Бэровская классификация раздельно непрерывных отображений и дискретные обратные задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ФД М1Н1СТЕРСТВ0 0СВ1ТИ УКРАУНИ

3

5 да Льв1вський державний ушверситет

¡меш I,Франка

На правах рукопису

Собчук Олександр Васильевич

БЕРШСЬКА КЛАСИФ1КАЦ1Я НАР13НО НЕПЕРЕРВНИХ ВГДОБРАЖЕНЬ ТА ДИСКРЕТН1 0БЕРНЕН1ЗАДАЧ1

01.01.01. - матехматичний анализ

АВТОРЕФЕРАТ дисертацй на здобугтя наукового ступеня кандидата ф!зико-математичнмх наук

Льв1в -1996

Дисбртац1ев е рукопае

Ро(5отз вяконша на кафодрг матомзтичного аяал1зу Ч8ра1вацького державного ушверслтвту ш. В.Федьковича.

Нвуковий квршмх - кандидат фхзико-иатематичних

наук, доцент В.К.Масличенко

0фЩ1ЙШ ОТЮПЭН'ГИ -

доктои ф1зико-математичц2Х наук, професор М.М.Зщичнка

доктор ф1зико-катематичнкх азук , старший науковий сшвроб1танк ДЛ.Бодаар

Праведна установа -

Шстктут математики Акадэм!5 наук Украгни

Махист В4д0удэться^''^стопа?>з 1996 року о -15^ зас»данн! скэщал1зовзво! вчэно! рада Д.04.04.01 Лылвському дархашюму ун1верситет1 за адресов:

290001, м.Льв»в, вул. Ун1верситетська 1, ауд.ЗТГ 3 ДИС9рТ8Ц1ЕЮ можаз озаайоМитися у б1бЛ10ТВЩ ЛДУ (м. Льв1в, вул. Драгоманова, 5)

Автореферат розЮлвно

«Щ

вовтш! 1996 р.

на при

Вчений сэ1фэтар стюц1ал1зовано1 Ечвно! Ради Д.04.04.01. У^гг^ге-

Я.В.Микиток

ЗАГЛЛЪНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ. Ахтуальн1сть теми. Питания бертськог га (5орел!всько! класлфтацп нар!?но нэперврвнях фуннц1й га гх аналог!в, починшичи з класичних рсб!т Лебега. (1898, 1905) активно лосл!джувэлось математиками XX столптя. Так, ним питаниям • займалися Г.Гая .(1932)-, К.Куратовський (1931, 1935), М.Монтгомер! (1935), "Б. Джонсон (1969), В.Моран (1969), В.Рудш (1981.).. Г.Вера (1908) та игл!. Пэралэльно розвивэлися 1 спор1днз;и язпрямки: но б удава не;изно неперервних функцШ б даною д!агоналлм (тут сл!д згадатя !мвна Лебега (1905) та Гана (1932)) та обернет задач!,, пов'яззн! з теоремами Осгуда про лоточково зО!ЖП та ноточково обмвжен! лосл!довност1 неперерЕШПС функций та теоремою Еера про функци первого класу.

При цьому, ягацо • в першому внпадку досшдаеняя були просунут! досить далеко для р 1 зяих класГв тополончних простор1в, то в !нших' даох, як правило, т!льки ДЛЯ ФУШЦ1Й дтйсяих злинтп, що лишало ашроке поле для д1яльност!. Вт1"м, 1 в результатах про бер!вську та борел!вську класифжацш оОов'язковимл умой'зми • на простора були

метр1ровн!сть чи кошактнють, що виклщвло з розгляду

о

бзгато веуливих простор!в функционального . анал!зу, як, налриклзд, строп 1ндуктивн1 границ! мэтризовннх локально олунлих простор!в чи гаубдорфовлх локально олуклих прос.тор!в у слабк!й тополог! г, що, природою, виклинэло потребу в таких досл!дженнях.

Метою роботи в дос.1Т1Дженнл належж>ст1 до , давних Оер(Еських класиз нэр!зно нелерервних фушедШ та \г. чналопв, зздзяих н;; добуткэх тополог иних простор¡в, иобудова таких функций I з заданою д1агоналли, а такой: доел(даоння дискрзт.Ш" оОернешгх задач.

