Базисность Рисса собственных функций линейного дифференциального оператора со ступенчатой весовой функцией при старшей производной тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Ефремов Игорь Игоревич

Базиспость Рнсса собственных функций линейного дифференциального оператора со ступенчатой весовой функцией при старшей производной

01.01.01.-математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов-2003 г.

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и приклзд ной математики механико-математического факультета Саратовского гос; дарственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель- кандидат физико-математических наук Рыхлов Виктор Сергеевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Власов Виктор Валентинович,

Ведущая организация: Воронежский государственный университет.

Защита состоится 18 декабря 2003 г. в 16 ч. 30 мин. на заседали диссертационного совета К 212.243.02 при Саратовском государственно университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012 г. Саратов, ул. Ас: раханская, 83, IX корпус СГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовског государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

кандидат физико-математических наук Тихомиров Сергей Алексеевич.

Автореферат разослан «11 » ноября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Большое число задач математики, механики и физики приводят к спектральному анализу дифференциальных операторов. Спектральный анализ операторов включает в себя решение вопросов о распределении собственных значений, поведении собственных и присоединенных функций, разложении произвольной функции в ряды по собственным и присоединенным функциям, полноте и базисности собственных и присоединенных функций, равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям и по известным системам функций. Такого рода задачи возникают, например, при обосновании метода Фурье решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Спектральный анализ дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении многих задач квантовой механики.

Настоящая диссертация посвящена изучению спектральных свойств линейного дифференциального оператора Ь, заданного на отрезке [0,1], порожденного дифференциальным выражением вида:

^^^ +/1 (Я)/""4 +" + /Д*)>' (1)

и линейно-независимыми нормированными краевыми условиями:

и„(у)=и„0(у)+и1,1(у) = 0, V = \>2,...,п, (2)

где

у=о у=о

П^КМЛ,!) * о, п -1 > й... > к„ £ Ои кч+2 < кядля ... ,п-2. р0,хе10 =[а0 =0,аД

........................... а0:=О<а1<...<ат<ат+1=1. (3)

р(х) =

Рт>хе1т =К,ат+1]. При этом предполагается, что рк являются произвольными комплексными телами, отличными от нуля, а функции (л) е ДО, 1].

Задачам, связанным с изучением спектральных свойств дифференциаль-гых и интегро-дифференциальных операторов, посвящены многочисленные гаучные исследования, среди которых работы таких математиков, как Ю.ВнгЫюй; КОипйж!, ЫЕ.Ьа^ег, ХБсЬтЛг, М.Н^опе, А.Б. Будак, В.Н.Денисов, В.АИльин, В.С.Пугачев, Ю.В. Покорный, В.АСтеклов, 1.Д.Тамаркин, А.П.Хромов.

Г. М. Кесельманом и В. П. Михайловым были получены условия базисное™ Рисса собственных и присоединенных функций линейного дифференциального оператора, порожденного регулярными краевыми условиями при р(х) = 1 и гладким коэффициентом при (n-l)-ow. производной. В настоящее время базисность Рисса установлена для широкого класса дифференциальных и интегро-дифференциальных операторов с достаточно общими граничными условиями, в том числе содержащими и интегральные слагаемые. Исследованиям вопросов базисности Рисса посвящены работы А.Г. Баскакова, В.Д Будаева, В.В. Власова, А. М. Гомилко, Г.В. Радзиевского, B.C. Рыхлова, Т.К. Кацарана, В.П. Курдюмова, JIA. Муравья, А.П. Хромова, A.A. Шпаликова.

W.Eberhard, G.Freiling, ASchneider, P.Koch, T.Stoeber рассмотрели в наиболее общем виде спектральные задачи для дифференциальных операторов, определяемых дифференциальным выражением (1) и краевыми условиями (2) со ступенчатой весовой функцией р(х), принимающей только действительные значения, отличные от нуля, и достаточно гладкой функцией fx(x). АП.Гуревич, А,П.Хромов рассмотрели вопросы разложения функций в ряды по собственным и присоединенным функциям дифференциальных операторов, порожденных дифференциальным выражением (1) для случая п=1 и п=2 и специальных краевых условий (2). При этом функция р(х) предполагалась ступенчатой, состоящей из двух ступенек. По терминологии, используемой в настоящей работе задача, рассмотренная АП.Гуревичем, А.П.Хромовым, является нерегулярной.

