Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

(

РОССШСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ С ВЦ

На правах рукописи

ЛУЦЕНКО ВЛАДИМИР' ИВАНОВИЧ

БЕЗУСЛОВНЫЕ БАЗИСЫ ИЗ ЭКСПОНЕНТ В ПРОСТРАНСТВАХ СМИРНОВА (01.01.01-"математический анализ")

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

' УФА-1992

/ / -

/

Работа выполнена в Институте математики с ВЦ Уральского Отделения Российской Академии Наук

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

Юшмухаметов P.C.

Официальные опоненты - доктор физико-математических наук

Любарский Ю.И. ' кандидат физико-математических наук Хабибулин Б.Н.

Ведущая организация- . Ростовский государственный

. университет

Защита состоится

J5

о о

часов на заседании специализированного совета,К 003.59.01 по' присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук ,в Институте математики с ВЦ Уральского отделения РАН по адресу г.Уфа, ул.Черншевского,112.

С диссертацией мокно ознакомиться. в библиотеке • Института математики с ВЦ.

•• Автореферат разослан "¿2/" А^-у^иУ 19

Учений секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических наук ¡. .А.Б.Секерш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Настоящая работа посвящена вопросу описания сопряженного пространства к весовому гильбертовому пространству в терминах обобщенного преобразования Лапласа и некоторым его применениям, в частности, к изучению безусловных Оазисов й пространствах Смирнова.

Полученные в диссертации результаты являются некоторым обобщением теоремы Винера-Пали. Аналогичные задачи рассматривались в работах Д.Виддера, В.П.Гурария, Л.Бранка, Т.Г.Женчева, В.В.Напалкова, Р.С.&ямухаметова, Б.А.Державца, О.В.Епифанова. Гильбертовы пространства с нормой, определенной интегралом с некоторым весом рассматривались в работах Н.И.Ахиезера, В.П.Гурария, Р.А.Залика, Т.А.Созда, С.Саито.

Цель работы.

1) Описать сопряженное пространство к весовому гильбертовому пространству в терминах обобщенного преобразования Лапласа.

2) Описать сопряженное пространство к пространству Смирнова в тех же терминах.

3) Изучить свойства безусловной баз'исности систем из экспонент в пространствах Смирнова.

Методика исследования. В основе метода исследования лежит теория преобразования Лапласа. Использованы современные метода комплексного анализа и теории субгармонических функций.

Научная новизна. Основные результата' диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в' работе, носят теоретический характер и могут быть использованы е теории аппроксимации функций, в теории рядов экспонент, в теории сверточных уравнений и др.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на семинаре по теории функций имени А.Ф.Леонтьева в Башкирском Государственном университете им. 40-летия Октября; на семинаре по комплексному в Институте математики УрО РАН, на семинаре в Физико-техническом Институте низких температур.

Публикации, По теме диссертации опубликовано 3 работы, список которых приведён в конце автореферата.

ООъеы работы. Диссертационная работа состоит из введения и двух глав. Библиография содержит 53 наименования. Объём диссертации - 78 страниц машинописного текста.

Краткое содержание диссертации.

Во введении излагается краткий обзор литературы по теме диссертации и приводятся основные результаты.

Пусть б-ограниченная выпуклая область > в Кп, на которой задана положительная непрерывная функция ш(х). Рассмотрит,! пространство локально интегрируемых функций для которых конечна норма

Шг=[ \Лх)\г/Ш)вх. а

Пространство Ьг((3,ш) -гильбертово пространство со скалярным

произведением

t/ll2=| fWg{x)/w(x)dr. а

Определим обобщеное преобразование Фурье-Лапласа S(z) линейного непрерывного функционала S е L*(G,w):

п

S(z) = S(exp(Jjc{ z{)), 1=1

Поскольку при указанных условиях на область G и на Еесовую . функцию и» система экспонент

п

{ejp(^jc{z{)>, 2=(z1,z2,...,zn) е С", t=1

полна в пространстве Lz (G.w), то по теореме Банаха отображение

л л.

S -» S взаимно однозначно. Нетрудно . показать, что Э^Ьцелая функция.

Совокупность Целых функций

£2(G,k>) = | S(z):S е L*(G,w) ■

образует гильбертово пространство относительно нормы $S¡¡ = JSJ.

Задача: Построить неотрицательную меру ц такую, что норма j)S| в t¿ (G.tu) эквивалентна норме

S5J2 = | |£(г)|2ф.

" . . ' G

В работе Саито С. рассматривается аналогичная задача, а именно: Пусть P^(Q)-. пространство.голоморфных функций в трубчатой области П=В+ Шп В£ШП, удовлетворяющих условию

|:?(гИу)|г и{х)(Шу«х>,

где и(х)еС(В), и ^ 0. Для каких функций v пространство P^(fl) является результатом преобразования Лапласа некоторого пространства L*(G,w)? Таким образом, в этой постановке мера о заранее дается в форме da(x)=v(x)dx, а функцию a>(t) необходимо определить. По теореме Сажто С.

п

iu(t)=J expC^jc^ .)v(x)dx,

С = 1

a G=it:ai(t)<oo>.

В первой главе диссертации дается решение поставленной задачи в одномерном случае, при этом используется следущая теорема доказанная Р.С.Юямухаметовым:

Теорема А. Для существования лери ц необходим и достаточно существование неотрицательной леры а в SRn такой, что

Осей 1ш({)]~1| e2<3,t> da(x) « С < со, t е D. (1.1)

еде <i,x>=i1r1+i2r2-t...+inrTt, i=(t, ,t2,. x=(xy ,хг,...,хп).

Так как-функция

| ег<хЛ>ва{х) ■ к"

логарифмически выпукла, то из этой теоремы видно, что условие выпуклости функции In ш(i) почти необходимо для существования меры |i.

Основная теорема первой главы диссертации -Теорема 1.1. Пусть Ы w(t) = h{t )~втуклая функция 6 Ш и на ограниченнол интервале I с к