Асимптотичнi властивостi екстремальних точок та iх застосування тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

КИТВСЬКИП УШВЕРСИТЕТ 1МЕН1 ТАРАСА ШПВЧЕИКА

РГ6 о л

На правах рукопису СЕЙЛХАМЕР Линз Володимиршна

АСИМПТОТИЧШ ВЛАСТИВОСТ1 ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ТОЧОК ТА !Х ЗАСТОСУВАННЯ

01.01.09 — математична кибернетика

Автореферат

дисертацп на здобуття паукового ступеия кандидата фкэико-математичпих наук

К И ? В — 1993

КНТВСЬКИЙ УШВЕРСИТЕТ 1МЕН1 ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

На правах рукопису СЕЙЛХАМЕР Анна Володимир1вна

АСИМПТОТИЧН1 ВЛАСТИВОСТ1 ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ТОЧОК ТА ТХ 3АСТОСУВАННЯ

01.01.09 — математична >абернетика

А вторефе ра т

дисертацм на здобуття паукового ступеня кандидата фЬико-матсматичних наук

К И! В — 1993

Робота виконана на кафедр1 моделювання складних систем Ки1'вського ушверситету 1мен1 Тараса Шопчиися.

Науковий кер1Еник - доктор ф1зико-математичних наук, професор НАКОНЕЧНИИ О.Г.

0ф1Щйн1 опоненти - доктор ф1зико-математичних наук,

професор КНОПОВ П.С.

доктор ф!зико-математичних наук, професор К03АЧЕНК0 Ю.В.

Пров!дна установа -Институт прикладно!' математики 1

механ!ки АН Укра1ни, м.Донецьк

Захист вхдбудеться ' 14 ' 1993 р. о

на зас!данн1 спец1ал1зованог ради Д 068.18.16 при Ки!в-ському ун!верситет1 1мвн1 Тараса Шевченка за адресою 252127, м.Ки'1'в - 127, проспект Академ1ка Глушкова, 6, факультет к1бернетики, ауд.

3 дисертац1ею можна ознайомитися в б!бл1отец1 Кювського ун1верситету 1мен1 Тараса Шевченка.

Автореферат роз 1 с ланий ' ■' лисТСпад^ 1993 р.

Вчений секретар спец1ал!зовано1 ради

КУЗЬМШ А.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТУ!

Актуальн1сть тешь Р1зн1 пройлеми, що вшпшають в задачах оптимального керування об*ектами в умовах стохпспнштх збуропь,' ощдавания нев1домих аарамотр{в по спостерезконнях на трактор ¿ях складнях систем, та зэд'йчр.х стохастичноУ оптишзацп приводять до загалыю! модами:

знайти QeRr ,, таке, що м!н1м1зуе значения доякого шпгадкового поля

Рп(9) . Дв п як правило показуе к!льк!сть спостережвнь ( позначкмо

через ■ ;

{9> = arg inf F (0) (1)

■ о

множину ТОЧОК MiHiMyMy )..','

До uiei моделi зводиться класична задача оптиШззцИ :

знайти'

. . 90=агб.1п/-ЕГ(в,|) ■■-."•.- (2)

но спостэрекеннях а також задача пошуку оцпши

летоду наименьших квадрат i в ( МШ-оц1нки) для моде л i спостврежень

V<P(0o*xk) v W • (3)

да xk - двяка мокливо стохастична посл1довн!сть, 5к(/) - винадковий шум.

Зауваяимо, що для модел! (2) поле Уг(б) мае вигляд .для модел i (3) ' '

Досд1Дженна асимптотачних Еластквоетей оцШск в модел) (2)

присвячен! робота Р.Ветса, Ю.ермольева, 1.Дупачево1, Г.Сал!нетт1, Г.Флюга, А.К1нга, П.Кнопова та 1шшх авторов.

В цих роботах в умовах незалежност! вим1рювань С, •■ДГ1 вивчалися УМОВИ Зб!жНОСТ! ПО ЙМОВ1рНОСТ1 6п до 0Q , я тпкож 1101юд1нв в1дхилення еп-60.

Асимптотичн1.властивост! МНК-оц!нок вивчалидя в монограф!ях

А.Я.Дороговцева, М.М.Леоненко i О.ВЛванова та В.Л.Праказа Pao.

Ця проблема tícho пов'язана також 1з властивостями м!н1максних оц1нок

1до вивчалися в роботах Б.Н.Бубл!ка, 0.Г.Наконечного, В.Покотило í

асимптотичними властивостями оц1нок максимально! правдопод!бност!, як

найб1льш повно досл!джен! в монографп I.А.10раг1мова

Р.3.Хасьм1нського.

В робот! вивчаеться загальна модель (1), що об'еднуе модел! (2)1(3).'!

дозволяв такок вивчати ситуац!i залежних спостережень. В так1й загалып

постановц1 модель розглядаеться вперше.

Розглядаеться також зовс!м нова модель: досл1дити повед1нку багато-

значного або множинного процесу

lQ(t)Uarginf?(Q,t), (4)

" е

де Pn(6,t) -випадкове поле , 9€Rr,7 > 0. Ця модель дач змогу вивчати властивост! траекторН множини (tín(t)> як процесу у 'час1 виникае в тих задачах, коли проведено ,íntl ; спостережень (або вс проводяться в точках k/n на пром!жку 10,ti ), i нам треба досл!доти вл тивост! екстремальних точок як функцШ t .

