Бимодальные приближенные решения уравнения Больцмана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

НАЩОПАЛЫ1А АКАДЕМ1Я НАУК УКРАЬШ Ф13ИКО-ТЕХ1ПЧПИЙ гаСТИТУТ ШПЬКИХ ТЕМПЕРАТУР 1М. БЛ. ВЕРИЛА

ГОРДЕВСЫШЙ ВЯЧЕСЛАВ ДМИТРОВИЧ

БШОДЛЛЬШ НАБЛПЖЕШ РОЗВ'ЯЗКП РШПЯНПЯ БОЛЬЦМАНА

01.01.03 -мэтематична фгопса

Автореферат диссртацй на здобуга паукового ступега Локтева фпико-матемягачннх наук

УДК 533.72

Харкш-2004

Дисертащао е рукопис.

Робота викшшиа в Харкзвському нацюаальвому ушверситеп iM. В.Н. Каразша.

ОфшШш оповентв: член-кореспонде>гг HAH Украши,

доктор фЬико-математачних наук, професор

ПЕТРИНА Дмигро Якович,

Ьзсттут математики HAH Украши (м. Кшв),

адвщуючий вщгвлом математичних метода в статистичыш механщ;

доктор ф1зико-ыатематичних иаук, професор БШОКОЛОС евген Дмшрович, 1нституг магнетизму HAH Украши (м. Кшв), завщуючий в ¡дам ом теоретично! фписи;

доктор ф1зихо-матешгпгших наук, професор БОБИЛЬОВ Олексалдр Васильевич, Карлштадгський ушверситет (м. Карлштадг, Швсщя), професор

Провщва уставов«: Гнстшуг прикладшк проблем механши i математики ¿м. Я.С. ГЕдстригача HAH Украйш (м. Лшв), В1ддш нелшйного математичного анализу.

Захист вщбудеться " ^ "__ 2004 року о годили на заоданш

спйоал13овшю1 вчеиоТ ради Д 64.175.01 в Фпико-техшчиому шетшуп шзьких температур im. Б.1. Всркпи HAH Украши за адресою: 61103, Харюв, пр. Ленша, 47.

3 дисертащею можна озиайомитись в б1блютай Фоихо-техшчного шетитуту вюьких температур iM. Б.1. Верхша HAH Украйш (61103, Харюв, пр. Ленша, 47).

Автореферат розюланий " <*/ - сц _ 2004 р.

Вчений секретар л

спещашзовшкп вчено! ради Горькавий В.О.

загальна характеристика роботи

Актуальшсть теми. Проблема пошуку точних та набдижених, в тому чн шшому сена, розв'язюв нелшшного р^вняння Больцмана поидае важлнве Micue серед pisimx напркмюв досзцджень в кшетичшй Tcopiï газ!в. Сдшшм точним розв'язком, вщомим на даний момент для моделей твердях куль та шершав их куль (G.H. Biyan, F.B. Pidduck), с максвелгвсысий розподш (максвел1ан), яиш обертас обида частнни ршняния на нуль (L. Boltzmann, I.C. Maxweil). Нанбшьш загалышй вигляд локального максвел^ана, яиш, га вщш'ну вщ глобального, може залежати не тшьки вщ швпдкоеп молекули, а також вщ ii просторово! координата й часу, задас складний рух газу, яш;й е супсрпозшцао обертання нзвколо свое! oci в цшому (гвииговий або вихровий розподш), поступального руху та стисху - розширення (H. Grad, P. Carleman, О.Г. Фрдаенаер). Imni, немаксвел{всыа точш розв'язки вдасться знайти лише для окремих моделей взаемодй мгж частками газу - максвел1'вських молекул та деяких ïx узагальпень (ОБ. Бобильов, M Krook, Т/Т. Wu, B.B. Веденяшн, Н.М. Emst, Д.Я. Петрина, O.B. Мщенко). Результата, що стосуються ¡снування та единосп розв'язюв задавд Komi для р^вняння Больцмана (Т. Carleman, О.Я. Повзнер, L. Arkeryd, Н.Б. Маслова, Р.П. Чубепко, S. Ukai,

A.Н. Фарсов, К. Asaao, С. Cercignani, J. Polewczak, P.L. Lions, R.J. Di Perna, ДЯ. Петрина,

B.I. Герасименко, К.Д. Петрина) даготь недосгатшо шформшшо про вигляд цих розв'язив при синчеплх значениях часу, просторовнх та шввдюсних зшшшх. Те ж cave стосусгься й ¡нших мстод1'в дослщжнь, таких, як розвинення в ряди Гшьберта, Чепмена-Енскога та Греда (Н. Grad,

B.B. Струшшський, B.C. Галин, М.Н. Коган, ПК. Макашев, О.В. Бобильов), або побудови моделышх та дискрегних ßapiamis pimimum Больцмана (F.A. Grmbaum, Г.€. Скворцов, [.I. Мошесв-Ольховський, L. Sirowich, P.L. Bhatnagar, Е.Р. Gross, M. Krook, O.B. Бобильов, J.E. Broadwell, S. Kawashima, C. Cercignani, R. Dîner, M. Shinbrot, Y. Shizuta, A. Watanabe, M.Maeji, A. Palczewski, J. Schneider, B.L Герасименко, R. Monaco, H. Comille, K. Ucbiyama, G. Toskani, H Cabannes, M. Lampis, B.B. Аристов).

Разом з тпм, дуже важливою й актуального е проблема опису взашодп (переходного режиму) м1ж двома чи дегалькома максвел|'вськнми потоками в розрщжегому пш. Так) епроби були пов'язаш з побудовою моделей ударних хвиль та задачами про випаровування -конденсацао 0.G. Тамм, RM Mott-Smiîh, A. Sakorai, R. Caflish, В. Nicoiatnko, H. Salwen, С. Grosh, S. Ziering, L.H. Holway, H Grad, R. Narasimha, S.M. Deshpande, T. Ohwada, T. Ytrehus,

C.A. Brau, G.A. Simans, H.K. Macomber, C.I. Анисимов, S. Takata, K. Aoki, C. Cercignani, S. Inage, I. Hosokawa, K. Yamamoto), але ветвилося, що вщяовщш б!модальш розподшя не можуть задовольняти р!вняння Больцмана не тшысн точно, а навт, паближено з яким завгодно наперед

задании ступенем точное«, внаслздок жорстких апрюриих умов га пдродшгашчш параметра потоюв, що накладаються самою постановкою згаданих задач.

Усе цг приводить нас до необхедюсп побудови таких бшодальких (та мпогомодальннх) рдагодшв з довшышми пдродгошм1чними параметрами мод, яи б ошеували процес взаемода М1ж двома (або бмыле) максвел1&ськими потоками в геш з твердих або шершавих (тобто здаших обертатися навколо своа оа з певнок» кутовою швидистю) куль, 1 в той же час задовольняли ршиння Больцмана з яхим завгодно ступенем точнос п.

Мета дослщжения: побудова явних наближених розв'язкш тривишрного нелшшного р^вияния Больцмана, вщшшшх ви максвел1анш, для моделей твердих та шершавих куль, з максве/тасьими модами роних титв: глобальними, локальними стацюнарними або нестацюнарними. За числов! характеристики ступеня точноеп цих ротв'язкщ приймаються р1вном1рно-11ггегралытй або часто иггегральний в!дхид кож частотами равняют.

Таким чином, основна задача дослщжсшш полягае в пошуку таких нетрив1альних умов на коефивенгш функци б^модалышх розподшв та на поведшку век паявнях параметрш, яи були б достатшми для довпьноТ мализни того чи шшого згаданих ввдхишв. Об'сктом та предметом дослшження вдаовдаю е нелшШне штегро-диференщальне инегичне ршняння Больцмаш та його явш наближеш розв'язки б1Модального вигляду з ргмомантшми максвелшськими модами.

Метода дослЦженпя. В дисертацн викорисговуються мегоди математичного та фунмвонального анализу, зокрема - теория узагальнених функцШ, асимптотичт мегоди, теори нелшШних диференщалышх р1вшшь в частшшнх походное, спещальних функцш, а також елементи теорй вим1рносп та векторного анашзу.

Наукова новизна одержав«! результата.

I. Для модоц твердих куль побудовано двопотоковий наближений розв'язок р!в1шшя Больцмана у випадку глобальних шксвел1всышх мод як 31 ешвпадаючими, так ( з р1з1гами температурами та гу станами потоив, що взаемодооть. Коефщаггт функщ! с одновшпрними за просторовкми зм1ншши та неетшцонарними. Здобутий розв'язок принципово вщданяегься вщ вщомого розподьчу Тамма - Мотг-См^та та його модифисацш тим, що саме перпендикуляр® компонента масових швидкостей максвелйських потоков залишаються довшышми, в той час як паралелыв прямують до нуля. Доведено, що оцшка зверху для р^вношрио - интегрального вщхилу шж частинами р]'вняшш мае скшчену границю, коли температури макевел^ашв прямують до нуля, та знайдено достатш умови довшьно? мализни ще! гранта в термшах асимлтотнчио! поведшки йииих парамегр1в, причому знайдений розтода не г. мал им ввдхиленням вщ максвел1ана.

2. У випадку однаковнх температур потаив знайдено граншоо самого ш'дхилу, 1 показано, що отримаш ратше оцшки зверху для иього с точними, тобто 1х не моясна вдосконалити за паявшетю згаданих прнпущень.

3. Розв'язано аналоги ну задачу в простор! узагальнених функщй, коли модами в б!модальному роэподш е 8-фуякцп, зоссреджеш в двох р1~зних точках простору швццкостей. Зокрема, вдаеться видшити внпадки, в яких "слабкий" вдаил М1яс чаепшами р1вняння Больцмана прямуе до нуля швидше, нЪк сам бгаодалший розподш прямуе до одша 31 своТх мод.

4. Знайдено широкий клас неодновпмфннх за просторовимн змипшми явних наближених розв'язйв з глобальнимн модами та коефншггннми функшями типу розбиття одштщ. Для системи двох нелшшних диферешцальних р»внянь в частинних похщних з одшею невщомою фунхщао, що вишкають при цьому, побудовано загальний розв'язок.

5. Для найбшып загальиого В1шадку неодновим]'рних наближених розв'язюв задачу про дов1Льну малнзну р1вном1рно-1'нтегралъного вдаилу зведено до системи двох нешшйних диференщалышх р1внянь вщносно двох невщомих функцй, що задовольняють певш додатков1 вимоги. Знайдено деяю досить пшрою класи розв'язюв що системи.

6. Здобуп результата частково розповсюджено на випадок трьох або бшьше нотогав, що взаемодноть. Побудовано вцповщш тримодалын та многомодалып наближеш розв'язки, ям забезпечують довшьну мализну як р1виоМ1рно - ¡нтегрального, так I чисто штегрального вщхилу за наявпосп певних умов. У випадку остапнього вщхилу описат щлком нов; типи косф1щагпшх функцш вигляду фшггних "штато", яю приводить до ¡ппшх достатшх умов його прямування до пуля як при досить великих, так ! при довшышх значениях числа Кнудсена за рахунок неповно! просторово! вим{рносп або стратиф1кацп об'екп'в (потоив) в середовшщ. Знайдено деяю можтвд кореляцп мш< ловедшкою таких об'иелв та середовища, а також окречн (досить вузью) класи розв'язюв системи нелишних диференщ'альних р1внянь, яю тут вишхають.

