Асимптотика спектра сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЙ БЛ1Ш1РСШ1 НАУЧИМ ЦЕНТР ИНСТИТУТ МАТЙЛАТИКИ С ВЦ

На правах рукописи

ШОТН ХАШР КАШНЗШ

АСИМПТОТИКА СПЕКТРА СИНГУЛЯРНИХ О ЩК1Ю ВЕННЫХ даИЕРШЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ (01.01.01 - математический анализ)

АВТОРР^ЕРАТ диссертации на соискаш1в ученой степени кандидата физкко-матемагачеекпх наук

Уфа - 1991

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ьашкир-ского государственного университета имени 40-легия Октября

Научный руководитель! кандидат физико-математических раук, доцент Х.Х.Ыуртазии

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор К.^.Бойыатов, кандидат физико-математических шук, старший научный сотрудник П.И.Голичев

Ведущая организация: Московский государственный университет пыени Ы.В.Ломоносова

Защита состоится 199.2 г. в _часов

на заседании специализированного совета KD0b.52.0I при институте математики с вычислительным центром Башкирского научного центра Уральского отделения АН СССР (450000, Уфа, ул. Чернышевского, 112, ком. 24).

' С диссертацией можно ознакомиться в библиотека БЩ УРо АН СССР.

Автореферат разослан "/У" ^¿лЛ^-У^ И91 г.

I

Ученый секретарь

специализированного совета, к.ф,-м.н. 'Щце^^ А.Б.Секерин

- а -

01511ЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тещ. Многие вопросы математической физики приводят к задаче изучения спектральных свойотв дифференциальных операторов. Особенно возрос интерес к этой проблеме в связи с развитием квантовой механики. При этом запросы квантовой механики требугт детального исследования так называешх сингулярных дифференциальных операторов. Значительное место п таком исследовании запишет вопрос об асимптотике собственных чисел. Отот классический Вопрос научался в грудах многих известных математиков, таких, как Г.Вейль, Ч.Титчгларш, Ф.Хартман, А.Уинтнер, п.Л.Найиарк, Б.М.Левитан, Л.Г. Косттченко, М.Отелбавв, Ы.В.Фэдорвк и др.

К настоящему моменту достаточно полно разработаны методы выделения первого члена асимптотического разложения собственных чисел. Что касается последующих чченов разложения, то этот вопрос относительно подробно изучался лишь для операторов Штурма - Лиувилля.

Цель работы. Найти несколько первых членов асимптотического ряда дня собственных чисел обыкновенных сингулярных дифференциальных операторов высокого порядка.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

I '.етодика исследования. Используптся методы функционального анализа, теории аначптических функций.

Теоретическая значимость. Результаты и метода диссертации мо -гут быть испольпованы в исследованиях по спектральной теории дпф-¡Т'еренциашшх опораторов и смежных областях.

Апробация работы. Результаты диссертации догадывались на XI Всесоюзной школе по теории операторов в оункциональиых пространствах (гЛзля&шск, ШГл-.), на конференции по спектральной теория цг..'"ерашшальннх операторов (г.Магнитогорск, 193? г.), на

Всесоюзном симпозиуме по теории приближения (»ункцик (г.У/>а,1987г.), на семинаре по спектральной теории несамосопряжешшх дкпперен-ЦИйльннх операторов в МГУ (19ВВ,1990г.г.), на семинаре отдела "функционального анализа" математического института с ВЦ АН Та;у-;. ССР (г.Душанбе,1391г.).

Публикации» Результаты диссертации опубликованы в работах [1-4^. Объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на девять параграфов и списка литературы, содержацего 49 наименований. Нумерация параграфов сплошная бо всей диссертации. Утвярждания, примеры, замечания имеют общую нумерацию, сплошную в каждой главе; первое число указывает номер главы. Нумерация формул аналогична. Диссертация талонена на 95 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖА® РАБОТЫ

Во введении излагается краткий обзор литературы по те).в диссертации и приводятся основные результаты.

