Поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.6

0034Э4592

Белоусов Григорий Николаевич

Поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 т? 2010

Москва — 2010

003494592

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Прохоров Юрий Геннадьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Орлов Дмитрий Олегович,

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук Пржиялковский Виктор Владимирович

Ярославский государственный педагогический университет имени К.Д. Ушинского

Защита диссертации состоится 19 марта 2010 г. в 16 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 19 февраля 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ доктор физико-математических профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Нормальная проективная поверхность X называется (особой) поверхностью дель Пеццо, если антиканонический дивизор Вейля —Кх является обильным дивизором Q-Картье.

Мы рассмотрим поверхности дель Пеццо над полем комплексных чисел С с логтерминальными особенностями. Такие поверхности естественным образом возникают в теории логминимальных моделей Отметим, что двумерная особенность логтерминальна тогда, и только тогда, когда она является факторособенностью по конечной группе 2.

Классификация неособых поверхностей дель Пеццо хорошо известна, и они являются классическим примером рациональных поверхностей 3, 4,5. Классификации поверхностей дель Пеццо с дювалевскими особенностями посвящена классическая работа дю Валя 6 и работы Демюзара 7. Классификации поверхностей дель Пеццо с логтерминальными особенностями посвящены работы Наруки и Урабе8, Биндшадлера, Брентона и Дрюкера В частности, классифицированы все поверхности дель Пеццо с дювалевскими особенностями 10, 11 для случая поверхностей с числом Пикара равным 1.

Для приложений к программе минимальных моделей наиболее интересен случай поверхностей дель Пеццо с числом Пикара 1. Известна полная

^Kawamata Y., Matsuda К. & Matsuki J. Introduction to the minimal model program. Adv. Stud. Pure Math. 10 (1987), 283 - 360.

^awamata Y. Crêpant blowing-up of 3-dimensional canonical singularities and its application to degenerations of surfaces, Ann. of Math. 127 (1988), 93 - 163.

3Mamra Ю. И. Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика, M. Наука, (1972).

4Машш Ю. И. Цфасман М. А. Рациональные многообразия: алгебра, геометрия, арифметика, Успехи мат. наук, (1986), 41:2, 43 - 94.

®Nagata M., On rational surface I, II Mem. ColL Sci. Kyoto (A), (1960), 32, 351 - 370; 33, 271 - 293.

6Du Val P. On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction, I, II, III, Proc. Cambridge Phil. Soc., (1934), 30, 453 - 465, 483 - 491.

7Demazure M. Surfaces de del Pezzo II, III, IV, V, Lect. Notes math., (1980), 777, 23 - 69.

8Naruki I. Urabe T., On singularities on degenerate del Pezzo surfaces of degree 1,2 Proc. Symp. Pure Math., (1983), 40, part 2, 587 - 591.

^Bindachadler D. Brenton L. Drucker D. Rational mappings of del Pezzo surfaces, and singular compactifications of two-dimensional affine varieties, Tohoku Math. J. 36 4 (1984), 519 - 609.

10Flirushima M. Singular del Pezzo surfaces and analytic compactifications of 3-dimensional complex affine space C3, Nagoya Math. J. 104 (1986), 1 - 28.

uMiyanishi M. t Zhang D. -Q. Gorenstein log del Pezzo surfaces of rank one, J. Algebra. 118 (1988), 63 - 84.

классификация поверхностей дель Пеццо с дювалевскими особенностями 12,13. В работе Алексеева-Никулина14 классифицированы все поверхности дель Пеццо индекса 2.

Напомним, что нормальная проективная алгебраическая поверхность называется рациональной гомологической проективной плоскостью, если она имеет те же числа Бетти, что и проективная плоскость Р2. К таким поверхностям применимо неравенство Богомолова-Миаоки-Яу.