7. Для модел) шершавих куль побудовано аналоги згаданих двох вдашжв, дещо модифжоваш зпдно специфшио ртняння Бр1"ана-Щвдака. У випадку глобалышх мод ¡з иульовими масовими кутовими швидкостями молекул на цю модель перенесено бшышеть результата, здобутих доя моде;п твердих куль.

8. Побудовано наближеш бЬюдальш розв'язки р1внянш Больцмана для твердих куль, коли максвел1всыа моди с стаиюнарними, але неоднорщними (р{вноважш розлодии Максвела-Больцмаиа). Вони описують взаемодно мЬк двома гвинтовими потоками, що обертаються навколо нерухомих осей як тверде тшо. 1з застосуванням обох тишв вдагамв здобуто декиька достатшх умов IX довиьно! мализни, яю формулюються в термшах поведшки температур та

кутових швидкостей гвттв, що вщгювщае газу, який iiepiBnoMipno вичахас при уповшыюшц обертання (з риною швидгаспо), причому 1х 1>стини можуть або взагаш не залежати вад температур, або зилежати щлком визначеним чимом.

9. Запропоновада вихороподабт несташонарш розподши, як модель потопа в газ! з твердих куль, що здатш не тшьки обертатися шаколо свшх осей, а й рухатись поступально разом з ними з довшыгою лшйною швидюстю. Побудовано бшодальш наближеш розв'язки з вихровими модами, i для обох вщхшщ знайдено умови ix довтыкм мализни. При цьому важливу рать вциграють нов! вимоги "самоузшдженостГ кожного з потоюв та ix вэасмио! "когерентносп", а на вдаону вщ внладку гвшгпв Bci стащопарш розв'язки стають неможливими.

10. Здейснено розповсюдження результата, ям стосуються взашодй гвшгтових або вихровнх максвел!ашв, на випадок модел1 Бр1ана-Пщдака, для чого побудовано аналоги таких розгодшв в mi з шершавих куль, причому середа купш швидкост! молекул в кожному з потокш е ненульовями константами i сгавпадають з кутовнми швидкостями обертання самих погоив як шлих навколо своГх осей.

И. Дослщжено фпиши та геометричш особливостг максвел!всысих розв'язюв piiiwiuw Больцмаиа найбцьш загалыюго вигляду, невиом! рашше. Hi результати уточнюють i доповнюють результати Г. Греда, Т. Карлемана та О.Г. Фрщлендера. Виявлено, що при сталШ температуря газу можливим € такий нестацюнарний i неодворшпт його рух, як смерч Сдеформований вихор"), який мае дв1 oci - швидкостей та густин, розташовшшх идлком вюначеним чшом одна вщносно одно!. Описано й muii тшга можливих pyxis як при стадШ, так i при змшнш температур^ таи як стиск - розширення або „прискорення" газу вздовж його oci обертання. Побудовано модель взаемодн мис двома смерчами в газ! з твердих куль, причому умови мишзацц р1вномдрцо-штеграгьного вщхшу внявляються дещо вщмшними вщ аналопчних умов, знайдених рашше у випадку вихор ¡в.

Практнчне значения одержаны результата. Дисертащя мае. здебшьиюго, теоретично значения. II результати можуть бути використаними для подальшого вивчення инетичних р^внянь та властивостей ix розв'язйв, а також в навчалыюму npoueci на старших курсах. фЬико-математичних спещальностей в ушверситетах УкраЗни. 1х передбачаеться засгосовувати в науковш даяльносп спещалкпв з Харивського надюнатьдаго ушверситету ¡м. В.Н. Каразша, Фвико- техшчного шстигуту низьких температур ¡м. Б.1. Веркша НАН Украши, 1нституту теоретично! фпики НИЦ „Харивський ф1эико-техн1чний шетитут", 1нстнтугу математики НАН Украйп, I »статуту прихладних проблем мехашки i математики im. Я.С. ГЦдстригача НАН Украши тошо.

Разом з тим результата дисертацй можугь знайти засгосування i в деякпх прикладних •алузях, таких як пдро- та аеродинамиса, метеорологк та океанолога i т.щ. при побудов1 та (ослщжепш математичиих моделей pinmx процессе, пов'язашх h взаемодеао тих чи irarorx гогошв часток, зокрсма при вивченш еволюцй гвинтових та вихрових теяш.

Зв'язок робота з няуковвмя програмамп, плавамн, тсмамн. Роботу впконшю зпдго з •ематичянмл планами иауково-дослипнх po6ir, що фшгпсукпъся з Konrrie державного яоджету Мипстеретвом освпя i науки Укранш за темами "Аналтгет метода в теори шферешвалышх р^внянь та Teopii керування" в рамках НДР № 4-11-97 (держ. репстр. № H97U01S781), № 4-11-00 (деряс. репстр. № 0100U00350), та "Апалггачш та алгебраТчш метода i теорп днферешд&тьних р1'внянь та теори керування" в рамках НДР № 4-11-03 (держ. репстр. fe 0103U004226), яю вшсоиз'вались зпдаю з плавами науково-дослццтх po6iT кафедри ¡атемапмиого анашу Харювського национального утверснтету ¡и. В.Н. Каразша.

Особистай впесак здобувача. Bci осповт результат робота одержал! здобувачем ;амоспйво. У вивчешп наближених бшодалышх розв'языв pieiisraw Больцмана для твердих уль в npocropi узагалыюних фуикщ'й (див. роботу [4]) особистай вне сок здобувача подягае в гостановщ задачу BuSopi методу дослйжень, а також в формулюванш та вде! доведетш -еореми. При опясанш пронесу взаемодц мшс двома гвпнтовимп те«нями в ra3i з шершавих куль ! використанням 3Mimaroro вуршлу у випадку ненульових масоних кутових шввдкостей «олекул (див. робота [13, 16]) дисертагау нал ежить постановка задачу en6ip модели та методу 5остджень, формулювалня та ¡дея доведекь теорем 1 i 2. У вивчешп бьмодальшсс рдаподшв з >ихровими модами для випадку модем Бр1ана-1Бддака i чисто шгегралыюго ввдхилу (див. юботу [19]) внесок дасертанта полягае в постановш задач), BH6opi модел! та методу дасладжень, побудов1 вихорогвдбного максвелхану для дано! моделт, а також в iaei Bcix йобутих оциюк та висновив.

Апробацш результата десерт»цП. Результата доповвдались иа МЬкнародгай ашферепцц, присвячешй 100-рнчю H.I. Axiejepa "Teopia фугасшй i математичиа фвика" Харюв, серпеиь 2001 р.), Мгжнародшй конференцй з функцюнапьного анашзу, присвяченЙ !00-р1ччю MB. Остроградського (Кшв, серпень 2001 р.), Мскнародтй конференцй, трисвячетй 90-р1ччю O.I. Axie3epa "Кваигова слектродинач1ка та статистичпа фпика" (Харюв, ковтень-листопад 2001 p.), IX МЬшародиШ науковШ конференцй ¡м. акад. М. Кравчука (Кшв, равень 2002 р.), Мгжпароднгй конференцй "Обернет проблемн та нелшШга р1вняшш" (Харюв, ;ерпеиь 2002 р.), Мгашародтй конференцй з комплексного анализу, диференшалытх р1внянь та юв'язаних гоггань (Сревап, вере сень 2002 p.), V Мгжиародиому конгреи з математичного юделювання (Дубна, вересень-жовтень 2002 р.), М1жпародшн конференцй "A.M. Колмогоров га сучасна математика" (Москва, червень 2003 р.), ВсеукраТнсыой конференцй "Сучасш

проблема прикладно! математики та шформатики" (Лыив, вересень 2003 р.), та на таких семшарах: з математичних метода в статистичнш механпп при iHcnnyri математики HAH Украйш (KepiBHiiK - член-корр. HAH Украйш, зав. в1вд. ДЯ.Петрииа), з моделюваиня фзичних процемв i математичж! фпики при ФЬико-техшчноыу шституп низьких температур im. Б.1. Вергана HAH Украши (кер1вник - академж HAH Украши, зав. тдд. С.Я. Хруслов), з диференшальних ршнянь та теорй ксрування при механжо-математичному факультет! Харювського национального ушверсигету im. B.R Каразша (Kepiemnc - д,ф.-м.н., проф., зав. каф. B.L Коробов), з фундаменгальних та прикладних проблем мехашки сущльних середовшц при механшо-математичдаму факультеп Харювсысого нацюнального умверситсту ¿м. В.Н. Каразша (кершник - д.ф -м.н., проф., зав. каф. I.G. Тарапов), з теоретично! фвики при iHcnnyri магнетизму HAH Украйш (кер1вник - д. ф.-м. н., проф., зав. ввд. €.Д. Бшоколос), з нелпнйного математичного анашу при 1нстигуп прикладних проблем мехашки i математики im. Я.С. Пщстригача HAH Украйш (Kepiemoc - д. ф. -м. н., проф., зав. ввдд. А.К. Прикарпатсысий) та in.

Публ1кацш> основ них результат здшснено в сгаттях [1 - 21] та тезах доповщей.

Обсяг i структу ра робота. Днсертатия складаегься 3i вступу, п'яти роздшв, висновюв та списку використаних джерел. У списку використаних джерел 243 наймснувань. Загальний обсяг дисертацн- 285 сторшок. Киыасть шостращй - 10.

оаювний ЗМ1СТ роботи

У Bcryni описано стан i обгрунтовапо актуаяьшсть проблеми, визначено мету, метода, задач!, уедает та об'ост дослщження, висвилевд наукову новизну, теоретично та практичне значения одержаних результата, подано вщомосп про апробацно результатов доаццження та публгкаци автора за темою дисерташ.

У першому роздЫ наведено огляд лггератури за темою дисертацн.

У першому тдроздш наведено класичш робота, монографи, оглядов1 статп та роботи, що стосуються питань обгручггування кшетично! теорй пгав i, зокрема, рхвняння Больцмана

Другий тдроздш мютгть огляд poöiT, в яких була введена або застосовуватась модель шершавих куль.

У третьему тдроздш розглядаються робота, присвячеш моде.ш максвел1вських молекул та П узагальненням.

Четвертый mdpojöii дае огляд деяких шших метода та напрямйв дослцркень в теорй кшетичних р!внянь (питань ¡снування та сдиносп розв'язкш, метода Гшьберта, Чепмена-Енскога та Греда, лшеарюацц р^вняння Больцмана, моде-ii Бхатнагара-Гросса-Крука, одновкм1"рнкх та диекретних моделей цього ргвкяння, узагадькених та модифисованих

анетичних рйнянь або моделей взаемода мнк молекулами газу, чисельш метода та пошук ! шисання максвел)всьюк розв'язив найбмьш загалыгого вигляду повного р('вияшш Больцмана).

У п'ятому тдроздт проведено аналп робгг, яп стосуються бшодального розподолу Гамма - Мотг-Смгга та деяких його узагальнепь.

Шоспгий тдрозды мигать посилаяня на робота автора за темою днсертацп. У сьомому тдроздт наведено ¡или джерела, ям викориетовувались автором пад час юботи над дисертащею.

Другнй роздш обгрунтовуе внб^р напрямку досщдаень.

