Бассейны неподвижных точек и оценки в классе однолистных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

УДК 517.53/. 54

I

Гуменюк Павел Анатольевич

БАССЕЙНЫ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК И ОЦЕНКИ В КЛАССЕ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ

Специальность 01.01.01 — Математический анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико- математических наук

Саратов — 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Прохоров Дмитрий Валентинович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Горяйнов Виктор Владимирович

кандидат физико-математических наук Григорьева Елена Валерьевна

Ведущая организация:

Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Защита состоится « 23> . 2005 г. в . на

заседании диссертационного совета К 212.243.02 при Саратовском государственном университете по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, IX корпус СГУ, ауд.

т.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского. Читальный зал №3.

Автореферат разослан « » мая 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Комплексная динамика, основу которой заложили исследования П. Фату [1] и Г. Жюлиа [2], в последние два десятилетия испытывает период интенсивного развития.

Центральное место в этой теории занимает изучение множеств Фату и Жюлиа, чему посвящено множество научных статей и монографий известных математиков, среди которых И. Н. Бейкер, В. Бергвайлер, А. Ф. Бир-дон, А. Дуади, А. Э. Ерёменко, Ж.-К. Йокко, М.Ю. Любич, Дж. Милнор. Важную роль играет исследование различных типов инвариантных компонент связности множества Фату, в том числе непосредственных бассейнов неподвижных точек. Особо это проявляется при изучении свойств зависимости множеств Фату и Жюлиа от итерируемой функции, которое, несомненно, является одним из самых многообещающих направлений развития комплексной динамики.

Другим фактором, объясняющим актуальность исследования бассейнов неподвижных точек, является сравнительно малая изученность их количественных характеристик.

К перспективным путям решения задач комплексной динамики следует отнести применение богатого арсенала методов и результатов теории однолистных функций, приложениями которых в различных областях маг тематики занимались многие исследователи, в том числе Ф. Г. Авхадиев, А. Ю. Васильев, В. В. Горяйнов, Л. Карлесон, Н. Г. Макаров, С. Р. Насы-ров, Д. В. Прохоров. Актуальным является как поиск новых приложений, так и развитие самой теории однолистных функций, среди классических задач которой значительный интерес специалистов на протяжении многих лет привлекают экстремальные задачи.

Целью работы является исследование непосредственных бассейнов неподвижных точек, основанное на применении методов и результатов теории однолистных функций, а также решение экстремальной задачи для одного семейства функционалов в классе однолистных функций. В рамках этих целей рассматриваются следующие задачи: 1) изучение зависимости непосредственных бассейнов неподвижных точек от итерируемой функции в однопараметрических семействах аналитических функций; 2) нахождение нижней оценки расстояния геометрически притягивающей неподвижной точки до границы её бассейна через радиус однолистности; 3) решение

экстремальной задачи для двухпараметрического семейства коэффициентных функционалов в классе нормированных однолистных аналитических функций в единичном круге.

Методика исследования. В диссертационной работе применяются как общие методы комплексного и действительного анализа, так и специальные методы комплексной динамики и геометрической теории функций. В исследовании непосредственных бассейнов неподвижных точек используются некоторые точные неравенства и оценки роста интегральных средних для однолистных функций. Решение экстремальной задачи для семейства коэффициентных функционалов проводится с помощью параметрического метода в форме уравнения Лёвнера и принципа максимума Понтрягина.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. В диссертации: 1) при довольно общих предположениях показано, что в однопараметрических семействах аналитических функций fx(z) — \z + Ог(А) + • • • последовательность непосредственных бассейнов притяжения точки z = О сходится к диску Зигеля как к ядру, если соответствующая последовательность А„, |А„| < 1, значений параметра стремится к граничной точке единичного круга, соответствующей наличию диска Зигеля, внутри некоторого угла Штольца; 2) для случая диска Зигеля, лежащего в области аналитичности итерируемых функций вместе со своей границей, получена нижняя оценка скорости покрытия линий уровня диска Зигеля бассейнами притяжения; 3) для областей вложимости полугруппы итераций в непрерывную однопарамерическую полугруппу аналитических функций получен результат, аналогичный указанному в п. 1; 4) доказана теорема, дающая нетривиальную нижнюю оценку отношения R(f) расстояния неподвижной точки до границы её бассейна притяжения к радиусу однолистности для значений мультипликатора, лежащих в области {А : 0 < |А) < 1, arg А Ф 0}; 5) как следствие теоремы, указанной в п. 4, для всех А := fie1*, t 6 (0,2ж), fi 6 (0, /¿о)> где МО — некоторая положительная постоянная, зависящая от t, найдено значение И{\) точной нижней грани величины R(f) в классе функций с фиксированным мультипликатором А; 6) показано, что уг ловые пределы функции И(\) существуют во всех точках единичной окружности и совпадают с её значениями в этих точках; 7) для семейства коэффициентных функционалов в классе однолистных функций решена экстремальная задача, а именно для всех действительных значений параметров найден максимум функционала и описаны все экстремальные

функции, в частности доказаны гипотезы, выдвинутые О. Ротом [3].

Теоретическое значение и практическая ценность. Результаты диссертации могут найти применение в дальнейших исследованиях по комплексной динамике и теории однолистных функций, а также в прикладных вопросах, где используются конформные отображения и итерации аналитических функций. Доказанные положения могут быть использованы при чтении спецкурсов по теории функций комплексного переменного на матемаг тических и механико-математических факультетах вузов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре по геометрической теории функций Саратовского университета (руководитель — д.ф.-м.н. профессор Прохоров Д. В.), на Международной конференции по комплексному анализу, дифференциальным уравнениям и связанным вопросам (Ереван, 2002), на 12-й Саратовской зимней школе теории функций (Саратов, 2004), на Междунаг родной конференции «Геометрический анализ и его приложения» (Волгоград, 2004). Работа над диссертацией проходила при поддержке грантов ШТАБ 99-00089, РФФИ 98-01-00842, 01-01-00123, 03-01-06010 и Минобразования УР 04.01.040.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в десяти работах, список которых приводится в конце автореферата на стр. 13. Из работ, опубликованных в соавторстве, в диссертацию включены теорема о максимизации функционала J(a2, аз) в классе однолистных функций и следствие из неё, доказательство которых принадлежит автору диссертаг ционной работы.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа изложена на 106 страницах машинописного текста и состоит из введения и трёх глав, разбитых на двенадцать параграфов. Библиографический список содержит 74 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении приводятся необходимые определения, краткий анализ литературы по теме диссертации, даётся постановка задач и обзор результатов диссертации.

Для функции /, аналитической в некоторой области И С С, определяется последовательность /", п € N := {п : п > 0, п — целое}, её итераций с помощью следующих соотношений:

/»гЫ-чС, /*:=/, Г+1 : (Г)"1^)С, /п+1:=/о/"( пеМ.

Множество Фату функции / (относительно области П)

определяется как максимальное открытое подмножество множества П„еМ(/")~ (И), в котором последовательность итераций {/"}„еы образует нормальное семейство. Множество Жюлиа определяется равенством

Под непосредственным бассейном А* (го, /, 11) неподвижной точки ло ё ^F(fli^) понимается компонента связности множества •?"(/, Н), содержащая точку 2о- Если\/'(г0)} < 1, то Л* (го, /,П) называют также непосредственным бассейном притяжения, если же /'{го) — е2*"* для некоторого иррационального действительного числа а, то множество А* (го, /, 11) называется диском Зигеля и является, как известно, односвязной областью.

