Бессдвиговые изотропные конгруэнции и алгебродинамика в римановом пространстве

Тришин, Владимир Николаевич

Бессдвиговые изотропные конгруэнции и алгебродинамика в римановом пространстве тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Тришин, Владимир Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Бессдвиговые изотропные конгруэнции и алгебродинамика в римановом пространстве»

Автореферат диссертации на тему "Бессдвиговые изотропные конгруэнции и алгебродинамика в римановом пространстве"

На правах рукописи

Тришин Владимир Николаевич

БЕССДВИГОВЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ И АЛГЕБРОДИНАМИКА В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.04.02. - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре общей физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук,

доцент

Кассандров Владимир Всеволодович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Степанов Сергей Евгеньевич

кандидат физико-математических наук Соловьев Антон Васильевич

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН

Защита состоится "_"_2004 г. в_ч._мин. на заседании диссертационного совета К 212.203 01 при Российском университете дружбы народов по адресу: 115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, зал 1.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан "_"_2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета, доктор технических наук, доцент

2005-4 24№

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Бессдвиговые изотропные конгруэнции имеют большое значение во многих разделах теоретической и математической физики Условие бессдвиговости конгруэнции лучей существенно при поиске точных решений уравнений Эйнштейна в общей теории относительности В первую очередь это связано со знаменитой теоремой Гольдберга-Сакса, согласно которой для всех алгебраически специальных решений вакуумных уравнений Эйнштейна кратное главное изотропное направление (ГИН) тензора Вейля касательно к лучам бессдвиговой конгруэнции Кроме того, существование БСК в исследуемой метрике часто приводит к значительному упрощению вычислений в формализме Ньюмена-Пенроуза при поиске решений уравнений общей теории относительности (ОТО)

Отметим также важное значение уравнений БСК для моделей комплекс ной гравитации В этом случае их решения определяют изотропные 2-поверхности ("изотропные струны"), существование которых приводит к редукции вакуумных уравнений Эйнштейна к единственному дифференциальному уравнению

Бессдвиговые конгруэнции играют также важную роль при построении решений уравнений безмассовых полей как в плоском, так и в искривленном пространстве В частности, они позволяют строить решения уравнений Максвелла на фоне неплоской метрики Известен классический результат Робинсона согласно которому каждая аналитическая БСК с определенной параметризацией определяет некоторое изотропное решение однородных уравнений Максвелла Бессдвиговые лучи используются также для построения потенциала Герца максвелловского поля В частности, в пространстве с БСК, являющейся кратным ГИН тензора Вейля, для каждого решения однородных уравнений Максвелла существует скалярный потенциал Дебая Кроме того, исследовались конструкции потенциала Дебая, исходя из тензоров Киллинга-Яно, для построения которых также использовались БСК

В работах Линда и Ньюмена однородные уравнения Максвелла были проинтегрированы в пространстве Минковского для случая, когда вектор ГИН тензора напряженности электромагнитного поля является касательным к лучу БСК Эти поля можно рассматривать как "комплексифицированные" поля Лиенара-Вихерта, создаваемые "виртуальным" точечным источником, движущемся по комплексной мировой линии Заметим, чю в частном случае "покоящегося' источника мы получаем электромагнитное ноле решения Керра-Ньюмена в ОТО В случае БСК без вращения решения Линда и Ньюмена сводятся к известным потенциалам точечного источника с действительной мировой линией

В (конформно) плоских пространствах бессдвиговые конгруэнции тесно (вязаны с теорией твисторов Пенроуза В пространстве Минковского каждая БСК может бьть по-

лучена из некоторой голоморфной функции от компонент твистора, соответствующего лучу конгруэнции (теорема Керра). Кроме того, посредством преобразования Радона-Пенроуза для каждой БСК может быть построено соответствующее решение уравнений безмассового поля (в том числе свободного максвелловского) для которого данная БСК будет являться ГИН.

В последние годы бессдвиговые конгруэнции привлекли к себе значительное внимание в связи с исследованием CR-многообразий. Это связано с тем, что каждое 4-мерное пространство-время, содержащее БСК, является лифтом некоторого 3-мерного CR - пространства.

Таким образом, изучение свойств бессдвиговых конгруэнции позволяет получать информацию как о самом пространстве, так и о различных физических полях, которые могут существовать на его фоне

С другой стороны, бессдвиговые конгруэнции оказались тесно связанными с проблемой построения некоммутативного анализа для алгебр типа кватернионов и с общей программой алгебродинамики, предложенной в работах Карсандрова Изначально нелинейные уравнения алгебродинамики в плоском пространстве, с математической точки зрения являющиеся обобщением уравнений Коши-Римана на случай алгебры комплексных кватернионов (бикватернионов), позволяют строить решения однородных уравнений Максвелла с автоматически фиксированным электрическим зарядом сингулярности поля и со сложной "частицеподобной" динамикой этих, вообще говоря, протяженных сингулярностей. Кроме того, уравнения алгебродинамики генерируют решения комплексных нелинейных уравнений Янга-Миллса и комплексного эйконала Причем последнее уравнение играет все возрастающую роль в теории поля, обнаруживая, в частности, солитонную структуру и глубокие связи с моделями типа Фадцеева-Ниеми

Важно подчеркнуть, что в предложенной процедуре все эти решения дифференциальных уравнений получаются чисто алгебраически из генерирующей твисторной функции. Заметим еще, что они отличны от всех указанных выше решений Робинсона, Пенроуза и других, ассоциированных с БСК.

В этой связи представляется актуальным продолжить изучение решений уравнений ал-гебродинамики в плоском пространстве, а также соответствующих им физических полей и БСК Такое исследование и составляет в основном предмет первой главы Принимая во внимание указанные свойства модели, представляется также актуальным обобщить данные структуры на случай искривленного пространства-времени. В первой главе рассмотрен простейший способ обобщения результатов, основанный на деформации метрики типа Керра-Шилда.

Поскольку в пространстве Минковского уравнения алгебродинамики оказываются эк-

Бивалентными уравнениям БСК в определенной калибровке, то одним из путей обобщения может служить анализ бессдвиговых конгруэнции на многообразии с неплоской метрикой. Каждая (непараметризованная) БСК естественным образом определяет некоторый комплексный бивектор. Этот факт был впервые установлен Соммерсом, но никакой физической интерпретации до сих пор ему дано не было. Во второй главе диссертации доказано, что при определенных ограничениях на кривизну многообразия этот бивектор является самодуальным и определяет тем самым решение действительных однородных уравнений Максвелла. Для произвольных метрик в правую часть уравнений Максвелла входит ток, пропорциональный первым производным конформной кривизны пространства.

Для достаточно широкого класса многообразий, у которых луч БСК является кратным ГИН тензора Вейля, обнаружена интересная геометрическая интерпретация комплексного потенциала. А именно, его действительная часть является вектором неметричности, а мнимая - вектором псевдоследа кручения эффективной аффинной связности типа Вейля-Картана, относительно которой вектор БСК ковариантно постоянен. Связности этого типа рассматривались в последнее время Кречетом для геометризации электрослабых взаимодействий, а также Тодом в связи с "локальной гетеротической геометрией", возникающей в (4,0) суперсимметричных сг-моделях, и с теорией самодуальных пространств Вейля-Эйнштейна.

Другой подход к обобщению уравнений алгебродинамики на римановы пространства связан с непосредственным введением локальной алгебры, заданной в слое касательного расслоения к многообразию. В этом варианте исследуемый подход связан с интенсивно развивающейся в настоящее время математической теорией алгеброидов, обобщающей понятие связности на векторных расслоениях.