Согласно неравенству Богомолова-Миаоки-Яу 15, 16, 17, 18, 19, 20 рациональная гомологическая плоскость имеет не более шести особых точек. В работе Кила-Макернена 21 доказано, что поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Пикара 1 имеет не более пяти особых точек. Я. Коллар 22 поставил задачу описать все рациональные гомологические проективные плоскости, имеющие лишь логтерми-нальные особенности и, количество особых точек которых равно пяти. Эта проблема решена для поверхностей с численно эффективным каноническим классом 23. Основная теорема главы 3 решает проблему Кол-лара в случае, когда — Кх - обилен. Данная проблема тесно связана с

12

Miyanishi М. & Zhang D. -Q. Gorenstein log del Pezzo surfaces of rank one, J. Algebra. 118 (1988), 63-84.

13Furushima M. Singular del Pezzo surfaces and analytic compactifications of S-dimensional complex affine space C3, Nagoya Math. J. 104 (1986), 1 - 28.

"Алексеев В. А., Никулин В. В. Классификация поверхностей дель Пеццо с лог-терминальные особенности индекса < 2, инволюции на поверхностях КЗ и группы отражений в пространствах Лобачевского, доклады по математике и ее приложениям, том 2 выпуск 2, Акад. наук СССР, Инст. мат. им. Стеклова, Москва - Тула (1988), 51- 150.

^"Богомолов Ф. А., Голоморфные тензоры и векторные расслоения на проектиеюАХ многообразиях, Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:6 (1978), 1227 - 1287.

16Miyaoka Y. On the Chem numbers of surfaces of general type, Invent. Math. 42 (1977), 225 - 237.

^Shing Tung Yau Calabi's conjecture and some new results in algebraic geometry, Proc. Nat. Akad. Sd. USA 74 (1977), no. 5, 1798 - 1799.

F. Semistable curves on algebraic surfaces and logarifmic pluricanonical maps Math. Ann. 254 (1980), no. 2, 89 - 120.

^®MiyaokaY. The maximal number of quotien singularities on surfaces with given numerical invariants, Math. Ann. 268 (1984), no. 2, 159 - 171.

2®Kabayashi R., Nakamura S., Sakai F. A numerical characterization of ball quotients for normal surfaces with branch loci Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 65 (1989), no. 7, 238 - 241.

■^Keel S. & McKeman J. Rational curves on quasi-projective surfaces, Memoirs AMS 140 (1999), no. 669.

22

Kollar J. Is there a topological Bogomolov-Miyaoka-Yau inequality?, Pare and Applied Math. Quarterly 4 No. 2 (2008), 203- 236.

no

D. Hwang, J. Keum The maximum number of singular points on rational homology projective planes arXiv:math.AG/0801.3021, to appear in J. Algebraic Geometry.

2

алгебраической проблемой Монгомери-Янга и многими другими задачами из топологии 24.

Также, мы рассмотрим поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями и действием конечной простой группы G на этой поверхности. Группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства называется группой Кремоны над полем к и обозначается Ст„(к). Группа Кремоны Cri(fc) изоморфна группе автоморфизмов проективной прямой. Следовательно, группа Cri(k) изоморфна PSL^fc). Плоскую группу Кремоны над полем С мы будем обозначать Сгг- Известно, что все поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями рациональны 25. Следовательно, группа G содержится в Cr2, где Сгг - двумерная группа Кремоны. Все конечные подгруппы группы Сгг классифицированы 26. Согласно этой классификации, в Сгг существуют три конечные простые подгруппы: Sis, 21« и Gies = PSL2(7). Мы классифицируем все поверхности дель Пеццо с действием этих групп.

Цель работы

• Решение проблемы Я. Коллара для поверхностей дель Пеццо с логтерминальными особенностями. Доказать, что максимальное число особых точек на поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Пикара 1 не более четырех.

• Классификация поверхностей дель Пеццо с логтерминальными особенностями, допускающих действие простой конечной группы.

Научная новизна

1. Доказано, что поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Пикара 1 имеет на более четырех особых точек.

2. Доказано, что существует единственная поверхность дель Пеццо

24KoUar J. Is there a topological Bogomolov-Miyaoka-Yau inequality?, Pure and Applied Math. Quarterly 4 No. 2 (2008), 203- 236.

