Задача Коши для параболических систем с вырождениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Чершвсцький державппй ушяерсптет хм. Ю. Федьшвнча

рг П ОД

2 3 ОПТ 1003 Напрюах рукописи

Возняк Ольга Григо^нвпа

ЗАДАЧА КОИ11 ДЛЯ ПАРАБОЛ 14 НИХ СИСТЕМ 3 ВИРОДЖЕНШШ.И

01.01.02 - цвферетиЯт ртнтгпя

Автореферат дисергаш! па здобухтя наукояог» ступени кандидата фиико- мотсмятичтщх. »мук

Черпивд - 1995

Ди':ср10цК» с рзкоЯ'ЛС .

¡'•ji)0Tíi ш.оиам* ь!«дш и^.йоеи/ ■-•з/.чч цля рien¿¡t<& з частиньихи [¡u/.iít.vüh сн.Черн:uut / !»с.титутк ¡¡риклллних проблем «ехаиЛки i мвтвмэгики ik.íi.i..'и.ачриг-т« Цйй !,ko?'ju»i.

Hó'iKl'ííKü üi^itf.ih;! - Д i) í-, Г t: г.1 iV \ л . si . i .

■-'-oí' Л;!, i г,:- ииг-н

0&;1т":!|1 CIVJi't-HTK - M>I¡"O!' .>И. P'OÏ. H.iyK, n¡-'.-?f i ''И i , >!. !

кс-чдьдэт >¡!Í3.-KÓ4. ¡шук, ífj'jfnr b.ii.jVBi.-MriuK

f!fnTS(ine tiiiljaub; •- íli.i' lв';ький д«-ркп«ний aulb^f-rinet

iff. ! .%'jtUM

Закис r Btß'ji.iÄCTbus roüiiill

нз злс)дйШ11 пз u i ал I з он акт ï b'Uhoï ради К 0?.6Í .04 г '¡егчПрець-кощ херsaoноку ун».еерснтет ! эа адресов: 27401«:. Ч<?ри1вцЫ2. mi*. 4i!)Depr:meîCb«a( 2fJ, наюнатччиий фнкдльтет.

3 дисс'ртчппьи тшиа плняйокитися у б1йл»"тецг 4rpitiрчцъкого неравного ytilí?срсктету за лдресоп: ечл. ОкраТнви, 2.Í.

Пвюрсфераг воз!слано р.

0Ч5НИЙ ceiipcírtf) .. ^J?

г н а 1. а л i з о в ííh и ï b^e'mï рзя.я »ff-.Ü^/ й.й.Садсв'як

}

ЗА1ЛЛЬНЛ ХЛГЛКТЕИ1СТНКА РОБОТИ

ЛКТУАЛЫПСТЬ ТЕ;И. Ik .r^iíiift чзс длл р!вном!рда парабо-,л!чнпх за Петропсышм (i з^гальних) систем р!внянь з

гледкши i сбтадхеташ »coeíintsHTani в!дом1 досить лови! результата. У випядку задач! Кош! вот стооуться- шеамперед побуцови та детального лосл!лг.риия ~ часашостей фунданепталь--иих матриць розв'язк!в, досл1;р'"нчя кор.ктно! розв'язност! задач! Коч! в чпфокпх класах йукшйональшх гроотор1в та вив-чешш pi3imx власти воет efl розв'язк!в, задачи у нап!вв!дкрито-му шар!, зокрема досл1дження íx 1итегральдаго зобракення i гранично! повед!ики при наблскенн! до ночаткотш г1першюш-ш. 7 пьоглу напрямку е фукцаментальн! прац! багатьох б!тчиз-няних 1 заруб!жних гяатеглатик1в, зокрема С.Д.Ейдельшна? В.О. Салааткова, К.Шяброваького, С.ДЛвасишеиа, М,1.Й9т18чука та íh.

Эначно мете дослШена задача Кош! для парабол! чшх систем з р1згаши виродденняш i особлпвостяш, колп, наприк-лад, система не г, р.твном!ряо парабол !чною,- коеф!ц!ентп систем необгтеяен! в окол! легких точок ario на безмезтост! i т.д. Задач! для такого тту систем виникаюгь у теоретичнях t прикладнпх досл1джен1ЩХ. Тому вони с актуальдами.

ДисертацШна 'робота присвячена досл!дао.чшо задач! Кош! для парабол!чиих за Петровоькшл систем i деяиих виродяешх ппрабол!ч1Шх р!внянь типу Колмогорова, гас! маготь впродження на початков!й rinepiiioimini.

