Исследование аттракторов некоторых двумерных задач гидродинамики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Всесоюзный Центр математического моделирования АН СССР.

"Исследование аттракторов некоторых двумерных задач гидродинамики."

Специальность 01.02.05. -механика жидкости, газа и плазмы.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

На правах рукописи

Варин Виктор Петрович

Москва, 1991г.

Работа выполнена в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова.

Научные руководители: член-корреспондент АН СССР I К.И. Бабенко ,

к. ф.-м. н. А. Л. Афендиков.

Официальные оппоненты: д. ф. -м. н. , профессор И. М. Яворская.

к. ф. -м. н. М. М. Васильев.

Ведущая организация: Ростовский государственный университет.

Защита состоится " " _1991 г. на заседании

специализированного совета Д 003.91.01 во Всесоюзном Центре математического моделирования АН СССР по адресу 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИПМ АН СССР им. М. В. Келдыша.

Автореферат разослан " " _ 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета

д. ф.-м. н. ^^ Н. В. Змитренко

ДШПЕЙШ

К о' (Отдел хертаций

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность: В последние годы стала широко распространена точка зрения, связывающая возникновение турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости с появлением в фазовом пространстве системы Навье - Стокса инвариантных притягивающих множеств, динамика системы на которых является стохастической. Локализация и изучение структуры этих множеств в конкретных задачах гидродинамики включает в себя исследование потери устойчивости основных течений и возникающих вторичных режимов, что является необходимым первым шагом в изучении эволюции аттракторов системы.

Реализация этой программы для трехмерных течений по многим причинам представляется пока нереальной. Достаточно сказать, что однозначная разрешимость нестационарной начально - краевой задачи для системы Навье - Стокса доказана лишь в случае, если течение не зависит от одной из пространственных переменных. В двумерном случае существование инвариантных притягивающих множеств доказано и установлена конечность их хаусдорфовой размерности, поэтому выяснение вопроса о том, реализуются ли двумерные турбулентные течения, является важной естественно - научной проблемой.

Целью диссертации является: Изучение, временной эволюции и возникающих перестроек течений в некоторых двумерных задачах гидродинамики.

Разработка эффективных алгоритмов и создание пакета программ, позволяющих исследовать потерю устойчивости и бифуркации течений вязкой несжимаемой жидкости.

Научная новизна и практическая значимость. Исследована потеря устойчивости и бифуркация течения Пуазейля на нижней ветви нейтральной кривой. Проведенные расчеты позволили определить качественную картину перестроек течений в окрестности точки вырождения, в которой происходит смена типа потери устойчивости течения Пуазейля.

Построены автоколебательные режимы, ответвляющиеся от течения Пуазейля при фиксированных числах Рейнольдса, когда бифуркационным параметром является волновое число. Установлено существование автоколебательных режимов в области значений волнового параметра, при которых течение Пуазейля устойчиво по отношению к

(Зесконечноиальш возмущениям при лсбом числе Рейнольдса. Получены численные оценки радиуса сходимости рядов Пуанкаре - Линштедта в окрестности нейтральной кривой.

Исследована обобщенная задача А. Н. Колмогорова. Впервые в гидродинамической задаче было обнаружено рождение "медленного цикла", т.е. рождение периодического по времени решения при прохождении через ноль кратного собственного значения спектральной задачи об устойчивости.

Разработан алгоритм вычисления коэффициентов ряда Пуанкаре - Линштедта для ответвлявшихся в результате бифуркации Андронова - Хопфа вторичных решений. Полученный алгоритм применен для исследования течения Пуазейля в плоском канале и течений на плоском торе.

Создан пакет программ, позволяющий исследовать потерю устойчивости и бифуркации течений вязкой несжимаемой жидкости в ряде задач гидродинамической устойчивости.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на XIV и XV конференциях НИВЦ С г. Пущино, 1986 - 1987 г.), на XIX конференции "Современные проблемы и методы механики жидкости" С Козубник, ПНР, 1989г. 3, на семинаре в Институте проблем механики С 1990г. а также на семинарах в )ТУ С1985 - 1986г. 3 и на семинаре им. К. И. Бабенко в ИПМ АН СССР С 1990г. 3.

Публикации. Основные результаты диссертаци опубликованы в работах С1 - 5].

