Пространства непрерывных и бэровских функций в слабых топологиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ выеня М.В. ЛОМОНОСОВА

Ивхавяко - математичвскяй факультет

РГБ ОД

На правах рукописи ! О ОНI ЮЧЬ УЛК 515.12

.'о

ПЫТКЕК8 ЕзгэниЯ Георгиевич

ПРОСТРАНСТВА НЕЯЙРЫВШХ И БЭРОВСКИХ <ВУНКЩ«Й В СЛАБЫХ ТОПОЛОГИЯХ

0f.0f.04 - геометрия я тЬоологвя

АВТОРВФКРАТ

диссертация яа соискание ученой степени доктора фвяко * математических наук

Москва - 1994

Работа шполдоиа а отдало ачгебры и топологии Института ыатеыатшаа и метлики Уральокого отдолэшя РАИ

Официальные оппонента: доктор с1ло\шо-иатеыатхгчаокиз; паук,

профэсоор А.В.Архангельский, доктор фазшсо-ыатеиатичооклх пая» I профэссср И.К.Л*г|)анов, доктор (¡ЁЕкшко-ыатенатЕчэскиа. паук, профессор В.И.Ыгшшш

Ведущая организация: Матоматнче даотитуя РАН ш»

В.А.Стекжша

Запита диссертации состоится м 1994г. в 16

чво.Обтт. на заседании специализированного совета по ыатоиатгп» И 2 (Д.053.05,06) пра Московской государственном университета тени Ц.В. Ломоносова по адросу¡119899, Москва,ГСП, Леншскш гори, Ш*У, иэхавнко-иатоыатичэский факультет, еудятор;ш 14-СВ.

С диссертацией иоадго ознакомиться в библиотеке механико-ыатеыатического факультета ЦГУ (14отаа).

Автореферат разослал ^(^еШи^лМхД 1994г.

Ученый секретарь специгишзнровашлого совета Д. 053.05.05 при ИГУ доктор фавико-матеыэтическнх наук,

профессор В.Н.ЧУВАРИКОВ

X. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы • Пространства непрерывных и бвровских (борелевских.если область определения метризувма) функций -объекты,изучаемые в функциональном анализе» алгебре, топологии и дескриптивной теории множеств. Эти пространства наделяются различными топологиями, среди которых, выделяются топологии поточечной и равномерной оходимости, а также компантпо-оттсрытая. Среди общих проблем, относящихся к изучению пространств функций» можно выделить следующие:

I).Изучение связей между топологическими свойствами X и топологическими или линейно-топологическими или алгебраическими свойствами пространств (вещественноэначшх) непрерывных - С (X) или бвровских В(Х) функций, определенных на Д . Л).Изучение бикомпактных подмножеств в С (){) и В (X).

В работе пространства функций рассматриваются в слабых топологиях, то есть топологиях равномерной сходимости на \ -некоторых семействах бикомпактов.( С(Х)с такой топологией будем обозначать - Сх(Х)) Слабые топологии на пространствах функций естественно возникают при, изучении двойственности в функциональном анализе. Поэтому пространства непрерывных функций С\(Ю' наделенные слабой топологией, рассматриваемые как линейные топологические пространства, изучались, начиная с 30-х годов,в функциональном анализе. Эти исследования отражены в монографиях 11),12].С 70-Х топов в изучение пространств фугпс.дай активно включились топологи. В настоящее время теория пространств функций - одно из наиболее интенсивно развивающихся наЬравлеютй общей топологии. Некоторые итоги, а также постановки нерешенных проблем содержатся в монографиях 131,141 .

Ш. Semadeni Z. Banaoh spaces of oontinuous functions ✓✓ Monog. mat. 1971 » 55.

12]. Sohmets J. Взрасез de fonotions oontinuous // Leot. Uotes Math.1976. Yol. 519.

131. Архангельский A.B. Топологические пространства функций. М. Изд-во МГУ. 1989.

