Автоморфизмы расслоений на коники тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

004612553

Цыганков Владимир Игоревич

Автоморфизмы расслоений на коники

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 НОЯ 2010

Москва-2010

004612553

Работа выполнена па кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Прохоров Юрий Геннадьевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Куликов Виктор Степанович кандидат физико-математических наук, доцент Степанов Дмитрий Анатольевич Ведущая организация: Ярославский государственный педагогический

университет им. К. Д. Ушииского

Защита диссертации состоится 26 ноября 2010 г. в 1С ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация. 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 26 октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Изучение группы бнрациопалышх автоморфизмов алгебраического многообразия является фундаментальной и наиболее сажной задачей алгебраической геометрии. Эта задача на протяжении длительного времени привлекала внимание многих математиков. В настоящее время она привела к появлению программы Мори - одного из основных инструментов современной бирационалыюй геометрии. Изучение групп бирациональпых автоморфизмов было естественно начато с наиболее простейшего класса алгебраических многообразий, многообразий являющихся рациональными.

Рассмотрим проективное пространство Р" над произвольным полем К. Группой Кремоны Сг„(К) называется группа его бирациональиых автоморфизмов. Название было дано в честь великого итальянского математика Луиджи Кремоны, который первых! стал изучать эту группу.

Группа Сгу{К) устроена довольно просто и была изучена еще в XIX веке. Действительно, пусть А' - неособая проективная кривая и А^(АГ) - группа автоморфизмов А'. Тогда любое бирациональное отображение / 6 Вк(А') продолжается до автоморфизма / £ Ащ(А'). Таким образом,

Группы Сг „(К) при п >2 устроены гораздо сложнее. В настоящее время наиболее полно изучен лишь случай п = 2. В диссертации рассматривается группа С1'2(Д") и ее подгруппы. Историю вопроса следует начинать с работы М.Нетера1. Было доказано, что группа Сгг(С) порождена подгруппой АгЛ(Р2) ~ РО,{3,С) и стандартной квадратичной инволюцией г, записываемой в однородных координатах в виде

Заметим, что полное доказательство этого результата было получено только в работе Кастельнуово2. Соотношения между образующими группы Сгг(С) были получены М.Х. Гнзатуллипым3.

Несмотря на то, что множество порождающих группы Сгг(С) оказалось простым, ее алгебраическая структура оказалась очень сложной. Напри-

1Nocthor М., Über Flächen, welche Shaaren nitionaler Curven besitzen, Math. Ann., vol. 3, pp. 161-227

-Cfisiclmwvo G.. Lc tnmsfonnazwni genemtrüi dei yruppo Cvcmonmno nd pim\n., Toiino Ai Li., Vol. 30, pp. SC 1-87-1 (1990).

3Гшлтуллш1 M. X., Определяющее соотношения Оля крелюиотй группы носкости, Н'зв. АН СССР. Сер. м»юм., Т. 298, > О, С. 909-070 (1982).

Сп(^) ~ AutfP1) ~ PGL{2, К).

(1871).

мер, только совсем недавно в работе4 было доказано, что группа Сгг(С) не является простой, а простота группы Сг-2(С), рассматриваемой как ироал-гебраическая группа, была доказана Д. Бланком".

Перейдем к рассмотрению проблемы классификации конечных подгрупп G С Сг2 (С) с точностью до сопряженности.

История проблемы началась с работы Бертшш0, где были классифицированы классы сопряженности подгрупп порядка 2 в группе Сгз(С). Были выделены три класса сопряженности, в настоящее время известные как инволюции де Жонкьера, Гейзера и Бертшш. Однако доказательство классификационных результатов не было строгим. Только совсем недавно в работе7 было получено полное и короткое доказательство.

В 1895 году Кантор8 и Вимап9 привели описание конечных подгрупп в группе Сго(С). Список был достаточно исчерпывающим. Однако он не был точным в следующих отношениях. Во-первых, для заданной конечной подгруппы по этому списку нельзя было определить содержится она в группе Кремоны или пет. Во-вторых, вопрос о сопряженности между подгруппами не рассматривался.

Современный подход к этой проблеме был начат в работе Ю.И.Машша10. В этой работе указывается явная связь классификации классов сопряженности конечных подгрупп в группе Кремоны с классификацией С-мипимальпых рациональных многообразий (A", G) п G-эквиварпаптных бнрациональных отображений между ними. Было установлено взаимно однозначное соответствие между вложениями конечной группы G в группу Cr,,{К) и классами рациональных многообразий с точностью до G-эвнварнантных бнрацнональных изоморфизмов. Пусть поле К алгебраически замкнуто характеристики 0. Возьмем неособое рациональное многообразие X, регуляризирующее действие подгруппы G С Сг„(Л'). Применим к паре (X,G) б-минимальную программу Мори при п <4 (в произвольной размерности эта программа в настоящее время

4Cantat S-, Lamy S., Normal subgroup» in the Cremona group., preprint, (2010).

»Blanc J., Groupes de Cremona, connexité tí simplicité. Aim. Sei. Ее. Nonn. Super., 43, fascículo 2 (2010), pp. 357-304.

°Bci'líiii E., Ri reich с suite trasfonnaziom univoche involut-orie net piano. Annali <U Mat. Pura Appl.. Yol. 8, pp. 2j4-287 (1S77).

TBayk> L., Beauville A., Birational involutions o/P2, Asían J. Math., Vol 4, no. 1, pp. 11-17 (2000).

