Точные решения вакуумных уравнений Эйнштейна для алгебраически специальных полей тяготения с космологической постоянной тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

г. ~ " Л Г?

« 4 О V м

На правах рукописи

1 1 НОЯ 1955

ТИМОФЕЕВ ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ВАКУУМНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА ЛЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ ТЯГОТЕНИЯ С КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1996

Работа выполнена на кафедре теории относительности и гравитации Казанского государственного университета.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физ.-мат. наук, профессор В.Р. Кайгородов

доктор физ.-мат. наук, профессор Н.Р. Сибгатуллин

кандидат физ.-мат. наук, доцент М.Ш. Якупов

Томский государственный университет

Защита диссертации состоится « иоя/рА 1996 Года в 4 часов на заседании Диссертационного Совета Л 053.29.02. при Казанском государственном университете (420008, Казань, ул. Ленина 18).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " 2- 1996 года.

Ученый секретарь Лиссерташгошого Совета, доктор физ.-мат. наук,

профессор Еремин М.В.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

В общей теории относительности взаимосвязь геометрии пространства -времени (отождествляемой с гравитационным полем) с различными характеристиками и поведением других видов материи, заполняющей физическое пространство, определяется уравнениями Эйнштейна

Rij - \Rgn + Äff,7 = ~кТИ. С1)

где t,j = 1,2,3,4; Ду-тензор Риччи, построенный по четырехмерной пространственно-временной метрике д^; R = д11 Rij -скаляр Риччи; Л -космологическая постоянная; к = ^-эйнштейновская гравитационная постоянная; Tij -тензор энергии-импульса всех тлеющихся в пространстве негравитационных видов материи с учетом их взаимодействия.

В теории гравитации Эйнштейна, как и в любой нелинейной теории, при изучении сложного, нелинейного характера взаимодействия гравитационных полей различных источников друг с другом и с другими видами материи, особое место занимает поиск и исследование разнообразных семейств точных решений уравнений поля. Выделение среди этих решений простых модельных конфигураций, их детальное исследование позволяет выявлять многие качественные особенности рассматриваемых полей и процесса их взаимодействия. Обладающие ясным физическим содержанием, вти модельные конфигурации могут оказаться весьма полезными при обсуждении многих вопросов теории гравитации и различных ее приложений в космологии, физике компактных космических объектов, теории излучения, распространения и взаимодействия волн. Очевидными примерами, когда точные решения сыграли очень важную роль для понимания и обсуждения физических проблем, являются решения Шварцпшльда и Керра для черных дыр, решение Фридмана в космологии и решение для плоских воин, которые помогли преодолеть некоторые затруднения в вопросе о существовании гравитационного излучения. Несмотря на то, что в данной области работали большое число исследователей и бмтти достигнуты значительные успехи, к сожалению, у большинства известных решений отсутствует физическое

истолкование. В число задач, для которых не получено точного решения, входят: решение для вращающейся двойной звезды, внутреннее решение Керра, реалистическое описание нашей неоднородной Вселенной, генерация и распространение гравитационного излучения от реалистического ограниченного источника.

Поиск точных решений уравнений Эйнштейна представляет собой крайне сложную задачу, и как нам кажется, именно поэтому в течение первых нескольких десятилетий было получено ограниченное количество точных решений. Здесь необходимо заметить, что, по той же причине, термином «точные решения» во многих статьях и монографиях пользуются в смысле указания вида метрики с произвольными функциями от двух и трех переменных , на которые наложено минимальное число дифференциальных связей. Лля пояснения этих слов приведем цитату из известной монографии Крамера и др.: «Ясно, что если компоненты метрики можно задать в допустимой системе координат с помощью общеизвестных аналитических функций (полиномов, тригонометрических и гиперболических функций и т.п.), то эту метрику можно назвать точным решением. При этом нет оснований исключать какую-либо аналитическую функцию, даже если она определяется только некоторой системой дифференциальных уравнений. Поэтому смысл термина «точное решение» становится более расплывчатым, чем хотелось бы...».