[4]. Но Coy R.A..Ntantu I. Topological properties of Spaoes of Continuous.Punotions // Leot.Notes Math. 1988. Vol. 1315.

При изучешл пространств Саровских функций приходятся рассматривать беровскге отображения того или иного типа.Е частности.бвровские изоморфизмы. Поэтому, помимо общих проблей I), II) естественно возникает проблема

III). Когда пространства, принадлежащие классу беровсга

изоморфно некоторому пространству из класса ¿8 ?

В данной работе рассматриваются вопросы, относящиеся к общи* проблемам I),II).III).

Цель работы. Работа посвящена решению не оторых естестленнш задач общей топологии, относящихся к пространствам непрерывных I бвровских функций в слабых топологиях, а также к бвровски» изоморфизмам.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе-ния.двух глав, каждая из которых разделена на четыре параграфа, и списка литературы. Полный объем диссертации - 255 страниц. Библиография включает 161 наиыеыованиэ.

Основные методы исследования. Используются методы обще! топологии ( методы теории кардинальных инвариантов, обратные спектры и '¿.д.) в приложении к пространствам функций.

Научная новизна. Все существенные результаты диссертаци являются новыми. Основные результаты работы следующие:

7получен критерий тесноты пространств непрерывных функций 1 слабых топологиях;

установлено совпадение секвенциальности, свойства Фреше Урысона и к-свойства для пространств непрерывных функций в ела бых топологиях;

3;. доказано, что ТГ - характер подпространства фреше-Урысон СрСХ)»гД® X ~ совершенно нормальный бикомпакт, счеген

4,). получены критерии свойства Вера и его линейно-топологичес ких аналогов пространств непрерывных функций в топологии поточеч пой сходимости;

5). получена оценка тесноты пространства бэровских функций на,

. К-аналитическими пространствами;

6). установлено свойство, типа свойства Гротендика, пространств беровских функций первого класса над К-аналитическими пространствамч;

7). построен пример абсолютно бэровского пространства» {соторое не бэровски изоморфно никакому бикомпакту;

в), построен пример косчетного подмножества бикомпакта с первой аксиомой счетности, которое нельзя уплотнить на бикомпакт.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях в теории пространств непрерывных и Саровских функций; а также в дескриптивной теории множеств.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на общемосковском топологическом семинаре, на семинарах кафедры общей топологии и геометрии МГУ, на семинарах профессора А.В.Архангельского в МГУ, на городском топологическом семинаре (Екатеринбург), на ряде Всесоюзных конференций и симпозиумов, а также на Международных топологических конференциях в Ленинграда и9ег), Эгере(Венгрия,1983), Баку(1987), Прагв(1991). Сексарде (Венгрия, 1993. ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах, список которых представлен в конце автореферата.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. , ^

Будем придерживаться следующих обозначений: Ср(Х/ (. Сс (X -пространство непрерывных- вещественных функций, наделенное топологией хготочечной сходимости (компактно-открытой топологией), I - отрезок [0,<], -б(Х) - число Линделефа X , IX! -мопг-ность X • "6. (X) - теснота X •

В первой главе изучаются пространства ньярерывшх функций в слабых топологиях ( §1-3), а также приынкаигте к. ним классы пространств.(Н)• В §1 рассматривается теснота пространств С\(Х). Теснота - это одна из основных топологических характеристик, и ей

уделяется значительное место в работе. Пилучен критерий тесноты пространств С^(Х). Особенно простой и удобный вид он принимает в случае топологии поточечной сходимости. Основной результат параграфа у.