Структура и объем диссертации. Диссертация, состоит из введения, трех глав, приложения, списка цитируемой литературы из 79 наименований; иллсстрирована 19 рисунками и содержит 13 таблиц. Общий объем работы 137 страниц.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении к диссертации содержатся исторические сведения, общая характеристика рассматриваемых задач и полученных результатов, а также краткий обзор литературы.

В главе I проводится исследование автоколебательных режимов в окрестности течения Пуазейля в плоском канале. Функция тока вторичного течения разыскивается в виде

С13 ^г.у.О = у СуЗ + -— уСг-с^уЗ

* О

где функция у - У/д соответствует течению Пуазейля,

15 - число Рейнольдса и с - фазовая скорость плоской волны. На нейтральной кривой фиксируется точка С йо,а). После замены переменных х = г - с I функция уСх.у) и фазовая скорость с разыскивавтся в виде рядов по малому параметру Ь = | Р - й 1'/г. И = 1? + бЬ* ,0 = ±1 :

о

00

уСх.у) = ^ »» Сх.уЗЬ''" С 2) •)=0

к со

с = —с + — У с Ьг1 р 0 к ^ .)

j =

т.е. решение разыскивается при фиксированном волновом параметре а. Для определения функций ^ Сх,у) и констант с^ в первой главе получена бесконечная рекуррентная система краевых задач

СЗ)

д , £

Це/х.у) = I ВС^,^.,..)- — [ ^ с^.,

- еиьу._2 + ви'>._г) д

V. = -= о

J| у=±1 д у I у=±1

у^Сх,у) = у^Сх + 2л/а ,у)

где иСу) =1 - у*, оператор Ь и билинейная форма В определялся дифференциальными выражениями

ЗДр „ др

С4) = Д*р - й |Си - с Э- - и-

дх дх

г ааг ч °Р п

Ьр = д2р - й Геи - с Э- - и -

г ° а* Дх J

<ЭС Др,у/)

С 5) ВСр.у) =

<ЭСх,у)

Оределение правых частей краевых задач (33 требует весьма громоздких выкладок. В §1 первой главы диссертации построен алгоритм, который дает возможность автоматически вычислять необходимое количество коэффициентов ряда в разложении автоколебательного режима, что позволяет избежать ошибок. Специфика данной.задачи при этом не использовалась. Алгоритм дает возможность численно оценить радиус сходимости и получить, тем

- б -

самым, существенную информацию о структуре множества вторичных течений в окрестности нейтральной кривой.

В §2 первой главы метод Ляпунова - Шмидта применяется для изучения автоколебательных режимов, близких к течению Пуазейля, при фиксированных числах Рейнольдса, когда бифуркационным параметром является волновое число а. Фиксируется точка (Б,а) на нейтральной кривой и для волнового параметра /3, близкого к а, автоколебательный режим разыскивается в виде рядов С2), где 1?о = И иЬ = |а-/3|1/г, /3 = а + 6Ь2, в = ±1. С физической точки зрения такой подход соответствует фиксации расхода жидкости через поперечное сечение канала и вариации длины волны входного возмущения, по отношению к которому исследуется устойчивость основного течения. Полученный алгоритм позволил установить существование автоколебательных режимов в области значений волнового параметра, при которых течение Пуазейля устойчиво по отношению к бесконечномалым возмущениям при любом числе Рейнольдса.

Построенный в первом параграфе алгоритм, позволяет представить автоколебательный режим в окрестности течения Пуазейля в виде ряда кратных гармоник и вычислить, в принципе, необходимое количество коэффициентов этого ряда. Сходимость разложений такого рода для достаточно малых К во внутренних задачах гидродинамики доказана, однако получить теоретически оцрнку радиуса сходимости рядов (2) в общем случае затруднительно. Для конкретных значений параметров (¡?о ,а) такие "оценки можно получить, сравнивая частичные суммы рядов С2), вычисленные при фиксированном волновом параметре а, и частичные суммы в разложении вторичного течения в ряд по малому параметру при фиксированном числе Рейнольдса, которые построены в §2 первой главы, а Расчеты, проведенные в точках,

прилегающих к нейтральной кривой Срис. 1 ), где применимы оба метода С разложение в ряд кратных гармоник §1 и разложение в ряд при фиксированном числе Рейнольдса §2 ), позволили взаимно проверить правильность реализации этих Рис 1. алгоритмов и получить оценки

радиуса сходимости соответствующих рядов.