В данной диссертационной работе постановка задачи предполагает нахождение точных решений уравнений Эйнштейна в вакууме (Ту = 0). Здесь уравнения Эйнштейна принимают вид

В областях пространства с размерами порядка Солнечной системы эффекты от космологической постоянной пренебрежимо малы, и в следствие итого, наравне с уравнениями (2) в литературе рассматривают уравнения

в котором космологическая постоянная считается равным нулю.

Но с увеличением размеров рассматриваемой области эффекты от космологической постоянной возрастают, и поэтому наиболее общей постановкой задачи поиска точных вакуумных решений

(2)

Яу = 0,

(3)

нужно стегать интегрирование уравнений поля (2) с учетом космологической постоянной.

Решения уравнений (2) и (3) являются аналогом решений уравнений Ладласа в классической теории гравитационного поля и определяют геометрию пространства-времени в областях свободных от материи (при островном распределении массивных объектов). Пространства-времена удовлетворяющие уравнениям поля (2) и (3) получили название пространств Эйнштейна.

В 1954 году А.З.Петровым в работе [1] была дана классификация пространств Эйнштейна в зависимости от алгебраической структуры тензора Вейля. Затем, благодаря работам Сакса были поняты оптические свойства алгебраически специальных вакуумных полей тяготения, являющиеся основным объектом изучения в диссертации. Оба эти новшества привели к развитию метода изотропных тетрад (формализм Ныомена-Пенроуза), который органически сочетается со структурой световых конусов алгебраически специальных полей и с классификацией Петрова. С помощью этого метода было получено большое количество точных решений, в том числе полное семейство вакуумных решений типа Б по Петрову.

Алгебраически специальные поля тяготения образуют класс решений уравнений Эйнштейна, состоящий из объединения всех решений типов II, I), III, N по Петрову. Такие решения обладают тем общим свойством, что допускают по крайней мере, двукратный изотропный собственный вектор тензора Вейля, который задает геодезическую, бессдвиговую конгруэнцию изотропных кривых, причем расширение и вращение конгруэнции однозначно определяется спиновым коэффициентом р = -{в + гш), где в, и) -действительные функции, соответственно, описывающие расширение и вращение.

Для уравнений поля = 0, в случае р ф 0, рядом авторов [2], [4], (7) был найден общий вид метрики для алгебраически специальных полей, который задается с точностью до трех действительных функций от трех переменных удовлетворяющих системе из четырех дифференциальных уравнений. Из этой метрики при некоторых допущениях математического и физического характера были выделены: классы вакуумных точных решений.

Случай р = 0 первым рассмотрел Кундт, поэтому класс реше-

Таблица 1: Алгебраически специальные вакуумные решения уравнений Эйнштейна

Типы Л = 0 Л^О

Пет-

рова рф 0 р = 0 рф 0 р = 0

II Керр, Шилд, Кундт, Крамер,

Дебни и др. Нойгебауер # *

(частные (частные

решения). решения).

D Кшшерсли Киннерсли Гарсиа, Гарсиа,

(общее (общее Плебаньски, Плебаньски,

решение). решение). Демьянски Демьянски

(общее (общее

решение). решение).

III Сопин Кундт

(частные (общее * *

решения). решение).

N Сонин, Кундт Гарсиа

Хаузер (общее * (общее

(частные решение). решение).

решения).

ний, допускающий нерасширяющуюся изотропную конгруэнцию без вращения называется классом Кундта. При Л =* 0, для класса Кундта были получены все решения принадлежащие к типам D, III и N, а для типа II известны только частные решения.

Необходимо отметить, что в литературе большинство алгебраически специальных вакуумных точных решений приведены без учета космологической постоянной.

Ситуацию сложившуюся, а настоящее время, для вакуумных алгебраически специальных точных решений уравнений Эйнштейна, в зависимости равна нулю или нет космологическая постоянная можно представить в виде таблицы I ( область, исследуемая в диссертации обозначена звездочкой- { * }).

Целью диссертационной работы является отыскание алгебраически специальных вакуумных точных решений уравнений Эйнштейна Itij = б Äff ¿у, где Л = 6Л -космологическая постоянная.

