Бифуркации периодических решений с кратными собственными числами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

^^ Ч/НПСТ-ПЕТЕРЕУРГСКШ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИПШГСПШТ

/ 3 МАИ 1393

Ite uparas рувспксп

АНДРШЮВЛ Ш1ЕНЛ МАЦЩИРОША

УДК 517.525

БИФУРКАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЗНДО С КРАЙНЕ! СОБСТВЕНЩИН ЧШОДШ

01.01.02 - дк$$эрекцкадьшз уравнзнкя

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация ва соксб&нкэ ученой eçcnetsî псндндата фкзкко-катексткчбсяйх каув

Сакхт-Пзтербург^ IS93

Работа выполнена на кафедра математического анализа Рязанского ордена "Знак Почета" государственного педагогического института ны.С.Л.Есенина.

Научный. руководитель - доктор физико-математических наук, о

профессор ТЕРЕХИН Михаил Тихонович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ШЕСТАКОВ Александр Андреевич;

кандидат физико-математических наук, доцент ЧЕРНЫШЕВ Владимир Евгеньевич. . I

Водущоя организация: Московский государственный университет им. 1!.В. Ломоносова.

Залшта состоится " УО " _199-3 года

в час. <?(? мин, на заседании специализированного Совета Д 063,57.30 по сзааите диссертаций на соискание ученой степени дог лора физико-математических наук в Санкт-Потарбургском государственном университете по адресу: Х9Ш04, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, &!бяиотечная влсаадь, д.2, -

С диссертацией потаю ознакомиться в библиотеке

тшг М.Горького Санкт-Петербургского университета.

' 1 ' !

Автореферат разослан " " Оуужи^И- 1993 г.

-УЧЕЙМЯ СЕКРЕШЬ . СЕодааггааировашюго совета Д 063.57.30,

д о ц о н т Ю.А. Сосков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящей работе рассматривается автономная система дифференциальных уравнений, зависяцая от действительного скалярного параметра. Предметом исследования является вопрос существования у такой системы нетривиальных , периодических решений.

Вопросы существования периодических решений и их нахождения всегда являлись и явлдатая одними из важнейших в теории дифференциальных уравнений. В настоящее время теория бифуркаций периодических решений очень бурно развивается. В дополкэ-ние к известным трудам математиков Нижегородской школы, монографиям Ыалкина И.Г., Э.Хопфа за последние годы появились работы Г.Киелхофера,. Цдовича В.И. , Витричеяко И.Е., Каштанова А.Я., Чейфи Н., Хойла С., Юргена С., Саттингера Д.Г., Ван-дербаухеде.А., связанные с бифуркациями периодических решений в критических случаях.

Несмотря на достигнутые успехи, а целом теория бифуркаций периодических решений изучена не полностью. Большой интерес представляв? разработка методов для качественного исследования систем дифференциальных уравнений, завиояцих о® параметра, с цэлью нахождения условий существования ненулевых периодических решений таких систем. Достаточно общих методов, позволяющих решить проблему, нэ существует. Поэтому научное значение имеют даже частные признаки для частных систем. Изута-нив условий существования ненулевых периодических реявгай находит много приложений в различных вопросах теоретической физики, математической экологии, астрономии, в теории автокода-

баний. Вот почему работы, связанные с бифуркациями периодических решений, не теряют своей актуальности в настоящее время.

Цель паботы. В диссертационной работе решается задача о нахождении достаточных условий существования периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений в критическом случае кратных чисто мнимых собственных чисел матрицы линейного приближения.

Методика исследования.

Основным методом решения задачи, поставленной в данной работе, является представление решения изучаемой системы в виде ряда Фурье по тригонометрической системе в^реЖ: и- и/, где V - некоторый отрезок ряда Фурье, - остаток ряда. В связи с этим с работе разрешаются две проблемы: доказательство существования бесконечномерной компоненты и/ решения и и нахождение достаточных условий для существования ненулевой конечномерной компоненты V.

