Экстремальные решения вариационных неравенств эллиптического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

РГб од

/: ' НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ КІБЕРНЕТИКИ ІМЕНІ В.М.ГЛУШКОВА

на правах рукопису

Солонуха Олеся Володимирівна

УДК 517.9

ЕКСТРЕМАЛЬНІ РІШЕННЯ ВАРІАЦІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ ЕЛІПТИЧНОГО ТИПУ

01.01.09 - варіаційне числення та теорія оптимального керування

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ - 1998

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті України “Київський політехнічний інститут” Мінистерства освіти України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор

Мельник Валерій Сергійович,

Інститут прикладного системного аналізу НАН та Міносвіти України, зав.відділом

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, академік НАН України Пшеничний Борис Миколайович, Інститут прикладного системного аналізу НАН та Міносвіти України, зав.відлілом; кандидат фізико-математичних наук, доцент Когут Петро Ілліч, Дніпропетровський державний технічний університет залізничного транспорту, Мінистерство транспорту, доцент.

Провідна установа:

Інститут прикладної математики та механіки НАН України, відділ нелінійного аналізу, м. Донецьк.

Захист відбудеться “26’ '&/1 1998р. // годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.194.01 при Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ-22, пр. Глушкова, 40.

З дисертацію можна ознайомитись у бібліотеці Інститута кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ-22, пр. Глушкова, 40.

Автореферат розісланий “ ] 998р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради^ —'Г*Моісеенко В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Актуальність теми та мета роботи. Теорія варіаційних нерівностей (ВН) — змістовний та перспективний напрямок сучасної математики, що виник з потреб багатьох прикладних та теоретичних областей. ВН виявилися досить ефективними ігри вирішенні прикладних задач моделювання та керування системами з розподіленими параметрами (СРП), що не мають класичних розв‘язків, вони дозволяють розширювати клас припустимих функцій. Моделі, що використовують ВН, не потребують багатьох обмеженнь, що необхідні у класичному аналізі. Тому останнім часом ВН мають чисельні застосування у технічних та природничих науках, наприклад, у гідродинаміці, у теоріях гнучкості, фільтрації, імпульсних систем тощо. Крім того, модель, що записана у вигляді ВН, частіше легше дослідити через компактність запису.

Проблемою залишаються методи розв'язування ВН. Хоча запис моделі через ВН часто зменшує множину пошуку розв'язків, але навіть у цьому випадку ця множина досить широка. Тому методам розв'язку приділяється багато уваги в сучасній математичній літературі. Ці методи використовують додаткові умови на оператор чи множину пошуку, ніж потрібні для доведення існування рішення. Тому цікаво розглянути ’ конструктивні умови побудови методу розв'язування ВН. Найчастіше це методи декомпозиції чи екстремальної регуляризацїї.

Крім того, залишається проблема узагальнення умов, що потрібні для існування розв'язків ВН, особливо — варіаційних нерівностей з множин-нозначними операторами (ВНМО), та дослідження співвідношень різних класів операторів, тобто подальша класифікація, що дозволить об'єднати до єдиної теорії дослідження різних авторів (Ф.Браудер, П.Хесс - псев-домонотонні та узагальнені псевдомонотонні оператори, Ч.-Л.Йен, М.-

Ч.Шин, К.-К.Тан — монотонні оператори, В.С.Мельник — оператори з пів(суб)обмеженою варіацією, та інші).

Отже, мета роботи — розробити метод екстремальної регуляри-зації розв'язування ВН, що використовує недиференційовану оптимі-оацію та керування СРП; послабити умови, що потрібнії для доведення існування розв'язків ВНМО, та дослідити властивості розглядаємого класу операторів.

Методика дослідження. У роботі використані методи нелінійного аналізу, теорій екстремальних задач та варіаційних нерівностей, опуклого аналізу, варіаційного числення та теорії диференціальних нерівностей у частинних похідних.

Наукова новизна роботи:

- запропоновано метод побудови по абстрактній варіаційній нерівності операторного рівняння о параметром та штрафного функціоналу; побудована таким чином екстремальна задача має непусту множину розв'язків, що співпадає з множиною розв'язків ВН; метод застосовано для екстремальної регуляриаації варіаційних нерівностей о однозначним та множиннозначним відображеннями;

- доведені теореми існування розв'язків варіаційних нерівностей о множиннозначними операторами широкого класу, послаблені умови на обмеженість, неперервність, монотонність і коерцитивність операторів;

- досліджені співвідношення між класами множиннозначних операторів та властивості цих операторів; показаний зв'язок між теоріями узагальнених псевдомонотонних операторів, радіально півнеперервних операторів з півобмеженою варіацією та максимально монотонних відображень;

- метод екстремальної регуляризації застосований до екстремальних задач для варіаційних нерівностей з однозначним та множиннозначним відображеннями;

- для екстремальних задач, що моделюються за допомогою варіаційних нерівностей з однозначними відображеннями, при додаткових умовах на оператор доведені умови оптимальності розв'язку, що сформульовані за допомогою системи нових варіаційних нерівностей;

- розроблену теорію застосовано для нерівностей в частинних похідних на соболєвських просторах: описані та доведені властивості операторів, побудовані регудяризуючі задачі.

Теоретична та практична цінність роботи:

- розроблені регуляризаційні схеми надають критерій наближення до розв'язку ВН, ВНМО та екстремальних задач, що їх використовують;

- екстремальна регуляризація побудована для широкого класу операторів, частина яких до цього часу не мала інших методів чисельного розв'язку;

- теореми існування розв'язків розширюють клас припустимих моделей та спрощують перевірку умов існування розв'язків на фіксованій множині;

- теорія застосована для побудови умов існування слабих розв'язків нелінійних задач у частинних похідних на обмеженій області з регулярною межею;

- результати роботи розширюють знання з теорії множиннознач-них операторів, ці результати та розроблені й використані методи дослідження можуть бути застосовані для подальшого розвитку множин-

з

ного аналізу та теорії операторів в частинних похідних.