В.первой главе изучается асимптотика спектра оператора , порожденного в ¿/"Со,оо) дифференциальным выражением

нУ + г®

и краевыми условиями

Первый параграф носит вспомогательный характер. Ццесъ исследуется вопрос о непрерывной зависимости собственных чисел дц-Мерон-цианьннх операторов от параметра, который входит в коээдициенгн

соответствующего дифференциального внрагашя

/

?к - & (*> , ">бЯ, ^ - область в

Получено достаточное условно непрерывности собственных чисол

Я^/Ц в терминах ко:>|>[>цщшнтов Рх, • условие лег-

ко проверяется во всех случаях, рассмотренных в после,дующих параграфах.

Б § 2 получено асимптотическое уравнение - "условие квантования" для спектра оператора 1л . Предполагается, что вещественно-значиая фуджщш удовлетворяет следующим условия!/.:

1) При Х*Ха , где л имеет абсолютно непрерывную производную и £/*) / оО при Ж ■

2) На (О,х.) суммируема.

Чтобы сформулировать дополнительное условие, введем.в рассмотрение Функции:

Ок - точка поворота, го есть ^ГО3^.» А>0

(¿"Уйд) з г«е У* - бесконечно, дифференцируемая функция, равная единице на отрезке [о,*^} и нулю - на

* .„АН

1 (*.» иг \4Ji-1 № с«в; 1« Л I КГИ.-М Л •

3) При Х>0 И XО , .

Основным результатом § 2 является

Теорема 1.10. Пусть выполнены условия I) - 3). Тогда при достаточно больших "Хуо спектр оператора [_1 опредоляется иа уравнения

где Функции Ф(х) , ^(х) , ^(х) выписываются явно,

причем. = О С

§ 3 посвящен нримйдешш вгой теоремы к операторам с потонциа -лат, имеющими стеленной рост на бесконечности. ■Теорема 1.10. Пусть выполнены условия 1), 'с) к .а) на Функция Ц, трижды дифференцирует, инее г

постоянный анак и

б) С*)/ ^^ & ^ л ~ полсшиельная постоянная.

Тогда

I (С) - 0( + Х---

Легко проверить, что условиям I), 2), а), б) удовлетворяет функция

«до~ 2. ч*4" ус»)>

где "УЧ С-^о,«*), ^>0,^0 ,^,.•■,"¡«>-1.

Основной результат § 3 -

Теорема 1.17. Пусть ^ имеет вид (2). Тогда

(1у спектр оператора имеет асимптотику

„ -ги^+о^ гло-г

где ^>1 , гл^- С. и-» То,-С, ,

^ - постоянные. Аналогичные формулы имем место при 0<С 1- ■

(it) Добавление к фу тащи вида (1) при iv\/(i*\-\)

осциллирующего члена CoS Х^ , f>> О , приводит к появлению

членов

а <гх

где

бд-.^а., $2. - постоянные, причем оамечашш. значения нистоянннх, которые фигурируют в теореме 1.17 и последующих утверждениях вычислены явно.

В fj 4 результаты § 3 переносятся на логарифмические потенциалы . ,

Теорема 1.U1. Пусть удовлетворяет условия» I), ¿), а) и

$>)/£(*) >0<(fj F^CH^)1 э ,

где ' R, 6Л = X , Н; GO 3 W 1 (х) , oi= ovist>0. Тогда

IW-Oii'^ + di^) t>0 ri

-1- x ' Л * h t>0 - любое число.

Теорема I.Ui. Спектр оператора с потенциалом (^Ос^э тлеет асшлптотику

v4tт^Ь ou-'cW"^.-

Во второй главе исслечуется асы,этто гика спектра оператора /» , пороченного в U [ О,0^) диф^юроициальнцм выражением

и краевыми условиями ^-(о) = ¿f Vo) ~ О и "врожденном" случае, го есть когда корни характеристического уравнения шоят но -

- в -

одинаковый порядок роста на бесконечности.