^Алексеев В. А., Никулин В. В. Классификация поверхностей дель Пеццо с лог-терминалъные особенности индекса < 2, инволюции на поверхностях КЗ и группы отражений в пространствах Лобачевского, доклады по математике и ее приложениям, том 2 выпуск 2, Акад. наук СССР, Инст. мат. им. Стеклова, Москва - Тула (1988), 51- 150.

26I.V . Dolgachev, V. A. Islarvskikh Finite subgroups of the plane Cremona group, Algebra, arithmetic and geometry: Mania Festschrift. Boston: Birkhauser, 2009. (Progr. Math.; V. 269), 443 - 549.

3

с логтерминальными особенностями X, допускающая действие группы Валентинера 21g, и X ~ Р2.

3. Доказано, что если X - поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями, допускающая действие группы Клейна Сш = PSL2(7), то возможны только следующие два случая:

• X ~ Р2.

• X ~ , где S<{ - некоторая специальная неособая поверхность дель Пеццо степени два.

4. Доказано, что если X - поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями, допускающая действие группы G = $5 и p(X)G = 1, то возможны только следующие случаи:

• X ~ S&, где - неособая поверхность дель Пеццо степени пять.

• X ~ Р(1,1,2п) - конус над рациональной кривой степени 2п.

• X ~ F2nfik-2n,a, где F2n,ak-2np ~ поверхность, определяемая следующим образом. Пусть к vin- натуральные числа такие, что п > 1 и к Е {12,20,30,60}. Заметим, что группа G = $5 естественным образом действует на поверхности Хирцебруха F2n- Пусть M и D - различные сечения такие, что M2 = 2п и D2 = —2п. Пусть pi : Z\ —► F2„ - раздутие орбиты из к точек на М. Пусть Р2 : Z2 —■► Zi - раздутие орбиты из к точек на собственном прообразе M и так далее. Пусть г : Zs —► F2n,ak-2n,a ~ стягивание всех кривых с индексом самопересечения меньшим —1, где а - число раздутий собственного прообраза M и ак—2п > 0. Тогда F2n,ak-2n,a - поверхность дель Пеццо, допускающая нетривиальное действие группы G и p{F2n,ak-2n,a)G - 1. Заметим, что F2n,ak-2n,a имеет две особые точки, которые имеют тип ^(1,1), 1), и к дювалев-ских особых точек, которые имеют тип Ла_1 (возможно а — 1 и на поверхности имеются только неподвижные особые точки).

• X ~ Р2k,s, где Р2к,а - поверхность, определяемая следующим образом. Пусть к - натуральное число такое, что к е {12,20,30,60}. Известно, что группа G = 21s естественным образом действует на Р2. Известно, что на проективной плоскости Р2 существует единственная G-инвариантная коника. Обозначим эту конику через С. Пусть ро : Zq —► Р2 — раздутие одной орбиты, состоящей из к точек

4

Pi,...,Pk на конике С и пусть Со - собственный прообраз коники С. Пусть pi : Zi —+ Zo - раздутие орбиты, состоящей из к точек P{,...,P¡. на Со таких, что точки Р{,..., P¡. отображаются в точки Pi,... ,Pfc при морфизме pi. Повторяя эту процедуру s + 1 раз, мы получим неособую поверхность Zг. Пусть г : Z3 —1?2к,з - стягивание всех рациональных кривых, у которых индекс самопересечения не больше —2. Тогда Р2*,« - поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями, допускающая нетривиальное действие группы G. Заметим, что p(F2k,a)G = 1. Множество особых точек поверхности P2fc)S состоит из одной (неподвижной) точки, особенность которой имеет тип 1), и к дювалевских особых точек (образующих одну орбиту), которые имеют тип А3.

Основные методы исследования

В работе применяются методы алгебраической геометрии (бирациональ-ные перестройки) 27, теории особенностей алгебраических многообразий 28, теории представлений групп, топологические методы 29, 30, 31.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут найти применение в алгебраической геометрии, топологии, теоретической и математической физике.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах:

• на кафедральном семинаре кафедры высшей алгебры МГУ (2009);

^Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия, ИО НФМИ (2000).

