Асимптотика спектра вариационных задач с эллиптическими связями и псевдодифференциальные операторы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИК НА71С "СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА И 0Р2ЕНА. ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ и«. З.А.СТЕКЛОЗА' (Ленинградское отделение)

На правах рукописи удк 517.43

СУСЛИНА Татьяна Александровна

асимптотика спектра вариашоншх задач с элжптмескши сзязгаш

и псездодифзереншлшке операторы

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения и математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Ленинград 1986

Работа выполнена б Ленинградском электротехнической институте связи ии. проф. М.А.Бинч-Бруевича.

Научный руководитель - доктор физико-иатеиатических

паук, профессор М.И.Бирман

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Н.Д.Копачевский

кандидат физико-математических наук Ю.Г.Сафаров

Ведущая организаций : Оизкко-технический институт

низки : температур АН УССР

Защита состоится " .9.. .foQfêïWi.....198% г. в

..1л... чзс. sa заседании специализированного совета Z 002.38.С4 при Ленинградской отделении ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Математического. института ии. З.А.Отекло'еа АН СССР (Ленинград, наб. р. Фонтанки, д. 27,.колн. 311).

С диссертацией иояно ознакомиться з библиотеке ЛС'Ш{ яу. В .А. Стек лоз а.

Автореферат разослан ".5." .. ¿МО^ХО-... 198

.Учеикл секретарь специализированного совете^ Ç\ ^

Т'пМ V

доктор фдз.-аат. ньук \ А.П.Осколков

1-Л.-Г *] ' *

. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Асимптотика дискретного спектра дифференциальных операторов является однпи из объектов сис-теиотического исследования в анализе, и в математической физике. Результаты, относящиеся к этой области, представляют значительный интерес как с общей точки зрения, так к дм применений 1с конкретный физически содержательным случали. В последнее время существенные успехи б этой области связаны с развитием техники псевдодпфференциальных операторов-(ПД 0). В частности, появилась возможность изучать задачи со связями в виде эллиптических уравнений. С помощью техники ПДО в . работах М.Ш.Бишана' и Н.З.Соломяка получен главный член . асимптотики спектра вариационных задач на решениях однородного эллиптического уравнения. При этом все данные задачи предполагались бесконечно гладкими. С другой стороны, теми ке авторами был значительно усовершенствован вариационный метод исследования спектра, чч'о позволило рассматривать , "негладкие" задачи (без связей), например, задач;: в негладкой области или с негладкими коэффициентами. Мзуоние асимптотики спектра вариационных задач с эллиптическими сьязя- ■ ли в негладкой ситуации (задачи в областях с особенностями границы; задачи в области с гладкой границей , по при наличии дополнительных связей на части границы, и т. п.) является весьма актуальным и отвечает потребностям приложений. Эти приложения лежат, в основном, в области гидромеханики. К указанному типу задач относятся поставленные Н.Д.Яопачев-ским задачи о собственных частотах малых колебаний различных физических моделей жидкости.

Педь таботы - исследовать асимптотику спектра вариационных задач с эллиптическими связями в негладкой ситуации, применить обще результаты к исследовании спектра малых колебаний .жидкости.

- ц -

Метод исследования. В работе используются вариационный метод и псевдодифференциальная техника.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Установлен главный член асимптотики спектра псеэдодиффе-ренциальных вариационных задач на гладком многообразии без края со связями, наложенными на части многообразия. Результат припеке!» к исследованию асимптотики спектра вариацион-Бых задач в области с гладкой границей на решениях однородного эллиптического уравнения при наличии дополнительных связей на части границы.

2. Получек главный член асимптотики спектра вариационных задач ла реаенклх однородного сильно эллиптического уравнения в области с кусочно-гладкой границей.

3. Установлен главнш член асимптотики спектра "нелокальной" задачи типа Стехлова в области с ребром. Результат применен к задачам о спектре малых колебаний капиллярной идеальной и капиллярной стратифицированной жидкости, а такке к одной задаче теории гидроупругости.

4. Обоснованы формулы для главного члена асимптотики в двух задачах теорий малкх колебаний тяжелой вязкой и капиллярной вязкой жидкости.

' Перечисленные результаты язляится новыми.