W.Eberhard , G.Freiling , A.Schneider, P.Koch, T.Stober случай комплксно-значной функции р(х) в своих работах не изучали. В настоящем же исследовании показано, что взаимное расположение ступенек функции р(х) в комплексной плоскости существенно влияет на спектральные свойства линейного дифференциального оператора. Кроме того, в указанных работах вопрос о влиянии гладкости при (п-1)~о& производной в дифференциальном выражении (1) на спектральные свойства соответствующего дифференциального оператора не изучался. Задача о базисности Рисса собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов с ступенчатой весовой функцией р(х) и негладким коэффициентом при (n-l)-oü производной в общем виде до настоящего времени не рассматривалась. Задачами настоящего исследования являлись:

1. нахождение условий, аналогичных условиям регулярности при р(х) = 1, которые в настоящей работе определяются как условия Birkhoff-регулярности дифференциального оператора;

2. нахождение условий, при которых собственные и присоединенные функции Birkhoff- регулярного оператора L образуют базис Рисса в пространстве £2[0Д].

Полученные условия Birkhoff- регулярности оператора L определяются коэффициентами в краевых условиях (2) и значениями ступенек весовой

функции р(х). Сформулированные условия базисности Рисса также зависят от взаимного расположения ступенек рк в комплексной плоскости.

При решении данных задач были рассмотрены вопросы об асимптотике собственных значений и собственных функций, кратности собственных функций, полноте собственных и присоединенных функций, поведении функции Грина. Указанные задачи решены в предположении, что /1(х)б/.[0,1] либо /,(дг)е/,2[0,1]. Таким образом, полученные результаты обобщают результаты немецких математиков на случай комплекснозначной весовой ступенчатой функции р(х) и негладкого коэффициента при (п-1)-ой производной в дифференциальном выражении (1). При этом в ряде случаев получены более точные асимптотические формулы по сравнению с формулами, полученными в работах таких математиков, как \V.Eberhard, О.РгеШпд, А.8сЬпе1с1ег, Р.КосЬ , Т.Б^еЬег. Вопрос же о базисности Рисса собственных и присоединенных функций оператора Ь, определяемого (1)-(2), в работах названных математиков не рассматривался даже в предположении гладкости коэффициента /,(*).

Методика исследований. Используются методы теории функций действительного и комплексного переменного, дифференциальных уравнений, функционального анализа.

Научная новизна. Основными результатами диссертации являются решение следующих задач:

• определение условий ВикЬоАР-регулярности дифференциальных операторов, аналогичных условиям регулярности при р(х) = 1;

• изучение роста функции Грина, изучаемого класса операторов;

» решение вопроса о распределении собственных значений и их кратности;

• нахождение достаточных условий базисности Рисса собственных и присоединенных функции.

Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в математической физике, спектральной теории дифференциальных операторов, при исследовании различных прикладных задач естествознания и техники, а также могут быть использованы в учебном процессе.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, прошли апробацию на семинаре по спектральной теории интегро-дифференциальных операторов в Саратовском государственном университете (руководитель-АП.Хромов), на Воронежской зимней математической школе в 1999 г. и 2000 г., Воронежской весенней математической школе 2001 г., а также на семинаре «Спектральный анализ дифференциальных операторов» в Московском государственном университете (руководители-А.Г. Костюченко и В.В. Власов )

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список, которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из трех глав. Каждая глава делится на параграфы. Некоторые параграфы делятся также еще на подразделы.

Все результаты получены в работе на некотором классе квазидифференциальных операторов, включающим в себя линейные дифференциальные операторы, определяемые (1)—(2), и сопряженные к ним квазидифференциальные операторы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе вводятся основные понятия, определения, обозначения, которые используются затем во всей работе. На основании асимптотики фундаментальной системы решений, полученной В.СРыхловым, и метода склейки, определяется характеристический определитель А(р), нули которого определяют собственные значения дифференциального оператора. Важное место в рассуждениях настоящей главы занимает деление комплексной р-плоскости на некоторую систему S и Г-секторов, которое существенно отличается от классического деления комплексной р -плоскости на систему