3 поперехупх праць наиближчшл'х за об'<зктом досл!даення i результатам« с прац! А.С.Каданникова, А.В.Глушака i С.Д. Имулевича. Задача Komi для гапюдяеттх парабол i чшх р1внянь тону Колмогорова без ииродтення на початков!!! ^перплогапн! досл!д~уттась у працях А.И.Колиогорова, М.Вебер, А.МЛль'хна, I.M.OoHina, r.ll.flaraiuwco'f, С.Д.Ейдплъвдна, Л.Ч.Тичкнсько!,

• С.ДЛваоишена, Л.М.Авдросово! та пи

МЕТА Р030ТИ. Побудова I досл!дяення влаомвостей фундаментально? матриц!" роз2'язк1в (®!<1Р) та фундаментального роз-в'язку (ФР; задач! Кош! для в!лпов!дно парабол!чних за Пет-ровоькюд систем ! одного клаоу виродкених парабол! чшя у1в-нянъ типу Колмогорова, як! мають влродкешя'на початкопШ г1перт7ЛС-Т:н!; застосування цнх вяастивостей до досл!,щення коректжн розв'язност! систем ! р1тяыь э лочатковиш ушяа-. ш у випад^У слабкого виродштч га без початкоых умов, коли виродяення сильне, а також 1Н<г морального зобращения I гранично'! иоведшки розв'язктв.

МЕТОДИКА Д0СЛ1ДЯЕННЯ. При побудов! та д^сл!д*енн! #1Р задач! Кош! використовуягься ието/ажа теорп р!вном!рно пара-больших систем, зокрена перетворекня Фур'с, тетод Лев!, "-те— тод характеристик ддя розв'язування диференц!альшх р!шшнъ з частишшш похгдншет пергаого порядку.

'НАУКОВА К0Б13НА РОБОШ:

1) побудовано 1 доол!дйено ®ЛР та ФР задач! Кош: для

в I дно в 1 дно парабол!чних за Пегровсысш систем та деяких вирод-яенкх парабол!чшх р!зиянь типу Колмогорова, як! мають вирод-жешш на початков!!! г^ерплощин:!;.

2) досл!даено коректну розв'язнхств такого типу систем !з звичаГшою початковою уморою у влпаяку слабкого вяродетяня 1 без початкових ушв.'якщо виродаешш сильне;

3) у игаадку слабкого виродаеннл знайден! необх!днГй достатн! ушви зобратсенпя розв'язкгв таких систем у еиглядт судя _!нтеграл!в Пуассона та об'емшгх по1енц!ал1в; дослтдк-гй, в якому сенс! дан! розв'язки задовольияоть початков! умош,

■! описан! множили початкових зиачснь розв'язкхв; анолог!чн! результат}! одержан! для-однорштх р!внянь тнну Колмогорова з вяродаеннями. на початков!й г!перлловдг1.

ТЕОРЕТИЧНА I ПРАКТИЧНА ЦТШСТЬ. Робота носить теоретач-няй характер. II результат« ыожуть використовуватися при дос-л!дкенн! коректно!" розв'язност! ! властивостей розв'лрк!в •задач! Кой1-дая кваз!л!н!йних парабол!чних систем з г;фод-женняш, а такой, вивченн! математичних моделей коккретшх

Ф!зичтпс npoueoin, як! оииоуться парабол!тнимя слстеичде з

тагоо.гггсе пнями.

НА ЗАХИСТ 1Ш0СИТБСЯ:

- иобудтга i «ластивоат! 'ШР задач! Кои! для пярабол!ч-плх систем з впродксчняи па лочатков!Я г!перплс1щн!;

- мастит»>от! ".•oTenijla.ilB, породтенгос Я.1Р задач!.Кош! для парабол! чних систем з i>iijlo.tntoнтшм па початков!Я г!перил о шин! ;

- теореш про коцоктиу розв'яэ^сть парабол!чних систем з виродженпям на шчатков!й г!перплодан1 з початкотюго'утювою у випадку слабкого виролдення i без нс'яткових умов, якщо виродаенля сильне: необх!дн! то достаТг! умовн, за яклх виз-, начен! у нап!вв!,я?фптому кар! розв'лзк-т зофтуггьея у впг-ляд! суип !нтеграл!в Пуассоиа Фу:сщ!й пбо узргальнених м!р

is спецЬэлышх вагчэгих прсстор!з та об'еших по'гетщ!ал!в, ягацо виродаення слабгсе;

- побудова та Еластпвост! ФР чадяч! Кош! для одного класу внродаешх папабод!чш1х р!впяль типу Колмогорова? в яких е те шродг.ення па початков!!! гчдзрплощин!;

- характеризапДя класу розв'дакп! однорхдного вяродае-ного парабол!чного р1в!шшя типу Колмогорова у випадку сладкого виродаенля на початков!") гшорплошич!, як! зобраяугаться у шгляц! !нтеграл}р Пуассона елемен?!в спец!алышх вагових простор!в футслг! га узагатьнештх и!р.

