Атомарные функции и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

и 0 3

' /КАД2ЙИ'НШ №ЛШ ЙС1К0-ЕХШГ-3(ЗШа ШС1ШТ ' 11ИЗШХ ТВШРШР

На прозах рукописи

ЮЛЧЕВ Вдедкшф Алексеевич

шшт, «цш И ИХ ПРШЕНЕНИЗ

01.01.01 - ттсмйтлчошЛ чшолиэ

^ВГОНЗЕРАТ

о

дг!сссрт5ц:о! на сопсхамиз ученой стсосии доктора £!»ж&-1а?ска?ичоск1« наук

/да 61? ...у.

Работа выполнена на кафедре основ высшей математики Харькове» авиационного института иы. Н.Е. Ваковского

Официал ышо оппонелти:

профессор, доктор физико-математических наук, член хс; понден; Украины Б.К.Дзядик.

профессор, доктор физико-катенатическюс наук Л. И.Рошси профессор, доктор фигико-иато1».атичэскик на^к В.М.Ъюои

Беду^й предприятие - 15йтемаи$ческий институт ш. Б.А.Стею АН СССР.

Эшцнта диссортырш состоится " " ^ 1992

в часов на заседании специализированного совета

Д 016.27.02 в Сиэкхо-тахническои институте низких тешорьт} All Украины по адресу: 310X64, г* Харьков, проспект Ленина, тел. 32 - II - 42.

С диссертацией ыожно ознакомиться в библиотеке Физико-технического института низких температур АН Украины.

Автореферат разослан " 2;?-" О 2. 1992 г.

Ученый секретарь

специализированного совета, * NII1 / !)(■ t ! <

профессор . ( <1 < <v -v. В. А. Ткаче!

11 , • . Й

де/Ш'ВЯ ХАРАКТШЯЛШЛ. РЛБОШ '

Актуальность теш«Д" с с ертация -посвящена исследовагспэ атог-арних функций - фкшгтных ретпештй линейных функцио-нально-ли^ереш^ксльшос уравнений с постоянными коэффициентам; и лкнейталдт отклонениями аргумента - и их приненв-нип з ¡математическом анализе - для построения обобщенннх рядов Тейлора для бесконечно дифференц:груе1.ая функций,в теории приближений.Актуальность э того полого направления обусловлена следующими факторатая..

1.Поело изучения аппрокси/ационшзх свойств пространств аналитических функций - многочленов и рациональных функций -

и последующего .изучения аппроксклщисших свойств про- . странств кусочно аналитических функция - всевозможных сплаГшоз - естественно рассмотреть к аппрокспмац'гоннпе • свойства пространств бесконечно диффсрсчцируеилг.но но апг-литкчес;-:н:: функций.

2.Рассмотрело" пространств,порожденных сдвигают функций с малкя: носителям!, допускающих яояаяьние елгеритаы аппроксимации, очень актуальное в настоящее врелч, вызвано потребностям: практаши,например,методами типа конечных элементов или проекционнс-разностоши методами реления краевых задач для уравнений с частнкии производили математической физики.

3.-Зункции,преобразование £урье которых тлеет вид ГТ^игйцХ [ т /

И м

14 И

-ч-

являютоя сстестежш классом бесконечно дий^ранцяруешк н-,тпх куницей.Оаи использовались,в частности,С.'«авдельбр Б. А. Карч епко, Л Дорчгндсроы.

4.Задача построения аналога рада Тейлорз,пригодного дня п;

смоления Згскоаотао даф^срешцфуешх неанаюижчвехих фу»с

т'

является актуальной кздс-шгаческой задаче",'. 5.Эта тсиаетка щейгл близка активно изучаемой в послоднс! Яй георшх ы £" - функций 2,7.