В этой связи условия дифференцируемости функций алгебраического переменного обобщаются на случай локальных алгебр для пространств с произвольной аффинной связностью. Рассматриваемая в диссертационной работе модель, реализующая подобное обоб-щени и основанная на связности Вайценбека, тесно связана с телепараллельной теорией гравитации, возникающей как калибровочная теория для группы трансляций. При этом основным физико-геометрическим объектом исследования являются отвечающие функциям локального алгебраического переменного калибровочное поле и изотропные конгру энции.

Цель работы.

1. Изучение решений уравнений алгебродинамики в пространстве Минковского и струк туры отвечающих им бессдвиговым изотропным конгруэнциям. Исследование свойств

ассоциированных решений уравнений Максвелла и построение всех точных, т е представимых в явном виде, решений, обладающих аксиальной симметрией

2 Нахождение возможных деформаций метрики, сохраняющих вид решений однородных уравнений Максвелла в плоском пространстве

3 Изучение связей бессдвиговых изотропных конгруэнций (БСК) в римановом пространстве с геометрией типа Вейля-Картана и другими физико-геометрическими структурами

4 Построение и изучение свойств решений однородных уравнений Максвелла, ассоциированных с БСК на римановом многообразии, а также соответствующих спинорных уравнений, обобщающих уравнения д'Аламбера и эйконала

5 Обобщение условий дифференцируемости функций, принимающих значения в некоммутативной ассоциативной алгебре на случай произвольных аффинных многообразий Изучение свойств решений соответствующих уравнений и ассоциированного калибровочного поля на фоне пространства со связностью Вайценбека

Научная новизна работы.

Обнаружены сложные структура и динамика сингулярных решений уравнений Максвелла, отвечающих полученным новым решениям уравнений алгебродинамики Доказана эквивалентность специального класса бессдвиговых изотропных конгруэнций (БСК) ковариантно-постоянным полям в пространствах со связностью Вейля-Картана Предложен новый способ генерации решений уравнений Максвелла на искривленном римановом пространстве из решений уравнений БСК Введены инвариантные спинорные дифференциальные операторы, естественным образом связанные с БСК Предложено обобщение условий дифференцируемости на случай функций локального алгебраического переменного на фоне пространства со связностью Вайценбека

Методика исследования.

В работе используется 2-спинорный и твисторный формализмы Пенроуза, методы классической дифференциальной геометрии и теории расслоенных пространств

Научная и практическая ценность.

Работа имеет теоретическое значение Предложенные методы носят общий характер и могут быть применены в различных теоретико-полевых моделях Полученные результаты можно использовать при поиске точных решений уравнений Максвелла и системы

Максвелла-Эйнштейна в искривленном пространстве-времени, при изучении геометрии бозонных секторов суперсимметричных моделей и геометрии комплексных пространств, связанных с квантовой гравитацией, а также для развития алгебродинамического подхода к теории поля.

Научные положения, выносимые на защиту, содержатся в списке основных результатов в Заключении диссертационной работы.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на ежегодных научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (1998, 2001), на 10-й Российской гравитационной конференции (Владимир, 1999), на 12-й международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга - 12" (Казань, 2000), на 5-й международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, 2001), на 11-й международной конференции 'Теоретические и экспериментальные проблемы ОТО и гравитации" (Томск, 2002), на международной конференции "Новая геометрия природы" (г.Казань, 2003), на 3-й международной школе-семинаре "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии" (Ульяновск, 2003).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 14 работ.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, раздела "Основные понятия и обозначения", трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Полный объем работы машинописного текста, библиография содержит наименований.

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы и сформулированы цели диссертации. Обсуждаются общие свойства бессдвиговых изотропных конгруэнций (БСК), их связь с алгебродинамическим подходом и их применение в различных разделах математической физики. Кратко рассмотрены методы конструирования решений фундаментальных физических уравнений (Максвелла, Эйнштейна, Янга-Миллса) исходя из уравнений, описывающих БСК. Обсуждается связь этих уравнений с уравнениями алгебродинамики и уравнениями ковариантно-постоянных полей в геометрии Вейля-Картана. Также представлен

обзор современной литературы и кратко охарактеризовано содержание диссертационной работы.

В разделе "Основные понятия и обозначения" приведены обозначения формализма Ньюмена-Пенроуза, являющегося основным в данном исследовании.

В первой главе рассматривается алгебродинамический подход к построению теории поля в пространстве Минковского, основанный на рассмотрении условий гипердифферен-цируемости функций, принимающей значения в некоторой некоммутативной алгебре Я, как динамических уравнений полевой теории. Для произвольной коммутативной алгебры эти условия были получены еще в 1893 г. Шефферсом. Один из возможных подходов к обобщению этих условий на некоммутативные ассоциативные алгебры был предложен в работах Кассандрова. Эти условия представляют собой систему матричных пфаффовых уравнений

где (¿Г и ¿2 - дифференциалы Я-значной функции Р 6 Я и независимой переменной 2 6 Я соответственно, а Ф(2), Ф(£) 6 Я - "полупроизводнйе", обобщающие понятие производной функции Р{2) в случае коммутативной алгебры. Описаны основные свойства и симметрии

этой системы уравнений.

Основная часть главы посвящена изучению условий дифференцируемости для алгебры бикватернионов В, изоморфной матричной алгебре Л/а£г(С). Координатное пространство мы ограничиваем с целью сохранить лоренц-инвариантность эрмитовыми матрицами = X, которые будем обозначать через X. Условия (1) приводят к выполнению уравнения комплексного эйконала, тесно связанного с теорией калибровочных полей, для каждой компоненты Я-значной функции Р(Х), причем нелинейность последнего определяется некоммутативностью условий (1), приводя тем самым к полевой теории со взаимодействием. Все решения этого уравнения разбиваются на 2 класса. В работе используется один из них, для которого условия (1) редуцируются к

Используя спинорное расщепление алгебры бикватернионов, система (2) записывается в виде переопределенной системы уравнений для спинорного

^ = Ф^Ф

(1)

АР = ЫХР

(2)

длл'^в — Фва'£а

(3)

где длл' ~ спинорная частная производная и А, В,... = 0,1. Решения этой системы обладают рядом интересных свойств:

1. Спинорное поле £ удовлетворяет уравнению £А(вдлл'£в — 0, определяя тем самым

изотропную геодезическую конгруэнцию без сдвига, и наоборот, каждая БСК в пространстве Минковского может записана в виде (3). Коме того, каждая компонента удовлетворяет комплексному уравнению эйконала, а их отношение - уравнению д'Аламбера.

2. Система (3) инвариантна относительно преобразований

(4)

где "калибровочная" функция зависит от твистора

3. Тензор является самодуальным вследствие условий интегрируемости переопределенной системы (3), определяя тем самым некоторое решение действительных однородных уравнений Максвелла с целочисленным электрическим зарядом. Природа дискретности заряда в данной модели связана с переопределенной структурой уравнений и с нетривиальной топологией решений. Как и для случая магнитного моноиоля Дирака, доказательство оирирается на калибровочную инвариантность модели и на условие самодуальности комплексного тензора

Таким образом, каждое решение уравнений алгебродинамики (3) позволяет построить электромагнитное (ЭМ) поле, которое обладает сложной сингулярной структурой и, в силу нелинейности исходной системы (3), нетривиальной динамикой. Важно отметить, что в сравнении с классической электродинамикой, где ЭМ поля создаются системой зарядов, движущихся по определенным мировым линиям, в нашем подходе частицы рассматриваются как сингулярности поля, причем их движение и характеристики полностью определяются его регулярной частью.