АПРОБАЩЯ РОБОК!, Зснови! результата дасе.-тацН допов!-

дадись i обговоргаалпсь'-на Bceyitpaiizcbicift пауков!!! конфереп-и!1 "Нов! п!дходл-до розв* ггяяпня .'ап^решйайлшх р!в"япъ" (Дрогобич, 25-27 о!чля 1994 р.); пауков!ft тсопФсронц!i, при-свячеп!й 120-р1ччю зпопування Черлгветгысого ун!вероитету (ЧергпиЦ, 4-6 трпвня 1985 р.); м1кнзродн!!! копферегаЩ "Не-лпшнп дд^р'чипатап piDtiramn:" (ffiii'B, 21-27 ссрипя 1995 р.)'; пагкогах coMinV'iax гафедргс питематичного иоделюваппя Черн!-гсг(т-'сого уи!верситету (4epiiiBiii, 1992-199,5 рр.); лаукових сем!парах Чернптечвкого в!дд!лу IFIIL'M HAU Укра7ш( (4opnin-ni, 1992-Т.Г95 рр.).

П7РЛ1КЛЦП. Оенотчп- ;«>:<;-„и/гатл дгеертапН опублЬздвано и я ши'чтгах, omi'ioK ятпх итчддтю ч Kinn! члтор?<Т)прату.

Оообиото люертанткою нобудовано I дослужено Ш? та ФР задач! Кои! для п1ч,аов1дп9 иатболг-тт за Петрове чага систем та деютх вяроддаишх пар^к5ол!чго'х р!вгага> топ;/ Колмогорова з вирог5ко!1№Ёи пп початко»!^ гшерплошднх; досл!джено корект-ну роьи'я".!п!сТь такого типу систем !з звичайною початковов утловов у гошад.т.у елабкого щродштя ! без почагковкх умов, . якщо впродлшшя сильие; у таг.адчу елабкого впроддепня зн&йде-н! необзЦдп! И достати! уш !лтогролыюго зобра-кення роз-В'яяк1я систем га однор!дккх р1еаякь типу Колмогорова

з виоо,1,;-;о1[ня1Ж1 но. початков!й г^врморди!.'

СТРУКТУРА 1 ОБСЯГ РОШТИ. Еисертац!я оклацаоться 1з «. встуиу, двох ропдШв та списку л!тератури. Обсях1, ;,1сертац1; 150с;тор!иок машинописного тексту. Б1бл}ограф1чний список м1стигь Д^найгленртань.

3J.HCT ДООГЭТЛЩ!

У встуч! обгрунтовупт.ься ¡чстугтды'Лсть теш робота, ро~ биться огяяд результат!в за тематикою тсертагШ та опиеують-ся одержан! в робот! результата.

Список.оошших доашгчеяь гостить т! ттоэпаченпл, як! е эагялычиди для тс!с1 робота.

Лершш роздал, ию оклддаотьоя з трьох пзраграф!в, присвяг< ччниА досл1яг.очн» задач! Кош! для иарабол!чних за Петровсь-кпм еиото.' з шроджоппяи на початкои!й г!перпловдш!.

У § I розглядастьсп система /V р!внянъ я частипшш пох1дитш

— ЬС-Ь) И аь(-Ь,х)Т)^-а0(+,а:)]ав:*х)-

=» ¡г С-Ь, X) ЛЬ, х) в П (о;р3 э ю,Т] х (Ци, (I)

до ЯункнП Л:

[0,Т]-Ч0,со) ! [0,оо) пене-

ргупн1, причету Дгдпш!я р монотонно неопакн.4. ! тш-л, що

а (0)^(0)« 0, V 1£(0,Т]:аи)>0

Глк кссЛп1спт!в й.^ , 1М £ 26 . 1<нпкпмгьсл гаконани-

•з! п.-_;.гуи!;1 у.мри.

Умова I ( yip ва ; rapacio л i чност t ). Iciiye така стала Б" >0 ; un р -itopoi'i 't.)N piuumnm

deb СП а^(Ь,х)(1бГ)*-о1)=0 lkl-26

задовольнтеть нор íbhocti

Не. р41-Ь,х,ег) N,

jet я долгльних (.-Ь,х)в n^Q^-y-j i 6"€lRu.