Практическая ценность. Результаты и техника диссертации ногу? быть использованы в спектральной теории операторов, в теории краевых задач, в теории малых колебаний жидкостей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по спектральной теории операторов при Ленинградском государственном университете им, А.Л. П данов а и Ленинградской отделении Математического института им. В.А.Стеклопа АН СССР в 1965 г,, а также на семинаре кафед-рн математического анализа математического фзкультгга Симферопольского государственного университета з Х9В5 г.

Публикации. Основные результата диссертации изложены з работах [I - 3].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав и содержит 145 страниц машинописного текста и I страницу иллистраций. Список литература вклпчает 34 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы по задачам с эллиптическими связями, показана актуальность темы, описаны основные задачи и результаты работы.

В главе Т. получен главный член асимптотики спектра псевдодифференциальных вариационных задач на многообразии со связями, наложенными на части многообразия.

Пусть Д - гладкое компактное ориентируемое т -мерное многообразие без края; р- £ , Н^ (Д)-пространство Соболева полуплотностей на Д , Н*{Д) - . = Н?,(Л)»... « Н?< (Д) . В пространстве Не(Л) рассматривается псевдодифференциалыше формы (ПДФ) = = ¿1 , (Оу. у) (йц щ , . здесь -

~ "?]-, . ' О-ч ~ ~ классические ПДО, дей-

ствуощие на полуплотности на А » оос/ Рц 4 ^ + ^ , (ЫО^ ^ - ¿эе. , где ъ>0 . Пусть Ру(г^) ,

иге Т"Д \0 , - главный символ (порядка + ) ПДО Р'ч , - { р^ Ы)} . Аналогично определяется

<\Ы) . Предполагается выполненный

Условие 1.1. ПДФ определяет в

эквивалентно норму.

3 работах М .й .Бирмана и I!. 3. Солон /пса установлена асимптотическая формула спектра отношения

(%,¥>) у) , у £ Н* (Д ) .. 3 г лев о I кайдсяа

асимптотика спектра этого стиоиения при'дополнительных

связях на части многообразия Д . Связи задастся с помощи)

матричного кх£ -ПДО Я « { ч и к, а ¡<1 . Здесь

0<к*е , ЫЯц4?}+ dt ,-(dt.....c/JelR* .Пусть

*ty (u") , w £ Т*Д \ 0 , -главный символ (порядка

) ПДО Я у , U*r)*ity(v)}hHK,uj4t . На ПДО Ä накладывается • ■

Условие 1.2. rank X(w) = К , -W £ Т*Д \ 0 .

Пусть До- - открытое подакокество в Д , причем irteim "âДо = 0 , Рассмотрим отношение форм

. VÉH'CA). 5ирр%ед\д0. (Т)

Задача о спектре относевия (I) является "негладкой" в той смысле, ч'Ю связи какла.гываится лишь па части многообразия. (Здесь и стае через обозяачаптся после,чо-затольнке игксимумы отношения (О, а через Ns (л, (•))=■ - Cond{ л : (•) > л] - функции распределения спектра. Если отрицательного спектра нет, то пикек просто N(71,61) s N+(k (■)) .)

Рассмотрим алгзбраические задачи, зависящие от параметра "w е 7"Д \ 0 :

ajw)i =• \p(vr)2 , zeCe, (2)

= Ä.p(t(T)2 , 2 £ С1, iCvJh =<?.

Через !i- ("\,vr \ (•)) обозначается функции распределения собственных чисел отношения (•).

Теорема I.I. Справедлива асимптотика

К'+ fx, M) ~ азг.Глf Г i dw nti<, КГ ; ш) + .

+ > _ ¿XX н* (<,иг; te))] , d*m(S.*Y\

Теореиа 1.1 применяется к вычислении асимптотики спектра вариационных задач с эллиптическими связями при наличии дополнительных связей на части границы. В ограниченной области & С Кт+< , ЗЙ 6 С°° , рассматриваются скалярное правильно эллиптическое дифференциальное выражение порядка 2.С и эрмитовы квадратичные фор-ыы А = АЛ + , В= ВЛ + В9Я . Здесь

АпСа] = 1П $ а„ . (х) Ри с!х , (5)

Число р>0 -целое или полуцелое. Формы ВП , имеют аналогичный вид с заменой в обозначениях ан* 6 , х' в' , р , Число с^ -целое или полуцелое,

у, < р . Все коэффициенты бесконечно дифференцируемы в й . Формы А , В рассматриваются на решениях однород- . н ого уравнения 1Лу, 0)и. = 0; Обозначим НР(Л,Ь) = ~{и.е Нр($2) : 1-й =0} . Предполагается, что

A[u.] ^ С Ви«*а . и. е HP(S2,L).