Общее решение системы (3) может быть представлено в неявном виде

П^(Т.) = П('1>(ел,т',') = 0 (5)

где П,А,Тг) - пара голоморфных функций твистора Т,. После выбора калибровки £о = 1, функция представляющая собой общее решение, неявно задана соотношением

т„ = + хов, ы + »(?) = 0 (6)

где u = t + z, v = t — г, w = x-гyиw = x + ^y. Спин-тензор электромагнитного поля может быть представлен в виде

_1( л РлРг л р__йР _ эр-

и тождественно удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла.

В работе исследуются точные (т. е. представимые в явном виде) решения уравнений (3), полученные с помощью (6), изучаются свойства ассоциированных электромагнитных полей и структура их особых точек, определяемая системой уравнений

Перечислены все точные аксиально-симметричные решения с квадратичной функцией Р. Доказано, что они определяются полиномом

Г = ат^т1' + Ьт^б + ст1' + <¡6

Структура их сингулярного множества распадается на два класса, причем первый соответствует особенностям типа кольца Керра, а второй описывается уравнением

((4 + ,Т)2 - (г + ,А)2 -р2 + Ь2)2 + = О,

(10)

где и отвечает нестационарным решениям с точечными

сингулярностями и особенностями типа тора.

Приведены примеры не аксиально-симметричных полевых конфигураций с ограниченной в 3-пространстве сингулярностью и изотропным электромагнитным полем, определяемые функцией

Р = а2в2 + Ь2т^ + <?т2+(Рто г, (И)

Рассмотрен пример волнового решения, для которого не яв-

ляется полиномом. Соответствующее сингулярное множество имеет вид винтовой линии, равномерно движущейся вдоль оси с фундаментальной скоростью с.

В заключительном параграфе обсуждается вопрос о возможности переноса полученных решений уравнений Максвелла на искривленное пространство - время с метрикой Керра-Шидда

V = V + (12)

где вектор деформации I" должен определять главное изотропное направление (ГИН) тензора напряженности поля: В этом случае ранее введенное спинорное поле позволяет построить как метрику Керра-Шилда, так и максвелловское поле в пространстве с этой метрикой. При этом для выполнения полной системы Максвелла-Эйнштейна необходимо, чтобы поле V обладало нулевым сдвигом. Тогда эта система редуцируется к гравитационным уравнениям для одной действительной функции. Приведены примеры подобных решений.

Вторая глава посвящена геометрическому обобщению уравнений алгебродинамики на искривленное риманово пространство со связностью Леви-Чивита V,, , основанному на анализе уравнений бессдвиговых изотропных конгруэнций (БСК)

Первый параграф главы является вводным В нем рассматриваются общие свойства БСК, а также необходимые и достаточные условия их существования Отмечено, что в вакуумном пространстве всегда существует две, и только две различные БСК для пространства типа D по Петрову, и только одна БСК - для пространств типа II, III или N Продемонстрировано, что каждая БСК с необходимостью является ГИН тензора конформной кривизны Вейля

Уравнения (13), определяющие БСК, записываются в различных представлениях, в том числе в виде

где векторное поле, определяемое конгруэнцией с точностью до градиен-

та В дальнейшем этот вектор рассматривается в качестве потенциала ассоциированного с БСК поля Максвелла

Во втором параграфе исследуются физико-геометрические структуры, ассоциированные с БСК и имеющие калибровочное происхождение Показано, что масштабные преобразования спинора конгруэнции, оставляющие инвариантными условие нулевого сдвига (13), соответствуют калибровочным преобразованиям электродинамики для системы спинорного и векторного полей

Используя условия интегрируемости уравнений БСК (13), доказана следущая Теорема В конформно-плоском или алгебраически вырожденном (типа N по Петрову) пространстве 2-форма 5" = ¿ф, определяемая бессдвиговойизотропнойконгруэнцией, удовлетворяет однороднымуравнениямМаксвелла

Используя формализм Ньюмена-Пенроуза, получено явное выражение для электромагнитного потенциала через спиновые коэффициенты

Исследуется также структура электромагнитного поля в пространствах алгебраически более общего вида, чем N В этом случае в правую часть уравнений Максвелла входит ток, пропорциональный производным конформной кривизны Вейля Отдельно изучен случай пространств типа D и в качестве примера приведены БСК и ассоциированное с ней поле в метрике Шварцшильда Продемонстрировано, что в асимптотически плоских пространствах сохраняется свойство целочисленности заряда сингулярности ассоциированного поля Максвелла

(13)

Va'(A£b) = Фа'{А(,В)

(14)

Далее исследуются бессдвиговые изотропные конгруэнции специального вида (СБСК), удовлетворяющие более жестким, по сравнению с (13), (14), уравнениям

£вЧвл-£л = о » Vллiв = ФвA^U

(15)

Они являются непосредственным аналогом уравнений алгебродинамики в плоском пространстве, где все БСК могут быть записаны в форме (15).

Доказано, что выбором калибровки спинора можно добиться выполнения уравнений (15) тогда, и только тогда, когда БСК является кратным ГИН тензора Вейля (или пространство конформно-плоское).

Далее показано, что уравнения СБСК (15) являются спинорной записью условия ко-вариантного постоянства векторного поля конгруэнции относительно эффек-

тивной связности Вейля-Картана

где вектора являются соответственно действительной и мнимой частями комплекс-

ного векторного поля В результате доказана

Теорема. Следующие три утверждения о БСК на алгебраически - специальномрима-новоммногообразииэквивалентны:

1. Бессдвиговая конгруэнция определяет кратное ГИН тензора Вейля.

2. Бессдвиговая конгруэнция является специальной, т.е. допускает такую параметризацию, что справедливо уравнение (15).

3. Векторное поле, касательное к лучам конгруэнции, является параллельным относительно эффективной связности Вейля -Картана вида (16).

В третьем параграфе водятся инвариантные спинорные дифференциальные операторы

которые в пространстве Минковского редуцируются соответственно к оператору эйконала для каждой компоненты спинора { и к оператору д'Аламбера для их отношения. Эти операторы, обобщающие известные операторы Бельтрами со случая скалярных полей на спинорные, естественным образом связаны с БСК вышеопределенного специального вида (15) в силу следующей теоремы:

Теорема. Для любой СБСКвсегда существует такая калибровка спинора что в ней онудовлетворяетуравнениям

= - + - - = О

(16)

М) := ЧСОЪАЧ^Ь), Щ() := 1ВЧМЧАА<В

(17)

ЕЛВ(О = 0, £>(£) = 0.

(18)

В заключение главы обсуждаются полученные результаты и проведено сравнение БСК и ассоциированных физико-геометрических структур для плоского и искривленного пространств.

В третьей главе рассматривается непосредственное обобщение уравнений алгеброди-намики на аффинно-метрические многообразия М. В этом случае ассоциативная конечномерная алгебра Я со вводится в слое касательного расслоения ТМ к многообразию в качестве первичной структуры. При этом Мснабженно некоторой аффинной связностью вообще говоря, независимой от алгебры. Условия дифференцируемости записаны в инвариантном виде как

где Уу - ковариантная производная вдоль произвольного векторного поля V на М, являющегося также элементом алгебры в слое, (*) - операция умножения в 51, ^ - дифференцируемая ей векторные поля, определяемые из (19). Получены условия, при которых введенное дифференцирование удовлетворяет правилу Лейбница.