1) Выбирая подходящую тетраду и систему координат, а также применяя теорему Гольдберга-Сакса, в случае, когда изотропная геодезическая конгруэнция обладает расширением, упростить вид основпвд уразяеакй формализма Ньюмена-Пепроуза и найти зависимость от координаты а1 = г компонент изотропной тетрады, спиновых коэффициентов и скаляров Вейля. Затем подставляя охи результаты в оставшиеся уравнения привести их в полиномы по степеням г и приравнивая коэффициенты при различных степенях получить дифференциальные уравнения для функций от трех переменных (ж2,г3,14) - систему редуцированных уравнений.

2) С помощью оставшегося произвола допустимых преобразований тетрады и координат упростить редуцированные уравнения и постараться сократить число неизвестных функций. Вывести класс метрик для алгебраически специальных вакуумных полей тяготения с учетом космологической постоянной.

3) При дополнительных допущениях относительно свойств изотропной геодезической конгруэнции и групповых свойств пространства-времени выделить подклассы общего класса алгебраически специальных решений с космологической постоянной

Методы исследования. Используется формализм Ньюмена-Пенроуза, теорема Гольдберга- Сакса и инвариантно групповые методы. '

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие основные новые результаты:

1) В выбранной изотропной тетраде применяя теорему Гольд-бергагСакса и выбирая аффинный параметр г вдоль лучей конгруэнции за координату я1 интегрирована по координате г часть основных уравнений формализма Ныомена-Пенроуза и найдена зависимость от г всех компонент тетрады, спиновых коэффициентов и скаляров Вейля. Оставшаяся часть основных уравнений сведена к системе редуцированных уравнений, т.е. к системе дифференциальных уравнений первого порядка с меньшим числом неизвестных функций, которые зависят от трех координат

2) Получен класс метрик для алгебраически специальных ва-

куушшх полей тяготения с космологической постоянной с точ-

ностью до четырех функций (две комплекснозначные функции Ь

и Фг) удовлетворяющих системе из четырех дифференциальных уравнений.

3) Рассмотрены алгебраически специальные поля тяготения допускающие однопараиетркческую группу изометрий. Получен класс метрик для алгебраически специальных пространств Эйнштейна допускающих вакуумно-нерасходящееся векторное поле Киллинга, где вектор Киллинга называется вакуумно-нерасходя-пшмся, если, в случае Л = 0, квадрат нормы вектора в пределе г —> оо не зависит от координаты г.

4) Найдены частные алгебраически специальные решения уравнений = 6Лду относящиеся к типу II по Петрову.

5) Обобщены на случай Л ф 0 результаты Уэйра и Керра, которые рассмотрели случай, когда функции входящие в метрику не зависят от координат £ и £.

6) В классе решений Кундта (р = 0) обобщены на случай Л ф О решения полученные Кундтом для типов III и N по Петрову.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты полученные в диссертационной работе могут быть использованы при обсуждении многих вопросов теории гравитации. В частности, в приложениях ОТО в космологии, физике компактных космических объектов, теории излучения, распространения и взаимодействия гравитационных волн.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно обсуждались в Казанском государственном университете на семинаре кафедры теории относительности и гравитации под руководством проф. В. Р. Кайгородова, а также докладывались на международном научном семинаре, посвященном 100-летию со дяя рождения П. А. Широкова (г. Казань, 1995 г.), на международной конференции «Геометризация физики» (г. Казань, 1995 г.) и на 9 российской гравитационной конференции (г. Новгород, 1996 г.).

Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 81 названий. Работа изложена на 120 страницах машинописного текста.

в

II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ааэдгпгш обоспозывается актуальность, ставятся цели и задалш иеваддфпвяня, п также пригодится араткое содержание диссертация.

Первая глава диссертации носит вводный характер.

В параграфах 1 п 2 дается тетрадное представление тензорных объектов и их копариаптных производных, лежащих в основе построения общей теории относительности.

В параграфах 3 п 4 подробно изложен формализм Ньюмена-Пеироуза и выписаны основные дифференциальные уравнения для спиновых коэффициентов и скаляров Вейля.