Круг {г : \г — го\ < р} обозначается в работе через Б (го, р). Для Б (0,1) зарезервировано обозначение ГО.

Через 5 обозначается класс всех однолистных аналитических в В функций, нормированных разложением /(г) = г + аг-г2 + а^г3 + ... Важную роль в экстремальных задачах для класса 5 играет функция Кёбе к(г) г/(1 - г)2 и её вращения кв(г) е{вк(е~'вг), в € К.

В Главе I изучаются непосредственные бассейны неподвижных точек семейств / : х11 -+ С; (А,г) И 1х(г) аналитических функций /д, где Ни IV - некоторые области на комплексной плоскости, содержащие точки г = 0 и Ао := е2*ш, а — фиксированное иррациональное действительное число, которые удовлетворяют следующим условиям:

(1) отображение / : Ж X 11 -V С; (А, г) 1-4 /\(г) является аналитическим

по обоим переменным, А и г, во всей области определения;

(И) для каждого А € и достаточно малых г справедливо разложение

(Ш) функция Д, имеет диск Зигеля с центром в точке г = 0.

Для того, чтобы исключить возможность диска Зигеля, конформно эквивалентного комплексной плоскости, для случая негиперболической области IX предполагается, что

(iv) функция /л,, отлична от дробно-линейной.

Множество всех таких семейств / обозначается в {»боте через

В §1.1 доказывается вспомогательное утверждение, используемое для получения результатов Главы I.

В указанных предположениях диск Зигеля S = S[f] := A*{0,f\,,il) конформно эквивалентен единичному кругу В. Пусть ф обозначает конформное отображение В на S, удовлетворяющее условиям rj>(Q) — О, i//(0) > 0. В §1.2 исследуется вопрос о покрытии линий уровня Ст := dSr, Sr := Ф({£ ■ ICI < г}), г € [0,1], диска Зигеля S бассейнами притяжения Д'(0,Л,1Х) при Л —► Ло, Л € W П О. Для произвольной области U Э 0 положим r(U) — max {г € [0.1] : 5Г С У}. Зафиксируем некоторый угол Штольца Д для единичного круга в точке Ло и пусть Wq := W П Д. В диссертации доказано

Предложение 3. Имеет место равенство

Втг(Д*(0,/д,и)) = 1. (»)

А—

AeWo

Ранее было известно доказательство этого утверждения лишь в частном случае диофантового а [4]. Использование в диссертации другого пути рассуждения позволило не только отказаться от каких-либо дополнительных условий на число а, но и получить количественную версию Предложения 3 в случае S С Д. Обозначим через qn знаменатель n-ой подходящей дроби числа а, и пусть 1(х) := Япо(х), гДе щ(х) равно наименьшему из всех п 6 No := NU{0}, для которых 2д„дп+]/(дп+дп+1) > х. Доказана следующая

Теорема 1. Пусть S С И. Тогда существует постоянная С > Ом функция е : (0,1) —► (0, +оо), удовлетворяющие следующим условиям:

(i) г (Л* (0, /л, it)) > г при всех Л G W0 П D(A0, е(г)) и г <= (0,1),

(и) е(г) > С(1 - г)3/ф - г)'1-601) при всех г 6 (0,1).

Третий параграф Главы I посвящен вопросу о сходимости последоваг тельности непосредственных бассейнов притяжения А*(0, f\n,U) к диску Зигеля S при А„ —> Ло, Хп б W П В. В качестве основного результата доказана следующая

Теорема 2. Пусть А„ € Wo := W П Д для всех п € N w Лп -> Ло при п —► +оо. Тогда последовательность областей Л*(0, /a„,ü) сходится к области S как к ядру относительно точки z = 0.

Приведён пример, показывающий, что утверждение этой теоремы станет не верным, если сходимость как к ядру заменить на сходимость по метрике Хаусдорфа dH(X, Y) max{d(X, У), d(Y, X)}, d(X, Y) := sup inf \z - w\.

z€X w€Y

В §1.4 получено условие на множество © С ®T(U, W, а), достаточное для того, чтобы предел (#) в Предложении 3 достигался равномерно относительно выбора / € в. Доказана следующая

Теорема 4. Пусть & С 9Л(Д, W,a). Если

sup {|/д(г) - /a,(z)| : / € ©, г 6 К, |А - А0| < 8} < + оо для всех компактов К С Я и 6 € (0,6*), где 6* := dist(Ao, 0W), и область

В §1.5 исследуется вопрос о дробном итерировании. Для аналитической функции / : И —> С и области 17 С И, такой что /(17) С С, полугруппу 5(/,Е/) := ({(Яу)" : п € К}, о ), где обозначает сужение / на и, называют вложимой (в области II), если существует семейство ана-

литических функций /': II и, удовлетворяющее следующим условиям:

(iii) f* —> /° при t —>■ +0 в топологии равномерной сходимости внутри С/.

/€6

является гиперболической, то

(i) /«(*) = *, fiz) = f(z), z Е u-,

(ii) f'of = ft+» для любых f, s ^ 0;

Основной результат §1.5 сформулирован в следующей теореме.

Теорема 5. Для каждого г Е (О,1) найдётся е/г > 0, такое что для всех А € И^о П 0(Ао, £/г) существует область V, 5Г С V С И, для которой полугруппа г?(/л» вложима.

Непосредственным следствием Теорем 2 и 5 является

Теорема в. Всякому А € Ш П В \ {0} можно поставить в соответствие область I/ (А) Э 0, так чтобы были справедливы следующие утверждения:

(%) для всякого А Е ]У П В \ {0} полугруппа 5(/л, У (А)) вложима;

(И) если Ап Ао при п -ч +оо и А„ € := И^ПД, п € М, <?ля некоторого угла Штольца Д в точке Ао, то последовательность областей V(А„) сходится к 5 как к ядру относительно точки г = 0.

В Главе II, следуя постановке задачи из работы [5], рассматривал ется проблема нахождения точной нижней оценки расстояния неподвижной точки до границы её бассейна в классах А5е всех целых функций /(г) = Аг + «2-г2 + ..., сужение которых на единичный круг однолистно.

Полагая Д*(0, /) := {0} в случае 0 € Л{), введём следующие обознаг чения

Д(/) := сШл(0,аД'(0, Л), / € А5е, А ^ 0, од-.^ывд, А ¿о.

Следует отметить, что класс А5е не является компактным, а функционал .Я — непрерывным на А5е. В §2.1 задача оценки Я на классе А5е сводится к аналогичной задаче для непрерывного функционала в компактном классе А5 := {А^ : д € S}. Пусть

П3(/) (11^(0, дЛ*(0, /, В», / е А5, А Ф 0,

7г5(А) := Ш/ ВД), А^О.

