Некоторые вопросы теории обобщенных рядов Тейлора и атомарных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ХАРЬКОВСКИЙ ГССУЛАРСТБЕШй У№1ВЕРСОТЕТ

:КЕ ВОПРОСЫ'ТЕОРИИ СООБЩЕННЫХ РЯДОВ ТЕЙЛОРА И АТОМАРНЫХ ФУНКЦИИ

01 01.01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание учгкой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Харьков - 1993

Работа выполнена на кафедре основ высшей математики Харьковского авиационного института

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

доцент РВАЧЕВ В. А.

Официальный оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Байенко В. Ф., (Днепропетровский гссуниверситет ), доктор физико-математических наук, . доцент Гришин А. Ф.,

С Харьковский госуниверситет). . Ведущая организация - Институт математики АН Украины, г.Киев

— -/¿Г

Защита состоится "Ь " 19 года в /5 часот?

на заседании Специализированного Совета К 033.08.02

Харьковскогягосударственной?университета С310077, Харьков, пл. Свободы 4, ауд. 6 -'483.

С диссертацией можно ознакомитесь 1» центральной научной библиотеке ХГУ.

Автореферат разослан "И-Г сентябри г$93

года

Ученый секретарь Йй«аал»гаированного совета

А. С. Сохин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА P^'Td!

Актуальность темы. Диссертация лссвяцена изучению и развитию обобщенных рядов Тейлора, их применена» при решении функционально-дифференциальных уравноилй, уточнению сценок констант в банаховых пространствах бесконечно дифференцируемых функций. Актуальность этой чал^-ш обусловлена следухздям:

Б теории приближений и вычислительной математике находят успешное применение обобщенные ряды Тейлора iOPT). построенные с помощь» атомарных функций (а. ф.Агаарат ОРТ и а.ф. позволяет успешно исследовать ряд функционально-дифференциальных уравнений СФДУЭ, которые применяется в таких областях естествознания, как теория переноса и рассеяния нейтронов, теория распространения волн и другие.

Целью работы является развитие теории обобщенных рядов Тейлора с использованием атомарных функций для новых классов бесконечно дифференцируемых функций и их применение при решении линеЯннх функционально - дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Все результаты, полу"екны9 в диссертационной работе, являются новыми.Работа носит теоретический характер.Ос-основные результаты работы следующие:

1). Построены ОРТ в точках, принадлежащих некоторой окрестности нулей производных порядка j атомарной функции «р(х)..

2). Доказана теорема единственности ограниченных решений в многоточечных краевых залачах для ФДУ вида

у' Сх) = \у(2х), I * 2, |\| < 4.

3).Уточнена оценка констант в основных лешах к теоремах для OF? в банаховых пространствах бесконечно дифференцируемых функций.

Практическая ценность. Результаты диссертации когут практичен т применяться в теории функций действительного переменного, в час? иссти, в теории приближения функций, теории фунхиисналыю-дифф©рвн-'цнальныч уравнений. Некоторые результата перспективны для прнкеиени в численном анализе.

Метод исследования.Основные результаты работы получены ва ос нова методов конструктивной теории функций, использованы элементы теории сплайн-фу&каиа, атомарных Функций t функционального анализа.

Апробация работы. Результаты, полученные в ходе исследования неоднократно обсуждались на семинаре по теории атомарных функций кафедры основ высшей математики Харьковского авиационного института. Основные результаты работы докладывались на Республиканской конференции по теории приближения функций, г.Одесса, сентябрь 1988г и на Международной конференции по теории приближения и задачам вычислительной математики, г. Днепропетровск, май 1993г.

Публикации.Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 8-ми печатных работах.

Структура и обьем. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Главы подразделены на 13 параграфов. Общий обье-м диссертации - 119 страниц машинописного текста, список литературы вклвчает 68 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обзор по теме работы и смежным вопросам. Подчеркивается, что глубокие исследования по атомарным функциям и их приложение к различным вопросам анализа бчли впервые предприняты В. А. Рвачевым. В настоящей работе рассматриваются финитные бесконечно-

дифференцируемые функции, удовлетворяющие линейным ФДУ. типа . ' ■ и • ' ■ ■

: ЬуСхЭ = \ ^ СкуСах - Ьк) ,

кп

где

■ • • +а,;0 = {¡у ; |а| > 1: а^.Х.С^б й; 1 = ГТТ.

В главе 1- описаны а.ф. ирСх), ирСх/М, у*ь<х), ^СхЗ, Ь(СхЗ,

1 (х). Введены пространства неквазианалитических функций , Нр,

Нй. А , ;В , которые используются в дальнейшем. Для удобства применения при доказательстве новых теорем приведены без доказательства лемма о мажоранте СЛ. 15, основная лемма С .1.2;, а также леммы Л. 3 - Л. 6. Сформулированы теоремы Т. 1— Т. 4 и следствия к Т.З. В §4 главы 1 проводится доказательство Т.З для пространства Ну (доказательство автор аЗ. Соответствующая этому случаю теорема обозначает-

ся как Т. 1.3. Д.