В §3,4 первой главы описываются метод дискретизации спектральной задачи об устойчивости течения Пуазейля и результаты вычислений автоколебательных режимов.

Отметим, что алгоритм §1 неприменим в окрестности точки Т С рис. 2 ), соответствующей минимальной длине волны, при которой наблюдается потеря устойчивости течения Пуазейля. Вычисления дают Т = Сй.а ) = С 8591.42454, 1.097321872 У. Алгоритм §2 неприменим в окрестности точки Та, соответствующей критическому числу Рейнольдса для течения Пуазейля, Тг = С^ =

= С 5772.22036, 1.020558903 ). Стрелки на рис. 2 показывают, какая бифуркация имеет место для соответствующего параметра -докритическая или закритическая.

В задачах о бифуркации течений, зависящих от двух параметров, возможна ситуация, которая реализуется для течения Пуазейля в точке Тз на рис. 2, Тз = С^.сО = С 6842.19727 , 0.906667298 X При а > аэ происходит докритическая бифуркация, при а < аз -закритическая бифуркация. Известно, что тип бифуркации в самой точке Тз определяет локальную картину перестроек течений в окрестности этой точки. Возможны две ситуации : С1) в точке Тз происходит докритическая бифуркация. При а < аз ответвившийся в закритическую область устойчивый автоколебательный режим недолговечен. Он исчезает, слившись с неустойчивым автоколебательным режимом, пришедшим из докритической области. СП) в точке Тз происходит закритическая бифуркация. При а > аз наблюдается явно установившийся при жестком возбуждении автоколебательный режим.

1.20 т>

«

.0.60

0.40

0.80

1.00

К

^ ^Рб.ОО 23.Ь6 ■ 31.00 39.00 47.Ьо '55.00

Рис. 2.

Бифуркация в точке Т до недавнего времени оставалась неизученной, что не давало возможности построить полную картину бифуркаций течения Пуазейля.

В главе II чтобы выяснить, какой случай на самом деле имеет место, использовался метод Ляпунова - Шмидта. Алгоритм, построенный в первой главе, оказывается неприменим, однако его удалось модифицировать с тем, чтобы использовать в самой точке Т . Вычисления показали, что в этой точке происходит докритическая бифуркация, т.е. реализуется случай (I). Амплитудная поверхность в окрестности этой точки представлена на рис 3.

Течения в плоском канале при больших числах Рейнольдса являются сложным объектом для численного моделирования из-за больших градиентов скоростей. В 1959г. А. Н. Колмогоровым было высказано предположение, что при внешней синусоидальной силе задача о движении вязкой несжимаемой жидкости на двумерном торе может иметь турбулентное решение при достаточно больших числах Рейнольдса.

В главе III была рассмотрена задача о движении вязкой несжимаемой жидкости на двумерном торе

Т2= < х,у : 0 < х < гп/а, 0 < у < 2п У

под воздействием внешней вынуждающей силы.

В §1 главы III изучалась задача об устойчивости некоторых основных стационарных течений и течения Колмогорова. Проведенные расчеты показали, что для основного течения с профилем скорости UCy) = У! cosy, отвечающего течению Колмогорова, выполняется принцип смены устойчивости для а е С0,1), (где а - волновое число).

Для профиля скорости UCy) =cosy + sinéy, также как и для UCy), = Уг cosy, существует сдвиг по переменной у, переводящий профиль скорости в нечетную функцию. В работе Ш методом теории возмущений установлено, что при достаточно малых а в этом случае также должен выполняться принцип смены устойчивости. Проведенные расчеты показывают, что это справедливо только при а й 1.433. При а % 1.433, наряду с нулевым собственным значением ко= 0, в момент потери устойчивости мнимую ось пересекает пара комплексно-сопряженных собственных значений спектральной задачи об устойчивости: X з ~ ± i 0.845. При 1.433 < а < 1.8 мнимую ось пересекает пара комплексно-сопряженных собственных значений.

Если профиль скорости основного стационарного течения имеет вид UCy) = siny + cos?y, то не существует сдвига по у, переводящего UCy) в нечетную функцию, и здесь, как показывают расчеты, происходит бифуркация Андронова - Хопфа и ответвляющееся вторичное течение является периодическим. Однако на нейтральной кривой имеется точка, в которой бифуркация на периодическое по времени течение происходит при прохождении кратного собственного значения спектральной задачи об устойчивости через ноль, т.е. при Ro = 2.16970, а = 0.67677 образуется так называемый "медленный цикл". Это, в частности, означает, что в окрестности нейтральной кривой существуют периодические течения со сколь угодно большим периодом.

