Классификация, симметрии и решения тодовских систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ООЗДВиаиа

НИРОВ Хазретали Сефович

КЛАССИФИКАЦИЯ, СИММЕТРИИ И РЕШЕНИЯ ТОДОВСКИХ СИСТЕМ

Специальность: 01.04.02 —теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

г> ^ ., — г

003480309

На правах рукописи

НИРОВ Хазретали Сефович

КЛАССИФИКАЦИЯ, СИММЕТРИИ И РЕШЕНИЯ ТОДОВСКИХ СИСТЕМ

Специальность: 01.04.02 —теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте ядерных исследований РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор А. К. Погребков

доктор физико-математических наук

профессор Г. П. Пронько

доктор физико-математических наук

профессор А. С. Сорин

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына МГУ им. М. В. Ломоносова, г. Москва

оадшта состоится " 1 2.1 1,2009 2009 г. в

/О час. на заседании Диссертационного совета Д 002.119.01 в Учреждении Российской академии наук Институте ядерных исследований РАН по адресу: 117312, г. Москва, проспект 60-летия Октября, д. 7а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЯИ РАН. Автореферат разослан "_^" ' '_2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Б. А. Тулупов

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы.

Нелинейные интегрируемые динамические системы играют важную роль в исследованиях в различных областях теоретической физики, в особенности — для понимания непертурбативных аспектов лоренц-инвариантных теорий поля. Наиболее перспективными при этом представляются два направления. Первое из них проистекает из того факта, что уравнение Лиувилля описывает эффективную теорией бозонных струн, а его суперсимметричное расширение описывает уже эффективную теорию суперструн. Это направление связано с применением конформно-инвариантных интегрируемых систем для моделирования модифицированных теорий струн и гравитации, так называемых IV-гравитаций и получаемых из них И^-струн. В основе этих конструкций лежат И^-алгебры, являющиеся расширениями алгебры Вирасо-ро. Заметим, в частности, что И^-струны обладают теми же замечательными свойствами, что и обычные: на квантовом уровне они удовлетворяют теореме об отсутствии духов, имеют дуальные и факторизуемые амплитуды рассеяния и обладают модулярной инвариантностью, но при этом имеют и очевидные преимущества благодаря более широкой нелинейной алгебре симметрии. Второе направление связано со свойствами солитонных решений нелинейных интегрируемых систем. Такие решения при квантовании описывают протяженные объекты, имеющие смысл частиц с нетривиальной внутренней структурой. Примерами таких ча-стицеподобных решений являются монополи, несущие топологи-

ческий заряд и, как следствие наблюдения Монтонена и Олива, могущие быть ответственными за эффект Мейснера в механизме конфайнмента в неабелевых калибровочных теориях. Кроме того, нелинейные интегрируемые системы используются и для прямого моделирования эффекта удержания спинорных полей внутри солитонов.

Классические интегрируемые системы описываются, как правило, нелинейными дифференциальными уравнениями. Ключевой способ исследования таких систем состоит в выявлении и анализе их симметрий. Идейные основания для такого подхода были заложены в конце XIX — начале XX столетий Софусом Ли и Эмми Нётер. С тех пор наиболее интересные и важные результаты в этой области исследований были получены в развитие теории интегрируемых систем. Теория непрерывных групп и алгебр, развившаяся из таких начал, является, в частности, необходимым инструментом для формулировки многих интегрируемых систем и построения подходящих методов их интегрирования. Нелинейные интегрируемые уравнения возникают и плодотворно используются во многих областях теоретической и математической физики. Особое место среди них занимают двумерные системы, которые представимы в виде так называемого условия нулевой кривизны. Уравнения Тоды составляют широкий класс именно таких нелинейных интегрируемых систем. Действительно, их можно рассматривать как набор нелинейных дифференциальных уравнений, следующих из условия нулевой кривизны на некоторую плоскую связность в тривиальном главном расслоении с гладким двумерным многообразием в качестве базы и структур-

ной группой Ли в качестве слоя.

Согласно теоретико-групповому подходу конкретная тодов-ская система задается выбором некоторой группы Ли и ^градуировки ее алгебры Ли. Поэтому для исчерпывающего описания тодовских систем нужно начать с перечисления ^градуировок алгебр Ли, соответствующих группам Ли, с которыми уравнения Тоды ассоциированы. Заметим при этом, что алгебро-групповые и дифференциально-геометрические свойства тодовских систем и их физический смысл кардинально различаются в зависимости от того, с какой группой — конечномерной или бесконечномерной — они ассоциированы. Классическим примером здесь могут служить два простейших частных случая тодовских систем — уравнения Лиувилля и синус-Гордона, глубокие различия между которыми хорошо изучены.

Уравнения Тоды, ассоциированные с конечномерными группами Ли, считались более понятными и разработанными, поскольку классификация ^-градуировок комплексных полупростых конечномерных алгебр Ли была уже хорошо известна. Однако, такая классификация была дана в терминах корневого разложения, применение которого к тодовским системам общего вида оказывается весьма громоздкой процедурой. К середине 90-х годов двадцатого столетия было опубликовано множество работ по тодовским системам, для которых пространство зависимых переменных является абелевой группой Ли (абелевы тодовские системы) и к которым корневая техника вполне приложима, тогда как неабелевы тодовские системы не были изучены столь же основательно. Более того, стало складываться мнение, что наиболее

интересные (с разных точек зрения) тодовские системы уже найдены и продолжение исследований в этой области не актуально, несмотря на то, что абелевы системы составляют лишь малую часть тодовских систем вообще. Этот скепсис связан с тем фактом, что к тому времени не было еще найдено удобного представления для таких систем. В 1997 году А. В. Разумов и М. В. Савельев показали, что некоторый класс тодовских систем представим в простом блок-матричном виде. Этот результат привел к возобновлению интереса к рассматриваемому классу нелинейных интегрируемых систем. Позже было доказано, что такое удобное представление существует и для всех тодовских систем, ассоциированных с классическими полупростыми группами Ли. Именно этот блок-матричный подход, опирающийся только на общие свойства полупростых алгебр Ли и не прибегающий к технике корневого разложения, оказался наиболее адекватным и плодотворным для всестороннего исследования тодовских систем.

Интегрируемость тодовских систем обеспечивается их сим-метриями. Системы, ассоциированные с конечномерными группами Ли, обладают — дополнительно к симметриям, порождаемым некоторыми линейными комбинациями генераторов алгебры токов, и конформной инвариантности, порождаемой генераторами алгебры Вирасоро, которые уже квадратичны по токам (в форме Сугавары), — еще и другими симметриями, порождаемыми характеристическими интегралами . Известно, что такие величины образуют дифференциальные алгебры, а их га-мильтоновы аналоги образуют 1У-алгебры, где операция умножения индуцируется подходящими скобками Пуассона и Дирака.

РУ-алгебры играют важную роль в различного рода приложениях конформных теорий поля к широкому спектру задач теоретической и математической физики. Для тодовских уравнений Ж-алгебры исследовались в основном только в случае абелевых систем. При этом, как правило, соответствующие результаты выводились методом гамильтоновой редукции, с использованием известной связи между моделью Весса-Зумино-Новикова-Виттена (ВЗНВ) и тодовской системой. Такие результаты требуют проверки другими, более прямыми, методами, так как разложение Гаусса, на котором основана гамильтонова редукция от модели ВЗНВ к тодовской системе, является локальным и выполняется только для плотного подмножества группы Ли, на которой сформулирована модель ВЗНВ, поэтому приведенное фазовое пространство и фазовое пространство соответствующей тодовской системы могут иметь различные глобальные структуры, хотя и совпадая при этом локально. Эта проблема была замечена еще в 1989 г. в работе Л. О'Райферти и его сотрудников и обсуждалась в ряде работ 1990 - 1999 годов этих же и многих других авторов (например, Цуцуи, Фейера, Фулопа, Кобаяси, Разумова и Яснова, и др.).

При формулировке нелинейной интегрируемой системы возникает та или иная версия проблемы факторизации исходной группы Ли. Для тодовских систем такая факторизация группового элемента индуцируется ^градуировкой соответствующей алгебры Ли. В случае конечномерной группы Ли проблема факторизации решается в рамках метода разложения Гаусса, лежащего в основе построения точных решений уравнений Тоды. Для тодовских систем, ассоциированных с группами петель, требуе-

мая факторизация индуцируется ^-градуировкой уже бесконечномерной алгебры, а именно — соответствующей алгебры Ли петель, и уже поэтому проблема классификации 2-градуировок алгебр Ли петель оказывается крайне важной.

Петлевые уравнения Тоды представляют несомненный интерес по крайней мере с двух точек зрения. Во-первых, их исследования означают развитие методов решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Во-вторых, наличие у этих уравнений солитонных решений позволяет моделировать различные нелинейные явления в физике элементарных частиц и теории поля. При этом, в основном изучались лишь некоторые солитонные решения абелевых тодовских систем. Со-литонные решения неабелевых тодовских систем обладают дополнительными, по сравнению с абелевым случаем, свойствами, например, структурами с внутренней симметрией, что может позволить моделировать еще более сложные нелинейные эффекты и давать более последовательные, непротиворечивые объяснения известным явлениям. Поэтому строгая формулировка всевозможных — абелевых и неабелевых — тодовских систем, ассоциированных с группами петель, и развитие методов их решения становится интересным не только с точки зрения математической, но и теоретической физики.

Исследованию описанных выше важных и актуальных проблем и посвящена настоящая диссертация.

Диссертация имеет три основные цели:

1) классификацию уравнений Тоды, ассоциированных с конечномерными и бесконечномерными группами Ли;

2) исследование симметрии неабелевых тодовских систем;

3) развитие методов решения петлевых уравнений Тоды и построение солитоноподобных решений для таких систем.

Научная новизна и практическая ценность диссертации.

Центральным результатом диссертации является открытие новых классов нелинейных интегрируемых систем, задаваемых неа-белевыми уравнениями Тоды, ассоциированными со скрученными группами петель. Такие системы построены в рамках решения одной из важнейших проблем теории нелинейных дифференциальных уравнений, а именно — их теоретико-групповой классификации. Использование наиболее удобного и эффективного блок-матричного подхода к формулировке рассматриваемых систем позволило найти полное решение этой проблемы для уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель комплексных классических групп Ли, и получить явный вид соответствующих систем нелинейных уравнений.

Конкретно же, сначала мы построили классификацию тодовских систем, ассоциированных со всеми конечномерными классическими группами Ли, основываясь при этом на новом методе перечисления градуировок соответствующих полупростых алгебр Ли. При явном описании уравнений Тоды, возникающих в рамках такой классификации, предложено матричное обобщение уравнения Лиувилля как особого частного случая неабелевых систем, ассоциированных с симплектической группой.

Решение проблемы классификации в конечномерном случае позволило увидеть, что и для классификации петлевых уравнений Тоды требуется найти подходящий способ перечисления Ъ-

градуировок уже соответствующих бесконечномерных алгебр Ли. Мы нашли требуемое описание, наиболее адекватное для тодов-ских систем. Наше рассмотрение основано на тщательном и исчерпывающем анализе ^градуированных скрученных алгебр Ли петель, определенных как пространства Фреше всех скрученно-периодических отображений евклидовой прямой в конечномерную алгебру Ли, с поточечной операцией умножения в алгебре Ли. Соответствующая группа Ли петель наделяется структурой многообразия Фреше, моделируемого на алгебре Ли петель. Групповой закон также задается поточечно. Такой подход позволил нам выделить важнейший для тодовских систем класс Ъ-градуировок алгебр Ли петель, названных в диссертации интегрируемыми Ъ-градуировками, и найти все неэквивалентные интегрируемые 2-градуировки с конечномерными градуировочны-ми подпространствами скрученных алгебр Ли петель комплексных простых алгебр Ли. Этот результат стал ключевым для решения проблемы классификации уравнений Тоды.

Блок-матричный подход к представлению элементов алгебры Ли, показавший свою эффективность для тодовских систем, ассоциированных с конечномерными группами Ли, оказался наиболее адекватным и в бесконечномерном случае. Он позволил дать наиболее простой явный вид для всех допустимых классов уравнений Тоды. Найденные при этом общие для всех классических групп Ли и их алгебр Ли структуры 2д/-градуировок и соответствующих матричнозначных отображений, входящих в уравнение Тоды, получили в диссертации название канонических. Именно эти канонические структуры делают возможным прямое сравнение

различных классов уравнений Тоды, увидеть место той или иной из ранее известных и новых нелинейных интегрируемых уравнений в построенной системе классификации, особенно наглядными становятся взаимосвязи между абелевыми и неабелевыми уравнениями Тоды, а также между конечномерными и бесконечномерными случаями. Кроме того, в качестве частного случая и имея в виду возможные приложения, мы рассмотрели различные вещественные формы простейших неабелевых петлевых уравнений Тоды, дающих матричные обобщения известных уравнений вт-Гордон и втЬ-Гордон.

При анализе симметрий тодовских систем с помощью метода гамильтоновой редукции возникает известная проблема несоответствия глобальных структур приведенного фазового' пространства и 'истинного' фазового пространства. Эта проблема является следствием локальности разложения Гаусса, на котором основана редукция от модели ВЗНВ к тодовской системе. Поэтому для последовательного описания симметрий неабелевых тодовских систем, ассоциированных с конечномерными классическими группами Ли, мы развили прямой метод исследования задачи в рамках лагранжева и гамильтонова формализмов. Такой подход, в частности, позволил непосредственно вычислить для неабелевых тодовских систем классические IV-алгебры как алгебры характеристических интегралов уравнений Тоды по отношению к скобкам Пуассона и отождествить генераторы алгебры Вирасоро, описывающие конформные свойства модели, с гамильтоновыми аналогами компонент конформно-улучшенного тензора энергии-импульса. Показано, что конформные веса генераторов найден-

ных 1У-алгебр не превышают конформных весов алгебр токов и Вирасоро. Следовательно, И^-алгебры как полиномиальные расширения алгебры Вирасоро возникают в тодовских системах не только в результате учета высших конформных спинов, но и за счет свойств неабелевых ^-градуировок. Заметим, что с помощью блок-матричного подхода удалось найти наиболее компактные выражения для Ж-алгебр, в которых структурные константы реализованы в виде так называемой обобщенной классической г-матрицы, имеющей смысл как оператор перестановки в тензорном произведении двух экземпляров алгебры Ли, соответствующей нулевому градуировочному индексу. Это достижение, сугубо техническое на первый взгляд, может сыграть весьма существенную полезную роль в задаче построения последовательной квантовой теории для рассмотренных классических моделей. Мы также показали, что матричнозначные генераторы преобразований симметрий, плотностями которых являются характеристические интегралы, образуют линейные алгебры с центральным расширением, но со структурными константами, являющимися не постоянными величинами, как в алгебрах Ли, а функциями характеристических интегралов.