У пергиому пгдроздт введено осшвш озяачення та позначення, необхщп при годальшому викладенш матер1алу дисертацй. Так, ршшнпя Больцмана розглядаегьея у вигляда

о(о=<ш), (1>

а ох

ом-^ |(1у,[(1а В(у-~у,,а)1Т(1, V',,х)Ш,у\х) _^.х) Г(1,у,х)1, (3)

2 я3 г

[е (р, V, х) - функшя розподцу молекул, яка шукаеться, (1 > 0 - 5х диаметр. \дя модел! твердих куль маемо:

у> = v - а(у - у],а), у) = v + а(у - у|,а), (4)

В(у - vi ,а)= I (у - vi,а) I. (5)

1 випадку модел1 шершавих куль штсграл зтснень 0(£0 дещо модифкустьея зпдно з дармулами:

<№0 -(I2 [(iv, [¿е>,|с1а Ь((у, - у,а)) [А[1,у*,х,с)') % у[ ,х, ш,* ) - АЪуьх.и,)], (6)

и3 в3 г

Ь((у - V,,«» = I ((у, - у,а)+-1 (у, - у,а) I), (7)

V*- V - —Ц- {Ь(у - VI) + а(у - Уьа) + — М[а х (га + Ю1)]}, 0 + 1 2

V* = \1 + —— {Ь(у - уО + а(у - У],а) + — Ьфх х (а + ©1)]}, Ь + 1 2

2 1

га = ш +-{[а х (у - VI)] + — (¡[0(0,0 + 01) - га - ен]},

(1(Ь + 1) 2

.2 1

®1 =®1 +тг-тт{[ах(у-У1)] + --<1[а(а,(9+ш,)-(а-Ю1]}> (8)

<1(Ь+1) 2

Максвешвсыа розподши (максвел1ани), для моделей твердих та шершав их куль вщповщно мають вигляд;

М = М(1,\',х) = р^ , (ю;

М = М(1,у.х,а>) - . (II!

де пдродштичт параметри р (густина), р = 1/2Т (обернена температура), V (масова швидисть),

(а (масова кутова швидюсть молекул) для глобалышх максвел1шпв е стал ими, а в локальному випадку певним чишм залежать в!д часу I та просторових коордшит х е Б3. Зокрема, гвлпгов! максвелшсыа розв'яки (етащонарш, але иеодпорщш) для твердих куль мають вигляд:

М(у,х) = р0ера>2г2Г ЁЧ)3/2е-р(^)2, (12)

(13)

и

у = у + [й>хх], (14)

"о" (15>

а

а для шершавих - такий:

М(у,х,о>) = (16)

де ро - густина газу на оа обертания, © е Я3 - кугова швидость обертання гвинта як щлого, г2 - квадрат вщеташ В1Д точки х до оа, V - лшшнг масова швидисть в початку координат, Хо 6 Я3 - деякз точка на 0С1 обертания.

У другому тдроздт наведено сгрогу постановку зaдaчi отшуку явних наближених розв'язюв р{вняиь Больцмаш та Бр1ана-Пщдака у вигляда бшодалышх розподшв:

Г=ф1М, + (р1М1 = |;(р^;, (17)

¡=1

<?, = Ф,ах), ¡=1,2, (18)

Ф^сога!, ¡ = 1,2 (19)

9, еС'(Т<4), ¡=1,2, (20)

Ф^О, ¡=1,2, (21)

де максвел^ани Мь 1 = 1,2 можуть бути як глобальшши, так I локалышми (рйних тщив), а коефщаггш функцц <Рь 1,2 треба знайти (разом з асимяготичною поведа'нкою числових та

векторних параметрia) так, щоб забезпечуваяась довишпа лгалгана "зю'шашго" або "чисто штегрального" вцрашв А, Д1, яи для твердях куль вводяться так

Д- sup fdv,D(f)-Q(f,f)i, (22)

(uv-r4 rj

Ai= JdtJdx |dv|D(f) - Q(f, f)|, (23)

r1 r3 r3

а для шершавих - так:

Д= sup I dv J do[D(f) - Q(f, f)|, (24)

(i,x)re4 r} r3

Ai — [dtfdx Jdvf<ka|D(f)-Q(f,f)|. (25)

r1 r3 r} r3

У третьему тдроздм описана структура подальшнх роздшв дисертацп з коротким лерелйсом здобутих там результата та вщповщних po6iT автора.

ТретШ розди прнсвячено побудов1 паближепих б!МОдалытх розв'язюв ртняння Больцмана, яи описують взаемодоо глобальипх ыаксвел1вських потоюв в mi з твердих куль. У першому тдроздШ вивчаються одповтирш двопотокош течи, тобто тага, для яких:

/-п\'« 2

Mi = M,(v) = Pi £ e"ftilMi) , i~ 1,2, (26)

<p,(t,x) = = [l + e^1-"»J * „ (27)

<p2(t,x) = l-<p(t,x), (28)

де с, D - довшьга стал!.

Гйсля деяхих очевидних перепозпачень задача (26) - (28) зводпться до тако!:

M(v) = pffif:, Mo(v) - , (29)

V я,

flt,v,x) = <p(t,x)M(v) + [1 - <|>(t,x)]Mo(v). (30)

Спочатку розглянуто випадок, коли ß0 = ßipo = p= l. Тода вцршл (22) задоволыгае HepiBraerb:

4Д S Ii +12, (31)

при чому для величии Ii, 12 справедлива

Теорема 3.1. При будъ-якга фгксованих ?„, с?, D, с, iснують границ!:

lim -D)c+Kl2\%l+ml%\

lim /2 = !Ос + яг/2|у(,| + га/2|?0|. (32)

Перехщ до граниш, кати обернет температуря максвел1вських потаив прямують до несшичешюсп, е необхщним не тйьки в шй теорему а й у eeix насхупннх результатах. Це

пов'язано з (Мюдабною поведшкою максвшатв 1 дозволяс на тертому етат локалвувати швидкосп молекул потоков поблизу значень 1х ыасових швндкостей, що значно спрощус подальший анализ. При таких граничшк переходах застосовуються рпш метода пошуку асимптотик штеграл1в, супремум1в (для чого в робот! у виглядо лем доведено деяю допомЬкш результата досигь загального характеру) тощо, зокрема використовуегься подаиня прибуткового члена штеграла зп-кнень через конфлюептну гшергеометричну фуннпю Куммера, знайдене в роботах Я. ^а5{т11а, 8.М. Вевйралде. а також деяю методи теорй узагальнених фуикшй 1 т. ш.

Наступний накидок з теореми 3.1 дае деилька вар1а!гш розв'язаныя поставлено! задач!. Наслщок 3.1 .Для того, щоб тОхил Л буе як завгодно молим, достатньо, щоб (¡—* +<х>, / хочаб один з таких наборы скчадався з достатньо мал их величин: 1.

2. %;с.

3. ф с.

4 Д- у'.

Зауважимо, що, наприклад, вар1анг 4 строго означас, що:

Уе>0;38>0: 7^:0<<1<6, Ы <5, | V» ! <6; 3 № V р >Ы; Д <с. (33) У випадку р^зних температур 1 густая потоив мае м1сце такнй аналог попередньо! теореми.

Теорема 3.2. Позначимо через ВIЕ там величины:

В - -Ос-рол* | V0|; Е - с(70' + рпОг\ % I. (34)

Тодг, якщо параметры бшодачьного розподшу (30) пов'язат ствв^нои/еннями:

В - Е - 0, (35)

Ро = кр, 0<к<+х>, (36)

то

Ит I] - Ит 12 = рротв^\ \а !, (37)

де /;, ¡2 - там ж, як е (31).

Треба зазначити, що результат (37) не зал ежить в(д параметру к, який входить в (36) 1 харакгеризуе "перепад" температур потоив, що взасмоддагь. Тому I в цьому випадку виконуеться (33).

Насту1ше твердження доповнюс I уточнюс теорему 3.1.

Теорема 33. Нехай зное еиконуються припущен ня Д = Д ро~ р- /. ГодI ¡снуе граница величины Д вшначено'1 в (22):

Ит + 7„1 1 + 1(7,/ -й)с +т}!\%\\ + 2я?\*0\) (38)

(sei mui параметры фЫсовстг).

Цей результат дае змогу для зазначепого частшшого внпадку записати твердження (33) в таюйфорш:

lim lim Д = 0. (39)

vJ-юР-«»

D-»0 d-»0

Явш наближеш розв'язки в простор! узагальнених футшдй шукаються у виглядп

fftvpc) - <p(t,x)5(v - v, ) + [1 - 4Ht,x)]5(v - v2 ), (40)

де v,, vj s R3; v, ív2 - mocobí твпдкосп, a ip(t, x) -такаж, як в (27). "Слабкпй" вадхил Дг визначено так:

Д2= sup ¡<D(í)-Q(f,0,g)|, (41)

(l.xKR4

де g(v) - довшьна основыа функщя.

Теорема 3.4. Нехай розпода f мае еигляд (40), a g(v) е CfR3). Todi: Ve>0;30>0:Vd,D,v¡,v'2:0<d<0. |d| < ö, I v¡ I < 5, I vj, I < Ö; Д2 < £ (42) У другому nidposdùi розглянуто бмып загалышй, nopisramo з попередш'м, випадок неодповишрпих двопотокових течШ газу. Це отначае, що мода, яю входять до розподалу (17) -(21), мають вигляд (26), але коефвдентт фувюй вже не обираються anpiopi у вигляда (27), (28). Спочатху дослуркеш випадок б^модалышх рдагодшв типу розбиггя одшшщ, для яких <pi = q>;

ф2=1-Ч>;фб (0,1).

Теорема 3.5. Нехай функцт (рзадоволъпяс систему р1еиянъ:

+ ~ = -я?рАv, -v¡ \<р(1 -ç),

dt 8х

1,7+ = mfpÁ v2-v, \tp(l-<p). (43)

St ax

Todi ¡снуевеличина A\ така, що

á<A\ (44)

причому

lim A'= 2nd2pip,\v1-v,\ sup [<p(l~<p)]. (45)

M2-*» (IJc)fJ¡4

Наступне тверджепня не тйьки вщповщас па питатм про суъйстсть системи (43) в вшцезазначеному клай функщй, aie й дае описания загального розв'язку шп система

Теорема 3.6. Для будь-якихd, p¡, p¡> 0,v,,v2 eR3; v, * v2 загачьнийрозе'язоксистеми (43) мае еигляд:

*13(1>1+Р2Х? х РЯ+РгЪ,

<р(и) = [1 + С([х х ф - у,)] -х у2]) е >]-, (46)

де С > 0- довтьна гладка фуккцш.

Наслцок 33. Якщо функцЫ <рмае вигляд (46), то

Уе > О, 35 > 0: Ж' 0 < ¿1 < 6; ЗА': ОД, Дг > .У; Л < к (47)

Зауважимо, що аргумент функцн С, яка входить до (46), теж може буш звсдеиим до

виразу

х-Р^., (48)

Р1+Р2

тобто знайдений наближешш роэв'язок р1вняши Больцмана дшспо описуе "змшаний" полк, що рухасться з "фазовою" швидмспо, яка е ссредньозваженою масових швидаостей початкових максвешвських потогав.