2^Прохоров Ю. Г. Особенности алгебраических многообразий, Москва, издательство МЦНМО, (2009).

2®Sakai F. Semistable curves on algebraic surfaces and logarifmic pluricanonical maps Math. Ann. 254 (1980), no. 2, 89 - 120.

®®Miyaoka Y. The maximal number ofquotien singularities on surfaces with given numerical invariants, Math. Ann. 268 (1984), no. 2, 159 - 171.

^Kabayaahl R., Nakamura S., Sakai F. A numerical characterization of ball quotients for normal surfaces with branch loci, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sex. 65 (1989), no. 7, 238 - 241.

5

• на семинаре «Геометрия алгебраических многообразий» кафедры высшей алгебры МГУ, 2005 - 2009 гг.;

• на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летнему юбилею профессора А.Г. Куроша, Москва, МГУ,

2008 г.;

• на летней школе-конференции по алгебраической геометрии для молодых ученых России, Ярославль, 2008 г.;

• на летней школе-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу для молодых ученых России, Ярославль,

2009 г.;

• на семинаре профессора Д. Кыма, университет г. Сеула, Южная Корея, 2009 г.

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 4 работах [1-4].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из 5 глав (первая из которых является вводной) и библиографии (53 наименования). Общий объем диссертации 68 страниц.

Краткое содержание работы

Первая глава - введение. Здесь обсуждается история изучаемых вопросов, дается обзор ранее известных результатов и формулируются основные утверждения, доказанные в диссертации.

В главе 2 мы напоминаем, необходимые для доказательства основных результатов диссертации, известные понятия и утверждения, принадлежащие другим авторам, из теории алгебраических многообразий (см. раздел 2) и теории особенностей алгебраических поверхностей (см. раздел 4), а также приводим некоторые факты о поверхностях дель Пеццо (см. разделы 3 и 5) и необходимые сведения из топологии (см. разделы 6). В разделе 1 мы устанавливаем соглашения относительно обозначений и понятий, используемых в диссертации.

6

В главе 3 мы докажем, что любая поверхность дель Пеццо с логтер-минальными особенностями имеет не более 4 особых точек.

В разделе 1 мы приводим необходимые, для доказательства нашего утверждения, факты о поверхностях дель Пеццо и вводим обозначения, используемые в этой главе. Мы рассматриваем минимальное разрешение 7г: X —> X особенностей поверхности дель Пеццо X. Мы также вводим понятие минимальной кривой, что позволяет нам рассмотреть два случая:

(1) \С + И + Кх\ ф 0;

(2) \С+О + КЯ\ = 0.

Здесь С - минимальная кривая, Б - исключительный дивизор морфизма тт.

В разделе 2 мы рассматриваем случай \С + Б + | ф 0- В этом случае существует разложение Б = Б' + Б", где Б' и Б" не имеют общих компонент и не пересекаются. Более того, + 5" + С ~ 0 и дивизор Б' состоит из (—2)-кривых. Далее перебором случаев мы получаем необходимое утверждение.

В разделе 3 мы рассматриваем случай \C-\-D-\-Kx\ = 0. В этом случае С - (—1)-кривая и С пересекает каждую компоненту связности дивизора -О не более, чем в одной точке. Снова перебором случаев мы получаем необходимое утверждение.

В главе 4 мы дадим другое доказательство теоремы о том, что число особых точек на поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями не более 4. Мы используем обозначения главы 3.

В разделе 1 мы приводим необходимые, для доказательства нашего утверждения, факты о поверхностях дель Пеццо. Мы доказываем, что если поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями имеет пять особых точек, то четыре из них - обыкновенные двойные точки. Таким образом, мы снова имеем два случая:

(1) пятая особая точка - циклический фактор;

(2) пятая особая точка - не является циклическим фактором.

В разделе 2 мы рассматриваем случай, когда пятая особая точка -циклический фактор. Мы докажем, что в этом случае существует расслоение на рациональные кривые ФХ —» Р1 такое, что / • Б < 2, где / -общий слой расслоения.