Умова Z. Коефгат/нти CL fe. , lte.1 S2.6, обложен! i попе-pepBHi no -t (яри цьому неперервтсть коефппслт!в з lfel-~2ô р!вном5рна по хk RU ) » ч тшсож задотольняють у Г1 £QT] утгову Гельдера по х з показтшогл X ¿ (0,1). 1

Зикористовузт.ься тают. ire татса ушла. •

УмоваТснують обмютеи! i ненерервнх по -fc noxijiui

"Dx Q-fe , , rati задовольнягав y flQj'pj :л.юву Гель-

дера по х з показ mirccr.i X ,

0ск1лькз слота (I) витоджутться прл -fc=»0 , то'не заводи для íre'i i,толпа розглядатп задать Komi з по чатко гейта дашт-)ли при -t«0- у звичаГшШ ностаяовц!. Але то.жна голоритя про ФЫР задач! Коя! зИдно з rnrani ояиачешяы.

Озиачепня. -W задач! Komi дч-r «дютг'.о (I) пазнвазться квадратна магрипя порядку N 4l (4;,х;тг) , О <т: < t ¿T t х 3 IR , така, по

tt(fc,x) = J , Ct ,х) fifi Je т]'

ÍR, * *

с рояпчиron одно];гдпоУ cv'jTem il), я?пгй задонолъчяс утгову

для <>?.in>-wvi -X t (О ,Т) i дов!льпо1 нопорершю'! та обможо-ро? 'Г'уикиГ/ (j': Цуа—С^ , де Су - с,\*ку1ш!сть ycix отовп-t.wîd рпсоти N ■ "теноитя ядах nww* до С

О'пи'чнп i;oLj.\;.ij,T:ira § I шотлтьсч n и.чп?г.:тil тчором!.

Tooown I.I. Нпл'-'ül для K'íefT,TrMTiíTíi' , (tel

iv.Mr'i.'v.'ïbtM утюит I i 3. То.г5 icü"c ''\.Г annîint Коя! лчм cito--en а) 2 (fc , 0 < х < fc < Т, t Ьс,<= Пс■

ДЛЯ №01 ПрйШЛЬН! 0Ц1ШЯ'.

1, _1ь±2Ё1 л

I 2 1-с,ч)1 * С 1х-х' Iя и ВС^)]"*^ * де С>0;о0, АсЯ,

-ГС-,ав е ЕсОЬ,«т, шехрI-с СВС*1хР} *

Як для р!вном!рко парабол!яних систем, побудова матриц! зд!йснюеться за допомогою методу Лев!, зг!дно з яким во-■ на в1дшукуеться у вигляд!

2 хгс +"

4:

•Г (¡£4

де, на в!да!ну в!д випадку систем без виродаення, матрица

Но , 0<т: < -ь <т, К', е АМ?

задач! Кош! доя сиотеш

е П^од*-), уе В оц!нках'(2) ! (3) стана сЬ моле бути будь-жого значу або нулем. Якцо, нацриклад, для систеш (I) масть м!сцс оц!шш (2) 1 (3) з с£о>0 » то в!дгюв!дн! оц!га<и ,-уш систеш -

в кожизясыЕМ параметром p таким, то "Re. р правидькх' я (¿¡я eta—Us. О , що'вишшвае э йормули

■ з p(-t tYS)= Е"р(+ а

дв л» ! 'flip - ШР задач} Kami в!дпоз1дно для систем (I) i (4). • '

Кр!м власпгеостей, ошгеа'зк у теорем! 1.1, в J I i 2 вотакозлгн£ i ;;siatJ bnui властпнос?! матриг.1 , а r-эхож влаотивост! потвкц!ал!й,. порсддзних ц!еа матрицею. При иьому tcirosm гюзг)!зяяйтьоя яипадка слабяогз <1ктегр»л

Г1 dO

зб!газгьол) £ сильного (цей !етеграя рсзб?газгься) .

ЗгастлзосЛ оГ.<£Р дозволишь дсслЬига* в § 3 гссректну роз-з'язн!сть скотта® (I) з початковс» умэвс»

f С x}, (5)

j зкпадху олабкого зиродесекня 1 без початковоГ умош, якя-о нас м1оц® спите зиродження. &пеа корешгзс®ь лрг цьому «йслчдавтася а фукнг?{й, як! ищусь зросиаш ггрк- liE.t—ел пз ивэдпв,~н1к функц!я

елрСЬ&МхГ^.хвК?1, k tt) - саа С с*6'1 - а16"1 (Т- & СГ,¿»J*-3', о^Т,

де Со, - фксована стала з iipor.itsKy (0, С) , а чзголз (Ь

мо. О ^ О, <C0Ti_? С - стала з сц!кон (й) t (3).

. Нзхай tt'.Jlrg rpj —* <С¿у - задана неперервка ado ни-r.ipv . fТлй'-.гж т tfj** мт.киу &!ксовадаму 4 S-C0kT1

£ ¡.СЛ'-' ir:">"s,!" озгалипп тр-я

. , v." '"> -p 'ep...