/сАо

Главным результатом §2.1 является

Теорема 7. Для каждого А 6 В \ {0} имеет место следующее равенство

П{\) = Щ{\). (**)

Равенство (**) позволяет на протяжении §§2.2-2.4 рассматривать вместо функционала R функционал Rs-

Параграф 2.2 имеет целью доказательство Теоремы 8, дающей (в общем случае не точную) оценку снизу функционала Rs на классе АS для А € D \ [0,1). Заметим, что как следует из теоремы роста для класса S, справедлива оценка

Rs(f)> 1-у/Щ, / € AS, A€D\{0}. (1)

Если А € (0,1), то неравенство (1) обращается в равенство для функции f(z) := \zj(1 — г)2, и в этом случае оценка (1) является точной. Не формулируя здесь Теорему 8, приведём два следствия из неё, получение которых составляет содержание §2.3.

Теорема 9. Если А е D\[0,1), то оценка (1) не является тонной. Теорема 10. Для всякого t е (0,2ж) существует ц0 > 0, такое что

W)=

при всех ц € (0, ро)-

В §2.4 изучаются свойства точной оценки 7ts(А) как функции А 6 D. (При этом полагаем %s{Q) '•= 1) В частности показано, что Hs(А) непрерывна во внутренних точках круга D. В то же время известно [5], что И(е2та) больше нуля если а € В, где В обозначает множество чисел Врюно, и равно нулю если а € K\ß. Из этого следует, что функция Hs(А) разрывна в каждой точке множества ехр(2тВ), то есть почти всюду на Т := с®. Главный результат §2.4 состоит в следующем.

Теорема 13. Функция 7ls(А), А € В, обладает в каждой точке А0 € Т угловым пределом, совпадающим с её значением fts(Ao) в этой точке.

Глава III посвящена решению экстремальной задачи для функционала

J{f) = 7(02, а3) := Яе (а3 + aaf) + ß\a2f, а, ß € К,

в классе S. Ранее в частных случаях эта задача рассматривалась рядом авторов [6-9]. В частности, О. Рот [3] выдвинул в 1998 г. относительно функционала Jp(a2, a3) := Sie (a3 - (3 - р)а|/3)+(р+1)|а2|2/3,р е Ж, следующие

Гипотезы

(а) при 2р ^ (2е3 + 1)/(е3 — 1) максимум функционалу 1Р доставляют только функции ко и к* ;

(б) при 3 - 1 < 2р < (2е3 +1)/(е3 — 1) ни одна из функций к$ не является экстремальной для функционала /р;

(в) при 2р ^ 31с^-14— 1 максимум функционалу 7Р доставляют только функции 2 и к_ж/2-

В §3.1 экстремальная задача применением параметрического метода в форме уравнения Лёвнера сводится к задаче оптимального управления, которая в последующих двух параграфах решается с помощью принципа максимума Понтрягина.

В §3.2 доказываются вспомогательные утверждения, на основе которых в §3.3 получаются основные результаты Главы III.

Перепишем функционал 3 в следующем виде

7 = (Л-1)Яе2а2 + (.В+1)Зт2а2 + Яеаз, А := 0+а + 1, В 0-ас- 1.

Обозначим через ..., Об следующие области плоскости параметров (А, В):

А :={(Л,В): Л<0,В<0};

Д, ~{(А,В):В>0,А< Ьк"1^11;

Й3:={(ДВ):0<А<1,В<0};

04-{(А,В)-.А>1,В<0}-,

£>5 := {(Л, В) : В > О, А > е*/(е* - 1)} ;

Я6 := |(Д В) : В > 0,<Л < е*/(е* - 1)

Через к = 1,...,6, будем обозначать замыкания областей Л*. Класс всех функций / 6 5, имеющих действительные коэффициенты, обозначим через

Основные результаты Главы III сформулированы в следующей теореме.

Теорема 14. Справедливы следующие утверждения:

(а) если (А, В) G 25ь то тах 7(02,03) = 1;

/е5

множество экстремальных функций состоит только из семейства

в случае В = 0 и только из функции /о в случае В < 0;

(б) если (А, В) Е Dz\Di, то тах J(d2, вз) = 4J5 + 1 и максимум достигается только для функций /1 = k„ß « /-1 = к-я/2>'

(в) если (А, В) 6 Di, то тах ./(02,03) = 1 + 2е2^л~1^А и при каж-

feS

дом фиксированном А максимум достигается только для двух функций go{z), —go{—z) G <Sr, которые отображают П> на плоскость с двумя разрезами. В предельном случае В = 0 при каждом фиксированном А € (0,1) существуют четыре однопараметрических семейства экстремальных функций, в каждом из которых только одна функция отображает D на плоскость с одним разрезом;

(г) если (Л, В) € D4 U то тах ./(02,03) = 4А — 1 и максимум

/65

достигается только для функций к0 и к,;

(д) если (А, В) е. De, то

max J(a2, 03) = ctg« - sin 2£ + ,

где (<р, £), 0 < <р < £ < ж/2, однозначно определяется равенствами

1

А i-bgié+tgv^-e-ctgí)'

В =

' сов<р

1

1°8-1 + <р(<Р — £ -\-tgZy

для каждой фиксированной точки (А, В) € Об максимум 7 достигается только для четырёх функций, которые отображают В на плоскость с одним гладким разрезом, отличным от радиального луча.

Из вышеприведённой теоремы получено Следствие 3. Гипотезы (а)-(в) справедливы.

Замечание. Следует отметить, что О. Роту совместно с Р. Грайнером удалось доказать гипотезы (а)-(в). Данное ими доказательство опубликовано в [10] на два года позднее нашего доказательства.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Гуменюк П.А., Захаров A.M., Кузнецов А.А. Экстремальные задаг ми для семейства функционалов и гипотезы Рота// Известия РАЕН Сер. МММИУ, Т. 3, 1999, Х«2, С. 36-59.

2. Гуменюк П. А. Множества Фату и Жюлиа многозначных аналитических функций// Сиб. мат. журнал, Т. 43, 2002, Х»6, С. 1293-1303.

3. Gumenuk P. A Lower Estimate for the Distance of an Attracting Fixed Point to the Boundary of its Basin via Univalence Radius// Comput. Methods and Function Theory, V.3, 2003, No. 2, P. 413-424.

4. Гуменюк П. А. Угловые пределы точной нижней оценки размера бассейна притяжения как функции мультипликатора// Сб. научных тр. Математика. Механика, вып. 6.— Саратов: Издательство Саратовского университета, 2004, С. 43 45.

5. Гуменюк П. А. Диски Зигеля и бассейны притяжения семейств аналитических функций// Известия Саратовского университета, Т. 5, 2005, №1, С. 25-44.

6. Гуменюк П.А., Кузнецов А.А. Экстремальные задачи для семейства функционалов// Материалы XXXVIII междунар. студ. конф. "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Часть I, Новосибирск, 2000, С. 37 38.

7. Gumenuk P. A., Kuznetsov A. A. Extremal problems for a class of functional and Roth conjectures// Abstracts of ISAAC Conf. on Complex Analysis, Differential Equations and Related Topics, Yerevan, 2002, P. 26-27.

8. Гуменюк П.А. Нижняя оценка размера бассейна притяжения через радиус однолистности// Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы,— Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004, С. 64-65.

9. Gumenuk P. A lower estimate for the size of the basin of attraction via univalence radius// Геометрический анализ и его приложения. Тезисы докладов междунар. шк.-конф., Волгоград, 2004, С. 39-40.

