Базисность Рисса собственных функций дифференциального оператора со ступенчатой весовой функцией при старшей производной тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА I Условия Birkoff-регулярности

§ 1. Основные понятия, определения и вспомогательные результаты.

§2. Характеристический определитель А(/?)

2.1 .Характеристическая система уравнений.

2.2.Главная часть определителя А(р)при п = 2/л.

2.3.Главная часть определителя А(/>)при п = 2/л-\.

§З.Асимптотика собственных значений Birkoff-регулярного оператора, порожденного регулярными краевыми условиями

3.1 .Асимптотика собственных значений при п = 2 ц.

3.2.Асимптотика собственных значений при п = 2// -1.

ГЛАВА II Поведение функции Грина

§1.Построение функции Грина, понятие регулярности.

§2. Поведение функции Грина при \р\ —> оо

2.1. Регулярность при п = 2[л.

2.2. Регулярность при п - 2/л -1.

§3. Контрпример

3.1. Постановка задачи.

3.2. Характеристический определитель Л(р)и функция Грина.

3.3. Оценка функции Грина.

ГЛАВА III Условия базисности Рисса

§1. Собственные функции.

1.1. Асимптотика собственных функций при n-l/u.

1.2. Асимптотика собственных функций при п = 2/л-\.

§2. Полнота собственных и присоединенных функций.

§3. Теорема базисности Рисса собственных и присоединенных функций.

Большое число задач математики, механики и физики приводят к спектральному анализу дифференциальных операторов. Спектральный анализ операторов включает в себя решение вопросов о распределении собственных значений, поведении собственных и присоединенных функций, разложении произвольной функции в ряды по собственным и присоединенным функциям, полноте и базисности собственных и присоединенных функций, равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям и по известным системам функций. Такого рода задачи возникают, например, при обосновании метода Фурье решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Спектральный анализ дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении многих задач квантовой механики.

Задачей разложения по собственным функциям линейного' дифференциального оператора п-го порядка на отрезке [0, 1], порождаемого дифференциальным выражением вида:

1(У>У1н) + МХ)У{"-1) + .+ ШУ (0.1) и линейно-независимыми краевыми условиями:

Ut{y) = t aijy{n-j\0) + t 1) = 0, / = 1,2,.,я (0.2) j=l j=\ одним из первых занимался G.D.Birkhoff [1-2]. Определив условия регулярности, путем установления требований на коэффициенты линейных форм U (у), G.D.Birkhoff показал, что в этом случае ряд Фурье по собственным функциям функции /(jc) , имеющей ограниченную вариацию, f(x + 0) + f(x - 0) сходится к --- в каждой внутренней точке [0,1], а в точках 0 и 1 ряд сходится к а/(0 + 0) + j3f(l - 0), где постоянные а и /? определяются краевыми условиями. При этом G.D.Birkhoff предполагал, что /К*)550 или, по крайней мере, fx еСл1[0,1], то есть fx(x) является (п-1) раз непрерывно дифференцируемой функцией, a fj(x) при j = 2,3,.,п являются непрерывными на отрезке [0,1] функциями. Для получения этого результата G.D.Birkhoff в [3] установил асимптотику фундаментальной системы решений уравнения !(у)~ Ау = 0 при

Я| -> оо, с использованием которой была определена асимптотика собственных значений и собственных функций линейного дифференциального оператора, определяемого (0.1)—(0.2).

В дальнейшем Я.Д.Тамаркин усилил результат, который получил G.D.Birkhoff, показав в [4], что при fi(x) е С"-1 [0,1] и регулярных краевых условиях для всякой интегрируемой функции ряды по собственным и присоединенным функциям задачи (0.1)—(0.2) и по тригонометрической системе равносходятся внутри [0,1]. Этот результат Я.Д.Тамаркина обобщил теоремы о равносходимости, которые ранее получил В.А.Стеклов [5], А.Нааг [6-7], E.Hobson [8], для краевых задач второго порядка. Аналогичный результат, но значительно позже, получил

M.H.Stone [9]. Более общие краевые задачи, а также краевые задачи в пространстве вектор-функций, детально изучал Я.Д.Тамаркин [10-11], G.D.Birkhoff и R.E.Langer [12]. Задачам, связанным с изучением спектральных свойств дифференциальных и интегро-дифференциальных операторов посвящены многочисленные научные исследования, среди которых работы таких математиков, как N.Dunford [13], J.Schwartz [14], А.Б. Будак, В.Н. Денисов [15], В.А. Ильин [16-18], B.C. Пугачев [19], Ю.В. Покорный [20], А.П. Хромов [21-23] и др.