Метода досл!дження. У робел вжористовуютьс.я метода загально! таполога га фунгещонального анализу, р.окрема, метод згуцения особливостай та ионий метод функщонально! 1ятерио.)мц11.

Нэуковэ новизна роботи:

■ 1) влершз розглянуто гштання бер!всько! класифшацн' нарзно непорервнкх функШй для досить иирокого клэсу тополохччних прсотор1в,. нэзва.чих автором а-метризовними, куда, зокрема входять локально олуша .про с тори у слабгс!й топологи з сепарабельноши иетрлговними спряженши та строг 1 |вдуктиш1 границ} - лосшдовяостей локально опуклих метризовних сепарэбельних простор 1в;

2) побудовано нэр1зно неперервяу функции °1з заданою д|.агоналлм нз тополог!чноиу простор!, квадрат якого е норма льшм;

• 3) доел!длено дискрега! обернеш задач! у йлас! ' досконало"нормэльннх простора;

4) веггновлено ¡стотшсть умов доскон!ло! нормальносг! при доеллдкенш таких задач;

5) отрямано функц'юадльн! характеристики ОеровоотI у класг доскопало нордалыои простор 1в.

Наукова та практична ц1нн1сть. Дисертац1я мае теоретичний характер. Ii результат« можуть знэйти зястосування в загяльнМ теорн фунтсц1й, функщ стальному внал!з1 1 Оути використаш« при читали! спецкурсов -нл мятематичних факультетах ун1верситет1в.

OchobhI положения дасертгцИ, що виносяться ка захист:

- клзсиф!гсац1я нзр(зяо нэпзрервних функшй та хх ' аналогiв нз дог5уткзг с-метризсЕшп t досконало нормальних

iipocTopin;

- побудова нярts'io непврервло! 'функщ i !з зэдзяою

- д! агояалгаэ _ из тополог1чному простор!, квадрат якогс4 нормальаий;

- розв'язаяня даскретнлх задач у luiact досконало .нормальних простор1в:

Особпстий внесок дисертвнта. Bei нэведен1 в дасертацп 0СН0ВН1 результата одержан! самост1 йнр. 1з сшльних poölT використаяо лнше ti результата, як! одержат дасертантом.

Апробац1я роботи. Основн! результат« роботи . допов1далися яа м!жнзродн1й матвматичшй конфервнцп. прйсвяченШ стор!ччп народження С.Банаха, в м.Львов! (1992), на м1жнародя1й матемэтяад1й Конференц! i, гтрисв^чен1й пам'ят! Г.Гана, в и.4врн1вц!" (1994), на сем»нарах з анал1зу в Шт1фт Дветл! (199.')«, та Шльос Вайнбергу (1995) в АвстрН, на науковях сеслях НТШ (1993,1994,1995), на Всеукрз!нськ1й конференц!i "Сучзся! ф!зико-математичн1 досл!даення молодюс науковщв вуз!в Украига" у М.Киев! (1994), на Всеукра!нськ1й

- б -

науков!й конферещн "РозроОка та застосування математичних метод1в в науково-тептних досшдженнях", прис.вяченШ 70—р!ччю В1д дня народження профессора П.С.Казишрського, у м.ЛьвоВ! (1995), на.науковому сем!нар! з питань загально» теор! I фуякщй 1 функцюнзльного анал!зу в Чвршвецькому ун1версит8т!, на тополог! чном}' сймнззр! у Льв!вському университет!, на конферешш иям'ят! академ1ка Михайлз Кравчука в Черн!вецькому уШЕерситеп.

Публ1кЕц11. СенатI результата дисертацп опубл!ковэн1 у десяти роботах, список яких подано в к!нш реферату. Зокрема,. в роботах С1,2,3,5,63 Маслюченку В.К. належать постановки зэдач, Грушц! ЯЛ. та Козьм! 1.Д. - участь в обговорена! питань; в И 1 В.Михайлнку - розробка. розв'язаняя загально» обернено! задач!, в ПО! - • 1дея доведения; все решта - автору. Робота С7] в оглядовою. Результата. § 1 1 пункт!в 2.3, 2.4 параграфа 2 належать В.К.Маслюченку, результата 3,4 - В.В.Михайлгику, решта - автору1.