Мета робота. Доел! дити асимптотичн i (при п-со ) властивост! посл!довност! (8п> в модел! (1) 1 множинного процесу {Qn(tH в моде/ (4). За умов зб!жност! поля F (6) (або Г (G,t ) до граничного поля F_(6

п . . п . О

(або F0(6,t)) довести зб1жШсть посл!довност1. (6п) до б0 (або процесу Í6n(t)} до e0(t))f де . .

eo--arg Inf Р0(в),

9

0o(t)barg(n/ P0(9,t), а також доел¡дата зб1жн!сть поелровностей vn(en~90) i Vn(0n(t)-9Q{t)) до граничного розшшлз 1 процепу в1дпов1дно, де

Методика досл!дження. В робот! вшсористсвувться метода мзтематич-ного анал!зу, теорП функц!й, методи теорГ! шшадкових liponeciB i асимп-тотичш методи.

При досл1джетй поводтси вгдтлоиня прононусться нова матодака, яка . базуеться на вивченн! асимптэтично! поведшей випа.цкового поля

■ V8>=Vn (W* "bFn(0o)) (5)

n

або

n

Наукова нов!зна. В роботi резглянута узагэльнена модель стохастйчно! оптим1зац11 (I), що об'едауе. модел! (2) 1 (3), 1 вперше розглянута модель (4).

Введен! HOBi поняття. зб!зкност1. по ймов!рност1 1 слабко! для поелiдо-BHocTi випадкоких множин, а також U -зб1жн1ст! 1 J2 -зб!жн!ст! для миожинних процес!в ( ио е аналогами U i ,Тг -збтжностями Скороходу для звичайгаге функций).

Одержан! загальн! умови збхжност! послхдовност! {9п) до 9Q i умови И 1 </2 -Зб!КН0СТ! посл1дорност! множшптих npoueciB {6 (t)) до 90(t).

Одержан! загальн!. умови зб!кност! посл!довност! vn(9n_90),

посл!довяост1 npoueciB V (9 (t)--90(t)), до 0^9^(1)) - деяка иосл!дови!сть точок локального м!ншуму поля ? (9) (F (в.t))

. Fi П

Ro точки мхшмума грччичного поля А0(:-•) ( в1дпов!дао AQ(a,t)) (дав. (5). (6)).

На баз1 них загальних результат!в дослужен! асимптотичн! властивост1 поол1довностей {9п> Г {(г)) для моделх стохастично! оптим1заш1' (2) 1 для модел! пошуку МНК-оц1нки (3) з незалекними або марк1вськими похибками Для модел! (3) розглянуто також однор!дний та неоднор!дний випадки.

Практична ц1нн1сть. Робота виконана у В1дпов1дност1 з планом наукових досл!джень кафедри моделювання складних систем факультету к!бернетики КиКвського ун1верситету.

Результати роботи були використан! у наукових зв1тах по бюджетних темах "Статистичний анализ еволюц1йних систем та моделей мережевих структур" 1 "Розробка ¡нтелектуально! обчислювально! системи керуяання нел1шйшми об'екзгами." (по програм! 6.4.1. Фонду прикладних досл!дж'онь Госком1тоту Укради по науц! 1 технолог!ям.

Результати роботи можуть бути застосован! в теорП оптимального керування , задачах стохастичного програмуЕшшя та задачах статистики випадкових процес!в.

Апробац1я роботи. Результати дисертацП допов!дались 1 обговорювались на таких конференц!ях та сем1нарах: Б1лоруська школа-семшар по теорП масового обслуговування: "Сети-связи и сети ЭВМ. Анализ и применение." (м.Брест,1992 р.), "Математические методы исследования систем и сетей массового обслуживания"(м.Шнськ,1993 р.), на 6-Ш Шжнародн1й В1льныськ1й конференцП по теорИ ймов1рностей • та . математичн1й .статистиц! (1993 р.), наукових сем1нарах кафедри моделювання складних систем та прикладно! статистики Кигвського ун1верситету. . Публ1кацП. По тем! дисертацП опубл1ковано 3 роботи Годна знаходиться у друку .

Структура та обсяг роботи. Робота складаеться з вступу, трьох розд1л1в та списку л!тератури. Обсяг роботи стор!нок.

3MICT РОБОТИ

У вступ! даеться короткий огляд результата, иов'язаних з тематикою эботм. Обгрунтовзна эктуалыпсть проведених досл!джень, i'x зв'язок. гисло викладвно основи! результата.

Глава I приовячена вивченню асимптотичних властивоотей екптремаль-IX точок загальних випадкових пол1в.

5 1.1 носить допом!:кний характер. В ньому наводяться тобх!дн! для здальшого результата про р!зн! ти:ги зб!жност1 випадкових працес!в та эл!в.'

§ 1.2 присвячений вивчатт асимптотичних влэсивостей екстремалыгах зчок випадкових пол!в.