Другим важным результатом настоящей диссертации является дальнейшее развитие методов решения петлевых уравнений Тоды и построение с их помощью многосолитонных решений для широких классов абелевых и неабелевых тодовских систем. Здесь были использованы два известных подхода к решению нелинейных дифференциальных уравнений — Хироты и рационального одевания, основы которого были заложены в работах В. Е. Заха-

рова, А. Б. Шабата и А. В. Михайлова/Имея дело с одними и теми же исходными уравнениями, эти методы оперируют совершенно разными понятиями и дают ответы в терминах различных объектов. Так, 'пертурбативный' подход Хироты позволяет находить многосолитонные решения в виде отношений некоторых конечных сумм элементов, тогда как формализм рационального одевания сводит результат к отношению определителей некоторых матриц.

Нам удалось найти явный вид таких матриц для всех скрученных и нескрученных петлевых абелевых тодовских систем, ассоциированных с комплексными общими линейными группами, и представить отношения их определителей в виде отношений конечных сумм и полностью отождествить результаты, полученные в рамках двух этих подходов. Мы показали, в частности, что результат метода рационального одевания содержит все соответствующие солитонные конструкции метода Хироты для абелевых петлевых уравнений Тоды. Отметим, что скрученные петлевые уравнения Тоды, рассмотренные нами, содержат уравнения, возникающие как в дифференциальной геометрии, так и в физике элементарных частиц.

Мы также показали, что формализм рационального одевания допускает естественное обобщение на случай неабелевых тодовских систем: мы построили такое обобщение с помощью блок-матричного представления и нашли два принципиально различных типа многосолитонных решений неабелевых петлевых уравнений Тоды, ассоциированных с комплексной общей линейной группой. Заметим, что эти матричнозначные решения дают неа-

белевы обобщения т-функций Хироты. Кроме того, проведена редукция от общего линейного случая к системам, основанным на специальных линейных группах.

В построенных нами многосолитонных решениях явно определены коэффициенты (функции характеристических параметр ров), описывающие взаимодействие солитонов. При этом, такие коэффициенты для абелевых петлевых систем представляются в виде произведения коэффициентов попарного взаимодействия, тогда как для неабелевых систем такого свойства факторизуемо-сти уже не наблюдается.

На защиту выдвигаются следующие результаты.

1. Предложена классификация уравнений Тоды, ассоциированных с конечномерными комплексными классическими группами Ли. Эта классификация основана на новом методе перечисления градуировок полупростых алгебр Ли, использующем лишь общие свойства таких алгебр и не прибегающем к технике корневого разложения элементов алгебры. Построено неабелево (матричное) обобщение уравнения Ли-увилля как частного случая тодовских систем, ассоциированных с симплектической группой Зр2п(С). При этом, в частности, показано, что известный ранее пример интегрируемой системы, ассоциированной с группой Ли Об(С) и заданной сложным набором нелинейных дифференциальных уравнений, вкладывается в построенную классификацию в простейшем блок-матричном виде — как матричное уравнение Тоды, ассоциированное с группой Зр4(С).

2. Проведено исследование симметрий неабелевых тодовских систем, ассоциированных с общей линейной и симплектиче-ской группами Ли. Методом Дринфельда-Соколова построены характеристические интегралы рассматриваемых неабелевых уравнений Тоды в удобном блок-матричном виде.

3. Развит канонический формализм для неабелевых тодовских систем, в рамках которого получены скобки Пуассона га-мильтоновых аналогов характеристических интегралов для этих систем. Показано, что эти величины образуют классические Ж-алгебры, являющиеся полиномиальными расширениями алгебры Вирасоро. Блок-матричный подход позволил записать соотношения IV-алгебр в наиболее компактном виде, со структурными константами, имеющими смысл классических г-матриц. Исследован конформно-спиновый состав исходных систем, в результате чего показано, что конформные веса генераторов найденных алгебр не превышают конформных весов алгебр токов и Вирасоро, т. е. равны 1 и 2. Это позволяет утверждать, что 1У-алгебры как расширения алгебры Вирасоро в конформных тодовских системах могут возникать не только благодаря включению высших конформных спинов, но и за счет особых свойств соответствующих 2-градуировок.

4. Введено понятие интегрируемых Ж-градуировок алгебр Ли петель и предложена полная классификация таких градуировок с конечномерными градуировочными подпространствами для скрученных алгебр Ли петель комплексных про-

стых алгебр Ли. При этом, скрученная алгебра Ли петель определена как пространство Фреше скрученно-периодичес-ких гладких отображений евклидовой прямой в конечномерную алгебру Ли, с операцией умножения в алгебре Ли, задаваемой поточечно и являющейся непрерывной. Показано, что классификация рассматриваемых 2-градуировок сводится к классификации всех 2м-градуировок исходной конечномерной алгебры Ли, т. е. эквивалентна классификации их автоморфизмов конечного порядка. Предложена новая классификация автоморфизмов конечного порядка, с точностью до сопряжений, алгебр Ли комплексных классических групп Ли. Развитая при этом техника использует блок-матричное представление комплексных алгебр Ли, что является наиболее подходящим для тодовских систем.

5. Построена полная классификация уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель комплексных классических групп Ли, чьи алгебры Ли петель наделены интегрируемыми Х-градуировками с конечномерными градуировочны-ми подпространствами. Получен явный вид соответствующих систем нелинейных интегрируемых уравнений. Показано, что возникает четыре неэквивалентных класса таких систем. Построенная классификация дополнена специальным графическим представлением, наглядно объясняющим главный результат, а также помогающим увидеть общую связь между классами тодовских систем, ассоциированных с группами петель и конечномерными группами Ли.

6. Исследованы вещественные формы простейших неабелевых уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель общей линейной группы Ли, в результате чего неабелевы (матричные) обобщения уравнений 51пЬ-Гордон и вш-Гордон получены как две неэквивалентные вещественные формы неабелевых петлевых уравнений Тоды.

7. Построены многосолитонные решения для абелевых тодов-ских систем, ассоциированных с группами петель общей линейной группы, чьи алгебры Ли наделены интегрируемой Z-градуировкой, индуцированной внутренними автоморфизмами конечного порядка исходной общей линейной алгебры Ли. Решения получены двумя различными методами — 'теоретико-возмущенческим' методом Хироты и рациональным одеванием. Проведен сравнительный анализ этих двух подходов к решению нелинейных уравнений. Показано, что формализм рационального одевания позволяет находить более общие, чем солитонные, классы решений к уравнениям Тоды, которые содержат, в качестве подклассов, все те решения, которые можно строить в рамках 'эвристического' подхода Хироты.

8. Новые многосолитонные решения построены также для абелевых уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель общей линейной группы, в случае, когда соответствующие Х-градуировки индуцированы внешними автоморфизмами конечного порядка. Эти скрученные петлевые тодов-ские системы включают в себя уравнение Додда-Булло-Ми-

хайлова в качестве простейшего частного случая. Показано, что рассмотренные классы уравнений исчерпывают абелевы петлевые тодовские системы для общего линейного случая.

9. Метод рационального одевания развит на основе блок-матричного представления алгебраических и групповых элементов, индуцированного исходной й-градуировкой. С помощью такого обобщения построены многосолитонные решения неабелевых петлевых уравнений Тоды, ассоциированных с комплексной общей линейной группой. При этом получены два принципиально различных типа матричного обобщения абелевых солитонных конструкций — т-функций Хироты.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах отдела теоретической физики Института ядерных исследований РАН, в отделе теоретической физики Института физики высоких энергий (Протвино, Московская обл.), в Лаборатории теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (Дубна, Московская обл.), в отделе теоретической физики Физического института им. П. Н. Лебедева РАН (Москва), на семинарах физического факультета Боннского университета, университета им. Людвига Максимилиана и Технического университета Мюнхена (Бонн и Мюнхен, Германия), в Институте гравитационной физики им. Макса Планка — Институте Альберта Эйнштейна (Потсдам, Германия), на физическом факультете университета г. Вупперталь (Германия).

Наши результаты также были представлены в докладах на международных конференциях "Quantum Aspects of Gauge Theories, Supersymmetry and Unification" (Нойшатель, Швейцария, 1997 г.), "Supersymmetry and Unification of Fundamental Interactions / SUSY'01" (Дубна, 2001 г.), "Quantum Gravity and Superstrings" (Дубна, 2001 г.), на международных совещаниях "Fundamental Problems of High Energy Physics and Field Theory" (Протвино, 2002 г.), "Classical and Quantum Integrable Systems" (Протвино, 2004, 2006, 2008 гг.; Дубна, 2005, 2007 гг.), на международных семинарах по физике высоких энергий "Quaxks" (Суздаль, 1998 г., Пушкин (Царское Село), 2000 г., Великий Новгород и Валдай, 2002 г., Пушкинские Горы, 2004 г., Санкт-Петербург, 2006 г.), на международных школах "Particles and Cosmology" (При-эльбрусье, Кабардино-Балкария, 2005, 2007 гг.).

Публикации. По материалам исследований, представленных в диссертации, опубликовано 16 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложений. Объем работы составляет 320 страниц и включает библиографический список из 155 наименований.

Содержание работы

Во введении кратко обсуждаются различные подходы к уравнению Тоды общего вида как особому классу нелинейных интегрируемых дифференциальных уравнений, дается обоснование целей диссертации, проводится обзор литературы по ее теме и излагается план работы. Здесь дается общее определение уравнения Тоды, ассоциированного с группой Ли 0, чья алгебра Ли © наделена такой ^градуировкой

кеж

что для некоторого фиксированного положительного целого числа Ь подпространства и тривиальны при 0 < к < Ь. Следовательно, любой элемент £ алгебры (5 имеет единственное представление в виде суммы

где & € (5к для каждого к € Ъ. Подпространство ®0 является подалгеброй алгебры Ли 0, и соответствующая подгруппа Ли группы 0 обозначается через 00. Уравнение Тоды — это нелинейное матричное дифференциальное уравнение второго порядка для гладкого отображения Е двумерного пространства М в д0 следующего явного вида:

где Т- и Т+ — некоторые фиксированные отображения М. в (5_/, и <5+£, соответственно, удовлетворяющие условиям д+Т- = 0, = О,

где д+ и <9_ обозначают частные производные по стандартным координатам и г~ гладкого многообразия М..

В первой главе рассматривается классификация уравнений То-ды, ассоциированных с комплексными классическими группами Ли из А, В, С, Б-серии, т. е. СЬ„(С), 8ЬП(€), 0„(С), Зрп(С). Основная цель этой главы состоит в формулировке нового метода перечисления й-градуировок полупростых алгебр Ли и его применении для классификации соответствующих тодовских систем.

В первом параграфе вводится общее уравнение Тоды, связанное с некоторой конечномерной группой Ли, чья алгебра Ли наделена 2-градуировкой. При этом, рассмотренное во введении представление общего элемента алгебры Ли в виде суммы элементов градуировочных подпространств означает конечную сумму таких элементов. Вместо введенных для общего случая обозначений О и <3 здесь используются ставшие традиционными для конечномерного случая теории тодовских систем обозначения С? для исходной группы Ли и д для ее алгебры Ли, а для отображений, входящих в уравнение Тоды в этом случае, 7 и с± вместо Е и соответственно.

Во втором параграфе излагается новый метод классификации ^градуировок комплексных полупростых алгебр Ли. Такая классификация является определяющей для классификации соответствующих тодовских систем. Наш метод основан на общих свойствах полупростых алгебр Ли, в частности, на том факте, что любое дифференцирование полупростой алгебры Ли является внутренним. В соответствии с этим наблюдением строится общий линейный оператор, порождающий й-градуировку, и по-

называется его диагонализуемость.

Третий, четвертый и пятый параграфы содержат результаты по классификации тодовских систем, ассоциированных с общей и специальной линейной, ортогональной и симплектической группами Ли, соответственно. Градуировочная структура для алгебр Ли рассматриваемых классических групп Ли приведена в виде специальной схемы градуировочных индексов. Использование удобного блок-матричного представления элементов этих алгебр Ли, индуцированного Х-градуировкой, позволяет найти явный вид отображений, входящих в уравнение Тоды. В результате приводится явный вид всех неэквивалентных классов уравнений Тоды, ассоциированных с комплексными классическими группами Ли.

Последний, шестой, параграф этой главы предлагает применение полученной классификации к исторически первой явно про- , интегрированной неабелевой тодовской системе (в работах А. Н. Лезнова, М. В. Савельева и др.). Это была система четырех нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, связанных с некоторой градуировкой алгебры Ли Об(С). Показано, что данная сложная система является неабелевым уравнением Тоды, ассоциированным с симплектической группой Зр4(С), чья алгебра Ли наделена ^градуировкой, индуцированной вложением 5Г2-алгебры, с соответствующей параметризацией отображения 7 и простейшим выбором нетривиальных отображений с_ и с+. Здесь же, при рассмотрении более общего случая симплектической группы Эр2П(С), построено неабелево (матричное) обобщение уравнения Лиувилля.

Вторая глава посвящена исследованию симметрий тодовских систем, ассоциированных с конечномерными группами Ли. Здесь рассмотрены неабелевы тодовские системы, ассоциированные с общей линейной группой СЬ<2п и симплектической группой Зр2п(М), чьи алгебры Ли д[2П(К) и зргп(^) снабжены Ж-градуи-ровкой, индуцированной вложением в них 5(2-алгебры. Такая Z-градуировка приводит к естественному представлению элементов рассматриваемой алгебры в 2 х 2 блок-матричном виде, где каждый блок имеет размер п х п. Таким образом, системы, рассмотренные во второй главе, являются частными случаями неабеле-вых тодовских систем, ассоциированных с классическими группами Ли, классификация которых была представлена в первой главе.

В первом параграфе обсуждаются различные формы уравнения Тоды (а именно, соответствующие так называемым лево-инвариантным и право-инвариантным токам), описываются конкретные неабелевы тодовские системы, соответствующие выбранной Х-градуировке, и предлагается явный вид преобразований симметрии ВЗНВ типа и конформной инвариантности для случая общей линейной группы.