В параграфе 5 приведена классификация Петрова и доказана теорема Гольдберга-Сакса.

В параграфа О рассмотрены геометрические свойства геодезической конгруэнции изотропных кривых и выяснен геометрический смысл некоторых спиновых коэффициентов. В этой главе также содержится краткий обзор алгебраически специальных вакуумных точных решений.

Вторая глаза посвящена интегрированиям основных уравнений формализма Ньюмена-Пенроуза при условии существования комплексного расширения р ф 0 для конгруэнции изотропных геодезических.

В параграфах О п 0 показано, что если если изотропный вектор V тетрады выбрать вдоль двукратно вырожденного главного изотропного направления иг- является аффинным параметром вдоль V, то тетрада, спиновые коэффициенты и скаляры Вейля имеют вид:

Изотропная тетрада.

V = (1;0;0;0); = (т»\»2,г»3,п4); т1 = (т*1)* = (т\т2,т3,т4),

= -----+ Аг — (7+ 7 )г + п »

~п "И ГГ

„ л*

где [.] = г + щ р- дейсвительная функция от (г2, ж3, г4) у Вещественные п1,«0 и комллекснозначные т1,»?!0 функции зависят от переменных (я2, г3, ®4). Функции п" и т° определяют .трехмерные дифференциальные операторы, которые имеют следующий вид

А = пади> 6 = тада> 6* = т"ада. Спиновые коэффициенты.

к=гг = с=!г = 0 г

Фаг £ н ,

р = 1 тг1

а 0 = А А-Л-№ А Л г*

&Т

7= " ~ М ~ 2[-]2 "

[*][•? М л

М+'ЛГ+2|4) (.]" 2|.)з , ЗФ5(6+/?*) +¿'йз Фз, .

+-5П3--(Г"'

А А

где т, а, р, Л, /¡, 7, )> - кошзлекснозначные функции от координат (а;2,®3,®4)«

Скаляры В силе. ф0 = Ф1 = О,

3 М3'

А , Л. А _ А. АЛ А

Ф _ ЗУа(»й*1 + ¡6*р) + + Фз

3" 2Ц* ~ И® +[.]2' ш - ¿'Фз + 2Ф3(а + + 2дФ3 . 4" М [.]' +

19 *

+ /з») + 35*Фз + Заф2]+

(т^И^) , З&^Ь'1№3(а 4- э*> * + [.]». Щ* ~ [.]

* , А Л А . А А А А А А А

+ 6*р') + У ¿*Ф2 + ЗАФ» + 2а6*Ф3 2[.]з

2[.]<

где Фз, Ф3, Ф«— комплекснозначные функции (г2, г3, л;4).

В параграфе 10 подставляя результаты приведенные в§8 и §9 в уравнения Ныомена-Пенроуза (Н-П), тождества Вианки и приравнивая к нулю коэффициенты перед различными степенями переменной г получена система редуцированных уравнений, т.е. система дифференциальных уравнений для функций трех переменных входящих а компоненты тетрады, спиновые коэффициенты и скаляры Вейяя.

В параграфе 11 с помощью оставшихся допустимых преобраг зований координат и тетрады система редуцированных уравнений сводится к системе га четырех дифференциальных уравнений в частных производных для двух комялекснозначных функций Ь и Ф3 от трех координат

&(Фа + Ш*Ь") ~ дгбЬ-дг^Ь* + К№1 + 2АЮ&Ц

- 6*6*8Ь = ©У - - 2А(6Ь* - 6*Ь)3-,

6Щ = -ЗФзй£, (4)

где

Фх = 3{Ы* - Н){№1 - Ы*Ь').

В случае А — 0 уравнения (4) переходят в уравнения полученные Керром [4].

