Блок-схемы, ассоциированные с конечными группами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

российская академия наук

о

^ с: УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

со

от ИНСТИТУТ МАТЕ1У1АТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

Мухаметьянов Ильдар Талгатович

БЛОК-СХЕМЫ, АСС0ЩП1Р0ВАННЫЕ С К0НЕЧНЫШ1 ГРУППАМИ

01.01.06 - математическая .логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 1998

Работа выполнена в Институте математики и механики УрО РАН Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник А.Н.Фомин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Д.Мазуров доктор физико-математических наук, доцент А.П.Ильиных

Ведущая организация: Ярославский государственный университет

со

Защита состоится «19» мая 1998 года в 75"" часов на заседании специализированного совета Д 002.07.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:

620219, Екатеринбург, ул. СКовалевской, 16 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Инсппута математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан « f5~v> 1998 г.

Учёный секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат. наук 1/У В.В.Кабанов

Изучение геометрий конечных групп всегда была актуальной задачей. Геометрический подход оказался полезным при доказательстве теоремы о классификации конечных простых групп (см. [5], [6]). Он позволяет также сконструировать спорадические группы с единой точки зрения [4].

Одним из примеров применения геометрических методов является харак-теризация О'Нэна (см. [7], [8]) группы £/з(?) в терминах блок-схем. В качестве точек блок-схемы он брал множество £2 всех смежных классов группы (7=£/з(<7) по некоторой её подгруппе Н, а в качестве блоков — множества С11Г={Нх\Нх1г=Нх, хе(7}, / — некоторая инволюция группы пробегает <7.

Блок-схемы, ассоциированные с конечными группами, рассматривались не только в связи с конечными простыми неабелевыми группами. Так, С.Н.Адамов и А.Н.Фомин изучали блок-схемы, связанные с конечными ^-группами (см. [1],

[3])-

В данной диссертации блок-схемой мы называем блок-схему в самом широком смысле. Напомним, что блок-схема — это пара (О, где Л — конечное множество, элементы которого назьшаются точками, а £> — система подмножеств множества £2, называемых блоками блок-схемы, удовлетворяющая некоторым условиям, связанным с частотой появления пар элементов множества £2 в блоках. Нами рассматриваются блок-схемы Б=Б(С, В), в которых точками являются элементы конечной группы (7, блоками являются множества вида Bg, где В — нормальное подмножество группы (7, geG. В частности, в качестве В может выступать класс сопряженных элементов группы (7. Группа автоморфизмов АШБ блок-схемы Б — это группа всех взаимно однозначных преобразований точек из Б, переводящих блоки в блоки. Если Z(GГ)=1, то АШБ содержит две различные подгруппы, изоморфные С: одна из них получается с помо-

щью сопряжений, а другая — правых сдвигов элементами группы С. Поэтому группа /4и?2> транзигивна на множестве точек и множестве блоков блок-схемы.

Целью диссертации является изучение общих свойств блок-схем Б=Б(С, В) и их групп автоморфизмов, а также детальное изучение блок-схем ¿»(^(р"). В), где В=Ьси(Ь~1)а, Ъ — элемент порядка р группы Ь2(рх), и блок-схем £(&(22*н), В), где В — класс инволюций группы Л(22<1+1).

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 13 параграфов, приложения и библиографии (26 наименований). Текст занимает 115 страниц и содержит 2 рисунка. Основные результаты диссертации сформулированы во введении в шести теоремах.

В первой главе диссертации изучаются общие свойства блок-схем и их групп автоморфизмов. Эти свойства сформулированы в теоремах 1 — 4.

Блоки Bg1 и В%г называются связанными, если существуют блоки Вхх, Вх2, ..., Вх1 такие, что BgxгBxx*0, ВххгВ:с2*0, ..., Вхр&ё^Ф. Блок-схему £■=((?, В) назовем связной, если любые два её блока связанны. В противном случае Б=(<5, В) назовём несвязной. Множество блоков блок-схемы распадается на попарно непересекающиеся максимальные связные подмножества 33. (Ш^), и если П. — объединение всех блоков из то <7=£21и£22и...и£2,. Блок-схемы с множеством точек £2. и множеством блоков будем называть связными компонентами, или просто — компонентами, аО;и — соответственно точечными и блочными компонентами блок-схемы Б. В силу транзитивности АшБ компоненты Бх, Бг,..., Б, устроены одинаково.

Всюду в диссертации считаем, что ВеЗдх, т.е. ВсПх, и, если не оговорено противное, 5 — число связных компонент блок-схемы Б((1, В).

Наряду с блок-схемой 2>=2>((?, В) будем рассматривать также блок-схемы /Г=2>((/, ВТ1) и Б"=Б(С, Ли Я"') с множествами связных компонент соответственно {Ц| 1 } и {11 </<5"и/ — числа связных компбнент соответст-

венно Б и Б". Точечные и блочные компоненты блок-схем Б и Б", составляющие Ц и Б'- , обозначим соответственно через 33[ и , 33']

\<]<л"). При этом так же считаем, что В' еЗЗ[ и ВиВ~1е£{' (т.е. Яи ). Если В= В, то блок-схему Б (б, В) назовём симметричной.