г

Нехай при кожному п = 1,,?,... f (в), 0 f 0 с R -нииадкоья. >лв !з значениями в /?, О - обможона замкнута множима, эииустимо, що функц!я Fn(Q) обмежена знизу при кожному п в 5ласт! 6. ■

Розглянемо спочатку нипадок, коли поле F (в) при кожному п

шерервно по 0. Погшачимо

f 0n} = arg Inf F (Q) ( nJ

| означав множину bcix тих 0, на нких лосягасться "шф'шум

жкцП f Г9;. Mae.Micue Теорема 2.1. Нехай виконзн! oni,nyio4i умови:

. Генуе детерм]нована функция F0(ÖJ, 0 е 9 така,

р

№ для будь якого 0 е 9 при п-оо рп!9) -> F0f9J;

1. Для будь якого е>о

Ilm Ilm f( à (с,F (• ),б)) > е }

C-»+0 n-'cc

3. Ьиконуеться умова Ыдокремлювзнност!: 1снус така точка

eQ е е, що W < f0(Q) при е / е0. Т0Д1 при п-со

{ 6п} 60 <?>

(0о- точка строгого мннмума функц! ï f'0iöJ, а функщя FQ(в) при умо-вах 1 та 2 буде шпорерыюю).

Тут Axi(c,Fn( ■ ),в) иозначае модуль ногарервност! функцП i'Q(6) на множит е.тобго

' л

hjc,vn(' ),Q)--3up i IFie, )-V(02)|: 19,-6^1 < с, е^св), а сшвв^дноыення (7) означав , що

р(в0,{вп)) --—О, де р(а,Л)=а»р \а-х\, |а|--норма в просторi Rr.

xÇA

При доведший ьпкористовусться метод Скорохода одного ймовхрносшого простору.

Дал; результат теорзми продовжуеться на випадок, коли поля можуть бути розрлвними, а гранична.поле FQ(d) - шшадковим.

Через Д(6) нозначммо простip функцШ на 0, ЯК1 мають оШдуючу властны сть: кота функция мае не б!лш чим злiчену к1льк1сть точок розриву та обмекена на в.

Поэначимо через F(Q) - нижне замикання функцп' F(Q), а саме •

Pi В,) - lim F( о'.) е'—в

( якщо FiÔJ - випадкоеа то замикання визначаеться для koâhoï peajiiaauiï F(9,w))-

О

Нехай тепер Рп(в), в е 9 - посл1довн1сть функцтй з &(9). Вводемо поняття 1п/-з01жност1 випадкових пол!в. Позначимо

эез Д^а^ р(1),1=1,г | прямокутник в ¡Г виду:

,[а<1>

= •[ 9 : а(1)- « (3го, иТ~г }.

шчення 2.4. Посл1довн1сть випадкових функц1й *-зб!гаеться до вшадково! функцП . 9 € 9, ягацо:

ск1нченновим1рн1 розпод!ли ?п(в) слабко зб!гаються до розпод!л{в Р0(в) на деякШ зл^ченШ всюди щ!льн!й множит (3 з 8 ; 1снуе зл!чена всюди щ!льначислова множила точок N е Я' така, що для будь-якого прямокутника

р(1),1=1,г ) в 6 такого, що а(1)а N. II, 1=1,г

I"/ { ?п (&)'■ в е ь[а(1), $(1)Л=1,г ] }

(п/ { 10 (В): 9 с Д(ап,; р(1)Л=1,г ) }.

важимо, що поняття. 1тг/-зб1жност1 близьке за зм!стом до яття ер(-зб1жност1, яке вводилося для посл!довност1 ерм!нованих функцШ в роботах Р.Ветса, 1.Дупачево1", Г.Сал1нетт1. Мае м1сЦ9

Георема 2.2. Нехай УпГ9) - посл!довшсть випадкових функц!й 1 энуються умови: '

знуе випадкова функц!я Р0С9) така, що (п/-зб1гаеться

э випадково!' функцП Р0(д), 9 е 9;

яконуеться умова, в1докремлюваност1: з ймов!рн1стю одиниця

/ /о<%> < ро(* >

чя будь-яко!' випадково! величини 6 задано!' на тому к ймов!р-

7

носному простор!, що й F0Cöj, i тако!, ,що 6 Qq з ймов1рн!стю одшшця, де

Q0 - arg tnf F0(Q) .

Тод! • ' - - .:•'.'.'■

сл

( 1 ил <

{ °н) - V • .

SaveaacirMo, щэ в силу умови в^докремлюваносп шф1м.ум F (в) дося-

-о

гаеться в ощпй едишй точт <30.

Уыова (8) означас, що для будь-яко! гюсЛ1довност! точок ё c(ö }

~ сл п 11

п ° . ■■>

Дал! 'вивчаеться поведшка нормованного шдхилення точок {В }ь1д' •

гранично! точки 6Q. Розглядаеться випадок, коли. функц!я PQ(0)

дотершнована. ' ' \ ' '"

Введено виладкове поле : ' . • • .

А (z) = у" Г F fo,.i — z) - V .