Ограничиваясь основным случаем $ = ? и записывая уравнения (19) в локальных координатах, приходим к системе

где - коэффициенты'аффинной связности, Втп* - структурные константы 21, а величины Дт„р := ф'ВтТВпТ могут рассматриваться как тензор аффинной деформации,

индуцированный алгебраической структурой.

В качестве простейшей полевой модели изучаются условия дифференцируемости для алгебры бикватернионов, заданной в комплексифицированном касательном пространстве многобразия со связностью Вайценбека (связности "абсолютного параллелелизма"). Для этой алгебры тензор аффинной деформации принимает вид

Атп" = 6/фт + 6т'фп " - кТтщФ' (21)

Условия интегрируемости системы (20) приводят тогда к самодуальности тензора

где и появляется векторное поле определяется ко-

эффициентами вращения тетрады. Отсюда следует выполнение неоднородных уравнений Максвелла с источником, имеющем геометрическое происхождение.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основные результаты работы

1. Описаны все аксиально-симметричные бессдвиговые изотропные конгруэнции (БСК) в пространстве Минковского с квадратичной по твисторным аргументам генерирующей функцией, а также отвечающие им решения уравнений Максвелла. Алгебраическим методом построены новые решения, в том числе не обладающие симметрией, изучены их свойства и структура сингулярного множества.

2. Для каждого решения уравнений алгебродинамики или, эквивалентно, для каждой БСК в пространстве Минковского строится эффективная риманова метрика типа Керра-Шилда так, что соответствующие электромагнитные поля инвариантны относительно деформации метрики данного вида. Получено условие, при котором такая метрика Керра-Шилда определяется исходной БСК и указаны примеры его реализации.

3. Показано, что в пространствах типа N по Петрову и в конформно-плоских пространствах каждая БСК определяет решение однородных уравнений Максвелла. В алгебраически более общих пространствах соответствующие поля удовлетворяют уравнениям Максвелла с источниками, определяемыми производными от конформной кривизны многообразия.

4. Доказано, что для БСК, являющихся кратным главным изотропным направлением тензора Вейля, условие бессдвиговости изотропной конгруэнции эквивалентно условию ковариантного постоянства векторного поля конгруэнции относительно эффективной связности с неметричностью Вейля и полностью антисимметричным кручением.

5. Введены инвариантные спинорные дифференциальные операторы, обобщающие скалярные операторы Бельтрами и обращающие в ноль спинорное поле БСК, являющейся кратным главным изотропным направлением тензора Вейля.

6. Для случая произвольного афинно-метрического многообразия предложено условие дифференцируемости функций, принимающих значения в локальной алгебре Для случая пространств со связностью Вайценбёка показано, что следствием условий дифференцируемости является условие обобщенной самодуальности калибровочного поля, ассоциированного с 21-дифференцируемыми функциями.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] Кассандров В В , Тришин В Н Спиралевидные источники в бикватернионной электроди ножике // XXXIV Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук Тезисы докладов Физические секции -М Изд-во РУДН - 1998 - с 8 9

[2] Тришин В Н Бессдвиговые конгруэнции и сингулярные решения вакуумных уравнений // X Российская гравитационная конференция "Теоретические и экспериментальные проблемы общей теории относительности и гравитации" Тезисы докладов - Владимир - 1999 - с 12

[3] Kassandrov V V , Trishin V N Particle-like singular solutions inEinstein-Maxwell theory and in algebraic dynamics // Gravitation and Cosmology - 1999 - V 5 - P 272-276

[4] Тришин В Н Электромагнитные поля инвариантные при деформации метрики // XII Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики Тезисы докладов - Казань "Хэтер" - 2000 - с 74

[5] Кассандров В В , Тришин В Н Многообразия Эйнштейна-Вейля с полностью антисимметричным кручением // XXXVII Всероссийская научная конференция по проблемам ма тематики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин Тезисы докладов Физические секции - М Изд во РУДН - 2001 - с 5-6

[6] Kassandrov V V , Trishin V N Etnstein- Weyl manifolds with skew-symmetric torsion induced by biquaternion algebra // XIII Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики Тезисы докладов - Казань "Издательство РегентЪ" - 2001 - с 80 81

[7] Kassandrov V V , Tnshin V N Riemannian generalization of the B-differentiability conditions and modified half-flat spaces // V Международная конференция по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона Тезисы докладов - М Изд-во РУДН - 2001 - с 36

[8] Тришин В Н О реализации алгебродинамического подхода на многообразиях общего вида II Вестник РУДН, серия "Физика" - 2002 - т 10 - с 13 15

[9] Тришин В Н Условия гипердифференцируемости на многообразиях // XXXVIII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин Тезисы докладов Физические сек ции - М Изд-во РУДН - 2002 - с 17

[10] Kassandrov V V, Tnshin V N Algebrodynamics on the space time manifold // XI Между народная конференция "Теоретические и экспериментальные проблемы ОТО и гравитации" Тезисы докладов - Томск - 2002 - с 61

[11] Trishin V N Hyperdifferenttability condtttons for general manifolds // XIV Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики Тезисы докладов - Казань "Издательство РегентЪ" - 2002 - с 36

[12] Kassandrov V V, Trishin V N Shear free null geodesic and associated physical fields // Тезисы докладов третьей Ульяновской международной Школы-семинара "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии" UISS-2003 - Ульяновск УлГУ - 2003 - с 25

[13] Кассандров В В , Тришин В Н Бессдвиговые геодезические и ассоциированные электромагнитные поля на искривленных многообразиях // Труды объединенной международной конференции "Новая геометрия природы" - Казань КГУ - 2003 - т IV , с 77-84

[14] Kassandrov V V , Trishin V N Effective connections and fields associated with shear-free null congruences // Gen Rel and Grav - 2004 - V 36 - P 1603-1612

Тришин Владимир Николаевич (Россия)

БЕССДВИГОВЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ И АЛ ГЕБ РОДИ НАМ И КА В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрена алгебродинамическая полевая модель, уравнения которой в пространстве Мин-ковского совпадают с уравнениями бессдвиговых изотропных конгруэнций (БСК) Обнаружена сложная структура сингулярных решений однородных уравнений Максвелла, соответствующих решениям уравнений алгебродинамики и проявляющих "частицеподобную" динамику Доказана эквивалентность специального класса БСК ковариантно-постоянным полям в пространствах со связностью Вейля-Картана Предложен способ генерации решений уравнений Максвелла на искривленном римановом пространстве для каждой БСК Введены инвариантные спинорные дифференциальные операторы, естественным образом связанные с БСК Предложено условие диф-ференцируемости функций локального алгебраического переменного и изучены его свойства на фоне пространства со связностью Вайценбека

Vladimir N. Trishin (Russia)

Shear-free null congruences and algebrodynamics in Riemannian space

The algebrodynamical field theory model is considered The equations of this model coincide with the equations of shear-free null congruences (SFC) in Minkowski space Complicated singular solutions of homogeneous Maxwell equations manifesting particle-like dynamics are obtained Equivalence between special kind of SFC and covariant constant fields in Weyl-Cartan affine connection space is proved New generating method of Maxwell field for any SFC in Riemannian space is proposed The invariant spinor differential operators associated with SFC are introduced The properties of the differentiability conditions for functions of a local algebraic variable on generic manifold are investigated The model for Weitzenbock connection space is considered

Подписано в печать •^Формат 60x84/16. Тираж 400 экз. Усл. печ. л. -/ . Заказ

Типография Издательства РУДН 117923, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3

122353

РНБ Русский фонд

2005-4 21412

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Тришин, Владимир Николаевич

Введение

Основные понятия и обозначения

1 Решения уравнений бикватернионной алгебродинамики в пространстве Минковского

1.1 Алгебродинамический подход к теории поля.