(7)

где 1) • Пр о - норма в В работах U. ¡В.Бирмана к

Ц.З.Соломяка найден главный член асимптотики спектра отношения ВС и] / АСи] , и й НР(Л, L).

Пусть ]f (х) - единичный вектор внутренней нормали к ЭЙ в точке хе ЭЙ . Обозначим через Э/эvi производную по нормали, 4- V3i> ; = (DJ . =

= {а,..., и] _ данные Дирихле для функции U на Эй . Пусть A'iXijl^^u^i ~ ПДО на Ш , end Яц 4 Sl - j ; выполнено условие 1.2. Пусть Дц - открытое подмнояеетво в dQ , те$тЪАо -0 • Поло-

яим "Нр(ЙЛ,А,Лр)= HPiQ.L): 5ирр(±:ХцУ..,14)с

*

£ , Ь = <.....к}. Рассмотрим отношение форм

±BCu.]/AUJ , ueHp(tt.L,Я.До). (8)

Введем соответствующие "символьные" объекты. Пусть ■ Lg (у >i) , Ц £ Й , , - главный символ опе-

ратора L . Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение на полуоси: Lc(x, jr +>/ix)Dt) i(t) -Ö, t e i?+ xe dS2 , jfliKx) . Через обозначим простран-

ство решёний этого уравнения, исчезающих при t + «*> , Из правильной эллиптичности L вытекает, что d.lm = I . На llx.f) определим формы

= <t + ai% , где

а" Ш = ZZ i[(^WDtfHt) (f-^'Pjdt, fq-

'' u.i + ujsip 16+

Аналогично определяются формы .Из (7) следует,

что fcx^ti] >0 , О Ф f е . Рассмотри« алгебра

чоские задачи о спектре отнопений

, je?(*.?>, TLwZiyix.wiDi'^W-O, i<i<*,

где *f (=c) - характеристическая функция множества До Теорема 1.2. Справедлива асимптотика

iua.W) - JdswUt*+a.*>iim.,r

В главе 2 получен главный член асимптотики спектр? вариационных зад f на решениях однородного эллиптическое уравнения в области с кусочно-гладкой границей.

Пусть К = с- < , i = /.....- открытый един:

Шйкубв Rn1+1 ; Kt » < *КI m +

K'=Ka\K . Назовзм область CcjRm+< кусочно-гладкой ю Хестенсу - Уитни, если для любой точки х е 3G су-*ествует окрестность U С К1"*4 и диффеоморфизм g

Еласса С" , отображающий К на некоторую окрест-юсть V точки у € Э К , причем g(UA&)= Vn К шбо VnK' , 9 (Un2&) = УлЭК .Пусть ЯсИГ" • ограниченная область такая, что Й = uit П . Далее, [усть Ям ~ непересекающиеся подобласти 52 .,

[ричем - кусочно-гладкие по Уестенсу - Уит-

1и, а ••••» - строго внутренние подобласти

Сто есть Q.J с S2 • ). Предположим, что Q - О

[ерез обозначим множество гладких точек границы;

yf(x) - единичный вектор внутренней нормали к Эй I точке хеЭ<>Г2

В области Q рассматриваются скалярное сильно эл-шптическое дифференциальное выражение L(y,D) поряд-са ZC' и эрмитовы квадратичные формы Ал и & - Вл+' I-. Коэффициенты оператора L бесконечно лифференци->уемы в О. . Фориа Ап имеет вид (5) с суммированием ю 1°<<1 , UJ i р ; р> 0 - целое. Оорма Вл имеет 1ид, аналогичный (-5), с суммированием по ( 2.JJ, ,

, IPtl i р ; q, - целое или полуцелое, 0* % < ¡> .