В разделе 3 мы рассматриваем случай, когда пятая особая точка - не является циклическим фактором. В этом случае существует расслоение на рациональные кривые Ф : X —► Р1 такое, что Ф имеет единственное сечение Д> в Б и / • Д) < 3, где / - общий слой расслоения.

В главе 5 мы классифицируем поверхности дель Пеццо, допускающие действие простой конечной группы.

В разделе 1 мы сформулируем основной результат и введем необходимые обозначения.

В разделе 2 мы докажем некоторые факты о поверхностях дель Пеццо с действием группы. В частности мы докажем, что если поверхность дель Пеццо X имеет особенности не хуже, чем дювалевские, и на X действует простая конечная группа, то возможны только следующие случаи:

(1) С - группа Валентинера и X ~ Р2.

(2) в - группа Клейна и X ~ Р2 или X ~

(3) С? ~ 215 и либо X - неособая поверхность дель Пеццо, либо X ~ Р(1,1,2). Более того, если р(Х)с = 1, то X изоморфна Р2, ¿>5 или Р(1,1,2).

Также, в разделе 2 мы введем необходимые конструкции. Например, пусть X - поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями, на X действует группа С и р(Х)а — 1. Пусть / : У —> X - морфизм такой, что исключительный дивизор этого морфизма состоит из одной орбиты исключительных прямых. Тогда на поверхности У существует другой С-эквивариантный экстремальный луч. Следовательно, существует морфизм д : У —> Х\ такой, что X Ф Х\ и число Пикара минимального разрешения особенностей поверхности Х\ меньше, чем число Пикара минимального разрешения особенностей поверхности X. Эта конструкция называется "игра в два луча".

В разделе 3 мы докажем основную теорему главы для групп Клейна и Валентинера.

В разделе 4 мы докажем основную теорему главы для знакопеременной группы

Благодарности

Автор признателен своим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору Ю. Г. Прохорову и член-

корреспонденту РАН, профессору |В. А. Псковских за постановку

задач и постоянное внимание к работе. Автор благодарит доктора физико-математических наук И. А. Чельцова и кандидата физико-математических наук К. А. Шрамова за полезные обсуждения.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Белоусов Г. Н., Поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями, Мат. Заметки 83 (2008), 2, 170 - 180.

[2j Belousov G., The maximal number of singular points on log del Pezzo surfaces, J. Math. Sei. Univ. Tokyo 16 (2009), 1-8.

[3] Белоусов Г. H., Поверхности дель Пеццо с действием простой конечной группы, Деп. в ВИНИТИ 18.12.2009 №810-В2009, см. также arXiv:0912.4583vl.

[4] Белоусов Г. Н., Поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями, Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша, тезисы докладов, Москва, 2008, стр. 38 - 39.

Подписано в печать / л 02. /О Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. £> Тираж /01) экз. Заказ 03

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Глава 1. Введение

Глава 2. Вспомогательная часть

1. Обозначения и определения

2. Вспомогательные теоремы

3. Неособые поверхности дель Пеццо

4. Особенности поверхностей

5. Поверхности дель Пеццо с особенностями

6. Неравенство Богомолова-Миаоки-Яу

Глава 3. Число особых точек на поверхностях дель Пеццо

1. Формулировка теоремы и необходимые результаты

2. Доказательство основной теоремы: случай \С + И + | ф

3. Доказательство основной теоремы: случай \С + В + Кх\ =

Глава 4. Число особых точек на поверхностях дель Пеццо. Другое доказательство основного результата

1. Предварительные результаты

2. Доказательство теоремы 3.1: случай когда поверхность имеет циклические факторособенности

3. Доказательство теоремы 3.1: случай когда поверхность имеет нециклическую факторособенность

Глава 5. Поверхности дель Пеццо с особенностями^ допускающие действие простой группы

1. Введение

2. Предварительные результаты

3. Группы Клейна и Валентинера

4. Знакопеременная группа

Нормальная проективная поверхность X называется (особой) поверхностью дель Пеццо, если антиканонический дивизор В ей ля —Кх является обильным дивизором <0>-Картье.