Во втором параграфе вводится понятие характеристических интегралов и обсуждаются их общие свойства (каждая такая величина задает плотность и поток закона сохранения, порождает бесконечный набор сохраняющихся зарядов, и наборы характери-стичеких интегралов образуют дифференциальную алгебру). Дается дифференциально-геометрическое описание тодовских систем, причем компоненты плоской связности даются в представ-

лениях, соответствующих двум различным формам записи уравнения Тоды. Используя калибровочную инвариантность условия нулевой кривизны для плоской связности в тривиальном главном расслоении с базой М. и структурной группой й, методом Дринфельда-Соколова строятся характеристические интегралы для обеих форм неабелевых уравнений Тоды. Всего для общего линейного случая получается 4п2 характеристических интегралов, по 2п2 для каждой формы уравнения Тоды. При этом используется удобное блок-матричное представление, так что все характеристические интегралы даются в виде некоторой п х п матрицы.

В третьем параграфе мы строим лагранжев формализм для неабелевых тодовских систем. Дается явный вид общего лагранжиана тодовской системы на двумерном римановом многообразии М. с метрическим тензором т? и его составляющих (лагранжиана главного кирального поля, члена Весса-Зумино, тодовского потенциального члена). Выводятся лагранжевы уравнения движения рассматриваемой системы. Введение локальных координат на групповом многообразии позволяет записать явный вид плотности лагранжиана тодовской системы в терминах полей, определяемых с помощью групповых координат. При этом возникает би-инвариантный метрический тензор на групповом многообразии, а тензор энергии-импульса тодовской системы, как лагранжевой динамической системы, дается в терминах полей, соответствующих групповым координатам. Наивно определенный тензор энергии-импульса не является бесследовым, поэтому приходится вводить конформно-улучшенный тензор энергии-импуль-

са и работать в дальнейшем с его нетривиальными компонентами для исседования конформных свойств рассматриваемой системы. Эти компоненты удается выразить в терминах характеристических интегралов.

В четвертом параграфе мы развиваем гамильтонов подход к неабелевым тодовским системам. Для канонического описания системы, не зависящего от выбора локальных координат на групповом многообразии, вводятся новые величины — лево- и право-инвариантные токи, и плотность гамильтониана дается в терминах таких токов, как независимых переменных фазового пространства. Показано, что токи неабелевой тодовской системы образуют два перестановочных экземпляра алгебры токов с центральным расширением. Структурные константы этих алгебр токов имеют смысл как оператор перестановки в тензорном произведении двух экземпляров линейного пространства до- Для гамильтониана тодовской системы находится выражение в терминах лево- и право-инвариантных токов в форме Сугавары. Уравнения движения системы даются в матричном гамильтоновом виде в терминах базисных переменных, описывающих фазовое пространство.

В пятом параграфе мы выводим соотношения И^-алгебры как алгебры гамильтоновых аналогов характеристических интегралов относительно скобки Пуассона. Здесь рассмотрен случай тодовской системы для общей линейной группы. Исследован конформно-спиновый состав системы. Генераторы алгебры Вирасо-ро отождествлены с гамильтоновыми аналогами компонент конформно-улучшенного тензора энергии-импульса. Показано, что

конформные веса генераторов И^-алгебры равны 1 и 2, т. е. не превышают конформных весов генераторов алгебры токов и Ви-расоро. Приведена инфинитезимальная версия преобразований симметрии, порождаемых генераторами Ж-алгебры. Преобразования симметрии ВЗНВ типа и конформной симметрии находятся как частные случаи этих преобразований ^-симметрии. Показано, что нелинейные члены И^-алгебры делают инфинитези-мальные параметры преобразований Ж-симметрии явно зависящими от тодовских полей и их производных посредством характеристических интегралов.

В шестом параграфе рассматривается симплектический случай. Здесь уравнение Тоды имеет смысл как неабелево обобщение уравнения Лиувилля. Для этой тодовской системы выполнена полностью та же программа исседований симметрийных свойств, что и для общего линейного случая. Структурные константы полученных 1У-алгебр реализуются, как и в общем линейном случае, в виде классических г-матриц, обычно вводимых в рамках классических нелинейных интегрируемых систем. При этом показано, что \¥-алгебры для симплектического случая получаются специальной заменой (сдвигом) структурных констант, возникающих для общего линейного случая, и соответствующего отождествления генераторов.

Третья глава посвящена анализу скрученных групп петель и скрученных алгебр Ли петель и описанию их ^градуировок. В предисловии к главе отмечается, в частности, что имеется два основных подхода к определению алгебр Ли петель, подчеркиваются их главные недостатки и преимущества и обосновывается

наш выбор одного из этих подходов (основанного на известной книге Пресли и Сегала), как наиболее подходящего для тодов-ских систем, ассоциированных с группами петель.

В первом параграфе дается строгое определение скрученных групп петель и алгебр Ли петель как множеств всех гладких отображений единичной окружности или, эквивалентно, скрученно-периодических отображений евклидовой прямой в конечномерную группу Ли и конечномерную алгебру Ли, соответственно, на которых задано действие некоторых автоморфизмов конечного порядка, с поточечно определенными групповым и алгебраическим законами умножения. Далее вводится понятие алгебр Ли-Фреше и доказывается предложение о том, что скрученная алгебра Ли петель является алгеброй Ли-Фреше. Алгебра Ли 0 называется алгеброй Ли-Фреше, если 0 является пространством Фреше и операция умножения в алгебре 0, рассматриваемая как отображение из 0 х 0 в 0, непрерывна. Алгебру Ли-Фреше можно рассматривать как бесконечномерное гладкое многообразие, моделируемое на самом себе. Операция умножения алгебры Ли является при этом гладким отображением. Скрученная группа петель наделяется структурой бесконечномерного гладкого многообразия, моделируемого на пространстве Фреше, в качестве которого берется скрученная алгебра Ли петель. При этом учитывается, что исходные конечномерные группа Ли и алгебра Ли связаны через экспоненциальное отображение.

Во втором параграфе исследуются автоморфизмы скрученных алгебр Ли петель £а,м(&) комплексных простых алгебр Ли, где автоморфизм А конечного порядка М простой алгебры Ли

д, по определению, удовлетворяет соотношению Ам — ¡с!д. Центральным результатом этого параграфа является доказанная в нем

Теорема 3.2.1 Группа автоморфизмов скрученной алгебры Ли петель Са,м(&) может быть естественно отождествлена с полупрямым произведением ОШмС-?1) к Ап1(Л),м(А1^д).

Суть этой теоремы в том, что любое дифференцирование скрученной алгебры Ли петель задается действием линейного оператора <5 на элемент £ е £а,м(&) в явном виде

где X — гладкое 27г/М-периодическое комплексное векторное поле на М, а г} — элемент £д,м(д)- Более того, для случая вещественных алгебр Ли д дифференцирования такого вида исчерпывают все возможные дифференцирования £а,м(&)- Для случая комплексных д приходится допустить, что векторное поле X может быть комплексным.

В третьем параграфе описываются ^градуировки скрученных алгебр Ли петель, анализируется сходимость рядов в пространствах Фреше и рассматриваются Х-градуировки, порождаемые градуировочными операторами. В качестве важнейшего примера приводится стандартная градуировка, порождаемая гра-дуировочным оператором вида 0,' = —¡<1/(15. Здесь же вводится новое понятие интегрируемых Х-градуировок: мы называем Z-градуировку алгебры Ли-Фреше интегрируемой, если отображение Ф:Мх0-»б, задаваемое соотношением

¿62 28

является гладким. Как обычно, обозначает градуировочные компоненты элемента £ по отношению к рассматриваемой ^градуировке. Для интегрируемых ^градуировок векторное поле X, входящее в определение линейного оператора дифференцирования скрученной алгебры Ли петель, оказывается вещественным. Мы доказываем, что любой оператор, порождающий интегрируемую 2-градуировку скрученной алгебры Ли петель Са,м(в)> действует на произвольный элемент как описанный в явном виде оператор дифференцирования <2- В качестве главного результата этого параграфа, сформулирована и доказана следующая

Теоремы 3.3.1 Интегрируемая ^-градуировка скрученной алгебры Ли петель Са,м(з) с конечномерными градуировочными подпространствами сопряжена изоморфизмом с Ъ-градуировкой подходящей скрученной алгебры Ли петель £а',м'($)> порождаемой градуировочным оператором

=-чае/аз,

т. е. стандартной градуировке этой алгебры Ли петель. При этом, автоморфизмы А и А! отличаются внутренним автоморфизмом алгебры Ли д.

Четвертая глава содержит наши результаты по классификации петлевых уравнений Тоды, ассоциированных с комплексными классическими группами Ли. Наша классификация основана на предыдущем анализе структуры 2-градуированных алгебр Ли петель и соответствующих групп петель. Именно, используется доказанный нами факт, что любая интегрируемая 2-градуировка с конечномерными градуировочными подпространствами сопря-

жена изоморфизмом стандартной Ъ-градуировке некоторой другой алгебры Ли петель, которая всегда определяется по исходной. Простота и удобство использования именно стандартной градуировки предлагает работать не с различными неэквивалентными градуировками одной и той же исходной алгебры Ли петель, а с различными (с точностью до изоморфизмов) алгебрами Ли петель, снабженными всегда стандартной Х-градуировкой. При этом, градуировочные подпространства стандартной 2-градуи-ровки алгебры Ли петель £л,м(в) задаются в виде

СА,мШк = {£ € £л,м(0) I е = А(х) = екмх},

где А — автоморфизм алгебры Ли д, удовлетворяющий соотношению Ам = 1с10 и соответствующий автоморфизму а конечного порядка группы Ли С; здесь, кроме того, Л обозначает ограничение на единичную окружность стандартной координаты на С, а ем — главный корень М-й степени из единицы. Таким образом, классификация ^градуировок алгебры Ли петель £а,м{&) сводится к описанию неизоморфных Ъ^-градуировок конечномерной алгебры Ли д, что, в свою очередь, эквивалентно классификации автоморфизмов конечного порядка алгебры Ли д.

В первом параграфе выводится общий вид уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель комплексных классических групп Ли С. Дается общий вид и описываются важнейшие свойства отображений пространства независимых переменных М, задающих петлевое уравнение Тоды. Исходные отображения являются отображениями в бесконечномерные пространства. Но использование экспоненциального закона позволяет выразить петлевое уравнение Тоды в терминах соответствующих отображений

в конечномерные пространства. Таким образом, общее петлевое уравнение Тоды дается в виде

5+(7-1а_7) = [С_,7-1С*7]. где 7 является гладким отображением из М. в связную подгруппу Ли Со группы С, соответствующую алгебре Ли 0[о]м, а отображения с_ и с+ являются фиксированными гладкими отображениями из М в 0_[1,]м и д+щм, соответственно ([к}м обозначает элемент кольца 2м) соответствующий целому числу к). Эти фиксированные отображения удовлетворяют соотношениям

д+с- = О, <9_с+ = 0.

Здесь же обсуждается вид петлевых уравнений Тоды для предельных случаев, когда автоморфизм конечного порядка группы Ли й и соответствующий автоморфизм алгебры Ли д тривиальны, а = ¡<1(3, А — ¡с10, а их порядок, целое положительное число М, является произвольным. Это рассмотрение позволяет увидеть, в частности, принципиальное отличие петлевых уравнений Тоды от уравнений Тоды, ассоциированных с конечномерными группами Ли.

Второй параграф содержит описание петлевых уравнений Тоды, ассоциированных с общими линейными группами, чьи алгебры Ли наделены Хм-градуировками внутреннего типа. Такие градуировки индуцируются внутренними автоморфизмами рассматриваемой алгебры Ли. Основной вывод рассмотрения этого параграфа состоит в том, что с точностью до сопряжений градуировка алгебры Ли д[„(С) внутреннего типа задается выбором р < п положительных целых чисел па, удовлетворяющих

равенству па = п, я р — 1 положительных целых чисел

ка, удовлетворяющих неравенству < М. Эти числа со-

ответствуют блок-матричной структуре элементов рассматриваемой группы и ее алгебры Ли и задают каноническую структуру 2м-градуировки, представленную в виде специальной таблицы. Явный вид отображений 7, с+ и с_, а также соответствующие уравнения Тоды находятся согласно этой структуре. При этом делается вывод, что, для того чтобы иметь дело именно с петлевой тодовской системой, необходимо предположить, что ка= Ь и М — рЬ, причем, безо всякой потери общности, оказывается возможным положить Ь = 1. Эти требования остаются общими для всех классов рассматриваемых уравнений. Здесь, в общем линейном случае, мы получаем один, основной, класс петлевых тодов-ских систем. Мы показываем, что возможна редукция петлевых тодовских систем, ассоциированных с общими линейными группами, к тодовским системам, ассоциированным с группами петель специальных линейных групп, так что любое решение уравнения Тоды, ассоциированного с группой петель £а1м(ЭЬп(С)) может быть найдено из решения соответствующего уравнения Тоды, ассоциированного с группой петель £а,м(СЬп(С)). В этом же параграфе мы строим неабелевы (матричные) обобщения известных уравнений втЬ-Гордон и эт-Гордон как две неэквивалентные вещественные формы рассмотренных петлевых уравнений Тоды.

Третий параграф посвящен уравнениям Тоды, ассоциированным с группами петель комплексных ортогональных групп, чьи алгебры Ли наделены 2^-градуировками внутреннего типа,. При рассмотрении этого случая требуется блок-матричное описание

всех несопряженных внутренних автоморфизмов комплексных ортогональных групп и их алгебр Ли. Введенные выше целые положительные числа па и ка используются также и в этом случае, но теперь они, а также отображения 7, с+ и с_ подчинены специальным условиям, следующим из структуры группы 80„(С) и ее алгебры Ли 50„(С). В результате, в ортогональном случае мы находим три неэквивалентных класса петлевых тодовских систем, причем, какой именно класс реализуется, зависит от четности чисел пир.

В четвертом параграфе рассматривается случай петлевых тодовских систем, ассоциированных с симплектическими группами 8рп(С). Здесь число п с необходимостью четно. Симплектиче-ская группа и ее алгебра Ли 5рп(С) имеют только внутренние автоморфизмы, поэтому в данном случае возможны лишь Ъм-градуировки внутреннего типа. Классификация петлевых тодовских систем здесь в целом похожа на классификацию в ортогональном случае, но со специфическими для комплексной сим-плектической группы и ее алгебры Ли условиями на положительные целые числа па и ка, определяющими соответствующую каноническую структуру Ел/-градуировки, и отображения 7, с+ и с_. Мы показываем, что возникают три неизоморфных класса петлевых тодовских систем, ассоциированных с комплексной симплектической группой, и даем соответствующие уравнения в явном виде.