>орма имеет вид, аналогичный (6), с суммированием

ю IH+ Ip«.!* , IpJ 4 р-1 . Матрица старших

юэффкциентов формы Аа предполагается равномерно поло-сительной в £2. ; коэффициенты форм Ая и непре-

>ывны в Ф ; коэффициенты формы принадлежат

:лассам Lx('d&) при подходящем i . Рассмотрим отно-1ение форм

i&tuj/Ап[и] , иеНЧП). L(у.D)">=0. (

При хе Э0Й , t вводятся "символьные

объекты по аналогии с (9), СЮ). Рассмотрим отношения конечномерных форм

Теорема 2.1. Справедлива асимптотика

ГМ*.««)^

, х-т/ир-Я> 5 4$(хИ Л\ Л, а, X. * ; т). ЪЪ 1х*(х)

<15)

В главе 2 установлен также следующий вспомогательный результат, имеющий, по-видимсиу, самостоятельное значение.

Теорема 2.2. Пусть - произвольная ограниченная

' область в К"1*4 , I. - скалярный сильно эллиптический

оператор порядка XI с коэффициентами из 0*455) , Пусть £(*> - расстояние от хсй до "Зй . Тогда для функций и.с НР(Й) , удовлетворяющих уравнению и«. * 0 , справедливо неравенство

< СМ},Я. (16)

Здесь р , к ^ 0 , (р+к) _ целое.

Подобного рода неравенства обсукдались в ряде работ А.О.Фохта, однако теорема 2.2 в полной объеме не содержится в его утверждениях.

Главы 3 и Ч имеют прикладной характер. Здесь рассматриваются поставленные Н.Д.Копачсвским задачи, связанные с малыми колебаниями различных физических моделей жидкое-^ ти. Из эвристических соображений и анализа задач в областях, допускающих точное решение, Н.Д.Копачевский указал формулы для главного члена асимптотики спектра в поставлен пах задачах и возоудил вопрос.о получении этих формул стро гиии методами. В главах 3 к 1 оправданы асимптотические формулы в тех гадачах, которые еще не были решены.

В главе 3 сначала обсуждается одна задача общего характера - "нелокальная" задача типа Стеклова.

Пусть Sic RM+' - ограниченная область, О. е % - классу областей, для которых верны обычные теоремы вложения и продолжения в классах.Соболева.'(Для Q е X достаточно липшицевости .) Далее, пусть граница

Эй содержит гладкуи m -мерную поверхность Г с гладким (т-0 -мерным краем У .. Предположим, что в Q задана форма А с гладкими вещественными коэффициентами:

А[u.] = HZZ Ц. - c^lal^dx.

Матрица а(х)« равномерно положительна, с(х)> 0 .

Пусть Вг - скалярное сильно эллиптическое дифференциальное выражение на Г порядка С <у> 0 - целое), Т| ,..., Т^ -дифференциальные операторы следа, действующие "о Г на У oidTj * . Коэффициенты операторов Вг и Т4 T<j, бесконечно гладкие; предполагается выполненным условие Иапиро - Лопатинского. Через Вг обоакачиы оператор в 1.а(П , заданный выраяе-

нкем Вр на области определения JD('Br)s iue H^il) , Tjiс * 0 (на У ), j = 1 <j,] . Предположим, что

Вг самосопряжен я положительно определен. Тогда ка_ Lt(r) определен компактный оператор Вр . Рассмотрим отнонение форм

t(feJei|)iB?«i)ü^)/A[uJ . иент (17)

где век^'гое яозначная функция 6 в (Г) при подходящем X . (Введение в форму, стоящуи в числителе отнопения (ТО, функции 8(у) методически вынужденно, хотя в приложениях оказывается, что г К . зто замечскг.с касается и задач, рассматриваемых в главе О

Задачу о спектре отношения (17) можно считать обоб-

цениек задачи Стеклова, поскольку: а) экстремали отношения (17) автоматически удовлетворяй однородному эллиптическо- , чу уравнению Lu.rO (в 51 ), где оператор 1_ отвечает форме А ; б) экстремали удовлетворяют уравнению на Г , в которое входит спектральный параметр. Мы ввели термин "не- ', локальная задача типа СтеклоЕа" в связи с тем, что в числителе отношения (17) присутствует нелокальный оператор Е"г . В случае Вр = I ("обычная" задача типа Стеклова) асимптотика спектра отношения (17) была найдена Н.А.Каразеевой и М.З.Солоияком.