Якщо вщмовишсь ВЦ вимоги ф| + ф2 = 1, • вважати з самого початку функщ! ф], ф2 довшьшши (в рамках вихадних припущснь (18) - (21)) обмеженими на Я4 функциями, то аналогом теореми 3.5 будс така

Теорема 3.7. Нехай функцп фи фзадовольняють систему ршянъ:

= -v, | <р,<р2,

д! ах

—-+73 = -т?р11 72-V, I <р]<р2- (49)

а дх

ТоЫ мае лйсце (44), причому

Иш А' = 2ж1гр,р2\72-у1\ ¡ир (я>,.<р2). (50)

Для системи (49) вже не вдасться знайги за!-алыюго розв'язку, а тиьки деяи класи и розв'язюв. Один з них описуе наступна

Теорема 3.9. Нехай V, = 0, i \([хх\1]) - довольна гладка додатна обмежеиа функцЫ. Годг для будь-яких р/, Р2 > 0, у2 # 0 ¡сиуе розе 'язок системы (49), який, крик тих же попередиххумов, задоволъняе ще й додаткову умову:

Х<р, + р<р2 = у([х х у2]), (51)

Ое Л, р > 0- довшън/ константы. Цейрозе 'язок мае вигляд:

Чч(1х) = \Цх х у2]){Х + В[х х у2]е

} '

<р2(',х) = - (ф X у2] - л<р,(1.х)). (52)

Для теореми 3.7 справедливей паслщох, цшком аиалопчипн наслщку 3.3. Але гепер з'явдяеться i нова можлгансть досягга довшыю! мачизни в1дхилу А, причому для яких зав годно чисел Кнудсена (тобто при будь-якому фксованому зиаченш d > 0), за рахунок шпшх факгор1в. А саме, яйцо з самого початку шукати <pi i ф2 у виглядк

Ф1 = С,(х- v, I), ф2 = С2(х - v21), (53)

або в чисто стацюнзрнш ситуаци

<?, = С,([х х v, ]), ф2 = С2([х х v2 ]), (54)

де фмитш функци С|, С2 мають nocii, що не перерпаються.

У третьему nidpoidm здейснюсться перехад до тримодальнпх разподшв вигляду.

f=S<PM- (55)

i=i

Спочатку вивчаетъся ршпомарно-штегральний вадхил А, але виявляегься, що певш техшчш труднопв не дозволяють автоматично перенести бтинсть результатов попередшх шдроздшв на випадок трьох мод. Так, щея вадокремлення змшних t, х та v, яка фактично закладена в формулюваши теорем 3.1 - 3.4 i вщбита в привущенпях (27), (28), тепер призводпть до порушевня вимог позлтивпоеп та неперервносп коефодатшх функцй. Система pismub, аналопчна (49) (або навггь и окремому випадку (43)), яка м!стигь три пев1ДОМ1 функцй, виявлясться набагато складшшою, i знайти досить широн класи И розв'язгав, cxoaci на (46) або (52), не вдапъся. Зберггаеться лшие аналог твердаення (47) (в якому додаеться вимога Рз > N)> ягацо функцй фь i «* 1,2,3 мають таку ж структуру, як (53) або (54), та його вдосконаления, де умову достатный мализии велнчшш d замшено або на фитшсть фунгавй Ci, i = 1,2,3 i вимогу того, щоб ix hoch не перер1залпся, або на припущеиня про pisnicTb Bcix трьох масових швидкостей (v, = v2=v3). Наведено илька прикладов таких рдаподшв.

Перехвд до вивчення чисто ¡пгегралыюго вадхилу Ai вигляду (23) дозволяс знайги пр1шципово iiosi умови його довшдоТ мализни. Перший такий результат сгосуеться б1модатьиих розподшв.

Теорема 3.12. Нехай

<р, = ф1) - [1 + ea'r': <P2 = I-<Pi. (56)

Todi ¡снуе токе гl/'tifo

А, ¿¿И, (57)

причому

lim Um lim ä', =0. (58)

Дал! наведено декшька узагальнень щлго факту. Наступна теорема сгосусгься вже тримодалыюго випадку i потребуе для свого формулювання деяких нових означень.

Означенна 33. Нехай G - область в {С така, що число компонент зе 'язноспи nepepáy G зякою завгодно прямою, яка параяельна довшыпй коордтаттй oci, скмчене. Позначимо через G¿ (8> 0) 8 -ош облаетi G (тобто множину тонок, «¡бстанъ яких eió G не перевищус 8). Якщо п = 4 i координата позначенi l, xk (k = 1,2,3), позначимо через G* проекцию G на г'терпяощииу t = 0,a через(t -нагтерплощинуд* = 0 (к = 1,2,3).

Означенна 3.4. Нехай G cRА; 8> 0. Назвемо "8-плато" над областю G таку функцш <pdG, t,x) е C'fR4), дляякоТвиконусться:

"1, (t.x)eG,

<ps(G,t,x) = О, (t,x)eR4 \Gg, (59)

0i<ps £l, (í,x)eG¿\G,

i, крш того, на кожнт прямш, паракльит якш завгодно з координатних осей, <p¿Mac не би/ыи як скЫчену ктьюсть строгих екстрему.шв.

Домовимось також позначати об 'еми (Mipu) eidnoeióHoi euMipHOcmi буквою р.

Теорема 3.13. Нехай G¡, G2 с R4 - обмежет обпастх з означения 3.3, i 5¡, 82> О moKi, що G¡s¡ г> G2¡2 - 0. Нехай плато <ps¡ (G¡, t, х) та <рЙ1 (G2, t, х) с такими, що загальна юлъккть Sc екстремумш з означения 3.4 обмеясена pienoMipno eidHocw eeix аргументов константою К при Si, 82 -* 0. Todi, якщо

Ч>, = <рг, (G;Xx); <р2 = <ps¡ (G¡,t,x); tp, = I - q>, - дь, (60)

то ienyeтаке A¡' для якогоeipuo (57), причому придовЫьному фжсованому d> 0 еиконусться:

lim lim lim A'¡ = 0. (61)

(1=1.2; k=],2J)

Зауважимо, що в сгацюнаршй ситуашГ вимога n(G,v) -> 0 стас непотребною. Припущення (60) можна замшиги на бшып жорстю, що приводить до деякого спрощення твердження (61).

Дал1 проаналвовано ф1зичний сенс bcíx можливих розв'язюв, яи даються останньою теоремою, та Ix стацюнарних аналога. Виявляеться, що можлива товедшка об'остш (неоднорщностей в ra3i) суггево залежить вщ Ix геометричноГ структури й вгои'рносп. KpÍM того, в деяких випадках знайдено кореляцно м1ж поведцжою обох фшпних об'míe (пошив, що вщювщають (¡>i та tp2) й середавица (потоку, вздповщному <рз).

Четвертый тдрозды шсткгь деям узагальнення результатов попереднк щдроздшв. Тут розглядаються мвдгомодальш розподаш внгляду:

<Ö,v,x) = 24»i(t.*)M,(v), (62)

i=l

Перш за все, легко встаговлюсться пряме узагальнення теореми 3.13 на випадок m > 3. При цьому виявляегься, що внщезгадана корелящя мщ поведшкою сб'екпв та середовшца стае "груповою", тобто з'являються моз&швосп ¡снуваняя шлих "пучюв" однотипних об'скпв, що рухаються в середовшщ, але ix pyx строго регламентовано.

1нше узагальнення попереднмн теореми полягас в наступному тверджегао. Теорема 3.14. Нехай розподы/мае вигляд (62), a G, с: К1, i = 1,...,т-1 - оамежет облает! 13означення 3.3, Иснують такгД > О, / = 1,...,т-1. що npui,j = 1,...,т-1 тконуетъея:

G,SinGjSj =0, i*j. (63)

Нехайгладк! neeid'ami функцИq^(t, х), i -),...,т, маютьне быьшяксктчену кыък'юпь строгих екстрему.тв на будь-якш пряшй, параяелънШ якш завгооно з осей координат. У, крш того,

®(t,x) = 0; (tjc) €lf\G,Si, i = l.....m-1; (64)

<pm(t,x) = 0; (t,x) eG„ i = /,..., m-1; (65)

m-J

<Pm(Vc) = const; (t,x) £F FT \ [J GjS . (66)

IJpurtycmuMO гце, що eci функцИ <p, , i - l,...,m мають no кожнш гшннт t, x*. (k = 1, 2, 3) варгацп, як/ обмежет pimoMipno за eciua змгнними та параметрами. Todi ¡снуе таке Л], що трно (57), причому при довшыюму фжсованому d> 0справедливо:

lim lim lim Л) = 0. (67)

У випадку вщхилу Д доводиться така

Теорема 3.15. Якщо глада функци <р, i 0 обмеженi на К* разом з

та —±.0 =

dl дхк 1,...,т; к = 1,2,3), то виконуеться (44), де

lim

.т)

"LP, ™Р

д<Р, dt

' дх

П J"

Wj

2mi2 f, p.pfc, ~Vj\ sup (<p,<pj). (68)

IJ'I ttx^R4

tej

Останнш вираз, очевидно, породжуе таку систему дифереищальних р1вняиь, аналопчиу

(49):

¿J'+v,^'=-r[d2(?lp):v1-vJ!<(»JJ i=l.....m. (69)

а ox 1

Якщо ввести позначення:

p,q>,(t,x) = члСу); y = (t,x) е R4;

и, — (1,v¡) е R4; i=l,...,m; a,j = -ltd21 v¡ - vj I, ij=l,...,m;

u = (п,1)^; a (a^ij^i.....„„ (70)

то система (69) нерепишсться в тамй матричшй формк

(|-UT)u = (AwTk (71)

ду

де V - вектор-сговпець функщй ад , • - що шукаються; — - вщповщна матриця íhco6i;

5у

шдекси ii показують, що прир1втоготься лише дшгоиальш елеменги зазначеиих добутмв матриць. При m¿3 знайти загаиний розв'язок uiei системи не вдаегься. Проте, як показуе наступна теорема, ця система с сумкною в клаи гладких обмежеиих неввд'емних функцш.

Теорема 3.16. Системур1внянь (71) задовольняс воображения уз компонентами щ(у),

i - }.....т еигяяду (туту = (t, х)):

<¡>,(t,x) = С,(х - v¡t), i = 1.....т, (72)

де глады функцИ Q ¿0 (pmimui в

Л*. причому цилшдри в Л4, побудоват на hocíxx цих функцш з

meipHUMU, що паралелыи \teidnoeidHO, не перерЬаютъся.

В сгацюнаршй сигу ami залнеть (72) слщ взята

(?,(х> = Е,([хх у,]), i- 1.....ш, (73)

де фуикцп E¡ мають tí ж властивосп, що C¡. Осгання теорема разом з (68) шказуе, що довшьна

мализна вадхилу Д знов може бути забезпеченою за рахунок умов (72) або (73) разом з шшими

вимогами теореми 3.16, або одним з припущень: достатньо! мализни d чи ствпадання bclx

масових швидкостей (v¡ = v¡, Lj = 1,... ,m). В цьому (останньому) випадку можна твердите, що

lim Д = 0. (74)

Й-«"

...л)

Здобуто також узагальнення них тверджень на випадок строго додатних коефидснтних функщй, що задовольняють додаткову умову (X - квазпфшгтшсть заметь фшггносп).

У четвертому роздЫ вивчасться взаемода Ы1ж локальними максве.'нвськими потоками в газ! з твердих куль.

Перший тдроздш прпсвячено стащ'онарним неоднорицшм потокам (гвинтам), яю обертаються навколо своТх нерухомнх осей 1 можуть рухатись поступально лнше вздовж них. Вщповиш максвел1всыа моди М,, 1 = 1, 2 мають вигляд (12) - (15) з рпними (апрюр1 довшьними) параметрами р;, , г,2, V,, хй, ¡=1,2.

У випадку змшаного вщхилу доведено таи твердження.