Кроме того, в этом параграфе доказано справедливость следующего утверждения:

Вакуумное пространство-время допускает геодезическую, бессдвиговую и расширяющуюся изотропную конгруэнцию и удовлетворяет полевым уравнениям Яу = 6Агде А = 6А- космологическая постоянная, только в тон случае, если существует

система координат (г, х*, i, f), в котором метрика имеет вид

da1 = 2a;V-2iАД (5)

w{ = ¿г + (¡¿fi + + (-iS*p + {*)&£*)# +

w3 = dza - Ld{ - L'd(;

где функции входящие в метрику удовлетворяют соотношением [.] = г + ip; [*] = г — ip : 2ip = 6L* - £*L\ 6= Ld2 + df, Я = Ц 4- - Лгг - 5Лр2 + + ¿'(hi).

Метрика определяется двумя комплекснозначными функциями L и Ф} удовлетворяющими уравнениям (5).

В третьей главе выделяются подклассы общего класса алгебраически специальных пространств Эйнштейна (Иц — 0Л<^) при тех или иных предположениях относительно изотропной геодезической конгруэнции и групповых свойств пространства.

В параграфе 12 для полноты рассмотрений приведено полное семейство вакуумных решений типа D по Петрову с космологической постоянной, полученные в работах [3], [б].

В параграфе 13 рассмотрены алгебраически специальные ваг куумные поля с комплексным расширением допускающие одно-параметрическую группу изометрических движений. Векторное поле Киллинга проектируется на выбранную изотропную тетраду, а уравнения Киллинга записываются в тетрадных индексах. Часть в тих уравнений интегрируются по координате г и дают зависимость тетрадных компонент вектора Киллинга от координаты г. Затем, аналогично процедуре проведенной в §10, подставляя их в оставшиеся уравнения Киллинга и приравнивая к нулю коэффициенты перед различными степенями г получим соотношения связывающие компоненты вектора Киллинга со спиновыми коэффициентами.

В параграфе 14 введено следующее определение: Вектор Киллинга называем вакуумно-перасходящимся, если при условии

Л = 0 квадрат нормы вектора Киплинга в пределе г —► оо не зависит от координаты г.

Справедливо следующее утверждение:

Алгебраически специальные поля тяготения с ненулевым комплексным расширением (р ф 0) и удовлетворяющие уравнениям поля в виде Rij = 6Agry донускагот однопараметрическую группу изометрических движений с вакуумио-нерасходящимся векторным полем Киллинга только в том случае, когда существует система координат (г, х2, (, (), в котором метрика имеет вид

w1 = dr + (Ц + у* - Лг1 - Л(( ++ Ар3 + с)

(dz3-Ldt-l*dt) + idipdZ-dipdZ't w* = dx2 - Щ -

и — и —-,

т

где комплекснозначные функции L — и Ф3 = £) и ве-

щественная функция т = удовлетворяют дифференциаль-

ным уравнениям

Alnm - 12Л/53 - 2Л(£ + £) + 2С;

irr»1^ = 2»р(л(£ + 0 ~ 2Лр2 - (?) + |(Ф; - (б)

где Л, С - conrf; 2»/5 = т3(д(1* - .

В параграфе 15 рассматриваются частные решения уравнений (б).

Параграф 16. Класс метрик для алгебраически специальных вакуумных полей с расширением, приведенную в §11, можно переписать в альтернативной форме, из которой нетрудно получить вакуумную метрику Робинсонк-Траутмана описывающую пространство-время допускающую расширяющуюся изотропную геодезическую конгруэнцию без вращения (Imp = 0) (§17).

В ккраграфэ 18 рассмотрен класс решений уравнений Щ — бhgij при предположении, что функции, входящие в метрику, не

зависят от координат £ и £. Эти решения обобщают результаты Уэйра и Керра [8] ва случай А ф О.

В последних двух параграфах (§19, §20) этой главы рассмотрен класс решений Кундта с космологической постоянной. Получены два класса решений типа III и N обобщающие решения Кундта [5] на случай, когда присутствует космологическая постоянная. Эти решения характеризуются тем свойством, что двумерная поверхность с метрикой (2mJd£d£), интерпретируемая как фронт гравитационной волны (волновая поверхность), является пространством постоянной кривизны с гауссовой кривизной, соответственно для обеих классов, К = 6Л, К = 2Л.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы:

- В выбранной изотропной тетраде найдена зависимость от координаты х1 = г, где г- аффинный параметр вдоль лучей изотропной конгруэнции, всех компонент тетрады, спиновых коэффициентов и скаляров Вейля.