Апробація роботи. Основні результати роботи доповідалися та обговорювалися на 1-й та 2-й Всеукраїнських конференціях з автоматичного керування ”Автоматика-94” (Київ, 1994) та ”Автоматика-95” (Львів, 1995); 3-й, 4-й та 5-й Міжнародних наукових конференціях ім. акад. М.Кравчука (Київ, 1994, 1995, 1996), 4th International Student Olympiad on Automatic Control (Saint-Petersburg, 1995), Conference on Modeling and Optimization of Distributed Parameter Systems with Applications to Engineering (Warsaw, 1995), 7-й та 8-й Кримських осінніх школах-симпозіумах (Севастополь, 1996, 1997), Международной конференции по стохастическому та глобальному анализу (Воронеж, 1997), Міжнародній конференції ім. М.Крейна по теорії операторів та її застосуванню (Одеса, 1997), International Conference ’’Nonlinear Partial Difer-ential Equations” ( Kiev, 1997), на Київському міському семінарі о функціонального аналізу (кер. акад. Ю.М.Березанський та проф. д.ф.-м.н. М.Л.Горбачух), науковому семінарі Інституту прикладної математики та механіки НАН України (кер. акад. І.В.Скрипник).

Публікації. Основні результати опубліковані у 4-х статтях [1-4], в 1-х матеріалах конференції [5] та 7-ми теоах конференцій [6-12]. У роботах [3,4] дослідження класів операторів належить В.С.Мельнику, доведення теорем існування розв‘язків - дисертанту.

Структура та обсяг роботи. Робота обсягом 119 сторінок складається із списку позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків, переліку літератури з 74 найменувань та двох додатків.

ЗМІСТ РОБОТИ.

У вступі обгрунтовано вибір теми дисертації на основі аналізу стану проблеми, зазначена актуальність задачі дослідження ВН (ВНМО) та побудови їх розв‘язків, подана загальна характеристика новизни та теоретичної цінності одержаних результатів.

У першому розділі побудовано екстремальні регуляризуючі задачі для ВН о однозначними операторами та для оптямізаційних задач, об‘єкт яких описується за допомогою ВН, досліджені властивості операторів, штрафного функціоналу та функціоналу якості, що збурений штрафним функціоналом. Нехай X — рефлексивний банаховий простір, X* — спряжений до нього відносно деякого гільбертова простору Я, (■,■) — канонічна двоїстість X та X*, К С X — опукла замкнена множина, U -обмежена *-слабо замкнена множина деякого спряженого до банахова чи сепарабельного нормованого простору IL У — банаховий рефлексивний простір, X вкладений в Y компактно та щільно, Y* є спряженим до Y

відносно Н. Розглядається ВН:

{АШ-у) > </,*-»> ^ є к, (і)

де А : X -4- X* є строгим (Dom(A) — X) коерцитивним радіально неперервним оператором о півобмеженою варіацією; та екстремальні задачі

(А(и,у),£-у) > (f,S-y) Ч£єК,{щу)єихК, (2) b(w,y)-Mnf, (3)

де і є слабо півнеперервним знизу функціоналом, А є коерцитивним оператором з рівномірно півобмеженою варіацією, А(и, •) є радіально неперервним для кожного и Є U, для кожного у Є К оператор А(-,у) є неперервним з *-слабої топології Я в слабу топологію X. Для задач такого типу доведені теореми існування розв‘язків (роботи В.С.Мельника).

Нехай Ф — множина неперервних функцій С : R+ х R+ -> JR., до того ж t~1C(R, тЬ) 0 при г -> +0 для всіх h,R> 0.

Оператор Л : —► JY* є

- оператором о півобмеженою варіацією (а п.о.в.), якщо для довільного R > 0 та у, Є X, таких що ||г/,-||х < Л (г = 1,2), справедливе співвідношення: (А(уі) - А(у2),уі - у2) > -C(R, ||ух - jfe|lx)> де С належить до Ф, || • ||^- - компактна півнорма відносно || • ||х;

- с-слабо локально обмеженим, якщо Vy € X та уп у слабо в X, існують N та М такі, що ||A(y„)|jx* < М для кожного п > N;

- коерцитивним на К, якщо існує функція 7 : Е4 -4 К та елемент уо Є А', такі що {А(у),у - у0) > 7(||у||х)|І2/ - 2/о||х, де т(в) “> +°°. ж™;0

S —> +0О.

Відображення А : il х X —> X* називається

- оператором із рівномірно півбмєженою варіацією (з р. п.

о. в.), якщо на обмеженій множині G С Я для довільних и Є G та У і1У2 € X, таких що ||j/i||x < R (* = 1,2), справедливе співвідношення: (А(и,уі) - А(и,уі),ух - у2) > - inf аЗДх-ЫГх), Де ^ належать Ф,

t>£G

II' II х ~ компактна півнорма відносно || ■ ||х;

- рівномірно с-слабо локально обмеженим, якщо для довільної

обмеженої множини G С ЇХ, довільного фіксованого у Є X та, уп —> у

слабо в X, існують N та М такі, що sup ||A(u, Уп)\\у < М для кожного

аЄ<3

п> N\ _

- коерцитивним на К, якщо існує функція 7 : R+ —>• ®. та у0 Є К, такі що inf (А{и,у),у-у0) > 7(||у||х)||у - УоІІХ, Де lim 7(e) = +оо;

■иЄи S-¥+CС

Функціонал Ь : II X X —»• Н є слабо півнеперервшш ониоу (сл. пн. зн.), якщо а того, що уп -» у слабо в X та ип -4 и *-слабо в II випливає, що Ііт Ь[ип,уп) > Ь{и,у).