10. Gumenuk P. On the size of the basin of attraction// Тезисы докла- •

дов Междунар. шк.-конф. по анализу и геометрии, Новосибирск, 2004, С. 94.

*

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Fatou P. Sur les équations fonctionelles// Bull. Soc. Math. Prance, V. 47 1919, P. 161-271; V. 48, 1920, P. 33-94, P. 208-314.

[2] Julia G. Sur l'itération des fonctions rationelles// J. Math. Pures Appl., V. 8,1918, P. 47-245.

[3] Roth О. Control Theory in H(D). PhD Thesis, Bayerischen Julius-Maximilians-Univ., Würzburg, 1998.

[4] Kriete H. Approximation of indifferent cycles// preprint ser. Mathematica Gottingemis, Georg-August-Universität, Göttingen, 1996, No. 3.

[5] Yoccoz J. C. Petits diviseurs en dimension 1// Asterisque, V. 231, 1995. »

[6] Jakubowski Z.J., Zyskowska K. On an estimate of a functional in the class of holomorphic univalent functions// Math. Bohem., V. 118, 1993, No. 3, P. 281-296.

[7] Zyskowska K. On an extremal problem// Math. Bohem., V. 120,1995, No. 2, P. 113-124.

[8] Blatter Chr. Ein Verzerrungssatz für schlichte Functionen// Comm. Math. Helvet, V. 53, 1978, P. 651-659.

[9] Kim S., Minda D. Two-point distortion theorems for univalens functions// Рас. J. Math., V. 163, 1994, No. 1, P. 137-157.

[10] Greiner R., Roth O A coefficient problem for univalent functions related to two-point distortion theorems// Rocky Mountain J. Math., V. 31, 2001, No. 1, P. 261-283.

Гуменюк Павел Анатольевич

БАССЕЙНЫ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК И ОЦЕНКИ В КЛАССЕ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ

Специальность 01.01.01 - Математический анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 13.05.2005 г. Формат 60 x 84 1/16. Объём 1 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № SH

Типография Издательства Саратовского университета. 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

»M 057^

РНБ Русский фонд

2006-4 9211

«

>

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. БАССЕЙНЫ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ОДНОПАРА-МЕТРИЧЕСКИХ СЕМЕЙСТВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1.1. Формулировка и доказательство основной леммы.

1.2. Оценка скорости покрытия линий уровня диска Зигеля бассейнами притяжения.

1.3. Сходимость непосредственных бассейнов притяжения к диску Зи

1.4. Достаточное условие равномерности покрытия линий уровня диска Зигеля бассейнами притяжения.

1.5. Области вложимости итераций в непрерывную полугруппу.

ГЛАВА II. НИЖНЯЯ ОЦЕНКА РАЗМЕРА БАССЕЙНА ПРИТЯЖЕНИЯ ЧЕРЕЗ РАДИУС ОДНОЛИСТНОСТИ

2.1. Сведение задачи к оценке функционала Rs в классе однолистных функций.

2.2. Оценка функционала Rs.

2.3. Точная нижняя оценка функционала Rs.

2.4. Свойства точной нижней оценки функционала Rs как функции мультипликатора

ГЛАВА III. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИОНАЛОВ.

3.1. Формализация экстремальной задачи как задачи оптимального управления.

3.2. Доказательство вспомогательных утверждений.

3.3. Доказательство основной теоремы и следствия из неё.

Диссертационная работа посвящена исследованию бассейнов неподвижных точек методами геометрической теории функций, а также решению одной экстремальной задачи для однолистных функций.

Значительная часть исследований по геометрической теории функций так или иначе связана с классом S всех аналитических однолистных в единичном круге функций /, нормированных разложением f(z) = z+a,2Z2-{- — Эти исследования во многом были мотивированы гипотезой Бибербаха [1], сформулированной им в 1916 году и остававшейся недоказанной вплоть до 1984 года. Гипотеза состояла в том, что для всех / G S и натуральных п справедливо неравенство |an| ^ п. Попытки обосновать это утверждение привели к разработке богатого арсенала методов, появлению новых направлений в геометрической теории функций.

После того, как Л.де Бранж [2] доказал гипотезу Бибербаха, интерес к изучению классов однолистных функций несколько снизился. Однако развитие теории не остановилось, исследования в данной области не потеряли актуальности. Более того, полученные результаты и разработанные в её рамках методы получили новые приложения, например, в задачах математической физики [3-5], в теории квазиконформных отображений (см. например, [6, 7]), в теории вероятностей [8-10]. Нашли они применение и в изучении асимптотического поведения итераций аналитических функций [11-15], что составляет одно из интенсивно развивающихся направлений в современной теории функции комплексного переменного, получившее название комплексной динамики.

Целыо данной работы является исследование непосредственных бассейнов неподвижных точек, основанное на применении методов и результатов теории однолистных функций, а также решение экстремальной задачи для одного семейства функционалов в классе «5. Глава I посвящена изучению зависимости непосредственных бассейнов неподвижных точек от итерируемой функции. В Главе II рассматривается задача о точной оценке расстояния геометрически притягивающей неподвижной точки до границы её бассейна через радиус однолистности. Глава III содержит решение экстремальной задачи для семейства коэффициентных функционалов в классе S.

Изложим базовые определения и результаты комплексной динамики, используемые в основной части диссертационной работы.

Пусть 5) G {С,С,С* := С \ {0}}, и / : 2) D — мероморф-ная функция, отличная от постоянной и не являющаяся автоморфизмом области D. Обозначим через Z множество всех целых чисел, и пусть N := {n G Z : п > 0}, N0 := N U {0}. Итерации fn : 5) 2), п в N, функции /, определяются рекуррентно

Одной из главных задач комплексной динамики является изучение асимптотического поведения последовательности итераций {/"}. В связи с этим отправной точкой исследований по комплексной динамике является деление области 5) на множество нормальности и его дополнение. Определение 1. Множеством Фату T(f) функции / называется множество всех точек л 6 53, в которых последовательность {/n}neN образует нормальное семейство. Дополнение множества Фату J{f) := называется миоэюеством Жюлиа функции /.

Одним из наиболее важных и глубоко изученных объектов в комплексной динамике являются неподвижные точки.

Определение 2. Точка zo Е D называется неподвижной точкой функции /, если f(zo) = zq. Число f1 := /, fn+1 := / о /", пе N.

1)

Л := f'{z0), если zq ф оо, б/(0), если Zq = оо, где g(w) l//(l/u>), называется мультипликатором неподвижной точки zq. Если |А| < 1 (А = О, |А| = 1, |А| > 1), то неподвижная точка zq называется притягивающей (суперпритягивающей, нейтральной, отталкивающей, соответственно).

Если А = е2л"ш, а 6 Q, где Q обозначает множество рациональных действительных чисел, то нейтральная неподвижная точка zq называется рационально нейтральной или параболической. В противном случае (то есть при а Е М \ Q) нейтральная неподвижная точка называется иррационально нейтральной.

Притягивающие неподвижные точки, не являющиеся суперпритягива-ющими, называются геометрически притягивающими неподвижными точками.

Для изучения поведения последовательности итераций вблизи неподвижной точки большую роль играет существование локальной замены переменного, приводящей функцию / к нормальной (канонической) форме.

