Факторы поверхностей дель Пеццо тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем передачи информации им А. А. Харкевича Российской академии наук

На правах рукописи УДК 512.774.42, 512.772.3 , 512.623.23

Трепалин Андрей Сергеевич

Факторы поверхностей дель Пеццо

Специальность: 01.01.Об — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2013

У «НВ 2014

005544371

005544371

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: профессор кафедры высшей алгебры

механико-математического факультета Московского Государственного Университета, доктор физико-математических наук, профессор Юрий Геннадьевич Прохоров.

Официальные оппоненты: профессор кафедры алгебры и геометрии

Защита диссертации состоится 28 января 2014 г. в 17:00 на заседании диссертационного совета Д002.077.03 при федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем передачи информации им. A.A. Харкевича Российской академии наук, расположенном по адресу: 127994, г.Москва, ГСП-4, Большой Каретный переулок, 19, стр.1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачи информации им. А. А. Харкевича.

Автореферат разослан ^"декабря 2013 г. Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по указанному адресу на имя учёного секретаря диссертационного совета. Учёный секретарь диссертационного совета

Тольяттинского Государственного Университета, доктор физико-математических наук, профессор Марат Харисович Гизатуллин; начальник сектора Объединённого Института Ядерных Исследований, доктор физико-математических наук, профессор Николай Андреевич Тюрин.

Ведущая организация: Ярославский Государственный

Педагогический Университет им. К.Д. Ушинского

Д002.077.03 в ИППИ

кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению свойств рациональности факторов поверхностей дель Пеццо.

Пусть G — конечная группа, а к — поле. Рассмотрим следующее чисто трансцендентное расширение К/к степени трансцендентности n = ord G. Отождествим К с к{(:г9)}, где индекс д пробегает все элементы группы G. Группа G естественно действует на К перестановками переменных: h(xg) = Xhg. Проблема Э. Нётер1 заключается в следующем: является ли поле инвариантов KG рациональным (то есть чисто трансцендентным) над к?

Наиболее полный ответ на этот вопрос известен для абелевых групп, но даже в этом случае фактормногообразие может быть нерациональным. Р. Г. Сван2 доказал, что если G — циклическая группа порядка 47 и k = Q, то Кс не рационально. Для меньшей циклической группы порядка 8 пример был дан X. В. Ленстрой3. Дальнейшие результаты для абелевых групп получены в работах С. Эндо и Т. Мията4 и В. Е. Воскресенского5.

Для неабелевых групп существуют примеры нерациональных полей инвариантов даже в случае к = к. Д. Дж. Сальтман6 доказал, что для любого простого числа р существует неабелева группа порядка р9 такая, что KG не рационально, если char к ф р. Позже этот результат был усилен Ф. А. Богомоловым7, который доказал, что существует такая группа порядка рв, и П. Моравецом8, А. Хоши и М. Кангом9, доказавшим этот результат для группы порядка р5.

Проблему Нётер можно обобщить следующим способом. Пусть к — поле

'E.Noether, "Rationale Functionenkörper", Jahresber. Dtsch. Math.-Ver., 22 (1913), 316-319

2R.G.Swan, "Invariant rational functions and a problem of Steenrod", Invent. Math., 77 (1984), 71-84

3H. W. Lenstra, Jr., "Rational functions invariant under a finite abelian group", Invent. Math., 25 (1974),

299-325

4S.Endo, T. Miyata, "Invariants of finite abelian groups", J. Math. Soc. Japan, 25 (1973), 7-2G

5B. E. Воскресенский, "Поля инвариантов абелевых групп", Успехи математических наук , 28:4(172) (1973), 77-102

6D.J. Saltman, "Noether's problem over an algebraically closed field", Invent. Math., 77 (1984), 71-84

7Ф. А. Богомолов, "Группа Брауера факторпространств линейных представлений", Изв. АН СССР. Сер. Матем., 51:3 (1987), 485-516

8Р. Moravec, "Unvamified Brauer groups of finite and infinite groups", Arne г. J. Math., to appear

9 A. Hoslii, M. Kang, "Unramified Brauer groups for groups of order p5", preprint aviable at htlp://arxiv. org/abs/t 109.2966

характеристики О, К = k(xi,...a;n) — его чисто трансцендентное расширение, a G — конечная группа, действующая на к. Возникает вопрос: когда KG рационально и как устроены нерациональные поля инвариантов? Дальнейшим обобщением этой проблемы является задача классификации всех промежуточных подполей к С К' С К.

Напомним следующее определение:

Определение. Многообразие X, определённое над полем к, называется к-рационалъным, если X бирационально эквивалентно Р£.

Многообразие X называется рациональным, если многообразие X = X ® к является к-рациональным.

Многообразие X, определённое над полем к, называется к-унирационалъным, если существует к-рациональное многообразие Y и доминантное отображение (/?: Y —+ X.

На языке алгебраической геометрии проблема Нётер переформулируется следующим способом. Пусть X — k-рационалыюе многообразие и G — конечная подгруппа Autk(X). Когда фактомногообразие X/G является k-рациональным? Какова k-бирациональная классификация факторов X/G1 Дальнейшим обобщением является проблема описания к-унирациональных многообразий.