Теорема 1.1. Пусть Л тихоновское пространство. Тогда

Отсюда и из обратного неравенства, ранее полученного А.В.Архангельским, получаем

Слвдствие 1.2. Пусть л тихоновское пространство. Тогда г*(Х) = I Ср(Х)

Этот результат относится к первым нетривиальным результатам о точной связи между топологическими свойствами X и Ср(Х) . Он послужил отпрчвиой точкой для многих последующих исследований, отнссящлхся прежде всего к исследованию связи топологических свойств Уя X - П. е /V .определяемых с помощью открытых покрытий, и топологических свойств

сРШ . В этом парг графе получены также результаты в направлении вопроса А.В.Архангельского: когда Ср (К, В)^ с£а, где К и В бикомпактны?

Ьо ътором параграфе первой - главы изучается свойство Фреше-Урисоиа, К - свойство и секвёшшальносгь пространств С^(Х) и Су(Х> I) . а также и их подпространств. Секвенциальные пространства, то есть ьространства, топология которых определяемся сходящимися последовательностями, ето важнейший класс пространств счетной тесноты. Секвенциальные пространства образуют промежуточный класс между классом пространств Фреше-Урысона и классом К -пространств.Довольно неожиданно оказалось, что вти три свойства совиадаьт для пространств Сх(Х) . Для произвольных линейных топологических пространств етк три свойства попарно различны. К основным результатам параграфа относится

Теорема 2.2. Пусть X тихоновское пространство, р с X с С. _

/V\ «Тогдч следующие условия еквивалентны:

П- С\\л) - К - пространство,

- секвенциальное пространство,

Сд( X ) ~ нространство Юреше-Урисоии.

ааыотаы, что для пространств функций в топологии поточечной

ожодимости »тот результат независимо был получен Герличом [51. Пространства X .для которых СрСХ) - пространство Фрече -Урысона (они получили наименование V -пространств)',

исоледовалиоь в дальнейшем в целом ряде работ. Как выяснилось, метраэуемые У -пространства - вто новый Класс "сингулярных" пространств. Приведем результат , относящийся к единичному шару

с СX, I).

Теорема 2.6. Пусть д тихоновское -пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

- К -пространство, X ~ Ф И'Де 'Х) -дискрет,а X, локально бикомпактно и финально компактно,

3^. Сс(Х, К) "" парзкомпактное полное по Чеху пространство для произвольного компакта К .

Ранее частный случай этого результата был получен Р.Полем (61для X -паракомпактного пространства с первой аксиомой счетности, а Е.Майкл [7]заметил, что в результате Р.Поля первую аксиому счетности можно ослабить до точечно счетного' типа.Заметим, что класс -пространств весьма широк. Он

содержит как счетно компактные пространства, так и пространства точечно счетного типа. При полном отказе ог ограничений на X теорема неверна.

Теорема 2.10. Пусть X совершенно нормальный бикомпакт, 6 Ср(Х) и -точка Фреше-Урысона 6?". Тогда ТГ -характер в ^ счетен.

Заметим, что счетность ТГ -характера нельзя Заменить на счетность характера. Точнее, приводится пример очетного пространства 4реше-Урысона Ср(Т)> где ~Т* -канторово

[5J.CerlitB J. Some properties of 0(X),II Z'/' Topbl. and Appl.

1963. Vpl.16, » 3 , p.255-362. 161.Pol R. Normality in function spaces // Pund. Math. 19(4.

Vol. 64 , It 2 p.145-155. 17] .Miohael E. <V'0' -spaces and a function «pace theorem of R. Pol // Indiana Univ. Math. J. 197.7. Vol.26 ,» 2, v>299-306.

соэершьтаое множество« без первой аксиомы счэтнооти - »то ответ ыа вопрос А.В.Архангельского. В теореме 2./О. ограничения на X необходимы. Например, для бикомпактов счетного характера или для сепарабелышх бикомпактов теорема неверна. Приведем одно хз следствий теоремы

Следствие 2.13. Пуоть X совершенно нормальный бикомпакт,$ Ср(Л/ подгруппа, являющаяся пространством Фреше-Урысона. Тогда У - метризуема и сепарабельыа. Как теорема 2.10., так и следствие 2.13. новы и для случая, когда X компакт.