1'елъ работой Иссладовазь атокариш ^шщздамвдсшхь абоб: рядк Тс'лора для «оква$5йа1алятаиесжяс классов бесконечнод рекцирукйк фуикцна ,последовать лшрокгкцадаошшз сьойствг стргнсст якнейкнх еои&швций сдвигов аяоааркых фугсщвй. Назчааа шшзнар» Вез результат диссертации являняср новыг Седова»} рззуяма!ш,взвюсвше ка'-сдардеу: . Х.Взсдеашо -I исследование итсинуивх функций. 2Л1острозвке обсейфзашк рядов Тейлора для ялассоз Н^ /шаночая постаиовау задачи об/сбобчзащк радах Тейлора дж кзлашшлктагасзсах классоз функций а разрао'йжу иагодов рс г:;:я таклх задст/, • .

о.Пос-гроешз м «гучснкс аппрожевцацаоншх свойств прострщ! линоЗкас коцбгакцяЗ сдрлЕгов'фушадо' ир(Х) ,кспорьте ,обл йт'своясиищи: '

а/ С! РГ„ С У /свойство согласованности/,

£/£адаляи Г,В.КЕазкатспс'шо11 ряд к квазнаналитические клее

£уиацгй.- М.:Наука, 1990.- 208 с.

2/МеуегУ. &т'па:ге' ШвВШ - -/9^6. - ^662, Р,2<

' наличие базиса, из сдвигов финитных функций,длины носителей )Чод)ШС стремятся к 0 при П.-» «*> /свойство локальности/. ' эти пространства приблптлю? функции любой конечной гладкос-! так же хорошо,как это только возможно для фулздй этой глад->сти,т.е» являются от отреу-альнкш или'асимптотически экстренными с точки зрения колюгоровскпх поперешшкоЕ,и более то), экстремальная! пст пордпну для приближения некоторых классов юконечно дифференцируемых функций по нормам,учитывающим все юпзводнне /свойство аппроксимащюнной универсальности/.

>актическая ценность.Результаты работы находят применение в - о

тематической анализе,в теории аг, 1кциолально-дифференциа.'Гь-¡г уравнений,в численных методах.В частности,построены базисы некоторых банаховых пространствах бесконечно дифференцируй-х функций,установлен их изоморфизм с классическим! бонохо-т пространствам С °° и С„

тод исследоваттяД Для получения основных результатов работа пользовались метода функционального п гармонического ачалс-, теории приб.йстеняй. .-т

ю \

робация работа. Результаты работы докладывались в течение 75 - 1989 гг. в Харьковском авиационном шетигте на семша-по теории атомарных функций,яа Харьковском городской семп-ре по теории функций,на Киевском городском семинаре по тео-г функций при Институте математики ЛЯ УССР, на семинарах Л.Никольского и С.З.Стечкина в Математическом институте . В.А.Стеклова АН СССР,с?',отаре Г.И.Марчука в ВЦ. СО АН СССР, гонаре С.Г.Михлина в Ленинградском гос^щиверситете,семинаре 1. Тихомирова в Московском госуниверситете, 2-м и 3-й Всесо-юм совещании "Методы сплайн-функций",Новосибирск,на Мезду-

народной конференции по теории приближения функций.Киев, 1983,Всесоюзной конференции по теории функций, Дюпропетр 1985,Летней республиканской гяолн -сеикнарс по соврегеня теории приближения функций,1978 и 1981,Всесоюзной школе теории функциЗ .Ереван 1967,Всесоюзной школе-конференции вреиекные- проблемы теории функций",Баку 1989,семшаро пс теории футщкй Л.Е.Меньгаова - П.Л.Ульянова,!,ТУ, 1981 и К гг.,30-й ЕорокегскоП зныней математической школе,1976,к< рснция к 90 -летию С.Банаха,Львов,1982 .Всесоюзной школе ория приближения функций",Луцк,1989,на 1-ой кеявузовско! ле-сешшаре "Теория приближений и задачи вычислительной ыатики",11одаосковье,1986,3-ей региональной конференции .' рия приближений и задачи вычислительной математики",Ко: бирск,1991.Республиканской научной конференции "Экстрем; ны<5 задачи теории приближения и их приложения",Киев, 199( - 4-й Саратовской зимней школы по теории функций и приблж Саратов,1988,

Нубликатаи. Основные результаты диссертации опубликован двадцати семи печатных работах,список которых приведен : це автореферата. .