Через. ^Сх) обозначим единичный вектор внутренней нормали к Г в точке же Г . Пусть хб Г , В(х,*) -главный символ оператора Вг ; пусть

М (х, £ ^ [ (<ах) М?> Га-Ы 'М ч>(х}) - (а(х) % • Мх))3-] у\

Теорема 3.1. Справедлива асимптотика N♦(51.(4?)) ~ (аогря 9 5 ¿X Ъ (х,Ъ),

^о г

где е»т(И+0Н, М*Л) = (в4(*)В"Ух,*)М-Чх,*))? §

Результат теоремы 3.1 применяется к задачам теории малых колебаний жидкостей. Здесь область

ас к» имеет смысл области, которую в положении равновесия занимает жидкость, частично заполняющая сосуд; Г - равновесная свободная поверхность жидкости, 5 - Г -твердая стенка сосуда, й^'&Г - линия смачивания. Пусть Р - ортопроектор в 1-д.(Г) на

= {а е Ьа(Г) I $ ц,^ = 0} , дг - оператор Лапласа - Бель-

трами па Г , 6 > 0 - постоянная; 0, £ С

"(Г) , *£С(Ю

-'веиеотвешгозначные функции. Через £г обозначии самосопряженный оператор в ^(Г") , заданный выражением

Р(-б"дг + а) на области определения 2)(-Йг)={ае Н*(Г)|

+ -ри. = 0 (на У ) ^П t-a.fr) . Здесь Уъ1

- производная по нормали к V . Предполагается, что положительно определен. Тогда на 1Х(Г) определен компактный оператор &'г* . Задача о спектре малых колебаний капиллярной идеальной (либо капиллярной стратифицированной) жидкости сводится к задаче о спектре отношения

(^И/ГЬ^ЫЧх). ьеН'М. ЫЪ.О. (19)

Здесь , 5>(х)>0 ; для идеальной жидкости

у(х) = Сол^Ь

Предложение ЭЛ. Справедлива асимптотика

ЙМ«)) ~ (Чя)-'6-* 5р1/\'*)сШх). (20)

■к-т+О Г

Теорема 3.1 находит применение и в теории гидроулру-гости. Здесь Г имеет смысл упругого днища сосуда. Пусть Д* - бигараонический оператор на Г ; 0 , р>0

- постоянные. Через Яг обозначим оператор в ^¿(Г) , заданный выражением Р0р-! Д^. па области определения

Я(йг)= НЧПлНЧГМиГ}' .Оператор Вг соио-сопряжеп и положительно определен. 3 теории гидроупругссти возникает задача о спектре отношения

, «кНЧй), иАЬ*0. С21)

Предложение 3.2. Справедлива асимптотика

- -к1'5 Рш шезГ. С22)

Описанные результаты допускает обобщение на случай колебаний системы несмешкващихся жидкостей., Б главе 3 рассмотрена задача о колебаниях системы капиллгрных идеала-

- и» -

них кидкостей.

В главе Ч изучаются две задачи, связанные с малыми колебаниями вязкой жидкости. Задачи формулируются для век-торнозначной функции м. (х) ( и . - ковариантный вектор) и скалярной функции р(х) .

Пусть ограниченная область Й С К1 , Я. £ X , содернит гладкуг) двумерную поверхность Г с лпп-шицевой границей "Х" = "йГ . Обозначим 5 Г .В

& определим квадратичную форму

Отметим, что. Е Си] ^с I ай^д ддя функций ие Н ЧQ) 1 удовлетворяющих условию и|5 = 0 ; С>0 , Пусть ПС*) = Сгц(х), и-зФ} - единичный вектор внешней нормали к Г в точке х £ Г ; и.„, - нормальная компонента и на Г , т(х) = (*) 3 - тензор напрякений в жидкости, в декартовых координатах т«ю = -р$Чк +