Структура 1 обсяг роботп. Дисертац1я складаеться з! ь^тупу, трьрзс розд!л!В, розбитих на пэрэграфи 1 списку л!тературй. 00'ем дисертацп 82 стор1нки машинописного _ тексту. Б!блюграф1я складав 38 нэймвяувань. -

основниа зм1ст роботи.

У вступ! дисертацп проел¡дковуеться 1стор!я . досл1джувашгх питань, .описуються ран!ше отриман! на дану тематику результата 1 .формулиються основн! результата роботи.

- т -

В першому роздал! 'дасертаци дослджуеться тмання бер1Всько1 класиф1кац11 нар1зно неперервних фушсцШ та !х аналог1В, визначвнлх на доОутках тополог1'«шх простор!в, одш а я к и х е а-мйтразовним.

Прост¡р X називаеться о-четризовпим, якаю йаго можем подати як ов'едаання зростзюч01 пocлiддoвmcтi замкнених Метризовних Л1Днростор1В.

У лараграфг 1.2 показано, що кожний с-мэтризовний прост¡р е досконалим, .эле не ооов'язково нормальним, наведано приклада сг-метрязоЕних простор|в, а * також просторш, як!, крш того, в досконало нормалышми.

Твердхегшя 1.2.1. Нехай X - строга тдуктивнэ граница посл1довяост1 локально опуклих метризовних простор!в X . Тод1 К е. а-метризовним простором. ' '

Тбёрдхення 1.2.2. Нехай X - гаусдорфовий локально' опуклий простгр 13 спряжении X*1, якнй в метризовним I свпараОвльним В1дносно сильно! топологи ,Х). Тод! прост 1р X, изданий слвбков тоголопею а(Х,Х*), в а-метризовним.

Тбердження 1.2.5. Строга ¡ндуктквна границя X пос'л!довност! локально, опуклих метризовних сепарабельних простор!в е досконало нормальним простором.

Тбердження I.2.6. Гзусдор{овий локально опуклий прост1р X, спряжений до якого у сильн!й тополог!i- ■ б метризовним 1 сепарабелыим, йуде досконало нормальним в!дносно свое! слаОко! ТОПОЛОГИ.

- а -

У параграф! 1.3 дано узагальнення одие! теореми Руд!на.

Те о режа 1.3:2. Нехай А' - метризовний прост!р У тополог 1 чний про ст!р 1 ¡:Х*УА\: .-'функция, неперервна по Персии ЗМ1ИН1Й 1 класу' а по друшй зм(шШ1. Тод! функцгя / е класу а»-1 за сукупшстм ЗМ1НН1К.

.3 допомогом цього узагальнення ми отримуе?.» основной результат лэршго розд!лу. •

Те'орела 1.3.3. Нехай А' - а-метризовнлй простер, У досконало нормальней прост1р, такий, що добуток Х*У те у. досконало нормалький * нехай - функщя, неперервна

по пэрш1й. ЗМ1НН1Й 1 класу а ло друпй змтшй. Тод! / е класу ам зз гукугопстп зшшш.

Враховуоти результата •§ 1.2, отримуються наступи! насл!дки Ц1е< твореми.

Яасл1вок 1.3.1. Нехай X та У - строг! !ндуктивн! границ! посл!довностей сепарабельних метризовних локально опургах просгор1в 1 /:Х*У-Ш - функщя, • неперервна по. перш!й зм!нн!й Л клясу а по друпй зм1нн1й.ТоД1 / е клзсу а+1 за сукупнЮтю зм1нних.

Насл1док 1.3.2. Нехай X та У - гаусдорфов! локально опукл! простора 13 сепарвбельними ! мэтризовними силыглми спряженими,' що над1лен! своими слабкими тополопями I - функц!я, неперервна по першШ гм1нн!й ! клзсу а по друПй зм!нн!й.Тод! / е класу а+1 за сукупнютю зм!нних.