Мы рассмотрим поверхности дель Пеццо над полем комплексных чисел С с логтерминальными особенностями. Такие поверхности естественным образом возникают в теории логминимальных моделей (см., например, [21]). Отметим, что двумерная особенность логтерминальна тогда, и только тогда, когда она является факторособенностью по конечной группе (см. [20, теорема 9.6]).

Классификация неособых поверхностей дель Пеццо хорошо известна, и они являются классическим примером рациональных поверхностей (см., например, [43], [44], [31]). Классификации поверхностей дель Пеццо с дювалевскими особенностями посвящена классическая работа дю Валя [12] и работы Демюзара [10], Наруки и Урабе [32], Биндшадлера, Брен-тона и Дрюкера [5]. В частности, такие поверхности полностью классифицированы (см., например, [13], [26] для случая поверхностей с числом Пикара 1).

Для приложений к программе минимальных моделей наиболее интересен случай поверхностей дель Пеццо с числом Пикара 1. Известна полная классификация поверхностей дель Пеццо с дювалевскими особенностями (см., например, [26], [13]). В работе Алексеева-Никулина [38] классифицированы все поверхности дель Пеццо индекса 2.

Напомним, что нормальная проективная алгебраическая поверхность называется рациональной гомологической проективной плоскостью, если она имеет те же числа Бетти, что и проективная плоскость Р2. Согласно неравенству Богомолова-Миаоки-Яу (см. [39], [27], [35], [34], [28], [19]) рациональная гомологическая плоскость имеет не более шести особых точек. В работе Кила-Макернена [22] доказано, что поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Пикара 1 имеет не более пяти особых точек. Я. Коллар [24] поставил задачу описать все рациональные гомологические проективные плоскости, имеющие лишь логтерминальные особенности и, количество особых точек которых равно пяти. В работе [18] эта проблема решена для поверхностей с численно эффективным каноническим классом. Теорема 1.1 решает проблему Коллара в случае, когда — Кх — обилен. Данная проблема тесно связана с алгебраической проблемой Монгомери-Янга и многими другими задачами из топологии (см. [24]).

Основной результат главы 3 состоит в следующем: теорема 1.1. Пусть X — поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Пикара 1. Тогда X имеет не более четырёх особых точек. замечание 1.2. Эту оценку нельзя улучшить, поскольку существуют многочисленные примеры поверхностей дель Пеццо с четырьмя логтер-минальными особыми точками (см. [26], [37]).

В главе 3 мы дадим доказательство теоремы 1.1, основанное на бира-циональных перестройках и на неравенсте Богомолова-Миаоки-Яу.

В главе 4 мы дадим другое доказательство теоремы 1.1, основанное на применении "орбифолдовой" версии теоремы Римана-Роха (см. [40]) и на бирациональных преобразованиях.

Оба эти докозательства имеют самостоятельный интерес для дальнейшего исследования поверхностей дель Пеццо.

В главе 5 мы рассмотрим поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями и действием конечной простой группы С? на этой поверхности. Группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства называется группой Кремоны над полем к и обозначается Сгп(к). Группа Кремоны Сг±(к) изоморфна группе автоморфизмов проективной прямой. Следовательно, группа Сгх(&) изоморфна РЭГ^А;). Плоскую группу Кремоны над полем С мы будем обозначать Сгг. Известно, что все поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями рациональны (см. теорему 2.29). Следовательно, группа £ содержится в Сг2, где Сгг — двумерная группа Кремоны. Все конечные подгруппы группы Сг2 классифицированы в работе [11]. Согласно [11], в Сг2 существуют три конечные простые подгруппы: 215, 21б и (?1е8 = Р81<2(7). Мы классифицируем все поверхности дель Пеццо с действием этих групп.

Основной результат главы 5 состоит в следующем: теорема 1.3. Пусть X — поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и пусть (7 с аи1;(х) — конечная простая группа.

1) Если ^ 215 и р(Х)° = 1, то возможны только следующие пять случаев:

• X ~ S?>} где — неособая поверхность дель Пеццо степени пять.

• X ~ Р(1,1,2п) — конус над рациональной кривой степени 2 п.