Г. М. Кесельманом [24] и В. П. Михайловым [25] в общем виде были получены условия базисности Рисса собственных функций линейного дифференциального оператора, порожденного регулярными краевыми условиями при и функции fx (х) имеющей производные до (п

1)-го порядка. В настоящее время базисность Рисса установлена для широкого класса дифференциальных и интегро-дифференциальных операторов с достаточно общими граничными условиями, в том числе содержащими и интегральные слагаемые. Исследованиям вопросов базисности Рисса посвящены работы А.Г. Баскакова и Т.К. Кацарана, [26], В.Д. Будаева [27], В.В. Власова [28-30], A.M. Гомилко, Г.В. Радзиевского [3132], B.C. Рыхлова [33], В.П. Курдюмов [34], Л.А. Муравья [35], А.П. Хромова и В.П. Курдюмова [36], А.А.Шкаликова [37-39] и др. R.E.Langer [40] и В.С.Пугачев [19] рассматривали различные спектральные задачи дифференциальных операторов с весовой функцией р(х), т. е. задачи, порождаемые дифференциальным выражением вида:

Ky)=-j-/n) + + (0.3) p(x) и линейно-независимыми краевыми условиями (0.2)

В этих исследованиях р(х), f{(x) предполагались достаточно гладкими функциями. В.С.Рыхлов, G.Freiling в [41] рассмотрели задачи равносходимости рядов по собственным и присоединенным функциям линейного дифференциального оператора, порожденного (0.3)-(0.2) и тригонометрической системой в предположении, что р(х) е Ж,,[0,1] = {у € Lj[0,l]: У1} 6 Ц0,1]} , a pv(x) е L{0,1],v = 1,2,.,л}.

W.Eberhard , G.Freiling , A.Schneider в [42-43], а также P.Koch [44] и T.Stoeber [45] рассмотрели в наиболее общем виде спектральные задачи для дифференциальных операторов, определяемые (0.3) и (0.2) со ступенчатой весовой функцией р{х), принимающей только действительные значения, отличные от нуля, и достаточно гладкой функцией /,(х). А.П.Гуревич, А.П.Хромов в [46] рассмотрели задачи о разложении функций в ряды по собственным и присоединенным функциям дифференциальных операторов, порожденных дифференциальным выражением (0.3) для случая п=1 и п=2 и специальных краевых условий (0.2). При этом функция р(х) предполагалась ступенчатой, состоящей из двух ступенек. По терминологии, используемой в настоящей работе задача рассмотренная введенной в [46] для п=2 является нерегулярной.

Случай комплкснозначной функции р(х) в работах [42-45] не изучался. В настоящем же исследовании показано, что взаимное расположение ступенек функции р(х) в комплексной плоскости существенно влияет на спектральные свойства линейного дифференциального оператора. В работах [42-45] вопрос о влиянии гладкости при (и-1)-ой производной в дифференциальном выражении (0.3) на спектральные свойства не изучался. Задача о базисности Рисса собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов с весовой ступенчатой функцией р(рс) , даже в предположении гладкости функции /\{х), в общем виде до настоящего времени не рассматривалась.

Настоящая работа посвящена изучению спектральных свойств линейного дифференциального оператора L, заданного на отрезке [0,1], порождаемого дифференциальным выражением вида: l(y) = -j-ry(n]+Mx)y{"-l) +. + /п(х)У (0.4) р(х) и линейно-независимыми нормированными краевыми условиями:

UAy) = UvQ(y) + Uvl(y) = 0, v = l,2,.,/i, (0.5) где uvX{y) = ^y(kv\y)+*£Чуу)(1), j=о

П(К| + |/М)*0. п-\>кх >.>£„ >0и к 2 сА^для q=],2,.,n-2. р(х) =

0,хеУ0 = [а0 =0 ,£?,), Ррхе/, = [<з, =0,а2), a0=0<al<.<am<am+l=l.