Научная новизна. В диссертации рассматривается критический случай теории бифуркаций, когда матрица линейного приближения изучаемой системы имеет кратные чисто мнимые собственные числа при любом значении параметра. Вывод о существовании ненулевого периодического решения системы делается в зависимости от поведения мнимой части собственного числа при изменении параметра и от многочленов наименьшей степени в разложении правой части системы.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть ислользованы:-пг>и исследовании систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, описываюгтс математичес-

кие шдели экологических, биологических, йсгро!эшгеоспж, колебательных, и т.д.процессов.

Апробация диссертации. Результаты диссертацш! кэодгюйраг-но докладывались на семинарах по качественшй теор:й даффэрец-циальных уравнений в Рязанском госудерстЕеш-юы педагопгеззЕом институте им. С.А.Есенина, в Нижегородском университете.

Публикации. По результатам исследований, вкполташга: э диссертации, опубликованы работы [1-4] .

Структура и объем работы. Диссертация состоиг аз вводя-кия, трэх глав, списка литературы,, аклпчающэго 81 пзэваипо, изложена на 97 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТУ Во введении дается краткий обзор литература по вопросам, примыкшжциы к теме диссертации, излагается шзтодика ксозсдо-ваний и основные результаты. В Главе I дашзэй работа наследуется система дифференциальна уравнешй

^Г * АС*) и- Р(я. и ) (1.1)

в п. -мерном Евклидовом пространства Е, заЕкеп^ая о« дзГЬз-вительюго скалярного параметра Л. Предполагается, что

где ¿уС*) - однородные полинокн ст«дае«а

соответственно, Л к *■ ¿у у, -г,.-.

¡¿атрица п.-п. А(л) имеет собственное число ¿/6(я). /(я) * о кратности г- * £ . Собственных чисел вяда * ¿р/Ы.р*

матрица А (х) ке имеет.

*

Ставится задача найти условия, при которых точка (л, и) = (о, о) является точкой бифуркации системы (IД) в смысле Красносельского.^

Определение I.I Точка (я, и.)- (ofo) называется точкой бифуркации уравнения (IЛ), если каждому£>о соответствует такое Л , которое удовлетворяет неравенству /'л/ ^ с и при котором уравнение (1.1) имеет ненулевое периодическое решение

, удовлетворяющее неравенству (fu(i)/I^L , о ¿- i ^ Т, где Т - период решения

Вводятся следующие вспомогательные пространства:

Н„ - пространство непрерывных по t п. -мерных вектор-функций таких, что при t&Lo.zx-J и £,

Hi- пространство функций из Но таких, что и(о)* Лемма I.I Пространство Н* вложено в цространство -У». Лемма 2.1 Действие операторов системы (I.I) не выводит за пределы пространства Н0 .

Эти факты дают возможность рассматривать уравнение (1Д) в пространстве Но, il^Hî.

Пусть £ ^ (л), ..., cfr (я-) J - базис едра оператора А(я)-1-¿р(я). Определяется оператор J* (я) = ^ -1+ А (я).

Лемма 3.1 Ноль - Z г- -кратное собственное число оператора /о (л) . Множество [ e~L'6 fifr), .

является подмножеством базиса ядра оператора J-oC^-}. Обозначим ¡ег*ъ(л),е£еру (xlj^-- - w С/.(я>)-.

нКрасносельский М.2. Оператор сдвига по тракториям дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1966. - 332с.

Лемма 4.1 Пусть Р„ : и/Г^Сл)) - проектор, определяе-

мый следующим образом: (и,у» Ся),

[е'^СЮ . /е )

(я) , е *

-V--/,-/- ,

где у * (л.) - векторы базиса ядра оператора А *(л)-с/9Ся) ■/. Тогда, если Оа(л)= Т-РаСя), то оператор °

областью определения Н0 обратим.