''Kantor S., Theorie der endlichen Gnppen von eindeutigen Transfonnationen in der Ebene, Berlin. Mayer 4: Müller. Ill S. gr. 8° (189.3).

'Wiman A., Zur Theorie der endlichen Gruppen von himtionulen Transformationen in der Ebene. Math. Ann., Yol. 48. no. 1-2. pp. 19Ó-240 (189C).

'".Мании 1С). II., Рациопалъпыс miocpruocmu над соосршсипылш полями. II, Митем. сб.. Т. 72(114), .V 2, G. 1G1-192 (19G7).

доказана при некоторых дополнительных условиях11,12). Получим, что действие группы G регулярнзуется па минимальном ^-многообразии A'raill о С<0>-факториа.лы1ыми терминальными особенностями (иеособом при п = 2).

Пусть поле К алгебраически замкнуто характеристики 0, и G С Сг„(К), п < 4. В этом случае с помощью G-экшгоаршщтпой минимальной программы Мори изучение классов G-эвивариантных бира-ниоиальпых изоморфизмов рациональных многообразий А" может быть сведено к изучению классов G-эвиваршштпых бирациопальпых изоморфизмов G-мшшмальпых рациональных многообразий Л'1пь- Если п = 2, то имеют место следующие два случая.

• Случай A'rnm - поверхность Дель Петщо с Pic(A'miii)6' — Z.

• Случай ф : Хт\п —> Р1 - расслоение па коники с Pic(A'm¡u)f' ~ Z2.

Вернемся к случаю К = С н п — 2. Исследование конечных подгрупп G С Crj(C) продолжилось в работах В.А.Псковских13.и.ь. 10 и в работах М.К.Гизатуллнпа1',18. Основными результатами работ В.А.Псковских были вкратце следующие. Пусть S - G-мшшмальное расслоение коиикн ф : S -> Р1. Если Kg < 0, то расслоение па коники ф является бира.-циопалыю сверхжестким. Если Л'| > О, то расслоение на коники ф G-мннимальио только при К$ = 1,2,4. Также были изучены основные свойства G-мгашмальпых поверхностей Дель Петщо. Было получено описание разложений бирациопальпых отображений между G-мтшмальными ратщ-ональиымп поверхностями па элементарные липки.

В 2000 году Л. Бэйль и А. Бовиль в статье' классифицировали элементы второго порядка в группе Сг-2(С) с точностью до сопряженности. В

"Шокуров в. В.. Preiimitmrj flips. Тр. мат. rai-га АН СССР. пм. В. А. Стсклова. Т. 240, С. S2-219 (2003)

12Birkar С., Cay.ini Р.. Harón С.'. D-, McKoniau .J., EríUcncc of minimal -moilcíi for vancties of lay tjcneml type, J. Amor. Math. Sor. 23 (2010), .V 2. pp. «5-408.

1:3 Псковских В. А., Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых, Матом, об-, Т. 74(110), .V. 4. С. 008-033 (1907).

1 'Псковских В. А., Рацмтлытг повс]тюсти с пучком рациональных крионг « с положительным квадратом канонического класса. Матом, сб.. Т. 83(125), Л- 1(9), С. 90-119 (1970)

L 'llcKi,ücKiix И. А., Мипплшльные модели рациональных поверхностей над нроизео-аъными нолялш.

Шв. АН СССР. Сор. матом., Т. 43. .V 1, С. 19-43 (1979)

1gIIokûbokiix В. А.. Факторизация Оирациональнш отображений ¡тцшпкисьных поверхностей с точки зрения теории Мори, Ш, T. 01, Л- 4(310), С. 3-72 (1900)

"Ттатуллпп M. X.. Рациональные С!-поверхности. Изв. АН СССР. С'ор. матом.. Т. 44, .V' 1 С. 110— 144 (1980).'

^Гтатуллин M. X., Определяющие егютношеиия для кредитовой группы плоскости. Изв. АН СССР. С'ор. матом., Т. 298, .V' 0, С. 909-970 (19S2).

этой работе впервые было получено точное и ясное описание числа классов сопряженности, параметризованных классами изоморфизмов кривых. Для заданных двух подгрупп второго порядка по этой классификации можно точно определить сопряжены они или нет. Техника этой статьи была обобщена де Ферпексом с статье19 па изучение циклических групп простого порядка. Классификация была достаточно точной за исключением двух случаев подгрупп пятого порядка, для которых не был решен вопрос об их сопряженности. Полная классификация была получена в статье20. В частности был доказан следующий результат. Циклическая подгруппа G С Сгг(С) простого порядка сопряжена линейному автоморфизму плоскости тогда и только тогда, когда G не фиксирует поточечно кривую положительного рода.

А. Бовиль в дальнейшем классифицировал р-элементарпые максимальные подгруппы с точностью до сопряженности21. Отметим, что классы сопряженности подгрупп G ~ (Z/2Z)4 хорошо описаны в группе де Жоп-кьера. Однако осталось неясным, когда две подгруппы, по сопряженные в группе де Жонкьера, сопряжены в группе Сгг(С).

Совсем недавно И.В. Долгачев и В.А. Псковских22 доработали список Кантора и Впмапа, используя современную теорию (7-поверхпоетей, теорию элементарных линков В.А. Исковских и теорию классов сопряженности в группе Вейля. Отметим также недавнюю работу Д.Бланка23, где классифицируются конечные абелевы подгруппы G С Сгг(С) с точностью до сопряженности.