Рт>хе1т=[ат,ат+Х]. При этом предполагается, что рк являются произвольными комплексными числами, отличными от нуля, а функции /• (х) е L[0,1]. Задачами настоящего исследования являлись:

1. нахождение условий, аналогичных условиям регулярности при которые в настоящей работе определяются как условия Birk.-hoff-регулярности дифференциального оператора;

2. нахождение условий, при которых собственные и присоединенные функции Birkhoff- регулярного оператора L образуют базис Рисса в пространстве /,2[0,1].

Полученные условия Birkhoff- регулярности оператора L определяются коэффициентами в краевых условиях (0.5) и значениями ступенек весовой функции р{х). Сформулированные условия базисности Рисса также зависят от взаимного расположения ступенек рк в комплексной плоскости.

При решении данных задач были рассмотрены вопросы об асимптотике собственных значений и собственных функций, кратности собственных функций, полноте собственных и присоединенных функций, поведении функции Грина. Указанные задачи решены в предположении, что /j(jc)e£[0, 1] либо /,(х) е L2[0,1]. Таким образом, полученные результаты обобщают результаты немецких математиков [42-45] на случай комплекснозначной весовой ступенчатой функции р(х) и негладкого коэффициента при (п-1)-ой производной в дифференциальном выражении (0.4). При этом в ряде случаев получены более точные асимптотические формулы по сравнению с формулами, полученными в работах таких математиков, как W.Eberhard , G.Freiling, A.Schneider, P.Koch , T.Stoeber. Как указывалось выше, в работах [42-45] вопрос же о базисно-сти Рисса собственных и присоединенных функций оператора L, определяемого (0.4)-(0.5), не рассматривался даже в предположении гладкости коэффициента /, (х).

Теперь перейдем к рассмотрению основных результатов диссертации. При этом соответствующие результаты сформулируем здесь для линейных дифференциальных операторов, определяемых (0.4)-(0.5). В работе же все результаты получены для соответствующего класса квазидифференциальных операторов.

Диссертация состоит из трех глав. Каждая глава делится на параграфы. Некоторые параграфы делятся также на подразделы.

В первой главе вводятся основные понятия, определения, обозначения, которые используются затем во всей работе. На основании асимптотики фундаментальной системы решений, полученной В.С.Рыхловым [47-48], и метода склейки, определяется характеристический определитель А(р), нули которого определяют собственные значеи ния дифференциального оператора. Важное место в рассуждениях настоящей главы занимает деление комплексной р— плоскости на некоторую систему S и Г—секторов, которое существенно отличается от классического деления комплексной р-плоскости на систему 2п секторов с и угловой мерой — [см. например 49]. В этих секторах определенным об-2п разом можно занумеровать различные корни п-ой степени {cokJ}" из чисел рк> где к~=0.1,.,т. Далее изучается поведение характеристического определителя А(/?) в этих секторах р -плоскости. В результате в каждом 5-секторе выделяется главная часть определителя Д(р), которая представляет собой некоторый экспоненциальный полином. Условия Вirkhoff—регулярности определяются в виде требований отличия от О коэффициентов при главных экспонентах соответствующего экспоненциального полинома. Сформулированные условия Birkhoff-регулярности зависят как от коэффициентов краевых условий, так и от значений ступенек соответствующей ступенчатой функции. Для того, чтобы сформулировать основные результаты первой главы, введем следующие обозначения: . iy/. Пусть {-рк) = \рк\е К и

SA-pk) = {peC\™-^<^p<^-^},v = 0X.,2n-l (0.7) п п п п

Рассмотрим всевозможные пересечения f/77+У^-секторов

П.(-/?„,), где v0,vl,.)vm=0,l,.,2n-l, тогда комплексная р -плоскость будет разбита на не более, чем 2п(т+1) т секторов. Пусть S один из таких секторов, т.е. S= f) Sv (~рк), о * cokj)Yj=\~ различные корни п-ой степени из чисел рк, занумерованные для сектора ЗД-р^) таким образом, что:

Repcoiv) < Керсо^ <. < Reрсо(у), к=0,1, .,т, р е Sv{-p. ) (0.8)

А:1 к 2 кп К

Пусть далее {Юц})^'^™ корни п-ой степени из чисел рк, занумерованные для S сектора, таким образом, что:

Re рсокх < Re рсок2 <. < Re рсоь, к=0у 1, .,т, peS. ^(л:,,.,^;^, ,.,хп) определители, вид которых определен на стр.31. настоящей работы.

Определение. Будем говорить, что дифференциальный оператор, определенный дифференциальным выражением (0.4) и краевыми условиями (0.5), является Birkhoff-регулярным, если в любом S-секторе выполнены следующие условия: 1)для n = 2ju в(сот,.,О)0м;(отц,0)тм+2,.,<0тп)* 0

0.9)

2) для n = 2ju-l

0(сооа>0 ,;сотм,.,сотп) * О л/ ч Л (°Л°)

Основным результатом первой главы является получение следующих теорем:

Теорема 1.1. Пусть n-2p., arg* argдля О < argр,,argPj < 2tt , тогда Birkhoff-регулярный оператор, определяемый (0.4)-(0.5), имеет 2(т+1) последовательностей собственных значений, для которых справедливы следующие асимптотические формулы: pfY. где 1=0,1.т, р--1.2,. р*. -+ М" (0.11)

2</> = '"о Я/2""" + itpi ,-(/) (Q,г. hf = о(1), hf = о(1) при р-* оо. При n-4q в формуле (0.11) берем "-",в формуле (0.12) берем "+ "; при n=4q+2 в формуле (0.11) берем "+ ";в формуле (0.12) берем "-".

Теорема1.2. Пусть для п = 2/л Birkhoff-регулярный оператор, определяемый (0.4)-(0.5), удовлетворяет условиям теоремы 1.1. ив (0.4) /, eL2[0,l], тогда в теореме 1.1. для чисел h^ справедливы оценки: zK>/)2<°°> z^/)2<°° (°лз> i /,=I

Теорема 1.3. Пусть n-2ju и числа т расположены на лучах l{J2,.,lq комплексной плоскости, тогда Вirkhoff—регулярный оператор, определяемый (0.4)-(0.5), имеет 2q—последовательностей собственных значений, для которых справедливы следующие асимптотические формулы: pfy = t—0,1, .,т, р-1,2,.

6 Р (0Л5) где

6=2 I rk€lt

В формулах (0.14)-(0.15) k е Mt ={k:rk el,}.

При n=4q в формуле (0.14) берем "~",в формуле (0.15) берем "+ "; при n=4q+2 в формуле (0.14) берем "+",в формуле (0.15) берем "-"

Теорема1.4. Пусть п = 2р -1, argpQ = . = argрт , тогда Birkhoff-регулярный оператор, определяемый (0.4)-(0.5), имеет две последовательности собственных значений, d/ш которых справедливы следующие асимптотические формулы:

РУ = г р т

1Пц //(0)

2 лр/

IК+1 IKr^K1

0.16)

А=о

У р т

1п0 Н(2п~У)

• +

2 яр/ v , - * w2"1) v (а , >у

2я-1)

•hi2),

0.17) х=0

При n=4q -1в формуле (0.16) берем "+ "/в формуле (0.17) берем "-"; при n=4q+l в формуле (0.16) берем "-"; в формуле (0.17) берем"+ ". Теорема1.5. Пусть дляп = 2ju-\ Birkhoff-регулярный оператор, определяемый (0.4)-(0.5), удовлетворяет условиям теоремы 1.4. и в (0.4) /, е L2 [0,1], тогда в теореме 1.4. для чисел справедливы оценки: I

Р=1

0) пр

Р=1 hf

00

0.18)

Во второй главе строится функция Грина G(x,^,/1 = /?") и изучается ее поведение при |pj —> оо. Поведение функции Грина изучается в секторах S(8) ~ {р е S | dist(p, с?) >8), где сг = {р е С | рп - собственноезначение), a dist{p, cr) = jnf j/? - >>|. Во второй главе водится понятие регулярности оператора. Определение. Пусть функция Грина оператора, определяемого (0.4)-(0.5), тогда, если для любого сектора S и положительного числа 8 > 0 существует такое положительное число R6, что: где S{5), \p\>R6, (0.19)

P\ то будем говорить, что оператор, определяемый (0.4)-(0.5), является регулярным.