, Структура побьем диссертации.Диссертация состоит из_вв пяти глаз,подразделенных на 26 параграфов,списка литера1 ; включающего в' себя 165 наименований.Общий объем дкссерт '210 страниц машинописного текста.

■Л ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТ!! РАБОТЫ.

Бо введении дан краткий обзор по теме диссертации и ; изложение:результатов работы.

ава I.функция Ltp(cc) и се. свойства.Глава посвящека наиболее следованной к саиой простой атомарной функции,которая инее?

Д ■ ^

, ч < Тг t'tJc j—i Sinl'Hjf

/2/

)?орая удовлетворяет уравнении

I содержит изложение простейших свойств функция up^x4) ,

зпосредствекко следу:рзрэс «з $ор::ул /J/t /2/.Эти результата _

t'

элучсны в 1971 - I97£i г. ВЛ.РззяевЕ: к автороы.В 5 3 покагг-э,что komgktu функции ИР(СС.) п жачежя а дзо^що-рацкош-мак точках рациональны п построен ряд специального зуда для ычяслеиия #ункцгс! lip (Л) .В §3 рассгштреко представяетпяз ногочленов в виде,линейных комбинаций сдезгов фунЕзш ар (ос)'. ¡оказано,что-функция U,p.(X) является простейшей фгаттко!': увдщией.лшойкйе ком51®ации -сдвкгоа которой., содержат алгебра-чесигс ккогочлвны прошвйльной степени.В § 4 доказано,что - '^;-■

U,p(Cí) является простейшей финитной функцией таг:ой,что , гта всех п. .В § 5 вводятся атомарные

¡ункци-:

&ирл ах) .Эти функции были введены автором [о определению •

-ее

где

В § б обсуждается вероятностная интерпретация функции ГлаБа П."Атснаркые функции". В § I выводятся необходимы достаточные условия существования ¿кнмиьх решений уравн ■ М

вь) , /б/

где [> &>(0) , ,

Пусть ее*)* II Сй/а е^^ , А - кножестао х< ____ ■ и* <

ней О ' Ь ~ шожестао корней

<В ("О = О ^ с учетом краткости/.Теорема I § I ут: ждаст,что неоСходииш к достаточным условием существовал фжгитиого ненулевого решения уравнения /6/ такого,что

\

является существование инъекции С: А £) такой ,что для нулевых корней она является биекцмей и для всякого ОС С А существует натуральное ГЛ. гакое.что

е Ь •

Если ■ ...»и^-! "О , ¿{^ *0 ,то

Теорехт 2 § I утверждает,что необходимо! и достаточны ус грен существования ненулевых финитных решений уравнения /6/ является существование гтьекцки I .указанной в тс рейс I ,прк с-'.'Ои для

гдо

зствуют фгагатиые решения «где

ение,даваемое теоремой I. В. §'2 рассмотрены простойте ура-

¡шя первого порядка ы пх фишмнне решения,п частности фупн-

<Т т а тт аШап)^'

:ош!я уравнения ' :

л 1

(у " # Сал-м ~а>)

(ь

1зучекшк свойства.Б § 3 рассмотрены некоторые уравнения зппгс порядков и.их финитные решения,в частности функции

-СЗ

шения уравнений

^ . СНГ ц

§ 4 доказана теорема $ плотности атокаршк функций в

Со СЮ

'и любом ■{, .В § 5 щжввдетг некоторые обобщения атогар-к функций,наиболее перспективнне с точки зрения применений.