П-+0О

Метод використовує додаткові властивості операторів о (рівномірно) півобмеженою варіацією: по-перше, якщо / Є У”, де у — розв'язок ВН, то А(у) Є У*, відповідно, А(и,у) Є У* (Твердження 1.1 та 1.2); по-друге, ці оператори на щільній підмножині множини визначення приймають значення в просторі У* (Твердження 1.3); та по-третє, вони мають додаткову корисну властивість (Твердження 1.4): якщо уп у слабо в X, ип —V и *-слабо в ЇХ, А(ип, уп) —> <1 слабо в X* та Ііт {А(ип,уп),уп~у) <

П—+ОС

о, ТО (А(ип,уп),уп) ->• {(І,у) та (і = А(и,у)\ якщо уп -4 у слабо в X, Ііт (А(уп),уп - у) < 0 та А{уп) -*• <1 слабо в X*, то (А(уп),уп) -+ (сі, у)

та й— А(у), Це дозволяє побудувати штрафний функціонал

Р(и,2/)= вир +/3(у)

«€В(»)

або для конуса К: у) = |<», з/)| + /3{у),

де V Є У*, В(у) = {£ € К : ||£ - у\\х < 1}, вир{</,г/ - £) = оо якщо В(у) = 0; /3(ї/) = Ік(у) індикатор множини К {0(у) = оо якщо у £ К, Р{у) = 0 якщо у Є К). Замість (3(у) можно розглядати іншу додатньо визначену сл.пн.зн. функцію, що дорівнює нулю на К.

Твердження 1.5. Функціонал і^и, у) обмежений знизу нулем, пів-неперервний знизу на У* х X та коерцитивний на X* х X. Крім того, і7 має додаткову властивість: якщо Р{ип,уп) —у 0, -* и слабо в X*,

у„-*у слабо в X, то Ііт Р(уп,уп) > Р^,у).

п—Юс

Тоді для розв'язування ВН використовується екстремальна задача:

А(у) = /+», иєУ*. (4)

Теорема 1.1. Рішення (4) існує для довільного / Є У*. Множини розв'язків .ВН та (4) співпадають. Послідовності, що мінімізують значення і*1 та слабо збігаються, прямують до розв'язку задачі (1).

Аналогічні властивості має функціонал Р(у,у), якщо оператор А заданий на парі просторів (ТЬердження 1.6). Будуємо нову регуляриоуючу екстремальну задачу:

А(п,у) = / + V, и Є и,р Є У*, Ье(и, у, и) -¥ іпґ,

(5)

(6)

де Ьє заданий однією о наступних формул: або

Ьв{и,у,ю) = Ци, у) + -(вир(и, у - £}+ /3(у)), є (ЄВ

або

Іе(щу, V) = Цщу) + — (вир<г/, у — 0 + &Ы),

£ (ЄВ

де V Є У*, ре : X -4 М+ належить сім’ї сл.пн.зн. функцій, $.(*/) —> /3 (у) або ^/Зг(у) -¥ /3(у) при є -> +0, наприклад,

’ 1, якщо у £ К£,

Ре{у) = < Рє{у), ЯКЩО у ЄК£\К = {£ Є Х\К : гігв<(АГ,£) < є} ,

^ 0, якщо у Є К,

(5С може мати додаткові властивості. Для кожного є > 0 ця задача має мінімізуючу послідовність.

Теорема 1.2 Нехай для кожного є > 0 трійки (и™, у™,ь™) Є Г/ х X х У* належать мінімізуючим послідовностям екстремальних задач (5)-(6). Тоді можно виділити слабо збіжні підпослідовності {м£„}, до того ж кожна слаба границя иСп -> « *-слабо в Я, у£п —> у слабо в X, і'Єп —> у слабо в У* є розв'язком екстремальної задачі (2)-(3). Теорема чинна для довільного / Є У*.

Наприкінці розділу розглянуті умови оптимальності для пари (и, у) при додаткових умовах, які задовольняють оператор А та функціонали Ь, (3£. Нехай у) = вир (и, у — £), в околі 21 С 17 х X оператор А ?ЄВ(ї)

та функціонал X мають неперервні похідні Гато по и та у (ЮиА, ОуА, ИиЬ, БуЬ), крім того, існує обмежений по и оператор [ОуА(и, у)]-1. Тоді умови оптимальності в околі 23 можна записати аа допомогою системи

{£>„!(«, у) - ОиА(и,у)*Ри, юи -и) + {Ри,гу„ - и) > 0, (ОчРі(у,у)Р„,іп* -V) - (І>иЛ(м,у)*.Р„,іи„ -г>) > 0,

І к ІУ) = 0,

де ОуА(и,у)Ри = £>„£(«, у), ОуА(и,у)Рч = у).

Окремо розглянута регуляризація ВН на соболєвських просторах для задач з вільною межею, тобто коли штрафний функціонал побудован на

межі. В якості модельної розглянута наступна задача

Є К = {у Є Ш1р (Я) : у > Ом.в.наГ = Ш},

де Т)у — градієнт у, а,- (і = 0, п) задовольняють умови Каратеодорі та додаткові умови еліптичності та коерцитивності, / б ЬЧ(П). Тоді ВН відповідає регуляризуюча екстремальна задача

Більш докладно приклади розглянуті в розділі 4.