Далее рассматривается соотношение свойств Birkhoff-регулярности и регулярности оператора, определяемого (0.4)-(0.5).

Основным результатом второй главы является получение следующих теорем.

Теорема2.1. При п- 2ju Birkhoff-регулярный оператор, определяемый (0.4)-(0.5), является регулярным.

Теорема2.2 Пусть п = 2р-\ и arg/?0 =. = argpm, тогда Birkhoff-регулярный оператор, определяемый (0.4)-(0.5), является регулярным оператором.

В результате полученных теорем мы видим, что если оператор L, определяемый (1)-(2), является Birkhoff-регулярным оператором; то для четного п, оператор L будет регулярным. В нечетном же случае данное утверждение справедливо в случае, когда все ступеньки ступенчатой функции р(х) лежат на одном луче комплексной р-плоскости. В этой ситуации возникает вопрос о регулярности оператора L, который является Birkhoff-регулярным, у которого не все ступеньки функции р(х)лежат на одной комплексной плоскости для случая нечетного п. В работе строится контрпример, который показывает точность теоремы 2.2. Суть контрпримера заключается в следующем:

1. рассматривается дифференциальный оператор 3-го порядка со ступенчатой весовой функцией р(х) =

Ро = \Ро\еИР° >х е К = )' 1 Рх = |Р\\е1<Рх, х е [а,, а2), где

Я2|е'<!'2»-х€[а2'аз] К

§<(р^<(рх<(рг< — , порожденный линейно независимыми нормированными краевыми условиями.

2. выделяется главная часть характеристического определителя А(/?)в соответствующих S-секторах в виде некоторой экспоненциальной суммы. Требуя отличие от нуля коэффициентов при главных экспонентах, можно сформулировать условия Birkhoff-регулярности оператора.

3. в некотором S* -секторе получается следующая оценка функции Грина

0.20) И где р g S (5) = {ре S* \\p-p |> S, где Лр = -р3р - собственное значение} |р|>7?д,, Rn —>оо при Nоо, а 8 некоторое фиксированное положительное число. Оценка (0.20) получается при определенных достаточно общих требованиях на коэффициенты краевых условий.

В третьей главе устанавливаются асимптотические формулы для собственных функций. При этом выясняется кратность собственных функций. Для четного п существенное значение в получении соответствующих асимптотических формул для собственных функций имеет условие нахождения ступенек функции р(х) на различных лучах комплексной р— плоскости. Затем, используя полученные в предыдущей главе оценки функции Грина, методом контурного интеграла устанавливается теорема о приближении произвольной функции из области определения оператора равномерно сходящимися рядами по собственным и присоединенным функциям. Следствием из полученного результата является установление полноты системы собственных и присоединенных функций в пространстве Ь2[0,1]. Далее, используя метод, предложенный Г.М. Кессельманом, получаем теорему, устанавливающую условия базисности Рисса собственных и присоединенных функций Birkhoff-регулярного оператора. Основным результатом третьей главы является получение следующих теорем.

Теорема 3.1. Пусть n-2p, argpt-Ф argpj для i^j,

0 < arg p-,argp ■ <2n, и в (0.4) /jeL2[0,lJ, тогда Birkhoff-регулярный 1 J оператор, определяемый (0.4)-(0.5), имеет 2(m+l)-последовательностей собственных функций {у{х,р^)} ,{у{х,р[р))}, где 1=0,1,.,т, р=1,2,., которые, начиная с некоторого номера N, являются однократными, и для которых справедливы следующие асимптотические формулы: ak+1 ак l=l L j=M+1 ак J=x £ У) (0.22)

1 2р + 1 t+l Qk Qk -Н у=//+1 J + I '

У к (0 = exP{-(aA+i - ) I/i К + K+i - ' w о iK0"^, s

Ю v(') 2 / p

00. p=\

В формулах (0.21)-(0.24) xelk, для к=0,1, .,m.