2п секторов с угловой мерой В этах секторах определенным образом

можно занумеровать различные корни и-ой степени {а>к] }п_ ï из чисел рк, где

к=0,1,...,т. Далее изучается поведение характеристического определителя Д(р) в этих секторах р -плоскости. В результате в каждом 5-секторе выделяется главная часть определителя А(р), которая представляет собой некоторый экспоненциальный полином. Условия Birkhoff-регулярности определяются в виде требований отличия от 0 коэффициентов при главных экспонентах соответствующего экспоненциального полинома. Сформулированные условия Birkhoff-регулярности зависят как от коэффициентов краевых условий, так и от значений ступенек соответствующей ступенчатой функции. Для того, чтобы сформулировать основные результаты первой главы, введем следующие обозначения:

Пусть (~рк) = \рк\г"1'к и

Рассмотрим всевозможные пересечения (лЛ-У^-секторов

\(-Ро)П."П5Ут(-рт), где v0,vl,...,vm=0,l,...,2n-l,

тогда комплексная р-плоскость будет разбита на не более, чем 2п(т+1) сек-

m . .

торов. Пусть S один из таких секторов, т.е. 5= f| (~Pt)> Р13"

к=0 к

личные корни л-ой степени из чисел рк, занумерованные для сектора таким образом, что:

<Шро){^<...<Яеро)^.....т, р&Бу(-рк) (5)

Пусть далее корни и-ой степени из чисел рк, занумерованные для

5 сектора, таким образом, что:

Яе рак1 < Ле рсокг <,... <> Ле рсо^, ,к=0,1.....т, ре Б.

В дальнейшем будем обозначать

Н

(Т+1

апх\" сспхка" рп х£»

А*?

РА"

Определение. Будем говорить, что дифференциальный оператор, определенный дифференциальным выражением (1) и краевыми условиями (2), является Шгк!го$-регулярным, если в любом Б-секторе выполнены следующие условия: 1)для п = 1р

(б)

2) для п = 2р-\

(7)

Основным результатом первой главы является получение следующих теорем: ТеоремаЫ. Пусть п = 2р, р, Ф^р{ для ¡Фу', 0<агёр„а1§р1<2л,

тогда ШгИго]$-регулярпый оператор, определяемый (1)-(2), имеет 2(т+1) последовательностей собственных значений, для которых справедливы следующие асимптотические формулы:

={р<Р)п, где 1=0,1,...,т,р=1,2,... 1п0Я<0) т яр; |А(/)

л<'> 1п0 Я/2"'" 7Ц}1 , Г(/)

(8) (9)

=о(1),й)° = о(1)при р —^ со.

При п=4ц в формуле (8) берем "~",в формуле (9) берем "+ "; При п=4д+2 в формуле (8) берем "+ ";в формуле (9) берем "-".

Теорема1.2. Пусть для п = 2ц Вггк1ю$-регулярный оператор, определяемый (1)-(2), удовлетворяет условиям теоремы 1.1. ив (1) е£2[0,1], тогда в теореме 1.1. для чисел Несправедливы оценки:

£|й<^<«,ЭД2 <«> (10)

Теорема1.3. Пусть п = 2ц и числа {-р^}^01,../а Расположены на лучах /„/2,...,/9 комплексной плоскости, тогда ВикЬо$-регулярный оператор, определяемый (4)-(5), тлеет 2д-последовательностей собственных значений, для которых справедливы следующие асимптотические формулы: = (р<'>)я, = (р«)\ где 0,1.....т, р-1,2,...

= + (11)

р<'>=±е + 0(±)}, (12)

где 4, =2 Е

В формулах (11)-(12) кеМ, = {к:гк е/,}.

При п=4ц в формуле (11) берем "-",в формуле (12) берем "+ ";

При п=4д+2 в формуле (11) берем "+ ",в формуле (12) берем "-"

Теорема1.4. Пусть п = 2//-1, аг%р0 =... = агёрт, тогда ВмкЬо$-регулярный оператор, определяемый (1)-(2), имеет две последовательности собственных значений, для которых справедливы следующие асимптотические формулы:

р?=ш ЧЯ(0) ±, 2лр* аз)

■4+1 _ "к

ЧЯ(2""1)(2 „^-(14)

При и=4дг -1в формуле (13) берем "+ ";в формуле (14) берем "-"; при п=4д+1 в формуле (13) берем "-"; в формуле (14) берем"+ ".