Определение 3. Говорят, что функция / линеаризуема в неподвижной точке zq, если при А := f'(zo) функциональное уравнение Шрёдера pof = \tp, (2) имеет нетривиальное (т.е. отличное от постоянного) решение у?, аналитическое в некоторой окрестности точки zq. При этом точку zq будем называть линеаризуемой (для функции /). Если же / не является линеаризуемой в неподвижной точке zo, то будем говорить, что точка zq нелинеаризуемая.

Замечание 1. Известно (см., например, [16, стр. 10-12] или [17, §§8-11]), что отталкивающие и геометрически притягивающие неподвижные точки всегда линеаризуемы, а параболические и суперпритягивающие — всегда нелинеаризуемы. При этом притягивающие неподвижные точки лежат в множестве Фату •?""(/), а отталкивающие и параболические — в множестве Жюлиа J(f).

Если иррационально нейтральная неподвижная точка zq лежит в множестве Фату то она линеаризуема. В этом случае она называется точкой Зигеля. Если же zq G то она является нелинеаризуемой и называется точкой Кремера.

Определение 4. Пусть zq G F{f) — неподвижная точка функции /. Непосредственным бассейном A*(zQ,f) неподвижной точки zq называется компонента связности множества Фату ^F(f), содержащая точку zq. Бассейном A(zo, /) неподвижной точки zq называется множество всех точек z Е ^(f), таких что fn(z) G A*(zo,f) для некоторого п € N. Непосредственный бассейн точки Зигеля zq называется диском Зигеля, а сама точка zq — его центром.

Замечание 2. Известно (см., например, [18]), что диск Зигеля S конформно эквивалентен единичному кругу В := {z : \z\ < 1}, причём если zq — его центр, то аналитическая функция </?, уз(^о) = 0, <p'(zo) > 0, конформно отображающая S на Р, удовлетворяет уравнению Шрёдера (2) при Л := f'(zo). В частности, функция / однолистна в S.

Определение 5. Пусть п Е N. Притягивающие (нейтральные, отталкивающие) неподвижные точки функции /п называются притягивающими (соответственно нейтральными, отталкивающими) периодическими точками функции /, а число п — их периодом.

Приведём одну из классических теорем комплексной динамики.

Теорема А. Множество Жюлиа J{f) совпадает с замыканием (относительно D) множества всех отталкивающих периодических точек функции /.

Первоначально этот результат был независимо получен П. Фату [19] и Г. Жюлиа [20] для рациональных функций (2) := С). Первое доказательство для целых функций (2) := С) было дано И. Н. Бейкером [21]. В случае D := С* Теорему А доказал П. Бхаттачария [22].

Для наших дальнейших рассуждений необходимо несколько обобщить данные выше определения. Пусть Я С D — некоторая область. Если множество С \ Я содержит не менее трёх точек, то Я называется гиперболической областью. В противном случае будем говорить, что область Я негиперболическая. Рассмотрим произвольную меро-морфную функцию / : Я —> 2), не делая никаких предположений о том, определена ли она в точках г 6 £) \ Я. При этом области определения итераций /", п £ N, могут отличаться от области определения функции /ив общем случае будут зависеть от п. Говоря строго, это означает, что рекуррентное соотношение (1) заменяется следующим: Я -» С, f1 := /, (3)

Г+1: (/П)1(Я)^С, fn+1:=fof\ n G N.

Таким образом, общепринятое Определение 1 множеств Фату и Жюлиа в данном случае нуждается в замене. Введём обозначение

E(f,il) := П (ГГ'(И). пе N

Определение 6. Множеством Фату !F(f,ii) функции / (относительно области Я) будем называть множество всех точек г € К, для которых существует открытая связная окрестность £/z, удовлетворяющая следующим двум условиям: i) для каждого п Е N функция /п определена в Uz, то есть Uz С #(/,Я); ii) последовательность {/n}neN образует нормальное семейство в области Uz.

Дополнение множества Фату J(f, Я) := Я\^(/,Я) будем называть множеством Жюлиа функции / (относительно области Я).

С заменой F{f), J{f), ® на ^(/,11), J{f, Я), Я, соответственно, Определения 2-5 сохраняют корректность, а Замечание 1 — справедливость, при условии, что / отлична от постоянной и /" не совпадает с тождественной функцией ни для одного п € N. Утверждение Замечания 2 при этом будет иметь место, если в случае негиперболической области Н исключить из рассмотрения дробно-линейные функции /.

Так как одна и та же функция / : D D может рассматриваться и как отображение из D в 5), и как отображение из И ф 5) в D, то во втором случае вместо A*(zo, /) и A{zq, /) будем писать A*(zq, /,Д) и A(zo, /, IX), соответственно, указывая явно область Я, также как в обозначении множеств Фату и Жюлиа.

Случай, когда Я := С, £) := С и / — трансцендентная мероморфная функция, рассмотрен в [23].

В диссертационной работе рассматривается случай, когда Я с С и / : Я —> С — аналитическая функция.

Замечание 3. Из Определения 6 вытекает, что множество Фату J-(f,И) открыто, а множество Жюлиа J"^/, Я) замкнуто относительно 11. Условие (i) в этом определении в частности означает, что fn{Uz) С i! для всех п Е N. Поэтому в силу признака Монтеля (см., например, [24, стр. 68-70]) условие (i) влечёт выполнение условия (ii), если область Я является гиперболической. Следовательно, в этом случае множество Фату Т(/,!й) совпадает с внутренностью int(i?(/,ll)) множества E(f,il).

Одной из интересных проблем комплексной динамики является вопрос о существовании в заданной области U С E(f,tt) так называемых дробных итераций функции /. Будем следовать терминологии, принятой в [25]. Пусть U С E(f, it) — некоторая область и / : U —» U. Через ${f,U) обозначим полугруппу относительно операции композиции, образованную множеством {(/Ы" • п £ N}, где f\u обозначает сужение функции / на область U.

Определение 7. Полугруппа U) называется вложимой (в области U) если существует семейство аналитических функций : U —» С/, удовлетворяющее следующим условиям: i) f(z) = z, f\z) = /(*), z € U; ii) fs о fl = ft+s для любых t, s ^ 0; iii) fb —у f° при t +0 в топологии равномерной сходимости внутри U.

Если U) вложима, то t ^ 0, называются дробными итерациями функции / в области U. При этом, однако, вовсе не предполагается, что семейство {/f}^o> удовлетворяющее условиям (i)-(iii), единственно.

Перейдём теперь к освещению структуры и содержания основной части рукописи. Диссертационная работа состоит из 12 параграфов, разделённых на 3 главы. Доказываемые в работе Теоремы, Леммы и Предложения нумеруются независимо друг от друга арабскими цифрами. Заимствованные утверждения обозначаются заглавными латинскими буквами.

Введём обозначения, необходимые для изложение основных результатов диссертации. Через Б(г/;о,р) будем обозначать открытый круг {w 6 С : \w — tuol < р}, а через dist(-, •) — евклидово расстояние в плоскости С. Для единичного круга D(0,1) зарезервируем обозначение Р. Далее, через дА будем обозначать границу множества А с С, и пусть А := Аид А — замыкание множества А. Для произвольного с 6 С и множества Y точек комплексной плоскости или комплекснозначных функций через cY будем обозначать множество {су : у G Y}.