Si' ? *5r"'

p -

дв L>р(1&П) - лебсговий простip фупкц1й, ьизни^еннх на IRU' Ï3 значениями в С^ . Через £^(0). j )■ шзначиш

простори в1;шов1дко noix пеперервних i bcïx hîmIpmoc за Лебегом 'ЙУШЦ1Й |RU —(См , ДЛЯ ЯКИХ СКЫЧУНИ! В1ДДЮВЪДН0

юрш !!ipllbW i lî lf Ир . Че-роз Мк(0),познашМо оукуп-н!сгь ycix узагалььегах борельових Нр JU- , оаданих на <э -алгебр] борельових мношн простору iR'rl i таких, шо

||jt ¡|k(0)s ^ехр { - fe СО) hx 1*3 d lju.1 Сх) < оо,

де ¡ju I - повиа вар fait i я J4 . ■

Для випадку елабкого шродкення система (I) при виконан-Hi умов- 1-3 в'§ 3 доведенх наступи! '?ри теорем.

Теорема 3.1. Нехай tf 6 а йуикп1я V- П^^р]""^

—> Сw неперервн'а, задоволъняз rp-j локальну удаву. Гелхдора по х та ;тову 1

' Зоо V"te (0,ТЦ: РоШ^НВ^т)]"^^^^,.)«^^ ^ С,

ТОД1 формулою •

-t ' IRU ' •

. 0 R ct,x)Ên^TJ, (6>.

вязначасться единил розв'язок слоте ми (I), який залополы!нк так! умова:

а) ЗС>0 V4e(0,T] Vm,lmU26-it

ц • < f* ••

б) p.vt Oyr.ô-»-,En»Y> кгккчкгу |K С 1*сГ Pir.-fOUtp-.'-j iK

t^ôt '.

Творена 3.2. Явдо ^ € L р^ , 14 p« со , a tynetnla

^ Î П (о,Т] * лоперервна, зацовольняе в П^ лоналъиу утлову Гельдера iro X та утлову '

3C>0 VteCO.TJ: '

то формула (6) нпзначая чдигшй рояв'язок систеш (I), для якого виконуються так! умош:

а)ЭС>0 Vte(0,TJ Vm,lmi

б) прп i « р < 00

¡1-tcCnfc,-) —ipC» >

1 p

а при p= oo u(Ь, • ) q^' Ц>СО, тобто мають н!сце сп!вв!дношення ^Лт1)

U. :

Um Л 7?4x)u(t,x)d.x = \ 77'(x)tPlx)áx;

■fc -»0+ fon 6 ^

де - миояипа вс!х вотгёрнжс за Лебегом фушсц!й

IR.11 —""" CN , для шшх ск!нчепна норма

¡1 IIехр { k(T) M*} 1 (• ) II Lt( т.

Теорема 3.3. Нехай JU. е И*^, а $упкц1я ^ така ч, як у теорем! 3.2, притоку, умору (7) зяловольпяе, э р= i. тод! формулою _

± К* ■

с tr ,

C-fc,x)fenJT;j>t te)

вквначасться влагой роэт-'лдо»: сястеиг (I), якиЯ мае та::!

влаотивост!:

а) 3 С >0 Vte(0,TJ V-m,lm|é26-i: Hbmu(i,.>llïa>é С(СВа,0)]"^ Iljullb((,) + FtC-fc));

б) U ("t, • ) х-'^ГгК. (Ч- • тобто правильн! сшвв1дношення

feu

де С 0 - множина вс!х таких неперервш1хйункц1й т^ :

(Ru шо lrç(x)lexpife(T) 1x1*3 lxlU«& 0 •

' ftcuto мае м!сце си.тьне вяродаення, то початкову умову (5) задовольнити, взогал! кажучи, не мокна, У насгупн!й тео-pewi наводяться умови, за яких 1снуе единий розв'язок сильно виродаено! оястеш (I) без початкових умов.

Теорема 3.5. Нехай виконуються умови 1-8 i глав м!сце сяльне виродження. Якто йуюсц1я : Г1 (q уд-С-^

неперервна, задовольняе в П^дуд талу локатьну умов у Гельдера по О. : •

¥R>0 3L>0 3xe(0,iJ V-fce (C,TJ I f t-fe,4)l < L. Б tfc ) E (T ,-fc) 1 х-Ъ I31,

де Б": (0,T3 -*"С0,«э)~ функц!я, яка задовольняэ утору-

^Ш)" ctt<co, iKÏ = Î3ce|R.u||xUR3 , a. d. - omi • э оц1нок (2), та умову

о

то формула ^

- . 0_

(t.xjefl^rr],

назначав едниий розв'язок си стоил (I), для якого правильна

оц!нка

II u(t, Oll^ ^ G E^CT.-t) Pit), t e to,T3.

В п. 3.2 да систеш (I) i3 слабким виродиенням доведена наотупна теорета, яка е у ценному розум1нн1 оберненою до теорем 3.2 i 3.3.