Пятый параграф содержит классификацию петлевых тодовских систем, ассоциированных с комплексными общими линейными группами, чьи алгебры Ли снабжены й^-градуировками

внешнего типа, т. е. индуцированными внешними автоморфизмами яЦС). Показывается, что порядок таких автоморфизмов, положительное целое число М, с необходимостью является четным (2ЛГ). Здесь мы также находим три неэквивалентных класса уравнений. При этом также показывается, что целые положительные числа па и ка, характеризующие ^дг-градуировку, и отображения 7, с+ и с_, входящие в общее уравнение Тоды, подчиняются специфическим условиям, имеющим вид определенных комбинаций тех алгебро-групповых условий, которые возникали в ортогональном и симплектическом случаях, хотя исходная структурная группа Ли является лишь общей линейной.

Шестой параграф предлагает рассмотрение петлевых тодов-ских систем, ассоциированных с комплексными ортогональными группами 80„(С), чьи алгебры Ли наделены 2м-градуировками внешнего типа. Соответствующие внешние автоморфизмы существуют только для четных значений п. Кроме того, оказывается, что числа Мир также с необходимостью являются четными. В результате" рассмотрения мы находим один класс петлевых уравнений Тоды и показываем, что он эквивалентен одному из трех классов, уже найденных нами для ортогонального случая, но с дополнительными ограничениями на размерности блоков, т. е. на числа па.

Седьмой параграф содержит общую классификацию петлевых уравнений Тоды, ассоциированных с комплексными классическими группами Ли. Здесь приводятся выведенные в результате нашего рассмотрения четыре различных класса таких систем и предлагается специальное графическое представление для них:

это представление служит для наглядного объяснения результатов классификации, а именно, того факта, что на самом деле возникают только четыре неэквивалентных класса петлевых то-довских систем. При этом, в каждом из трех из этих классов можно выделить два подкласса, различающихся специфическими условиями на отображения Гх, Г8 и C-¿о, C±s. В конце также кратко обсуждается аналогичное графическое представление для тодовских систем, ассоциированных с конечномерными группами Ли, для которых было выявлено всего три различных класса.

Пятая глава посвящена построению солитонных, или солито-ноподобных, решений абелевых и неабелевых петлевых уравнений Тоды, ассоциированных с общими линейными группами. При этом используются два метода — Хироты и рационального одевания. Заметим, что Дг-солитонными решениями в диссертации называются решения, зависящие от N линейных комбинаций независимых переменных и с определенным набором характеристических параметров.

В первом параграфе дается общая формулировка петлевых уравнений Тоды, основанная на представлении нулевой кривизны с наложением Z-градуировочных и калибровочного условий на компоненты плоской связности. Используя экспоненциальный закон, здесь мы снова находим окончательный вид уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель. Такой вывод уравнений оправдан тем, что компоненты связности и генерирующие их отображения являются здесь отображениями конечномерного пространства в бесконечномерное пространство, а именно, двумерного евклидова пространства М2 в алгебру Ли петель и группу

петель, £л,м(б) и Са,м{соответственно. Как отмечалось выше, экспоненциальный закон позволяет переформулировать такие отображения в терминах отображений конечномерных пространств в конечномерные пространства, R2 х S1 в g и G соответственно. Получающаяся при этом структура отображений по компоненте S1 особенно важна, так как в методе рационального одевания ключевую роль играют аналитические свойства этих отображений. Здесь же рассматриваются (линейные) симметрии уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель.

Во втором параграфе описывается явный вид абелевых петлевых уравнений Тоды, ассоциированных с общими линейными группами. Всего выводится три различных типа таких уравнений — один для нескрученных и два для скрученных групп петель общих линейных групп. Симметрии, обсуждаемые выше, используются для приведения отображений с+ и с_ к наиболее удобному, с точки зрения построения решений, виду. Демонстрируется также взаимосвязь полученных трех типов абелевых петлевых уравнений Тоды с уравнениями Тоды, ассоциированными с аффинными группами Ли 2 и Последние же

записываются стандартным образом, так, что соответствующая обобщенная матрица Картана возникает в уравнении в явном виде. Знаменитое уравнение Додда-Булло-Михайлова оказывается

простейшим частным случаем абелевых петлевых уравнений вто-

(2)

poro типа, что соответствует аффинной алгебре Ли типа А\ .

В третьем параграфе строятся солитонные решения абелевых петлевых уравнений Тоды первого типа. Показывается, что все многосолитонные решения, которые строятся методом Хироты,

находятся среди тех, которые можно построить в рамках формализма рационального одевания. Проясняются связи между составляющими этих двух методов. При этом, т-функции метода Хироты представляются в виде определителей специального вида матриц, которые возникают в методе рационального одевания. В свою очередь, эти определители представлены в виде конечных сумм элементов, описывающих свободные и взаимодействующие 'солитонные специи'.

Четвертый параграф посвящен уравнениям второго и третьего типов — абелевым скрученным петлевым уравнениям Тоды, ассоциированным с общими линейными группами, чьи алгебры Ли наделены Ъ^-градуировками внешнего типа. Решения для этих уравнений строятся здесь методом рационального одевания. Наличие в этих системах внешнего автоморфизма делает их принципиально отличными от системы первого типа: несмотря на то, что все они ассоциированы с общими линейными группами, в системах второго и третьего типов необходимо накладывать специальные алгебро-групповые условия на отображения с+, с_ и 7 и учитывать их в формализме рационального одевания. Эти условия приводят к определенным связям между положениями полюсов одевающих мероморфных отображений и их обратных отображений, что значительно усложняет процедуру построения солитонных решений по сравнению с нескрученным случаем. При этом, определенную предварительную часть метода рационального одевания удается развивать на общих основаниях для уравнений обоих типов. Здесь мы находим явный вид матриц, отношения определителей которых дают некотрые — более общие,

чем солитонные — решения рассматриваемых абелевых петлевых уравнений Тоды.

В пятом параграфе солитонные решения рассматриваемых двух типов абелевых скрученных петлевых уравнений Тоды выводятся из общих решений, полученных выше методом рационального одевания. Для такой конкретизации общих решений к собственно солитонным решается спектральная проблема для отображений с+ и с_ и подходящим образом редуцируется пространство параметров, задающих начальные данные системы. В явном виде приводятся одно- и двухсолитонные решения. Солитонные решения, полученные ранее для уравнения Додда-Булло-Михайлова методом Хироты, воспроизводятся здесь как частные случаи построенных методом рационального одевания более общих решений скрученных петлевых уравнений Тоды. Главное отличие уравнений второго и третьего типов проявляется в том, что отображения с+ и с_ для второго типа задаются невырожденными (нечетномерными) матрицами, а для третьего типа такие (четномерные) матрицы имеют по одному нулевому собственному вектору. Учет начальных данных, соответствующих этим 'нуль-подпространствам', позволяет построить принципиально новые солитонные решения для уравнений третьего типа.

В шестом параграфе метод рационального одевания обобщается для построения солитонных решений неабелевых петлевых уравнений Тоды, ассоциированных с общими линейными группами. Здесь рассматриваются только нескрученные системы. При этом строятся две различные конструкции, обобщающие абеле-вы солитонные решения. В обеих из них принципиально важным

оказывается исследование структур матричнозначных отображений с+ и с_ и решение соответствующих спектральных задач уже в неабелевом случае. Как результат развития метода рационального одевания в применении к неабелевым тодовским системам, приводятся явные солитоноподобные решения в виде двух различных типов матричного обобщения т-функций Хироты.

В заключении кратко перечисляются и обсуждаются основные результаты, выносимые на защиту.

В приложениях приводятся некоторые полезные сведения из теории алгебр Ли и групп Ли и их автоморфизмов конечного порядка (А), о матричных группах Ли, наделенных структурой гладкого многообразия, и операциях с алгебро-значными функциями на них (В), о группах диффеоморфизмов, о распределениях на S1, о сходимости и рядах в пространствах Фреше (С); здесь же дается вывод некоторых важных формул, а именно, алгебр токов и соотношений ^-алгебр (В) и основных свойств матриц, возникающих в солитонных решениях (D).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Kh. S. Nirov, Constraint algebras in gauge invariant systems, Int. J. Mod. Phys. A10 (1995) 4087-4106,

arXiv: hep-th/9407156.

2. Kh. S. Nirov, The Ostrogradsky prescription for BFV formalism, Mod. Phys. Lett. A12 (1997) 1991-2004,

arXiv: hep-th/9704183.

3. Kh. S. Nirov and M. S. Plyushchay, Symmetries and classical quantization, Phys. Lett. B405 (1997) 114-120,

arXiv: hep-th/9707070.

4. Kh. S. Nirov and M. S. Plyushchay, P,T-invariant system of Chern-Simons fields: Pseudoclassical model and hidden symmetries, Nucl. Phys. B512 (1998) 295-319,

arXiv: hep-th/9803221.

5. Kh. S. Nirov, Pseudoclassical mechanics and hidden symmetries of 3D particle models, Fortsch. Phys. 47 (1999) 239-246, arXiv: hep-th/9804044.

6. Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, On classification of non-Abelian Toda systems, in: Geometrical and Topological Ideas in Modern Physics (ed. V. A. Petrov). IHEP, Protvino, 2002, pp.213-221, arXiv: nlin.SI/0305023.

7. Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, Toda-type integrable systems and W-algebras, in: Supersymmetry and Unification of Fundamental Interactions (SUSY'01: eds. D. I. Kazakov, A. V. Gladyshev). World Scientific, Singapore, 2002, pp.434-438.

8. Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, Higher symmetries of Toda equations, in: Procs. of the 12th Intl. Seminar on High Energy Physics "Quarks'2002" (eds. V. A. Matveev et al). INR, Moscow, 2004, pp.262-271, arXiv: hep-th/0210136.

9. Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, W-algebras for non-Abelian Toda systems, J. Geom. Phys. 48 (2003) 505-545,

arXiv: hep-th/0210267.

10. Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, On Z-gradations of twisted loop Lie algebras of complex simple Lie algebras, Commun. Math. Phys. 267 (2006) 587-610, arXiv: math-ph/0504038.

11. Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, Toda equations associated with loop groups of complex classical Lie groups, Nucl. Phys. B782 (2007) 241-275, arXiv: math-ph/0612054.

12. X. С. Ниров, А. В. Разумов, О Z-градуированных алгебрах Ли петель, группах петель и уравнениях Тоды, Теор. Мат. Физ. 154 (2008) 451-476, (англ. перевод: Kh. S. Nirov and А V. Razumov, Z-graded loop Lie algebras, loop groups, and Toda equations, Theor. Math. Phys. 154 (2008) 385-404), arXiv: 0705.2681.

13. Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, Abelian Toda solitons revisited, Rev. Math. Phys. 20 (2008) 1209-1248, arXiv: 0802.0593.

14. Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, The rational dressing for Abelian twisted loop Toda systems, J. High Energy Phys. 12 (2008) 048, arXiv: 0806.2597.

15. Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, Solving non-Abelian loop Toda equations, Nucl. Phys. B815 [PM] (2009) 404-429, arXiv: 0809.3944.

16. Kh. S. Nirov and A. V. Razumov, More non-Abelian loop Toda solitons, J. Phys. A: Math. Theor. 42 (2009) 285201,

arXiv: 0810.1025.

Ф-т 60x84/8. Уч.-изд.л. 1,5 Зак. № 22026 Тираж 100 экз.

Бесплатно

Отпечатано на компьютерной издательской системе Издательский отдел Института ядерных исследований Российской академии наук 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а

Введение

Глава 1. Классификация тодовских систем, ассоциированных с комплексными классическимими группами Ли

1.1 Общее уравнение Тоды.

1.2 Z-градуировки полупростых алгебр Ли.

1.3 Уравнения Тоды для специальных линейных групп.

1.4 Уравнения Тоды для ортогональных групп.

1.5 Уравнения Тоды для симплектических групп . .'.

1.6 Простейший пример неабелевой тодовской системы.

Глава 2. W-алгебры для неабелевых тодовских систем

2.1 Тодовские системы.

2.2 Характеристические интегралы

2.3 Лагранжев формализм для тодовских систем.

2.4 Гамильтоново описание.

2.5 W-алгебра

2.6 Неабелево уравнение Лиувилля.

Глава 3. Скрученные группы петель и скрученные алгебры Ли петель

3.1 Алгебры Ли петель и группы петель: определение.

3.2 Автоморфизмы скрученных алгебр Ли петель.

3.3 Z-градуировки скрученных алгебр Ли петель.

Глава 4. Уравнения Тоды, ассоциированные с группами петель 115 4.1 Общий вид петлевых уравнений Тоды.

4.2 Уравнения Тоды, ассоциированные с группами петель комплексных общих линейных групп. Градуировки внутреннего типа

4.3 Уравнения Тоды, ассоциированные с группами петель комплексных ортогональных групп. Градуировки внутреннего типа.

4.4 Уравнения Тоды, ассоциированные с группами петель комплексных симплектических групп

4.5 Уравнения Тоды, ассоциированные с группами петель комплексных общих линейных групп. Градуировки внешнего типа.

4.6 Уравнения Тоды, ассоциированные с группами петель комплексных ортогональных групп. Градуировки внешнего типа.

4.7 Результаты классификации и ее графическое представление

Глава 5. Солитоиоподобные решения петлевых уравнений Тоды

5.1 Уравнения Тоды, ассоциированные с группами петель общих линейных групп Ли.

5.2 Абелевы уравнения Тоды, ассоциированные с группами петель комплексных общих линейных групп Ли

5.3 Солитонные решения нескрученных петлевых уравнений Тоды

5.4 Метод рационального одевания для скрученных петлевых уравнений Тоды.•.

5.5 Солитонные решения абелевых скрученных петлевых уравнений Тоды.

5.6 Решения неабелевых петлевых уравнений Тоды.