НаслЮок 1.3.3. Якщс р"'4 ""этолог ¡чш простора X ,...,К або там як у нас.Шдку 1.3.1, аОо 'гакх як у Нйсмпдау 1.3.2, то кож и; нар! зяо кепэрервм функщя /:Х >—*Х -чК е класу П-1 ОукуИНК'Т») :;у.1.чиих.

3£ве-{:ц;у::ться ларсий ро^и.я тъорбМип, що вягшшве з одного результату З./Ллхяй.иш).

Теорем 1.3.4. КЕ-хай X* ¡1 .V - доеуток метриговних

э в

простор!в ) кожна локально скдаенна ' сш'я неперожн!х В1дкр:«иж л1дмяс$ий простору X в не б!льш н!:к зл!ченнол, У - ' тополог1чний прослчр. в якому ко.таа точково злтення С1м'я непорожщх ¿¡дкритих иIдмждагл е не 0!лыа н!ж зл!ченною, - - нар1зно яьперервна функщя. "Год! / 5 периого класу

Бера зя сукупшстю зммих.

Другий РОЗД1Л днсвртац!! присвячвний побудов! нэрЧзно непервних фунхщй з дано?) д!ягоналлю. Ус! попервдн1 результата на ¡до тему були отримяш лише для функщй д!йсно1 зм1нно1, приему IX доведения 1сто'гно використовувалн геомэтричну структуру простору К". У параграф! 2.1 з дономогою методу фуякц!овально! 1нтер1голяЩ! для досить шире.кого клзоу тополог !чннх ггростор!в отримано наступний 1-резулътят. ■ ■ - •

.Теорем 2.1.1. Нехэй X - тополоПчний прост¡р з нормальнии квадратом Х2=Х*Х, такий, вр мнеташа к=({х,х)-.х(,ХУ с т.тну с Я'г !.^гХ-Ш - функщя першого класу Бера. Тод1 1снус нзр!зно нэиерервна функщя для яко! /(х,з:)=

*п{т) для кожного х^Х.

- 10 -

Cripoßa розв'язати задачу побудовя нарозно пзпереримх фуикцШ п-гштш г дзнач Д!Вгоналлю наштивхнулась на neBHi Фруднощ!, хочя дозволила отриматя теку теорому.

Геореж 2.2.3. Н&зсчЯ простip X задоволъняе умови теорема 2.!.1 i grA'-tt - 4ункц!я яч-го класу Беру. Тод! iCHye фунхц!я нояерервна по лершй swiHHiä i класу я

другой зм*ян1Я. тека, ар /(x,x)-g(x) sja коаяого хеХ.

У параграф* ми дьемо спочатку, з методично» . метою, доведения ц/ei теорента у отладку и=1, я иже попм розглядаем випадок довольного шеШ.

У третьему роз ил/ роботи' досл!джуються обернет дискрета! задач*. На хай Л та ß шдмно.тани тополог! чногч/

простору X. Погр1бно побудувати: #

а) иоточкоео söisay до. ' iienepspBHOi функщ i посл1довн!сть нелерервних функЩй / у яко* множима

точок нерiвном!рноi зб1жност! Я(/п:пе1Н) piBHa В;

ö.) поточково обмежену поелiдонн 1сть неперарвних . функЩй /^гХ-К, для яко! мнохина точок aepiBHOMtpHOi обмеженост! i(/n:neW) р!вна'В.

в) функция пвршого класу Espa з множиною точок розриву"])(/), piBHOro Л;

г) поточково зб1яну до функц1 f 1юсл1довн!сть

•неперервяих функщй :i'^R, для яких множила точок розриву функщ 1 / piBHa Л 1 множима точок нер!вном1рно1 згИжюст! посл!д^вност! (/ ) р!вна В;

Так ^ параграф! 3.2 розв'язання задач! а) для

довольно! р - множили першо! категорп у досконало нормальному простор 1.