В настоящее время известно очень мало о группах Сг„(С) при п > 2. В этом направлении следует отметить лишь работы К).Г. Прохорова24,2j, где были классифицированы простые и р-элементарные подгруппы в группе Сг3(С).

10«lc Fcrnoc Т.. On planar Cremona maps of prime order. N'agoya Maili. J., Vol. 174, pp. 1-28, (2004).

^Bcauvilk A.. Diane .).. On Cremona tramfoimations of prime order, C. R. Math. Acacl. Sei. Paris, Vol. 339, no. 4, pp. 257-259 (2004).

'-'Bcaiiville A., p-e.lementary subgroups of the Cremona group, J. Algebra. Vol. 314. no. 2, pp. 553-564 (2007).

"Dolgadicv I. V., Lskovakikli V. A., Finite subgroups of the plane. Cremona group. "Algebra, Arithmetic, and Geometry in Honor of Yn. I. Manm", Pmgr. Math., 2C9 (2009).

2:fBlane .]., Finite abelian subgroups of the Cremona group of the. plane. Thesis. Univ. of Geneva, 200G.

2'Proklioi'ov V.. Simple finite subgroups of the Cremona group of rank 3, Preprint arXiv:math 090S.0G78

25Prokhorov Y., p-elemcntary subgroups of the Cremona group of nink 3. to appear in Proc, Conf. "Classification of Algebraic Varieties". Scliiermonnikoog, 2009, European Math. Soc.

Цель работы

• Построить метод задания уравнениями во взвешенных проективных пространствах С-мипимальпых расслоений на коники (5, С) с произвольным числом вырожденных слоев.

• Исследовать (^-минимальные расслоения на коники (5, С) с Л'| — 1,2,4. Провести их полную классификацию с: заданием уравнений во взвешенных проективных пространствах расслоений на коники 5 и явным указанием действия групп С.

Научная новизна

1. Построен метод задания уравнениями во взвешенных проективных пространствах С-мпшшальпых расслоений па коники (3,0) с произвольным числом вырожденных слоев. Для заданного числа, вырожденных слоев этот метод позволяет полностью классифицировать С-мшшмальные расслоения на коники (5, С) с заданием уравнений расслоений па коники 5 и явным указанием действия групп (7.

2. Исследованы (З-мпнимальпые расслоения па коники (5, С) с

= 1,2.4. Проведена их полная классификация с заданием уравнений во взвешенных проективных пространствах расслоений на коппки 5 н явным указанием действия групп С.

Основные методы исследования

В работе применяются методы алгебраической геометрии (бнратцюиаль-ные перестройки)26, теории особенностей алгебраических многообразий2', теории С?-мшшмалы1ых расслоений на коники22.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут найти применение в алгебраической геометрии, топологии и математической физике.

'-"Харп-хорн Р., Алгебраическая геометрия, НО НФМП (2000).

2'Прохоров 10. Г., Особенности :шебраических многообразий. Москва, издательство МЦНМО, (¿009).

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались:

• неоднократно на семинаре «Геометрия алгебраических многообразий» кафедры высшей алгебры МГУ, 2008 - 2009 гг.;

• на XVII международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Москва, МГУ. 2010 г.

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 3 работах, из них 1 в журналах из перечня ВАК. Список данных работ приводится в конце автореферата [1-3].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из 6 глав (первая из которых является вводной). Список литературы включает 48 наименований. Общий объем диссертации составляет 88 страниц.

Краткое содержание работы

Первая глава— введение. Здесь обсуждаются история изучаемых вопросов, дается обзор ранее известных результатов и формулируются основные утверждения, доказанные в диссертации.

Во второй главе мы напоминаем, необходимые для доказательства основных результатов диссертации, известные понятия и утверждения, принадлежащие другим авторам, из теории группы Кремоны ранга 2, теории Ст-минимальных расслоений на коники. Также мы устанавливаем соглашения относительно обозначений и понятий, используемых в диссертации.

В третьей главе мы описываем метод исследования. Он позволяет получить уравнения С-мпшшальных расслоений па коники с произвольным числом вырожденных слоев. Вкратце он состоит в следующем. Рассмотрим Сг-мшшмалыюе расслоение па коники ф : 5 —> Р1. Пусть

о : С 0(Рю(5))

— естественное представление группы <7 в группе автоморфизмов решетки Рк(5). Если Кег(сс) нетривиально, то согласно результату Долгачева

и Псковских (см. теорему 2.1.1) поверхность 5 имеет структуру исключительного расслоения на коники и представляется явным уравнением (см. (1.2)), Поэтому мы можем считать, что группа Ксг(а) тривиальна. Расслоение на конпкн ф : Б -> Р1 индуцирует гомоморфизм групп

ф, : С Аи1(Р1).

Положим бх = Ксг(р«). По теореме Долгачова и Исковскнх (см. теорему 2.1.3) мы имеем Сд- ~ 2 пли 22.

Предположим, что факторповерхиость 5/ Ксг(0«) пеособа. Тогда она является рациональной линейчатой поверхностью н мы говорим, что выполнены условия первой конструкции. В этом случае достаточно просто получить уравнения 5 и вычислить явное действие группы С (см. раздел 1). В противном случае применяем вторую конструкцию. Здесь расслоение па коники ф : 5 —► Р1 оказывается С-эквпварнаптио бирационалыго изоморфно другому, особому расслоению на коники ф' : Б' Р1 с условием, что фактор Б'/Ксх^ф'^) изоморфен рациональной линейчатой поверхности. Поверхность Б' имеет дювалсвские особенности типа Ах. Аналогично, получаем уравнения поверхности Б' и вычисляем явное действие группы С? (см. раздел 2).