Георема1.5. Пусть дтп-1ц-\ ШгкЪо$-регулярный оператор, определяемый (1)-(2),удовлетворяет условиям теоремы 1.4. и в (1) /, е 1?[0,1], тогда в теореме 1.4. для чисел йр2> справедливы оценки:

Во второй, главе строится функция Грина С(х, = р") и изучается ее поведение при |р|-»оо. Поведение функции Грина изучается в секторах Я(3) = {/>651 ¿/иг(р,сг)^<5}, где <т = {реС\р"-собственноезначение}, а <т) = - у(. Во второй главе водится понятие регулярности опера-

гора.

Определение. Пусть Л) функция Грина оператора, определяемого

(1)-(2), тогда, если для любого сектора Б и положительного числа 6 > 0 существует такое положительное число что:

<где ОД, И > Л,, (16)

И

то будем говорить, что оператор, определяемый (1)-(2), является регулярным.

Далее рассматривается соотношение свойств ВккЪой-регулярности и регулярности оператора, определяемого (1)-(2).

Основным результатом второй главы является получение следующих теорем.

Тсорема2.1. При п = 2/л 1ЯгкИо//-регулярный оператор, определяемый (1)-(2), является регулярным.

Тсорема2.2 Пусть п=2р-\ и а.щр0 =... = агд/7т, тогда В1гМ1о$-регулярный оператор, определяемый (1)-(2), является регулярным оператором.

В результате полученных теорем мы видим, что если оператор Ь, определяемый (1)-(2), является В1гк1ю1У-регулярным оператором, то для четного п, оператор Ь будет регулярным. В нечетном же случае данное утверждение справедливо в случае, когда все ступеньки ступенчатой функции р(х) лежат на одном луче комплексной р -плоскости. В этой ситуации возникает вопрос о регулярности оператора Ь, который является ВнкЬоА1-регулярным, у которого не все ступеньки функции р(х) лежат на одной комплексной плоскости для случая нечетного п. В работе строится контрпример, который показывает точность теоремы 2.2. Суть контрпримера заключается в следующем:

1. рассматривается дифференциальный оператор 3-го порядка со ступенча-

то НРоК^.^К ^МД той весовой функцией р{х) = Р1= »х е [й,,а2), где

Рг =\Р2^"Р2'хе\-а2'аз^

7С

0<<ро<Ф1<Ф2<—, порожденный линеино независимыми нормированными

краевыми условиями.

2. выделяется главная часть характеристического определителя Д(р)в соответствующих 5-секторах в виде некоторой экспоненциальной суммы. Требуя отличие от нуля коэффициентов при главных экспонентах, можно сформулировать условия Внк1юй-регулярности оператора.

3. в некотором -секторе получается следующая оценка функции Грина

10(х

= = = (17)

И

♦

где /7 е 5 {5) = 5* :| р-рр \>д,гдеХр -—ргр—собственное значение)

^Лдг, —>оо при N —>оо, а 5 некоторое фиксированное положительное число. Оценка (17) получается при определенных достаточно общих требованиях на коэффициенты краевых условий.

В третьей главе устанавливаются асимптотические формулы для собственных функций. При этом выясняется кратность собственных функций. Для четного п существенное значение в получении соответствующих асимптотических формул для собственных функций имеет условие нахождения ступенек функции р(х) на различных лучах комплексной р-плоскости. Затем, используя полученные в предыдущей главе оценки функции Грина, методом контурного интеграла устанавливается теорема о приближении произвольной функции из области определения оператора равномерно сходящимися рядами по собственным и присоединенным функциям. Следствием из полученного результата является установление полноты системы собственных и присоединенных функций в пространстве £2[0,1]. Далее, используя метод, предложенный Г.М. Кессельманом, получаем теорему, устанавливающую условия базисности Рисса собственных и присоединенных функций ВнкЬой-регулярного оператора. Основным результатом третьей главы является получение следующих теорем.

Теорема 3.1. Пусть п-2р,ъх%р1 Фях%р1 для /V}, 0<,aIgpj,argpJ <2ж,

и в (1) е1,2[0,1], тогда ШгШо$-регулярный оператор, определяемый (1)-(2), имеет 2(т+1 ^последовательностей собственных функций {^(х,р(р)}, ^(х,р^)}, где 1=0,1,...,т, р=1,2,..., которые, начиная с некоторого номера Д являются однократными, и для которых справедливы следующие асимптотические формулы:

и

"к М

+ .£ (20)

>=/1+1

~ "к .Н

+ £ (21)

/=/¿+1 ^ 2р +1

* = 2<(«м "«.) = -а,) '

; <

" О

1 1

В формулах (18)-(21) хе/^, для А:=0,1,... ,т.