Општш,что. кроыо атошргшх фугащий .рассьютренпах в: глава пр-«шенеапо налип агомарэзз функции,использование для пос .екия обобщенных рядов Тейлора в paöcfsax Г. А.Старца^,B.M.K чеико2^', С. И. 2абары3Л

Глава III посвл^зна рвсеншо .задачи о- построении обобщенных рядов Тейлора для некоторых классов бесконечно даффоренцкр; шх фушщнЯ.Пусть Н(М) глзсс функций *■?(%)£ С( Is £- 4 , i 1 гшотх.рот

№<W)Ma,»i-o, d,a>... /7/ где M-iMft>o1»ieo,i,a,...} •

Разягашз классы Н (И) встречается с тсорот ураш;

1гг2 с часялсзг производила,?c-cp:ai дафференцкальшх уракгег Сесгоночнсго порядка, теории пр;5д1п:снпЗ,5есрнн фушщаоаупл урахпгехЕЯ.Капр^ер,ограниченные на [о,

vr^zzzzz' еаияу Н (М') вра MtfX'Zft<n+-1)/-2.xbpono г—даа а « и,{ , |>< i ц'j £ И (М) к-ее? p-zizizzr^ 's ряд Тейлора на I

и = 0

п з частности фупкцня j(^) 0Дг«02:ач]:э опрзделяотся ш набору ПрОЕЗВОДЕЕХ ^^СО) .

I/Старсц Г.А.Одшг класс ато^аршд фувгцвЯ и его применение: Л2Гореф.дисс...^Ейнд.фцз.-шг.Ег^.- &pasojr,I2S5.-M с.

г/Крнпчсето В.и.Ксиетрте-ггетво овгоакзег iissosotan глагсесг ярф&орещиру&ш. Фунгцш обебчзкшаш тацагзг Тейяора. Астсрсф.дясс.....хеяд .фаз. -шт.паук. - Харьков,J92Ö.- 23 с,

З/Забгра С.И..//ДШ УССР.сор.А - 1963,!? I,- С. 10 - 12

ЕСзг показал Т.Каряекаа.рзехэдп^асть иашхспилей нешзрз<тщ?-1 казорапта род» <»

ti-i

яесбгоджга п достс?<ппа для таго,чтобы явбая tj 6 Н(М) адпй~

впачяо определялась по табору. ^ ^(0) а п этом слупз

¡гласе Н(М) называется стазтагакатяческпы.д. протея-

пст слутао класс H (M.) вудги Еазпзмь воззазЕанзлизэттасггс».

ГСргг огсгл в класса H (M) • содержатся ^япнтпыа функции es

сколь угодпэ шлеи. носителей. Tairai образен, есла потрсбогзйъ

одлгазпачпой отр'адзлкгоста фугпщк» m кекпазизналатщзехйгй

класса'па- набору прсизгхдагпх (¡ункцет п ивмторих

¡стсяеатаЬ • з?зх течгк доленсс бнгь всюду плотам ira X .

iîprr ото« сстзствепп® требовать,чтобы задаваемая икфортцэд о

lyaaîtpni бшга пеаобытовдоЯ.. f

Сфэрмулнруем задачу о существовании обобщешпк рядсп ТсПяо-ра а натай помадозна /-К31 г./s

Задача. Дгя класс Н(М) Летать точта? СС гц ц „ !ЬвО, i,û,... ,и С- /Vu |Где - пезоторж? покеч!п?о

ета-езтва целке чисел тан,чтобы

а/еиа Н(И), ^бЗД->1*0,1,1,... ,Я

ТО■ (Г,(я) n(ftCX)

3/' сущестс'упт в силу условия о/ однозначно определенное w 4 H СИ) такие,что

где ôfco, a* m,, S?** з /' любая функция УС H ( M ) разлагается вряд

VfÄ)- £ ZZv^&n,*) Vn.lt (X) , /8/'

BOiopHfl: называеюя обобщенным рядом Тейлора для класса Н(Л протеи ряд /8/ и рядя .подученные из пего почленный дзффорз! цярованаея лвбога порядка, сходятся на I равномерна, г/ для любого набора. , (г- о, Л'м. еаксс

4 ейп.