Теорет 3.2.1. Нехай й - множила порто! категор!! ! тину ?(у у досконало нормальному простор! X. Тод1 !снуе яосл!довн!сть (£п) неперервних функщй д^'.Х^К, яка поточково зб1гаеться до нуля ! для не!

А також задач! б) для довольно! заикнено! множили першо! категорI! в досконало нормальному простор!.

Теарелп 3.2.2. Для кожно! ззмкнено* множили В першо! категор 1! в досконало нормальному про.стор! X 1снуе поточково обмежена лосл!доен1сть 'неперервних функц!й / :Х->К, для яко! Щп:пт)-В.

Розв'язання задач в)-! г) подано у параграф! 3.3.

Теореяа 3.3.1. Нехай А - множила першо! категор!I 1 типу ? у досконало нормальному простор! X. Год1 Чснуе ■зростаюча посл1довн!сть (Л ) неперервних функц!й що

поточкоео зб!гаеться до до л ко! фудацп 1 при гьому -

Теорели З.Л.2.'Нвхай 4 1 В Р -мнозини першо! категор 11

в досконало нормальному простор! X ! ,4с0. ход! !снуе така посл!довн!сть неперервних функд!й' / що поточково

зб!гавться до деяко! функцп ! при дьому Щ/)=А \

Я(/П:пт)'в. ^ .

1стотнтстъ умов досконало! нормвлыюст! на прйклад! задач! в) показано в параграф! 3.4. .

- 12 -

Теорема . 3.4.1. Кехай Я»[о.1]г тихоковський куб незл1ченно1 ваги 4 -г^сл. ,Toд^ не ¡снуе такси функцп /:А'-В: первого класу, у яко: й(/)'{х }.'

Теорема - 3.4.2. Нбхай X сеязрабрлымй просттр, ¡до . и 1 стать континуедымй замкненай т Шдч не Еьчьняй в дискретная тдпроспр Л (наяриклад, пшоцдар НймицэКого.чи квадрат прямо1 Зоргенфрея). Тед: н-ну;- така звмкнеае н!дз на пильне множтаи А л X, и;о для кожно! функци* /:АЧЕ

гтершого'класу.

На гэЕершедая параграф 3.4 1, аласны, дасертящансч робота, з допо.чогои т-.орвм параграфа 3.2 1 3.3 отримуыться яасгупш функцЮявмьт характериззцп беровост! у класх досконало нормалью« простор!в.

Теорема 3.4.3. Нехай X досконало нормальний прост¿р. "Год! насгупн! умови екшвалентш: -

. (С) X - бер1вський прост!р; '

(11) МНОЖИНЭ ВС IX ТОЧОК р!ВН0М!рШ1 обмеженост! КОЖНО! поточково обмежено! послидовшст! наперерЕНИх функций / всюди сильна в X:

(111) мнозмна вс!'х ТОЧОК р!ВН0М1рЯО1 ¿61ЖН0СТ! КОЖНО! поточково * зб!жно1 1юсл1довност! неперврвних фуякц1й'/п:Х-К всюда щ!льна в А';

(1и) множила" Ее точок непврервяоет! кожно! функцп першого клаеу Бера всюди щиьна в X.

ВКГНОВКИ. .

В дасертац1йшй робот! дано класи$1кацш нар!зно неперервних функцШ на добутках о-метризовних I досконало нормальних просторов, побудовано нар!зно неперервну функцию 13 заданои д1агоняллю на тополог¡чному простор!, квадрат якого нормальная, розв'язано дискретаI обернен1 задач! у клас1 досконало нормальних простор!в, отримано характеризацш беровост 1 у клас! досконало нормальних простор1в.

Список опубл!кованих робхт по тем: дисертацн.

1. Мвслючвяко В.К., Михайлш В.В., СоОчук О.В. 0бернен1 задач! теорН нар1зно неперэрвнях в!дображень // Укр. мат. журн.- 1992.- Т.44,,«9,- С. 1209-1220.