• X ~ F2n,ak-2n,a, СМ- TtpUMep 5.2.

• X \s, см. пример 5.3.

2) Если G — группа Клейна, то X ~ Р2 или X ^ .

3) Если G — группа Валентинера, то X ~ Р2.

Автор признателен своим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору Ю. Г. Прохорову и членкорреспонденту РАН, профессору [В. А. Исковских| за постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор благодарит доктора физико-математических наук И. А. Чельцова и кандидата физико-математических наук К. А. Шрамова за полезные обсуждения.

Глава 2

Вспомогательная часть

1. V. Alexeev Theorems about good divisors on log Fano varieties (case of index r>n-2), Lect. Notes Math. 1479 (1989), 1 — 9.

2. V. Alexeev Two two-dimensional terminations, Duke Math. J. 69 Num.3 (1993), 527- 545.

3. Beauville A. Complex Algebraic surfaces, Cambridge University Press (1983).

4. Bertini E. Recerche sulle trasformazioni univoche involutorie nel piano, Annali di Mat. Pura Appl. (2) 8 (1877), 254 287.

5. Bindschadler D. Brenton L. Drucker D. Rational mappings of del Pezzo surfaces, and singular compactifications of two-dimensional affine varieties, Tohoku Math. J. 36 4 (1984), 519 — 609.

6. Brieskorn E. Rationale Singularitäten komplexer Flächen, Invent. Math.4 (1968), 336 358.

7. I. Cheltsov Log canonical thresholds of del Pezzo surfaces, GAFA, Geom. funct. anal, vol 18 (2008) 1118 1144.

8. Chevalley C. Anneaux de Chow et Applications, Seminaire Chevalley, Secretariat Math. Paris, (1958).

9. Conway J., Curtis R., Norton S., Parker R., Wilson R. Atlas of finite groups, Oxford Univ. Press, Eynsham (1985).

10. Demazure M. Surfaces de del Pezzo II, III, IV, V, Lect. Notes math., (1980), 777, 23 69.

11. I. V. Dolgachev, V. A. Iskovskikh Finite subgroups of the plane Cremona group, Algebra, arithmetic and geometry: Manin Festschrift. Boston: Birkhauser, 2009. (Progr. Math.; V. 269), 443 549.

12. Du Val P. On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction, I, II, III, Proc. Cambridge Phil. Soc., (1934), 30, 453 465, 483 - 491.

13. Furushima M. Singular del Pezzo surfaces and analytic compactifications of 3-dimensional complex affine space C3, Nagoya Math. J. 104 (1986), 1 28.

14. Grauert H. Uber Modifikationen und exzeptionelle analytische Mengen, Math. Ann. 146 (1962), 331 368.

15. P. Hacking Yu. Prokhorov Smoothable del Pezzo surfaces with quotient singularities arXiv:math.AG/0808.1550, to appear in Compositio Math.

16. F. Hidaka, K. Watanabe Normal Gorenstein surfaces with ample anticanonical divisor, Tokyo J. Math. 4 (1981), 319 — 330.

17. H. Hironaka Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero I, II, Ann. of Math. 2 (1964), V. 79 205 — 326.

18. D. Hwang, J. Keurn The maximum number of singular points on rational homology projective planes arXiv:math.AG/0801.3021, to appear in J. Algebraic Geometry.

19. Kabayashi R., Nakamura S., Sakai F. A numerical characterization of ball quotients for normal surfaces with branch loci, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 65 (1989), no. 7, 238 241.

20. Kawamata Y. Crepant blowing-up of 3-dimensional canonical singularities and its application to degenerations of surfaces, Ann. of Math. 127 (1988), 93 163.

21. Kawamata Y., Matsuda K. &; Matsuki J. Introduction to the minimal model program, Adv. Stud. Pure Math. 10 (1987), 283 — 360.

22. Keel S. & McKernan J. Rational curves on quasi-projective surfaces, Memoirs AMS 140 (1999), no. 669.

23. Kojima H. Logarithmic del Pezzo surfaces of rang one with unique singular points, Japan. J. Math. 25 No. 2 (1999), 343 — 374.