У другому розділі розглянуті проблеми існування розв’язків варіаційних нерівностей з множиннозначними операторами (ВНМО) для досить загального класу множиннозначних відображень — с-слабо локально обмежених узагальнених псевдомонотонних операторів. Для вивчення цих проблем доведені властивості операторів та зв'язок між підкласами операторів, зокрема й з підкласами, що розглядалися попередніми авторами: узагальнені псевдомонотонні оператори, псевдомоно-тонні оператори, що досліджувалися, наприклад, Ф.Браудером, псевдомонотонні оператори, що досліджувалися, наприклад, В.С.Мельником, радіально півнепєрервні оператори з пів(суб)обмеженою варіацією, монотонні та максимально монотонні оператори. Теорія застосована також для розв’язування екстремальних задач, в .яких об’єкт описаний ВНМО. Крім того розглядаються узагальнені комплементарні задачі.

Пов'яжемо з оператором А : X —> 2х опорні функції та норму:

graphcoJ4, У] —» у слабо в X, —> ги слабо в X* та Ііт (ш3-, у3 — у) < 0

У і ~*У

випливає, що їм Є соЛ(у) та у і) -> (ш, у);

-У]-к~о,і{х,У,Пу) +ао{х,у,Вг/) = /, і=і Хі

г

- с-слабо локально обмеженим в точці у Є ш.сі Бот(А), якщо для довільної послідовнасті Погп(А) Э уп У слабо в X існують підпо-слідовність {ут} та М > 0, такі що [А(ут)]+ < М;

- оператором р півобмєженою варіацією (з п.о.в.), якщо для довільного Д > 0 та уі,у2 Є X, таких що |І2/,||х < Я (*’ = її2), справедливе співвідношення: [А{уі), уі - у2]~ > [А(у2), Уі - у2]+ - С(П, \\ух -У2І|х)і Де С належить до Ф, || • Ц^- - компактна півнорма відносно || ■ ||х;

- радіально півнеперервним, якщо для довільних у Є Бот(А), £ Є

X та г0 Є ®+, таких що у + г£ Є Боіп(А) для кожного г Є (0, г0], маємо співвідношення: Ит [А(у + т£), — £]+ > [А(у), — £]_.

г-*+0

- квазі-обмеженим, якщо існує £ Є іт Вот(А) такий, що для кожної пари (у, и>) Є егарІїсоА, для якої ЦуЦ^ < кг та <ги,г/-С) < к2 (С = <0, Ь)), маємо, що ||ад||х* < -^(^1,^2) < +°°-

У цьому розділі також показано, що радіально півнеперервні оператори з півобмеженою варіацією є с-слабо локально обмеженими, кваоі-обмеженими та узагальненими псевдомонотонними.

Теорема 2.1. Нехай X — рефлексивний банаховий простір, К С Оот(Л) — замкнена опукла обмежена множина, А : К —»■ 2х — с-слабо локально обмежений узагальнений псевдомонотонний оператор. Тоді для кожного / Є X* множина розв’язків ВНМО

[А(у),(-у]+>(/,(-у) € К (7)

непуста та слабокомпактна.

Замість обмеженості множини К можна розглядати умову коерцитив-ності А. Оператор А: Оот(А) сХ-+ 2А* є коерцитивним, якщо існує 2/о € К, такий що Нг/НЗс1^^),» - З/о]- ->■ +оо якщо ||у]|л -> +оо. Оператор А : Оот(А) С А' —> Iх" є ’+’-коерцитивним, якщо існує уо Є К, такий що ІІУІІхЧЖг/))*/- 2/о]+ +00 якщо ІМІх -+ +<*>■

Теорема 2.2. Нехай К С Вош(А) С X — замкнена опукла множина, А : К —> 2х — с-слабо локально обмежений узагальнений псевдомонотонний оператор; крім того, А — коерцитивний. Тоді для довільного f Є X* варіаційна нерівність (7) має непусту слабо компактну множину розв’язків.

Теорема 2.3. Нехай Дг є обмеженою замкненою опуклою множиною, 0 Є £)Г! 21 : І?г 2х' — множиннозначний оператор, що можна розкласти Я. = А + В, де А : Д. -> 2х — с-слабо локально обмежений узагальнений псевдомонотонний оператор, В : Юг -» 2х — максимально монотонний оператор. Крім того нехай [211/, у]+ > 0 для кожного у Є дОг. Тоді включення 0 Є со(А + В)(у), у Є Бт має не пусту слабо компактну множину розв’язків.

Теорема 2.4. Нехай виконані умови теореми 2.1, крім обмеженості Г, А — ’-(-’-коерцитивний. Тоді для довільного / Є X* множина розв’яз-ів ВНМО (7) непуста та слабозамкнена. Крім того, існує щонайменше дин розв‘язок у Є Вг(х) ={г Є К : \\г — хе|| < г}, де [А{у) — /, у — х)+ > 0 ія кожного у Є дОг(х) \ Ж.

Викристовуючи теореми 2.2 та 2.4, можна визначити достатні умови :нування розв’язків включення

соМу) Э / (8)

а довести теорему існування розв‘язку для загального випадку.