В главе 4 описывается случай, когда Кд — 4. Здесь имеют место две возможности. В первом случае (см. раздел 1) поверхность 5 является поверхностью Дель Пеццо. Расслоение па коники (5, С) минимально тогда и только тогда, когда группа (3 содержит инволюцию де Жонкьера ь.

Теорема (см. теорему 4.1.1). Пусть (Э, С, ф) - С-минимальное расслоение иа коники с Кд = 4. Предположим, что дивизор —К$ обилен, и выполнены условия первой конструкции. Тогда, поверхность 5" представляется в виде. С-жвивариантного двулистного накрытия я : 5 —У 5Д = Ро-где I. € СгД" - инволюция, переставляющая компоненты всех, вырожденных слоев. Также поверхность 5 .задается ыедуюгцшш уравнениями в Р4;

( и2 + Г(х, у, 2, IV) = 0.

1 XIV — yz.

Морфием ф .задастся формулой

I (х: у), если {х : у) ф (0 : 0), ф : (и : х : у : г : го) -> < , . , ч , . .

^ у ^ ; [ (г : те), если (г : ги) ^ (0 : 0).

Ииволюция I действует, по формуле и —> —и. Группа С является любой подгруппой группы. А1Ц(5, ф). содержащей инволюцию ь.

Во втором случае (см. раздел 3 теорема 4.3.7) поверхность 5 является слабой поверхностью Дель Пеццо (т.е. аптикапошшческнй дивизор -К$ численно эффективен и объемен) и обладает структурой исключительного расслоения на коники.

В главе 5 описывается случай А'| = 2. В разделе 1.2 (теорема 5.1.10), а также в разделе 2.2.1 (теорема 5.2.16) поверхность 5 является поверхностью Дель Пеццо.

Теорема (см. теорему 5.1.10). Пусть - О-минимальное- рас--

слоеиие на котки с. Кд — 2 и Сд- ~ 22. Предположим, что дивизор —К§ численно эффективен и не существует инволюции ь € (?д-. переставляющей компоненты всех вырожденных слоев. Тогда дивизор —Кз обилен. т.е. Б является поверхностью Дель Пеццо. Поверхность 5 представляется следующим уравненнем. в Р2 X Р1:

Ро{*о>*1)хо + + Рг{и,Ь)х\ = 0,

гдеtl), г = 1,2,3 - бинарные формы степени 2 без кратных и попарно общих множителей. Мор/пим. ф задастся формулой

ф : (.г0 : х1 : х2М : ¿1) ч> (г0 : <1). Группа в к изомщхрна группе 2x2 и порождена отображениями:

д1: (х*о : XI : х0Ло к) (~®о : '• : tl), ^

д2: (ж0 : : хйЛ0 : <1) -)■ (хо: '• : ^l)■

Группа С является любой подгруппой группы Агц(5, <£>). содержащей отображения (2).

Теорема (см. теорему 5.2.16). Пусть (Б,С,ф) - С-мипимильное расслоение на коники с А"| = 2. Предположим, что выполнены, условия второй конструкции, группа Сд- переставляет компоненты, в четырех вырожденных слоях расслоения ф, и Э'/йк ~ рациональная линейчатая поверхность с инвариантом 0. Тогда, дивизор —К$ обшей, т.е.. 5 является поверхностью Дель Пеццо. Поверхность 5' представляется следующими уравнениями во взвешенном, проективном пространстве Р(22, Г1) с координатами V, з, х, у, г, го:

V2 = С?2(х,!/)Р(х,!/,г,и>), в2 = д2(г,ю)Г(х,у,г,ш), юг = зх, та = вг/, ада = у г,

где Qi - бинарная форма степени 2. a F - однородный полином апепсии 2. Ыорфи-зм ф' : S' ->■ Р1 .задается формулой:

j (х: у), ест (х : у) ф {0 : О), ф : (v : s : х : у : г : w) < , . , х , /л л.

v v J ' [ (г : w), если (z : w) ф (О : О).

Группа. Gk порождена ■инволюцией i. дежтоующей по формуле

i.: (v : s : х : у : z : w) -» (—v : —s : x :y : z : w).

Возможности для форм, F и действие групп G описаны о диссертации.

В разделе 1.1 (теорема 5.1.4) и в разделе 2.2.2 (теорема 5.2.19) поверхность S является слабой поверхностью Дель Петщо. Инволюция Гейзера, сохраняет структуру расслоения на коники ф : S Р1 и действует пер*4-стаповкой всех вырожденных слоев.

Теорема (см. теорему 5.1.4). Пусть (5, G, ф) - G-минимальное расслоение на копит с. K2S = 2. Предположим, что дивизор ~Ks численно яффсмпивсн. и существует инволюция i £ Gk. переставляющая компоненты всея вырожденных слоев. Тогда на поверхности S существует либо G-инвариантная рациональная (—2)-кривая. либо G-инвариантная пара рациональных (—2)-кривых. пересекающихся в одной точке. Пусть ■ф' : (5, G, ф) (S1, G, <jJ) - стягивание этих кривых, где отображение ф': S' —♦ Р1 индуцировано морфпимом ф. Поверхность S' представляется урапиеиие.и во взвешенном, проективном, пространстве Р(2,13) с. координатами и, х, i Oí

и2 + F{x,tü,t{) = 0. Отображ.епие. ф' является проекцией:

ф' : (и : х : i!„ : ti) (t0 : ti).