Пусть Н с С — область, содержащая точку z = 0, а — иррациональное действительное число, и W С С — область, содержащая точку До := е2та. Обозначим через 971(11, И7, а) класс всевозможных семейств / : W х Я —> С; (Л,z) f\(z) аналитических функций Д, удовлетворяющих следующим условиям: i) отображение / : W х Я -» С; (A, z) н-» f\{z) является аналитическим по обоим переменным, А и г, во всей области определения; ii) для каждого А Е W и достаточно малых z справедливо разложение fx(z) = Az + a2(\)z2 +. ; iii) функция /Ао имеет диск Зигеля с центром в точке z — 0.

Для того, чтобы исключить возможность диска Зигеля, конформно эквивалентного комплексной плоскости, будем для случая негиперболической области it предполагать, что iv) функция /д0 отлична от дробно-линейной.

Зафиксируем произвольное семейство / Е Ш1(Н, W, а). Для краткости введём обозначение S = 5[/] := Л*(0,/д0,Д). Для г Е [0,1] положим Sr := ф(гЩ, £r := dSr. Здесь и далее ф — конформное отображение единичного круга В на диск Зигеля S Э 0 функции /д0> удовлетворяющее условиям нормировки ^(0) = 0, ф'{0) > 0, и ^ := ф~1. Далее, пусть U — некоторая область, содержащая точку z = 0. Обозначим r(U) := max {г е [0,1] : Sr С U}.

Перейдем теперь непосредственно к освещению содержания работы.

Наряду с исследованием характеристик асимптотического поведения последовательности итераций, одной из основных проблем комплексной динамики является изучение изменения этих характеристик при изменении итерируемой функции. Ряд работ по этой тематике посвящен исследованию зависимости множеств ^F(f) и J~(f) от функции / в классах полиномов и рациональных функций фиксированной степени [26-30], в классах целых [31-35] и мероморфных [36-38] функций. С этими исследованиями тесно связана проблема изучения свойств отображения А Д*(0,/д,Н), А Е W, f Е 9Я(И, W, а), которой посвящена Глава I. В качестве основной рассматривается задача о сходимости последовательности областей A*(zq, /дп) к A*(zo,f\) как к ядру относительно z = 0 при А„ —> А Е W, An Е W П В, n Е N. При помощи весьма элементарных рассуждений можно показать, что указанная сходимость будет иметь место, если |А| < 1. Доказательство этого утверждения неявно содержится в ряде работ (например, [26, 32, 36]). Те же рассуждения показывают, что A*(zQ,fn) сходится при п —> +оо к {z0} как к ядру, если точка z = 0 является нелинеаризуемой нейтральной неподвижной точкой для /д. Таким образом, наибольший интерес представляет случай, когда z = 0 является точкой Зигеля функции /д, то есть Лп —> Л = Л0 е2пга. Именно этот случай рассматривается в диссертационной работе. Изложим результаты, полученные в каждом из параграфов Главы I.

Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. Основной его частью является доказательство Леммы 1, используемой на протяжении всей Главы I. Рассмотрим некоторый угол Штольца А в точке Ао (относительно Р), и пусть Wo := W П А. Одним из следствий Леммы 1 является

Предложение 3. Имеет место равенство lim г (Л* (0,/д, И)) = 1. (*) а—мо ew0

В работе [34] приведено доказательство Предложения 3 для случая, когда Я С и число а является диофантовым, то есть существуют е > О, к > О, такие что \a — p/q\ > e/qK для любых взаимно простых р Е Z, q Е N. Нами используется иной метод доказательства, позволяющий избежать каких-либо условий на иррациональное число а. Более того, в качестве основного результата §1.2, получена количественная версия Предложения 3, дающая в случае 5 С Я оценку сверху порядка малости функции е(г), такой что г (Л*(0, /л, Я)) ^ г при всех А е W0 П D(A0,e(r)) и г 6 (0,1). Эта оценка сильно зависит от свойств числа а. Обозначим через qn знаменатель n-ой подходящей дроби числа а, и пусть £(х) := qno(x), гДе щ{х) равно наименьшему из всех п Е No, для которых 2qnqn+i/(qn + qn+i) ^ х. Нами доказана

Теорема 1. Пусть 5 С ii. Тогда существует постоянная С > 0 и функция е : (0,1) -> (0,+оо), удовлетворяющие следующим условиям: i) г {Л* (О, /А, Я)) ^ г при всех Л G W0 П D(A0, е(г)) иге (0,1), ii) e{r) ^ С{ 1 - r)3/l(( 1 - г)"1'601) при всея г G (0,1).

В явном виде функция е(г) определена в доказательстве Теоремы 1.

Главным результатом §1.3 является доказательство теоремы о том, что -4*(0j/a) S как к ЯДРУ5 когда Д —> До по некасательным путям (относительно D). Приведем строгую формулировку этого утверждения.

Теорема 2. Пусть Хп G Wq := W П Д для всех п G N и Хп —> До при п —> +оо. Тогда последовательность областей -Д*(0,/лп,И) сходится к области S как к ядру относительно точки z = 0.

Также в §1.3 показано, что аналогичное утверждение для сходимости но метрике Хаусдорфа dH(X, Y) := max{d(X, У), d{Y, X)}, d(X, Y) := sup inf - w\, z€X w&Y в общем случае не имеет места. Иррациональное число а называется числом Брюно, если последовательность qn знаменателей его подходящих дробей удовлетворяет условию

00 ,

-< +оо. (5) п=0 Яп

Множество всех чисел Брюно обозначим через В.

Теорема 3. Пусть a G В. Тогда существует f := f* £ 9Л(®, С, а), такое что для всякой последовательности {Дп G сходящейся к До, последовательность областей .Д*(0,/дп, D) не сходится к области S по метрике djj

В §1.4 сформулировано достаточное условие равномерности достижения предела (*) относительно выбора семейства / G © С 9Jt(H, W, а). Доказана следующая

Теорема 4. Пусть 6 С ШТ(Я, W, а). Если sup (|/A(z) - /л0(*)| = / е 6, z G К, |Л - Л0| < 5} < +оо для всех компактов К С Я и 6 G (0,<5*), где J* := dist(Ao, и область := [J Slf\ fee является гиперболической, то

Йл„ ()ЙгИ*(0,/л,Н))) = 1. xew0

Параграф §1.5 посвящён вопросу о дробных итерациях функций семейства {/a}agw- Из Замечания 2 следует, что для Л Ао полугруппа итерации #(/л, «А*(0, /а,Я)) функции f\ вложима в непосредственном бассейне /а,iX) = S неподвижной точки z — 0. Если же A G Wo \ {0}, то из общих соображений можно гарантировать вложимость полугруппы U) лишь в некоторой окрестности U точки z — 0. Главным результатом §1.5 является

Теорема 5. Для каждого г G (0,1) найдётся £/г > 0, такое что для всех A G Wo П D(Ao, £fr) существует область U, Sr С U С Я, для которой полугруппа $(f\,U) вложима.