Таким образом, в задачах об устойчивости течений на двумерном торе уже для простейших профилей скорости основного стационарного течения приходится сталкиваться с неизученными бифуркационными задачами.

В §2 третьей главы изучаются.вторичные течения для различных профилей скорости основного течения. При этом оказываются применимы алгоритмы С с незначительными модификациями ), построенные в первой главе. В отдельных случаях вычислялось до 15 коэффициентов ряда в разложении вторичного течения.

В §3 третьей главы для нескольких выбранных значений волнового параметра изучались аттракторы системы Навье - Стокса, возникающие в задаче Колмогорова при увеличении числа Рейнольдса. Для этого использовался метод Галеркина.

Рассмотрим разложение функции тока у/ в ряд Фурье

СИ) *1.Х УЗ. X аП(т = *Гп,-т

п , т=-СО

Ограничиваясь рассмотрением гармоник, попадающих в прямоугольник' | п | < N. | т | й М, после некоторых замен переменных для функций ап пСЮ получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(12) а = - Саап* + тг)а_

п ,т

Г

ak t С s* -ta С k* -1*)) „ „

а,

где

„ . . Ca2n* + та) к.» 1.1

s+t =т

, П > О

a , п < О

-п, -т

В силу того, что функция у> вещественна, достаточно рассматривать п 2; 0, причем m > 0 при п = 0. С учетом сказанного, мы имеем в С12) N С 2М +i ) + М комплексных -уравнений для выбранного прямоугольника.. Течению Колмогорова соответствует £ t = -R, у =0, при п * 0, m * 1, где R - число Рейнольдса.

n,m

Известно, что маломодовые аппроксимации системы Навье -Стокса, полученные с помощью метода Галеркина, могут порождать динамические системы с очень сложной картиной перестроек решений. Примером может служить трехмодовая аппроксимация в задаче Бенара о свободной конвекции в плоском слое. Поэтому для корректного численного моделирования нестационарных течений требуется рассматривать серию галеркинских аппроксимаций с различным числом учитываемых гармоник.

В задаче о течении Колмогорова галеркинские аппроксимации с выбором гармоник в прямоугольнике N,M й 2 порождают системы, в которых поведение решений оказывается тривиальным, т.е. вторичное стационарное решение оказывается устойчивым при всех числах Рейнольдса. Описание результатов численного моделирования в §3 третьей главы ведется, поэтому, в системах с N = М = 3, которые являлись, в силу технических ограничений, максимально возможными. Отметим, что сложность системы обыкновенных дифференциальных уравнений (12) быстро возрастает с ростом N.M. Для случая N = М = 3 получаем 48 вещественных уравнений, содержащих 1128

- if -

нелинейных членов.

Вычисления проводились для следующих значений параметра а: а = 0.3 , а = 0.6, а = 0.9 и а = 1.2. Проведенные расчеты позволяют выдвинуть гипотезу о том, что, по всей видимости, аттрактор в задаче Колмогорова тривиален' и состоит из периодических решений и семейств стационарных решений. Весьма сложная бифуркационная картина, полученная для волнового параметра а = 0.3, указывает на неадекватность 48-модовой аппроксимации для данного случая.

В приложении к диссертации рассматриваются некоторые вопросы, относящиеся к дискретизации спектральных и краевых задач и реализации полученных алгоритмов на ЭВМ.

В первой главе была получена алгебраическая задача на собственные значения для пучка матриц,

С13) СА - X В)~ = 0

где F = Ц =*Cyj). У, = cosC^Ojt, j = í,...n

аппроксимирующая спектральную задачу Oppa - Эоммерфельда, и было отмечено, что, решая алгебраическую задачу стандартными методами, мы. можем допустить значительную потерю точности, ввиду плохой обусловленности входящих в эту задачу матриц.

Пусть шСВ) - мера обусловленности матрицы В. В точке вырождения, например, имеем ш(В) % 28000000; потеря точности поэтому выражается семью десятичными знаками. Для того, чтобы избежать потери точности, был предложен метод решения задачи С13), исключающий необходимость обращения матрицы В, и позволивший значительно сократить объем вычислений.