Теорема 4.1. Нехай

<1>{1Л) = , г = 1,2. (75)

деглады функци щ ¿0не заяежатьей/?/, ¡}2, /'

1.2. (76)

' Д 7

де у, > 0 - довйьн! константы; ш01 - довыьт фгксованг вектори. Todi, якщо величины dVi

Sy,

& . |х дф, х i = U (77)

обмежет по /, х на R4, то icnyc eidxux Д еизначений зйдно з (22), i таке А\ що eipHO (44), причому iarye скЫчена границя (позначные if через L):

L= hm Л = I р, sup + pJnd'Vlyf2\v,~v)

2xd2p,p2\v,-v2\ sup (y,y2). (78)

Теорем» 4J2. Нехай виконуються sei умови теоремы 4.1, за виключенням (76), зам!сть чого припускаеться, що

, '-12 (79)

VA

Todi мае Mici/e такий аналог твердження (78):

4 2

Um Л'= L + -r=Y.P,sMeöoi^v,]\ SUP Vi- (80)

Наступи ден теореми стосуються того окремого випадку, коли хщ = 0, i = 1, 2, тобто oci обертшшя обох гвшптв проходять через початок координат, причому в друпй з mix не використовуеться припущення (75), тобто взагаш не беругь учасп фушпш i 1, 2 (ф'вично

це вщповщае ситуаш!, коли густини потокш зал сжать вщ !х температур, але в рамках певних обмежень).

Теорема 4.3. Нехай

в». = I=1,2.

№

причому

ТоЫ при виконанм умов (77) справедливо (44). де

4 2 2—1 Ит + к, ([[соа, ух]\у,).

(81)

(82)

(83)

Теорема 4.4. Нехай розподш /мае вигляд (17), де функции /' = 1,2 не залежать «¡д Д, 1 = 1. 2, причому викопустъся одна зумое (76) або (79), ¡, крш того, мае мгеце (82). Покладемо

1, якщо в!рио (4.23),

№ "

е!?1ат'х1\ якщо в!рно (4.30).

(84)

Год! якщо величины

д-д2 ¡Ъ веН [¿й ч' ' & ' &

<р,\[й>0, *Х]\

8х

[аш х х]'/'"'• , г-1,2

(85)

оамежеи/ по 1,х наИ4 при /? —у / = 1,2, то справедливо (44), причому

1т А'= А Щ>

дх У

(х) + <р,<?2р,(х)р2(х)к!2р]у< -vj\+

2р,р3т12]р,-\21 ¡ир [р,(х)р2(х)<р1<р2].

(86)

(ис^к-

Настугашй результат пов'язаний з випадком, коли а, та V;, 1 = 1,2 прямуютъ до нуля водночас 1 узгоджено, тобто но деякШ "траекгери" в простор! параметров.

Теорема 4.5. Нехай функци щ, / = 1, 2 зное мають вигляд (75), виконано умову (81), ;, крш того,

г _

1-1,2,

де сг, > 0; уи - довиыа стали Тод1 в припущетях (77) вфно(44), де

Ит =

вир

оу,

а

-iя (имя4

■я я (мми)

Спираючись на здобуп вирази для границь величяни Д' при (3) -» 1 = 1,2, можна знайте деяи досгатш умови того, шо

Д 0, (89)

(треба мати на \Ra3i, що залис (89) не у вах випадках мае строгай сенс (74), 1 шкода потребуе биьш складно! конкретизацн в форМ1, аналоп'чтй (33) або (47) тощо; те ж саме стосуегься запису <1 —» 0, який зустр1чаеться пижче, I означав лише, що розглядаються досить велии числа Кнудсена).

Наел цок 4.1. Нехай виконуютъея еЫ припущетя теореми 4.1. Тодг справедливо (89),

якщо мас.шсце хоча 6 одна зумов: }). у, =

щ= щ(х). 1=1,2; (90)

де щ(х) - ят завгодно функцп, що задоволъняють вгшоги (17).

2). V, = у2#0, виконусться (82) I

щ = С,([ххч, ]), ¡=1,2, (91)

де С, ¿0 - 6удь-хю гладт фжтт або гивидкоспадт функци зазначених аргументов.

3). v, - у2 виконусться (82) 1

щ = С,(х-\;1), 1=1,2, (92)

де С,- так/ ж, як в пунктг 2).

4). у, = 0; вектори v,, , ю02 колшеарнг, а функци щ, у/2 маютъ вигляд правих

частиц формул (52) з зашною V, на у2, де функцп утай мають такг ж властивостг, як С/, г - 1,2 в (91), /, крш того,

<!->О; (93)

5). v, &0; v, - довЫьн!. виконусться (82), функци щ, 1 = 1,2 мають вигляд (92) /, крЫ того,

¡ирр Ц>! п трр у/, - 0; (94)

6). V] - — довиьн), функцп щ, 1 = 1,2 мають вигпяд (91) або (92) / виконуються (93) та (82).

Наслщок 4.2. Нехай мають М'сце вЫ прип^щення теореми 4.2. Тодг справедливо (89), якщо виконусться хоча б одна з умов наслюку 4.11 крш того, хоча б одна з таких вимог: (82) або

Ь-Ю, 1-1,2. (95)

Н*сл¡док A3. Нехай мають мкуе eci припущення теореми 4.3. Todi справедливо (89), якщо виконуються хоча б одна зумов наемдку 4.1 i, крш того, (95).

Наел ¡док 4.4. Нехай виконуються eci припущення теореми 4.4 /, крш того, функцп (pi [а>0, хх]2 } обмежет по t,x на R4 при fi —> +со, i - 1, 2. Todi, якщо Çt с такими,

що добутки pffî, i = 1, 2, de ц визначет в (84), задоволытють одну з умов 1) ~ 6), якi накяадаються в наспМку 4.1 на функцп щ, то мае мгеце (89).

Наслщок 4.5. Нехай мають мгеце eci пркпущення теореми 4.5. Todi справедливо (89), якщо виконуються умови (90) та (95).

При перехода до вивчення чисто нггегралыюго вадхилу Д|, що задасться формулою (23), можна сформулювати шдсумковий результат, аналопчний теоремам 4.1-4.5.

Теорема 4.6. Справедлив! аналогиecix тверджень теорем 4.1 -4.5, вякихзашеть Ai А' беруть участь величини А; ma A] eidnoeidiio, яп пов 'язам/ ствв1дпошенням (57), а заметь супремумы за змтними t, х cnid обчислювати ттеграли по t, х (в стацюнарнш ситуацп - лише по х), якщо замтити вимогу обмеэюеноепп по t. х ecix величин (77), (85) i т. т., що входять до умов цих теорем, на вимогу належкой цих величин простору Li(R4) (в стацюнарнш ситуацИ

3 uieï теореми також випливае низка наел ¡див, я ici дають умови довшлкп мализни вщхилу Д], що за аналопао з (89) домовимось коротко записувати так:

Д, -> 0 (96)

(строгий сенс цього твердження знов-такн потребуе конкретизацн в форм), аналопчнш (61) чи (67) тощо з урахуванням (57)).

Цаслиок 4.6. Нехай виконуються умови (75), (76). Todi справедливо (96), якщо задовольняеться хоч одна з вимог:

1). (90), де функцп щ, i = 1,2 mam, що вирази (77) належать Liflt1).

2). Функцп щ мають вигляд фштних "плато" (див. означення 3.4), таких, що мхри проекцш мноэкин suppy,, i = 1,2 на гтерплощину 1-0 прямують до нуля (у випадку, коли у/ь i = 1,2 не залежать eid t, тобто розподы f с стацюнариим, tie припущення вгдеутне), i

v* mes (suppy/ ~*0, i = 1,2; k = 1,2,3 (97)

(due. означення 3.3), i, крш того, мае Micye хоч одне b наступних емве'гдношенъ: (93), або

V,=v2*0; (98)

або

mes (suppifi nsuppYij-tO (99)

(зокрема, може виконуватись (94)).

Наел ¡док 4.7. Пехай виконано ваумоеи наслк)ку 4.6, крм (76), заметь якого eipno (79), i, крш того, маеласце хоч одна з егшог (82) або (95). Todi справедливо (96).

Наслйок 4.8. Пехай выкопано ваумови насл'1дку 4.6 с замшою (76) на (81), i, крЫ того, справедлив) (95) та (82). Todi мае Mici/e (96).

Наел ¡док 4.9. Нехай виконано eci припущення нашдку 4.4, ate eci функци, що там введенi, належать h, причому вирази цф, i = 1,2 задовольняють mi ж вимоги, ям накладено на функцП у„ i = 1,2 в uaaiidKy 4.6. Todi eipno (96).

Наел ¡док 4.10. Теердження (96) зберкас силу, якщо виконуються умови (75), (81), (87), (95), а також хоча б одне з двох припущены або пункт 1) нашдку 4.6, або функци \¡rb i = 1,2 мають вигляд фттних "плато", таких, щолиримножим (suppy,,)*, i = 1,2 (див. означения 3.3) прямують до нуля.

Здобуп в цьому пщроздш результата проанал13овано з фвично! точки зору. Зокрема, умова (98) може бути проигтерпретованою як когерентшеть гвинпв (сга'впадання потоив в окал i початку координат), а (99) (зокрема, (94)) - як часткова або повна етратифжащя об'ект (потоюв) в raii.

У др)<гаму nidpo3diii доелдауються нестацюйарю максвел1всью розподш, яю моделюють вихров! потоки в raii з твердих куль, здатш, на вимшу вщ гвннтових, рухатись поступально з довшьпими "швидкоетями дрейфу" ii¡ е R3, i = 1,2. Boira задаються формулами:

(100)

v¡ = v, (t, х) = v¡ + [ a¡ X (X - ц, t)], i = 1,2, т,г = r¡2(t, x) = r-'jfw, x (x -xoi -ü,t)]\

(101)

(102)

(103)

(104)

Теорема 4.7. Hexaü виконуапься (75), de г,2 мають вигляд (102), i

de m, > 0 - довыът константи. Нехай maní функгр> eió t, x обмежет на Ff:

w

dVi

et '

дуг,

&

; \[ú>oi j [w0, y.(x-u,í)],^-\, i = 1,2.

Todi icnye Д задаче в (22), i таке А' що справедливо (44), причому: 1).Якщо

або

то мае м1сцеpieuicmb (78). 2). Якщо

т,> 1/2, ¡ = 1,2,

т, > 1/4, i " 1.2, [Щ, x(v( -и,)] =0,

т, = 1/2, i = 1,2,

im A' = L + -T=flp,sI\[co0l xfv, -и,)]\ sup у,.

V/Г /,/ (ы)еК4

¡im

3). Якщо

m, = 1/4, i = 1.2

i виконусться (109), то

4 1

►«о J=U ' ^

(106)

(107)

(108) (109)

(110) (111)

(112) (113)

(tjJtK*

Здобуто й делю iiaui тсореми аналопчного характеру. 3 теореми 4.7 маемо таи наслщкй.

Наел ¡док 4.11. Нехаймаютъ мюце припущення (75) i (105). Todi справедливо (89), якщо функци i//„ i = 1,2 мають еигаяд (92), i виконусться хоч одна з вимог:

1). HepieHicmb (108) i

vj=v2=u,=ü2. (114)

2). HepieHicmb (108), i

v, * v; = ü2, (115)

i або (93), або (94).

3). Pimicmb (112), i (114) або (115) разом з (93) чи (94), i, кр'ш того, умоеа (95). Наслйок 4.12. Нехай зное виконусться (75) i (105), але v, i = 1,2, проте маемкце

(109). Todi справедливо (89), якщо

у,, = c,([xx(v,-S,)]-1[й, xv,;;, ¡=1,2, (116)

de Q мають mi ж enaemueoemi, що й в (92), i задоволъняеться хоч одна з вимог:

1). HepieHicmb (108) i ствв^дношення (98), або (93), або (94).

2). Pieuicmb (112), i (98) або (93), або (94), i, крш того, умова (95).