В таком обобщении естественно начать с маломерных случаев. Наиболее общий результат известен для размерностей 1 и 2. Классический результат Люрота10 состоит в том, что любая унирациональная кривая рациональна. Из критерия рациональности Кастельнуово11 следует, что над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль любая унирациональная поверхность рациональна.

Для больших размерностей известно гораздо меньше. Например, в случае алгебраически замкнутого поля к неизвестно, является ли всякий фактор Р| по конечной группе k-рациональным12. Если поле к не является алгебраически замкнутым, то фактор Pj/G может быть нерациональным даже для абелевой группы G13.

10 J. Lüroth, "Beweis eines Satzes tiber rationale Kurven", Math. Ann., 9 (1876), 163-165

11G. Castelnuovo, "Sulla razionalitä delle involuzioni piane", Math. Ann., 44 (1894), 125-155

12Yu. Prokhorov, "Fields of invariants of finite linear groups", In: Cohomological and geometric approaches to rationality problems, Progr. Math., 282 (2010), 245-273

"H.Ahmad, M.Hajja, M.Kang, "Rationality of some projective linear actions", J. Algebra, 228 (2000), 643-658

С другой стороны, если поле к не является алгебраически замкнутым, полного ответа о рациональности не существовало даже для факторов В статье14 доказано, что поле k(ar, y)G рационально для мономиального действия группы G на множестве {х, у}. Это соответствует к-рациональности факторов торических поверхностей по группам, имеющим инвариантный двумерный тор на такой поверхности. Из результатов статьи13 следует, что фактор P£/G и фактор (P¿ х Р£) /G являются k-рациональными, если G циклическая (G может быть бесконечной).

Известны примеры, когда факторы k-рациональных поверхностей по конечной группе не являются k-рациональными15.

В диссертации изучены все возможности действия конечных групп G на рациональной поверхности X, такие что фактор X/G может не являться k-рациональпым, приведены примеры, когда эти факторы не являются k-рациональными и показано, что в остальных случаях фактор является к-рациоиальным.

Цель работы

Гладкая проективная поверхность X называется поверхностью дель Пеццо, если её антиканонический дивизор —Кх обилен.

Пусть X — поверхность дель Пеццо над нолем к характеристики О, X (к) — всюду плотно, конечная группа G действует на X автоморфизмами. В диссертации решалась следующая задача:

Когда факторповерхностъ X/G является к-рациональной?

Основным результатом является следующая теорема.

Теорема. Пусть к — произвольное поле характеристики ноль, X — поверхность Дель Пеццо степени d, на которой действует группа G. Тогда верно следующее:

• если d, ^ 5 и Х(к) ф 0, то X/G является к -рациональной поверхностью;

• если d = 4 и Х(к) ф 0, то X/G является k-рациональной поверхностью, если группа G не изоморфна (id), £2, <¿2 или £4;

14M.Hajja, "Rationality of finite groups of monomial automorphisms of k(x,y)", J. Algebra, 109 (1987), 46-51

г' К). И. Манин, "Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика", Наука, Москва, 1987

• если (1 = 3 и Х(к) ф 0, то Х/С является к-рациональной поверхностью, если группа С не изоморфна (1(1) или €з;

• если й = 2 и множество Х(к) всюду плотно, то Х/в является к-рациональной поверхностью, если группа (7 не изоморфна (¡с1), £2, £3, £4, ©3, £>8 или <Э8;

• если й = 1 и множество Х(к) всюду плотно, то Х/й является к-рациональной поверхностью, если группа С не изоморфна (¡с!), £2, £3 или Сб,

где <£к — циклическая группа порядка к, 1>2к — диэдральная группа порядка 2к, &к — симметрическая группа степени к, а — группа кватернионов.

Конкретные способы действия групп и условия, для которых фактор не является к-рациональным, указаны в тексте диссертации.

Методы исследования

В диссертации используются методы программы минимальных моделей, теории особенностей алгебраических многообразий, торической геометрии, теории групп и комбинаторики.

Научная новизна

Результаты лиссертации являются полностью новыми. Основные из них состоят в следующем:

1. Полностью исследовано в каких случаях фактор поверхности дель Пец-цо по конечной группе автоморфизмов может не являться рациональным. Для каждого случая, когда факторповерхность может не являться рациональной найдены условия, когда она не является таковой и построена гладкая минимальная модель.

2. Показано, что всякий фактор расслоения на коники по конечной группе автоморфизмов бирационалыю эквивалентен фактору некоторого расслоения на коники по группе, эффективно действующей на базе этого расслоения, порядка 2к, 12, 24 или 60. Для любой из перечисленных

групп построено бесконечномерное семейство примеров рациональных над основным полем расслоений на коники, факторы которых не являются рациональными поверхностями.