Теорема 1.3. Д . Если ЛСх) е Ни, то

1. Имет место разложение в ОРТ

со

|с 61*1

2. Ряд СО.1) и ряды, полученные в результате его

j - кратного дифференцирования сходятся равномерно В главе 2 для про транства ^, автором доказана основная

лемма, которая обозначена Л. 2* .

Лемма 2*.

1. Для Функций Г1. к 1. выполняется соотношения

1. .

1.1. tt h. Il,i = 1 + Lai

1.2. I! 1 II , = 1 - ; j > 1.

J hu 2J 1

2. Пусть p , i б А, , Тогда

¡ a- j

11 " Pa l!il 5 rbr •

i 3 L(I) 2J-a

Там асе в §2 введены константа

g. = s u р m а х ijpllri ; s = O; E_=[-l+s/g;-l+ ^гЧ;

J , p € в, s e s L & i

r J в

Л Я? л»

= s u P —~-nrrsTi; k = 0.1.2, . . .

<p * o*

Вычислены gj и Ki для 1= Ö7Z. С учетом -полученных результатов

выполнены оценки констант в леммах Л*, 5*, 6* » ^

Яегл'.а С. Пусть рСх) е , j > 2 .

Тогда И*»Л,_ 5 -р. я .

j Uli 4 к,о

fcijc

• где Сл ' = 13 • Р„ = 2 0 -s к й jr - г.

» к,а

Лемма £* Пусть 1. рСх) = ^¡Г СккСх);

2. |С | < М.

Тогда 1|рУЧхЗВСа, 5 М-Сд ; Сд = 4,9. Лемма 6*. Пусть

1. * ' 5

к€Я,

.< С.1 Г! 3 *

2. 1(^1 5 м-РЬв. где Р-в*г.- .

с

Тогда • В ¡р'г)||С(1) < С§СгЗ М.

Рассмотрим класс Н_С0,2] таких функций ¡рСхЗ , что р

Нр10.23 = {Г е С°°Ю.г1: |^,СхЗ|<ССП^2'!уп>/а;1<р<2и=0Л,2...|.

о

Введем пространство Н^[0,2] -

Н С0.2] = (г б С®(0,2]; ^'(х) |<а(СГЗр^*1 '/а;Ша. С«=0;1<р<г.) р I 13 J■«) ' )

, В пространстве Нр[0,23 введем две нормы

м = 5 и р -—

"V. ~ ■* Г' Р>- 2^+1)/а

ёсй . 5 5 и с ■............. 1.1*.- ,

МР8нРл !т Р1 '

Как показано в 155] норы« и 11уЙн эквивалентны, т.е.

Рл ря

И

3 а, Ь > О, что а ||р|!к < JpJ < Ь-И .

р, 1 ' р,г р, 1

Если 1 < р< 2 и р < р, то Н^СО.21 с Н [0.2] .

о

Следует отметить - пространство Я с нормой |! р Ц. изометрично

р Р.з

поостранству со где сс - пространство стремящихся к нулп последовательностей с ilxll = sup |х |. т.е.

S пг ■ п '

со = { V n в ьг.... }

В главе 3 рассмотрены вопросы восстановления бесконечно диффэ-

о

ренцвруемых функций из класса Кр по информации о значениях производной этой функции в точках х-..., близких к х . , т.е. исслгдо-

J,К

вана возможность изменения С"шевеления") Xj к на х^ ^ такта образом, чтобы по значениям fu4x. . 3 в новом наборе точек тоже

J Л

можно было восстановить f(x) с помсаьо ОРТ. Доказана теорема 3.1 однозначной ьосстановимости функций ffx), принадлежащих клас-«У Нр.

Теорема 3.1. Пусть 1 < р ^ 2. Существует Л > 0, что

г

для ЛВбЫХ Xj k , для которых выполняется -

'V - < V2"J' Гле

х, = k-2l*J, если J > 0, х= k е { 0;il > '

J »К 0»<

для любого набора С^ fc, у которого Cj О

судестьует единственная функция /Ся)

о

из класса НрС-1,1] такая, что

и /СхЗ = V Ус. / .. _Сх).

J =о кб^

где ^.к,рСх) - кСх) б Нр[-1,1],

Отметим, что

б™ ; 6* - символы Крокекера. В банаховых пространствах функции образуют базисы -

о

всякая функция рСх) е Н^С-1,11 представима в виде ряда и это' разложение единственно, причем

.Ш+и. а •

В этой же главе с ломощью теоремы 3.2. построен ОРТ в окрестности

'о

точек х^ л. Если некоторая функция <еСх) е Нр , тогда обозначим со

; .со. аз

1=о ¡е£Н|

где С^Ср) .= , 1 = 0,1,2,...; к б И,.

О

Теорема_ 3. ё. Пусть ?СяУ с Н и числа 0

Г МЛ

удовлетворяют нергвенстваы

|С1к) < 1 < р < 2. Тогда

1. Ряд . СО, 23 сходится рзвномерно

со всеми своими производными.

г. с схз б н„.

