Асимптотика функционалов от диффузионных процессов с малым параметром, вырождающихся на границе области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ЕРЕВАНСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМШИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЕАЛЬКАШ АБДУЛЬ МАДНИД (САР )

УДК 519.21

АСИМПТОТИКА ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ, ШРОЗДАШЩСЯ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ

Специальность: 01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ереван - 1991

Работа выполнена в Ереванском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук , профессор В.В.Сарафян.

Официальные оппоненты: доктор Зязико-математических наук, профессор В.М.Шуренков,

кандидат флзико-глагематических наук, доцент Р.Г.Сафарян.

Ведущая организация : Институт математики АН УССР.

Защита состоится " 4 " декабря 1991 г. в} 2. часов на заседании специализированного совета К 055.01.12 при Ереванском государственном университете по адресу: 375049, Ереван, ул. "равяна, I.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного .университета.

Автореферат разослан £ " fto№p% 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета к.ф.- M.H., доцент

В.К.Оганян

0Ы1ЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность теш. Существование тесных связей между дифференциальными уравнения?® второго порядка и марковскими процессами било установлено еще в конце тридцатых годов, в работах А.Н.Колмогорова, А.Я.Хинчина, И.Г.Петровского, В.Феллера и других. Первоначально эта связь использовалась преимущественно в одну сторону - из свойств решений дифференциальных уравнений делались те или иные выводы о марковских процессах. Вероятностные рассундения в задачах теории дифференциальных уравнений, в лучшем случае, играли роль наводящих соображений. Лишь после создания аппарата стохастических дифференциальных уравнений К.Ито и И.И.1Ъхманом, стало возможным чисто вероятностное построение диффузионных процессов, не зависимое от дифференциальных уравнений. Это обстоятельство позволило применить теорию диффузионных процессов к изучению свойств соответствующих дифференциальных уравнений, в частности, вырождающихся или млеющих малые параметры. Возник целый цикл, который бал начат работами Хасьшн-ского, Вэитцеля, Фрейдлина (СССР) , Кушера, Фридмана (США) и другах.

Применение теории стохастических уравнений к задачам теории дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных основано на глубокой идее, согласно которой траектории диффузионных процессов могут для таких уравнений играть роль аналогичную роли характеристик в теории уравнений первого порядка. И, так же, как теория характеристик делает геометрически наглядными уравнения.первого порядка, так и вероятностные рассмотрения делают наглядными многие задачи, возникающие в теории эллиптических и параболических уравнений.

Цель диссертационной работа - изучение асиштотических свойств диффузионных процессов с малым параметром,вырождающихся на границе области и исследование предельного поведения первого собственного значения дифференциального оператора, второго порядка с малым параметром,вырождающегося на границе области«,

Методика исследования. В работе используются метода теории диффузионных процессов и теории уравнений в частных производных.

Научная новизна. В диссертационной работе исследуется асимптотика некоторых функционалов от траокторай вэффузиокннх

процессов с малым параметром,вырождающихся на границе области.

В работе найдена логарифмическая асимптотика среднего времени выхода из ограниченной области диффузионного процесса, вырождающегося на границе области, перенос которого направлю во .внутрь области, возмущенного некоторым другим невырожденным процессом. Для таких процессов найдено предельное распределение момента первого выхода на границу. Вычислена асимптотика первого собственного значения оператора + !_.„), где |_ц> оператор вырождающийся на границе области, а строго эллиптический оператор.

Атэобапия работы. Результаты диссертационной работы докладывались автором на семинарах по теория вероятностей и математической статистике в Ереванском государственном университете, институте математики АН УССР.

Публикация. По теме диссертации опубликована статья £11 .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Она содержит 70 страниц. Список литературы содержит 36 наименований. .

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается краткий обзор работ, примыкающих к теме диссертации и излагается краткое, содержание диссертации.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней собраны необходимые сведения для изложения основных результатов.

Вторая глава посвящена исследованию асимптотики среднего времени выхода диффузионного процесса с малым параметром, выроя-дакхцегося на границе области.

Пусть О - ограниченная область с гладкой границей в пространстве Я .

ЬЧе'^Ь. , Ж»

. ■ +£-/<х)-^Ц-т ъх'ъх' ж

Мы предполагаем, что - строго эллиптический оператор в £7 иЬО • Оператор Ь0 , напротив, может вырождаться, и именно этот случай представляет интерес- Предельное поведение решений первой краевой задачи для оператора И существенно зависит от вида вырождения в области О и тесно связано с асимптотикой среднего времени выхода из области 0 диффузионного процесса (Х^ , производящим оператором [} . В случае, когда Ь0 оператор первого порядка, а внутри области О имеются устойчивые <и) - предельные множества, асимптотика среднего времени выхода, исследовалась А.Д.Вентцелем и М.И.Фрейдлином.

Во второй главе изучается асимптотика среднего времени выхода диффузионного процесса (Х^> случае, когда оператор ¡-10 вырождается на границе области.