3. В качестве следствия получено, что поле инвариантов чисто трансцендентного расширения двумя переменными любого поля характеристики 0 конечной группы нечётного порядка, не равного 3, является чисто трансцендентным.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории инвариантов и алгебраической геометрии.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались

• на международном алгебраическом симпозиуме, посвященному 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А.В. Михалева (Москва, 2010),

• на конференции «Instantons and Rationality of Moduli Spaces» (Berlin, 2010),

• на второй школе-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов» (Москва, 2011),

• на конференции «Ломоносов» (Москва, 2011),

• на конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу (Лютово, 2011),

• на международной конференции по алгебре и алгебраической геометрии (Екатеринбург, 2011),

• на третьей школе-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов» (Тольятти, 2012),

• на международной конференции «Homological projective duality and non-commutative geometry» (Coventry, Warwick university, 2012),

• на международной конференции, посвященной 60-летию Виктора Степановича Куликова (Москва, 2012),

• на конференции «Ломоносов» (Москва, 2013)

• на летней школы-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу для молодых ученых России (Лютово, 2013),

• на международной конференции «Геометрия алгебраических многообразий», посвященной памяти В. А. Псковских (Москва, 2013). .

• на семинаре в Department of Pure Mathematics, University of Liverpool (Liverpool, 2012),

• на семинаре в University of Edinburgh (Edinburgh, 2012),

• на семинаре «Геометрия алгебраических многообразий» им. В. А. Псковских под руководством Ю. Г. Прохорова, В. В. Пржиялковского, Д. О. Орлова, К. А. Шрамова в МИАН (Москва, 2013),

• на семинаре Лаборатории алгебраической геометрии и её приложений НИУ ВШЭ (Москва, 2013).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в трёх единоличных работах. Список публикаций приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из четырёх глав, разбитых на параграфы. В конце приводится список литературы, состоящий из 29 наименований. Общий объём диссертации — 87 страниц.

Краткое содержание работы

Первая глава — введение. В ней формулируется основная задача, изучаемая в диссертации, обсуждается история вопроса, даётся общий обзор хода доказательства, обозначаются дальнейшие направления применения полученных результатов, вводятся используемые обозначения.

Вторая глава содержит предварительные сведения, используемые при доказательстве результатов.

В параграфе 2.1 вводятся основные понятия программы минимальных моделей. В ней даются определения поверхностей дель Пеццо и расслоений на коники. Одно из ключевых утверждений16 относительно минимальных рациональных поверхностей следующее:

Теорема. Пусть X является й-минимальной рациональной О-поверхностью. Тогда либо X обладает О-эквивариантной структурой расслоения на коники и Р1с(Х)с = Z2, либо X является поверхностью дель Пеццо и Р'1с(Х)а = X.

Таким образом, всякий фактор рациональной поверхности по конечной группе автоморфизмов является бирационально эквивалентным фактору по конечной группе автоморфизмов минимальной поверхности дель Пеццо или минимального расслоения на коники.

Также в этом параграфе даётся критерий17, позволяющий определять, является ли поверхность к-рационалыюй или нет.

Теорема. Минимальная рациональная поверхность X, определённая над совершенным полем к, является к-рациональной тогда и только тогда, когда выполнены два следующих условия:

(г) Х(к) ф 0;

(И) К\ > 5.

В параграфе 2.2 вводится понятие торического многообразия и даются основные свойства торических поверхностей.

В параграфе 2.3 вводятся обозначения, касающиеся конечных групп, описываются подгруппы групп РвЬг (к) и РСЬз (к) и нормальные подгруппы в подгруппах ©5.

16В. А. Псковских, "Минимальные модели рациональных поверхностей над произвольными полями", Изв. АН СССР. Сер. Матем., 43:1 (1979), 19-43

17В.А. Исковских, "Факторизация бирацпональных отображений рациональных поверхностей с точки зрения теории Мори", УЛЩ 51:4(310) (1996), 3-72

В параграфе 2.4 даются основные сведения, касающиеся факторов поверхностей по конечным группам. Ключевую роль во всей диссертации играет следующая лемма:

Лемма. Пусть X — О-поверхность, N — нормальная подгруппа С?, а У — (С?/Ы)-ММП-редукция поверхности Х/И. Тогда поверхности Х/й и У/(С/М) являются к-бирационалъно эквивалентными.

Таким образом, если У — ((7/Дг)-мипималы1ая гладкая модель фактора к-рациональной (^-поверхности X по нормальной подгруппе N <3 то к-рациональность УДС/ТУ) влечёт к-рационалыюсть Х/й. Если в группе С/М есть нетривиальная нормальная подгруппа М, то можно повторить эту процедуру, применяя эту лемму к поверхности У и нормальной подгруппе

м < <?/ЛГ.

Эта лемма позволяет свести доказательство к-рациональности многих факторов поверхностей к случаям факторов поверхностей большей степени или факторов поверхностей по меньшим группам.

В доказательстве к-рациональности факторов торических поверхностей, к которым относятся поверхности Хирцебруха и поверхности дель Пеццо степеней 9, 8 и 6, ключевую роль играет следующая лемма:

Лемма. Пусть X — п-мерное торическое многообразие над произвольным алгебраически замкнутым полем к, а С — конечная подгруппа А;^ (X), сопряжённая подгруппе п-мерного тора Т™ С X, действующего на X. Тогда фактор X/О является торическим многообразием.

В частности, если б — конечная циклическая подгруппа связной компоненты единицы Аи^рО С Аи^А"), то фактор Х/й — торическое многообразие.