Инволюция i совпадает с инволюцией Гейзера, и действует, по формуле и —и. Группа, G является любой подгруппой группы, Aut(£',<£'). содержащей инволюцию ь.

Теорема (см. теорему 5.2.19). Пусть (Б,С,ф) - G-мипималыюс расслоение на коники, с Kg — 2. Прсдполо.исим. что выполнены условия второй конструкции, группа Gk переставляет компоненты в четырех. вырооюдсииых слоях расслоения ф. и S'/Gj; - рациоиальпая линейчатая поверхность с инвариантом 2. Тогда поверхность S содержит. G-эквиваргшитиую рациональную (~2)-кривую. Пусть (S, G, ф) (5, G, ф) - стягивание этой кривой, где. отображение ф : S —* Р1 индуцирован,о

морфшмаи ф. Поверхность 5 представляется во enec.uw.nuoM проективном пространстве Р(2,13) с координатами уравнением вида

и2 + + 4 + Йо*1 + = О, Ь 6 С.

Отобра-ок-.епие ф является проекцией

ф : (и :х-А0: t^) -> (*0 :

Группа Сд- порождается инволюцией I. действующей по формуле х —> —л. Инволюция Гейзера действует по формуле т : и —> —«. Группа (7 пе содержит г. Возможности для групп С описа-пы- в диссертации.

Если дивизор — Л5 не является численно эффективным, то поверхность 5 имеет структуру исключительного расслоения на коники (см. раздел 3 теорема 5.3.20).

В главе 6 описывается случай, когда = 1. В разделе 3.3.1 теорема 6.3.8 поверхность 5 является поверхностью Дель Пецдо.

Теорема (см. теорему С.3.8). Пусть (Б, С, ф) - й-минимальное ¡кгссло-ение на коники с К§ = 1. Предположим, что выполнены условия второй конструкции, группа. переставляет компоненты в шести вырожденных слоях- расслоения ф. и 5'/<?д* - рациональная- линейчатая поверхность с инвариантом- 0. Тогда дивизор —К$ обилен, т.е. Б является поверхностью Дель Псццо. Поверхность 5' представляется елсдующим-и ура-вис-пиями во в.звегисииом проективном проащт-иствс Р(22,1') с координатами V, в,х,у, г, V)

г>2 = Е0(х,у,г,ш), в2 - Е\(х,у,г,и)), иг = зх, ьи; = яу, хт = уг.

Морфи-зм ф': 5' Р1 задастся формулой:

, , Г (а-: у), если (ж : у) ф (0 : 0),

ф : (г;: 5 : х : у : г : и:) < '

У ' \ (г : ад), ,.е.т {г : ш) ф (0 : 0).

Полиномы Ео(х,у, г,и>), Е\{х,у,г,и)) и действие групп (7 описаны, в диссертации. Инволюция I действует по формуле

(г; : « \x\y\z : го) -4 (-у : -в : х : у : г : ш).

В оставшихся случаях (с:м. раздел 1.1 (теорема 0.1.1), раздел 3,1 (теорема 6.3.5) и раздел 3.3,2 (теорема 6.3.12)) дивизор —К$ пе является численно эффективным.

Теорема (см. теорему 0.1.1). Пусть (Б,0,ф) - С-минимальное расслоеиие на коники стспени Л'| = 1. Предположим, что выполнены условия первой конструкции. Тогда поверхность 5 содержит единственную С-инвариантную рациональную (—3)-кривую. Пусть ъ1/ : (5, О, ф) (Б', С, ф') - стягивание этой кривой, где отображение ф' : Б' —♦ Р1 индуцируется люрфшмом ф. Морфизм ф' является С-жвивариаитнъш, и на поверхности 5' группа в действует эффективно. Поверхность представляется следующими уравнениялт во взвешенном проективном, пространстве Р(22,3,12) с координатами и, V, ж, <о, Ы2+ +P4iio.ii) = 0,

и2 + я/2(М1) + <24(*о,*1) = 0, где г = 1,2 - азагшт простые бинарные формы, стенам 1. а

Р,(<о,« Q^{tQ^,tl) ~ бинарные формы, степени 4. Отобра-жепис. ф' является проекцией

ф': (и : V : х : г0 : ¿1) (¿0 : ¿0-Группа С/; пороэюдена отображен-иями:

(и : V : .т : ¿о : ¿1) -> (—и •' 'и •' х '• Ь ■ ¿1)1 (и ; у : х : ¿о •' ¿1) -* ('11 '■ ~г' '■ х '■ 'о •' Ь)-Группа С? является любой подгруппой группы. Аи£(5', <?'). содержащей эти отображения.

Теорема (см. теорему 0.3.5). Пусть (5, С, </>) - С-м.иним,альнос расмо-ение на коники с К| = 1. Предположим. что выполнены условия второй конструкции, и группа в ¡с переставляет компоненты в двух вырожденных слоях. Тогда дивизор —Кв не является численно эффективным. Поверхность представляется -следующими уравнениями во взвешенном, проективном просщзаттве Р(32, Г1) с координатами V,

г;2 = (х1 — у°)х 4- (х'1г - у1и>)и>,

52 = (г'1х — ш1у)х + — ги°)и;, г 2

1)2 = ЭХ ,

г'гш = вху,

2 2

УХО =

ЯШ = ?/2.