Теорема 2.5. Нехай <р : X —ї К. — власна опукла півнеперервна знизу ункція, А сіот(<р) —V 2х — с-слабо локально обмежений узагальнений севдомонотонний оператор. Тоді, якщо А — ’+’-коерцитивний, тобто :нує г/о Є сіот(^), такий що \\у\\~х{\Му),у- 2/о]+ + <р(у)) -+ +оо якщо УІІх ->• оо, то V/ Є X* ВНМО

[-4(2/), £ - 2/]+ + ^(0 ~ <Р(У) >(/,£- У) Ч Є сіот(у), (9)

е (Іот(^) = {£ € X : у>(£) < +оо}, має непусту слабо замкнену множину озв’язків КА якщо А — коерцитивний, тобто існує і/о Є гіою(<р), ажий що Цг/Ц^1 ([А(у), у - г/0]_ + <р{у)) -> +оо якщо ||у||х -> оо, то для овільного / Є X* нерівність (9) має непусту слабо компактну множину озв’язків.

Теорема 2.6. Нехай X — рефлексивний банаховий простір, А : Г —V 2х' — с-слабо локально обмежений узагальнений псевдомонотон-ий оператор. Тоді, якщо А — коерцитивний, то для довільного / Є X* ключення (8) має непусту слабо компактну множину розв’язків. А якщо і — ’-(-’-коерцитивний, то для довільного / € X* включення (8) має не-усту слабо замкнену множину розв’язків.

Розглянуті також операторні включення

соА(у) + дір{у) Э /. (10)

Твердження 2.6. Будь-який розв’язок включення (10) з власною, івнеперервною знизу, опуклою функцією <р, де Оір(у) - субдіференціал іункції ір в точці у Є X, задовольняє нерівності (9). Якщо у Є іг^ с1от(<р) розв’язком нерівності, то у задовольняє включенню (10).

Теорема 2.7. Нехай X — рефлексивний банаховий простір, <р: X -4 І — власна опукла півнеперервна знизу функція, до того ж Вот [дір) = Г; А : X —► 2х’ — с-слабо локально обмежений коерцитивний уза-альнений псевдомонотонний оператор. Тоді, якщо А — коерцитивний, о для довільного / € X* включення (10) має непусту слабо компактну шожину розв’язків. А якщо А — ’-(-’-коерцитивний, то для довільного Є X* включення (10) має непусту слабо замкнену множину розв’язків.

Якщо К — замкнений опуклий конус, а оператор А : К —> Conv(X*) є опукло- замкненр-значним, то важливе прикладне значення має так звана комплементарна задача (КР). Визначимо дуальний конус: К*:={дЄХ*: (у,д}> 0 Уу Є К}.

Тоді (КР) мав вигляд:

відшукати пару (y,d)sKxK*, таку що

d£A{y)nK* та {у, d) = 0. (КР)

Теорема 2.8. Нехай X — рефлексивний банаховий простір, К С Dom(A) — замкнений опуклий конус з X, А : К —¥ Conv(X*) — с-слабо локально обмежений узагальнений псевдомонотонний оператор. Тоді

i) якщо А — коерцитивний, то множина розв’язків (КР) непуста, обмежена та слабо компактна,

ii) якщо А — ’+’-коерцитивний, то множина розв’язків (КР) непуста та слабо замкнена.

Для доведення цього факту були використані лема Дінга про тотожність комплементарної задачі деякій ВНМО та лема 2.4: якщо у — розв’язок ВНМО, де К — опукла замкнена множина, соА(у) — обмежена множина, то існує w Є соА(у) такий, що (w,£ — у) > (/, f — у)

€ К. Одночасно ця лема доводить, що концепція розгляду ВНМО без використання селекторів розширює можливості застосування теорії.

У розділі 3 метод регулярноаціі' ВН та екстремальних задач, об'єкт яких описаний за допомогою ВН, розповсюджено для розв‘язування оадач з множиннозначними операторами, таким чішом, у цьому розділі побудована регуляризація ВНМО та екстремальних оадач, об‘єкт яких заданий за допомогою ВНМО. Крім того розглядається регуляризація узагальненої комплементарної задачі. ТУт застосовується штрафний функціонал, що був досліджений для випадку однозначних операторів у розділі

1. Для вивчення розв'язуваності регуляризаційних задач, відповідності їх роов‘язків ВНМО та екстремальним задачам доведені додаткові властивості операторів.

Підрозділ 3.1 присвячений регуляризації ВНМО. Нехай оператор А \ X 2х є узагальненим псевдомонотонним, с-слабо локально обмеженим та квазі-обмеженим оператором (як доведено у розділі 2, р.пн. оператори з п.о.в. задовольняють ці умови). Тоді. ВНМО має розв‘язки для довільного J Є X*, а регуляризуюча екстремальна задача має вигляд

cdA(y)$f + v, v£X*, (11)

F(v,y)= sup {«, У-£) + /%) -4 inf. (12)

У підрозділі доведені властивості штрафного функціоналу: F обмежений знизу нулем та коерцитивний на X* х X; крім того, якщо F(vn,y„) -у 0,

ч и слабо в X* та уп -* у слабо в X, то lim F(vn,yn) > F(v,y)

Ті-foe

(твердження 3.1). Завдяки цьому задача (11)-(12) має розв'язки (теорема 3.1) та множини розв'язків {у} ВНМО (7) та {у} екстремальної задачі (11)-(12) співпадают (лема 3.1). Послідовності, що мінімізують значення F та слабо збігаються, прямують до розв’язку задачі (7).