+ эх1 ) .Пусть 1=^2., з. где

'Сця^ = ¿1 ти1С, 1гк , - векторное поле на Г ; Т^х) -

1

касательная составляющая поля хк , ч:ип. = 2И т(:к) П; пк -

нормальная компонента поля Хц на Г ,

С колебаниями тяаелой вязкой жидкости связана задача о спектре отношения

• ^ одх) '|и.„,|*-сБ(х) 1|</п\ J• л ..I л (23)

где и->0 -постоянная, й,б1-г(Г) - вещественно-значная функция. Отметим,' что экстремали отношения (23) автоматически удовлетворяют условиям: а) -^ДИ +Ур=0 для некоторого р€ 1-д,Ш) (вместе с условием сЦлг и = £? это означает, что экстремали удовлетворяют системе Сток-са, которая является эллиптической по Дуглису - Ниренбер-

гу), б) Т{л(и) = 0 („а Г ).

Теорема 4.1. Справедлива асимптотика

А-Ч*6эгГ' иГ1 $ 4 с»)¿5 С*). (24) „ - .

Вторая задача из главы 4 связана с-колебаниями капиллярной вязкой жидкости. Здесь предполагается, что Г , 5 , % 6 С* ; угол при ребре У больше 0 и меньше ¿1Г . Изучается спектр краевой задачи

-ju.au +гр =0 , «{¿у и = 0 (в й ),

и = О (на Э ), т^ 0 (на Г ),

С У 5)

(-едг + а(х»ил » * С,) (на Г ),-

и** 0 (на У );

Здесь 6у, > 0 - постоянные, Я 6 С°(Г) - вепествен-нозначная ф/нкция. Постоянная Ст ищется вместе с реыеииеа. Пусть Вг - оператор в , заданный выражением

(-б'Др+а) на области определения 2(В,-)= НЧгОлНЧП. Оператор Вг саиосспряиен. Предполагается, что поло-

яителыш определен на й(Вг)п . Следовательно,

сЯ.т'Нв , где 2Ь = Кея. Вг . На 1-а.(Г)е2й определен компактный оператор В^1

Положим 1 «*€ ИЧШ, 1Х/Ш.

Л!лг и - 0, -^Ли + 7р = 0, = 0 } (Равен ста о -длен гр = =0 понимается в смысле теооии распределений.) Форма Е Г. и 3 определяет в 7£ норну, -эквивалентную норме е . НЧПЬ (и(&)/Ш) . зим определены сле-

ды т^и) и Г^Сн.р.) как элемента (не:% .'орого пространства распределений на Г ). Условие ''ЧиЛи) зыделяет в 7£ замкнутое подпространство

По ч'ушчгеи г & , для которой \ * с< 5 2 ,

определи)! проектор Р-. э \~х(Г) по формуле:

(Р, $)(*> = $(*> - . хбГ.

Рассмотрим отношение форм

У [Яе IЩ) (ь;1 Рг О Е£*],

где <5еС°*(Г) •• вещзствепнозначиая функция.

В главе 4 показано, что задаче (25) отвечает вариационное отношение вида (2В) при в С у > г 1 и специальном выборе функции 2 . Форма, стояе^я в числителе отношения (28), компактна в Их.

Теорема 4.2. Справедлква асимптотика

НЛ\ЛШ ~ ' ЭС*). (од)

Следствие. Для функции распределения N (л, (2.5)) собственных чисел задачи (25) справедлива асимптотика

Основное содержание диссертации отражено в публикациях:

1. Суслина Т.А. Асимптотика спектра вариационных задач на решениях однороднсго эллиптического уравнения при наличии связей на части границы. - В кн.: "Проблемы ыатеы. анализа, вып. 9." Л., Изд-во ЛГУ, 1984, с.84-97.

2. Суслина. Т.А. Асимптотика спектра вариационных задач на решениях эллиптического уравнения в области с кусочно-гладксй границей. - Зап. научн. секин. -ЛШИ АН СССР, 1985, т.147, с.179-183.

3. Суслина Т.А. Асимптотика спектра некоторых з?дач, связанных с колебанияш: кидкостей. - Ленинград, 1205, 79 с. Рук. представлена Леикнгр. электротехн. ин-том связи. Деп. в ВИШИ 21 ноября 1585 г., .1 С058-В. • . •