Пусть коэффициенты операторов \-,0 я 1-ц непрерывно дифференцируемые й ограниченные функции. Предположим, что диффузия процесса с производящим оператором |_1 , , вырождается

только на границе ¡) , а перенос на ^ £) направлен во внутрь области, т.е. мы предполагаем, что оператор 1_>0 вырождается только на границе области и выполнены следующие условия: для

лкЗой точки хе ЪО 1

^Г ¿?'1х)п,-(х)п^1х) = о , ¿У'соп/сх; <. -&< о , (1>

где Я(ЭС) = (ЛДХ), • - • *Аг(ХУ)- направляющие косинусы внешней нормали к ^ 0

Предположим, что направляющие косинусы внутренней нормали к границе О принадлежат классу . Введем вблизи произвольной точки О систему координат так, чтобы в окрестности этой точки границы ось ЭС* совпадала бы с. внутренней нормалью к ЬО • а гочка У-о 11Мела координаты

----------- (0,.хг, ■ ■ ■ ,ХЪ •

Рассмотрим окрестность \) точки }> О . которая покры-

вается единой системой координат, о которой говорилось выше. Пусть • И '/»(Х) соответствующие .коэффициенты

оператора [} в этой системе координат. Предположим, что выполнено условие

х еОПи;

где а ( х\ ■ ■ ■ ; хЪ > ОС > О - непрерывная функция. Из второго из условий (X) и невырожденности оператора в О и ЬО следует, что при 2Сс<^ ЪО •

1\ха)>о . Л1\ха)> 0 .

Пусть

Лху

Т^ 0} ■

'••' В § 2.2 док-азана следующая теорема далцая логарифмическую асимптотику Мх Тр - среднего времени выхода процесса Хг из области 0 •

Теорема 2.1. Пусть Ь0 оператор вырождается только на границе ЪО области о • Граница Ъ О есть гладкое многообразие и выполнены условия (I) и (2) . Предположим, что существует единственная точка ¡/е € ^О , для которой Н0~ Н (И0) — £ = ГПШ Н (X) • Тогда для среднего времени выхода МхТп

процесса X? из области О при £ —» 0 имеет место следующее соотношение: для любого 2С € О

МхГо^ехр\е{И^\ - О)

( Знак означает логарифмическую эквивалентность :

Л^<в1 (Ио)

если ( 1 4 ) -

В ^ 2.3 яэучазтся гоедельноо распределение случайной величины 'Xq - мсмекта перпого выхода процесса ]{\ из области 0 . А именно доказывается слеяукяая

2S2E£i!3_3,i3j. Предполоята, что яыполпсны условия теоремы 2.1. Тогда для всякого е< -> о ■ :пзи X fZ О

л * üMtf9 ' , (tisltfl_> i

ttS&J* й <r04<£~ - • <4>

В главе III изучается вероятностными методами предельное поведете 7ч _ первого собственного значения дифференциального оператора — U" с нулевыми граничными условиями.

В случае, когда оператор первого порядка, асимптотическое поведение первого собственного значения оператора Ц" исс-лэдовалось А.Д.Вентцелем, Д.Э.Фридманом и другими.

Когда /../вырождающийся оператор второго порядка,для которого выполнены обобщенные условия Левинеона, предельное поведение первого собственного значения исследовано В.В.Сара&яном,

Пусть оператор L0 вырождается только на:границе области в выполнены'условия (I) •

Дня. нахождения асимптотики первого собственного значения в § 3J2 доказываются некоторые оценки для Функционалов от процесса ^ . Предположим

У={хеО : S(X,bD) =-f} -

Г = { х с D : />(Х,Ъ0)= s} •

£

Введем случайные моменты времени - О ,

тГ-i >*\еГиЪ0 \ -

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда для любого «<>£? можно указать такое S > 0 . что при всех

(L С и достаточно малых £

- 8 -

l + ae"*E% Mr ^

sS 1 , xe Г s (5)

¿xP{-z~l(H0fi ■+ -к)] <c

^ лег • (6)

С помощью этих оценок в § 3.2 вычисляется.логарифмическая асимптотика скорости стремления к нулю, первого собственного значения ^ оператора — 15 .

Теорема 3.2. Пусть оператор L0 вырождается только на границе ^ 0 области D • Граница £) Q есть гладкое многообразие и выполнены условия (I) и (2) . Предположим, -что существует единственная точка Уо€/>0 в которой достигается ГП/ПНСХ) Обозначим . :

Н0=НШ = тш ИСХ) . «ал.

Тогда

Sw eAX\ • (?)

с —> о

Автор приносит искреннюю благодарность своему научному . руководителю Вагану Вртанесовичу Сарафяну за руководство, постановку задач, теплое отношение и внимание во время работы над диссертацией.

По теме диссертации опубликована работа: ■

I. Балькаш A.M., Сарафян В.В. О предельном поведении среднего времени выхода диффузионного процесса с малым параметром, вырождающегося на границе области. Ереван: Ереванский государственный университет, 1991. - 14с. Деп.в Арм.НИИНТИ, № 21, р 91. 09.05.91 г. _

X

-i