ряда ~ _ А ,яс*)- .

4 »CtA/rt

• '" • i

равномерно сходятся на I u; .Dpa этш,оя!

^o^C^rv,«.) . .Из условия-г/ шщег условна В § I главы III приводится формулировка оуиовшг: рээульта« о решения задачи об обобщенных рядах Тейлора для аласссв t

функций (f(x)G С (I Л таких,что-*

. v ' • . » *

№ wc*4ci)4 cwf^™ i

{ 1" '*

Б качаете ti шбвршотея' точф*

..... » . ... .

функции. Vn^it, .te) при о?сш имев?- вид

Ч'пл^Ь^С^арСа.ей-'1;.

ПуСГЬ V..fp,li3

Геореиа I.

5е:пг; И

га. У^Х) . '

¡.'сорока- 2.

Зущесмуп? /в силу теореш I однозначно опредолешпго / функции

такие-,чгоГ ^ц,И ё , .. <т> •. гч т- о ч

«пПг - ^

Гсорена. 3.

Лусть плела: Сй , >1=0, 1,2.,. удоялегворяв? перавепстааи.

П. о п(п+1)!й.

ч & /Л

!<(> < Я

Гегдз ряда

сходятся па-' I равпокеряо,функция н

Сяодмви'о 1.ЕСЛ1! 4*6 Н^ , ^ < Я ,то .

Ь'О «е^Уп. ... В лтагсЙгтсм пространство Н у коляо ввести следующие

корм

Следствие. 2.Норш /50/' и /II/ эквивалентны, 1 < Р < 2. Пусть - иночество функций Ч> таких „ч

Очевидно,что Н^ , Йу с иориамн /10/,/II/ - б вы пространства.

Следствие З.Еакахого пространство Н ^ с яорцаци /10/ кзоиорфно пространству рграннчекщг: последовательностей с коркой

||<лн^ - зор |о(л1 , 0<= {с<а3 /13/

«яя , < & ,*очыее И^ с ксриой /Ш1/

кзои

но . ■ .. л ■ ■ "

v »

Следствие 4.Пространство Н ^ с норме Г; /10/,/II/ иоо: фио пространству сходаш?эсся к 0 последовательностей' С0 с кормой /13/,точное На с корной /II/ изоиатршз:

К? <1 .

Следствие б.Фушоцш (х) - баокс в пространстве Н

Следствие 6.Непрерывный линейный функционал иа ц]

ставим в виде

^ »ЕЕ, ^^ Я00.(лр-ан,*).

Д er

со

£ «o, i<f<z'

ñ'O ÜCf/rt

уста для V & С Cl) И =0, 1, Z, .

А/ЯСЧ)* {Xél : V<">(X)*<?j 'e opera б.Еслк Л/л(Ч") = /•/(í.tp) , л ~ 0, 1, И, ■

:. Vf о)» 1 ,то VfX)« Llp(X)

I § 2 ,3 доказан« лсгяяг 1-6' ,т которых основаны доказатсль-:тса теореи Ш — 5 дсзазакы эти теоренз.В § 4 построен обсб-;енпнй ряд Тейлора дтя классов Не Ы» В § 5 сбобщен-

ка ряда Тейлора- прккеняэтся для одежи кожгогорсвскях попереч-5GtOB HCKCTCpzrC КИШОК«« а. ' H о jlycïb И Рд, - про-

¡FpriHcrEa- ¿й&зщвЯ яяда •

2p, С* api*- fi Г'1)

га L- d , i 3 .Рйзаераосгь . LLßii- риз:;л Я'*1" 4 и. t i -Густь К çv шизесгва .футздгЛ 'С (г Н^

Й^^ЧЧЧ^ 4 УМА

. í¿CÍ<j><4¿

"огдд ' -

«■У«

- - /»а* 4 ,

-Ia 5.....- *í

?дссь пориа il* й^ из /lÓ/'.Пря oîcîï npcsrrrsrrra скгз-

гризякт я« ясрздяу.Клпсси /14/' и itopja /1С/ »зсжаккгзэ гггзз fSE2 в гесряя |^1па?»гляьао-д^$ере1Щйзльйтгх уразаппй.Тк: сажи подте-зрздяо?ся продполсгежге С.Б.Сг0пкша,ввсяазалзое в

1960 г.,я той,что функция ир(Х) ионе? бить полозка при п

блгаетиос сразу по всей производный.