2. Мзслючэнко В.К., Собчук О.В. Еер1вська класиф1к8Ц1я 1 а-метризовн1 простори// Мат. студ!!.- 1994.- З.-С. 95-102

3. Грушка Я.I., Маслючеяко В.К., Собчук О.В. .До теорем Бера 1 Ос.гуда // Чернтвець. ун-т.- Чврн!вЦ!, 1990.- 12с.- • Деп. . в УкрНД1НТ1, ШИ-Укро.

4. Козьма !-Д., Масличетсо В.К., Собчук О.В. Шо раз до теорем • Бера ! Осгуда// Черн!вець. ун-т.- Чврн!вЩ, 1992.- 6с. - Дел в Укр1НТЕ1, Л1649-Ук92. '

5. Собчук О,В. Нархзно неперврвн1 функЦi т на простор! фийтних посл!ДОвностей// Че.ршвець. ун-т.- Чернти, 1993.- 5 е.- Деп.в ДНТБ Украьчи, 1А 1701-УкЭЗ. 6 Маслюченко В.К., Собчук О.В. Досконала нррмалыпеть простору ф!Н1ТШИ гюсдхдошостаЯ// Чершвець. ун-т.-Черн1вц1, 1991. - 6 е.- Деп. в УкрНДШТ!, » 1610-Ук91

7. Маслюченко В.К.,. Михайлйк В.В., Собчук О.В. Доипдження про Hapi3HO неперьрв'н! воображения// Матер¡алл М1Жнародно1 -тематичжп конференц1i, присвячено* пам'ят1 Ганса Гана.-Черн1вц1 :Ру'та, 1995.- с. 192-246.

8. Maslyucherrtco V.K. Mykliaylyuk V.V., SobcliuK Q.V. On separately . continupusv mappings // Тези мгжнародно! ко'нфервнцп, приснячено! стор!чча * ' народження С.Банаха (6-8 травня 1992 року).- Льв1в, 1992.- С.27.

9. Собчук 0. Нар1зно неперервш функцг i з заданою д1агоналлю// Мютародна математична конференщя, присвячена пам'ят! Ганса Гана (10-15 жовтня 1994 року, Черн1ВЦ1).- Тези допов1дей.- Черя1вщ:Рута, 1994.- с.139.

10. Михайлюк В., Собчук 0. Функци з Д1агоналлю сличенного класу// Всэунрашська наукова конференщя 'Розробка та застрсування математичних метоД1В. в науково-техшчних досл1дашннях", присвячена 70-р1ччю в!д дня народження професора П'.С.Квзим1рського (5-7 жовтня 1995 р.).- Тези допов1дей.- Ч.1.-Льв1в, 1995.-с.82.

Собчук Л.В.- БэроЕская классификация раздельно непрерывных отображений и дискретные обратные задачи. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук по 'специальности 01.01.01. -математический анализ. Львовский государственный университет, Львов, 1995.

Исследуются задачи бзрогской классификации раздельно непрерывных отображений и их аналогов, построение таких функций с заданной диагональю, обратные дискретные задачи,; -связанные с теоремами Бэра и Осгудэ. Получены положительные результаты для широкого класса топологических пространств в

■первых двух случаях. Обратные, дискретные задачи решены в *

классе совершенно нормальных пространств, кроме того, показано существенность условия совершенной нормальности и получены функциональные характернзацйи бэровости в.- классе совершенно нормальных пространств.

Л

Sobchuk 0.7. Baire's classification of separately continuous ' mappings and discrete Inverse problems. •Manuscript, diesis for a degree of candidate of Science (Ph. il) In Pliysics and ■ Mathematics, speciality 01.01.01 -Mathematical Analysis: L'yIv state university, L'viy, 1996.

One investigates the problems oi Baire's classification

construction oi auch junctions with given diagonal, discrete invers problems which connect with Baire's and Osgood's theorems. Positive results have been obtained for wide class oi topological spaces in the first two cases. Discrete invers problems have-been solved in the class oi perfectly normal spaces, besides esential oi condition of perfect normality liave been slioun and functional characteristic that the topological' space" is Baire have been obtained In the class of perfectly normal spac.es.

Юшчов! слова: naptsro но перерви} воображения, бер!вськ1 класи.

of separately continuous mappings and their analogous,