Теорема 3.4. Нехай .для розв'язку ы i правоi чаотини $■ систеш .(I) i3 слабким виродяенням виконуються так! умови: •

а) ЗС>0 V-te(0,ТЗ а деяким р& Ci.oo] ;

б) ^ задоволъняз умови з теореш 3.2.

Тол! при i < р» < со icHye едина функц!я ip £ Lip , а при fa = А. - едина узагальнена ntpa Jul & М^ ^ так!, да роэ-в'язок и зображуеться в!пдое!дно у вигляд! (б) 1 (8).

Наелiдок. 3 теорем 3.2-3.4 випливають тан! твердаения: за jiiob на з тдос теорем'

тч I Ш . м1г{0)

1) простори Lj р 1 rj й гягалнаш початеових

значень розв'язШв система (I) год! ! т!лыси тод1, коли роз-в'язки задовольняоть умов.у а) з теориш 3.4 ври £ <р^оо ! ,0= 1 в!дпов!дно;

2) для зобракення розв'язк!в систеш (I) у вигляд! (6) чи (8) яеобх!дно Я доепть,' щоб влконувяласъ утава п.) з теореш 3.4.

Другой роздтл, до' якого 1?;к>дять § 4-6, rtpwcitfPKmf! дос-л!дженяю задач! Komi дйя вщюдкачого парабол!mrrm piшгмчп типу Колмогорова, в якого о тс ниролдення на лочлткоп!й riuep-плодан!.

Розглядасться р!гаяння шгляду ..

■ r i=i 3 a 0<dfeU26

eit, г»(«1.....£ fc1 , 141 ^.<11, L ^ t.+«,+ '

4-it . коефШента : C0,T] , 0<lfel £ 26 , a0:

(0,T]->C HenepejBHi i так!, цо вираз

. It- S ak(-fcïl&.

Q<lk.U26

piEHOMlpHO парабол1чшк за Нетровоьюш,

"Re CL0("t) 4 А . а функцГ* oL í так} ж, як у первому роздал!.

У § 4 аобудоваштЗ ФР 2(t,X;tr,S) ,0<тг<-ЫТ,

{, X , S I ^ ÍRL. задач! Яош! для втвняняя (9) t дослужен! floro властивост!. Зокреиа, одеркан! так! оц{;пси: и -Mite. > a'i

tt.Xs'c.SJK С (Ж-ЫЗ * . (*,Х;т,Е) < -fc , IX, Sî c= (Rl,

OO , с >0, deR.iÇ^XîT.EJseap W^)

s^/j. ^^ „— f J

-c( Q ¿ + J+

• LBtt^)]^'-1 п'

Власптвоотi ФР задач! Komi дозволять одержат« для pis-аянь Ехтлзду (9) (як оЕПор!дних, так.! неоДтор1ДКИх) результата, а налог i чн! результатам з первого розд!лу. Боги стосу втъся j шпздку слабкого ктродаення на початков!й rinepiuio-шн1 коректкох розв'язчост! задач! Komi, !нтегрального зобра-женяя та храяа<м>1 .повед!кпп розв'чзк!в, визначешх ' у "anií?~ в!дкр»!Тому пар! П ^д грд » а у випадку сильного ниро.цяеяня - коренгио? розв'язнос'т! кео.шк>р1дного р!рняндя без початео-иос $дав у в!дпов !дних просторах $ушщ1Я. У § 5 i 6 наведен! дше де як! результата для одюр!яшго.-р!в1Гяншт (9) у вппадку слабкого виродаення на початков i fi г!перплощин!.

Щоб ïx сформулгаати, означпш потр!бн! порта 1 фмсторч.

Ддя кожного -ЬёСО.ТЛ вооадаеш )tua/)t|ptt,a)s!luC-fc,x)^

хе»р {- Ь4СЬ,а4)IеЫ*- ^<*,а2) 1 ВСЬ,0)хI*-

ДО I 4 р «5 ,

^ (Л « с0сц С С?а»" (Т- в <Л\±3)а6(

Через , р ^ ^ , лозначаош проот!р уогх ком-

гыекснозначшх <5ут«н1й ц> (X) , як{ шм}рн! I

для яет.х ск1нченю. чорлп . а через

сукупн1ать ус!х узагальгетх опппльотах и1р ^ , задания на <э -алгебрI борельошх мио-пш простору (р^ , 1 тпчгос, що

„ „Ь(0,а)э$ едср

. „

Пэ«ладз«( ю ще

Ни а,-) Ир^ - II( ^ ,Х) ехр I - в!«) I ^ -

5г({:)== Ш-МЯЧ^сц),

5СЬ) - (Si.it), ) , , О^-Ь^Т, -

Г^ием^ СЛ. НохаЗ г:л -\-.Vfi ега^пе-т^роятошгл ^ оо . ТсуО: •

а) для будь-жги ^ к»

f

(t%X)€.n(o ,т;ь (I0)

"t ■-■ nL.