В £3 пространство непрерывных отображений рассматривается преимущественно в топологии поточечной сходимости. Изучаетоя саойство Бэра пространств Ср(Х, У^.выпуьлые аналоги свойства Бара для пространств Ср(Х}я Ср(Х, I). Одним из основных результатов параграфа является характеристика Оеровости пространств СрОЦ где X тихоновское пространство: Ср(Х) беровское пространство тогда и только тогда, когда всякая дизъюнктная последовательлооть - коночных подмножеств в X содержит «-<),<.- сильно

дискретную подпоолэдовательность ( ето означает, что вайдетол {Мк} , ЧЛ/к3 ■ Кб /V , - дискретное семвйогчво

окрестностей). Ранее частные случаи .»того результата была подучеьы Лутдером и Мак Коем (01.

В функциональном анализе рассматриваются выпуклые аналога бэрово'.'ти. Самым изьестньм из них является бочечность. Характеристики бочечности в пространствах см и СсСХ) были »■(»зависимо получены' Нахбином я Широтой. В параграфе рассматривается выпуклая б&рсвость, ]/\/ -бочечность и монотонно ьыяуклая боровооть, В частности, получен критерий выпуклой бор.'ьоота пространств СД) (теорема 3.15). Исходя из него ■ кригирия Оеровости Ср(Х') строится пример тихоновского пространства X . такого, что Ср(Х) выпукло беровское пространство, но не Срроискоо. Ото ответ на вопрос из [9]. Б параграфе рыссматри-ьзется также следующая общая задача: пусть Ср(Х,^)боровскоо прост-

[e|,iuU<ir I>.J., Mo Coy R. Category in function вр&сав // ?aoif, J. Math. 1980 Vol.90, * 1. p. 145-166.

т

рансгво для всех где Л. - некоторый класс пространств.Что

можно сказать о классе пространств &СС 1. таком, что Ср(К,Хабаровское для У £ {В(*С)ъ всех X6** в частности, в втом направленна доказано, что 53 (Т)-33(К1 если К -континуум Пеано, и

$ - класс тихоновских пространств. Получена характеристика беро-востя пространства

Ср(Х, I).

О содержании § 4. Напомним,что бгкомпактом Эберлейна называется бикомпакт. гомеоморфный подмножеству некоторого банахова пространства в слабой топологии. Как известно, бикомпакты Эберлейна - это в точности те бикомпакты, которые вкладываютоя в

где -бикомпакт. Эта характеристика

естественным образом приводит к расширениям класса бикомпактов Эберлейна. Например, бикомпакты Гулько - ото бикомпакты, гомеоморфше подмножествам

где.

% - финально компактное - пространство. Во многи* ситуациях полезна внутренняя характеристика бикомпактов Эберлейна и Корсона (ето бикомпакты, содержащиеся в ЗЕ1. - произведении прямых), принадлежащая Розенталю: бикомпакт X является бикомпактом Эберлейна (Корсона) тогда и только тогда, когда в X наймется 4> -точечно конечное (точечно счетное) семейотво конуль-множеств X "То ~ разделяющее точки X • ® параграфе изучаются пространства (назовем их слабо Эберлейновскими и слабо Корсоновскими), которые получаются, если в характеристике Розенталя заменить условие на елементы X" быть конуль-множествами на естественное условие - быть открытыми. Бикомпакты Эберлейна и Корсона изучались во многих работах. Как выяснилось, они обладают рядом интересных свойств. Например, они являются пространствами Фреле-Урысона, содержат точки счетного характера (бикомпакты Эберлейна даже обладают плотным метризуемым подпространством), инвариантны относительно непрерывных отображений. Оказывается, что слабо Вберлейновские бикомпакты являются секвенциальным:! пространствами (но не обязательно пространствами Фреше-Урысона), обладают плотным метризуемым подпространством, а слабо Ксрсоновские бикомпакты содержат точки о первой аксиомой