Нелинейные интегрируемые динамические системы часто находят применение и играют существенную роль в исследованиях в различных областях теоретической физики, в особенности — для более глубокого понимания непер-турбативных аспектов лоренц-инвариантных теорий поля и выявления взаимосвязей статистической физики и квантовой теории поля [1-9]. Наиболее перспективными при этом представляются два направления. Первое связано с применением конформно-инвариантных интегрируемых систем для моделирования модифицированных теорий струн и гравитации, так называемых W-гравитаций и получаемых из них Ж-струн [10-12]. В основе этих конструкций лежат Ж-алгебры, являющиеся расширениями алгебры Вирасоро. Заметим, в частности, что Ж-струны обладают теми же замечательными свойствами, что и обычные: на квантовом уровне они удовлетворяют теореме об отсутствии духов, амплитуды рассеяния в таких теориях демонстрируют известные свойства дуальности и факторизуемости, и они обладают модулярной инвариантностью. Но при этом Ж-гравитации и W-струны имеют и очевидные преимущества благодаря более широкой нелинейной алгебре симметрии. Второе направление связано со свойствами солитонных решений нелинейных интегрируемых систем. Такие решения при квантовании описывают протяженные объекты, имеющие смысл как частицы с нетривиальной внутренней структурой [13]. Примерами таких частпцеподобных решений являются монополи, несущие топологический заряд и, так следствие наблюдения Монто-нена и Олива [14], ответственные за эффект Мейснера в механизме конфай-нмента в неабелевых калибровочных теориях. Кроме того, нелинейные интегрируемые системы используются и для прямого моделирования эффекта удержания спинорных полей внутри таких локализованных объектов, какими являются именно солитонные решения [15, 16], реанимируя тем самым некоторые идеи прошлых десятилетий [17-19].

Несомненно, также весьма интересны проявления и применения нелинейных интегрируемых уравнений, в частности — тодовских систем, в физике поверхностей, квантовой оптике и нелинейных волновых процессах, например, для моделирования материалов с заданными свойствами, сетей передачи информации и лазеров и волноводов с наименьшими потерями энергии, см., например, [20-23].

Уравнения Тоды составляют широкий класс нелинейных интегрируемых систем, возникающих во многих областях математической и теоретической физики, в задачах, имеющих как фундаментальное, так и прикладное значение [24, 25]. Это матричные дифференциальные уравнения специального вида, эквивалентные некоторому набору нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Один из путей исследования нелинейных дифференциальных уравнений проходит через выявление и анализ их симметрий. Идейные основания для такого подхода были заложены в конце XIX — начале XX столетий Софусом Ли и Эмми Нётер. С тех пор наиболее интересные и важные результаты в этой области исследований были получены в развитие теории интегрируемых систем. Вполне исчерпывающий список литературы к этому вопросу можно найти в книгах [26, 27]. Теория групп и алгебр Ли, развившаяся из таких начал, находит множество приложений к математическим и физическим задачам [24, 26-28]. В частности, и что важнее всего для нашей работы, она является необходимым инструментом для формулировки многих интегрируемых систем и построения подходящих методов интегрирования.

Особое место среди нелинейных интегрируемых уравнений занимают двумерные системы, которые выводятся из так называемого условия нулевой кривизны [24, 25, 27, 29]. Эта простая и ясная основа для построения соответствующих нелинейных уравнений делает возможным наиболее эффективное применение различных методов при исследовании таких сложных систем, как, например, тодовские системы, являющиеся предметом настоящей диссертации

Впервые тодовская система была сформулирована в работе [30] для описания ангармонических колебаний кристаллической решетки. Это была одномерная нелинейная интегрируемая модель семейства классических частиц с одной степенью свободы на окружности или на прямой (в зависимости от выбранных граничных условий), имеющих некоторое экспоненциальное взаимодействие с соседними частицами из семейства. Интегрируемость тодовской цепочки исследовалась уже в работах [31-33]. Ее двумерное обобщение было предложено в [34], где также было сформулировано представление нулевой кривизны для этой уже двумерной модели. Результаты [34] были обобщены в работах [35, 36] на случаи различных аффинных алгебр Каца-Муди. Эти же вопросы (интегрируемости) решались в работах [37, 38] для простейших тодовских систем, ассоциированных с конечномерными группами Ли, и в [39] — для аффинных тодовских систем.

Согласно теоретико-групповому подходу тодовские системы задаются выбором некоторой группы Ли, чья алгебра Ли наделена Z-градуировкой. Другими словами, конкретное уравнение Тоды ассоциировано с группой Ли и определяется Z-градуировкой соответствующей алгебры Ли. Определение и некоторые общие процедуры интегрирования для тодовских систем, ассоциированных с конечномерными группами Ли, можно найти в [24, 25, 40, 41]. Представляют интерес также обобщения тодовских систем, возникающие при включении высших градуировочных подпространств [42-44], что подразумевает уже не только нетривиальное самодействие тодовских полей, но и их взаимодействие с полями материи, и при переходе в пространства более высоких размерностей [45, 46]. Такие обобщения, основанные на супергруппах, интересны с точки зрения моделирования суперсимметричных интегрируемых систем [47-49].

Термины "уравнения Тоды" и "тодовские системы" используются здесь как равнозначные. 'Пространство-время' для тодовской системы — это двумерное многообразие, а '(конфигурационным) пространством полей' является подгруппа Ли исходной группы Ли, соответствующая той подалгебре Ли исходной алгебры Ли, которая отвечает нулевому градуировочному индексу.

Ясно, что для исчерпывающего описания тодовских систем нужно начать с перечисления Z-градунровок алгебр Ли, соответствующих группам Ли, с которыми уравнения Тоды ассоциированы. Классификация Z-градуировок комплексных полупростых конечномерных алгебр Ли хорошо известна, см., например, [50]. Соответствующая групповая и алгебраическая классификация тодовских систем, ассоциированных с комплексными классическими группами Ли, была дана в статьях [41, 51, 52], где уравнения Тоды были записаны в удобной блок-матричной форме, порождаемой рассматриваемой Z-градуировкой. При этом, в [52] был предложен новый метод классификации Z-градуировок рассматриваемых алгебр Ли, который опирается лишь на общие свойства полупростых алгебр Ли, не прибегая к корневой технике. Именно этот блок-матричный подход [52] оказался наиболее адекватным для исследования уравнений Тоды.

Для построения явных точных решений и исследования симметрнй уравнений Тоды принципиально важными оказываются их дифференциально-геометрические свойства [25, 40]. А именно, тодовскую систему можно рассматривать как набор нелинейных дифференциальных уравнений, следующих из условия нулевой кривизны на некоторую плоскую связность в тривиальном главном расслоении с гладким двумерным многообразием в качестве базы и структурной группой Ли в качестве слоя. При этом, алгебра Ли Q структурной группы Ли G снабжается Z-градуировкой, которая индуцирует разложение линейного пространства g в прямую сумму трех подпространств, 0 = В<о Ф flo Ф fl>o, где подалгебры я<0, flo и £j>0 состоят из подпространств с отрицательными, нулевым и положительными градуировочными индексами, соответственно. Z-градуировка, индуцирующая указанное разложение, используется для наложения на плоскую связность градуировочных условий. Кроме того, для окончательного вывода уравнений Тоды оказывается необходимым выбрать некоторое калибровочное условие для связности [25].

Обсудим случай конечномерных матричных групп Ли. В этом случае д<о и 0>о являются нильпотентными подалгебрами д, образованными блочными строго нижними и строго верхними треугольными матрицами, тогда как подалгебра до образована блок-диагональными матрицами и содержит подалгебру Картана алгебры д. Рассматриваемая Z-градуировка используется далее для определения разложения Гаусса структурной группы Ли [24, 25]. Исходная группа G представляется в виде G — G<oGoG>o, где черта над символами означает топологическое замыкание, и Go, G<о, G>о обозначают связные подгруппы Ли структурной группы, соответствующие подалгебрам 00) 0<о, д>о- Подгруппы G<o и G>о образованы блочными нижними и верхними треугольными матрицами с единичными матрицами соответствующих размеров на диагонали, a Go образована блок-диагональными матрицами [51, 52]. Если Z-градуировка такова, что подалгебра до совпадает с какой-нибудь подалгеброй Картана алгебры Ли д, так что соответствующая группа Ли Go оказывается абелевой, то соответствующая тодовская система называется абелевой, если же рассматривается любая другая Z-градуировка, приводящая, соответственно, к неабелевой группе Ли Gо, то имеют дело с неабелевой тодовской системой.

До середины 1990-х годов было опубликовано множество работ, посвященных абелевым тодовским системам, тогда как неабелевы системы еще не были изучены достаточно основательно. Это связано с тем фактом, что к тому времени еще не было найдено удобного представления для таких систем. В статье [45] было показано, что некоторый класс неабелевых тодовских систем может быть представлен в простом блок-матричном виде. Позже было доказано, что такое представление существует и для всех тодовских систем, ассоциированных с классическими полупростыми группами Ли [51, 52]. Этот результат привел к возобновлению интереса к рассматриваемому классу нелинейных интегрируемых систем [53-56]. Отметим также, что простейшие частные случаи неабелевых уравнений Тоды, как минимального расширения абелевых систем, ассоциированных с ортогональными группами, возникали в [57] при исследовании некоторых интегрируемых иерархий.

Плоскую связность в рамках описанного выше подхода удобно рассматривать как один-форму, принимающую значения в алгебре Ли д. Ненулевые компоненты такой один-формы связности, рассматриваемые как отображения из базы расслоения в нильпотентные подалгебры д<0 и д>0, удовлетворяют простым соотношениям, вытекающим из условия нулевой кривизны. Такие компоненты входят в уравнения Тоды в качестве некоторых фиксированных матричнозначных отображений. Сами лее уравнения Тоды формулируются для отображений из базового многообразия в группу Ли Go. Координаты на групповом многообразии Go, параметризующие это отображение, называются тодовскими полями. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка для этих полей рассматриваются также в качестве уравнений движения для тодовской системы в рамках лагранжева и гамильтонова подходов. Известно, что такие системы можно вывести из теории Весса-Зумино-Новикова-Виттена (ВЗНВ) [58, 59] с помощью подходящих гамильтоновых редукций [60-63]. Явный вид лагранжиана тодовской системы позволяет говорить о том, что она локально эквивалентна некоторой сигма-модели взаимодействующих струн, движущихся на групповых многообразиях. Интересно проверить это наблюдение на примерах сигма-моделей, описанных в книге [28].

Интегрируемость уравнений Тоды обеспечивается их богатой симметрий-ной структурой. Для тодовских систем, ассоциированных с конечномерными группами Ли, можно выявить очевидную симметрию такого вида, что, по вполне понятным причинам, мы называем ее симметрией ВЗНВ-типа, и конформную инвариантность. При этом, преобразования симметрии ВЗНВ-типа порождаются определенными комбинациями генераторов алгебры токов, а конформной симметрии — генераторами алгебры Вирасоро, которые уже квадратичны по таким генераторам. Но эти симметрии не исчерпывав ют всех симметрий рассматриваемых систем. Дополнительные симметрии можно найти, используя характеристические интегралы, чье существование связано с интегрируемостью рассматриваемых нелинейных систем [64-66]. Любой характеристический интеграл задает плотность и поток некоторого закона сохранения [26, 67-69]. Более того, любая такая плотность, проинтегрированная с произвольной весовой функцией, дает бесконечный набор сохраняющихся зарядов. Гамильтоновы аналоги этих сохраняющихся зарядов порождают искомые преобразования симметрии.

Существует два основных метода нахождения характеристических интегралов. Один состоит в построении набора производящих псевдодифференциальных операторов [60-63, 67-69]. Другой метод известен как калибровка Дринфельда-Соколова [61, 70]. В действительности, оба метода основаны на понятии векторного представления со старшим весом и свойствах плоской связности, порождающей тодовскую систему. В настоящей диссертации мы, следуя работам [71-73], применяем метод Дринфельда-Соколова для нахождения характеристических интегралов для неабелевых тодовских систем. Найденные величины образуют дифференциальные алгебры. В каноническом формализме гамильтоновы аналоги характеристических интегралов образуют W-алгебры по отношению к скобкам Пуассона.

Напомним, что W-алгебрами называют полиномиальные расширения алгебры Вирасоро за счет полей высших конформных спинов [60-63, 74-76]. Начало систематическому изучению таких объектов в рамках общей квантовой теории поля было положено в работах [77-79]. Для подробного обзора по этому предмету можно смотреть статью [74]. Изначально W-алгебры были рассмотрены в [80] как некоторые нелинейные соотношения, возникающие в определенных иерархиях дифференциальных уравнений. Работа [80], в частности, расширила алгебры симметрий за рамки теории алгебр Ли. Стоит подчеркнуть, что в отношении к нелинейным дифференциальным уравнениям Ж-алгебры имеют смысл как алгебры характеристических интегралов, определенных на решениях таких уравнений. Операция умножения в алгебре индуцируется при этом подходящими скобками Пуассона и Дирака. Можно привести обширный список публикаций, обосновывающих необходимость исследований Ж-алгебр. Главными среди этих причин, на наш взгляд, являются следующие две [74]. Во-первых, приложения конформных теорий поля к различным задачам (в теории струн, двумерной гравитации, статистической механике, теории интегрируемых систем и др.) требуют включения особых симметрий, дополнительных к конформной инвариантности. Во-вторых, W-алгебры оказываются весьма полезными в анализе конформных теорий поля (например, для классификации рациональных конформных теорий поля) и в построении квантовых теорий, согласованных с исходными классическими системами.

Для построения И^-алгебр, как алгебр характеристических интегралов уравнений Тоды по отношению к скобке Пуассона, нам необходимо развить гамильтонов формализм для тодовских систем. Наиболее удобной для этой цели нам представляется техника, предложенная в [81] для теории ВЗНВ. В нашем случае исходным пунктом является теоретико-полевое описание тодовских систем с использованием вариационного принципа (см., например, [42]). Каноническое описание строится при этом посредством локальной параметризации группового многообразия, на котором определяется эффективное действие. В результате находится канонический гамильтониан тодовской системы в форме Сугавары [82, 83]. Он дается в терминах так называемых левых и правых токов Каца-Муди [84], образующих два экземпляра аффинных алгебр Каца-Муди, с алгебраической структурой, индуцированной скобкой Пуассона (о различных аспектах истории и приложений алгебр токов в рамках общей конформной теории поля см. также обзор [85]). Канонический гамильтониан порождает уравнения Тоды, также записанные в терминах генераторов алгебры токов.