Глава 1У,кав п- глава III,занимает централЬиоа «осто в рг Она посвящена. взучевню аппроЕсгщацпоюшх свойств простраво построении* с пошцью функции? ир (X) .В § I рассмш троп вопрос с приблюкешпг е помощью лзшсйнхвс комбинаций сдвкгоЗ' тиЯ фуккциг и.р(Я!) .Доказывается следующая теорема, пуск, ¿«н Стга,63 ,тогда Ук>о3 С{ .

. . $.. 1.. В оставшейся часта главы 1У изучается приближение с. псыощы

нейнпх комбинаций сдвигов функция {¿р (X) /без «гатаЗ/

В § 2 доказывается следующая прякая теорема теория првблш

типа ДЕСЕСоаа для прай^икенкй дшейшаш всыбинацияии сдвигс

ф)7шадиг ,

Теореиа.Дхя каждом кааечкого С Я-» & 3 существует помо; тельиоеть П. ' -ыеркис подпростргшетв: /-ирл[г1, 6 ] С С £ £

ГйЯКХ.ЧТВ

Ьар^ [й, б ] . есть яюейкея ободочна П едва: Фугаащт Ор(Ж) »

* СЦ^ДМ]

З/'дяя лрбог» ватурадьцого 1: в явбой фунвцви ^С С начнаая в квжогорвго П = /1(1,61, 6)

,®Д 3 рассматриваются проетрвивтва IX Рд, - пространств Функций на вида

ях.что tf^C-'Ä)« <ес£>(Д\,_ t"= О, j,*,... верность ¿TíV cUtnUPn." £nU . er = , , _

сдвиги функции ( образую? базпс в U Рк

i IX четного' ото базяо аз фуккцпЛ

H^V) = (у Сх-П'Ъ* ,

ргя ft. начетного из функций

зо.-рзистзо tíPlt- ккгаркантыо относительно действия гру-i Ttl сдвигов la tJi!¿Z~n /цшиячеекоЛ. порядка этому шяага построить ортогоаалыпй баэнс в U Pfu ,состо-1й из функций,инвариантных относительно действия этой группы, ÎEIÇîîi ДЛЯ четного : ft, ■ ЕЗД

«5 s=-co ^ * _ а *

5 базис в U Р^СС) .в UP^/lR) в дальнейшем использу-;я ортогональный базко

Т(л) = О'/ , j* '

(д. £ .....а«-

-13- -

.... л*

Построенные базисы в М Р^ используются затеи в § 4 -В § 4 рассматривается задача приближения функций из кла< VII ■ ' функциями КЗ 1\ рк »где УУ £ с<

ит из таких,что 4

" II < Л

, Показано,что при У/ гг(*)

..... * .

т.е.,что *

где с( ^

-поперечник Но. А.Н.Колмогорову жества Д по корив X .Таким образои,для класс ч \У * пространства ЦРд, экстремальны наряда «ригонометрическиыи полиномами и сплайнами. ' ^

В § 5 рассиотрено приближение. функций из АЛ^ ' 4 цияылвэ {¿Р^ по корме С .где класс

функций ДОСК 'С^Г^ДЗ таких,что

и ФЗДк'&ф < 1.'

Показано,что

¿«Ц? «Й, МЛ.«

. -V 91 - 01,= (Й?сг, С)(у + (А» ,

;е С(г(а)-> О при Л-» оо ,т.е. показано,что дая класса пространства С/Р* пвляятся асимптотически гстрсыальшши.

