена формальная математическая аналогия между уравнением электродинамики средних полей и уравнением Шредингера в квантовой механике. Исследован вопрос о возможности использования некоторых квантовомеханических математических методов для решения обобщенных уравнений Паркера. В частности показано, что для решения проблемы четности магнитного поля Солнца можно применять метод, аналогичный методу, который используется при решении задачи Лифшица в квантовой механике. Построено формальное обобщение этого метода. В результате решения получено расщепление собственных мод возбуждения солнечной динамо-волны на дипольные и квад-рупольные моды. Получено пространственное распределение поля для дипольной и квадрупольной конфигураций. Показано, что в рамках принятой модели дипольная мода обладает большей скоростью роста, чем квадрупольная.

- Предсказывается существование дополнительной слабой экваториальной динамо-волны, нарушающей закон полярности Хейла. Предлагается гипотеза, объясняющая происхождение дополнительного цикла магнитной активности Солнца (цикл Глайсберга).

- Изучается полярная область Солнца. Выводятся уравнения, описывающие диффузию магнитного поля в эту область из области генерации. Получено решение соответствующих уравнений. Показано, что магнитное поле в приполярной области представляется линейной комбинацией падающей на полюс и отраженной от полюса волн. Описан эффект отражения волны от полюса. Показано, что отражение волны магнитной активности сводится к резкому скачку фазы волны, но не сопровождается резкими изменениями амплитуды отраженной волны по сравнению с амплитудой падающей волны. Показало, что отраженная волна быстро (экспоненциально) затухает, распространяясь от полюса. Вычислен коэффициент затухания.

Автор диссертации глубоко признателен д. ф. - м. н. проф. Д.Д. Соколову за всестороннюю помощь и поддержку работы. Автор хочет выразить признательность своему научному руководителю д. ф. - м. н. проф. Н.Б. Нарожному за помощь и поддержку при работе над диссертацией. Автор благодарен академику A.M. Дыхне, советы которого помогли разрешить ряд существенных затруднений, возникших при исследовании проблемы симметрии магнитного поля Солнца, а также проф. Мишелю Буэнерду за внимание к исследованиям автора настоящей диссертации. Крайне полезными для автора оказались также дискуссии с K.M. Кузаняном.

1. В.И.Арнольд, Я.Б.Зельдович, А.А.Рузмайкин и Д.Д. Соколов Магнитное поле в стационарном течении с растяжениями в римановом пространстве, ЖЭТФ, 81, N 6(12), 2052-2058, 1981.

2. Бабкок, 1961 Babcock, Н. W., "Те topology of the Sun's magnetic field and the 22-year cicle", Astrophys. J. 133, 572—587, 1961.

3. А. Бассом, В. M. Галицкий, К. М. Кузанян, Д. Д. Соколов и А. Совард, "Asymptotic theory of dynamo waves in Parker Approximation", Конф.: Крупномасштабная организация сонечной активности, ГАО РАН Пулково, СПб 1999, 16

4. Бассом и др., 1999 Bassom, А. P., Kuzanyan, К. М. and Soward, А. М.: "A nonlinear dynamo wave riding on a spatially varying background." Proc. R. Soc. Lond. A, 455, 1443—1481, 1999.

5. Брагинский, С. И., Магнитные волны в земной коре, Геомагн. и Аэрон. 7, 851—859, 1967.

6. Бранденбург и др., 1993 Brandenburg, A., Donner, K.J., Moss, D., Shukurov, A., SokolofF, D., and Tuominen, I. Vertical magnetic fields above the discs of spiral galaxies // Astron. Astrophys. - 1993. - Vol. 271 - pp. 36 - 50.

7. Бранденбург, 1994 Brandenburg, A., 1994 Solar dynamos:computational background. In Lectures on Solar and planetary dynamos (ed. M. R. E. Proctor & A. D. Gilbert), pp. 117—159. Cambride University Press.

8. Браун и Морроу, 1987 Brown, Т.М. and Morrow, С.А.

9. Three-dimensional model for generation of the mean solar magnetic field // Astron. Nachrichten. 1985. - Vol. 306 - pp. 177 - 186.

10. Ландау, Л.Д. и Лифшиц, Е.М. Квантовал механика,

11. Макаров и Сивараман, 1983 Makarov, V.I. and Sivaraman,

12. K.R. Poleward Migration of the Magnetic Neutral Line and

13. Reversals of the Polar Fields on the Sun // Solar Phys.1983. Vol. 85 - pp. 215 - 226. Маслов, В.П. Теория возмущений и асимптотические методы.- М.: Изд. МГУ, 1965. 549 с.

14. Маслов, В.П. и Федорюк, М.В. Квазиклассическоеприближение для уравнений квантовой механики. М.:1. Наука, 1976. 296 с.

15. Менье и др., 1997 Meunier, N., Proctor, М. R. Е., Sokoloff, D.

16. D., Soward, А. М. and Tobias, S. М., "Asymptotic propertiesof a nonlinear ao>-dynamo wave: period, amplitude andlatitude dependence." Geophys. Astrophys. Fluid Dynam., 86,249—285 (1997).

17. Мосс и др., 1990 Moss, D., Tuominen, I. and Brandenburg, A.1990 Buoyancy-limited thin shell dynamos. Astron. Astrophys.240, 142—149.

18. Паркер, 1955 Parker, E.N. Hydromagnetic Dynamo Models //

19. Риб и Нем-Риб, 1993 Ribes, J. С. and Nesme-Ribes, E., "The Solar Sunspot Cycle in The Maunder Minimum from AD1645to AD1715", Astron. Astrophys., 549 — 554, (1993).

20. Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д., Шукуров A.M. Магнитные полягалактик Москва: Наука, 1988. - 278 с.

21. Соколов и Нем-Риб, 1994 Sokoloff, D. D. and Nesme-Ribes, Е., "The Maunder Minimum, a Mixed-parity Dynamo Mode?", Astron. Astrophys., 288, 293 — 298 (1994)

22. Старченко и Коно, 1995 Starchenko, S.V. and Kono, M. A

23. Comparison of Numerical and Asymptotic MEGA Solutions of the <m>-Dynamo Problem // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. -1995 Vol. 79 - pp. 222 - 233.

24. Скоу и др., 1998 Schou, J., (and 20 others), Astrophys. J. 505, 390—415, 1998

25. Стикс, 1989 Stix, M., The Sun: An Introduction, Springer, Berlin, 1989

26. Ховард и др., 1991 Howard, R.F., Kichatinov, L.L., Bogart, R.S. and Ribes, E.: 1991, in A.N. Cox, W.C. Liningston and M.S. Matheus (eds.), "Large-scale velocity fields", Solar Interior and Atmosphere, The University of Arizona, p. 748.

27. Шмитт и др., 1984 Schmitt, J.H., Rosner, R. and Bohn, H.U.: 1984, Astrophys. J. 282, 316.

28. Штеенбек и др., 1966 Steenbeck, M., Krause, F. and Rädler, K.-H., "Berechnung der mittlerer Lorentz-FeldStärke für ein elektrisch leitendes Medium in turbulenter, durch Coriolis-Kräfte beeinflusster Bewegung", Z. Naturforsch. 21, 369—376 (1966).

29. Штеенбек и др., 1968 Steenbeck, M., Kirko, I.M., Galitis, А., Klawina, А.P., Krause, F., Laumanis, I.J., Lielausis, O.A.: 1968, Dokl. Akad. Nauk 180, 326.