Введемо множиннооначний оператор А : U х X —> 2х . Відображення А : U х X -> 2х' е

- узагальненим квазімонотонним, якщо з того що {(uj,yj, wj)} С graph со A, Uj —»• и *-слабо в U, у;- —> у слабо в X, wj —»■ w слабо в X* та lim (Wj,yj — у) < 0 випливає, що w Є соА(и, у) та (wj, y-j) -> (w, у);

fOO

- рівномірно с-слабо локально обмеженим, якщо для довільної

обмеженої множини G С Я та будь-якої послідовнасті {у„} С Dom(A), що слабо збігається до у, існує підпослідовність {ут} та N > 0, такі що sup[A(u,ym)J+ < N; ~

- оператором з рівномірно півобмеженою варіацією, якщо для будь-якої обмеженої множини G Q іі, довільного R > 0 та у і, уз Є X, таких що ІІглЦх < R (і = 1,2), справедливе співвідношення:

ИКг/і),г/і - у2]- > И(и,у2),г/і -»г]+ - inf с„(Д,||уі - у2||*),

де С належить до Ф, || • |[^- - компактна півнорма відносно || • ||дг;

- квазі-обмеженим, якщо існує £ € int Dom(A) такий, що для кожної

трійки (и,у, и>) Є graph со А, дляякої ||u||u < І, ||г/||х < та {w,y-(} < к2 (С = маємо, що ЦиЦх- < N(1, ки к2) < +оо;

- коерцитивним, якщо існує g/о Є X, такий що

inf j|j/)|3^1[A(w,t/), у — г/о]_ —++оо якщо ІІУІІХ -*■ +00. и€и

У підрозділі 3.2 розглянута екстремальна задача

[A(u,y),S-y}+> (f,Z-y) ЩeK,ueU, (13)

-£(«,2/) -4 inf, (14)

де V — обмежена *-слабо замкнена множина простору 11, функціонал якості L : U х X -tie слабо півнеперервним знизу, оператор А :

U х X -+ 2х є коерцитивним, рівномірно с-слабо локально обмеже-

ним, рівномірно квазі-обмеженим, узагальненим квазімонотонним ( достатні умови, коли оператор а р.п.о.в. задовольняє ці вимоги приведені у розділі 2). Для регуляризації цієї екстремальної задачі застосований функціонал якості із штрафом Ьє (див.(6)).

Теорема 3.2. Нехай для кожного є > 0 трійка (ы™, у™, v™) Єї/хХх X* належить мінімізуючим послідовностям екстремальних оадач

соА(ы, у) Э /+ v, ьеХ*,иЄ.и,

Lt(u,y,v)=L(u,y)+~\ sup (v,y-Z) + P£{y) ) -4 inf.

£ \€єв(г/) у

Тоді можно виділити підлослідовності {«р}, {у”}, {і’"}, що збігаються слабо: и" —4 u *-слабо в Я, 2/? —> У слабо в и" -4 v слабо в X*, та кожна слаба границя є розв'язком екстремальної оадачі (13)-(14). Теорема чинна для будь-якого / Є X*.

У підрозділі 3.3 метод застосований для узагальненої комплементарної оадачі (GKP). Нехай К опуклий замкнений конус о X, оператор А : U х X Conv(X*) є опукло- та замкнено-значним, коерцитивним, рівномірно с-слабо локально обмеженим, рівномірно квазі-обмеженим, узагальненим квазімонотонним, інші умови залишилися без змін.

Теорема 3.3. Нехай для кожного е > 0 трійка (и™, у™, v"‘) належить мінімізуючим послідовностям екстремальних оадач

соА(и, у) Э v, veX*,uSU,

Le{u,y,v) = L{u,y) + ^(\{v,y)\+pe(y)) -4 inf.

Тоді можно виділити підпослідовності {и,}, {?/"}, {і'"}, що збігаються слабо: и” -4 « *-слабо в 11, і/" 4 } слабо в X, г£ -4 v слабо в X*, та кожна слаба межа є розв‘язком (GKP)

відшукати трійку (u,y,cl) Є U х К х К*, таку що d£ А(и,у)Г\К*, {y,d)x- 0, L(u, у) -4 inf. (GKP)

У підрозділі 3.4 оа аналогом розділу 1 показана можливість звузити множину пошуку розв'язків регуляризуючої екстремальної задачі. Якщо А : X —і 2х є коерцитивним, радіально півнеперервним відображенням о пів(суб)обмеженою варіацією, тоді на щільній підмножині X відображення А має представники у просторі У*. До того ж, якщо у є розв'язком ВНМО (7), де / Є Y*, то соА{у) ПУ* ф 0 (твердження 3.4 та 3.5). Якщо А : U х X -4 2х є коерцитивним радіально півнеперервним по у та неперервним по и відображенням з равномірно пів(суб)обмеженою варіацією, тоді на щільній підмножині X відображення А має представники у просторі У*. До того ж, якщо (и, у) є розв'язком ВНМО, де

Є У*, то соА(и,у) ПГ/0 (твердження 3.6 та 3.7). Таким чи-ом, для / Є V* достатньо розглянути послідовності о простору У*, які :інімізують (значення функціоналу, хоча слабу границю треба шукати в росторі X’.

У розділі 4 наведені приклади застосування теорії, що розроблена у ерших трьох розділах, для граничних задач у частинних похідних: доедено існування слабих розв'язків, побудовані регуляризуючі задачі для івнянь та включень з однобічними обмеженнями, оператори в яких оа-ані диференціальними та субдиференціальними формами з частинними охідними, та для задач теорії оптимізації. Зокрема, розглянута задача

е / Є Ьд(0), ^ + і = 1, а недиференційовані функції задовольняють мови Каратеодорі та додаткові умови еліптичності та коерцитивності, . також вони є локально ліпшецивими (або обмеженої варіаціє!') по су-упності змінних. Для цієї задачі побудована ВНМО:

[А(у)Л-у]+ = а(у,(,-у) + [Му)і£,-У] + > (ІЛ-У)

ЩЕ ^={<ЄЇ^(П):С|г >0},

Гут Т>іа^(х,у) та Ъуа,1}(х,у) — частинні узагальнені градієнти функції а^(х,у) по змінним ж,- та у\ досліджені властивості оператора та імови розв'язуваності ВНМО, розв'язки ВНМО будемо наливати сла-5ими розв'язками задачі (15)—(16).