1.2 Уравнения бикватернионной алгебродинамики и сингулярные решения однородных уравнений Максвелла.

1.3 Электромагнитные поля, инвариантные при деформации метрики.

2 Бессдвиговые конгруэнции и ассоциированные физико-геометрические структуры

2.1 Свойства бессдвиговых конгруэнций в римановом пространстве

2.2 Калибровочное поле, ассоциированное с БСК, и эффективная геометрия Вейля-Картана

2.3 Инвариантные дифференциальные операторы, ассоциированные с БСК.

3 Локальные алгебры и условия дифференцируемости как уравнения поля

3.1 Условия дифференцируемости для алгебры в касательном расслоении

3.2 Уравнения алгебродинамики в пространстве со связностью Вайценбёка.

3.3 Алгебра Гржина как локальная алгебра на римановом многообразии.•.

Введение диссертация по физике, на тему "Бессдвиговые изотропные конгруэнции и алгебродинамика в римановом пространстве"

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В современной теоретической физике, в особенности в теории поля и гравитации, широко используются методы, привнесенные из таких интенсивно развивающихся разделов математики, как алгебраическая топология, дифференциальная и алгебраическая геометрия. В качестве примеров можно привести теорию связностей в главных расслоениях, ставшую математической основой теории калибровочных полей [10, 13]. Другим примером может служить теория твисторов, с помощью которой было получено полное описание инстантонных решений для полей Янга-Миллса.

В нашем исследовании основную роль играет такой важный в классической дифференциальной геометрии объект, как конгруэнции на многообразии, а именно изотропные геодезические конгруэнции, обладающие нулевым сдвигом (бессдвиговые конгруэнции, БСК). С геометрической точки зрения, отсутствие сдвига приводит к существованию конформной структуры на пространстве L^/L, где L1- - подпространство векторов, ортогональных к векторному полю конгруэнции L. Физически это соответствует тому, что тонкие пучки соответствующих световых лучей не испытывают искажений формы поперечного сечения, а только растяжение (сжатие) или вращение. Электромагнитное излучение произвольно движущейся в вакууме точечной заряженной частицы также распространяется по бессдвиговым геодезическим без вращения.

Бессдвиговые конгруэнции имеют большое значение во многих разделах теоретической и математической физики. Условие бессдвигово-сти конгруэнции лучей существенно при поиске точных решений уравнений Эйнштейна в общей теории относительности. В первую очередь это связано со знаменитой теоремой Гольдберга-Сакса [27], согласно которой для всех алгебраически специальных решений вакуумных уравнений Эйнштейна кратное главное изотропное направление (ГИН) тензора Вейля касательно к лучам бессдвиговой конгруэнции. Этот результат был обобщен на случай системы Максвелла-Эйнштейна в работе [61]. Кроме того, существование БСК в исследуемой метрике часто приводит к значительному упрощению вычислений в формализме Ныомена-Пенроуза при поиске решений уравнений общей теории относительности (см. например [1, 15, 9]).

Отметим также важное значение уравнений БСК для моделей комплексной гравитации (см., например, серию обзорных статей [30] и [59]). В этом случае их решения определяют изотропные 2-поверхности ("изотропные струны"), существование которых приводит к редукции вакуумных уравнений Эйнштейна к единственному дифференциальному уравнению [57].

Бессдвиговые конгруэнции играют также важную роль при построении решений уравнений безмассовых полей как в плоском, так и в искривленном пространстве. В частности, они позволяют строить решения уравнений Максвелла на фоне неплоской метрики. Известен классический результат Робинсона [60] (см.также [65, 31]), согласно которому каждая аналитическая БСК с определенной параметризацией определяет некоторое изотропное решение однородных уравнений Максвелла. Бессдвиговые лучи используются также для построения потенциала Герца максвелловского поля в алгебраически специальных пространствах

24]. В частности, в пространстве с БСК, являющейся кратным ГИН тензора Вейля, для каждого решения однородных уравнений1 Максвелла существует скалярный потенциал Дебая [68]. Кроме того, исследовались [20] конструкции потенциала Дебая, исходя из тензоров Киллинга-Яно, для построения которых также можно использовать БСК [19, 26]. Отметим, что общий вид тензора Киллинга-Яно в пространствах постоянной кривизны был получен в работе Степанова [14] и использован для построения решений уравнений Максвелла и операторов симметрии уравнения Дирака.

В работах Линда [47] и Ньюмена [48, 51] однородные уравнения Максвелла были проинтегрированы в пространстве Минковского для случая, когда вектор ГИН тензора напряженности электромагнитного поля является касательным к лучу БСК. Эти поля можно рассматривать как "комплексифицированные" поля Лиенара-Вихерта, создаваемые "виртуальным" точечным источником, движущемся по комплексной мировой линии. Заметим, что в частном случае "покоящегося" источника мы получаем электромагнитное поле решения Керра-Ньюмена в ОТО. В случае БСК без вращения решения Линда и Ньюмена сводятся к известным потенциалам точечного источника с действительной мировой линией.

В (конформно) плоских пространствах бессдвиговые конгруэнции тесно связаны с теорией твисторов Пенроуза [56, 71]. В пространстве Минковского каждая БСК может быть получена из некоторой голоморфной функции от компонент твистора, соответствующего лучу конгруэнции (теорема Керра [12]). Кроме того, посредством преобразования Радона-Пенроуза для каждой БСК может быть построено соответствующее решение уравнений безмассового поля (в том числе свободного максвеллов-ского) для которого данная БСК будет являться ГИН [12].

В последние годы бессдвиговые конгруэнции привлекли к себе зна

ХВ литературе также используются термины "свободные уравнения", "вакуумные уравнения" и "уравнения без источников". Уточнение этих понятий будет обсуждаться ниже. чительное внимание в связи с исследованием CR-многообразий (см. например [45, 46] и обзор [69]). Это связано с тем, что каждое 4-мерное пространство-время, содержащее БСК, является лифтом некоторого 3-мерного CR-пространства.

Таким образом, изучение свойств бессдвиговых конгруэнций позволяет получать информацию как о самом пространстве, так и о различных физических полях, которые могут существовать на его фоне.

С другой стороны, бессдвиговые конгруэнции оказались тесно связанными с проблемой построения некоммутативного анализа для алгебр типа кватернионов и с общей программой алгебродинамики, предложенной в работах Кассандрова [7, 8, 33, 39]. Изначально нелинейные уравнения алгебродинамики в плоском пространстве с математической точки зрения являются обобщением условий дифференцируемости Коши-Римана на случай алгебры комплексных кватернионов (бикватернионов). Эти условия позволяют строить решения однородных уравнений Максвелла с автоматически фиксированным электрическим зарядом сингулярности поля и со сложной "частицеподобной" динамикой этих, вообще говоря, протяженных сингулярностей. Отметим, что концепция частиц как сингулярностей поля развивалась в рамках электродинамики еще в классических работах Бейтмена [2], а в рамках ОТО - Ньюменом и др. [50], а также Буринским [3, 21] (рассматривавшим частицеподобные свойства сингулярного кольца Керра). Более того в работе Ланцоша [43] предлагалось рассматривать частицы в качестве полюсов функций бикватернионного переменного.