вязьачасхьоя едккий розв'язо-с р!вяяння О) у пар! Hjq rpj

ктай задсзолы-ж: тал! 'умови: '

1) !онуе стала С >0 , -чэ залежка в!д f f така, !\о

V±€<0Л,3«йиЛМ«р1,а) 4СЦ

sit)

2) при &ТО.Jta-fcs')-ip(-)i!p =0S a црк р> — оо uit, •) t? С- i , тобтс

fite V ti (t ,X hp (X) riX = л ip (X dX,

■ .» >rm

де: - шюяяна комплеконозвачйкк кайршх фукжц!«

(X) » X £ R". » для яких ск1нченйа норма

6) дня будь-жо': узагаяьнено? м!ри Jit € М ' форму-

ла

ti(t)X)=],H:(i,X;0! S)^(E), iRL"

ЛУ V

бПгплги

!.

визначав едиккй розв'язок р!вняння (9; у wapi ; / g rpj , sae хы! "iv.aiiwiorvii '

*.} ft',:.», в!д ,u , стала С -'"С ,

. Vtu^a.Tjrbit,-)!^ 4 С^зР'**, . %

2) tiit,») Jfc , W6TC 6ClfvT4

L\. ifQClл l^XM.^ ^

шй

де - жожяия во ix ш/шгексксэтаздах miepepBisa:

функций Ц» (X) ,Х £ ¡RLj fifci мають. пластуете

i tf ос Ивхр кты^ег) и/* —-

Оберненоэ до теореми 6,1 с теорема про зобралення у еиг-,ляд! hraerpaaiB Пуассона розв'язк!в, вкзначетах у кап!вв!дкря-тому кар!.

Теорема 6.2. НехаЯ маз м!сц^слабке виродження i tt -розв'яэок р!в1Штя (9) у шар! П(q rpj ,, яккй задовольняс УМОВу '

¥ ^ б (0,ТЗ : R и №«•) I p(t'a) ^ С (12)

3 деячит С>0 1 i £ Ь ^ 00 . Тод! при 1 < Ö оо 1снуб

_ , I . г

едина фукквдя Iß € L.D , а при р=1 - едина узагаль-

мЬЮд) j

пека rdpa Jlt £ Fl так1, iiso розв'язок и зображузться

у вигляд! (10) i (II) б1д1Юб!дко.

Назл!док. 3 теорем 6,1 ! 6.2 випливаа вд

1) простора , ) е мжетшата початкових значень розз'язк!в р!вняння (9) тод! i т!льки тод!, коли розз'язго; задозольняатв ушву (12)'при

i ^ р 4 со i p = i в!,ппоз1дно;

2) для зображення рззв'язк!в р!вияння (9) у вигдет! (10) 41(11) а l|£L.Jl0'ü) ,i jU.eMft?3,a)

необх!дно й досить,' щоб викоиувалась утюва (12).

0GH0BHI РЕЗУЛЬТАТ»! I ВИСДОВКИ

Побудоват I доа11даена ФГЛР задач! КогЛ для парабол!чних за Петровським систем з виродаениям на гочатков!й ritiepiutom-н!. Досл!дкен! властивостi потенц!ал!в, породяешх ШР задач! Кош! для таких систем. Ц! властивост! зикористан! для доведения теорем про' коректну розв'язн!"сть та 1нтогра1Гьяе зоб-рллеччя розв'язгпв.

Нобудовачий i доолйлию&яЯ ФР язда«! Кеда! для одного . клаоу ичх>д?<сик5с парабол! чтота рхвиячь типу Колмогорова, nst мають по шродпення чп п<ттков1й гЬюрплгоцпч!. Длгя одпор1д-тх pttwrntb п. такого класу у ттму плъ6юто виродаеяня на початков itl rlneptuioiuHHf опиоашН: к мм хозв'язк!в, як! зобра-sy»«r,ca у ляглчд! iirrerp/wtp Пуассона одемепт1в спец1альнкх вагона простор!в.

ОСНОЮ1 ПОЛОЯЕШЯ Д-ЮЕРГАЩ1 0ПУЕЛ1К0ВАН1 В РОБОТАХ:

1. Возняк О.Г., 1ваюшен С.Д. Задача Кош! для паря/5ол!чних систем з виродт.енпягл на по четко*Ш гшерплоьдш! // Доп. HAH Укра?ш,- ' 1894.- .'5 6.- С. 7-11.