Решение системы (1.1) будем рассматривать в виде разлсжешя в рзд фурье по тртгскомзтрмческой система ,р е Ж в пространстве Н„ таком, что при любом г? е £о, 271! и £ для фиксированного я.

..¿-г

и = + = (и,<У»(я0° ■е Я^С*^

+ (и, -е (Л)* оа (Юге. = ^

Пусть 0е -частота искомого периодического решения. Учитывая определение проекторов Ро(я-), ¿>°Ся) , оператора /о (я), уравнение (1.1) ыожко переписать следующим образом: (а) Р.(л) Г (Я, и-и/; ,

(£") /сСя)^ О. -(я)г (я.

Теорема 1.1 Существуй® достаточно малке взлизины Л; /? такие, что в-шаре /и-/* ^ ' пространства йа(л) прц /^и]/я/^ ^ , ///„^(Уз существует едш&ейюишэ реаэ-ше и/- и/(я,¿и, V) уравнения (12.1) (б) удовлатворявщва условию и/ о.

Решение уравнения (12Л) (а) ищется в виде

и = £ ^ Ся) = £ О'-) е >.

Еа@ опэраторн уравнения (12.1) (а) записываются в базисе

Рсзёвдо V в эгоы базисе имзет координаты

}е = • (..........*Г

Т«шш образом (12.1) (а) - система в дросграштвв ж с

2 г *г И8ИЗЕ8СНШ&1.

Взодагея обозначение: ж) - члены уравнения

(12.1) (а) зашсяцко от V. & ; рх - порядок членов уравнения оэдэснтсльно V, Рх

Теорзаа 2.1 Пусть '(я, и)- (о,о) - точка бифуркации периодических решений уравнения (1.1). Тогда существует эяеиент

, у такой, что выполняется по крайнбй мере одно Ез равенств:

I. У* (¿.о)-о. П.

ш. * ■

Тоорспд 3.1 Пусть ^ £ & - решение одного из следующих

ургшиекай •

П.

Ш. - г*?*" (ЪО). .

Тогда существует нетривиальное решошге уравнения (1£.Х) (а), сада шзювшээся следующие условия: I, Нэдрцца

/ »£ Л

I о ■ ) .

где 3 - си ар (- -, - ¿, .... с ) , - оператор

ДЕ|фораицаоров1шая по V е V/г*л - г. ,

является Неособенной. П. Матрица (г.г-и~)* (г.г**)

СГ"

* о , является неособенной. Ш. Патрица (¿г-гУ) * (¿г-*/)

С: £)

является неособенной. Находя прямую сумму компонент V и w, можно сделать вывод о существовании ненулевого периодического решения гс уравнения (1.1).

. В § I Главы П рассматривается система (1.1) при условии, что матрица А (л) имеет чисто шпага о простое собственное число ¿/Г>), /1(з.)+о. Вектор для згой ситуации

запишется в виде = у-,, )т,

где выражение (я) легко вцчислпта,. эгая функции и многочлен наименьшего пордяка в разложения правой часта уравнения (1.1)

Теорема 1.1 Если суцествузт /V ■■ такое, тю Ре ас,1,с'(оу*о, то точка С о, о) .является точкой бифуркации систшн (1.1). Исследования § 2 Глави П ведутся вогтуг ситуации, когда иаг-рица 4(л) системы (1.1) тлеет собственное число

сс(о)" о , я&(-8,£), £ е кратшгти г-^хп

записана в нормальной Жордаковой форме диагонального ища. Можно утверждать, что оператор А С л) представ:?!! в следу-вщей форме:

А(я)= м С*-)* N Ся.),

гдо оператор M (л) имеет собственное число и. (л) кратнос-fi\ 2 г~ , оператор /\/{л) - собственные числа ^¿¿в(л.} кратности г,

Проводя рассуждения, аналогичные Главе Î, «шзем "разделение" уравношя (I.Ï) ка два уравнения:

(a) ftKv + /4(a) v = S* (я.) F (я, w), (19.2) (S) ¿UlbW * М(л)<Л-+10(Х.)<Л/-То(Я)/г(Я,\>'*\л/)7

где операторы -Л (л ), S, С л),- т. (л) по построению сходои с операторами /■ С* Р„(я-), ¿?„ (х.) соответственно. Теорема 2.2 Существуют достаточно ыалыо веяичивд S^ , <Ç,' R у ïaiaio, что в гааро gwt/?' при A S,, А/f A, ffvfo сущесмузт единственное ресекие w- и/( vt я.^и) уравношя (19.2J (б).