Уравнения алгебродинамики генерируют также решения комплексных нелинейных уравнений Янга-Миллса и комплексного эйконала. Причем последнее уравнение, общее решение которого было получено в работе [36], играет все возрастающую роль в теории поля, обнаруживая, в частности, солитонную структуру и глубокие связи с моделями калибровочных полей типа Фаддеева-Ниеми [17, 72].

Важно подчеркнуть, что в предложенной процедуре все эти решения дифференциальных уравнений получаются чисто алгебраически из генерирующей твисторной функции. Заметим еще, что они-отличны от всех указанных выше решений Робинсона, Пенроуза и других, генерируемых с помощью БСК.

В этой связи представляется актуальным продолжить изучение решений уравнений алгебродинамики в плоском пространстве, а также соответствующих им физических полей и БСК. Такое исследование и составляет в основном предмет первой главы. Принимая во внимание вышеуказанные свойства модели, представляется также актуальным обобщить данные структуры на случай искривленного пространства-времени. В первой главе рассмотрен простейший способ обобщения результатов, основанный на деформации метрики типа Керра-Шилда.

Поскольку в пространстве Минковского уравнения алгебродинамики оказываются эквивалентными уравнениям БСК в определенной калибровке [39], то одним из путей обобщения может служить анализ бессдвиговых конгруэнций на многообразии с неплоской метрикой. Каждая (непараметризованная) БСК естественным образом определяет некоторый комплексный бивектор. Этот факт был впервые установлен Соммер-сом в работе [63], но никакой физической интерпретации до сих пор ему дано не было. Во второй главе диссертации (см. также [86, 87, 88]) доказано, что при определенных ограничениях на кривизну многообразия этот бивектор является самодуальным и определяет тем самым решение действительных однородных уравнений Максвелла. Для произвольных метрик в правую часть уравнений Максвелла входит ток, пропорциональный первым производным конформной кривизны пространства.

Для достаточно широкого класса многообразий2, у которых луч БСК является кратным ГИН тензора Вейля, обнаружена интересная геомет

2в частности, к ним относятся все алгебраически специальные вакуумные и электровакуумные пространства рическая интерпретация комплексного потенциала. А именно, его действительная часть является вектором неметричности, а мнимая - вектором псевдоследа кручения эффективной аффинной связности типа Вейля-Картана, относительно которой вектор БСК ковариантно постоянен. В работе [39] было показано, что в пространстве Минковского каждая БСК может быть представлена в таком виде. Связности этого типа рассматривались в последнее время Кречетом [42] для геометризации электрослабых взаимодействий, а также Тодом [66] в связи с "локальной гетеротической геометрией", возникающей в (4, 0) суперсимметричных сг-моделях, и с теорией самодуальных пространств Вейля-Эйнштейна. Отметим здесь, что бессдвиговые конгруэнции на трехмерных пространствах Вейля-Эйнштейна привлекли к себе значительное внимание в последнее время в связи "минитвисторным" соответствием Джонса-Тода, описывающем самодуальные конформные 4-многообразия (см., например, обзор [22]).

Другой подход к обобщению уравнений алгебродинамики на римано-вы пространства связан с введением локальной алгебры, заданной в слое касательного расслоения к многообразию. Следует заметить, что первые попытки реализации алгебродинамической программы на искривленных многообразиях предпринимались еще в монографии [7]. Отметим также интересные связи между "локальной" алгеброй бикватернионов и отвечающей ей геометрией многообразия (так называемая теория "локального Q-базиса"), а также её физические приложения, изученные в работах Ефремова [6, 74].

С общей точки зрения предлагаемый подход связан с математической теорией алгеброидов (см. например [28]), обобщающей понятие связности на векторных расслоениях. Отметим, что близкие идеи предложены в работе [18], где предлагается деформировать коммутационные соотношения для генераторов алгебры обычной калибровочной теории и алгебры векторных полей, что позволяет обобщить стандартное понятие ковариантной производной, смешивающей теперь "внутренние" (калибровочные) и "внешние" (пространственно-временные) степени свободы.

В этой связи условия дифференцируемости функций алгебраического переменного обобщаются на случай локальных алгебр для пространств с произвольной аффинной связностью. Рассматриваемая в диссертационной работе модель, реализующая подобное обобщение и основанная на связности Вайценбёка, тесно связана с телепараллельной теорией гравитации, возникающей как калибровочная теория для группы трансляций. При этом основным физико-геометрическим объектом исследования является отвечающее функциям локального алгебраического переменного калибровочное поле. Изучается также возможность введения локальной алгебры к касательном слое риманова пространства, согласованной со связностью Леви-Чивита.

Цель работы.

1. Изучение решений уравнений алгебродинамики в пространстве Минковского и структуры отвечающих им бессдвиговых изотропных конгруэнций. Исследование свойств ассоциированных решений уравнений Максвелла и построение всех точных, т. е. представимых в явном виде, решений, обладающих аксиальной симметрией.

2. Нахождение возможных деформаций метрики, сохраняющих вид решений однородных уравнений Максвелла в плоском пространстве.

3. Изучение связей бессдвиговых изотропных конгруэнций (БСК) в ри-мановом пространстве с геометрией типа Вейля-Картана и другими физико-геометрическими структурами.

4. Построение и изучение свойств решений однородных уравнений Максвелла, ассоциированных с БСК на римановом многообразии, а также соответствующих спинорных уравнений, обобщающих уравнения д'Аламбера и эйконала.

5. Обобщение условий дифференцируемое™ функций, принимающих значения в некоммутативной ассоциативной алгебре на случай произвольных аффинных многообразий. Изучение свойств решений соответствующих уравнений и ассоциированного калибровочного поля на фоне пространства со связностью Вайценбёка. Построение локальной алгебры в касательном расслоении риманова пространства.

Научная новизна работы.

Обнаружены сложные структура и динамика сингулярных решений уравнений Максвелла, отвечающих полученным новым решениям уравнений алгебродинамики, нейтральных или обладающих фиксированным электрическим зарядом. Доказана эквивалентность специального класса бессдвиговых изотропных конгруэнций (БСК) ковариантно-постоянным полям в пространствах со связностью Вейля-Картана. Предложен новый способ генерации решений уравнений Максвелла на искривленном римановом пространстве из решений уравнений БСК. Введены инвариантные спинорные дифференциальные операторы, естественным образом связанные с БСК. Предложено обобщение условий дифференцируемое™ на случай функций локального алгебраического переменного на фоне пространства со связностью Вайценбека и риманова пространства.

Методика исследования.

В работе используется 2-спинорный и твисторный формализмы Пенроуза, методы классической дифференциальной геометрии и теории расслоенных пространств.

Научная и практическая ценность.