п ' п 1 п i о j • п о j

Teopeua 2.4. Нехай виконаШ умови теореми 2.3 та 1сн.ув невшадкова посл!довн!сть v « <» та а>0 так!, що для будь-якого L>0 поле An(z) ¿а/-зб!гаеться до випадкоього поля A0(z) в будь-якiö облает! jzj^b i випадкова точка : V Г

Х0 = arg Inf A0(Z) ,

е власною шшэдкавою величиною (тобто р||зе0|<со|к1) ! з ймов1рщстю V.

одиниця задовольшш умов! в1докремлюБаност!. •;;•'•; ;

Тод1 icHys 1госл!довн1сть точок локального мпимума ön функцп' F (0) така, що .-<

. . • и (6 -О J --» ж ■ • .

п п О О •...•• • . .

Розглянуто дек1лька приклад1в. ■ •. . '

В теорем! 2.5 розгллнутиЯ випадск piBHOMlpHoi зб!жност1, умови яка У

легше перев1ряються.

В § 1.3 вивчаеться нова оригинальна модель, яка дозволяе досл1дити повед!нку траектор!й екстремальних точок (або множин) як випадкових npoueciB;

Розглянемо послдовшсть випадкових пол iE F (Q,t) 9 i 9 ( Rr, t>0 •

Г|

що залекать В1Д додаткового параметра t .У реальних задачах'

t як правило грае роль часу i TaKi модел1 виникають, коли спостореження проводиться на пром1жку часу tO,tl 1 потр!бно проанал1зувати залеяшсть оц!нок в1д величини t .

Введемо множину точок 1нфш!мума функцп FJQ,t)

{ eft) } = arg ini Fn ( Q,t)

eee n

i будемо досл!джувати п властивост! в залежност! в!д параметра t . '

Зауважимо, що при кожному t значения {8n(t)> утворюють деяку множину. В подальшому так! об'екти ig(t)}, для яких при кожному t значения (g(i)) утворюють деяку множину будемо називати багатозначними або множинними процесами.

Теорема 3.1. Нвхай 1снуе невипадкове поле ?а( В,t .),6 е 6,t>0 таке, що для дов!льного t з деякоТ множили Q с [0,а>) виконуються слтдуюч! умови:

1. Fn (Q,t) —. Fa(&,t), 9 € Q,

де Q - деяка зл!чена всюди щ!льна множила точок в 9 ;

2. виконуеться умова 2 теореми 2.3; . 3. точка

'B(t) --- arg Inf Fte.t)

See

задовыьняе умов! в1докремлюванност1. Тод!

{ Qjt)) &0(t), t e D Теорема 3.2 переносить ui результата на той виладок, коли функщя Po(0,t) - випадкова.

Дал! досл!джуеться повед!нка траектор!й множинних процес!в {0 (í)}, тобто умови зб!жност1 в OflHifl 3 ТОПОЛОГ1Й.

Наведений приклад, який показуе, що у випадку розривних пол!в P0(9,t) (гс/-зб!жн!сть недостатня нав1ть для зб1жност1 C0n(t)> в самШ слабкШ тополог!I Скорохода М2- Тому далi розглядаеться б1льщ сильна р!вном!рна зб!жн!сть Р (6,t).

Teopeua 3.3. Hexafl'FnfO,tJ, в € в, te tÖ.Tl -посл!довн!сть невипадкових гол!в í icuye неперервне поле Fo(ö,t), в € В, í >■■ Ю,1 таке, що виконудеься умови:

1. Ilm FJQ.t) = Fo(&,t), (6,t) € Q

n-»n>

де Q - деяка зл!чена всюди щiльна множина точок з бхШ.Т];

2. lim Ilm sup flp fe .í J - P í8 ,t )i: 18 -8 ¡<o, !t -t2!<c, c-*+o п-но v П n i ■ . .

e^e^e, o « t4,t2< т}

3. точка 0n(t) = arg lnf.P (в,t) для дов1льного í e 10,1)

see

задовольняе умов! в!докремлюваност!. Тод! при П-юо

sup p<eo(t),{6 (t)>) - О

t€tO,T) .

де p(0,G) = sup ¡e-gt.

«CG

В теорем! 3.4 цей результат переноситься на випадок, коли PQ(0,t) - теж випадкове поле.

Дал1 розглядаеться повед1нка в!дхилення (9n(t)} в1д 19Q{t)}.. Розглянемо вшадкове поле виду '

An(s,t) = Fn(eo(t) + - z), t ) - Pnreo(t),s)j.

Teopeua 3.5. Нехай Fn(9,t.), 8 ( 0, t с tQ.Tl П0сл1д0ви1сть випадкових гешв i icnye невшадкове поле Fo(9,t) 1 вшадкове поле Ao(z,t) TaKi, що:

1. ДЛЯ ДОВ1ЛЬНИХ (0,t) € Q

Fn (Q.t) Р* FJQ.t),

2. виконуеться умова(9);

3. виконуеться умова в!докремлюваност1 для S0(t), te [O.TJ;

4. icHye a>0 таке, що поля An(z,t) та A0(z,t) по аргументам (z,t) задовольняють умов} I. теореми 3.4.

5. поле' Ân(z,t) по napi (z,t) задовольняе умов! 2. теореми 3.3.