191. Khal.eel.ulla Э.М. Counterexampl.ee 1п Ьоро^1оа1 тесЛог враоеа /и Ьео^ N0*08 ИаШ. 1982. Уо1. 936.

в

счетности и псевдорадиальнл. Но непрерывный образ слабо ЭСерлейновского бикомпакта может не быть даже слабо Корсоновским (пример 4.23). Заметим, что такой пример необходимо имеет мощность больше С . Наконец, пример 4.22. отрицательно отвечает на вопрос Бурке и Б.Майкла [ 70). - будет ли совершенный образ пространства с точечно счетной псевдобазой обладать точечно счетной псевдобазой ? (было известно, что ответ положителен для пространств с точечно счетной базой).

Переходим к рассмотрению результатов второй главы. В ней изучаютч пространства воровских функций, а также тесно связанные с ними бэровские иэиморфизмы.Пространства бэровскиг функций - В(Х) и бвровских функций первого класса - В^ (X) Раосма'гРиваютоя в топологии поточечной оходимости. В первом параграфе изучается теснота 800 и теснота бикомпактных подмножеств ВСЮ .К основным результатам параграфа относится

Теорема 1.1. Пусть X тихоновское пространство. Тогда справедливо Из теоремы вытекают

Следствие 1.2. Пусть X финально компактное 2Г— пространство. Тогда

Следствие 7.3. Пусть X тихоновское•пространство со счетной теснотой. Тогда

В общем случае теснота 600 • где X бикомпакт, может быть сколь угодно велика, но для бикомпактных подмножеств в В (X j

ситуация иная. __ о/VI

Теорема 1,6. Пусть X и иСХ) -бикомпакты.

Тогда С •

Важную роль в изучении пространств непрерывных функций играет теорема Гротендюса об относительно счетно компактных подмножествах в CpfX) .Роэенталь [11] установил аналог теоремы

U01. Burke D., Michael E. On oertain point-ooutable covers ✓✓

Paoif. J. Math. Vol. 64, * 7. p.79-92.

[11]. Rosenthal H.P. Pointwiae oompaot subsets of the first Bairo olass /V Aoer. J. Math.f977. Vol.99. * 2. p.362-378.

Гротендака для пространств В^ 00 .где X полное оепарабельное метрическое пространство. В §2 раос*. ириваэтся возможность распространения аналогов теоремы Гротондика для более широких классов пространств.Заметим, что для такого рода результатов условия типа полноты X необходимы. В данном случае рассматривается класс К - аналитических пространств. К основным результатам параграфа относится

Теорема 2.3. Пусть X ~ К -аналитическое пространство6,00

- относительно счетно компактно. Тогда = ! $ 5 Я-"

- счетно }• - сильно счетно компактное пространство Фрешз-Урысона. Напомним, что пространство сильно счетно компактно, если замыкание всякого счетного подпространства £ — ~ бикомпакт.

Следствие 2.5. Пусть X ~ К ~ аналитическое пространство, {^(Х)-бихомпакт. Тогда - пространство 4реше-Урысона, обладаю-

щее плотным множеством точек с первой аксиомой счетлости. Заметим, что класс бшсомпактов.удовлетворякдих следствию 2.5., весьма широк. Он содержит бикомпакты Корсона и бикомпакты Розенталя. В теореме 2.3., в отлиЧие от теорем Гротендака и Розенталя,не утверждается, что замыкание относительно счетно компактного подмножества бикомпактно. Следующий результат проясняет эту ситуацию

Теорема 2.7. Пуоть X ~ регулярное - аналитическое пространство. Тогда следуюцие условия эквивалентны:

1).замыкание всякого относительно счетно компактного подмножества в В^СХ) бикомпактно,

2). В1 (X) не содержит замкнутое подмножество, гомео-морфное Шл ,

3). В<(Х> не содержит подмножество, гомеоиорфное оЦ,

4). X совершенно нормально.