IJi наслщки показуютъ, що гу стони BHXopis, яю взаемодЬоть, на вдоину в1д гвшгпв, не можуть залежати вщ температур. KpiM того, новими с умови (114) або (115) i (109), яи можна трактувати як самоузгоджешетъ кожного з BnxopiB, а також форма apiyMeirxy в (116), яка вщповщае цшндричному рознодщу густини газу, сталому на кожшй прямШ, паралелыпй його oci, тобто (завдяки (109)) вектору v¡ -ü¡, i = 1,2. KpiM того, bcí сташонарш розв'язки, а також i деяю нестащонарш, яю були можливпми для гвинпв, стають неприйнятннми у вппадку

BIKOpÍB.

Для випадку йггегрального ввдхилу Аь за аналопоо з теоремою 4.6, можна обмежитись таким шдсумковим тверджепням.

Теорема 4.10. Справедливг аналоги ecix тверджень теорем 4.7 - 4.9, де зачесть Ama А' берутъ участь величины A¡ та A¡' eidnoeidno, ям пов 'язат ствв!дношетями (57), а заметь супремум ¡в по í, х обчислюються ттеграли по /, х, якщо замЫити вимогу об.иеженостi ecix величин (106) i т. д., що входять до умов цих теорем, на умов}' належност! i¡ux величин простору Li(PC).

Зв1дси виплнвають таи наслщки.

НаслЬок 4.13. Нехай виконуються (75) i (105), i, крш того, функци у/, маютъ вигляд фттних "плато" (див. означения 3.3, 3.4), таких, що

mes (suppiyf -» 0; i = 1,2; (117)

i мае Mia;e (97). Даль нехай задовольнясться хоч одна з вимог: (93), або (98), або (99) (зокрема, (94)). Todi справедливо (96). якщо eipno (107), або (108) i (109), або (110) i (109) чи (95), або (112), (109) та (95).

НаслЬок 4.14. Нехай розподт/мае вигляд (17), de <¡h, / = 1, 2 не залежать eid Д / = 1,2. Todi справедливо (96) при виконатп таких умов: eipno (82) та (107), або (82), (110) i (95), а функци (рь i = 1,2 задовольняють mi жумови, що функци щ, i = 1,2 в naaiidvy 4.13.

Як покаэують ni два наслщки, i тут стацюнарш розв'язки с пеможливими, i троте при застосуванш вщхилу Д|, на в ¡дм) ну В1Д Д, з'являклъся Bapiawm (а саме - наслщок 4.14), коли густили потоюв певним чином можуть затежати eia Ix температур.

У третьему тдроздт вивчаються властивосп локальних максведавських розв'язюв р!вняння Больцмана найбоып загального вигляду. Спираючись на результата Г. Греда, Т. Карлемана та ш., як! стосуються можливого характеру залежносп пдродинам1Чних параметры bu t та х, вдаеться дослцщги деяи важлив1 деташ припустимих pyxie газу.

Так, у випадку, коли температура газу не залежить вьч 1, найпростшшй такий рух (його названо смерчем) задасться формулою, щлком аналопчною формул1 (100), але з такими суттевими змшачя:

24

У = У+[1х(х-®01)],

и

(И8)

(119)

(120)

де ц0 — довшьгаш вектор, ортогоналыпш вектору ш. Таким чином, смерч можна розглядати як "деформований вихор", який мае да паралельш ос£: одна з них при г = 0 проходить через точку Хо (вкь обертання), а шша - через точку ха (вкь густшш), а сам смерч в цшому рухаетьея перпендикулярно до площшш цих осей 31 швидистю й0. Крш того, ршшдш густшш стае несиметричним вщносно ос! обертання, тобто утворююгься зош "розрвдження" та "згущення". В бшьш загалыий сигуацй спостер1гасться також "гальмування-прискорення" та "розрдасепня-згущення" газу вздовж ой обертання смерчу.

Якщо ж температура газу теж с функцию вад I, то, кр!м вже описаних ефекпв, з'являються ще й "ращальний стиск-розпшрення" та "роз1грш-охалодження" газу, а також його кутове "прпскорення-гальмування".

Пронрс взасмодц двох смерч!в в пш з твердих куль описують настушп тверджегаш.

Теорема 4.11. Нехай в бшодадьнаму розподш! / моди М, мають вигляд (100), (118) -(120) з ргзними значениями параметры Д ит, д I = 1,2, а функцп щ, I = ¡,2,не

заяеокать в/д Д / = 1,2, причому добутки множника ехр{0,(6* г?}, де г* задано в (119), на функцй

(121)

обмелеет по г, хна К1. Нехай

>01р;щ, I - 1,2,

[юш х (у, -йи )]=0, ¿ = 1.2.

(122) (123)

Тодг справедливо (44), причому: 1). Якщо «¡рно (110), то

Ит А' = £ р, щ>

2

г*

2р,р2т?\\, -у.,) щ> [»,(1,х)р30.х)<р,<рг].

(124)

де

ц(1, х) =ехр{[а>С1х(х-и^)]г}. ¡=1,2.

(125)

2). Якщо eipno (107), то маешсце piemcmb (124) при p.(t, х) = 1, /' = 1,2.

Теорема 4.12. Пехай виконуеться (75), де у/„ г = 1,2 не залежать eid fi, i = 1,2, i умова (106) з замтою и, на иа, де г,3 мае вигляд (119), i = 1,2, а також (122) при т, > 1/2, i = 1,2. Todi eipno (44). причому заумови (107) мае Micye (78), а заумови (ПО) справедливо (111) npus, = / j с замтою и, на u0l, i - 1,2.

HaciiiOK 4.15. Пехай виконуються eci припущення теореми 4.11, причому функцп <р,, i = 1,2 мають такий же вигляд, як щ, i - 1,2 або в (92), або в (116) з замтою и, на ит, i = 1,2. Todi:

1). Якщо eipno (98) або (94), то справедливо (74) при т - 2.

2). Для довтьних у( / suppy>„ i - 1,2 eipno (47).

Наслиок 4.16. Пехай виконуються припущення теореми 4.12. Todi:

1). Якщо функцп щ, i = 1,2 мають вигляд (92) i вгрно (98) або (94), причому

v, / - 1,2, (126)

то справедливо (74) при т = 2.

2). Ятцо eipno (92) i (126), то виконусться (47).

3). Якщо функцп у/, мають вигляд (116) з замтою и, на йа, i = 1,2, а заи'ють (126) виконуеться (123) i (98) або (94), то справедливо (74) при т - 2.

4). За тих же умов, що в пунктi 3), крш (98) та (94), eipno (47).

Результата теореми 4.12 i наслдау 4.16 для смерч!в та вихор ¡в практично сшвпадають, а щодо результате теореми 4.11 та насдадку 4.15, то воии як раз демонструють суттеву рпшшю м!ж щши двома типами розподшв. Вона полягае в тому, що довшьна мализна вщхилу А для BHxopie не може бути досягнутою без умови (75), а для смерч^в - може (див. наслщок 4.15). Тобто гуспши смер'пв у випадку згаданого вдадлу можуть залежати вщ i'x температур, на вщмщу в1д BHxopie.

Зауважимо також, що при pi -> +°о обертшшя обох cMep4iB, яга взаемодоють, уповшыпостьея, а деформаш'я посшпоеться, тобто в ¡д стань мгле осями швидкостсй та густнн зростае, хоча CMepni й залишаються когерентними.

У п'ятому роздип задача пошуку достаттх умов довшьшн мализни вщхошв Д та А, (тепер вони беруться у вигляда (24), (25)) розглядаеться для випадку модел)" шершавих куль (ршшшя Бр1"ана-П1ддака (1), (2), (6) - (9)).

У першому тдроздЫ дослщжено взаемодао двох глобальних максвеллвських потоюв. В цьому випадку MacoBi Kyrosi швидкосп to,, i = 1,2 повинш дор1втповати нулю, тобто моди мають вигляд:

М, = М,(У, ш) - - »=1.2, (127)

Теорема 5.1. Нехай ва параметры бмодалыюго розпоЫлу /, крш Д -> -не, довшьт й фгксованй Тоди

а). Для будь-яких гладких <ри <Рз 2 0, ям обмежем на Я4 разом з> своши похШними по I, х, ¡снуе величина А 'тока, що еикануеться (44), причему

2

lim А" = 2 Pi Щ>

¡>Г+*» I ,J=lJtJ ахт4

~+ñ ~+ VjPiPjtá3'?, -

2népip2¡Vj — v7j sup (<p,<p2). (128)

б). Ящо <p¡, крш зазначених в пункт! а) властгтостей, задовольняютъ ще й току

умову: <р., , &L,(R4), i = 1,2, то iaryeвеличина Л], дляякоТвгрно (57), причому & дх

lim А\ = ídt ¡dx

о¿ ¿

2

I Р.

i.l'UtJ

-+2n?PiP2|v2-v¡\<p,<p2\. (129)

Цей результат юказуе, що з точки зору поведднки величин А' та A¡' при р, -> +оо, 1=1,2 обертадая молекул навколо IX осей (але за умовн с\ = 0, i = 1,2) та перехвд поступально! й обертальш! еиергш одне в одного в момент зггкненда часгок газу, а також розподш (¡зотрошшй) речовиии всередиш кожно! молекули (який хар акгеризусгься параметром Ъ) ве с сутгевими. Таким чином, подальша шшшшш вщхилш Д та Ai може бути забезпеченою для р1вняння Бр^ана-Гйддака за рахунок тих самих факгорш, що й для ршшпшя Больцмана. Але в цьому випадку порядок эаШснения граяичних перехода за рЬними параметрами, який був дуже суттсвим i для результатов роздшв 3, 4 (див., скажгно, (33), (47) тощо), стае особливо важливим ще й тому, що, налриклад, прямування d до нуля навпъ формально стае немождивим в вир азах (8), а в (9) призводигь до трив1альш! сшуаш: I -> О, тобто f-> 0.

У другому тдроздш розглядасться випадок гвивтових мод виг ляду (16) в збереженням (13) - (15), параметра яких е рвпями й anpiopi довиьними (тепер <d¡ = const * 0, i = 1,2 задшоть водночас i середню масову швддюсть обертання молекул газу навколо cboíx осей, i кутову швидюсть обертання гвшгга як цшого).

У випадку змш1зного ведхилу виг ляду (24) доведено там твердження.

Теорема 5.2. Нехай макть Micye припущення (75), (77), i (105). Todi справедливо (89) в будь-ятй з таких ситуацШ:

I. BipHo (107) i шконуеться хоча б одна зумов 1)-6) Haaiidtty 4.1.

II. BipHO (110) i виконуються умови насл/дку 4.2.

111. BipHo (82), виконусться хоча б одна зумов 1) - 6) насидку 4.1, i, крш того, або т, е (1/4, 1/2), i = 1,2,

або (95) та (112).

Теорема 5.3. Нехай коефщюнтт фуикцй бшадалшого розподшу <р,, i - 1,2 не заяежать eid ß, i ~ 1,2, i добутки svpa3ie

для кожного i = 1, 2 на величины (121) при u()i = 0 та на <р,[a>0l х х]г е обмеженими на tC при ß, -> -но, i = 1,2, i виконуеться (105), (82), а також або (107), або (110). Нехай функци

задовольняютъ одне з припущень пункту 1 теореми 5.2 з тдстановкою £ замгсть щ. ТоЫ справедливо (89).