Доведено існування розв'язків та побудовані регуляризуючі задачі для ЗНМО, що включають субдиференціал опуклої сл.пн.зн. функції. Задачі

*(у,£ - У) + [9<рШ -»]+>(/,Є - у) V* Є К = {у Є (П): у,г > 0},

(17)

де / € Lq(Q), і + і = 1, р > 2 та варіаційна форма «задана або формулою (17), або

а(у,{ - »> ■= £ + '«>»« ' *>Ь <18>

де оператор с : ІР(Г2) —f L4'(f2) (qr = ^Ц:, р > 2) породжений додатньо визначеною функцією, відповідає екстремальна задача:

A(y)3f + v, ^ІГ = ^, «ЄІҐ,

^(«,у) = jv + І1г/-||і,р(г) —> inf,

де К' — {гі Є ^(Г) : v > 0}, у~ — тіп(у, 0), Д11® форми (17) визначена в (16), а для для (18) — = £ \§%;\Р~2cos(ni, х) . Якщо ж

ї= 1 * *

ця ВНМО задана на множині К ~ {у Є ІУ“,г(П) : ||1>г/||ьр(п) < 1}, то шукати розв'язки можна оа допомогою задачі

соА(у) Э f + v, у|г = 0, v Є Lg(П),

F(v,y) = sup І v(y - t)dx + Ік{у) -)■ inf,

. (ЄВ(у) Jn

Де В (у) = {С Є dK : ||4 — і/||^р(а) < !}• .

Також доведено роов'яоуваність ВНМО, коли область визначення оператора обмежена умовами на Г = 9Г2. Визначимо дію оператора як

(А{у),0= І>2 f ai(x'y}§^^dx+f a°(x’1l)vt+f = / Kdx,

{’j=1n 3 n r n

при чому --§^2 € l{y)i де радіально півнеперервний з півобмеженою варіацією оператор 7 : И^^Г) -» 2W« 1/4 Сг) (і + і = 1, ;> > 2) є оператором Нємицького, що породжується множиннозначною формою к : Ж —ї 2®; недиференційовані функції o,j(x, у) задовольняють умови Каратео-дорі та додаткові умови еліптичності та коердитивності, крім того, вони є локально лішнецевими. Тоді оператор А, визначений цією формою, має непусту множину визначення та V/ Є W~l (Q) має розв’язок задача

Mv) = - £ ^ri{aij{x,y)-§^)Jra0{x,y)y=f наП, і,.7=1 J

v € ^ + 7(у)> w > °> 2/ > 0, j/v = 0 наГ.

Зідповідна варіаційна нерівність має вигляд

J2 j аф, y)~~ °%xf'dx + Ь(У)>€ ~ У]+ ^ J f(t~y)dx ЩЄК,

:’j=lU 1 * П

*е [7(2/)»£ - У]+ = SUP iv,Z - у)г, К = {уе w£(П) : 2/|г > 0}.

чЄі'(у)

У дисертаційній роботі розглянутий випадок, коли К — множина по-зної розмірності, та відмічено, коли ця умова не ґ критичною. Висновки:

1) побудовано новий штрафний функціонал та досліджені штрафні зегуляризуючі задачі із штрафом, розв'язки яких слабо збігаються до розв'язків ВН, ВНМО та екстремальних задач, модель в яких (задана варіаційною нерівністю;

2) доведені теореми існування розв'язків ВНМО для більш загального класу операторів;

3) доведені додаткові властішості радіально неперервних операторів . з (рівномірно) пів(суб)обмеженою варіацією, що дозволяють будувати новий штрафний функціонал та регуляризуючу задачу;

4) побудована ієрархія множиннооначних узагальнених псевдомоно-гонних операторів, що дозволило зв'язати до єдиної теорії дослідження, що були проведені для підкласів цих операторів;

5) розроблена теорія застосована для розв'язку ВН, ВНМО та задач о вільною межею на соболєвських просторах для операторів у частинних похідних та для операторів субдиференціального числення; побудовані так звані слабі розв'язки систем з розподіленими параметрами; наведені приклади розв'язування задач з однозначним оператором за допомогою ВНМО.

Основні результати дисертації опубліковано в роботах:

1. Solonoukha O.V. Extremal Problems in Variational Inequality Regularization// Journal of Automation and Information Sciences, 1995. - Vol.27, No.2. - pp.48-56.

2. Solonoukha O.V. On Extremal Problem of the Variational Inequalities Regularization// Applied Mathematics and Computer Science, 1996. - Vol.6, No.4. - P.733-752.

3. Мельник B.C., Солонуха O.B. О теории вариационных неравенств с многозначными операторами// Доклады АН Украины, 1997. - No. 5.

- С.32-38.

4. Мельник B.C., Солонуха О.В. Про стационарные вариационные

неравенства с многозначными операторами// Кибернетика и системний анализ, 1997. - No.3. - С.74-89. 1

5. Solonoukha O.V. -On Variational Inequalities with Multivalued Op-

erators with Semi-Bounded Variation// Proceedings of the 7-th Crimean Autumn Mathematical Sckool-Symposiurn ’’Spectral and Evolutionary Problems”. - Vol.7. - Simferopol, 1997. - P.120-124. ,

6. Солонуха О.В. Об экстремальных задачах регуляризации вариационных неравенств// Тези доповідей 1-ї Всеукраїнської конференції з автоматного керування ”Автоматика-94”, Київ, 18-23 травня 1994. -К.: Ін-т кібернетики ім. В.М.Гпушкова АН України, 1994. - 4.1. - С.31.