Работа имеет теоретическое значение. Предложенные методы носят общий характер и могут быть применены в различных теоретико-полевых моделях. Полученные результаты можно использовать при поиске точных решений уравнений Максвелла и системы Максвелла-Эйнштейна в искривленном пространстве-времени, при изучении геометрии бозонных секторов суперсимметричных моделей и геометрии комплексных пространств, связанных с квантовой гравитацией, а также для развития алгебродинамического подхода к теории поля.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на ежегодных научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН (1998, 2001), на X Российской гравитационной конференции (Владимир, 1999), на XII Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга - 12" (Казань, 2000), на V Международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, 2001), на XI Международной конференции "Теоретические и экспериментальные проблемы ОТО и гравитации" (Томск, 2002), на Международной конференции "Новая геометрия природы" (г.Казань, 2003), на III Международной школе-семинаре "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии" (Ульяновск, 2003).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 14 работ [75]- [88].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, раздела "Основные понятия и обозначения", трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Формулы обозначаются двумя цифрами, где первая означает номер главы, а вторая - номер формулы. Параграфы обозначаются двумя цифрами, где первая означает номер главы, а вторая - номер параграфа. Полный объем работы - 96 страниц машинописного текста, библиография содержит 88 наименований.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Выводы по диссертации

6. Для случая произвольного афинно-метрического многообразия предложено условие дифференцируемости функций, принимающих значения в локальной алгебре 21. Для случая пространств со связностью Вайценбёка показано, что следствием условий дифференцируемости является условие обобщенной самодуальности калибровочного поля, ассоциированного с 21-дифференцируемыми функциями.

В заключение сформулируем основные выводы по результатам, полученным в диссертации.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Тришин, Владимир Николаевич, Москва

1. Алексеев Г. А., Хлебников В.И. Формализм Ньюмена-Пенроуза и его применение в общей теории относительности // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1978. - т. 9. - с. 1070

2. Г. Бейтмен Математическая теория распространения электромагнитных волн. Москва:Физматгиз, 1958.

3. Буринский А. Я. Микрогеон со спином // Журнал экс. и теор. физ. 1974. - т. 66. - с. 406.

4. Буринский А. Я. Струны в метриках Керра-Шилда // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. 1980. - т. 11. - с. 47

5. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд-во КГУ, 1985.

6. Ефремов А.П. Основы кватернионной теории относительности I. Кинематика инерциальных систем отсчета // Вестник РУДН, серия "Физика". 1995. -т. 3. - с. 117.

7. Кассандров В. В. Алгебраическая структура пространства-времени и алгебро-динамика. М.: Изд-во РУДН, 1992.

8. Кассандров В. В. Алгебродинамика: кватернионы, твисторы, частицы. // Вестник РУДН, серия "Физика". - 2000. - т. 8. - с. 34.

9. Крамер Д., Штефани X., Херльт Э., Мак-Каллум М. Точные решения уравнений Эйнштейна. М.: Энергоатомиздат, 1982.

10. Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. / 3-е изд., испр. М.: Эди-ториал УРСС, 2000.

11. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

12. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время т. 1, 2 М.: Мир, 1986, 1988.

13. Рубаков В. А., Классические калибровочные поля. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

14. Степанов С. Е. Тензор Киллинга-Яно // Теор. и матем. физика. 2003. - т. 134. - с. 380.

15. Фролов В. П. Метод Ньюмена-Пенроуза в общей теории относительности. -// Труды ФИАН СССР. М.:Наука. - 1977. - т. 96. - с. 72.

16. Уилер Дж., Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

17. Adam С. Hopf maps as static solutions of the complex eikonal equation, e-print math-ph/0312031. 2003.

18. Aldrovandi R., Barbosa A.L. Enlarged geometries of gauge bundles // Int. J. Theor. Phys. 2000. - V. 39. - P. 2779.

19. Benn I. M. A unified description of null and non-null shear-free congruences //J. Math. Phys. 1994. - V. 35. - P. 1796.

20. Benn I. M., Charlton P., Kress J. Debye potentials for Maxwell and Dirac fields from a generalisation of the Killing-Yano equation //J. Math. Phys. 1997. - V. 38. - P. 4504.

21. Burinskii A. Kerr Spinning Particle, Strings, and Superparticle Models // Phys. Rev. 1998. - V. D57. - P. 2392.

22. Calderbank D. M. J., Pedersen H. Self dual spaces with complex structures Einstein-Weyl geometry and geodesies // Ann. Inst. Fourier. 2000. - V. 50. - P. 921-963

23. Carter B. Global structure of the Kerr family of gravitational fields // Phys. Rev. -1968. V. 174. - P. 1559.

24. Cohen J. M., Kegeles L. S. Electromagnetic fields in curved spaces: a constructive procedure // Phys. Rev. 1974. - V. D 10. - P. 1070.

25. Cohen J. M., Kegeles L. S. Constructive procedure for perturbations of spacetimes // Phys. Rev. 1979. - V. D 19. - P. 1641.

26. Debney G. C., Kerr R. P., Schild A. Solutions of the Einstein-Maxwell equations // J. Math. Phys. 1969. - V. 10. - P. 1842

27. Dietz W., Rudiger R. Shearfree congruences of null geodesies and Killing tensors U Gen. Rel. and Grav. 1980. - V. 12. - P. 545.

28. Goldberg J. N., Sachs R. K. A theorem on Petrov types // Acta Phys. Polon. 1962.- V. 22. P. 13.

29. Grabowski J., Urbanski P. Algebroids general differential calculi on vector bundles, e-print math.DG/9909174. - 1999.

30. Grgin E. Relativistic ring extension of the field of complex numbers // Physics Letters. 1998. - V. B431. - P. 15.

31. Hickman J.D.E., Mcintosh С. В. G. Complex relativity and real solutions. I: Introduction. 11 Gen. Rel. and Grav. 1985. - V. 17. - P. 111.

32. Hall G. S., Hickman M. S., Mcintosh С. B. G. Complex relativity and real solutions. II: Classification of complex bivectors and metric classes. // Gen. Rel. and Grav. -1985. V. 17. - P. 475.

33. Hickman M. S., Mcintosh С. B. G. Complex relativity and real solutions. Ill: Real type-N solutions from complex N ® N ones. // Gen. Rel. and Grav. 1986. - V. 18.- P. 107.

34. Holland J. E., Sparling G. A. J. Null electromagnetic fields and relative CR embeddings, e-print math-ph/0110041. 2001.

35. Hughston L. P. Remarks on Sommers' theorem // Class. Quantum Grav. 1987. -V. 4. - P. 1809.

36. Kassandrov V. V. Biquaternion electrodynamics and Weyl-Cartan geometry of space-time // Grav. & Cosm. 1995. - V. 1. - P. 216-222.

37. Kassandrov V. V. Conformal mappings hyperanalyticity and field dynamics // Acta Applic. Math. 1998. - V. 50. - P. 197-206.

38. Kassandrov V. V., Rizcalla J. A. // Тезисы докладов 10-й Российской гравитационной конференции. Владимир. - 1999. - с. 122.

39. Kassandrov V. V. General solution of the complex 4-eikonal equation and the 'algebrodynamical' field theory // Grav. &: Cosm. 2002. - V. 8. - P. 57.

40. Kassandrov V. V. Singular sources of Maxwell fields with self-quantized electric charge // Has the last word been said on classical electrodynamics? New horizons, (eds. Chubykalo A. etc.) - P. 42-66. - Princeton: Rinton Press, 2004.

41. Kassandrov V. V., Rizcallah J. A. Algebrodynamical approach in field theory: bisingular solution and its modifications // Recent problems in field theory (ed. Aminova A. V.) Kazan: Kazan University Press. - 1998. - P. 176.

42. Kassandrov V. V., Rizcallah J. A. Twistor and "weak" gauge strucrures in the framework of quaternionic analysis, e-print gr-qc/0012109. 2000.

43. Kassandrov V. V., Rizcallah J. A. Particles as field singularities in the unified algebraic dynamics // Proc. XXV workshop on the fundamental problems of high energy physics and field theory. Protvino. - 2002.