24. Kollar J. Is there a topological Bogomolov-Miyaoka-Yau inequality?, Pure and Applied Math. Quarterly 4 No. 2 (2008), 203 236.

25. Matsuki K. Intoroduction to the Mori Program, Springer-Verlag New York, Inc. (2002).

26. Miyanishi M. & Zhang D. -Q. Gorenstein log del Pezzo surfaces of rank one, J. Algebra. 118 (1988), 63 — 84.

27. Miyaoka Y. On the Chern numbers of surfaces of general type, Invent. Math. 42 (1977), 225 237.

28. Miyaoka Y. The maximal number of quotien singularities on surfaces with given numerical invariants, Math. Ann. 268 (1984), no. 2, 159 — 171.

29. Morrison D. The Birational Geometry of Surfaces with Rational Double Points Math. Ann. 271 (1985), 415 438.

30. Mumford D. The topology of normal singularities of an algebraic surface and a criterion for simplicity Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. 9 (1961), 5 22.

31. Nagata M., On rational surface I, II Mem. Coll. Sci. Kyoto (A), (1960), 32, 351 370; 33, 271 - 293.

32. Naruki I. Urabe T., On singularities on degenerate del Pezzo surfaces of degree 1,2 Proc. Symp. Pure Math., (1983), 40, part 2, 587 — 591.

33. Prokhorov Yu. G. Lecture on Complements on Log Surface, J. Math. Soc. of J. 10 (2001).

34. Sakai F. Semistable curves on algebraic surfaces and logarifmic pluricanonical maps Math. Ann. 254 (1980), no. 2, 89 — 120.

35. Shing Tung Yau Calabi's conjecture and some new results in algebraic geometry, Proc. Nat. Akad. Sci. USA 74 (1977), no. 5, 1798 1799.

36. Zhang D.-Q. Logarithmic del Pezzo surfaces of rang one with contractible boundaries, Osaka J. Math. 25 (1988), 461 — 497.

37. Zhang D.-Q. Logarithmic del Pezzo surfaces one with rational double and triple singular points, Tohoku Math. J. 41 (1989), 399 — 452.

38. Богомолов Ф. А., Голоморфные тензоры и векторные расслоения на проективных многообразиях, Изв. АН СССР. Сер. матем., 42:6 (1978), 1227- 1287.

39. А. Б. Веревкин, Ю. Г. Прохоров Теорема Римана-Роха на поверхностях дель Пеццо с логтерминальными особенностями Фун. и Прик. Мат. 10:4 (2004), 35 42.

40. Гриффите Ф. Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии, ИО НФМИ (2000).

41. Илиев А. И. Лог-терминальные особенности алгебраических поверхностей, Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика, 41 (1986), 46 53.

42. Манин Ю. И. Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика, М. Наука, (1972).

43. Манин Ю. И. Цфасман М. А. Рациональные многообразия: алгебра, геометрия, арифметика, Успехи мат. наук, (1986), 41:2, 43 — 94.

44. Никулин В. В. Поверхности дель Пеццо с лог-терминальными особенностями, Мат. Сборник 180:2 (2008), 226 — 243.

45. Прохоров Ю. Г. Особенности алгебраических многообразий, Москва, издательство МЦНМО, (2009).

46. Спрингер Т. Теория инвариантов, Издательство 11 МИР11 Москва

47. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия, ИО НФМИ (2000).

48. Шокуров В. В. Трехмерные логперестройки, Изв. АН СССР. Сер. матем., 56:1 (1992), 105 203.Публикации автора по теме диссертации

49. Белоусов Г. Н., Поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями, Мат. Заметки 83 (2008), 2, 170 — 180.

50. Belousov G., The maximal number of singular points on log del Pezzo surfaces, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 16 (2009), 1 — 8.

51. Белоусов Г. H., Поверхности дель Пеццо с действием простой конечной группы, Деп. в ВИНИТИ 18.12.2009 №810-В2009, см. также arXiv:0912.4583vl.

52. Белоусов Г. Н., Поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями, Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша, тезисы докладов, Москва, 2008, стр. 38 — 39.