7. Солонуха О.В. Оптимальное управление объектами, описываемыми с помощью вариационных неравенств// Тези доповідей 2-ої Всеукраїнської конференції з автоматичного керування ”Автоматика-95”. -Львів, 1995. - С.130.

8. Solonoukha O.V. Optimal Control of Objects Described by Varia-

tional Inequalities with Multivalued Operators// 4th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olimpiad), Abstracts. - Saint-Petersburg, 1995. - P.12-13. .

9. Солонуха О.В. О свойствах многозначных операторов с полуогра-ниченной вариацией// 5-я Міжнародна наукова конференція ім. акад. М.Кравчука, Київ, 16-18 травня 1996. Тези доповідей. - Київ, 1996. -С.410.

10. Solonoukha O.V. Extreme Problem in Variational Inequalities with

Multivalued Operator Regularization. - Stochastic and Global Analysis, Voronezh, Russia, January 13-19, 1997, Abstracts, P.59-60. .

11. Solonoukha O.V. On solvability of the control problems described by variational inequality with multivalued operator// Mark Krein International Conference ’’Operator Theory and Applications, August 18-22, 1997, Book of Abstract. - Odessa, 1997. - P. 112-113.

12. Solonoukha O.V. On Solvability of the Variational inequality with ’+’-coercive Multivalued Mappings// International Conference ’’Nonlinear Partial Diferential Equations”, Kiev, August 26-30,1997, Book of Abstracts.

- Donetsk, 1997. - P.160-161.

Користуючись нагодою хочу висловити щиру подяку своєму науковому керівнику проф. д.ф.-м.н. Мельнику Валерію Сергійовичу оа постановку задачі та постійну увагу до роботи.

Солонуха О.В. Екстремальні рішення варіаційних нерівностей еліптичного типу. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фіоико-матема-тичних наук за спеціальністю 01.01.09 — варіаційне числення та теорія оптимального керування. — Інститут кібернетики ім. В.М.Глушхова НАН України, Київ, 1998.

Дисертацію присвячено дослідженню варіаційних нерівностей (ВН) з однозначними та множиннозначніши операторами (ВНМО) та оптіші-заційних задач, об'єкт яких описаний за допомогою ВН чи ВНМО. Для цього досліджені властивості та підкласи множиннозначних відображень: узагальнено псевдомонотоннпх та квазімонотонних. Доведені достатні умови існування розв’язків ВНМО. Запропановашій метод послідовних наближень до розв'язку задачі: показано, шо кожна підпо-слідовність послідовності розв'язків регуляризаційних задач, що слабо збігається, прямує до розв'язку початкової задачі. Запропановашій метод побудови розв'язків відноситься до методів екстремальної регуляри-зації. Розроблену теорію застосовано для розв'язку систем в частинних похідних з однобічними обмеженнями на соболевськпх просторах.

Ключові слова: варіапіна нерівність, включення, штрафний функціонал, екстремальна задача, множиннозначншї оператор, узагальнений псевдомонотоннин оператор, узагальнений квазімоиотонний оператор, оператор з півобмеженою варіацією.

Солонуха О.В. Ехстремальяьге решения вариационных неравенств еллиптического типа. — Рукопись.

Дисертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.09 — вариационное исчисление п теория оптимального управления. — Институт кибернетики им. В.М.Глушкова НАН Украйни, Киев, 1998.

Дисертация посвящена исследованию вариационных неравенств (ВН) з однозначными та многозначными операторами (ВНМО), а также оптимизационных задач, объект которых описан с помощью ВН или ВНМО. Для этого исследованы свойства и подклассы многозначных отображений: обобщенно псевдомонотонных и квазимоногонных. Доказаны достаточные условия существования решении ВНМО. Предложен метод последовательных приближений решения задачи: каждая слабо сходящаяся подпоследовательность последовательности решеннй ре-гуляризационных задач сходится к решению исходной задачи. Предложенный метод построения решений относится к методам экстремальной

регуляризации. Показано применение розработаной теории для решения систем в частных производных с односторонними ограничениями на соболевських пространствах.

Ключевые слова: вариаыпоное неравенство, включение, штрафной функционал, экстремальная задача, многозначный оператор, обобщенно псевдомонотонный оператор, обобщенно квазимонотонньш оператор, оператор с подуогранпченной вариацией.

Solonoukha O.V. Extremal solutions of the variational inequalities of elliptic type. — Manuscript.

Thesis for a Philisophy Doctor degree by specialty 01.01.09 — variational calculus and the optimal control theory . — The V.M.Glushkov Institute of cybernetics of National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 1998.

The dissertation is devoted to studykig of the variational inequalities with singlevalued and multivalued mappings (VI and VIMO). We study the optimization problems with objects which are described by VI or VIMO also. For this purpose the properties and subclasses of generalized pseudomonotone and generalized quasimonotoxie maps are studied. The sufficient conditions for solvability of VIMO arc proved. We propose also the approximation method for solving of the studied problems: it is shown that each weakly convergent subsequence of the regularization problems solutions converge to solution of initial problem. This method belongs to the class of extremal regularization methods. This theory is applied for solving of partial derivatives systems with the one-side restrictions on Sobolev spaces.

Key words: variational inequality, inclusion, penalty function, extremal problem, multivalued operator, generalized pseudomonotone operator, generalized quasimonotone operator, operator of semibounded variation.

Підписано до друку 22.05.98р. Папір офс. Друк на різографі. Тираж 100 прим. Зам. чь Надруковано в ІПРІ НАН України.