При n=4q e формулах (0.21)-(0.22) берем в формулах (0.23)-(0.24) берем "+ "; при n=4q+2 в формулах (0.21)-(0.22) берем "+ ";e формулах (0.23)-(0.24) берем "-".

При этом для любого к=0,1,.,.т и i=l,2 числа , , В{к\] , k/j+\

Чя+ii отличны от нуля.

Теорема 3.2. Пусть п = 2р, тогда собственные функции Birkhojf-регулярного оператора, определяемого (0.4)-(0.5), начиная с некоторого номера, являются либо однократными либо двукратными. ТеоремаЗ.З.Пусть « = 2//-1,arg/?0 =.-argpm, и в (0.4) fxel}[0,1], тогда Birkhoff—регулярный оператор , определяемый (0.4)-(0.5), имеет две последовательности собственных функции {yi.x^p^)}, {у{х,р^)}, где p=N,N+l,которые, начиная с некоторого номера N, являются однократными и для которых справедливы следующие асимптотические формулы: п х-а, » 31{\п1,Н{-^±27ю1}(х-аЛ

MIIV ' + ak+\~ak J=i t + . (0.25)

1 р

У(х,р{р2)) = Ук(-+ ak+1 ak i bJ^^^^)^) (0.26)

1 J p я -k p - - k> ki m ' bki kj m ' ->kj m .

Vt{t)=exp{±(aM-ак)Шак +(aM -a<)r)rfr},

00 /14 2 I р=1 ^

00 у(2) 2 / Р

00

5 формулах (0.25)-(0.26) xelk, для к=0,1, .,т.

При n=4q -1 в формуле (0.25) берем "+ ";в формуле (0.26) берем "- "; при n=4q + Je формуле (0.25) берем "- ";в формуле (0.26) берем "+ ". При этом для любого к~0,1.т и i—1,2 числа — отличны от нуля.

Теорема 3.3. Пусть L есть Birkhoff—регулярный оператор, определяемый (0.4)-(0.5), для которого при п = 2/и-\ argр0 =. = argрт . Тогда для любой функции f из области определения оператора L будем иметь: lim т—>оо f-Sj (/) т

С[ 0,1] 0

0.27) где S, - I —ая частичная сумма ряда Фурье функции f по собственным 1т т и присоединенным функциям оператора L, занумерованным в порядке возрастания модулей собственных значений оператора L, а

1И1сгол = SUP |Д*)|

Следствие 3.3.Если оператор L, определяемый (0.4) -(0.5), удовлетворяет условиям теоремы 3.3, то система собственных и присоединенных функций оператора L будет полной в пространстве L[0,1 ].

Теорема 3.4. Пусть L есть Birkhoff-регулярный оператор, определяемый (0.4)-(0.5) и в (0.4) /, е Zr[0,l], тогда, если:

1) при п-2/л arg р, Ф arg pj для i* j, 0 < arg р,, arg pj < 2л (0.28)

2) при п — 2/y-l argp0 =. = argpm> (0.29) то система собственных и присоединенных функций оператора L образует базис Рисса в пространстве Lr [0,1].

Все результаты, получены в работе на некотором классе квазидифференциальных операторов, который включает в себя линейные дифференциальные операторы, определяемые (0.4)-(0.5) и сопряженные к ним операторы.

Основные результаты диссертации опубликованы в [52-55].

23

1. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations. - Trans. Amer. Math. Soc., 1908, vol. 9, p. 373-395.

2. Birkhoff G.D. Note on the expansion problem of ordinary linear differential equations. Rend. Circ. Mat. Palermo, 1913, vol. 36, p. 115-126.

3. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter. Trans. Amer. Math. Soc., 1908, vol. 9, p. 219-231.

4. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917. - 308с.