В параграфе 2.5 описываются циклические фактор-особенности, возни-цающие в ходе исследования факторов поверхностей, и описывается, как изменяются численные свойства поверхности и кривых на ней при разрешении такой особенности.

В третьей главе исследуются факторы расслоений на коники по конечным группам автоморфизмов.

Основным результатом параграфа 3.1 является следующая теорема:

Теорема. Пусть конечная группа О эффективно действует на поверхности X, и X обладает структурой С-эквивариантного расслоения на коники. 1р : X В. Любая относительная ММП-редукция У над В ¡О фактора Х/С обладает структурой расслоения на коники. Обозначим в в образ группы (7 при естественном отображении АиЦХ) —> Аи^В). Тогда

1. Если > 5, то К\ ^ 5;

2. Если К\ < 5, то Ку ^ К\. Если, кроме того, К2Х = К\, то = К1 = АиСв = ^2 или вв = »4.

Непосредственное следствие из этой применяется для доказательства к-рациональности факторов поверхностей дель Пеццо.

Следствие. Если X является к-рациональном расслоением на коники и

^ 5, то Х/С — к-рациональная поверхность.

В параграфе 3.2 доказывается следующая теорема — главный результат третьей главы:

Теорема. Пусть к — поле характеристики ноль. Пусть X — к-рациональное расслоение на коники, С — конечная группа, действующая на X. Тогда фактор Х/С является к-бирационально эквивалентным фактору к-рационального расслоения на коники по одной из групп 5)2" > 214, ©4 или 215.

Здесь £/с — циклическая группа порядка к, 2>гк ~ диэдральная группа порядка 2к, 21^ — альтернированная группа степени к, 6к ~~ симметрическая группа степени к.

Для каждой из перечисленных групп строится бесконечномерная серия примеров факторов к-рациональиых расслоений на коники, не являющихся к-рациональными.

В параграфе 3.3 исследуются факторы одного специального расслоения на коники — поверхности Псковских. Полученные результаты нужны для изучения факторов поверхности дель Пеццо степени 2.

Четвёртая глава посвящена исследованию факторов поверхностей дель Пеццо. В ней рассматриваются все возможные действия групп автоморфизмов на поверхностях дель Пеццо и для каждого из них либо доказывается,

что фактор является к-рациональным (при условии плотности к-точек на поверхности), либо приводятся условия, когда факторповерхность не является рациональной и строится её гладкая минимальная модель.

В параграфах 4.1, 4.2 и 4.3 изучаются факторы поверхностей дель Пеццо степени 9, 8 и б соответственно. Эти поверхности являются к-формами тори-ческих поверхностей. В каждой группе, действующей на одной из этих поверхностей, находится нетривиальная нормальная подгруппа такая, что фактор по ней эквивариантно перестраивается в к-форму торической поверхности. Повторяя эту процедуру, получаем следующее предложение:

Предложение. Пусть X — к-форма торической поверхности, <3 — конечная подгруппа автоморфизмов АггЬ^Х). Тогда существует гладкая модель Х/й, являющаяся к-формой торической поверхности. Более того, если Х(к) ф 0, то Х/С — к-рациональна.

В параграфе 4.4 изучаются факторы поверхности дель Пеццо степени 5 и показывается, что они всегда к-рациональны (при условии плотности к-точек на поверхности).

В параграфе 4.5 изучаются факторы поверхностей дель Пеццо степени 4. Такие поверхности задаются парой уравнений в Р£:

5 5

;=1 :=1

Группа действует на Р^ и X как диагональная подгруппа РСЬ5 (к). Обозначим через ¡,у элемент, меняющий знак координат X; и х^ на противоположный, а через (у) элемент, меняющий координаты и х^ местами. Тогда верно следующее предложение.

Предложение. Пусть X — поверхность дель Пеццо степени 4, С? — конечная подгруппа Аи^(ЛГ) и А"(к) ф 0. Тогда Х/С является к-рациональной поверхностью, если <2 не сопряжена одной из следующих групп {¡с!}, (112), (¿12, ¿13) или ((12)(34)^5>.

Для четырёх перечисленных групп явно построены примеры факторов, не являющихся к-рациональными.

В параграфе 4.6 изучаются факторы поверхностей дель Пеццо степени 3. Такие поверхности являются гладкими кубическими поверхностями в

Пусть группа Я — циклическая группа порядка 3, действующая на кубике X так, что Н действует на РЦ как (а:: у : шг : шН), где ш = е2?. Тогда верно следующее предложение.

Предложение. Пусть X — поверхность дель Пеццо степени 3, С — конечная подгруппа Аи^Л") и X(к) ф 0. Тогда А'/С является к-рациональной, если С не тривиальна и О не сопряжена группе Н.

Для группы Н приведены условия, когда фактор Х/Н не является к-рациональным. Показано, что такой фактор бирационалыго перестраивается в гладкую кубику.

В параграфе 4.7 изучаются факторы поверхностей дель Пеццо степени 2. Доказывается следующее предложение:

Предложение. Пусть X — поверхность дель Пеццо степени 2, С? — конечная подгруппа Аи^(Х) и Х(к) плотно. Тогда Х/й может не быть к-рациональным, если группа С одна из следующих: (\д), €2, £3, ®з>

®8, <38- Для любой другой группы С? фактор Х/С является к-рациональным.