Непосредственным следствием Теорем 2 и 5 является

Теорема 6. Всякому A G ИлПВ\{0} mooicho поставить в соответствие область U(А) Э 0, так чтобы были справедливы следующие утверждения: г) для всякого A G W П В \ {0} полугруппа #(/л, U(\)) вложима;

И) если \п —> Ао при п -» +оо и Хп G Wq := WD A, п G N, для некоторого угла Штольца А в точке Ао, то последовательность областей U(Xn) сходится к S как к ядру относительно точки z = 0.

Одним из актуальных вопросов комплексной динамики является оценка размера бассейна неподвижной точки. Однако нам известна лишь две публикации [12, 39] по этому вопросу. В работе [39] рассматривается довольно частный случай квадратичных полиномов. В работе [12] получена нижняя оценка конформного радиуса диска Зигеля относительно его центра через мультипликатор и радиус однолистности. Глава II данной диссертационной работы посвящена точной нижней оценке расстояния неподвижной точки до границы её бассейна в классах A<Se всех целых функций f(z) = \z-\-a2z2 + • •сужение которых на единичный круг однолистно. Постановка задачи аналогична таковой в [12] и обоснована тем, что для всякой целой функции /, локально однолистной в неподвижной точке zq, функция fi := T~l о / о Т, T(z) := ruz + zo, где ru > О обозначает радиус однолистности / в точке zq, принадлежит классу Л«5е при Л f'(zo), и для всех п G N справедливо соотношение /п = Т о /{* о Т~1.

Полагая Д*(0, /) {0} в случае 0 € J(f), введём следующие обозначения

R{f) := dist(О, дЛ*(0, /)), / G \Se, А ф 0, 7г(А) := \ф 0.

Следует отметить, что класс XSe не является компактным, а функционал R — непрерывным на ASc. В §2.1 задача оценки R на классе XSe сводится к аналогичной задаче в компактном классе AS для непрерывного функционала. Пусть

Rs(f) := dist(0,a/t*(0,/,©)), / €Е А5, А ф 0, 7г5(А) := inf Rs(fX А^О. GA<5>

Главным результатом §2.1 является

Теорема 7. Для каждого А Е Ю> \ {0} имеет место следующее равенство тг(А) = тг5(л). (**)

Равенство (**) позволяет на протяжении §2.2-§2.4 рассматривать вместо функционала R функционал Ду.

Параграф 2.2 имеет целью доказательство Теоремы 8, дающей (в общем случае не точную) оценку снизу функционала Rs на классе A«S для A G Р \ [0,1). Заметим, что как следует из теоремы роста для класса S (см., например, [24, стр.53]), справедлива оценка нормированной функции Кёбе Ak(z) := Az/(1 — z)2 показывает, что это неравенство обращается в равенство для всех A g (0,1), и в этом случае оценка (7) является точной. Не формулируя здесь Теорему 8, приведём два следствия из неё, получение которых составляет содержание §2.3.

Теорема 9. Если А € Ю>\[0,1), то оценка (7) не является точной.

Теорема 10. Для всякого t 6 (0, 2л-) существует до > 0, такое что при всех ц G (0, //о).

В §2.4 изучаются свойства точной оценки 72.5(A) как функции A G Р. (При этом полагаем 7^s(0) 1.) В частности показано, что 7Zs(\) непрерывна во внутренних точках круга Р. В то же время известно [12], что TZ(e2ma) больше нуля если a G и равно нулю если a G К \ В. Из этого следует, что функция 7^5 (А) разрывна в каждой точке множества ехр(27гШ), то есть почти всюду на Т с® (см., например, [17, стр. 153-157]). Главный результат §2.4 состоит в следующем.

Теорема 13. Функция 7is{X), a g р, обладает в каждой точке ао g т угловым пределом, совпадающим с её значением TZs(^o) в этой точке.

М + 2 - л/4Д + 2 2

1. Hohlov Yu.E., Prokhorov D.V., Vasil'ev A. Ju. On geometrical properties of free boundaries in the Hele-Shaw flows moving boundary problem// Lobachevskii Journal of Mathematics, V. 1, 1998, C.3-12.

2. Carleson L., Makarov N. Aggregation in the Plane and Loewner's Equation// Commun. Math. Phys., V.216, 2001, P. 583-607.

3. Gustafsson В., Prokhorov D., Vasil'ev A. Infinite lifetime for the starlike dynamics in Hele-Shaw cells// Proc. Am. Math. Soc., V. 132, 2004, No. 9, 2661-2669.

4. Кузьмина Г. В. Методы геометрической теории функций// Алгебра и анализ, Т. 9, 1997, №, С. 41-103; №5, С. 1-50.

5. Vasil'ev A. Moduli of families of curves for conformal and quasiconformal mappings — Springer, 2002.

6. Горяйнов В. В. Полугруппы аналитических функций и ветвящиеся процессы// ДАН СССР, Т. 318, 1991, №5, С. 1046-1049.

7. Горяйнов В. В. Дробное итерирование вероятностных производящих функций и вложение дискретных ветвящихся процессов в непрерывные// Мат. сборник, Т. 184, 1993, №5, С. 55-74.

8. Горяйнов В. В. Эволюционные семейства аналитических функций и неоднородные по времени марковские ветвящиеся процессы// Доклады Академии наук, Т. 347, 1996, №6, С. 729-731.

9. Pommerenke Ch. On Conformal Mapping and Iteration of Rational Functions// Complex Variables, V. 5, 1986, P. 117-126.

10. Yoccoz J. C. Petits diviseurs en dimension 1// Asterisque, V. 231, 1995.

11. Bergweiler W. On proper analytic maps with one critical point// in "Value distribution theory and complex dynamics", Contemp. Math., V. 303, 2002, P. 1-6.

12. Bergweiler W. On the number of critical points in parabolic basins// Ergodic Theory Dynam. Systems, V. 22, 2002, P. 655-669.

13. Buff X. On the Bieberbach conjecture and holomorphic dynamics// Proc. Am. Math. Soc., V. 131, 2003, No.3, P. 755-759.

14. Ерёменко А. Э., Любич M. Ю. Динамика аналитических отображений// Алгебра и анализ, Т. 1, 1989, №3, С. 1-70.

15. Милнор Дж. Голоморфная динамика. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000; пер. с англ. Milnor J. Dynamics in One Complex Variable, Vieweg, 2000.

16. Bargmann D. Conjugations on rotation domains as limit functions of the geometric means of the iterates// Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Mathematica, V. 23, 1998, P. 507-524.

17. Fatou P. Sur les equations fonctionelles// Bull. Soc. Math. France, V. 47 1919, P. 161-271; V. 48, 1920, P. 33-94, P. 208-314.

18. Julia G. Sur l'iteration des fonctions rationelles// J. Math. Pures Appl., V. 8, 1918, P. 47-245.

19. Baker I. N. Repulsive fixpoints of entire functions// Math. Z., V. 104, 1968, P. 252-256.

20. Bhattacharyya P. Iteration of analytic functions. PhD Thesis, University of London, 1969.

21. Bergweiler W. Iteration of meromorphic functions// Bull. Amer. Math. Soc., V. 29, 1993, No. 2, P. 151-188.

22. Голузин Г. M. Геометрическая теория функций комплексного переменного.— М.:«Наука», 1966.