В § "6 рассматривается кнторооляцзя периодических функций з С , «X ] элементами пространства Ц Ра на равноыерной этке.Пусть С Д ] и ЫР^ ,. интерполирует £ £*)

точках 2'"' дая »г четного и в точках ^ £,"л

ля К. нечетного^. Тогда

[оатоыу если* \Д/ ,то

У-^свд ч< .

5яяшг интерполяции тригонометрическими тштаогшыи степени ' л н,

¿, соответствующая оценка хуже -с/ I «

т»сс-ад £ >

где Ц7 у . - тригонометрический полиноы степени £л , интерполирующий ^ (рО в точках равномерной сетки.

В § 7 доказана одна общая теорема о приближении периодически* дифференцируемых функций,которая формально не имеет связи с приближениям!! о помощью атомарных функций,однако доказана с помощью расоуздений,близких к рассулдеиияы § 2 и § 5 главы 1У.

«5

Теорема.

Пуго> дня все* 1 - 4,2-, ■ fr E(WxVU)x X)

«с

л-"»«?

не э&висаг от с «тогда

f. Е (НИЛкк

Um —f—jTT-—"—1 ,

ru-» ео

где

X - одно из пространств , L

С [-vi, 3i 3 , " Lk - пространство разиерности Л/

E(A,L) = sup mf Sj-^lx

, A -feA Y.£L

В главе У рассмотрены применения атомарных функций к р нию дифференциальных и функционально-дифференциальных урав и в часлешых методах, точыое, наиечены пути такта прнаенелн В § I рассиатривае?ся применение атомарных функций к постр решений уравнений вида /6/,уже не обязательно финитных.Есх (f (i£-) - атошркая функция, удовлетворявшая уравнению с 1 же L и CL ,что в /6/,а такие функции.всегда сущес юг, то разыскивая решение /б/ ввиде

оо

yW-J^töWx-Vdt ,

ДЛЯ ^ Ct) получаеы функциональное уравнение вида

едя реглиЕй такого- уравнения есть много кусочно псстояншк ресз-й,пра этом иозка взять 4(Z)~4'.'(X) - йтопар- •

.я фуигцпя,а тогда 1| (а) получа-зсся з вида суыма ряда по [шггаи .3 § 2 сбсуэдаптся eonpocu применения ато-

р.чых функций в тасдентял: изтодая паркодкнаю-разностпого и яро-щисшго-раояссяюго «ш для реееияя краевихзадач для уравпеязй

яропзвод;п.йгл ьатсютичоской физики.3 5 3 рассмотрев !рсп^т:т:ш;1 принензшш обобщенных рддсз Тейлора в числснекх шзто-я/

гяульгатп диссертация- олубянЕозгло! н сладузкззх работах: .•Рвачев В.Л. ,Рвачзэ 3,А. Сб сдггзП фвагп»а <&гаащя/:/%т.,№ УССР, ¡P.A.- 1971,- C.7C5-7G?«

.Ргачаг) В,Л. ,Рвачев З.Л.. ö прздзуавяекиз нногочяеяоа Ф'.ппгатнмп /ПЕцях?ш//Йат«йтст.5Ская fir^Ka.- 1Э72.-1йа.П.- С.125-129.

.Ркачсв В.А. О .¿уикцкях 2l!n.Cw//Kp30B::0 задачи для областей

юяпсй фор«.- К::ов:Пи-<? imtfopHö««® АН УССР,1973.- С.42-44.

, Рвачев H.A. Представление озсспоненциаяыпк фушадай финпткхдлс//'

зяя.АН УССР.Сер.А. - 1973,- Р 9.- C.S2I-824.

.Ргапов Б.А, Некоторое фяяитпов функции и их прииенспие/Л'лте-

угкчасгля физика.- 1973.- Еш.13.- С.130-Ш.