Хотя наша работа содержит новые результаты, в некоторых аспектах глава 2 имеет характер обзора. Отметим, что большая часть результатов по W-алгебрам для уравнений Тоды была получена в отношении абелевых систем методом гамильтоновой редукции, основанным на том свойстве, что тодов-ские системы можно найти, стартуя с ВЗНВ модели, ассоциированной с группой Ли G, и затем налагая подходящие связи на сохраняющиеся токи, которые образуют два экземпляра алгебр петель с центральным расширением; эти бесконечномерные алгебры ассоциированы с алгеброй Ли g группы Ли G [60 -63]. При этом, 'пространство полей' тодовской системы возникает как фактор в обобщенном разложении Гаусса для группы Ли G, что выполняется только для плотного подмножества G. Это приводит к тому, что приведенная система отлична от 'истинной' тодовской системы, и в гамильтоновом формализме приведенное фазовое пространство системы, полученной редукцией модели ВЗНВ, и фазовое пространство тодовской системы, совпадая локально, могут иметь различные глобальные структуры; см., в этой связи, статьи [86-92]. Наш вывод оправдан еще и тем фактом, что тодовские системы имеют сингулярные решения, соответствующие некоторым несингулярным начальным условиям, что не может иметь места для системы, являющейся редукцией модели ВЗНВ, которая не имеет таких решений. Итак, результаты по тодовским системам, найденные методом гамильтоновой редукции, требуют проверки.

Нам представляется, что прямой метод, использованный в нашей работе, является более подходящим к рассматриваемой задаче, чем метод гамильтоновой редукции. В частности, он позволяет отождествить генераторы алгебры Вирасоро, описывающие конформные свойства модели, с гамильтоновы-ми аналогами компонент конформно улучшенного тензора энергии-импульса, который строится по стандартной процедуре. Выше уже было отмечено, что тодовские системы, ассоциированные с конечномерными группами Ли, обладают конформной инвариантностью, а W-симметрия возникает как ее расширение. Как следствие, соответствующие генераторы конформной симметрии должны образовывать алгебру Вирасоро, причем генераторами этой алгебры являются определенные компоненты тензора энергии-импульса. Однако, прямые вычисления показывают, что наивно определенный тензор энергии-импульса тодовской системы имеет ненулевой след, что явно противоречит конформной симметрии. Для прояснения ситуации необходимо перейти к конформно улучшенному тензору энергии-импульса. И только этот тензор должен быть использован при определении конформно-спинового состава всей И^-алгебры [75, 76], а также для доказательства, что найденные соотношения дают именно расширения алгебры Вирасоро за счет полей высших спинов (весов), присутствующих в тодовской системе. Интересной особенностью наших результатов в этом направлении является то, что конформные веса генераторов найденных 1У-алгебр не превышают конформных весов генераторов алгебры Вирасоро [71-73]. Следовательно, расширение алгебры Вирасоро произошло не из-за учета высших конформных спинов, а в результате использования неабелевой Z-градуировки.

Отметим также здесь, что вычисления, связанные с И7-алгебрами, оказываются весьма громоздкими. Важную, с 'технической' точки зрения, роль в таких последовательных вычислениях сыграли наши предварительные наработки по исследованию в рамках лагранжева и гамильтонова формализмов различных моделей, обладающих локальными и глобальными симметриями. Так, в работах [93, 94] мы исследовали калибровочно-инвариантные системы общего вида и развили технику вычисления скобок Пуассона генераторов сложных локальных снмметрий, а в [95-97] исследовали динамические симметрии планарной полевой модели, обладающей на одночастичном (псевдоклассическом) уровне описания дискретной, локальной и глобальной симметриями, работая при этом в рамках формализма приведенного фазового пространства. Интересно отметить, что теорию ВЗНВ можно трактовать как эйконал рассмотренной в статьях [95-97] простейшей планарной полевой модели Черна-Саймонса, см., например, [98]. Такие модели, обладающие скрытыми симметриями, привлекательны, в частности, с точки зрения возможных приложений квантовой теории поля к объяснению явления высокотемпературной сверхпроводимости.

При формулировке нелинейной интегрируемой системы возникает та или иная версия проблемы факторизации соответствующей группы (см., например, [99]). Для тодовских систем такая факторизация группового элемента индуцируется Z-градуировкой соответствующей алгебры Ли. В случае конечномерных групп Ли проблема факторизации решается в рамках известного метода разложения Гаусса, лежащего в основе построения точных решений соответствующих уравнений Тоды [25, 41]. Для тодовских систем, ассоциированных с группами петель, требуемая факторизация индуцируется Z-градуировкой уже бесконечномерной алгебры, а именно, соответствующей алгебры Ли петель, и, по крайней мере с этой точки зрения, классификация Z-градуировок алгебр Ли петель оказывается крайне важной.

Алгебро-групповые и дифференциально-геометрические свойства тодовских систем и их физический смысл существенно различаются в зависимости от того, с какой группой Ли — конечномерной или бесконечномерной — они ассоциированы. Поучительный пример дается двумя простейшими частными случаями тодовских систем — уравнениями Лиувилля и sin-Гордон, глубокие различия между которыми хорошо изучены. Интересно отметить, например, что уравнение Лиувилля описывает эффективную теорию бозонных струн [100], тогда как его суперсимметричное расширение с необходимостью возникает уже в эффективной теории суперструн [101], а уравнение sin-Гордон есть не что иное, как уравнение движения модели Скирма, ограниченной с (3 + 1)-мерного пространства-времени на (1 + 1)-мерное и построенной не на SU(2) конфигурациях, а на абелевом £/"(1)-значном поле [102].

В общем случае, работая с группами Ли петель, имеют дело с бесконечномерными многообразиями [103], что может приводить к дополнительным проблемам по сравнению с конечномерным случаем. Так, при использовании произвольной Z-градуировки алгебры Ли петель нужно иметь в виду возможные расходимости бесконечных рядов градуировочных компонент. Тщательный анализ групп петель комплексных простых групп Ли и соответствующих Z-градуированных алгебр Ли петель был проведен нами в [104]. В частности, в этой работе было введено весьма полезное новое понятие интегрируемых Ъ-градуировок. На основе этого рассмотрения уравнения Тоды, ассоциированные с группами петель комплексных классических групп Ли, были впоследствии явно описаны в наших работах [105, 106]. Отметим, что мы используем термины "уравнения Тоды, ассоциированные с группами петель (конечномерной) группы Ли G" и "петлевые уравнения Тоды, ассоциированные с (конечномерной) группой Ли G7' как эквивалентные.

Двумерные уравнения Тоды, ассоциированные с группами петель,1 представляют весьма интересные примеры вполне интегрируемых систем, см., например, книги [24, 25]. Они обладают солитонными решениями, которые имеют привлекательную физическую трактовку как взаимодействующие протяженные объекты. Кроме того, в квантовой теории классических вполне интегрируемых систем б'-матрица рассеяния частицеподобных массивных возбуждений таких решений вычисляется точно и обладает замечательным свойством факторизуемости [107-109]. В действительности, нет никакого общепринятого ясного определения солитонного решения. Здесь же мы называем решение уравнений n-солитонным решением, если оно зависит от п линейных комбинаций независимых переменных при определенном подборе характеристических параметров.

Солитонные решения для уравнений Тоды могут быть построены с помощью различных методов. Насколько нам известно, первые явные решения

1Иногда имеют дело с уравнениями Тоды, ассоциированными с аффинными группами Каца-Мудн, являющимися петлевыми расширениями групп петель. Соответствующие аффинная алгебра Каца-Муди и алгебра Ли петель связаны центральным расширением. Обычно удается построить решения уравнении, ассоциированных с аффинными группами, стартуя с решений уравнений, ассоциированных с группами петель. Кроме того, в отличие от групп петель, не известно никаких представлений аффинных групп Каца-Муди, подходящих для практических целей. уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель, были найдены А. В. Михайловым [35]. Он использовал метод рационального одевания, являющийся версией метода обратной задачи рассеяния [29]. Заметим, что в общем случае решения, найденные Михайловым, не являются солитонными решениями. Кроме того, они описываются избыточным набором параметров.

Другой метод, используемый нами, есть метод Хироты. Его суть [110] состоит в замене зависимых переменных, вводящей так называемые т-функции. Конечной целью такой замены являются особого вида билинейные дифференциальные уравнения в частных производных, которые решаются затем по теории возмущений. Солитонные решения возникают, когда ряд теории возмущений обрывается на некотором конечном порядке. Этот метод применялся к аффинным тодовским системам, например, в статьях [111-116]. Главным недостатком метода Хироты является то, что нет никакого регулярного способа найти желаемое преобразование от исходных зависимых переменных к т-функциям. Поэтому иногда он используется в комбинации с другими методами, что помогает найти желаемый анзац, см., например, статьи [16, 117].

Упомянем еще два других подхода к проблеме, которые являются развитием метода Лезнова-Савельева [118-121] и обобщением преобразования Бэклунда [122]. Эти методы оперируют аффинными алгебрами Каца-Мудн и дают при этом те же солитонные решения, что и метод Хироты, и не рассматриваются в настоящей диссертации.

Здесь мы представляем наши результаты по абелевым тодовским системам, ассоциированным с группами петель общей линейной группы, чьи алгебры Ли наделены Z-градуировками, индуцированными внутренними и внешними автоморфизмами конечного порядка, и пеабелевым уравнениям Тоды, ассоциированным с нескрученными группами петель комплексных общих линейных групп [123-126]. Мы применяем к петлевым тодовским системам два метода — Хироты (в абелевом случае) и рационального одевания — и проводим сравнение солитонных решений, построенных в рамках этих подходов.

В действительности, отметим, что до сих пор не было выяснено, каким образом основные составляющие и результаты применения метода Хироты и формализма рационального одевания соотносятся друг с другом.

Конкретизируем исходные элементы нашего общего обсуждения. Целью данной диссертации является систематизация и связное изложение основных результатов, полученных автором в ходе работ по исследованию различных аспектов уравнений Тоды. В целом, эти результаты собираются в три группы: классификация уравнений Тоды, ассоциированных как с конечномерными классическими группами Ли, так и с группами петель; выявление и анализ симметрийных свойств неабелевых тодовских систем, ассоциированных с классическими группами Ли, и построение W-алгебр, порождаемых соответствующими генераторами симметрий; построение явных решений для петлевых уравнений Тоды различными методами и сравнительный анализ и развитие этих методов.

В настоящей работе М. означает либо евклидову плоскость IR2, либо комплексную прямую С. Мы обозначаем стандартные координаты на R2 через z~ и z+. Те же обозначения используются для стандартной комплексной координаты на С и комплексно сопряженной координаты, z = и z — z+, соответственно. Как обычно, для частных производных по стандартным координатам мы пишем д- = d/dz~ и д+ = d/dz+.2

Напомним, что алгебра Ли (3 называется Ъ-градуированной, если задано представление 0 в виде прямой суммы подпространств

3 = 0<5fc, fceZ таких, что

0*, 0/] С <3ш для любых к,1 € Ъ. Это означает, что любой элемент £ алгебры 0 может

2В действительности, можно полагать, что М. является произвольным двумерным вещественным шш произвольным одномерным комплексным многообразием, см., например, статью [40] и книгу [25]. Тогда z~ и z+ являются некоторыми локальными координатами. быть единственным образом представлен как к£ Z где Е Для любого к £ Z. Когда 0 - конечномерная алгебра Ли, данное представление всегда означает конечную сумму элементов. В случае же, когда <3 является бесконечномерной алгеброй Ли, мы полагаем, что она наделена структурой топологического векторного пространства и приведенный выше ряд сходится абсолютно.

Пусть дана группа Ли Я, чья алгебра Ли 0 наделена Z-градуировкой. Предположим, что для некоторого положительного целого числа L граду-ировочные подпространства и Ф+k тривиальны при всех О < к < L.3 Согласно определению Z-градуировки, ее градуировочное подпространство, соответствующее нулевому градуировочному индексу, 0q, является подалгеброй 0, и мы обозначаем через Qq связную подгруппу Ли группы Q, соответствующую этой подалгебре.

Уравнение Тоды, ассоциированное с группой Ли Q, — это нелинейное матричное дифференциальное уравнение второго порядка для гладкого отображения Е многообразия Л4 в Go следующего явного вида:4 (1) см., в частности, книги [24, 25]. В этом уравнении Т- и Т+ — некоторые фиксированные отображения из Л4 в (З-l и 0+х, соответственно, удовлетворяющие условиям д+Т- = 0, = 0. (2)

Когда группа Ли Qo абелева, говорят, что соответствующее уравнение Тоды абелево, в противном случае мы имеем дело с неабелевым уравнением То

3Ситуацпя, когда не существует такого целого положительного числа L, что градупровочные подпространства &-к и при 0 < к < L являются пустыми, обсуждается в главе 4; см. также статью [105].

4 Для простоты мы считаем, что Q является подгруппой группы, образованной обратимыми элементами некоторой ассоциативной алгебры Л с единицей. В этом случае б может быть рассмотрена как подалгебра алгебры Ли, ассоциированной с Л. В действительности, наше рассмотрение может быть обобщено на случай произвольной группы Q. ды. Напомним также, что уравнение Тоды может быть получено в рамках дифференциально-геометрического подхода, из условия нулевой кривизны плоской связности на тривиальном главном расслоении М. х Q Л4, посредством наложения определенных градуировочных и калибровочных условий [25]. Это свойство уравнений Тоды принципиально важно при построении их решений и нахождения для них характеристических интегралов.

Если задан изоморфизм F из Z-градуированной алгебры Ли (3 в Z-rpa-дуированную алгебру Ли Sj, связывающий соответствующие градуировочные подпространства равенством $)k = F((3k), то говорят, что Z-градуировки 0 и 9) сопряжены посредством F. В действительности, имея Z-градуированную алгебру Ли 0, можно индуцировать Z-градунровку ^-изоморфной алгебры Ли используя fik = F(<&k) в качестве градуировочных подпространств.

Ясно, что сопряженные Z-градуировки дают практически одни и те же уравнения Тоды. Поэтому для классификации уравнений Тоды, ассоциированных с группой Ли Q, нужно построить классификацию несопряженных Z-градуировок ее алгебры Ли В случае, когда 0 является алгеброй Ли комплексной классической группы Ли, удобная классификация Z-градуировок была описана в работе [52], см. также [41, 51]. В данной работе мы даем обзор и обсуждение соответствующих результатов, полученных в статьях [52, 104106] для случаев, когда Q является комплексной классической группой Ли, а также группой петель таких групп Ли.

Завершая это предисловие, опишем обозначения, используемые в дальнейшем. Мы обозначаем через 1п единичную диагональную п х п матрицу, а через Jn — единичную косо-диагональную п х п матрицу. Для четного п мы также определяем

Когда это не приводит к противоречиям, мы пишем вместо In, Jn и Кп просто I, J и К, соответственно.

Если т является п\ х щ матрицей, А является ri2 х п2 невырожденной матрицей, а В — п\ х щ матрицей, то мы обозначаем лвт = А~итВ, где *т является транспонированием матрицы т. Мы также пишем лт вместо ААт. Отметим, что Jm есть на самом деле транспонирование т по отношению к косой диагонали. Отметим, что в статье [73] нами использовалось обозначение тТ для такой операции. Полезно помнить, что л(Лтг) = B~lmB, где В = \А~1)А. В частности, можно показать, что J(Jm) = т и к(кт) = т.

Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста, заключения и приложений, насчитывает 320 страниц и включает библиографический список из 155 наименований.

Заключение

Итак, мы завершили классификацию тодовских систем, ассоциированных с конечномерными комплексными классическими группами Ли и с группами петель таких групп, представив при этом соответствующие нелинейные уравнения в явном виде, исследовали симметрии неабелевых тодовских систем в конечномерном случае, результатом чего явились построенные явно новые W-алгебры, и развили метод рационального одевания для построения широких классов решений петлевых уравнений Тоды; эти решения, в частности, содержат солитоноподобные решения в качестве особого подкласса.

Перечислим основные результаты нашей работы:

• Построена классификация уравнений Тоды, ассоциированных с комплексными классическими группами Ли. Наша классификация основана на новом методе перечисления Z-градуировок полупростых алгебр Ли, опирающемся лишь на общие свойства таких алгебр и не использующем технику корневого разложения. Построено матричное (неабелево) обобщение уравнения Лиувилля как частного случая тодовских систем, ассоциированных с симплектической группой Sp2n(C). При этом, в частности, показано, что исторически первый пример неабелевой интегрируемой системы, ассоциированной с группой Ли Об(С) и заданной сложным набором нелинейных дифференциальных уравнений, вкладывается в построенную классификацию в простейшем блок-матричном виде — как матричное уравнение Тоды, ассоциированное с группой Sp4(C).

• Исследованы симметрии неабелевых тодовских систем, ассоциированных с общей линейной и симплектической группами Ли. Методом калибровки Дринфельда-Соколова построены характеристические интегралы таких неабелевых уравнений Тоды в блок-матричном виде.

• Развит канонический формализм для неабелевых тодовских систем, в рамках которого получены скобки Пуассона гамильтоновых аналогов характеристических интегралов для уравнений Тоды. Показано, что эти величины образуют классические W-алгебры, являющиеся полиномиальными расширениями алгебры Вирасоро. Блок-матричный подход позволил записать соотношения W-алгебр в наиболее компактном виде, в котором структурные константы представлены классическими г-матрицами. Исследован конформно-спиновый состав исходных систем, в результате чего показано, что конформные веса генераторов найденных И^-алгебр не превышают конформных весов алгебр токов и Вирасоро, т. е. равны 1 и 2. Это позволяет утверждать, что W-алгебры как расширения алгебры Вирасоро в конформных тодовских системах могут возникать не только благодаря включению высших конформных спинов, но п за счет особых свойств соответствующих Z-градуировок.

• Введено понятие интегрируемых Z-градуировок алгебр Ли петель и предложена полная классификация таких градуировок с конечномерными градуировочными подпространствами для скрученных алгебр Ли петель комплексных простых алгебр Ли. При этом, скрученная алгебра Ли петель определена как пространство Фреше всех скрученно-периодических гладких отображений евклидовой прямой в конечномерную алгебру Ли, с операцией умножения в алгебре Ли, задаваемой поточечно и являющейся непрерывной. Показано, что классификация рассматриваемых Z-градуировок сводится к классификации всех Ъм-градуировок исходной конечномерной алгебры Ли, т. е. эквивалентна классификации их автоморфизмов конечного порядка. Предложена новая классификация автоморфизмов конечного порядка, с точностью до сопряжений, алгебр Ли комплексных классических групп Ли. Развитая при этом техника использует блок-матричное представление алгебр Ли, что является наиболее подходящим для тодовских систем.

• Построена полная классификация уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель комплексных классических групп Ли, чьи алгебры

Ли петель наделены интегрируемыми Z-градуировками с конечномерными градуировочными подпространствами. Получен явный вид соответствующих систем нелинейных интегрируемых уравнений. Показано, что возникает четыре неэквивалентных класса таких систем. Построенная классификация дополнена специальным графическим представлением, в частности, наглядно объясняющим главный результат, а также помогающим увидеть общую связь между классами тодовских систем, ассоциированных с группами петель и конечномерными группами Ли. Исследованы вещественные формы простейших неабелевых уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель общей линейной группы Ли, в результате чего неабелевы (матричные) обобщения уравнений sinh-Гордон и sin-Гордон получены как две неэквивалентные вещественные формы неабелевых петлевых уравнений Тоды.

Построены многосолитонные решения для абелевых тодовских систем, ассоциированных с группами петель общей линейной группы, чьи алгебры Ли наделены интегрируемой Z-градуировкой, индуцированной внутренними автоморфизмами конечного порядка исходной общей линейной алгебры Ли. Решения получены двумя различными методами — 'теоретико-возмущенческим' методом Хироты и рациональным одеванием. Проведен сравнительный анализ этих двух подходов к решению нелинейных уравнений. Показано, что формализм рационального одевания позволяет находить более общие, чем солитонные, классы решений к уравнениям Тоды, которые содержат в качестве подклассов все те решения, которые можно строить в рамках 'эвристического' подхода Хироты.

Новые многосолитонные решения построены также для абелевых уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель общей линейной группы, в случае, когда соответствующие Z-градуировки индуцированы внешними автоморфизмами конечного порядка. Эти скрученные петле вые тодовские системы включают в себя уравнение Додца-Булло-Ми-хайлова в качестве простейшего частного случая. Показано, что рассмотренные классы уравнений исчерпывают абелевы петлевые тодовские системы для общего линейного случая.

• Метод рационального одевания развит на основе блок-матричного представления алгебраических и групповых элементов, индуцированного исходной Z-градуировкой. С помощью такого обобщения построены мно-госолитопные решения неаб елевых петлевых уравнений Тоды, ассоциированных с комплексной общей линейной группой. При этом получены два принципиально различных типа матричного обобщения абелевых солитонных конструкций, т. е. т-функций Хироты. Функции характеристических параметров, описывающие взаимодействия солитонов, явно определены в наших решениях. Для абелевых систем такие величины представляются в виде произведения коэффициентов попарного взаимодействия, тогда как для неабелевых систем этого свойства фактори-зуемости уже не наблюдается.

Я выражаю свою искреннюю благодарность моему другу и многолетнему наставнику и соавтору А. В. Разумову за плодотворное сотрудничество, всестороннюю помощь и дружескую поддежку в течение всей работы над диссертацией. Мне также весьма приятно поблагодарить всех моих коллег по Теоротделу ИЯИ РАН за интересные обсуждения и дружескую атмосферу, вне которой спокойная и кропотливая работа была бы невозможна. Особенно я признателен В. А. Рубакову и Ф. В. Ткачёву за глубокий интерес к работе, понимание важности результатов, ценные замечания и постоянную готовность помочь в любой ситуации.

1. С. 1.zykson, J.-M. Drouffe. Statistical field theory // -1991. -Cambridge University Press. -Cambridge.

2. Y. Frishman, J. Sonnenschein. Bosonization and QCD in two dimensions // -Phys. Rept. -1993, -V. 223. -p.309-348. -arXiv:hep-th/9207017.

3. J. Zinn-Justin. Quantum field theory and critical phenomena // -2002. -Clarendon Press. -Oxford.

4. O. Babelon, H. J. de Vega, С. M. Viallet. Solutions of the factorization equations from Toda field theory // -Nucl. Phys. -1981. -V. B190 FS3. -p.542-552. -arXiv:hep-th/0105177.

5. V. V. Bazhanov, S. L. Lukyanov, A. B. Zamolodchikov. Integrable structure of conformal field theory, quantum KdV theory and thermodynamic Bethe ansatz // -Commun. Math. Phys. -1996. -V. 177. -p.381-398. -arXiv:hep-th/9412229.

6. V. V. Bazhanov, S. L. Lukyanov, A. B. Zamolodchikov. Integrable structure of conformal field theory. II. Q-operator and DDV equation // -Commun. Math. Phys. -1997. -V. 190. -p.247-278. -arXiv:hep-th/9604044.

7. V. V. Bazhanov, S. L. Lukyanov, A. B. Zamolodchikov. Integrable structure of conformal field theory. III. The Yang-Baxter relation // -Commun. Math. Phys. -1999. -V. 200. -p.297-324. -arXiv:hep-th/9805008.

8. V. V. Bazhanov, A. N. Hibberd, S. N. Khoroshkin. Integrable structure of W3 conformal field theory, quantum Boussinesq theory and boundary affine Toda theory // -Nucl. Phys. -2002. -V. B622. -p.475-547. -arXiv:hep-th/0105177.

9. С. М. Hull. Higher-spin extended conformal algebras and Mr-gravities // -Nucl. Phys. -1991. -V. B353. -p.707-756.

10. C. N. Pope, L. J. Romans, K. S. Stelle. Anomaly-free Vl^-gravity and critical Ws-strings // -Phys. Lett. -1991. -V. B268. -p. 167-174.

11. P. C. West. A Review of W-strings. In: Conference on Highlights of Particle and Condensed Matter Physics. (Eds. A. Ali, J. Ellis, S. Ranjbar-Daemi) // -1993. Salamfest. -World Scientific, -p.451-477. -arXiv:hep-th/9309095.

12. L. D. Faddeev, V. E. Korepin. Quantum theory of solitons // -Phys. Rept. -1978. -V. 42. -p. 1-87.

13. C. Montonen, D. I. Olive. Magnetic monopoles as gauge particles? // -Phys. Lett. -1977. -V. B72. -p.117-120.

14. H. S. Bias Achic, L. A. Ferreira. Confinement, solitons and the equivalence between the sine-Gordon and massive Thirring models // -Nucl. Phys. -2000. -V. B571. -p.607-631. -arXiv:hep-th/9909118.

15. A. G. Bueno, L. A. Ferreira, A. V. Razumov. Confinement and soliton solutions in the SL(3) Toda model coupled to matter fields // -Nucl. Phys. -2002. -V. B626. -p.463-499. -arXiv:hep-th/0105078.

16. E. Witten. Global aspects of current algebra // -Nucl. Phys. -1983. -V. B223. -p.422-432.

17. G. S.Adkins, C. R. Nappi, E. Witten. Static properties of nucleons in the Skyrme model // -Nucl. Phys. -1983. -V. B228. -p.552-566.

18. S. Weinberg. Why do quarks behave like bare Dirac particles? // -Phys. Rev. Lett. -1990. -V. 65. -p.1181-1183.

19. G. L. Oppo, A. Politi. Toda potential in laser equations // -Z. Phys. Cond. Mat. -1985. -V. B59. -p.111-115.

20. T. Ogawa. Stochastic Toda-oscillator model of the bad-cavity laser // -Phys. Rev. -1990. -V. A42. -p.4210-4225.

21. E. Abdalla, В. Maroufi, В. С. Melgar, М. В. Sedra. Information transport by sine-Gordon solitons in microtubules // -Physica. -2001. -V. A301. -p.169-173.

22. A. V. Savin, L. I. Manevitch. Discrete breathers in a polyethylene chain // -Phys. Rev. -2003. -V. B67. -144302-5.

23. A. H. Лезнов, M. В. Савельев. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем // -1985. -Наука. -Москва.

24. А. V. Razumov, М. V. Saveliev. Lie Algebras, Geometry, and Toda-type Systems // -1997. -Cambridge University Press. -Cambridge.

25. P. J. Olver. Applications of Lie Groups to Differential Equations // -1986. -Springer. -New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo.

26. Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев. Гамильтонов подход в теории соли-тонов // -1986. -Наука. -Москва.

27. М. В. Green, J. Н. Schwarz, Е. Witten. Superstring Theonj // -1987. -Cambridge Monographs on Mathematical Physics. -Cambridge Univ. Press.

28. В. E. Захаров, А. Б. Шабат. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II // -Функ. Ан. и его Прилож. -1979. -т. 13. -с. 13-22.

29. М. Toda. Waves in nonlinear lattice // -Prog. Theor. Phys. Suppl. -1970. -V. 45. -p.174-200.

30. С. В. Манаков. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах // -ЖЭТФ. -1974. -Т.67. -с.543-555.

31. Н. Flaschka. The Toda lattice. II. Existence of integrals // -Phys. Rev. -1974. -V. B9. -p. 1924-1925.

32. H. Flaschka. On the Toda lattice. II. Inverse transform solution // -Prog. Theor. Phys. -1974. -V. 51. -p.703-716.

33. А. В. Михайлов. Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки Тода // -Письма в ЖЭТФ. -1979. -Т. 30. -с.443-448.

34. А. V. Mikhailov. The reduction problem and the inverse scattering method // -Physica. -1981. -V. 3D. -p.73-117.

35. A. V. Mikhailov, M. A. Olshanetsky, A. M. Perelomov. Two-dimensional generalized Toda lattice // -Commun. Math. Phys. -1981. -V. 79. -p.473-488.

36. А. В. Жибер, А. Б. Шабат. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // -ДАН СССР. -1979. -Т. 247. -с.1103-1106.

37. А. N. Leznov, М. V. Saveliev. Representation of zero curvature for the system of nonlinear partial differential equations Xazs — (exp Kx)a and its integrability // -Lett. Math. Phys. -1979. -V. 3. -p.489-494.

38. D. Olive, N. Turok. The Toda lattice field theory hierarchies and zero-curvature conditions in Kac-Moody algebras // -Nucl. Phys. -1986. -V. B265. -p.469-484.

39. A. V. Razumov, M. V. Saveliev. Differential geometry of Toda systems // -Commun. Anal. Geom. -1994. -V. 2. -p.461-511. -arXiv:hep-th/9311167.

40. A. V. Razumov, M. V. Saveliev. Maximally non-Abelian Toda systems // -Nucl. Phys. -1997. -V. B494. -p.657-686. -arXiv:hep-th/9612081.

41. J.-L. Gervais, M. V. Saveliev. Higher grading generalizations of the Toda systems // -Nucl. Phys. -1995. -V. B453. -p.449-476. -arXiv:hep-th/9505047.

42. L. A. Ferreira, J. L. Gervais, J. Sanchez Guillen, M. V. Saveliev. Affine Toda systems coupled to matter fields // -Nucl. Phys. -1996. -V. B470. -p.236-290. -arXiv:hep-th/9512105.

43. A. N. Leznov. The internal symmetry group and methods of field theory for integrating exactly soluble dynamic systems. In: Group Theoretical Methods in Physics // -1985. -New York. -Harwood. -p.443-457.