MojxfntjM ф' : S' -¥ Pl .задастся формулой

J (x : у), если (* : у) ф (0 : О), ф : (v : s : х : у : 2 : ад) I

I (г : w), если (z :w) ф {0:0).

Группа G изоморфна 2. Д-, и порождена отображениями

(v : s : х : у : z : w) (e.js : ejv :w:z:y: x),

(v : s : x : у : z : w) (ejv : $ : e\x : s\y : e.32 : tw).

Группа Gjc порождена инволюцией i. действующей no формуле

t: (v : s : x : у : z : w) —t (~v :—$: x : у : z : ui).

Теорема (см. теорему 6.3.12). Пусть (S, G, ф) - G-минимальное, расслоение на. котики с Kg = 1. Предположим, что выполнены условия второй конструкции, группа Gr переставляет компоненты в шести вырожденных слоях расслоения ф. и S'/Gk - рациональная линейчатая поверхность с иивариантом 2. Тогда, поверхность S' code.poic.ttm G-эквивариаптную рациональную (—4)-кривую. Пусть (5', G, ф') -4 (5", G, ф") - стягивание, этой кривой, где отображение ф" : S" —♦ Р1 индуцировано морфизмом ф'. Поверхность S" представляется во взвешенном проективном пространстве Р(3,2,1,1) = Р(и, х, to, 11) уравнением вида.

u1 + F{x,t0,ti)Ql{t0,t1)=0.

Отображение ф" является проекцией

ф" -.{и-.х-.Ц-. ti) (i0: <i).

Формы F. Qi и действие групп G описано в диссертации. Группа Gjc порождается инволюцией ь. действующей по формуле i : и —> —и.

Благодарности

Автор благодарен своим научным руководителям члену-корреспонденту РАН |В.А. Исковскнх] и д.ф.-м.п., профессору Ю.Г. Прохорову :за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также профессору Д. Бланку и аспиранту А.Л. Фомину за полезные обсуждения.

Автор благодарит участников семинара «Геометрия алгебраических многообразий» и всех сотрудников кафедры за обсуждение результатов диссертации и творческую атмосферу, которая способствовала научной работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] В.И. Цыганков, Уравнения О-минимальных расслоений па коники степени 4, Вестн. Моск. ун-та, Сер. 1, Математика. Механика, № 2, стр. 3942 (2010).

[2] В.И. Цыганков, Уравнения й-мипимальных расслоений на коники, Депонировано в ВИНИТИ 10.06.10, № 359-В2010, С. 1-52.

[3] В.И. Цыганков, Уравнения О-минималъных расслоений на коники, Тезисы докладов XVII международной научной конференции Ломоносов - 2010. Секция „Математика и механика", Москва 2010, С. 71.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж [$ ¿экз. Заказ №

Глава 1. Введение.

1.1. История поставленных задач.

1.2. Описание диссертации и основные результаты.

Глава 2. Предварительные (известные) результаты и метод исследования.

Глава 3. Конструкции уравнений и метод исследования.

3.1. Первая конструкция.

3.2. Вторая конструкция.

Глава 4. Случай К23 = 4.

4.1. Случай, когда —Кз обилен и выполнены условия первой конструкции.

4.2. Случай, когда — Кз обилен и выполнены условия второй конструкции.

4.3. Случай, когда дивизор — Кз не является обильным.

Глава 5. Случай К23 = 2.

5.1. Случай, когда дивизор —Кз численно эффективен и выполнены условия первой конструкции.

5.2. Случай, когда дивизор —Кз численно эффективен и выполнены условия второй конструкции

5.3. Случай, когда дивизор —Кз не является численно эффективным.

Глава 6. Случай = 1.

6.1. Случай, когда выполнены условия первой конструкции.

6.2. Случай, когда выполнены условия второй конструкции.

1.1. История поставленных задач.

Изучение групп бирациональных автоморфизмов алгебраических многообразий является фундаментальной и наиболее важной задачей алгебраической геометрии. Эта задача на протяжении длительного времени привлекала внимание многих математиков. В настоящее время она привела к появлению программы Мори - одного из основных инструментов современной бирациональной геометрии. Исторически, изучение групп бирациональных автоморфизмов было начато с наиболее простейшего класса алгебраических многообразий, многообразий являющихся рациональными.

Рассмотрим проективное пространство Р71 над произвольным полем К. Группой Кремоны Стп(К) называется группа его бирациональных автоморфизмов. Название было дано в честь великого итальянского математика Луиджи Кремоны, который первым стал изучать эту группу.

Группа Сг1(,РС) устроена довольно просто и была изучена еще в XIX веке. Действительно, пусть X - неособая неприводимая кривая и А\гЬ(Х) - группа автоморфизмов X. Тогда любое бирациональное отображение / е ВпгрС) продолжается до автоморфизма / 6 Аи^-Х"). Таким образом,

Группы Сгп{К) при п > 2 устроены гораздо сложнее. В настоящее время наиболее полно изучен лишь случай п = 2. С этого момента в работе мы будем рассматривать только группу Сх2(К) и ее подгруппы. Историю вопроса следует начинать с работы М.Нетера [26]. Было доказано, что группа Сг2(С) порождена подгруппой Аи"Ь(Р2) ~ Р<2£(3,С) и стандартной квадратичной инволюцией т, записываемой в однородных координатах в виде

С1г{К) ~ А^(Р1) ~ РОЬ(2,К).