6. точка aeo(t) = arg Inf Ao(z,î) для дов!льного t € 10,Т]

е власною випадковою величиною та з ймовгрн1стю одиниця задовольняе умов1 в1докремлюванност1. Тод1 ¡снуе посл1довшсть npoueciB 9n(t), t е [0,ТЗ таких,

»V

э при дов!лыюму t 9n(t) - точка локального мШмума функцП ^(ö.t) t посл!довн1сть npoueciB ®n(t) = vn(9n(t) - 60(t)) - 36iraeTbCfl до эе0(t) на в!др1зку [0,TJ.

г

Наприклад, нехай 6 с R i поле A0(z,t) мае вигляд V21'1* = + (Bw(t),z) + <Cz,z)t,

> 70(t) - довиьний випадковий процес, w(t) - стандартний

г

неровський процес у R , С - додатньо визначена матриця.

'т умова в!докремлюваностi порушена при t=0. Якщо t>0 ,

au(t) = 1 (С + С") * Bw(t) ° t

U - зб!жнгеть в умовах теореми мае Micue для дов1льного омгжка [t ,Т], де t >0.

о о

В § 1.4 розглядаеться збгкн1сть траектор!й мнокинних ouecîB (8 (t)} до розривних npoueciB.

п

Розглянемо той випадок ,коли поле F0(9,t) неперервно, але може порушуватися умова в!докремлюванност!.

Нехай F0(e,t), 9 е 9, t € £0,Т]-детерм1новане поле. Вводиться аналог простору Скорохода для множинного процесу {e0(t)}= arslnf ?0(Q,t).

Будемр говорити, що детерм1новане поле F0(9,t) належить класу А, якщо д!аметр d(t) мнокини |60(t)| мае не б1льш н!ж зл!чену к!льк1сть

I » »

точок t таких що d(t )>0 i 1снують односторошй границ! 0o(t -0), »

Sc(t +0).( при цьому процесс Î90(t)} належить класу D). Позначимо V (G)={a:d(a,G)<s), де d(a,G)=(п/ |a-gl.

е g€g

Означення 4.3. Посл1довн1сть множинних npoueciB (g^t) ) «72-зб1гаеться до процесу (g^t)} з класу D, якщо для дов1лыюго е>0 почйнаючи з деякого номеру пе при п>пе

G({g^(-)}) е Ve(G({g0(-)>)), де G({g(•)})- граф1к процесу g(-). тобто G(ig(.)))=t(t,g):g€{g(t)}).

Теорема 4.1. Нехай Fn(6,t), 6 е 6, t е [0,Т]- посл1довшсть летерм1-нованих пол1в , виконуються умови I та 2 теореми 3.3., поле F0(9,t) належить класу А. Тод1 посл!довн1сть множинних npoueciB (9n(t)> •72-зб1гаеться до {60(t)> на в!др1зку 10,Т].

Дал! одержаний результат переноситься на стохастичнкй випадок. Вводиться модуль неперервност1 в1дносно *Г2-зб1жност1, .сформульований критерШ с72-зб1жност1 (теорема 4.2), а також доведена теорема 4.3, що переносить результат теореми 4.1 на випадок випадкових жшв.

Глава II присвячена вивченню асимптотичних властиЕостей екстремаль-них точок функц!й з похибками при втпрюваннях.

Методика вивчення базуеться на загальних теоеретичних результатах, отриманих в § 1.2, 1.3.

В § 2.1 розглядаеться випадок, коли похибки при р!зних вим!рюван-

нях е незалежними випадковими полями.

Розглянемо задачу оцшювання значения

9= arglnf Р(9) (10)

9

у випадку коли ми можемо спостер!гати величини

Rk(e)=F(e)+|k(9), k=1,2,...,n, (11)

де |к(9)-випадков1 похибки.

Ця задача також може бути сформульована як задача знаходження величини 90=arglnf Е7О),

по спостережешшм 7,(9).....Tn(Q). Д0 E7(0)=F(9).

Розглянемо задачу (10 Ы11), покладемо

п

гп<е> к

1 досл1димо асимптотичну поведшку точек множини

(9n>= arglnf Fn(9) э

Припустимо, що випадков1 ноля с (0),9ев при piamix к незалемп у cyKyimocTi та ix розподгли не залежать в!д к.

Теорема 1.1. Нехай точка 9 задов1льняе умов! Б1докремлювашгаст1 , множина в-обмежена,

ЕС,(9)-0,9eQ , де Q.-Д^яка зл1чена всюда иЦльна множина точок з G. i

Ilm ЕА (с,С.(•),6)=0. (12)

с-о u Тод1 {9n)-^ö0 .

Зауважимо , що для виконэння умови (12) достатш-о. щоб з ймов!р-

н1стю 1 ¡снувзла похина {,,(0) в кешпЯ точцт о (якщо г>1 С, (б) будо

вектором) i зир Е|(0)К С-0 1

Наведен1 б1лыи ослаблен! вар!анти умовд (12) для того випадку , коли 6-одном!рний параметр, а С,(О)--процес з незалежними приростами або марк!вський процес.