Теорема 5.4. Нехай виконуютъся ее/ вих^дш припущення теореми 5.2 / р1в!истн (112). Нехай, крш того, справедливо ст'втдношення (87). Тод» при виконанн/ (90) та (95) мае мгеце

При перехода до досл!дження вщхилу Д|, заданого в (25), одразу ж покладаеться, що Bei розглядуваш тут коефшгоггш функцц с невщ'емошми, гладкими та обмежеиими.

Теорем» 5.5. В припущеннях теореми 5.2 з замтою вимоги обмеженостг фунщт (77) на умову ix належност! L>(K*J (в стацюнартй ciimyatjit - LifR3)) твердження (96) справедливо в будь-якт з таких ситуацш:

I. BipHO (107) i виконусться або (90), абоумови пункту 2) насл1дку 4.6.

II. Вгрно (110), хоча б одне з припущень пункту I, i, крш того, або (95), або (82).

III. Вгрно (130) або (112), виконусться (95), крш того, (82) разом хоча б з одним з припущень пункту I dattoi теореми.

Теорема 5.6. Нехай виконуютъся eci припущення теореми 5.3 з замтою вимоги обмеженостг зазначених там добуткгв фунщт на вимогу ix начеэеностг LifR4) (в стацютрнт ситуацН -Li(F?)). Todi, якщо функцИ (132) задовольняютъ одне з припущень пункту 1 теореми 5.5 (зам1еть у,), то справедливо твердження (96).

Теорема 5.7. Нехай виконано eci ewciöni припущення теореми 5.5 за умови (112), /, крш того, ргвнкть (87). Todi справедливо (96), якщо виконуеться еимога (95), а фунщИ у/,, г = 1,2 мають вигяяд фттних "плато " з нескшченно малими м'грами проещт множин sиррщ. i = 1, 2 на гтерплтцин)' t- 0.

^Гщ'^-ч,)!2

(¡31)

(89).

Tpemm тдроздм присвячено вивчению взасмодц М2Ж вихровими потоками в гай х шершавих куль. Вони теж вцщовшають максвезианам виг ляду (16), але v¡ i r¡2, i = 1,2 обчистоютьсх тепер зпдно з (101), (102).

При вивченш гоаедшки зшшаяого в ¡да илу (24) як сшльш для всЬс результата приймаюгься гтрипущення (75), де r¡2, i — 1,2 мають вигдяд (102), а також (105).

Теорема 5.8. Нехай фунщп щ, i = 1,2 мають вигляд (92). Todi:

1). Якщо виконуеться (108), а також або (114), або (115) разом з (94), то справедливо (74) при m = 2.

2). Якщо виконуються (108) i (115), то eipno (47).

3). Якщо маемкце (112) i або (114), або (115) разом з (94), то

Vs> 0;Bso, > 0: Vs, :0<s,<sot(i = 1,2);3N: Vß,. ß2>N; А < е.. (133)

4). Якщо виконуються (112) та (115), то

Ve>0;3S>0, 3sm>0: Vd, Vs,: 0<d< S;0< s>< sm(i = 1,2); 3N: Vß,, ß2 >N;A< е..

(134)

В наступай теореш не вимагаегься виконаавя жодно! з piesocrefi (114) чи (115).

Теорема 5.9. Нехай фунщи у,, i = 1,2 мають вигляд або (92), або (116), причому виконуеться умова (109). Todi:

1). Якщо eipuo (108), а також або (94), або (98), то справедливо твердження (74) при т

= 2.

2). Якщо маемкце тшьки (108), то виконуеться (47).

3). Якщо eipno (112) i (98). то справедливо (133).

4). Якщо маемкце тшьки (112), то виконуеться (134).

Для випадку чисто штеградьного вадхилу (25) доведено таю твердження (попередш умови на функцй cp¡, vj/¡, i = 1,2 залишаються такими ж, як для теорем 5.5 - 5.7).

Теорема 5.10. Нехай функцй <р,, ¡=1,2 не залежать eió Д i - 1, 2, i мають вигляд фтгтних "плато", для яких виконано припущення (97) та (117). Нехай також мають М1сце спш1дношення (82) i (105), причому eipno або (107), або (110) разом з (95). Todi справедливо (96), якщо виконуеться хоча б одна з таких умов: (93), або (98), або (99) (зокрема, (94)) з замтою функцш щ на <p¡, i =1,2.

Теорема 5.11. Нехай виконуеться pieniemb (75), de г,2 обчислено згШо з (102), причому i ~ 1,2 не залежать вгд Д / = 1, 2 i мають вигляд фштних "плато ", для яких eipno (97) i (117). Нехай мае Mictfe cnmidHouieHH« (105), причому eipuo або (107), або (108) i (109), або (110) разом з (109) чи (95), або (112) разом з (109) та (95). Todi справедливо (96) при виконант хоча б odnicí з умов: (93), або (98), або (99) (зокрема, (94)).

внсновки

У дисертаци запропоновано i розвипуто новий аналггичний тдо'д до пошуку явиих наближених розв'язюв нглшшдаго ¡(ггегро-диференщального р|внятш Больцмана для вигадов моделей тверднх та шершавих куль. Там розв'язки описують процес взаемода м!ж максвел!вськими потоками газу i шукаються у вигляд1 б|'модальних (або многомодальних) розподшв, яга забезяечутоть довиьну мализну того чи imuoro вщхилу мЬк частицами цього р1вняння. Проведет дослщження дають можливгсть сформулювати Taxi висповки.

1. Зиайдено одновим^рш 5|модатыи иаближеш розв'язки у вигляд» двопотокових розподшв з глобалышми максвел1вськими модами як у випадку pÎBrntx, так i довшьних температур та густил потоыв з використанням р1вном1рпо-!нгегрального та "слабкого" вщхшпв.

2. Описало декшька широких клаав нсодиовимтрних б!модалытх розв'язюв ixieï ж задачу для чого зиайдено i розв'язаио (повгаспо або частково) вцщовщш системи нелшшних диферепшальних р1внянь в частинних похщних.

3. Доошджено розподши з бшьшою юлыа'стю мод, шж дв1, з застосувашгам як 3Mimaiioro, так i чисто штегрального вщхилив. Довиьна малнзна останнього погребуе нових умов, таких як стратифйсашя об'екпв (взасмодм мок собою та з середовищем по множинам досить Maioî Mipii) та ïx неповна просторова вимфшсть. Це дозволяс, зокрема, позбавитись вимоги навколосвободномолекулярносп течШ, aie приводить до появления нетрниальних корелящй м¡ж поведшкою об'атв та середовиша.

4. Отримано умови довшыкп мализш в^дхтшв у випадку б1модальних розподшв з локачьними максвел1'вськимп модами рвннх тишв: гвинтовими (що обертаються як цие навколо HepyxoMoî oci) та вихровпми (яю здатш не тшьки обертатися, а й рухатись поступально з довшьною лшшною швидыспо). При цьому вимагасгься, шоб обертання потоюв уповш.нювалось певним чином разом si спаданиям ïx температур, а густини в piTunx випадках можуть бути або заяежними вщ температур, або стати мл Важливу роль при дослиженш В1гпадку локальних makcbeniama иииграють також так! hobï умови, як когереитгость гвштпв або BiixopiB та самоузгоджешсть ocrainiix.

5. Видьдено деяю Hosi важлтда класи можлввих pyxin, яю описуються нестацюнарнимл максвелтвськими розв'язками ршняння Больпмана найбшып загального вигляду. Зокрема, дослижено геометричш' та фЬичш особливосп смерчепод1бних розв'язюв, яю мають дв! pi3m oci: обертання та густини, i рухаються поступально строго визначеним чином. Для таких розподшв icisyioTi "зони згущенвя" та "зоил розрдакення", розташоваш певним чином

вздвоено вказаних осей. Побудовано б1модальш наближеш розв'язки з модами у виглядд смерч1в в mi з твердых куль.

6. Розповсюджага да випадок бшьш складно! модели шершавих молекул бшышеть з результате, здобутнх у випадку твердих куль. З'ясовано, що ш внутршшя структура цих молекул, ni ускладнений вигляд штетралу зтнень, пов'язаний з наявшетю кутових швцдкостей молекул, OKpiM лш1Шшх, не вщбиваеться лриншшово на сукупносп факторов, яи приводять до довшьда! мадизни зазтачених вшце вадхшш.

СПИСОК ОПУБЛ1КОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦА

1. Гордевский В.Д. Приближенное бимодальное решение уравнения Больцмана для твердых сфер // Матем. физика, анализ, геом. -1995. - Т. 2, №2. - С. 168-176.

2. Гордевский В.Д. Критерий малости невязки для бимодального решения уравнения Больцмана // Магем. физика, анализ, геом. - 1997. - Т. 4, №1/2. - С. 46-58.

3. Гордевский В.Д. Приближенное двухпотоковое решение уравнения Больцмана И Теорет. и мат. физ. - 1998. -Т. 114, №1. - С. 126-136.

4. Гордевский В.Д, Сысоева ЮА Бимодальное приближенное решение уравнения Больцмана в пространстве обобщенных функций // Мапгем. физика, анализ, геом. - 1999. -Т.6,№1/2.-С. 22-29.

5. Гордевський В.Д. Загалымй вигляд наближстк бшодалышх розв'язюв pÍBHjnnu Больцмана типу розбнтгя одшшщ И 1нтегральш перетворення та íx застосувания до крайовнх задач. - К.: Ььт математики НАН Украши. -1997. - Вил. 15. - С. 30-39.

6. Гордевський В.Д. Деям класи наближепих бьмодалышх розв'язив нелшшвого ршняиня Больцмана И 1лгегральш перетворення та íx застосувания до крайових задач. - К.: 1н-т математики НАН Украши. - 1997. -Вип. 16. -С. 54-64.

7. Gordevsky V.D. Trimodal Approximate Solutions of the Non-linear Boltzmann Equation // Math. Metb. Appt. Sci. - 1998. - Vol. 21. -P. 1479-1494.

8. Гордевський В.Д. Явш пабянжет розв'язки ршшшя Больцмана для модой шершавих куль // Доповед НАН Украши. - 2000. — №4. - С. 10-13.

9. Gordevsky V.D. Approximate Biflow Solutions of Ihe Kinetic Bryan-Pidduck Equation // Math. Meth. Appl. Sci. - 2000. - Vol. 23. - Р. 1121-1137.

10. Гордевский В.Д. О многомодальных приближенных решениях нелинейного уравнения Больцмана И KpaiioBi задач i для диференщальних ршнянь. - К.: Чсршвецький державний ушверситет ¡м. Ю. Федьковича - 1999. - Вип. 4. - С. 33-51.

11. Гордевский В.Д. Двухпотоковое распределение с винтовыми модами // Теорет. и мат. физ. - 2001. - Т. 126, №2. - С. 283-300.

12. Gordevsky V.D. Transitional Regime Between Spiral Equilibrium States of a Gas // BicH. Харк. нашон. утв., Сер. мат., прикл. мат., мех. - 2001. -№514. -С. 17-33.

13. Gordevskyy V.D., Sysoyeva Yu.A. Interaction between non-uniform flows in a gas of rough spheres // Matem. fiz., analiz, geom. - 2002. - Vol. 9, №2. - P. 285-293.

14. Gordevskyy V.D. Bimodal distributions with the spiral-type Maxweilians for the Bryan-Pidduck model // J. Math. Anal. Appl. (YJMAA 8607). - 2003. - Vol. 283. - P. 192-201.

15. Гордевский В.Д. Взаимодействие вихреобразных потоков газа твердых сфер // Доповш НАН Украши. - 2002. - №9. - С. 7-12.