Если Л/с С, то положим Я1(£М)={хеС\ Мх=М] и назовём Л^Л/) стабилизатором множества М в группе (г, е — единица группы С?.

Основные свойства отношения связности блок-схем формулируются в следующей теореме, которая доказывается в §1:

Теорема 1. Для блок-схемы Б=Б{С, В) справедливы следующие утверждения'.

1) Если ееПь то С1к=(ВВ~{), П2,..., 0.,}=а0.к и для любого /е{1, 2,..., 5}.

2) Множества точечных компонент блок-схем Б и Б совпадают.

3) Если 0,=^,' и ееПк, то С1к=((Ви В~1 ХЯи/Г1)) (в частности, множества точечных компонент Б и Б" совпадают) и в фактор-группе аС1к порядок элемента £2) не превосходит 2.

4) Пусть , ее0.кг\0.'!, (1<Л<5, и т — порядок элемента О, в фактор-группе <7ЮА. Тогда кф 1 и для любого ЬеВ выполняется равенство (В) =П1'иС2Х=ПкиС2кАи...иПкйм''.

Пусть | zeBg} — множество блоков из .£>((7, В), содержащих

точку г, П(г) — объединение всех блоков из Пересечение всех блоков из £(:) называем ядром точки г и обозначаем через /(г). Если Дг)={г} для любой точки г из С, то блок-схема называется редуцированной.

Обозначим через Я стабилизатор в (7 базового блока В. Следующая теорема устанавливает основные свойства 5:

Теорема 2. 1) J(g)=Sg для любого g из (7.

2) ^НС/З]. В частности, равенство |(7|=|^6| равносильно редуцированности блок-схемы.

3) В фактор-группе (7 =СЛУ справедливо равенство )={*?), где ё и

В— образы соответственно ей В при естественном гомоморфизме (7—»(7 .

Если / — произвольное отображение множества (7, то образ точки g при отображении/будем обозначать через g^f.

В следующей теореме устанавливается свойство самодвойственности блок-схем при определённых условиях.

Теорема 3. Пусть Б={е). Тогда существуют отображения у/ и у/{ такие, что они взаимнооднозначно отображают соответственно (7 на £ и 33 на (7, и блок-схема Я* с множеством точек I"1 а множеством блоков (7"' изоморфна Б (в этом случае Б называется самодвойственной).

Теоремы 2 и 3 доказываются в §2.

Через сЛ обозначим группу автоморфизмов АШБ блок-схемы Б. Если Б — симметричная блок-схема, то через г обозначим автоморфизм блок-схемы Б, определенный по правилу gT=gЛ для geG. Кроме того, введём следующие обозначения: — стабилизатор точки g в группе Л, Б =Б(С/$, В).

Умножение справа точек блок-схемы £=£'((7, В) на элемент ;се(7 определяет автоморфизм блок-схемы, который обозначим через фс). Положим

Следующая теорема об основных свойствах доказывается в §4:

Теорема 4. ^=АШБ, Х'гХ^—

симметрическая группа степени 151, л=|С7:51.

2) Для любого geG имеют место равенство

U\ = Ug\■\G\ = \NJBg)\■\GIS\

и изоморфизм где К - подгруппа из сА, остав-

ляющая на месте ядро любой точки из G. В частности, при S={e) имеем NJBg)^Ag.

3) Если о^у=Л'¿¿Bg^ для некоторых g и gxu3 G и Z(G)={e), то g=gt и для аес/1 равенство (Ву)а=Ву1 справедливо тогда и только тогда, когда y"=yv При этом сA=t{G)NJB).

В §5 мы рассматриваем некоторые примеры введенных ранее конструкций на конкретных группах.

Глава П посвящена блок-схемам E(L2(q), В), где q=pa>3, B=bGv(b~l)G, b — неединичный /»-элемент группы L2(q), и E=E(Sz(2la+l), В), где В — класс инволюций группы Ä(22a+1), а>1. В §§2 — 5 мы рассматриваем общие свойства блок-схем E=E(L2(q), В). На основе этих свойств в §7 нами доказывается

Теорема 5. Пусть <А — группа автоморфизмов блок-схемы E(Li{q), В), q=p">3. Тогда справедливы следующие свойства сА:

(1) Для любого geLi{q) имеет место равенство cAg=Nc/Bg).

(2) Для любых geLi(q) и ае<А справедливо равенство (Bg)a=Bga.

(3) Если q — нечётно, то С^В) единичен, а если q — четно, то

CJBHt-

(4) <А =t(Li(q))N¿£B), причём в N^B) существует подгруппа, изоморфная Лх(г), где A=Aut{G)r\A и при q = l(mod4) A^Li{q)F, а в остальных случаях A=Aut(G) (F — группа автоморфизмов поля Fq).