Досл1димо тепер повед!нку в!дх!лення тонок (6п) В1Д 90. Розглянемо ьипадкове поле

к=1

Teopeua 1.2. Нехай виконуються умови теореми I.I. та iCHye гюсл!довн1сть V -со 1 а>0 так1, що для дов!льного L>0:

1. piBHOMlpHO у облает! |z|€L

h-*(P(G +hz) - Р(в )) —• f(а)

h-*0

2. скшчешювишрн! розтодхли поля qn(z) слабко зб1гаються до розподШв нвперервного шля q(z.) в yeix точках деяко'1

зл!чено1 всюди пцльно!' множини Q з простору Rr.

3. для дов!льного L>0, е>0

Ilm llmvfaup |q (z. )-q(z7>) |: |z.~z„|<c, iz, |v|z_ t<L>>el = 0

c-»+0 n-«» I nine 1С \ С J

4. випадкова точка

x0=arginf (T(z)+q(z))

z

e власною випадковою величиною i з ймов!рн!стю одиииця задовольняе умов1 в!докрвмлюваност! . Тод! 1снуе посл1довн!сть т'очок локального м!шмуму 6

функцП Р (6) така, що

сл

У9п-60>->*0-

Основну складаисть у конкретних моделях складае перев!рка умов 2,3

нзщсн теореми . Розглянут1 деяк! наогпдки для пол!в, що в околиц! точки е0 допускають сл!дуючий асимлтотичний розклад:

n V

п

де a(z,v ) - детермшована функц!я, 71-деяка випадкова величина, Еа(а,71)=0, Ea(z1,7,)a(zg,71)=r(zt,z2)

860 VR

v n v

П

де сх(г)-деяка детерм!нована функц!я, 7,(а)-випадкове поле, a V«Eзир |önl(z)|^0. .

Розглянуто два приклада. В 1-му £k(Q)=(b(6),7k), де 7к,Ю1 - незалежп! однаково розпод!лен! випадков: вектори,

а в 2-му 5k(6)=(b(8),wk(9)),

де wk(9)- незалежн! багатокомпонентн! в!нер!вськ! процеси. В § 2.2 вивчаеться повед1Нка траектор!й екстремальних точок. Розглянемо задачу (10)у випадку, коли ми спостер!гаемо величини Rk(6)=P(9)+5k(9), k=1,2,..., Int].

Покладемо " , .

• 1 _[nt]

Будемо досл1джувати асимптотичну поведшку точок випадково! множили

{9 (t)} = arg Inf I n<e,t) • 9

як множинного процесу по t.

Припустимо., що випадков! поля Sk(8), 9 е 8 при р1зних к неза-

лезоп у сукущюст! i. ix розпод!ли не задежать В1Д индекса к.

Teopeua 2.1. Нехай точка 90 задов!льняе умов1 в1докремленост! та Е^(9)=0, 0 е 9, де 9 - деяка зл!чена всмди щ i льна множила точок в 9

15

i lim ЕЛ (с,Г (.),в)---0.

О> + 0 U

Тод1 для будь-якого t>Ü

<en(t)b-p-. е0

Досшдимо тепер зб!жн1сть множинного нроцесу {0 (t)} в У - топологи. Теореыа 2.2. Нехай функция у(6) ноперервна i виконан1 умови теореми 2.1. Тод1 для будь-яких tlT~u, т.о вир р(0 {6 (t)} о

Досл1ДИмо тепер поведижу ыдхшюнля множинного нроцосу {G it-)} в1д eQ. Введемо випадков! поля

п

"п1 f^^ <V-v - ¿k<°0>>

к-1 n

i багатовмпрну характеристичну функцт №..........G*P {i Vn

Ц,(°о4 z ) - El(0o))} ri

k-1,2,..., e (--oo,oo), z1,...,sk eRr

Teopeua 2.3. Нехай виконуються умови теореми 2.1 та ¡снуе посл!дов-

HtCTb v » i» i a>0 так1, що для дов1льного L>0 :

1. plBHOMlpHo в област1 |z|«; L

h"a (Р(в + hz)- F(6 ))—► г(я) ;

h»-0

г. 1снуе сукупн1сть функц!й Ф(\].....Ч»^.....таких, що

Ф(±0,...±0, z ,...,ак)=0 для будь-яких z,.....zk е fir i

(Gn(S.....Vz,.....=k)-1)= Vs,.....Zk),

с (-а>,оо), Z|.....Zk e Rr, k=i,2,..:

L 3£ 16

;s. Випадкове поле q (z,t.) но O.t. задов1льняс умов! слаоко!' компактност!

В1ДН0СН0 и- ЗСИЗХНОСТ!. 5. Випадкова точка

зе0(t)= arg Inf ftf(z)+q(z,t)) при кожному t>0 e власноа вшадаовою величиною i з 1мов1рн1стю 1 задо-

в!льняб умову в!докрешюванност1, де q(z,t) - непёрервне з ймов!рн1стю 1 по (z,t) вшадаове поле, ск1нчешюви?,11рн1 розпод!ли якого внзначаеться таким чином:

г

Е exp (i.SJ=1 А.^ q(Zj,t)>= exp {t Фа,,....A^.z,,...,zk)j 1 для будь-яких e Rr , J=1,r,

t^tgC...^ , '

r ■

E exp {l X3 q(zJ,t(})}= exp it1©(X1 ,... .P^.z, ,...,zk)}« » azp ((tg-t,)"<|)(\2,...,Xk,z2,....»zk)} »

« exp i() c|)(A.k,zk)} •.