Здесь С* — циклическая группа порядка к, Т>2к — диэдральпая группа порядка 2к, 6к — симметрическая группа степени к, <5в ~~ группа кватернионов.

В диссертации указаны конкретные способы действия этих групп, для которых факторы не являются к-рациональными, описаны условия при которых это так, и построены гладкие минимальные модели. Большое количество факторов, не являющихся к-рациональными, связано с тем, что фактор поверхности дель Пеццо степени 2 по группе порядка 2 бирационалыю эквивалентен поверхности Псковских, обладающей большим количеством факторов по конечным группам, не являющихся к-рациональными.

В параграфе 4.8 изучаются факторы поверхностей дель Пеццо степени 1. Доказывается следующее предложение:

Предложение. Пусть X — поверхность дель Пеццо степени 1, б — конечная подгруппа Аи^Х) и Х(к) плотно. Тогда Х/С может не быть к-рациональным, если группа (У тривиальна или является циклической группой порядка 2, 3 или 6.

Для любой другой группы С фактор Х/С является к-рациональным.

В диссертации описываются конкретные действия групп, факторы по которым не являются к-рациональными, и строятся гладкие минимальные модели факторов по этим группам.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Юрию Геннадьевичу Прохорову за постановку задачи и неоценимую помощь при её исследовании и оформлении текстов. Автор сильно признателен кандидату физико-математических наук Константину Александровичу Шрамову за постоянную поддержку, помощь и многочисленные полезные обсуждения. Также автор хотел бы поблагодарить весь коллектив отделов алгебраической геометрии и алгебры и теории чисел Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук за создание прекрасной творческой атмосферы для исследований.

Список литературы

[1] A. S. Trepalin, "Rationality of the quotient of P2 by finit.fi group of automorphisms over arbitrary field of characteristic zero", Cent. Eur. J. Math., 12(2) (2014), 229-239.

|2] А. С.Трепалин, "Нерациональные факторы рациональных поверхностей", Тезисы летней школы-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу д.хя моложых учёных России, Ярославль, ЯГПУ, 2013.

|3] А. С. Трепалки, "Нерациональные факторы рациональных поверхностей", Материалы Международного молодежного научного форума <ЛОМОНОСС)В-2013» / Отв. ред. А.И. Андреев, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов, К.К. Андреев, М.В. Чистякова: IЭлектронный ресурс/ — М.: МАКС Пресс, 2013.

|4] A. S. TVepalin, "Quotients of conic bundles", preprint available at http://arxiv. org/abs/1312.6867.

[5] A. S. Ttepalin, "Quotients of del Pezzo surfaces of high degree", preprint available at http://arxiv.uiy/jind/math/l/au:+Trepalin. A/0/l/0/all/0/l.

Подписано в печать: 24.12.2013 Тираж 120 экз. Заказ №125 Отпечатано в типографии «Реглет» г. Москва, Ленинградский пр-т., д. 74. 8(495)790-47-77, ww.reglet.ru

Московский Государственный Университет имени М.В.Ломоносова механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.774.42, 512.772.3, 512.623.23

04201453284

Трепалин Андрей Сергеевич

Факторы поверхностей дель Пеццо

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ю. Г. Прохоров

Москва —

2013

Содержание

Глава 1. Введение ........................................................3

1.1. Постановка задачи....................................................3

1.2. Основные результаты диссертации ................................5

1.3. Обозначения ..........................................................9

Глава 2. Предварительные сведения ................10

2.1. С-минимальные рациональные поверхности ...........10

2.2. Торические поверхности ......................15

2.3. Группы ................................17

2.4. Факторы ...............................21

2.5. Особенности .............................23

Глава 3. Расслоения на коники....................25

3.1. Геометрия слоёв и сечений .....................25

3.2. Действие группы Галуа.......................30

3.3. Поверхность Псковских.......................35

Глава 4. Поверхности дель Пеццо ..................38

4.1. Поверхность дель Пеццо степени 9 ................38

4.2. Поверхность дель Пеццо степени 8 ................39

4.3. Поверхность дель Пеццо степени 6 ................44

4.4. Поверхность дель Пеццо степени 5 ................47

4.5. Поверхность дель Пеццо степени 4 ................51

4.6. Поверхность дель Пеццо степени 3 ................59

4.7. Поверхность дель Пеццо степени 2 ................68

4.8. Поверхность дель Пеццо степени 1 ................79

Публикации но теме диссертации ....................85

Список литературы ............................86

Глава 1

Введение 1.1. Постановка задачи

Работа посвящена изучению свойств рациональности факторов рациональных поверхностей по конечным группам автоморфизмов.