16. Gordevsky V.D., Sysoyeva Yu.A. Some approximate solutions of the Boltzmann equation // Probl. Atomic Sci. andTechnol. - 2001. -№6(2). - P. 306-308.

17. Gordevskyy V.D. Transitional Regime Between Vortical States of a Gas // NonL Analysis (NA 3752). -2003. - Vol. 53, №3-4. -P. 481-494.

18. Гордевский В.Д. Вихри в газе из твердых сфер // Теорет. и мат. физ. -2003. - Т. 135, №2.-С. 303-314.

19. Gordevskyy V.D., Buznitska Е.М. Non-stationary States of a Gas for the Bryan-Pidduck Model //BicH. Харк. nanion, ynie., Сер. маг., прпкя. мат., мех. - 2003. - №582. - С. 3-9.

20. Gordevskyy V.D. On the non-stationary Maxweilians // Math. Meth. Appl. Sci.(MMA 455) -2004. - Vol. 27, №2. - P. 231-247.

21. Gordevskyy V.D. Vortical flows in a gas of rough spheres // BicH. Харк. нацюн. ушв., Сер. мат., прикл. мат., мех. - 2003. - №602. - С. 3-12.

Теш дсшовЬеи

1. Gordevsky V.D. Explicit approximate solutions of the non-linear Boltzmann equation // Intern. N.I. Akhiezer Cent Conf. "Theory of functions and Math. Phys.". - Kharkiv. - Aug. 13-17,2001.-P. 35.

2. Gordevsky V.D. Approximate bimodal solutions of the Botamann equation // Intern. Conf. Functional Analysis, dedicated to the 200th anniv. of M.V. Ostrogradsky. - Kyiv. - Aug. 22-26, 2001.-P.33.

3. Gordevskyy V.D. Some approximate solutions of the Boltzmann equation // Intern. Conf., dedicated to the 90th anniv. of A.L Akhiezer "Quantum electrodynamics and statistical physics". -Kharkiv. - Oct 30-Nov. 3,2001,-P. 15.

4. Гордевський В.Д. Набляжеш вихроподдбш розв'язки нелшйшго р1вшши Больцмана II IX Мтн. копф. ÍM. акад. М. Кравчука. - Кшв. -16-19 гравия, 2002. - С. 53.

5. Gordevskyy V.D. Vortical flows in a gas of hard spheres // Intern. Conf. "Inverse problems and nonlinear equations". - Kharkiv. - Aug. 12-16,2002.-P. 33.

6. Gordevskyy V.D. Approximate vortex-type solutions of the nonlinear • Bryan-Pidduck equation // ISAAC Conf. On Complex Analysis, Differential Equations ant} Related Topics. -Yerevan (Armenia). - Sept 17-21, 2002.-P. 23.

7. Gordevskyy V.D. Some families of approximate solutions of the nonlinear Boltzmann equation // Всеукр. конф. "Сучасш проблема прикладно! математики та шформахики". -Лыпв. - 23-25 вересня, 2003. - С. 133.

33

АНОТЛЦШ

ГОРДЕВСЬКИЙ В.Д. Бомодалый наблнжев! розв'язки рюняння Больцмана. -

Рукопис.

Дисертащя на здобуття наукового ступеня доктора ф13ико-математичних наук за спещальшепо 01.01.03 - математична фзика. - Фвюсо-техшчшй шсгспут нгаьких температур ¡м. Б.1. Веркша HAH Украши, Харюв, 2004.

Дисертащю присвячено пошуку б1модальних наближенчх розв'язюв нелтйного кшетичного р1вняння Больцмана Побудовано двопогоков1 розподоли з глобальними максве.нвськими модами, яю забезпечують довиьну мачизну ровноморно-штеграчьдаго, чисто штегратьного та слабкого вцгаотв м>ж частинами ршняння при ы'дповццюму вибор! коефвдогпшх функш'й i граничою! поведшки числових i пекторних параметров. Знайдено пеодновтирш аналоги двопотокових розподонв. Дослщжето взаемодоо гвинтових потогав, яю обертаються як щ'ле навколо своГх нерухомих осей, в ra3i з твердих куль. Побудовано модель вихрового потоку, який мае як кутову, так i поступальну швидюсть, i вивчено б1модальш розподши з вихровими модами. З'ясовано геометричш та ф1зичш' особлив oeri структур и нестацюнарних максвсл1вських розв'язюв piEitmi« Больцмана найбьтьш загалыюго вагляду, описано розподши timy смерчу, i побудовано бомодальну модель взашоди двох таких потоив. Доведено, що бшншеть з результате, здобутих для модел1 твердпх куль, збершиоть свою силу i для модел1 шершавих молекул, яи здатн обертатися навколо cboix осей.

Ключов! слова: тверда кул!, liiepmaBi кут, pieiuo» Больцмана, максвел1ан, вцхил, бомодальнлй роз поди, гвшгги, Biixopi, смерч!.

АННОТАЦИЯ

ГОРДЕВСКИЙ В.Д. Бимодальные приближенные решения уравнения Больцмана.

- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика - Физико-технический ипеплут низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2004.

Диссертация посвящена построению явных приближенных решений трехмерного нелинейного уравнения Больцмана для моделей твердых и шероховатых сфер в виде бимодальных (или многомодальных) распределений с максвелловскими модами разных типов:

глобальными, стационарными неоднородными, либо нестационарными. Главной задачей работы является поиск условий, достаточных для произвольной малости равномерно-интегральной либо чисто интегральной невязок между частями уравнения. На данный момент известно лишь одно точное решение уравнения Больцмана для упомянутых моделей -максвеллиан (J.C. Maxwell, L. Boltzmann). Наиболее общий вид локального максвеллиана получен в середине ХХ-го столетия (H. Grad, T. Carleman, О.Г. Фридлецдер). Другие точные решения удалось найги лишь для специального случая модели максвелловских молекул и некоторых ее обобщений (A.B. Бобылев, M. Krook, Т.Т. Wu, B.B. Веденяпин, RM Emst, Д,Я. Петрина, A.B. Мищенко). С другой стороны, важной и актуальной является проблема описания взаимодействия двух или нескольких максвелловских потоков. Известное бимодальное ТМС-распределение и его модификации (И.Е. Тамм, Н.М. Mott-Smith, H. Grad, T. Ytrehus, С.И. Анисимов, С. Cercignani) были предложены с целью описать ударные волны в газах, процессы испарения и т. п., однако оказалось, что оно не может удовлетворять этому уравнению даже приближенно с произвольной степенью точности, что связано с жесткими условиями на гидродинамические параметры, накладываемые самой постановкой указанных задач (R. Narasimha, S.M. Deshpande, R. Caflish, В. Nieolaenko, I. Hosokawa, К. Yamamoto). В настоящей работе ищутся приближенные, в смысле обеспечения произвольной малости той или иной невязки за счет соответствующего выбора коэффициентных функций и предельного поведения параметров, бимодальные решения уравнения Больцмана, на гидродинамические параметры которых (плотности, температуры, массовые скорости) априори не налагаются никакие ограничения, кроме физически необходимых (положительность и т. п.).

Получены следующие основные результаты.

1. Построены д&ухпотоковые распределения в газе из твердых сфер с глобальными максвелловсшми модами, обеспечивающие произвольную малость равномерно-интегральной и слабой (в пространстве обобщенных функций) невязок как при равных, так и при различных температурах потоков. Они являются одномерными по пространственным переменным, но каждая из массовых скоростей потоков имеет две произвольные компоненты.

2. Найдены неодномерные аналоги двухтгоковых распределений, для которых коэффициентные функции ищутся уже не из соображений разделения пространственно-временных и скоростных переменных, а из некоторых систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для одной из таких систем найдено общее решение; в более общем случае описаны отдельные классы решений, подчиненных тем или иным дополнительным условиям.

3. Изучены многомодальные аналоги указанных выше решений, причем при использовании равномерно-интегральной невязки ее произвольная малость достигается за счет совершенно

[пых факторов, чем для смешанной, таких как неполная пространственная размерность ■бъекгов (потоков) в газе, их специфическая пространствешю-временная (в стационарной итуации - пространственная) конфигурация, корреляция в поведении объектов и среды.

4. Исследовано взаимодействие винтовых потоков в газе из твердых сфер. Такие потоки ращаются вокруг своих неподвижных осей, и могут двигаться поступательно лишь вдоль них. Три этом существенными оказываются связи между угловыми скоростями винтов, их смпературами и плотностями, а также условие когерентности, т. е. совпадения потоков в крестности начала координат.

5. Предложена модель вихревого потока, имеющего как угловую, так и поступательную корость в любом направлении. Изучены приближенные бимодальные решения с вихревыми юдами, причем новым, по сравнению со случаем винтов, оказывается условие амосогласованности каждого из потоков.

6. В дополнение и уточнение результатов Г. Трэда, Т. Карлемана, О.Г. Фридлендера и др. ыяснены новые геометрические и физические особенности структуры нестационарных 1аксвелловских решений уравнения Болъцмана наиболее общего вида. Выделены возможные ипы движений газа, такие как смерч («деформированный вихрь», имеющий как ось вращения, ак и ось плотпостн, а также зоны уплотнения и разрежения), «сжатие-расширение», торможение-ускорение». Построена приближенная модель взаимодействия между двумя мерчами в газе из твердых сфер, причем оказалось, что условия произвольной матости мешанной невязки для случаев смерчей и вихрей несколько отличаются между собой.

7. Доказано, что большинство результатов, полученных для модели твердых сфер, охраняют свою силу и для модели шероховатых молекул, которые имеют не только оступательную, но и вращательную степень свободы (G.H. Bryan, F.B. Pidduck). При этом казывается, что распределение вещества внутри каждой молекулы, а также более сложная груктура интеграла столкновений, связанная с появлением новых параметров - угловых коростей соударяющихся молекул - принципиально не отражаются на тех условиях, которые озволяют сделать обе невязки сколь угодно малыми.

Ключевые слова: твердые сферы, шероховатые сферы, уравнение Больцмаиа, жсвеллнан, невязка, бимодальное распределение, винты, вихри, смерчи.

36

ABSTRACT

GORDEVSKYY V.D. Bimodal approximate solutions of the Boltzmann equation. -

Manuscript.

Thesis for doctor's degree by speciality 01.01.03 - mathematical physics. -B. Verkin Institute for Low Temperatures Physics and Engineering, NAS of Ukraine, Kharkov, 2004.

The thesis is devoted to the searching of bimoda! approximate solutions of the non-linear kinetic Boltzmann equation. Bifiow distributions with the global Maxwell modes, which ensure the infinitesiniality of the uniform-integral, the pure integral and the weak remainders between the sides of the equation by the accordant choice of coefficient functions and the limiting behaviour of numerical and vector parameters are constructed Non-one-dimensional analogies of the biflow distributions are also obtained. The interaction between screw flows, which rotate on whole about their immovable axes, is investigated in a gas of hard spheres. A model of the vortex-type flow, which has both the angular and the translational velocities, is constructed, and the bimodal distributions with vortical modes are considered. Geometrical and physical peculiarities of the structure of non-stationary Maxwell solutions of the Boltzmarm equation of the most general form are found, the distributions of th? edtfy-iype are described, and bimodal mode! of the interaction between two such the flows is constructed. It is proved that the principal part of the results, obtained for the model of hard spheres, holds true for the model of rough moleculcs, which can rotate about their axes, too.

Key words: hard spheres, rough spheres, Boltzmann equation, Maxwellian, remainder, bimodal distribution, screws, vortecies, eddies.