В §3 рассматриваются -отображения, преимущественно

-аналитических пространств. Если в Ср -теории тихоновских пространств достаточно рассматривать лишь непрерывные отображения, то я -теории наряду с отображениями первого '

баронского класса приходится рассматривать и их собственный подкласс - -отображения (напомним, что отображение

называется -отображением, если прообраз всяког-о

нуль-множества является объединением последовательности нуль-множеств). Для топологии поточечной сходимости необходимость рассмотрения -отображений демонстрирует ггоедлогеные 3.1.

Тихоновские -образы даже бикомпактных пространств могут не

являтьоя К -аналитическими пространствами. Будем называть ©ти пространства . (множества) • {{^ -аналитическими. В -параграфе изучаются, наряду с -отображениями,, и К& -аналитические

пространства. Класс К& -аналитических пространств, будучи естественным расширением класса К -значитических пространств, обладает рядом свойотв, присущих К -аналитическим пространствам. Так, К^ -аналитические пространства фянально компактны, более того, финально компактно и их счетное произведение. Но, в отличие ог ({ -аналитических пространств, класс -аналитических

пространств не счетно (а лишь конечно) мультипликативен. Более того (следствие 3.16), если ~ К& -аналитическое

пространство, го X - К -аналитическое пространство. Отметим также следующий результат (следствие 3.12): тихоновский' -образ аналитического пространства - пространство аналитическое.

В §4 рассматриваются беровские изоморфезйы. Беровские изоморфизмы естественно возникают при изучении пространств беровисих функций и играют роль "обобщенных" гомеоморфизмов. Так, если К иУ беровскн изоморфны, то ■ВСХ) гомеоморфно В(Т) ( ВСХ) и 800 наделяются топологией поточечной сходимости). При изучении пространств беровских функций первого класса -6,(Х) естественно возникают беровские изоморфизмы первого уровня. Классическая теорема К.Куратовского утверждает, что всякие два несчетных абсолютно борелевских (то есть борелевских подмножеств в своих пополнениях) сеиарабельных метрических пространства борелевски изоморфны. При переходе к тихоновским пространствам аналог теоремы К.Куратовского неверен (даже два бикомпакта одного в^са и мощности могут не быть беровоки изоморфны). Было доказано, что всякое абоолютно беровское пространство X (тс есть беровское подмножество в р(Х) ) борсвски изоморфно полному по Чеху финально компактному пространству ■ V , го есть -подмножеству бикомпакта

Возник есгествееный Еопрос, впервые сформулированный З.Фроликом

(см. также[12]), можно ль в последнем результате подобрать -бикомпакт ? Отрицательно решает этот вопрос Теорема 4.7. Существует M -полное по Чеху, (финально компактное пространство о первой аксиомой очетности, которое не бэ-ровски изоморфно никакому бикомпакту.

Из теоремы К.Куратовского следует, что всякое абсолютно борелевское сепарабельное метрическое пространство борелевски изоморфно нульмерному абсолютно борелевскому сапарабельному метрическому пространству. В.И.Пономареву [ 131 принадлежит вопрос : можно ли в этом результате абсолютно бореловские сепарабельные метрические пространства заменить на абсолютно бэровские-? Применяя конструкцию, использованную при построении пространства f^J из теоремы 4.7., мы отрицательно отвечаем на этот вопрос.

Теорема 4.8. Для всякого ft. ~ <*=> существует бикомпакт Эберлейна Хц. , dim. Хи.=» , такой, что не .беровски изоморфно никакому абсолютно бэровскому пространству Y . ditn. Y< П..