Пусть G — конечная группа, а к — поле. Рассмотрим следующее чисто трансцендентное расширение К/к степени трансцендентности п = ordG. Отождествим К с k{(a:fl)}, где индекс д пробегает все элементы группы G. Группа G естественно действует на К перестановками переменных: h(xg) = х^д. Проблема Э. Нётер [28] заключается в следующем: является ли поле инвариантов KG рациональным (то есть чисто трансцендентным) над к? На языке алгебраической геометрии эту проблему можно переформулировать следующим образом: является ли рациональным фактормногообразие A

Наиболее полный ответ на этот вопрос известен для абелевых групп, но даже в этом случае фактормногообразие может быть нерациональным. Р. Г. Сван доказал, что если G — циклическая группа порядка 47 и k = Q, то KG не рационально (см. [33]). Для меньшей циклической группы порядка 8 пример был дан X. В. Ленстрой [22]. Дальнейшие результаты для абелевых групп получены в [17] и [35].

Для неабелевых групп существуют примеры нерациональных полей инвариантов даже в случае к = к. Д. Дж. Сальтман доказал, что для любого простого числа р существует неабелева группа порядка р9 такая, что KG не рационально, если chark ^ р (см. [30]). Позже этот результат был усилен Ф. А. Богомоловым, который доказал, что существует такая группа порядка р6 (см. [11]), и П. Моравецом, А.Хоши и М.Кангом, доказавшим этот результат для группы порядка р5 (см. [27] и [19]).

Проблему Нётер можно обобщить следующим способом. Пусть к — поле характеристики 0, К = k(xi,.. .хп) — его чисто трансцендентное расширение, a G — конечная группа, действующая на к. Возникает вопрос: когда KG рационально и как устроены нерациональные поля инвариантов? Дальнейшим обобщением этой проблемы является задача классификации всех промежуточных подпол ей к С К' с К.

На языке алгебраической геометрии эта проблема переформулируется следующим способом. Пусть X — k-рациональное многообразие и G — конечная подгруппа Autk(A'). Когда фактомногообразие X/G является k-рациональным? Какова k-бирациональная классификация факторов X/G1 Дальнейшим обобщением является проблема описания к-унирациональных многообразий.

В таком обобщении естественно начать с маломерных случаев. Наиболее общий результат известен для размерностей 1 и 2.

Теорема 1.1.1 (Дж. Люрот [23]). Любая унирационалънал кривая рациональна.

Следующая теорема является следствием критерия рациональности Ка-стельнуово [13].

Теорема 1.1.2. Пусть к — алгебраически замкнутое поле характеристики ноль. Тогда любая к-унирациональная поверхность к -рациональна.

Для больших размерностей известно гораздо меньше. Например, в случае алгебраически замкнутого поля к неизвестно, является ли всякий фактор Р| по конечной группе k-рациональным (подробности см. в [29]). Если поле к не является алгебраически замкнутым, то фактор P^/G может быть нерациональным даже для абелевой группы G (см. [8, Example 2.3]).

С другой стороны, если поле к не является алгебраически замкнутым, полного ответа о рациональности не существовало даже для факторов Р£. В статье [18] доказано, что поле k(:r, y)G- рационально для мономиального действия группы G на множестве Это соответствует к-рациональности факторов торических поверхностей по группам, имеющим инвариантный двумерный тор на такой поверхности. Из результатов статьи [8] следует, что фактор Fl/G и фактор (Р£ х Р£) /G являются k-рациональными, если G циклическая (G может быть бесконечной).

Заметим, что если X — k-рациональная поверхность и G С Aut(X) — конечная группа автоморфизмов, то X/G может не быть k-рациональным. Например, всякая поверхность степени 4 (являющаяся полным пересечением пары квадрик в Р£), обладающая k-точкой, является 2-к-унирациональной (см. [25, Теорема IV.7.8]), но не все они являются к-рациональными (см. теорему 2.1.11). Это означает, что существует к-рациональная поверхность X

такая, что её фактор по группе порядка 2 бирационально эквивалентен поверхности дель Пеццо степени 4, не являющейся к-рациональной.

В данной работе мы изучим все возможности действия конечных групп С на рациональной поверхности X, такие что фактор Х/й может не являться к-рациональным, приведём примеры, когда эти факторы не являются к-рациональными и покажем, что в остальных случаях фактор является к-рациональным.

Изучение вопросов к-рациональности факторов к-рациональных поверхностей имеет много приложений. В последнее значительно активировались исследования группы Кремоны, в том числе над алгебраически незамкнутыми полями (см. [16]). Бирациональная классификация факторов по конечным группам имеет приложение к исследованию группы Кремоны. Например, если группа С эффективно действует на двух к-рациональных поверхностях Х\ и Хг так, что Х\/С является к-рациональной, а Хг/С не является к-рациональной, то существует два несопряжённых вложения группы С в Сг2(к) = В1г(Р*).

Кроме того, результаты, полученные для размерности 2 над алгебраически незамкнутыми полями, могут применяться при изучении алгебраической геометрии в старших размерностях. Если в качестве поля к рассмотреть функциональное поле, то результаты могут быть применены для изучения рациональности факторов расслоений над поверхностями и расслоений на поверхностях.

1.2. Основные результаты диссертации

Диссертация состоит из четырёх глав.

Первая глава — введение. В ней формулируется основная задача, изучаемая в этой работе, обсуждается история вопроса, даётся общий обзор хода доказательства, обозначаются дальнейшие направления применения полученных результатов, вводятся используемые обозначения.