Обознащы через К члены наименьшего порядка отно-

сигелью v уравношя (19.2) (а).

Теорема 3.2 Пус^ь существует элемент v е- S0 на , такой,. 4SO v о , одна из координат которого равна о . Тогда, еели патрица (zr+f)*(z.'"-*f') êz /4JS (о) z • » v

(

о

ГД9 Ю a ctiag (-L.-.-L, ¿,..., ¿' ) _ оператор (г.— - опэратор дифференцирования no i/e M K^'-Zt—мерный Бэктор относительно v &

V/tït *

«ûas&ïos нзособзкгай, so существует ненулевое решение ураокэшя (12.2) (а).

В Главе Ш рассматривается применение теоретических результатов Глав I, П к конкретным система в пространзтваз Теорема 1.3 Если оператор А (л) уравнения (1.1) в п. - мерном Евклидовом пространство, п-- v, п;*зот дцущникгэ чисто мнимне собственные числа ¿¿/¡Сл.) ,/?(л) *о, и остальные собственные числа оператора А (я) ш яаляатся цэл1гя кратными числам *с/(л), £r(u)-(uf, гс?) Г,

то точка (я,и)=(о,о) уравнения (I.I) является точкой бифуркации в смызле определения 1.1.

НА. ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЩУЩИЕ РЕЗШЛАТН:

1. Необходимое условие существования штривнальиэго периодического решения уравнв!ия (I.D в случаа клвдестгап-ного обращения в нуль действительной части пратюго собогсся-ного числа оператора А (л).

2. Достаточные условия бифуркации периодипзсклг рсгагиЯ системы (I.I) в случае тождественного обращения в нуль ддйзт-вительной части краткого собственного числа оператора А(л).

3. Достаточное условие бифуркации пэриодичзсиог резаний системы(1.1) в случае, когда оператор АС*) икает простое чисто мнимое собственное число при любом

4. Достаточное условие бифуркации периодичеснизг ргзз-ний системы (I.I) в сяучае нетождественного обрецекия а нуль действительной части кратного собственного чигла оператора

АС.

3 заключении автор выражает бслызуп благодарность своему научному руководители профессору Терехину У.Т. за

руководство и помощь з работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Аедрианова Е.В. Бифуркация рождения цикла с нулевым собственным числом матрицы линейного приближения. -Рязань, 1992. - Рукопись представлена Рязан.гос.пед. ин-тоы.- Дел. в ВИНИТИ 17.06.92, № 1972 - В92.

2. Андрианова Е.В. Существование периодических решений системы дифференциальных уравнений в случае обращения в нудь собственных чисел матрицы линейного приближения. -Рязань, 1992. - Рукопись представлена Рязан.гос.пед. ин-том. - Деп. в ВИНИТИ 17.06.92, № 1973-В92.

3. Андрианова Е.В. Бифуркация периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от параметра, в случае, когда матрица линёйного приближения имеет кратное собственное число, равное нулю. - Рязань, 1992.- Рукопись представлена Рязан.гос.пед.ин-том. - Деп.

в ВИНИТИ 17.06.92, № 1974-В92.

4. Андрианова Е.В. Бифуркация с нулевымикратными собственными числами. - Рязань, 1992.- рукопись представлена Рязан.гос.пед.ин-том.- Деп. в ВИНИТИ 17.06.92,№ 1975-ВЭ2.