2. Возняк О.Г. Про задачу Кош i для дояких-пара0ол1чшх систем з вдродгг.енням // Нолипойине краевые задачи математической физики к их приложения.- Клоп: Мн-т математики HAH Украл нн, 1994.- С. 48-49.

3. Возник О.Г., 1васиппп С.Д. Фундт^нтальн! матрьд! розв'яз-

.чаднч! Каш i для ио,рв0о.'йгшх систем я виродэтнням на иочатвдьИ г!нерплощлн!4epnÍBerj>. ун-т.- Черн!вц!, 1995.- 51 е.- Деп. • v ДНТБ Укра'/ш;-12.07.95, В 1808-Ук95.

4. Возняк О.Г. Про !нтсгралыт зобрязяоивя розв'язк*.в riapaöo-л!чшгх систем а виро»!Я<'иьтн // ¡^wj»fturo йпж'.ро.щкн мате-мптичпоТ коиферчнц!?, нрисвяченоТ пчм'ят! Ганса Гана,-4:'puiM'.j: Руга, 1995.- С. 42-60.

'5. .Вознль, О.Г. Про Лундпмеитачышй розв'язок задач! Кош!-дли одаюл» клясу шродг-сних пар-'.боягчькх р!внянь // ?.1-хтер!али лаукпвоУ ft'íüíVpemn'í викл«лач1в, oniBpaöiTmucir та студент 1в, иристяченоТ 1й0-р!ччп зиоцупэтм Черп!в«зцького ун!врроптрту (4-6 трщрнч 1995 pwey). Том. 2. Ф!мчеп-гатеш-tk4¡;i науки.- Чери!вц1: Рута, lL9b.—С. 79. 6. Ьи:ч'.чк О.Г., Ir-асигтн С.Д. Фуцглшмграяытй роав'язок "I Ken! jyui парабол!чного р!шшння другого порядку 3 ви-р"1/гг,инят.| по vr\r,y // Теги долог 1,»«^ на/topo у кочл-роицн [-?■ СТ.,',1" i 'ill1 "ГеОУр'^'З'П'пГо 1'<ПСЛЬТ0''У Тсрно-vi i -''.кмы грдНр.чттут?.- T<ri>itont.m-, 1SS2.-

ÍJ. Kí-íl'V

7. Возняк О.Г., авасшеи С.Д. Про задачу; Коп! для парабол!ч-иого р1впяи1'и з »кр.<да«ииягг V Тезк допов1дей кауково! конферетШ вкладам! в та стуяо1№1в географ!много факультету ТернопЬтьськогэ лед!нстптуту.- ТерпопЬть, 1992,-

с. юе-107. ■ •

0. Возняк О.Г., 1в'1Ю1Рен С.Д. Задача Кош! для параг5од!чшх систем з вкродаеявда на початков1й ггперплопгш! // Тэзи лоиов!де11 'Всеунра5Епсько1 научово*1 тсонференц!х "Повх гид-ходи до розв'яяапая 1Фферр.:щ1гльъу1х р!внянь" (25-27 о!чня 1994 року, м. Дтогобич).- Ки1В, 1994.- С. 31.

Uoznuak G.G.The Cauchy probleu for the parabolic systeas with the degerieratI on?. Manuscript. Thesis for a degree of Candidate of Science t Ph.Г ) in Physics and Mathematics . speciality 0!.01.02 - Differential Equations ChernU'tst - State University ■ Chernivtsl , 1995 . .

The parabolic systems with the degenerations on the' inlr t-lal hvperplain and the soae degenerate parabolic equations <•<!■" considered .'These equations are the saae as the fiorov's equation of diffusion и 1th inertia and they liiivc the degenerations on the initial hyperplain . The fundamental matrixes of the solution.1! of the Cauchy problem are constructed for such systems and equb.iDns , their properties are investigated and some applications of these, properties are obtained.

Возняк 0.Г.ЗадачЬ Нови для параболических систем с внро-■пенияни . Рукопись . Диссертация иа ссисиание ученой степени кандидата физико - математических наук по специальности 01,01,02 - дифференциальные уравнения . Чер-«овицкйй государственннй университет , Черновцы , 1995

Рассматриваются параболические системы с выроядениям? •'.» начальное гиперплоскости и некоторые вырожденные нараАч-лические уравнения типа уравнения диффузии с инерцией Колмогорова , в которых имеются е ,е выровдения на на--чальной гиперплоскости . Построены фундаментальные матриц« ревений задачи Кови для таких систем и уравнений , изучен» их свойства , приведем некоторые применения этих свойств .

ШЧ0В1 СЛОВА : парабол!чна система з виродженняк , задача Ко«1 , фундаментальна матрица розв'яэк1в задач! Ков1 , Фундаиентальний роэв'яэок эадач1 Ко»I , 1нтеграл Пуассона .