Во второй главе даются предварительные сведения, касающиеся понятий, возникающих в работе, и техники работы с ними.

В параграфе 2.1 объясняются основные понятия программы минимальных моделей, даются определения поверхностей дель Пеццо и расслоений на коники, изучается их классификации и основные свойства, вводятся обозна-

чения, которые применяются в ходе доказательства основных результатов.

При работе с поверхностями дель Пеццо большой степени и их факторами важную роль играют торические поверхности. Их определение и нужные нам свойства даны в параграфе 2.2.

Поскольку одним из объектов исследования являются группы автоморфизмов, нам необходимы некоторые обозначения и сведения из теории групп, которые мы приводим в параграфе 2.3.

В параграфе 2.4 даются ключевые факты о факторах поверхностей. Важную роль играет лемма 2.4.1, показывающая, что для изучения фактора поверхности X по конечной группе G не обязательно непосредственно работать сразу с фактором X/G, а достаточно найти в G нормальную подгруппу N, если она есть, и изучить фактор X/N. Путём GyiV-бирациональных преобразований поверхности X/N можно получить минимальную поверхность У, на которой действует группа G/N. Таким образом, мы сводим нашу задачу к аналогичной задаче для меньшей группы.

В параграфе 2.5 описываются циклические фактор-особенности, возникающие при взятии фактора поверхности по конечной группе. Нас интересует, как меняются численные свойства поверхности и кривых, проходящих через особые точки на этой поверхности, при разрешении особенностей. Для этого мы будем использовать свойства циклических фактор-особенностей, описанные в замечании 2.5.1.

Поскольку фактор любой неособой поверхности S/G бирационально эквивалентен фактору X/G, где X — С-минимальная модель 5, то для изучения рациональности факторов поверхностей достаточно изучить факторы расслоений на коники и поверхностей дель Пеццо (см. теорему 2.1.9). Соответствующие случаи рассмотрены в третьей и четвёртой главах этой работы.

Основной результат третьей главы — следующая теорема:

Теорема 1.2.1. Пусть к — поле характеристики ноль. Пусть X — к -рациональное расслоение на коники, G — конечная группа, действующая на X. Тогда фактор X/G является II-бирационально эквивалентным фактору к-рационального расслоения на коники по одной из групп £2», ^>2п, 2Ц, G4 или 2I5.

Здесь — циклическая группа порядка к, D2к ~~ диэдральная группа порядка 2к, 21/; — альтернированная группа степени к, — симметрическая

группа степени к.

Для доказательства этого факта в параграфе 3.1 мы изучаем, как конечная группа может действовать на расслоении на коники, а в параграфе 3.2 посмотрим, почему на факторе образуются вырожденные слои, компоненты которых переставляются группой Галуа.

В частности, в примере 3.2.4 для каждой группы, перечисленной в теореме 1.2.1 мы построим пример нерационального фактора, являющегося расслоением на коники со сколь угодно большим количеством вырожденных слоёв. Таким образом, верны следующие предложения.

Предложение 1.2.2. Пусть к — поле характеристики ноль такое, что не все его элементы являются квадратами. Тогда для любого числа С найдётся минимальное k-унирациональное расслоение на коники с более чем С особыми слоями.

Предложение 1.2.3. Пусть к — поле характеристики ноль такое, что не все его элементы являются квадратами. Тогда группы £2п7 2«, %Î4> ©4 и 2I5 имеют бесконечное количество несопряжённых вложений в группу Cr2(k) = Bir(PÊ).

В параграфе 3.3 мы дадим определение и изучим факторы одного специального расслоения на коники — поверхности Псковских. Это понадобится нам, поскольку большое количество групп, действующих на поверхности дель Пеццо степени 2, содержит нормальную подгруппу порядка два, фактор по которой бирационально эквивалентен поверхности Исковских.

Основной результат четвёртой главы и всей этой работы следующий:

Теорема 1.2.4. Пусть к — произвольное поле характеристики ноль, X — поверхность дель Пеццо степени d, на которой действует группа G. Тогда верно следующее:

• если d ^ 5 и Х(к) ф 0, то X/G является к -рациональной поверхностью;

• если d — 4 и Х(к) ф 0, то X/G является h-рациональной поверхностью, если группа G не изоморфна (id), (£2, £2 или €4;

• если d = 3 и Х(к) ф 0, то X/G является к -рациональной поверхностью, если группа G не изоморфна (id) или £3;

группа степени к.

Для доказательства этого факта в параграфе 3.1 мы изучаем, как конечная группа может действовать на расслоении на коники, а в параграфе 3.2 посмотрим, почему на факторе образуются вырожденные слои, компоненты которых переставляются группой Галуа.

В частности, в примере 3.2.4 для каждой группы, перечисленной в теореме 1.2.1 мы построим пример нерационального фактора, являющегося расслоением на коники со сколь угодно большим количеством вырожденных слоёв. Таким образом, верны следующие предложения.

Предложение 1.2.2. Пусть к — поле характеристики ноль такое, что не все его элементы являются квадратами. Тогда для любого числа С найдётся минимальное к-упирациональное расслоение на коники с более чем С особыми слоями.