Идея доказательства заключается в следующем. Пусть х —* Р2 - бирациональное отображение. Изучим особенности линейное системы "Н = ~~ собственного прообраза линейной системы прямых на F2. Если X не является изоморфизмом, то И имеет степень п = п{х) — > 2, а также имеет базисные точки pi,. ,Pk (среди которых, возможно, есть бесконечно близкие). Кратности % в этих точках равны соответственно v\,. , г^. Можно считать, что v\ > . > Vk- Например, для описанного выше отображения т степень равна 2. Соответствующая линейная система имеет базисные точки (1:0:0), (0:1: 0) и (0 : 0 : 1). Все кратности равны 1. Пусть Ci,C2 £ И — общие кривые. Заметим, что вне базисного множества системы % кривые С\ и пересекаются в одной точке, так как этим свойством обладают прямые вР2. Индекс пересечения С\ и равен к

Cl.C2 = n* = 1+ ][>?. 1

Так как кривые из линейной системы И рациональны и неособы вне точек pi,. ,рк, то к ¿=1

Отсюда следует, что vi + v2 + vz > п. Если точки Р1,Р2,Рз лежат на

Р2 (то есть не являются бесконечно близкими точками), то можно рассмотреть композицию х со стандартной квадратичной инволюцией г, связанной с этими точками

X' = X о т : Р2 —» Р2.

Заметим, что степень п(х') равна количеству точек пересечения вне точек Рг,Р2,Рз общей кривой С 6 И с коникой Q, проходящей через Pi,P2iP3i то есть п(х!) — 2гг(х) -vi—v2 — v2< п(х).

Таким образом, степень х! меньше степени Продолжая таким образом разложим отображение х в композицию стандартных квадратичных инволюций. Осталось заметить, что две квадратичных инволюции с центрами в разных тройках точек на Р2 сопряжены элементом группы Aut(P2).

Однако приведенное выше доказательство не является полным, поскольку игнорируется случай бесконечно близких точек рх, рз- Эта трудность не была преодолена в работе [26]. Полное доказательство было получено только в работах Кастельнуово и Александера (см. [12], [2], [22], [23], [46], [32]). Соотношения между образующими группы Сг2(С) были получены М.Х. Гизатуллиным [34] (см. также [41], [40]).

Несмотря на то, что множество порождающих группы Сг2(С) оказалось простым, ее алгебраическая структура оказалась очень сложной. Например, только совсем недавно в работе [11] было доказано, что группа Сг2(С) не является простой, а простота группы Сг2(С), рассматриваемой как проалгебраическая группа, была доказана Д. Бланком [9].

Перейдем к рассмотрению задачи классификации конечных подгрупп (2 с Сг2(С) с точностью до сопряженности.

История задачи началась с работы Бертини [6], где были классифицированы классы сопряженности подгрупп порядка 2 в группе Сг2(С). Были выделены три класса сопряженности, в настоящее время известные как инволюции де Жонкьера, Гейзера и Бертини. Расскажем о них вкратце.

Преобразование Т 6 Ст2(К), определенное линейное системой плоских кривых Ь степени с1. проходящих через точку д с кратностью (1—1 и через точки р\,. ,р2(*-2 с кратностью 1 называется преобразованием де Жонкьера. В аффинных координатах Т можно записать в виде где аг- € С, г = 1,., 4, а п, г = 1,., 4 - многочлены от переменной х. Если Т является инволюцией, то заменой координат его можно привести к виду где /(ж) - многочлен степени 2с2 — 3 без кратных корней.

Инволюция 7 6 Сгг (К) называется инволюцией Гейзера (соответственно, инволюцией Бертини), если выполнено следующее. Существует неособая слабая поверхность Дель Пеццо в степени = 2 (соответственно, — 1), регуляризирующая действие инволюции 7 (определение смотри ниже). Причем действие инволюции 7 на поверхности 5 совпадает с действием инволюции Гейзера (соответственно, Бертини).

Т:(х,у) к* а\х + а2 п(х)у + г2(х) а$х + а4' г3(х)у + г4(х)

Доказательство классификационных результатов в работе [6] было не строгим. Только совсем недавно в работе [3] было получено полное и короткое доказательство.

В 1895 году Кантор [24] и Виман [31] привели описание конечных подгрупп в группе Сг2(С). Список был достаточно исчерпывающим. Однако он не был точным в следующих отношениях. Во-первых, для заданной конечной подгруппы по этому списку нельзя было определить содержится она в группе Кремоны или нет. Во-вторых, вопрос о сопряженности между подгруппами не рассматривался.

Современный подход к этой проблеме был начат в работе Ю.И.Манина [45]. В этой работе указывается явная связь классификации классов сопряженности конечных подгрупп в группе Кремоны с классификацией (^-минимальных рациональных многообразий (й", (2) и С-эквивариантных бирациональных отображений между ними. Расскажем об этом подробнее.

Пусть с Сгп(К) - конечная группа. Рациональное многообразие X регуляризирует действие группы С, если существует бирациональ-ный изоморфизм (р : X —Р71, такой что группа (р~г о С? о (р является подгруппой группы автоморфизмов многообразия X.

Любая конечная подгруппа (? с Стп(К) может быть регуляризирова-на. Это доказывается следующим образом. Пусть с1от(<7) с Р", д € С? -наибольшее открытое подмножество, на котором определено отображение д : Р" —->■ Рп. Возьмем множество II — Пд€<?<1от(<7). Заметим, что на и определено бирегулярное действие группы (?. Далее рассмотрим пространство V =11/О и его компактификацию V. Пусть X - нормализация V в поле рациональных функций на II. Тогда группа С совпадает с группой Галуа накрытия X —> V и действует регулярно на X.