.Ррзчов З.А. Пригежжне функция Ц,р('Я) з вариацимшо-разнсст-

хе методах.- Новосибирск, 1935.- IS с. /Прегфшг/Вцчгмлителышя'

знтр СО АН СССР,сс:лптар ГЛЬКзрчупа: К? 16/.

.Рвачев З.А. Атскарнио фушгцпн/Д'л'?.анализ н теория вероятностей. Киег:Ин-т математики АН УССР,1978,- С.143 ~ Кб. .Рвачев H.A. Одна ортоиормуроЕап'л:» скстсгга па основа функции Up {X) //та:х жес. 146-150.

с

-22> . .

Э.Рвачев В.Л. О приблаяеяии ч помощью функции /

Д«1 СССР.- 1977.— Т.233.Р 2.- С.295-296. Ю.РвачевВ.Л. ,Рв$чев В.А. Неклассичйские метода теории г женкй в краевых задачах.« Киев:; Наукова думка,1979,- 196 И.Рвачев В.А. Некоторый вопросы.теории атомарных функци! Математические метода анализа динамических систем,- Хары ХАЙ,1979,- Еып.З.- C.6S-68.

12.Рвачев В.А. О приближении периодически: ".ифференцируеь функций// та« ze, С.68-69.

13.Рвачев В.А. Некоторые применения атомарных функций к j ди^ференцяальио-ф-ункциональных уравнений//' там зкв • - IS3C Вып.4. -.С.53-54.

14.Рвачев В.А. Некоторые экстремальные свойства атомарных кций// там sa,. - С.54-56. ,

г

15.Рвачев В;А. К теерш атомарных функций//таи ке.- 1981. Выц.5,- 3.40-42. • . >-

16.Рвачев В.А. О восстановлении финитных бесконечно дно*Je руешх функций по. нулзм их пропз20дннх//тсм же. - С.46-41;

17.Рвачев В.А.. Обобщенные роды Тейлора для бесконечно ди£ ронцнруешх фуикцаЯ//там se.- .1982,- Вил.6.- C.99-IQ2; Ю.Рвачев В.А. О кекоторж классах бесконечно дифференцир функций// там же.- 1983.- Вып.7.- С.3-5; ' ' ' •

19.Ргачев В.А. О сходимости обобщенных рядов.Тейлора//таы - С. 13-15,-

20.Рвачев В.А. О построении обобщенных, рядов Тейлора// та 4г 1984,- Вш.8.- С.29-32.

21.РЕачев В.А. О приближении периодических дифференцируем функций с помощью атомарных// там го.- 3985.- С.ЗО - 36.

2.Рвачее В.А. О приближении атоиаршся! функциям://Теория ркбяияення функций.Труда Ыездународпсй конференции по тсо->ии приближения фушсцнй.Киев.КВЗ г.- М.: Наука,1907.-1.375' - 377. '

!З.Рвачев В.Л. Атоьирлке функции и теория приближений// .'руда ШАН,- 1937,- Т.180,- С. 186-187.

!4.Рвачев З.А. Обобщешше ряды Тейлора для бесконечно ди^фе-ренцируеишс фушсциЯ//Тезисы докладов Всесоюзной школы по те-)рют функций.- Ереван,1987.- С.85.

25.Рвачев В.А» 0 приближают бесконечно дифференцируешк функций с поноп^ьп атсмарных//Тезисц докладов ..Всесоюзной пиоли "Теория приближения функций" - Киев:Ин~т математики АН УССР, 1985.- С.131. -

гб.Рвзчез В.А..,Иванов Ю.А.,Ку5ничешго В.Ы.,Старец Г.А.. Обобщите ряды Тейлора для некоторых алассов бесконечно диффе-ренцируешзх функций//Бсесогзная пкала-конферонция "Современные проблем» теории функций" .Тезисы докладов.-Баку, 1989,.-С.90.

27.Рвачев В.А. &пга'лше решения фушсционально-дифференциаль-иых уравнений и их применения.//Успехи ыатешгнческих наух,-1990.- Т.45,вып.1. - С.77-103.