В §6 мы рассматриваем некоторые графы на множестве В из Li(q), вычисляем их группы автоморфизмов. На основе полученной информации об этих графах и их группах автоморфизмов в §7 нами доказывается

Теорема 6. Пусть сА — группа автоморфизмов блок-схемы E(Li(p), В), р — простое число, /7=l(mod4). Тогда сА =Ь2(р)г( т).

В §8 изучаются блок-схемы E(Sz(22<t+1), Л) и их группы автоморфизмов. В частности, доказан аналог теоремы 5 для этой блок-схемы.

Основные результаты являются новыми и получены автором самостоятельно. Они опубликованы в работах [9] — [13], [18], [19], докладывались на Международной конференции «Алгебра и кибернетика», посвященной памяти С.А.Чунихина (Гомель, 1995) [16], на Международной конференции по теории групп, посвященной памяти С.Н.Черникова (Пермь, 1997) [17], на XXV и XXVI Школах-конференциях молодых ученых УрО РАН «Проблемы теоретической и прикладной математики» (1994 — 1995) ([14], [15]), на алгебраическом семинаре Института математики и механики УрО РАН.

Автор выражает глубокую признательцость своему научному руководителю А.Н.Фомину за постановку проблемы, постоянное внимание и всестороннюю поддержку.

ЛИТЕРАТУРА

1. Адамов С. Н., Фомин А. Н. Один класс примарных блок-схем // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1990, №11(342). - С.73 - 75.

2. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. - М.: Мир, 1985.

3. Фомин А.Н. Об элементарных примарных блок-схемах, допускающих транзитивную группу автоморфизмов // Матем. зап. Уральск, ун-та. - 1983. -Т.13, №3. - С. 177- 186.

4. Aschbacher М. Sporadic groups / Cambridge Tracts in Mathematics. - Cambridge University Press. - 1994.

5. Gorenstein D., Lyons R., Solomon R-. The classification of the finite simple groups / Mathematical surveys and monografs. - 1994. - V.40, №1.

6. Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups, Number 2 / Mathematical surveys and monografs. - 1994. - V.40, №2.

7. O'Nan M.E. A characterization of U3(q) II J. Algebra. - 1972. - 22, №2. P. 254 - 296.

8. O'Nan M.E. Automorphisms of unitary block designs // J. Algebra. - 1972. -20, №3,-P. 495-511.

Работы автора по теме диссертации:

9. Мухаметьянов И.Т., Фомин А.Н. Классы сопряженных элементов конечных групп // Ин-т мат. и мех. УрО РАН. Екатеринбург. - 1992. - 11 с. - Деп. ВИНИТИ 28.09.92, Т2994-В92.

10. Мухаметьянов И.Т. Блок-схемы, ассоциированные с нормальным подмножеством конечных групп и их группы автоморфизмов // Соликамский гос. пед. институт. - Соликамск. - 1996. - 34 с. - Деп. ВИНИТИ 06.06.96, №1876-В96.

11. Мухаметьянов И.Т. Блок-схемы, ассоциированные с нормальными подмножествами конечных групп // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 1996. - Т.4. - С. 71 - 82.

12. Мухаметьянов И.Т. Блок-схемы с нетривиальным стабилизатором блока // Сборник работ молодых ученых СГПИ. - Соликамск. - 1996. - С. 83 -91.

13. Мухаметьянов И.Т. О графах на классах ^-элементов группы L2(p) II Сборник работ преподавателей и студентов СГПИ. - Соликамск. - 1998. - С. 98 - 109.

14. Мухаметьянов И.Т. О блок-схемах, ассоциированных с конечными группами // Молодёжная конференция «Проблемы теоретической и прикладной

математики». Тезисы докладов конференций №25 - №26. - Екатеринбург. -1995.-С.5.

15. Мухаметьянов И.Т. Об одном обобщении блок-схем, ассоциированных с конечными группами // Молодёжная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики». Тезисы докладов конференций №25 -№26. - Екатеринбург. - 1995. - С.26.

16. Мухаметьянов И.Т. О группах автоморфизмов блок-схем, ассоциированных с конечными группами // Проблемы алгебры и кибернетики. Материалы международной конференции, посвященной памяти академика С.АЛунихина. 4.1. Алгебра и теория чисел. - Гомель. - 1995. - С.99.

17. Мухаметьянов И.Т. О группах автоморфизмов блок-схем, ассоциированных с группой L2(q) И Международная конференция по теории групп, посвященная памяти С.НЛерникова. Тезисы докладов. - Пермь. - 1997. - С.47.

18. Мухаметьянов И.Т. О блок-схемах, ассоциированных с группой Ьг(д), и их группах автоморфизмов // Соликамский гос. пед. институт. - Соликамск. -1998. -61 е.- Деп. ВИНИТИ 06.03.98, № 621-В98.

19. Мухаметьянов И.Т. О блок-схемах, ассоциированных с группой Sz{q), и их группах автоморфизмов // Соликамский гос. пед. институт. - Соликамск. -1998. - 19 с. - Деп. ВИНИТИ 06.03.98, № 620-В98.