23. Elin М., Goryainov V., Reich S., Shoikhet D. Fractional Iteration and Functional Equations for Functions Analytic in the Unit Disk// Comput. Methods and Function Theory, V. 2, 2002, No. 2, P. 353-366.

24. Douady A. Does the Julia set depend continuously on the polynomial?// Proc. Symp. in Appl. Math., V.49, 1994, ed. R. Devaney, P. 91-138.

25. Kriete H. The stability of Julia sets// Math. Gottingensis, Schriftenr. Sonderforschungsbereichs Geom. Anal., 1988, No. 22.

26. Wu Sh. Meromorphic multifunctions and stability of Julia sets// Ergodic Theory Dyn. Syst., V. 15, 1995, No. 6, P. 1231-1238.

27. Wu Sh. Continuity of Julia sets// Sci. China, Ser. A, V.42, 1999, No.3, P. 281-285.

28. Yin Yo. Continuity of Julia sets of polynomials// Acta Math. Sin., V. 38, 1995, No. 1, P. 99-102.

29. Krauskopf B. Convergence of Julia sets in the approximation of e.z by 1 + (z/d))dH Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng., V.3, 1993, No. 2, P. 257-270.

30. Kisaka M. Local uniform convergence and convergence of Julia sets// Nonlinearity, V.8, 1995, No. 2, P. 237-281.

31. Morosawa S. Caratheodory convergence of Fatou components of polynomials to Baker domains or wandering domains II// Proceedings of the 10th Internat. Conf. on Finite Dimensional Complex Analysis and Applications, P. 127-132.

32. Kriete H. Approximation of indifferent cycles// preprint ser. Mathematica Gottingensis, Georg-August-Universitat, Gottingen, 1996, No. 3.

33. Krauskopf В., Kriete H. A note on non-converging Julia sets// Nonlinearity, V. 9, 1996, P. 601-603.

34. Kriete H. Repellors and the Stability of Julia Sets// preprint ser. Mathematica Gottingensis, Georg-August-Universitat, Gottingen, 1995, No. 4.

35. Kriete H. Continuity of filled-in Julia sets and the closing lemma// Nonlinearity, V. 9, 1996, P. 1599-1608.

36. Krauskopf В., Kriete H. HausdorfF convergence of Julia sets// Bull. Belg. Math. Soc., V.6, 1999, No. 1, P. 69-76.

37. Beardon A. F., Rippon P. J. A remark on the shape of quadratic Julia sets// Nonlinearity, V. 7, 1994, P. 1277-1280.

38. Jakubowski Z.J., Zyskowska K. On an estimate of a functional in the class of holomorphic univalent functions// Math. Bohem., V. 118, 1993, No. 3, P. 281-296.

39. Zyskowska K. On an extremal problem// Math. Bohem., V. 120, 1995, No. 2, P. 113-124.

40. Blatter Chr. Ein Verzerrungssatz fur schlichte Functionen// Comm. Math. Helvet, V. 53, 1978, P. 651-659.

41. Kim S., Minda D. Two-point distortion theorems for univalens functions// Рас. J. Math., V. 163, 1994, No. 1, P. 137-157.

42. Roth O. Control Theory in H(D). PhD Thesis, Bayerischen Julius-Maximilians-Univ., Wiirzburg, 1998.

43. Singh A. P. Unbounded components of the Fatou set// Complex Variables, Theory Appl., V. 41, 2000, No. 2, P. 133-144.

44. Singh A. P. On the dynamics of composition of entire functions// Math. Proc. Camb. Philos. Soc., V. 134, No. 1, 2003, P. 129-138.

45. Schaeffer A. C., Spencer D. C. Coefficient Regions for Schlicht Functions — AMS Coll. Series, 1950.

46. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций — М.: Наука, 1976.

47. Гуменюк П.А., Захаров A.M., Кузнецов А.А. Экстремальные задачи для семейства функционалов и гипотезы Рота// Известия РАЕН Сер. МММИУ, Т. 3, 1999, №2, С. 36-59.

48. Гуменюк П. А. Множества Фату и Жюлиа многозначных аналитических функций// Сиб. мат. журнал, Т. 43, 2002, №6, С. 1293-1303.

49. Gumenuk P. A Lower Estimate for the Distance of an Attracting Fixed Point to the Boundary of its Basin via Univalence Radius// Comput. Methods and Function Theory, V.3, 2003, No. 2, P. 413-424.

50. Гуменюк П. А. Угловые пределы точной нижней оценки размера бассейна притяжения как функции мультипликатора// Сб. научных тр. Математика. Механика, вып. 6.— Саратов: Издательство Саратовского университета, 2004, С. 43-45.

51. Гуменюк П. А. Диски Зигеля и бассейны притяжения семейств аналитических функций// Известия Саратовского университета, Т. 5, 2005, Ш, С. 25-44.

52. Гуменюк П.А., Кузнецов А.А. Экстремальные задачи для семейства функционалов// Материалы XXXVIII междунар. студ. конф. "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Часть I, Новосибирск, 2000, С. 37-38.

53. Gumenuk P. A., Kuznetsov A. A. Extremal problems for a class of function-als and Roth conjectures// Abstracts of ISAAC Conf. on Complex Analysis, Differential Equations and Related Topics, Yerevan, 2002, P. 26-27.

54. Гуменюк П.А. Нижняя оценка размера бассейна притяжения через радиус однолистности// Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы.— Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004, С. 64-65.

55. Gumenuk P. A lower estimate for the size of the basin of attraction via univalence radius// Геометрический анализ и его приложения. Тезисы докладов междунар. шк.-конф., Волгоград, 2004, С. 39-40.

56. Gumenuk P. On the size of the basin of attraction// Тезисы докладов Междунар. шк.-конф. по анализу и геометрии, Новосибирск, 2004, С. 94.

57. Carleson L., Gamelin Т. W. Complex Dynamics, Springer, New York 1993.

58. Бухштаб А. А. Теория чисел. — M. :«Просвящение», 1966.

59. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. — М.: «Наука», 1969.

60. Неванлинна Р. Униформизация.— М.: Изд-во иностранной лит., 1955.

61. Duren P. L. Univalent functions. — Springer-Verlag, 1983.

62. Pommerenke Ch. Boundary Behaviour of Conformal Maps.— Springer-Verlag, 1992.

63. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, Т. 1. — М.: «Наука», 1967.

64. Брюно А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений// Труды Московского математического общества, Т. 25, 1971, С. 119-262.

65. Горяйнов В. В. Функция Кёнигса и дробное итерирование вероятностных производящих функций// Мат. сборник, Т. 193, 2002, №7, С. 69-86.

66. Милин И. М. Однолистные функции и ортогональные системы.— М.: «Наука», 1971.

67. Мергелян С. Н. О представлении функций рядами многочленов на замкнутых множествах// ДАН СССР, Т. 78, 1951, С. 405-408.

68. Смирнов В. И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. — М.: «Наука», 1964.

69. Куфарев П.П. Одно замечание об интегралах уравнения Лёвнера// ДАН СССР, Т. 57, 1947, №7, С. 655-656.

70. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов — М.: «Наука», 1976.

71. Greiner R., Roth О. A coefficient problem for univalent functions related to two-point distortion theorems// Rocky Mountain J. Math., V. 31, 2001, No. 1, P. 261-283.