В этом параграфе рассматривается и проблема уплотнения на бикомпакт. Общая постановка проблемы - какие пространства уплотняются на бикомпакт, принадлежит П.С.Александрову (в случай метрических пространств - С.Банаху). И.Л.Раухваргер доказала, что если из компакта выбросить счетное множество, то остявш-уся пространство уплотняется' на компакт. Косчетные подмножества бикомпактов можно рассматривать, как класс пространств, ближзйшпЗ к локально бикомпактным пространствам, которые, как известно, уплотняются на бикомпакт. С.Илиадие установил, что результат И.Л.Раухваргер неверен для произвольных бикомпактов. Это привело к вопросу [14]: справедлив ли результат ИгЛ.Раухваргер для

[??]. Rogers O.S. е.a. Analytio eete. London: Aoad. Press, 1980. 499p.

113]. Пономарев В.И. Беровские пространства, баровские изоморфизмы, борелевские изоморфизмы совершенных отображений абсолютно борелевских множеств Тезисы Бакин. междунар. топол. конф. Баку, 1987. о.252.

бикомпактов с первой аксиомой счетно ста. Как установил В.И.Белугин [15], ответ положителен, если дополнительно предполагать, что бикомпакт нульмерен. В общем же случае, как выяснилось, ответ отрицателен

Теорема 4.9. Существует бикомпакт с первой аксиомой счетности X и очетное подмножество S^X .такие,что Xs S не уплотняется на бикомпакт.

Основные результаты диссертации опубликованы в следуияи? работах автора:

1). О тесноте пространств непрерывных функций ✓✓ Успехи мат. наук>х 1982. т. 31, * 1. с. 157-158.

2). О секвенциальности пространств непрерызных функций /V Успехи мат. наук. 1982. т. 31, * 5. о.197-199.

3). Об уплотнениях на бикомпакты ДАН СССР. 1982. т. 265,» 4. с .819-823.

4), То -псевдобазы, бикомпактность и теснота./'/ Тирас-польский симп. по общей топологии и ее приложениям. Кишине] Щгиинца, 1965. с.211-212.

5)About the Gr^ -topology and. the power of some families oi subsets on oompaota. /V Coll. ltath. Soo. Janoa Bolyai. 4 Topology and Appl. Eger(Hungary). 1983. Amsterdam eto.: North-Holland, 1985.

6). Свойство Бера пространств непрерывных функций s/ Мат.заметки. 1985. т. 38, * 5. о. 726-740.

7). Об одной теореме Н.К.Лузина /у Кардинальные инварианты и расширения топологических пространств. Ижевск,1989. с.71-75.

8). A note on Baire isomorphism /у Coran. Math. Univ. Carol.1990. v. 31. # 1. p. 109-112.

114). Пономарев В.И. О проблематике в теории топологических пространств ss III Тираспол. симпоз. по общей топологии и ее прил. Кишинев: Штиинца, 1973. с.100-102. [151. Белугин В.И. Уплотнения на бикомпакты // Докл. БАН. 1975. 1.28, * 11. С.1447-1449.

Бикомпакты о точечио-счетными *T¡j - поевдобаэами. /у Simpoz. Tiraspol. Topol. General ai Api. Chiainau, 1991. 0.167.

0). О наолодотвэшю перистых проотранотвах /х Ыат. заметил.1960. т. 28, » 4. о.603-618.

1). О проотранотвах функций первого Саровского класоа над -аналятическиш! пространствами /У Мат.заштки. 1992. т. 52, J5 3. о.108-116.

2). О -отобракэнплх Девятая ыевдународ. конф. по топологии и ее прял. МИ raí. В.А.Стоклова РАН. Киев, 1992. с.37.

3). О свойстве Афешр Урнсона пространств непрерывных функций Тр.'Мат. нн-та им. В.А.Стеклова. 1992. т. 193. о.156-161.

-А—

Отпечатано на ротапринта Института матэмятики и механики УрО РАН тирах 100 заказ 1L729

ооъеы 0,65 печ.л. Формат 60x84 17ГБ~ 620219 г.Екатеринбург ГСП-Зб4 ул.С.КоваловикойДб