При п=4д в формулах (18)-(19) берем "-"; в формулах (20)-(21) берем "+ ";

При п=Ц+2 в формулах (18)-(19) берем "+ ";в формулах (20)-(21) берем "-".

При этом для любого к=0,1.....т и ¡=1,2 числа ), [^+1], . ~ от~

личны от нуля.

Теорема 3.2. Пусть п - 2/и, тогда собственные функции В^Ыго^-регулярного оператора, определяемого (1)-(2), начиная с некоторого номера, являются либо однократными либо двукратными.

ТеорешЗЗЛустъ и = 2//-1,агдр0-... = ах%рт,и в (1) ) е/.2[0Д], тогда ВпкЪо^-регулярный оператор, определяемый (1)-(2), имеет две последовательности собственных функции {у(х,р^)}, где р=*И,М+1,..., которые, начиная с некоторого номера N. являются однократными и для которых справедливы следующие асимптотические формулы:

(23)

В формулах (22)-(23) хе!к, для к=0,1,... ,т.

При п=4д -1 в формуле (22) берем "+ ";в формуле (23) берем "-";

при п=4д+1вформуле (22) берем "~";в формуле (.22) берем "+ ".

При этом для любого к-0,1„т и 1=1,2 числа Ак ,Вк - отличны от нуля.

Теорема 33. Пусть Ь есть ВккНо$~регулярный оператор, определяемый (1)—(2), для которого при и = 2//-1агдр0 = ... = Ш£рт.

Тогда для любой функции / из области определения оператора Ь будем иметь:

где ^ -1т~ая частичная сумма ряда Фурье функции/по собственным и

присоединенным функциям оператора Ь, занумерованным в порядке возрастания модулей собственных значений оператора Ь, а

Следствие 3ЗЛсли оператор Ь, определяемый (1) -(2), удовлетворяет условиям теоремы 3.3, то система собственных и присоединенных функций оператора Ь будет полной в пространстве Ц0,1].

(24)

Мод]

Георема 3.4. Пусть L есть Birkhoff-регулярный оператор, определяемый (1)-(2) и в (1) Jx б!2[0Д], тогда, если:

1) при я = 2р

argp, *arg/>y для 0 £ arg arg р} < 2ж (25)

2) при п = 2р-\

argPo=- = ar8/'m. (26)

то система собственных и присоединенных функций оператора L образует базис Рисса в пространстве J}[0,1].

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю B.C. Рыхлову за постановку задачи, проявленное внимание, помощь и критические замечания, сделанные в процессе работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ефремов И.И. Асимптотика собственных значений индефинитных квазидифференциальных операторов //Математика, механика, математическая кибернетика. Сб. научных трудов. Саратов 1999. С.32-35.

2. Ефремов И И. Базисность Рисса собственных и присоединенных функций индефинитных квазидифференциальных операторов//Математика, механика. Сб. научных трудов. Саратов 2000. С.42-44.

3. Ефремов И.И. Вопросы разложения в ряды по собственным и присоединенным функциям индефинитных квазидифференциальных операто-ров.Саратов.2000,-63 с.Деп.в ВИНИТИ 24.10.2000 №2700-В00.

4. Ефремов И.И. Базисность Рисса собственных функций индефинитных квазидифференциальных операторов// «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Тез. докл. Воронежской зимней мат. шк. Воронеж 2001.С.110.

5. Ефремов ИИ О нерегулярности дифференциальных операторов 3-го порядка со ступенчатой весовой функцией.// «Современные методы в теории краевых задач» Понтрягинские чтения-ХП. Тез. докл. Воронежской весенней мат.шк. Воронеж 2001.С.67.

Подписано в печать 14.11.2003 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать RISO. Объем 1,0 печ.л. Тираж 100 экз. Заказ № 339.

Отпечатаю с готового оригинал-макета Центр полиграфических и копировальных услуг Предприниматель Серман Ю.Б. Свидетельство №3117 410600, Саратов, ул. Московская, д.152, офис 19