Tofli Генуе посл!довн1сть процес!в ön(t), таких, цо для будь-якого t)0 0n(t) 8 точкою локального м1н!муму функцП Pn(0,t) 1 посл!довн1сть троцес!в " '

V ;<(t)= vn(9n(t)-e0) .

¡а будь-якому npoMisacy [tQ,T], t0>o, U- зб1гаеться до aeQ(t).

Розглянуто деяк! наследии , що випливаыть з теореми 2.3 1 деяк1 1фиклади.; .' ■-и

В § 2.3 розглядавтьея модель оц1товання екстремально! точки футсц!i, 1кщо вгаадков1 похибки е эалежними через марк1Вську посл!довн1сть. ; Розглянемо; знову задачу (10) випадку, коли'йи-Спостер1гаемо випадков! величина Rk(0)=P(e)+?ki9), k*1,2,...n, де

Çk(8)=b(6,xk), xk, tel - однор1дкий MapKiBcbKHft Процес (МП) •

!з ск!нченою к!льк!стю стан!в {1,2,...d), а b(8,i),8€8,i=1 ,d-

детарм1нован! функцН. Будемо вважати, що xk,k^1 - незв!дний МП. Тод1

в tu мае стацтнарний розпод1л,який ми позначимо через , 1=1 ,d. Теорема 3.1. Нехай точка 0О задовыьняе yMOBi в!докремлюванност!,

функц!я b(8,1) обмежена на 9 для кожного 1=1,d,

5" d тс,Ъ(8,1)=0. л1=1 1

ТОД1

р

(8 }—> 8 .

п о у

Нехай кр!м того 1снують a>0,ß>0,a>ß та-;с!, що для дов1льного

L>0 piBHOMtpHO в облает! \z\<L

h-a(F(6Q+hz)-F(eo))—-t(z),

i (b(80+hz,l)-b(80,1))—»a(z,l), l=Uû,

де функцП' f(z,l) 1 a(z,l) неперевн1 , i точка

ае0= arg Inf ("f(z)+q,(z)) z

e власною випадковою величиною i з ймов!рн!стю одиниця задов!льняе умов! в!докремлюванност!, де

q(z)=(a(z'),tf(0,G2)), a a(z)=(a(z,1 ),...a(z,d)).

<v

Тод! icHye посл1довн!сть точок локального м!н!муму 8п фуикцп ïn(Q) така, що

I,. , û , ~ сл n/?(a-ß)(0 _0 }

п о О

В теорем! 3.2 доводиться U-36lKHiCTb npoueciB }(8n(t)-80)

до нроцесу виду ^iB+B*)-1Q*Cw(t) на пром!жку ttQ,T]. tQ>ü. „

.18

В теорем! 3.3 сформульован! результата , аналог!чн1 теорем! 3.2 для б!лын загально? модел!, де

?к(в)=Ь(0,7к(хк),хк),к>1.

В глав1 III вивчаються асимптотичн! властивост! МШ-оц1нок для нел!н!йно'1 функцп регресН у випадку незалежних та марк!вських похи-бок.Метод досл1дження базуеться на загальних теоретичних результатах §1.2, 1.з глави I.

Нехай 9), 6бвсйг - векторозначна функц!я в простор! И"1,

а Лг> ••.-незалежШ однаково розпод1лен! випадков1 вектори в И" так!,

¡постер 1гаються величина

Ук=8(0о)+?к, к=1,2,..,п. ,осл!димо властивост! оц!нки нев1домого параметру 80 за методом наймеших квадрат!в. Позначимо '

Як в!домо МНК-оц1нка визначаеться сп!вв1дношенням

Р(9).

, е

Теорема 1.1. Нехай g(e)-oбмeжeнa функц!я ! при 9*90.

1Л! нехай !снуе р>0 таке, що при ЫЭ р!вном!рно в кожнтй облает! \?4<1

П"р('в(воШа)-8(0о))—.а(2),

а(г)- неперервна , ! р!ьняння а(2)=у '

з едштй розв'язок при будь-якому у^И™.

Тод! 1снув посл!довн1сть тонок локального м!н!муму 6П ПОЛЯ Рп(6) таких, що

(вп-е0) ~ а-1«?«).!»2», ■

де а-1 (г) - функЩя, обернена до а(г).

Теорема 1.1 легко переноситься на випадок .коли ми маемо спостере-кенн'л ук, к=1,2,...,[пг] 1. хочемо досл1дити повед!нку траектор!й множинних процес1в £9^(1)), де

П в п

Ц1 результата сформульован! в теорем! 1.2 , в як!й граничний процес ае0(1;) мае вигляд

ае0(г)=а"1(^ ПИП). Розглянуто приклад недиференц!йовно1 в точц1 60 функцП регресП виду

г а. (0-е ), еп< в ь, в(вН 10 0

I а2(0:0о), а $ 0 <в0, аьа2>0. Тод1 процес ж0(1;) мае вигляд

, aeo(t)=a^1t"1ow(t)x(w(t)>0) + a¿1t"?aw(t)x(w(t)<0). ' Цей приклад поширено на випадок багатом}рного.параметру 0. : В § 3.2 розглядаеться неоднор!дна модель, яка може вишкати в задачах оц1нювання параметр!в 1 оптимального керування . при , спостере-женнях на траектор1ях деяко? системи . .