5. Stekloff V.A. Solution generale du probleme de developpement d'une foction arbitraire en series suivant les lonctions fondamentales de Sturm Lioville. -Rend. Accad. Lincei, 1910, vol. 19, p. 490-496.

6. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. I. Math. Ann.,1910, BD. 69, S. 331-371.

7. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. 11. Math. Ann.,1911, BD. 71, S. 38-53.

8. Hobson E.W. On a general convergence theorem, and theory of representation of a function by a series of normal functions. Proc. London Math. Soc., Ser. 2, 1908, vol. 6, p. 349-395.

9. Stone M.N. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff. Trans. Amer. Math. Soc., 1926, vol. 28, p. 695-761.

10. Tamarkine J.D. Sur quelques points de la theorie des equations differentielles lineaires ordinaires et sur la generalisation de la serie de Fourier. Rend. Circ. mat. Palermo, 1912, vol. 34, p. 345-382.

11. Tamarkin J.D. Some general problems of the theory of ordinary linear differential equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions. Math. Ztshr., 1928, BD. 27, S. 1-54.

12. Birkhoff G.D., Langer R.E. The boundary problems and developments associated with a system of ordinary linear differential equations of the first order.-Proc. Amer. Acad. Arts and Sci., 1923, vol. 58, p. 51-128.

13. Dunford. N. A survey of the theory of spectral operators Bull. Amer. Math. Soc., 64, №5, p.217-274, 1958.

14. Schwartz. J.T. Perturbation of spectral operators and applications, I. Pacific J. Math., 4, p. 415-458, 1954.

15. Будак А.Б., Денисов B.H. О некоторых свойствах собственных функций оператора Штурма Лиувилля с разрывными коэффициентами//Мат. заметки-1987-42, № 6.-С.819-830.

16. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент// ДАН СССР-1983.-273, №4- С.789-793.

17. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия сходимости и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений I// Дифф. ур-я.- 1980.-16, №5-С.771-794.

18. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия сходимости и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений II// Дифф. ур-я.- 1980.- 16, №6.- С.980-1009.

19. Пугачев B.C. Об асимптотическом представлении интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих параметр// Мат. сборник 15(57) (1944).-С.13-54.

20. Покорный Ю.В., Лазарев К.П., Гареева Т.М. Об условиях типа В.А. Ильина разрешимости нелокальных краевых задач для обыкновенныхдифференциальных уравнений//ДАН СССР- 1989.- 304,№6.-С. 1298-1303.

21. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных дифференциальных операторов в конечном интервале//ДАН СССР-1962.- 146, №6.- С.1294-1297.

22. Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальныхФ и интегральных операторов// Мат. сборник 114(156) (1981), №3IС.378-405.

23. Хромов А.П. Теорема равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом интегрирования//Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. Сб. статей, поев. 70-летию П.Л. Ульянова.-М. 1999. С. 255-266.Г*

24. Кесельман Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов//Изв. вузов, сер. мат.- 1964.- № 2.- С. 82-93.

25. Михайлов В.П. О базисности Рисса в Z,2 0,1.//ДАН СССР—1962.-144, №5.-С.981-984.

26. Баскаков А.Г., Кацаран Т.К. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями.// Дифф. ур—Я.-1988.- 24, №8.- С. 1424-1433.

27. Будаев В.Д. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций оператора 2-го порядка с разрывными коэффициентами// Дифф. ур-я- 1987.- 23, №6 С.941-951.

28. Власов В.В. Об оценках решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа// Изв. вузов, сер. мат.-2000.-№4 С. 14-22.

29. Власов В.В. О базисности экспоненциальных решений функционально-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева//Докл. РАН — 2001.-381, №5.- С. 109-121.

30. Власов В. В., Иванов С.А. Оценки решений уравнений с последействием в пространствах Соболева и базис из разделенных разностей//Мат. заметки.-2002.-72, №2.-С.303-306.

31. Гомилко A.M., Радзиевский Г.В. Базисные свойства собственных функций регулярной краевой задачи для векторного функционально-дифференциального уравнения.// Дифф. ур-я 1991 - 27, №3- С.87-90.