При численном исследовании конечномерных динамических систем, полученных с помощью метода Галеркина, традиционные вычислительные методы не всегда оказываются эффективными. Для изучения течений на двумерном торе была написана процедура символьных преобразований, которая для заданного количества гармоник в разложении Фурье функции тока строила готовую FORTRAN - программу, позволяющую вычислить правую часть системы обыкновенных дифференциальных уравнений С123. По сравнению с методом быстрого преобразования Фурье такой подход позволил получить значительный выигрыш во времени (6- 7 раз).

В заключение сформулируем основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Разработан алгоритм вычисления коэффициентов ряда Пуанкаре - Линштедта для ответвляющихся в результате бифуркации Андронова - Хопфа вторичных решений. Полученный алгоритм применен для исследования течения Пуазейля в плоском канале и течений на двумерном торе С задача Колмогорова ).

В задаче о потере устойчивости течения Пуазейля в случае общего положения показано быстрое убывание коэффициентов ряда Пуанкаре - Линштедта в разложении ответвившегося решения при фиксированном волновом параметре С гл. 1, §1,4 ).

Исследованы автоколебательные режимы, ответвляющиеся от течения Пуазейля при фиксированных числах Рейнольдса, когда бифуркационным параметром является волновое число С гл. 1, §2,4 ). Проведенные расчеты позволили установить существование автоколебательных режимов в области значений волнового параметра, при которых течение Пуазейля устойчиво по отношению к бесконечномалым возмущениям при любом числе Рейнольдса . Сравнение частичных сумм ряда Пуанкаре - Линштедта, полученного при фиксированном волновом параметре, и частичных сумм ряда, полученного при фиксированном числе Рейнольдса, позволило получить оценки радиуса сходимости этих рядов в точках, прилегающих к нейтральной кривой Сгл. 1, §4 ).

Исследована бифуркация течения Пуазейля в точке вырождения на нижней ветви нейтральной кривой, в которой докритическая бифуркация течения Пуазейля сменяется закритической. Проведенные расчеты, показали, что в точке вырождения происходит докритическая бифуркация течения Пуазейля и, следовательно, мягко ответвившееся в окрестности этой точки периодическое решение существует лишь при малых величинах надкритичности, сливаясь с пришедшим из докрити-ческой области неустойчивым периодическим режимом (гл. 2, §1).

Исследована обобщенная задача А.Н. Колмогорова. Для различных вынуждающих сил изучена задача о потере устойчивости и бифуркации основного стационарного решения системы уравнений Навье - Стокса на двумерном торе. Впервые в гидродинамической задаче было обнаружено рождение "медленного цикла", т.е. рождение периодического по времени решения при прохождении через ноль кратного собственного значения спектральной задачи об устойчивости. Сгл. 3, §1-2 ).

В задаче Колмогорова для нескольких значений волнового параметра исследована эволюция аттрактора системы Навье - Стокса при увеличении числа Рейнольдса. Проведенные расчеты позволяют выдвинуть гипотезу о том, что аттрактор в задаче Колмогорова состоит из периодических решений и семейств стационарных решений Сгл. 3, §3 ).

На основе разработанных алгоритмов создан пакет программ, позволяющий исследовать потерю устойчивости и бифуркации течений вязкой несжимаемой жидкости в ряде задач гидродинамической устойчивости.

1. Афендиков А.Л., Бабенко К.И., Барин В.П. О потере устойчивости и бифуркации некоторых плоских течений вязкой несжимаемой жидкости - Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, К* 76, 1987.

2. Афендиков А. Л., Бабенко К. И., Варин В. П. Об автоколебательных режимах, близких к течению Пуазейля в плоском канале. -Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР,'А* 116, 1988.

3. Афендиков А. Л., Варин В. П. Об одной задаче Колмогорова. -Динамические системы и турбулентность. Киев. 1989, 3-14.

4. Афендиков А. Л., Варин В. П. Исследование автоколебательных режимов, близких к течению Пуазейля в плоском канале. - ДАН, 1990, т.313, №6. 1407 - 1412.

5. Афендиков А. Л., Варин В. П. 0 потере устойчивости и бифуркации автоколебательных режимов, близких к течению Пуазейля. - Ш, 1991, ,У»2, стр. 41 - 48.

Список работ, опубликованных по теме диссертации.