Припустимо, що задана деяка посл!довн!сть х,,х2,..,хп , яка може бути послиовшстю момент ¿в часу, посл1довними значениями траектор.! V д9як01 ',•''•.■ ■'

системи або взагал! може бути, векторозначною 1. носити випадко-

вий характер. Будемо вважати, що поел!доен1сть (хк) прймае значения в деяк1й множин! X. Нехай також задана параметрична сукупн!сть

детерм!нованих функц!й g(9,x),9ee,x<;X !з значениями в Rm i незалежн!

сукупност1 випадкоЕНх вектор!в в Rm

(?к(х), Х€Х), k=1,2,..., розпод!ли яких не залежать в!д !ндексу k , а сам! величини не залежать в!д посл!довност! (хк>, яадо вона випадкова.

В загальн!й ситуацП" точки xk, tel можуть залежати в!д заггльно!' к!лькост! випробувань п. Наприклад при спостереженнях на траекторП x(t) деяко! системи можна вибирати точки з шагом 1/n 1 тод! xk=x(k/n). Тому будемо вважати, що , х^х^, к=1,2,... . Тод! модель спостережень мае вигляд

Позначимо

.Припустимо, що посл1довн!сть (хпк) задов!льняе деяк!й умов! усереднення, а саме: !снуе неперевна функц!я х(и) така, що для будь-яко!" неперевно! обмежено!' функцН f(x) , хеХ

1 vInt' I

ИяП f(x )—f f(x(u))du

n-wo " Пс=1 о

В теорем! 2.1 приведен! умови, при яких посл!довн!сть {6n(t)> ^ и-зО!гаеться до 0Q.

В теоремах 2.2 ! 2.3 вивчена повед!нка в1дхилення 6n(t) в!д 90. При дьому'розглянуто два випадки:

1) функц!я g(8,x) дв!ч! неперервно диференц!йовна по 9;

2) g(8,x)-(g(9),f(x)).

В обох випадках у явному вигляд! виписаний вигляд граничного

21

процесу зе0<г) -

Розглянуто приклад, в якому

Ук=(в(в0),Г(х(к/п))Н5к(х(к/п)), де хШ, ШО.ТЗ - деяка неперервна функц!я.

В § 3.3 розглядаеться б.1льш загаль^а схема нел!н1йно1' регресП, яка може виникати в задачах оц1нювання параметр!в при спостереженнях на траекторП деяко! системи в умовах вшшву випадкового зовн!шнього середовища. .

Припустимо, що'задана неперервна функц!я хШ, геСО.Т] 1з значениями в X, сукупн!сть функцШ в(в,х,2),ве0,хеХ,г€г, однор!дний марк1вський процес гк, к=1,2,...,2ке2 1 незалежн1 сукупност1 випадко--. вих величин к=1,2...,розпод1ли яких не залежать

в1д 1ндекса к. ;

Спостереження проводяться в момента часу гк=к/п, к=1,2,... 1 модель спостережень мае вигляд

Ук=е(0О'хк»ак) + ^к^к^к^ к=1»2'"'

Вказан! умови ,при яких для будь-яких 0<го<Т<» аир р1вп,{вп)})-^0

Аналог1чно попередньому параграфу вивчена також повед!нка.в1дхилення як множюшого процесу.'

В додатку наведен! алгоритми 1 програми моделювання маркЛвських процес!в з дискретним та неперервним часом, та дов!льною к!льк!стю стан1в, в1нер!вського та дифуз!йного процес1в, пошуку екстремальних точок для модел! (2) в умовах незалежних 1 марк!вських збурень 1 . розглянут! конкретн! приклада, як! реал!зован1 на ЕОМ типу.1ВМ РС ХТ/АТ.

Автор висловлюе щиру подяку науковому кер!внику професору Олександру Григоровичу Наконечному за посНйну п!дтримку i увагу до роботи.

Основн! результата дисертацП опублйсован! в роботах:

1.Анисимова A.B. " Асимптотические свойства МНК-оценок при марковских возмущениях ". Сети связи и сети ЭВМ. Анализ и применение. Тез. докл. научн.школы-семипара, Минск, 1992. с.9.

2.Анисимова A.B. " Оценивание параметров СМО в переходных режимах ". Математ. методы исслед. сист.и сетей массового обслуж. Тез.докл.научн.шк.-семинара, Минск, 1993. с.12-13.

3.Агша Anisimova " Asymptotic properties of extremal points of random functions and it's applications in statistics "

Тез.докл. 6-й М1жнародн1й В1льнюськ1й конференцП по теорП ймов1рностей та математичн. статист. 1993, с.15.

4.AHiciMOB B.B., ' ■ Сейлхамер Г.В. " Асимптотичн! властивост! екстремальних точок випэдкошх пол1в ", Теор1я ймов1рн. та математ. статистика, Кигв (у друку).