- Основные уравнения формализма НьюменагПенроуза сведены к системе редуцированных уравнений, т.е. к системе дифференциальных уравнений первого порядка с меньшим числом неизвестных функций от трех координат (л;5, х3, х4), которые входят в компоненты тетрады, спиновые коэффициенты и скаляры Вейля.

- Получена метрика для алгебраически специальных вакуумных

полей тяготения с космологической постоянной с точностью до

к

четырех функций (две комплекснозначные функции L и Фг) удовлетворяющих системе из четырех дифференциальных уравнений.

- Рассмотрены алгебраически специальные поля тяготения допускающие однопараметрическую группу изометрий. Получена метрика для алгебраически специальных пространств Эйнштейна допускающих вакуумно-нерасходящееся векторное поле Киллин-га, где вектор Киллинга называется вакуумно-нерасходящимся, если, в случае Л = 0, квадрат нормы вектора в пределе г -+ оо не зависит от координаты г.

- Найдены частные алгебраически специальные решения уравнений Rij — Qhgij относящиеся к типу II по Петрову.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю - доктору фиэико -математических наук

проф. В.Р. К&йгородову, за постоянное внимание и поддержку при выполнении настоящей работы.

Сппсоз литературы

[1] Петров А. 3., Классификация пространств, определяемых полями тяготения / Уч. зап. Казан, ун-та.-1954.- Т. 114. - Кн. 8.- С. 55

[2] Debney G., Kerr R. P. and Schild A. Solutions of the Einstein and Einstein-Maxwell equations // J. Math. Phis.

- I960. - V. 10. - P. 1842

[3] Garcia A., Salazar H. Type D vacuum solutions with coamological constant // GRG. - 1984. - V.10. - P.417-422.

[4] Kerr R. P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metric // Phis. Rev. Lett.

- 1963. - V.ll. - P. 237

[5] Kundt WM Exact solutions of the field equations: twistfree radiation fields // Pros. Roy. Soc. Lend. - 1962. - V. A270. - P. 328

[6] Plebanski J. DemiansJri M. Rotating, charged and uniformly accelerating mass in general relativity // Ann. Phys. (USA) - 1976. - Y.08. - P.98

[7] Robinson I., Robinson J. R. and Zund J. D. Degenerate gravitational fields with twisting rays. //J. Math. Mech.

- 1969. - V.18. - P.881.

[8] Weir G. J., Kerr R.P. Diverging type D metrics. // Proc. Roy. Soc. Lond. - 1977. - V.355. - P.31.

По результатам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Кайгородов В. Р., Тимофеев В. Н. Алгебраически специальные поля тяготения с однопаранетрнческой группой движений. // Изв. вузов. Физика. - 1996. - No 5. - С.75.

2. Тимофеев В. H. Алгебраически специальные вакуумные поля тяготения с космологической постоянной. // Изв. вузов. Физика.

- 1996. - No 6,- С.102.

3. Kaigorodov V. R., Timofeev V. N. Algebraically special solutions of Einstein équations Яу = 6Адц. // Gravitation & Cosmology. - 1996. -No 2. - P. 41-45.

4. Тимофеев B.H. Обобщение класса решений Кундта для уравнений Эйнштейна с космологической постоянной. // Тез. докл. международной конф. «Геометризация физики». - Казань, 1995.

5. Тимофеев В.Н. Вакуумные алгебраически специальные точные решения. Книга 3. // Тез. докл. II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов. - Казань, 1996. -

в. Кайгородов В.Р., Тимофеев В.Н. Алгебраически специальные пространства Эйнштейна. // Тез. докл. 9 российской гравитационной конференции. - Новгород, 199В. - С. 25. 7. Тимофеев В.Н., Кайгородов В.Р. Обобщенные решения уравнений Эйнштейна класса Кундта с космологической постоянной. // Изв. вузов. Физика. - 1996. - N0 10. - С.81.

С. 50.