44. Kerr R. P., Wilson W. B. Singularities in the Kerr-Schild metrics // Gen. Rel. Grav.- 1979 . V. 10. - P. 273-281.

45. Krechet V. G. Geometrization of physical interactions 5-dimensional theories and the many-world problem // Grav. & Cosm. 1995 . - V. 1. - P. 199-203.

46. Lanczos C. The relations of the homogeneous Maxwell's equations to the theory of functions // Cornelius Lanczos collected published papers with commentaries (W. R. Davis et al., eds.). North Carolina State University, Raleigh. - 1998. - V. VI. -P. A-l.

47. Lewandowski J. Twistor equation in a curved spacetime // Class. Quantum Grav.- 1991 . V. 8. - P. Lll.

48. Lewandowski J., Nurowski P. Algebraically special twisting gravitational fields and CR structures // Class. Quantum Grav. 1990 . - V. 7. - P. 309.

49. Lewandowski J., Nurowski P., Tafel J. Einstein's equations and realizability of CR manifolds // Class. Quantum Grav. 1990 . - V. 7. - P. L241.

50. Lind R. W. Shear-free twisting Einstein-Maxwell metrics // Gen. Rel. Grav. 1974 . - V. 5. - P. 25.

51. Lind R. W., Newman E. T. Complexification of the algebraically special gravitational fields I j J. Math. Phys. 1974 . - V. 15. - P. 1103.

52. Lopes C. A. Extended model of the electron in general relativity // Phys. Rev. -1984 . V. D30. - P. 313-316.

53. Newman E. Т., Posadas R. Motion and structure of singularities in general relativity 11 Phys. Rev. 1969 . - V. 187. - P. 1784.

54. Newman Е. Т. Maxwell fields and shear-free null geodesic congruences // Class. Quantum Grav. 2004. - V. 21. - P. 3197.

55. Novikov D., Yakovenko S. Lectures on meromorphic flat connections e-print math.CA/0212334. 2002 .

56. Nurowski P., Plebanski J. F. Non-vacuum twisting type-N metrics // Class. Quantum Grav. 2001. - V. 18. - P. 341.

57. Nurowski P., Trautman A. Robinson Manifolds as the Lorentzian Analogs of Hermite Manifolds e-print math.DG/0201266. 2002 .

58. Penrose R. Spinors and torsion in general relativity // Found, of Physics. 1983. -V. 13. - P. 325-339.

59. Penrose R. Twistor geometry of light rays // Class. Quantum Grav. 1997. - V. 14.- P. A299.

60. Plebanski J. Some solutions of complex Einstein equations //J. Math. Phys. 1975.- V. 16. P. 2395.

61. Ranada A. F. Topological electromagnetism // J. Phys. A 1992. - V. 25. - P. 1621. Ranada A. F., Trueba J. L. Two properties of electromagnetic knots // Physics Letters A - 1997. - V. 232. - P. 25.

62. Robinson D. C. Holomorphic 4-Tnetrics and Lorentzian structures // Gen. Rel. and Grav. 2002. - V. 34. - P. 1173.

63. Robinson I. Null electromagnetic fields // J. Math. Phys. 1961. - V. 2. - P. 290.

64. Robinson I., Schild A. Generalization of a theorem by Goldberg and Sachs //J. Math. Phys. 1963. - V. 4. - P. 484.

65. Robinson I., Trautman А. Сonformal geometry of flows in n-dimensions //J. Math. Phys. 1983. - V. 24. - P. 1425.

66. Sommers P. Properties of shear-free congruences of null geodesies // Proc. R. Soc. London Ser. 1976. - V. A349. - P. 309.

67. Sommers P. Type N vacuum space-times as special functions in C2 // Gen. Rel. and Grav. 1977. - V. 8. - P. 855.

68. Tafel J. On the Robinson theorem and shearfree geodesic null congruences // Letters in Math. Phys. 1985. - V. 10. - P. 33.

69. Tod К. P. Local heterotic geometry and self-dual Einstein-Weyl spaces // Class. Quantum Grav. 1996. - V. 13. - P. 2609.

70. Torres del Castillo G. F. Invariance of the massless field equations under changes of the metric 11 Gen. Rel. and Grav. 1998. - V. 30. - P. 379.

71. Torres del Castillo G. F. Debye potentials for self-dual fields // Gen. Rel. and Grav. 1999. - V. 31. - P. 205.

72. Trautman A. Robinson manifolds and Cauchy-Riemann spaces // Class. Quantum Grav. 2002. - V. 19. - P. Rl.

73. Vladimirov Yu. S., Solov'yov A. V. Finslerian N-spinors: Algebra // Int. J. Theor. Phys. 2001. - V. 40. - P. 1511.

74. Ward R. S., Wells R. O. Twistor geometry and field theory. Cambridge: CUP, 1990.

75. Wereszczynski A. Knotted multi-soliton configurations with arbitrary Hopf index from the eikonal equation e-print hep-th/0410148, 2004.

76. Woodhouse N. M. J. The symplectic and twistor geometry of the general isomonodromic deformation problem e-print nlin.SI/0007024, 2000.

77. Yefremov A. P. Quaternionic relativity. I. Inertial motion // Gravitation and Cosmology. 1996. - V. 2. - P. 77.

78. Yefremov A. P. Quaternionic relativity. II. Non-inertial motion // Gravitation and Cosmology. 1996. - V. 2. - P. 335.

79. Yefremov A. P. Rotational relativity // Acta Phys. Hungarica, New Series Heavy Ion Physics. - 2000. - V. 11, - P. 147.

80. Кассандров В. В., Тришин В. Н. Спиралевидные источники в бикватернион-ной электродинамике // XXXIV Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук: Тезисы докладов. Физические секции. -М.: Изд-во РУДН. 1998. - с. 8-9.

81. Kassandrov V. V., Trishin V. N. Particle-like singular solutions in Einstein-Maxwell theory and in algebraic dynamics // Gravitation and Cosmology. 1999 . - V. 5. -P. 272-276.

82. Тришин В. H. Электромагнитные поля инвариантные при деформации метрики // XII Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы докладов. Казань: "Хэтер".- 2000. с. 74.

83. Тришин В. Н. О реализации алгебродинамического подхода на многообразиях общего вида // Вестник РУДН, серия "Физика". 2002. - т. 10. - с. 13-15.

84. Kassandrov V. V., Trishin V. N. Algebr о dynamics on the space-time manifold // XI Международная конференция "Теоретические и экспериментальные проблемы ОТО и гравитации": Тезисы докладов. Томск. - 2002. - с. 61.

85. Trishin V. N. Hyperdifferentiability conditions for general manifolds // XIV Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической иматематической физики. Тезисы докладов. Казань: "Издательство РегентЪ".- 2002. с. 36.

86. Kassandrov V. V., Trishin V. N. Shear-free null geodesic and associated physical fields // Тезисы докладов третьей Ульяновской международной Школы-семинара "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии" UISS-2003.- Ульяновск:УлГУ. 2003. - с. 25.

87. Кассандров В.В., Тришин В.Н. Бессдвиговые геодезические и ассоциированные электромагнитные поля на искривленных многообразиях // Труды объединенной международной конференции "Новая геометрия природы". Казань:КГУ. -2003. - т. IV., с. 77-84.

88. Kassandrov V. V., Trishin V. N. Effective connections and fields associated with shear-free null congruences // Gen. Rel. and Grav. 2004.^- V. 36. - P. 1603-1612.