32. Радзиевский Г.В. Краевые задачи и связанные с ними модули непрерывности.//Функц. анализ и его прилож 1995.-29, №3 - С.87-90.

33. Рыхлов B.C. Разложение по собственным и присоединенным функциям квазидифференциальных и интегральных операторов. Дис. канд. физ.-мат. наук. Саратов. 1981 г.

34. Курдюмов В.П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций некоторых интегральных операторов//Дифф. ур—я.— 2002.-38, №4 С.555-564.

35. Муравей Л.А. Базисы Рисса в L2—1,1.//Труды математ. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. М.: Наука. 1967, т. XCI- С. 113-131.

36. Курдюмов В.П. Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования//Докл. РАН.- 2003.-393, №1,- С. 1-5.

37. Шкаликов А.А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями// Вестн. МГУ. сер.1. Математика, механика.-1982.-№6 — С.12-21.

38. Шкаликов А.А. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального опёратора// УМН.-1979.-34, №5-С.235-236.

39. Rykhlov V., Freiling G. Pointwise convergence of eigenfunctions for a general regular eigenvalue problems//Methods of Functional Analysis and Topology 1997.—40, №3, p.27-45.

40. Eberhard W., Freiling G., Schneider A. Expansion theorems for a class of regular indefinite eigenvalue problems. Schriftenreihe des FB Math., Uni Duisburg, SM-DU-147 (1989) to appear in: Differential and Integral Equations

41. Eberhard W., Freiling G., Schneider A. On the distribution of the eigenvalues of a class of indefinite eigenvalue problems. Scriftenreihe des FB Math., Uni Duisburg, SM-DU-149 (1989).

42. Koch P. Uber eine Klasse von indefiniten Eigenwertproblemen mit stuckweise stetiger Gewichtsfunktion.-Diplomarbeit, Schriftenreihe des Fachbereichs Mathematik, Uni Duisburg, SM-DU-169 (1989).

43. Stoeber T. Entwicklungssatze fur eine Klasse indefiniter Eigenwertprobleme mit stuckweise stetiger Gewichtsfunktion. Mitt.aus.dem.Math.Sem.Giessen 206(1992).

44. Гуревич А.П. Хромов А.П. Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией//Мат. заметки.-1994.-56, №1.-С.З-15.

45. Рыхлов B.C. Асимптотика системы решений квазидифференциального уравнения//Диф. уравнения и теория функций. Разложения и сходимость Межвуз. научн. сборник. Саратов:, изд. Сар. ун-та. 1983. Вып. 5. С.51-59.

46. Рыхлов В. С. Асимптотика системы решений дифференциального уравнения общего вида с параметром// Укр. мат. журнал. -1996.- 48, №1 -С. 96-108.

47. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М: Наука, 1968. С. 526.

48. Ефремов И. И. Асимптотика собственных значений индефинитных дифференциальных операторов второго порядка//Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тез. докл. Воронежской зимней мат. шк. Воронеж 1999.С.90.

49. Ефремов И. И. Базисность Рисса собственных функций индефинитных квазидифференциальных операторов//Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тез. докл. Воронежской зимней мат. шк. Воронеж 2001.С.110.

50. Ефремов И. И. О нерегулярности дифференциальных операторов 3-го порядка со ступенчатой весовой функцией.//Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения-XII. Тез. докл. Воронежской весенней мат. шк. Воронеж 2001.С.67.

51. Ефремов И.И. Асимптотика собственных значений индефинитных квазидифференциальных//Математика, механика, математическая кибернетика. Сб. научных трудов. Саратов 1999. С.32-35.

52. Ефремов И.И. Базиеиость Рисса собственных и присоединенных функций индефинитных квазидифференциальных операторов// Математика, механика. Сб. научных трудов. Саратов 2000. С.42-44.

53. Шин Д. Теорема существования квази-дифференциального уравнения п-го порядка//ДАН СССР.- 1938- 18,№ 8, с. 515-518.

54. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве//Уч. зап. МГУ,- 1951.- 4, № 148.- С. 68-107.