§ 5 является вводным, сдесь сформулированы ооношшо условия на коэффициенты f> и J, и проведены алгебраические преобразования основного уравнения CI}})* ^jf- > ^>0 . Предполагается, что ветв-ственнозиачные функции р и удовлетворяет условиям:

■I) При ЩК* I К»? О - постоянная) функции f и имеют абсолютно непрерывные производные, удовлетворяли!« неравенствам

q, 6 m 4 К , * * f'fc) * Ь* к

где Ai, et, - положительные постоянные, причем

d \ f" j • имепт постоянный :шак;

2 функции f> и суммируемы на ^ А»), В § 6 получено асимптотическое уравнение в случае Пусть Дд - корень уравненш = г Я>0 ;

t | I Pi- /tf^Â^ l^flft ^ t

- бесконечно дифференцируемая функция, равная единице на [о, х,] и нулю па

Теорема 2.Ь. Пусть выполнени условия I), 2) и функция ограничена в некоторой окрестности точки ~t= 1 вида ( /*"1> » У ) ( 5V О не зависит от Л- ) равномерно но

А» ? А-о ( -Л-в ^ О - постоянная). Тогда при достаточно больших А> > О спектр оператора определяется из уравнения

'в функции ФО») } 4ц } (х) вшшсиваится явно, причем

(хЬ О(к^).

И 5 7, используя уравнение (3), получены несколько первых членен асимптотического ряда собственных чисел оператора А при

р(*Ь к^, I»3**, 0< "Иь . (4)

Теорема 2.12. Пусть функции р и имеют вид (4). Тогда при 1 < р < собственную числа оператора /, тлеют асимптотику

(иъ «Л ич^ огЛ),

где С.(к--ц') г , Тл, УА,У3 г О-

постоянные, причем ^ >О (¡.=*1,

Яри ■ О <с ! имеют место аналогичные формулы. Теорема 2.10. Пусть функции р и имеют вид (4). Тогда спектр оператора Д имеет асимптотику

а) при Д.

а,-

б) при А

я, = и У/УУ**)

где = К-ТГ) , ^ 5*3 ; /Уо, • , ~ постоянные, - функция, обратная к функции .=» •

В 5 8 получено уравнение для спектра оператора 1л в случав

^^е^+А .. При этом на ¡¿»ушщия р> и накладываются более

лесткие условия: ,. . п\Р0 _ ✓ ь-ь'-Л

4) на /х, , ' £ П 0(*> К %

5) на + О(х°1~<0, О■

Теорема 2.14. Пусть при р. у Д. выполнены условия I), 2), 4), а при' (Л-Г условия I), 2), 4), 5). Тогда

спектр оператора определяется из уравнения

зси Ф(ь) ■* -Й(й ав (РГл) + 0 Га"1) = о,

где функции > ^ (Л^) и иостояннал ■ У? О определяются

явно.

В §9 вычислены несколько первых членов асимптотического ряда собственных чисел оператора /ц , когда

Гбо*хЬ-ЯЬ), гб^х^+УСх), е0М.(5)

Теорема 2.20. -Пусть ^ и имеют вид (5). Тогда при О р>-Л < Д о( спектр оператора /1 имеет асимптотику

где в (к-/■ (*>/* (?'£)) , 0,7,22, к (~

постоянные.

При А* имеют место аналогичные формулы.

Теорема 2.22. Если ^ и ^ имеют вид (5), где ^ + Л]

то

где М/с,- <20 Ъ

С# <?,) , во, У - постоянные.

Заметим, что в асимптотических формулах для иогаю

выделить последующа. члены. Пмевдиеся здесь трудности носят чи--сто технический характер.

Оснознке результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. №ас;ш Х.Г.. Асимптотика спектра ди^Оеренциального оператора

четвертого порядка// Исследования по теории аппроксимации функции/ Под ред. В.В.Напалкова. Уфа, 1965. 0. 46-61.

2. Ишкин X.К. Асимптотика спектра сингулярного дифференциального оператора высшего порядка // XI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов/ Челябинский политехнический ин-т. Челябинск, 1986, С. 57.

3. Ишкин л.К. Асимптотика спектра сингулярного дифференциального оператора 2и - го порядка/ Башкирский государственный университет им. 40-летия Октября. Уфа, 1986. 15 с. Дап. в ВИНИТИ. 21.07.1986. 4 5296-В.

4.- Ишкин Х.К. О спектре дифференциального оператора о вырождающимся символом// Всесоюзный симпозиум по теории приближения функций: Тезисы докладов/ Уфа, 1907. 0. 72-73. •

Соискатель

Х.К.Ишкин

Ьаказ ЬЬ1. Тираж 100 акз. Ротапринт шшшрсксго униве рои тети.