о Р

3. рСх) = ро С хЗ В §3 главы 3 с помсиьи ОРТ доказана теорема 3.3 единственность решения в многоточечных краевых задачах для Ф5У вида

у* СхЗ - ХуСЕхЗ, К * 2. |Л| < 4. СО. 3.1

Обозначим у^хЗ, угСх) через У1,2СхЗ. Теорема 3.3.

1. Пусть функции у(СхЗ, уЧхЗ ограниченные на П,1" т. е.

I У, I' < С.

2. Совпадают в нуле и-в четных целочисленных значениях аргумента, т.е. у1 С2кЗ = угС2к), к = 0;1;2;...

3. Являются решениями СО. 33, т. е.

^ :гСх) = Iх! < 4-

Тогда

у СхЗ 5 у СхЗ; х е Й*='£0,оо3.

>. а

В главе 4 в §1 построены точные- решения уравнения вида у'СхЗ - куСх) = ХуС 2x3. Построение точных решений выполнено'при использовании/доказанной теоремы 4.1. о "начальных юю&естБах". Теорема 4.1. Для решений уравнена* вида-.

существуют два непоресекакшхся отрезка

С "начальные множества"} Е1'' и £'г; таких,

о # с»

дво произвольные начальные функции Г" Чг)

£и>Сг), заданные на Е^ и Е'*\ единственным образом определяет решение уравнения. Там же доказана теорема 4.2. о приближении линейными комбинациями сдвигов функции у С'Х!).

Теорема 4.2. Для любой непрерывно-дифференцируемой функции ¿"СхЭ из интервала Е = [а;Ь1, т.е. ГСх) б С^, для любого положительного с существуют Ь > О и такие коэффициенты Т^, что

!!ГСх) - £ Т^-у^Сх - <

J ' Е

• * ьСх3

Г5е Ук ьСх) = у~ГОТ '

' т ,п

Б §2 главы 4 теоремой 4.3. доказана плотность решений в виде линейных комбинаций сдвигов сжатий а.ф. ук для

ФДУ вида уравнения

у'Сх) - куСх) = ХуС2х)

в пространстве всех ограниченных решений на любом интервале.

Теорема 4.3. Для любого решения р(х) уравнения у'Сх) - куСх) = ХуС2х),

для любого ь- > 0 на интервале 0 , при

любом натуральном б существует Ь и точные

решения приведенного уравнения <р вида

к

такие, что 111? - р*Нс« < е-

Автор Бнражает глубокую признательность В.А.Рвачвву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Положения, выносимые на защиту,

1).Построение обобщенных рядов Тейлора СОРТ) для неквазиаааяити-ческого класса функций Н^ для точек хп у.

2) Решение вопроса об однозначном восстановлении функций из некоторого неквазианалитического класса по набору значений п - ой производной в точках XI,.

П , К

3).Уточнение оценок констант в основных леммах и теоремах для ОРТ в пространстве неквазианалитических фунхций.

4). Аппроксимация а.ф. ук ьСх) и теорема о плотности ревепий в виде линейных комбинаций сдвигов сжатий а.ф. ук<ьСх) для ФДУ вида

/Ш - к-уСх) * Х-уС&О.

Результаты по теме диссертация опубликованы в слэдувди работах.

1.Малицкий И. И. Применение атомарных функций для построения решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. -В кн.':Мат.методы анализа дикам.систем. -Харьков.;ХАИ,-1381. -Вкл. 5. -С. 48-50.

2. Малйцкий И. И. О применении атомарных функций к решение дяффэ*-ренцаально-функциональных уравнений. -В кн.: Мат. методы анализа

динам, систем.-Харьков.: ХАИ,-1982.-Вып. 6.-С. 106-107.

3.Малицкий И. И. Некоторые применения обобщенного ряда Тейлора для решения дифференциальных уравнения с отклоняющимся аргументов --В кн.: Мат. методы анализа динам, систем. -Харьков. :ХАИ,

-1983.-Вып. 7.-С. 8-10,

4. Налицкий И.. И. Обобщенные ряды Тейлора и теоремы суцествоЕания и единственности решения'для дифференциально-функциональных уравнений. -В кн.; Мат. методы анализа динам.систем. -Харьков.:ХАИ, -1984. -Был. 8.-0.85-29.

5. Малицкий И. И. Применение обобщенных рядов Тейлора в теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

//Докл. АН УССР. -Сер. A. -1SS5. -N10. -С. 17-18.

6.'Налицкий Я.И. О приближении гладких функций шне^йными комбинациями сдвигов функаций. -В кн.: Методы математической физики и их приложения. -Харьков.:ХАЙ,-1988. -С. 98-99.

7.Малицкий И. И. К вопросу об обобщенных рядах Тейлора для некоторого класса некваэианалитических функций. Дэп. ,рук.-Киев, УкрНИШГИ, iN'99-УКЭЗ - 04. 02. 93. -С. 84.

О.Малицький 1.1. Апроксимац1я С^-функЩй сплайнами безк1нечно1 гладкост! . Тези допов!дей Международно! конференш!. -Дн1про-ськ, 26-28 травня 1993р. -С.122.'

Тип Х«Ш За* ?<f> тир. /¿?o