Если СЬаг(^С) = 0 (соответственно, п = 2), то существует С-экинвариантное разрешение особенностей многообразия X (см. [1]б соответственно [25]). Таким образом, многообразие X может быть выбрано неособым.

Из вышесказанного следует, что существует взаимно однозначное соответствие между вложениями конечной группы С? в группу Сгп{К) и классами рациональных многообразий с точностью до С-эвивариантных бирациональных изоморфизмов. Пусть поле К алгебраически замкнуто характеристики 0. Возьмем неособое многообразие X, регуляризиру-ющее действие подгруппы (3 с Стп(К). Применим к паре (X, С) б?-минимальную программу Мори при п < 4 (в произвольной размерности эта программа в настоящее время доказана при некоторых дополнительных условиях [48], [20]). Получим, что действие группы С? регуляризу-ется на минимальном (^-многообразии Хт;п с (ЗО-факториальными терминальными особенностями (неособом при п = 2).

Таким образом, изучение классов бирациональных изоморфизмов рациональных многообразий X сведено к изучению классов бирациональных изоморфизмов С-минимальных рациональных многообразий Так как -Хтт ~ рациональное многообразие, то мы получаем, что -Хгшп обладает структурой расслоения Мори ф : Хт-Ш —>■ Z: сйт(.£) < сИт(Хт;п). Дивизор Вейля —Кхт1П относительно обилен и относительное G-инвapиaнтнoe число Пикара рсравно 1. Если п = 2, то имеют место следующие два случая.

• Случай Z — Брес(К) и - поверхность Дель Пеццо.

• Случай Z = Т1 и ф : -ХццП —Р1 - расслоение на коники с Р1с(Хт1п)с ~ й2.

Вернемся к случаю К = С и п = 2. Исследование конечных подгрупп

С Сгг(С) продолжилось в работах В.А.Исковских [35], [36], [38], [39], [43] и в работах М.К. Гизатуллина [33], [34]. Основными результаты работ [35], [36], [38] были вкратце следующие. Пусть Z = ¥1иS-G-минимальное расслоение коники ф : 5 —> Р1. Если < 0, то расслоение на коники ф является бирационально сверхжестким, т.е. любой бираци-ональный С-изоморфизм 5" —-> 5", где 5" - неособая (^-минимальная поверхность, является изоморфизмом. Если К| > 0, то расслоение на коники ф С-минимально только при К$ — 1,2,4. Также были изучены основные свойства (^-минимальных поверхностей Дель Пеццо. В работе [43] было получено описание разложений бирациональных отображений между (^-минимальными рациональными поверхностями на элементарные линки.

В 2000 году Л. Бэйль и А. Бовиль в статье [3] классифицировали элементы второго порядка в группе Сг2(С) с точностью до сопряженности. В этой работе впервые было получено точное и ясное описание числа классов сопряженности, параметризованных классами изоморфизмов кривых. Для заданных двух подгрупп второго порядка по этой классификации можно точно определить сопряжены они или нет.

Техника статьи [3] была обобщена де Фернексом в статье [13] на изучение циклических групп простого порядка. Классификация была достаточно точной за исключением двух случаев подгрупп пятого порядка, б для которых не был решен вопрос об их сопряженности. Полная классификация была получена в статье [5]. В частности был доказан следующий результат. Циклическая подгруппа С С Сг2(С) простого порядка сопряжена линейному автоморфизму плоскости тогда и только тогда, когда С? не фиксирует1 кривую положительного рода.

А. Бовиль в дальнейшем классифицировал р-элементарные максимальные подгруппы с точностью до сопряженности в статье [4]. В частности были получены следующие результаты.

• Пусть р - простое число и р ф 2,3. Тогда группа {Ъ/рЪ)^ не является подгруппой в Сг2(С).

• Существует бесконечное число классов сопряженности подгрупп в с Сг2(С) с условием <3 ~ {Ъ/2Ъ)А.

Отметим, что классы сопряженности подгрупп С ~ (2^/2хорошо описаны в группе де Жонкьера. Однако осталось неясным, когда две подгруппы, не сопряженные в группе де Жонкьера, сопряжены в группе

Сг2(С).

Совсем недавно И.В. Долгачев и В.А. Псковских доработали список Кантора и Вимана, используя современную теорию С-поверхностей, теорию элементарных линков В.А. Псковских и теорию классов сопряженности в группе Вейля (см. [18]). Отметим также недавнюю работу Д.Бланка статья [8], где классифицируются конечные абелевы подгруппы (7 С Сг2(С) с точностью до сопряженности.

В настоящее время известно очень мало о группах Сгп(С) при п > 2. В этом направлении следует отметить лишь работы Ю.Г. Прохорова [28] и [27], где были классифицированы простые и р-элементарные подгруппы в группе Сгз(С).

Остается также открытым вопрос о классификации конечных подгрупп в группах Кремоны Стп(К) (даже при п — 2) над полями положительной характеристики (см. [17], [16]). Наконец, очень интересная открытая проблема - классификация конечных подгрупп в группах Кремоны Сгп(^С) над алгебраически незамкнутыми полями (см. [29], [19], [30]). Отметим, что вся группа Кремоны Сг2(.ЙГ) над любым совершенным полем К полностью описана в терминах образующих и определяющих соотношений ([42], [44]).