Предложение 1.2.3. Пусть к — поле характеристики ноль такое, что не все его элементы являются квадратами. Тогда группы С2п, !Э2«, ЗЦ, @4 и имеют бесконечное количество несопряжённых вложений в группу Сг2(к) = В*г(РЗ).

В параграфе 3.3 мы дадим определение и изучим факторы одного специального расслоения на коники — поверхности Исковских. Это понадобится нам, поскольку большое количество групп, действующих на поверхности дель Пеццо степени 2, содержит нормальную подгруппу порядка два, фактор по которой бирационально эквивалентен поверхности Исковских.

Основной результат четвёртой главы и всей этой работы следующий:

Теорема 1.2.4. Пусть к — произвольное поле характеристики ноль, X — поверхность дель Пеццо степени (I, на которой действует группа С. Тогда верно следующее:

• если с1 ^ 5 и Х(к) ф 0, то Х/С является к-рациональной поверхностью;

• если с? = 4 и Х(к) ^ 0, то Х/С является к -рациональной поверхностью, если группа С не изоморфна (¡с!), £2, или ^4/

• если й = 3 и Х(к) т^ 0, то Х/С является ^-рациональной поверхностью, если группа С не изоморфна (1(1) или (£3;

• если (1—2 и множество Х(к) всюду плотно, то Х/О является к-рациональной поверхностью, если группа С не изоморфна (1с1); (£2, С3; С4, 63; 2)8 или <Э8;

• если д = 1 и множество Х(к) всюду плотно, то XIО является к-рациональной поверхностью, если группа С не изоморфна (1с1);

или

где Ск ~ циклическая группа порядка к, Э2/е ~~ диэдральная группа порядка 2к, &к — симметрическая группа степени к, а О, § — группа кватернионов.

Для доказательства этой теоремы мы разберём каждый случай поверхности дель Пеццо фиксированной степени по отдельности в параграфах 4.1-4.8. Утверждение теоремы 1.2.4 непосредственно следует из предложений 4.3.3, 4.4.1, 4.5.1, 4.6.2, 4.7.2 и 4.8.2. Также в этих предложениях указаны конкретные способы действия группы, для которых фактор не является к-рациональным. Более того, в соответствующих параграфах приведены условия, при которых факторы не рациональны.

Непосредственными следствиями основных результатов этой работы 1.2.1 и 1.2.4 являются следующие.

Следствие 1.2.5. Пусть к — поле характеристики ноль. Пусть 5 является к -рациональной поверхностью, а С — конечная группа, действующая на Э. Если порядок группы С нечётен и не равен 3; то фактор является к -рациональным.

Следствие 1.2.6. Пусть к — поле характеристики ноль. Пусть К = к{х,у), а С — конечная группа, действующая на К. Если порядок группы С нечётен и не равен 3, то поле инвариантов Кс является чисто трансцендентным расширением поля к.

Автор выражает благодарность научному руководителю Ю. Г. Прохорову за постановку задачи и неоценимую помощь в её выполнении и оформлении результатов и К.А.Шрамову за полезные обсуждения, поддержку и ценные замечания.

1.3. Обозначения

В этой работе мы будем использовать следующие обозначения:

к обозначает произвольное поле характеристики ноль, к обозначает алгебраическое замыкание поля к, Х = Х®к,

2-п

и> = е 3 ,

27Г1

& = е '

diag(a;, Р)

а О О /3

Кх обозначает канонический дивизор поверхности X,

Рю(Х) (соответственно Р1с(Х)с) обозначает группа Пикара (соответственно (?-инвариантнуб группу Пикара) многообразия X,

р(Х) = гкРю(Х), р{Х)° = гкР1с(Х)с,

обозначает рациональную линейчатую поверхность (поверхность Хирцебруха) РР1(С> 0 0(п)),

• X « У означает, что X и У бирационально эквивалентны над полем к.

1.3. Обозначения

В этой работе мы будем использовать следующие обозначения:

• к обозначает произвольное поле характеристики ноль,

• к обозначает алгебраическое замыкание поля к,

• X = X ® к,

2тп

• и = е з ,

. 2та

• & = е /

• = ^

• Кх обозначает канонический дивизор поверхности X,

• Рю(Х) (соответственно Рю(Х)с) обозначает группа Пикара (соответственно С-инвариантнуб группу Пикара) многообразия X,

• р(Х) = гкР1с(Х), р{Х)° = гкРю(Х)с,

• ¥п обозначает рациональную линейчатую поверхность (поверхность Хирцебруха) РР1 {О © 0(п)),

• X « У означает, что X и У бирационально эквивалентны над полем к.

Глава 2

Предварительные сведения

2.1. С-минимальные рациональные поверхности

В этом параграфе мы произведём обзор основных понятий и результатов С-эквивариантной программы минимальных моделей, опираясь на статьи [24], [20], [15], [16].

Определение 2.1.1. Многообразие X, определённое над полем к, называется к -рациональным, если X бирационально эквивалентно

Многообразие X называется рациональным, если многообразие X = X® к является к-рациональным.

Многообразие X, определённое над полем к, называется к-унирациональным, если существует к-рациональное многообразие У и доминантное отображение </? : У --•» X.

Опре