44. M. Chaichian, P. P. Kulish. On the method of inverse scattering problem and Backlund transformations for supersymmetric equations // -Phys. Lett. 1978. -V. 78B. -p.413-416.

45. A. N. Leznov, M. V. Saveliev, D. A. Leites. Superalgebra 6(0,1) and explicit integration of the supersymmetric Liouville equation // -Phys. Lett. 1980. -V. 96B. -p.97-99.

46. J. M. Evans, T. J. Hollowood. Supersymmetric Toda field theories // -Nucl. Phys. -1991. -V. B352. -p.723-768. -Erratum:ibid. -1992. -V. B382. -p.662.

47. V. V. Gorbatsevich, A. L. Onishchik, E. B. Vinberg. Lie Groups and Lie Algebras. III. Structure of Lie Groups and Lie Algebras // Encyclopaedia of Mathematical Sciences. -1994. -V. 41. -Springer. -Berlin.

48. A. V. Razumov, M. V. Saveliev, A. B. Zuevsky. Non-Abelian Toda equations associated with classical Lie groups. In: Symmetries and Integrable Systems. (Ed. A. N. Sissakian) // -1999. -JINR. -Dubna. -p.190-203. -arXiv:math-ph/9909008.

49. Kh. S. Nirov, A. V. Razumov. On classification of non-Abelian Toda systems. In: Geometrical and Topological Ideas in Modern Physics. (Ed. V. A. Petrov) // -2002. -IHEP. -Protvino. -p.213-221. -arXiv:nlin.SI/0305023.

50. P. Etingof, I. Gelfand, V. Retakh. Factorization of differential operators, quasideterminants, and non-Abelian Toda field equations // -Math. Res. Lett. -1997. -V. 4. -p.413-425. -arXiv:q-alg/9701008.

51. P. Etingof, I. Gelfand, V. Retakh. Non-Abelian integrable systems, quasideterminants and Marchenko lemma // -Math. Res. Lett. -1998. -V. 5. -p. 1-12. -arXiv:q-alg/9707017.

52. А. N. Leznov. The exactly integrable systems connected with semisimple algebras of the second rank Во, C2, G2 // -arXiv:math-pli/9809012.

53. A. N. Leznov. Graded Lie algebras, representation theory, integrable mappings and systems. Non-Abelian case // -Nucl. Phys. -1999. -V. B543. -p.652-672. -arXiv:math-ph/9810006.

54. F. Delduc, L. Feher. Regular conjugacy classes in the Weyl group and integrable hierarchies // -J. Phys. -1995. -V. A28. -p.5843-5882. -arXiv.hep-th/9410203.

55. S. P. Novikov. The Hamiltonian formalism and a multi-valued analogue of Morse theory // -Russian Math. Surveys. -1982. -V. 37:5. -p.1-56.

56. E. Witten. Nonabelian bosonization in two dimensions // -Commun. Math. Phys. -1984. -V. 92. -p.455-472.

57. L. O'Raifeartaigh, A. Wipf. Conformally reduced WZNW theories and two-dimensional gravity // -Phys. Lett. -1990. -V. B251. -p.361-368.

58. J. Balog, L. Feher, L. O'Raifeartaigh, P. Forgacs, A. Wipf. Toda theory and W-algebra from a gauged WZNW point of view // -Ann. Phys. -1990. -V. 203. -p.76-136.

59. L. Feher, L. O'Raifeartaigh, P. Ruelle, I. Tsutsui, A. Wipf. Generalised Toda theories and >V-algebras associated with integral gradings // -Ann. Phys. -1992. -V. 213. -p. 1-20.

60. L. Feher, L. O'Raifeartaigh, P. Ruelle, I. Tsutsui, A. Wipf. On Hamiltonian reductions of the Wess-Zumino-Novikov-Witten theories // -Phys. Rept. -1992. -V. 222. -p. 1-64.

61. A. N. Leznov, V. G. Smirnov, A. B. Shabat. Internal symmetry group and integrability conditions of two-dimensional dynamic systems // -Theor. Math. Phys. -1982. -V. 51. -p.322-333.

62. A. N. Leznov. Inverse scattering method in invariant form with respect to internal symmetry algebra representations // -Lett. Math. Phys. -1984. -V. 8. -p.353-358.

63. А. В. Михайлов, А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // -Усп. Мат. Наук. -1987. -т. 42. -р.3-53.

64. А. N. Leznov, А. V. Razumov. The canonical symmetry and Hamiltonian formalism. 1. Conservation laws // -1993. -Preprint IHEP-93-26. -arXiv:hep-th/9305113.

65. A. N. Leznov, A. V. Razumov. The canonical symmetry and Hamiltonian formalism. 2. Hamiltonian operators // -1993. -Preprint IHEP-93-69. -arXiv:hep-th/9306142.

66. A. N. Leznov, A. V. Razumov. The canonical symmetry for integrable systems // -J. Math. Phys. -1994. -V. 35. -p.1738-1754. -arXiv:hep-th/9307161.

67. V. G. Drinfeld, V. V. Sokolov. Lie algebras and equations of Korteweg-de Vries type // -J. Sov. Math. -1984. -V. 30. -p.1975-2036.

68. Kh. S. Nirov, A. V. Razumov. Toda-type integrable systems and И^-algebras. In: Supersymmetry and Unification of Fundamental Interactions. (SUSY'01: Eds. D. I. Kazakov, A. V. Gladyshev) j I -2002. -World Scientific. -Singapore, -p.434-438.

69. Kh. S. Nirov, A. V. Razumov. Higher symmetries of Toda equations. In: Procs. of the 12th Intl. Seminar on High Energy Physics "Quarks'2002". (Eds. V. A. Matveev et al.) // -2004. -INR. -Moscow, -p.262-271. -arXiv:hep-th/0210136.

70. Kh. S. Nirov, A. V. Razumov. W-algebras for non-Abelian Toda systems // -J. Geom. Phys. -2003. -V. 48. -p.505-545. -arXiv:hep-th/0210267.

71. P. Bouwknegt, K. Schoutens. W symmetry in conformal field theoiy // -Phys. Rept. -1993. -V. 223. -p.183-276. -arXiv:hep-th/9210010.

72. A. Bilal, J.-L. Gervais. Extended с = oo conformal systems from classical Toda field theories 11 -Nucl. Phys. -1989. -V. B314. -p.646-686.

73. A. Bilal, J.-L. Gervais. Systematic construction of conformal theories with higher spin Virasoro symmetries // -Nucl. Phys. -1989. -V. B318. -p.579-642.

74. А. В. Zamolodchikov. Infinite additional symmetries in two-dimensional conformal quantum field theory // -Theor. Math. Phys. -1985. -V. 65. -p. 12051213.

75. A. B. Zamolodchikov. Integrals of motion in scaling three state Potts model field theory // -Int. J. Mod. Phys. -1988. -V. A3, -p.743-750.

76. A. B. Zamolodchikov. Integrable field theory from conformal field theory // -Adv. Stud. Pure Math. -1989. -V. 19. -p.641-674.

77. I. M. Gel'fand, L. A. Dickey. A family of Hamiltonian structures connected with integrable nonlinear differential equations // -1978. -Preprint IPM AN SSSR. -Moscow.

78. P. Bowcock. Canonical quantization of the gauged Wess-Zumino model // -Nucl. Phys. -1989. -V. B316. -p.80-100.

79. H. Sugawara. A field theory of currents // Phys. Rev. -1968. -V. 170. -p.1659-1662.

80. С. M. Sommerfield. Currents as dynamical variables // -Phys. Rev. -1968. -V. 176. -p.2019-2025.

81. P. Goddard, D. I. Olive. Kac-Moody and Virasoro algebras in relation to quantum physics // -Int. J. Mod. Phys. -1986. -V. Al. -p.303-414.

82. M. B. Halpern, E. Kiritsis, N. A. Obers, K. Klubok. Irrational conformal field theory // -Phys. Rept. -1996. -V. 265. -p.1-138. -arXiv:hep-th/9501144.

83. I. Tsutsui, L. Fehdr. Global aspects of the WZNW reduction to Toda theories // -Prog. Theor. Phys. Suppl. -1995. -V. 118. -p.173-190. -arXiv:hep-th/9408065.

84. T. Ftilop. Reduced SL(2,R) WZNW quantum mechanics // J. Math. Phys. -1996. -V. 37. -p. 1617-1631. -arXiv:hep-th/9502145.

85. A. V. Razumov, V. I. Yasnov. Hamiltonian reduction of free particle motion on the group SL(2,R) // -Theor. Math. Phys. -1997. -V. 110. -p.119-128. -arXiv:hep-th/9609030.

86. J. Balog, L. Feher, L. Palla. Coadjoint orbits of the Virasoro algebra and the global Liouville equation // -Int. J. Mod. Phys. -1998. -V. A13. -p.315-362. -arXiv:hep-th/9703045.

87. Z. Bajnok, D. Nogradi, D. Varga, F. Wagner. Geometric quantization of the global Liouville mechanics // -J. Phys. -1999. -V. A32. -p.7477-7481. -arXiv:hep-th/9906186.

88. Kh. S. Nirov. Constraint algebras in gauge invariant systems // -Int. J. Mod. Phys. -1995. -V. A10. -p.4087-4106. -arXiv:hep-th/9407156.

89. Kh. S. Nirov. The Ostrogradsky prescription for BFV formalism // -Mod. Phys. Lett. -1997. -V. A12. -p.1991-2004. -arXiv:hep-th/9704183.

90. Kh. S. Nirov, M. S. Plyushchay. Symmetries and classical quantization // -Phys. Lett. -1997. -V. B405. -p.114-120. -arXiv:hep-th/9707070.

91. Kh. S. Nirov, M. S. Plyushchay. P,T-invariant system of Chern-Simons fields: Pseudoclassical model and hidden symmetries // -Nucl. Phys. -1998. -V. B512. -p.295-319. -arXiv:hep-th/9803221.

92. Kh. S. Nirov. Pseudoclassical mechanics and hidden symmetries of 3D particle models // -Fortsch. Phys. -1999. -V. 47. -239-246. -arXiv:hep-th/9804044.

93. V. P. Nair. Chern-Simons and WZNW theories and the quark-gluon plasma // -Preprint CCNY-HEP-94-10. -1994. -arXiv:hep-th/9411220.

94. M. A. Semenov-Tian-Shansky. Integrable systems and factorization problems. In: Factorization and Integrable Systems.(Eds. I. Gohberg, N. Manojlovic, A. Ferreira dos Santos) // -2003. -Birkhauser. -Boston, -p.155-218. -arXiv:nlin.SI/0209057.

95. А. М. Polyakov. Quantum geometry of bosonic strings // -Phys. Lett. -1981. -V. 103B. -p.207-210.

96. A. M. Polyakov. Quantum geometry of fermionic strings // -Phys. Lett. -1981. -V. 103B. -p.211-213.

97. P. M. Sutcliffe. Instanton moduli and topological soliton dynamics // -Nucl. Phys. -1994. -V. B431. -p.97-118. -arXiv:hep-th/9408168.

98. A. Pressley, G. Segal. Loop Groups // -1986. -Clarendon Press. -Oxford.

99. Kh. S. Nirov, A. V. Razumov. On Z-gradations of twisted loop Lie algebras of complex simple Lie algebras // -Commun. Math. Phys. -2006. -V. 267. -p.587-610. -arXiv:math-ph/0504038.

100. Kh. S. Nirov, A. V. Razumov. Toda equations associated with loop groups of complex classical Lie groups // -Nucl. Phys. -2007. -V. B782. -p.241-275. -arXiv:math-ph/0612054.

101. A. B. Zamolodchikov, Al. B. Zamolodchikov. Factorized S matrices in two-dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field models // -Ann. Phys. -1979. -V. 120. -p.253-291.

102. A. E. Arinstein, V. A. Fateev, A. B. Zamolodchikov. Quantum S matrix of the (l + l)-dimensional Toda chain // -Phys. Lett. -1979. -V. B87. -p.389-392.

103. H. W. Braden, E. Corrigan, P. E. Dorey, R. Sasaki. Affine Toda field theory and exact S-matrices // -Nucl. Phys. -1990. -V. B338. -p.689-746.

104. R. Hirota. The Direct Method in Soliton Theory // -2004. -Cambridge University Press. -Cambridge.

105. Т. Hollowood. Solitons in affine Toda field theories // -Nucl. Phys. -1992. -V. B384. -p.523-540.

106. C. P. Constantinidis, L. A. Ferreira, J. F. Gomes, A. H. Zimerman. Connection between affine and conformal affine Toda models and their Hirota's solution- // -Phys. Lett. -1993. -V. B298. -p.88-94. -arXiv:hep-th/9207061.

107. N. J. MacKay, W. A. McGhee. Affine-Toda solutions and automorphisms of Dynkin diagrams // -Int. J. Mod. Phys. -1993. -V. A8. -p.2791-2807, erratum ibid. -1993. -V. A8. -p.3830. -arXiv:hep-th/9208057.

108. H. Aratyn, C. P. Constantinidis, L. A. Ferreira, J. F. Gomes, A. H. Zimerman. Hirota's solitons in the affine and the conformal affine Toda models // -Nucl. Phys. -1993. -V. B406. -p.727-770. -arXiv:hep-th/9212086.

109. Z. Zhu, D. G. Caldi. Multi-soliton solutions of affine Toda models // -Nucl. Phys. -1995. -V. B436. -p.659-680. -arXiv:hep-th/9307175.

110. S. P. Khastgir, R. Sasaki. Instability of solitons in imaginary coupling affine Toda field theory // -Prog. Theor. Phys. -1996. -V. 95. -p.485-502. -arXiv:hep-th/9507001.

111. P. E. G. Assis, L. A. Ferreira. The Bullougli-Dodd model coupled to matter fields // -Nucl. Phys. -2008. -V. B800. -p.409-449. -arXiv:0708.1342.

112. D. I. Olive, M. V. Saveliev, J. W. R. Underwood. On a solitonic specialisation for the general solutions of some two-dimensional completly integrable systems // -Phys. Lett. -1993. -V. B311. -p.117-122. -arXiv:hep-th/9212123.

113. D. I. Olive, N. Turok, J. W. R. Underwood. Solitons and the energy-momentum tensor for affine Toda theory // -Nucl. Phys. -1993. -V. B401. -p.663-697.

114. D. I. Olive, N. Turok, J. W. R. Underwood. Affine Toda solitons and vertex operators // -Nucl. Phys. -1993. -V. B409. -p.509-546. -arXiv:hep-th/9305160.

115. М. А. С. Kneipp, D. I. Olive. Solitons and vertex operators in twisted affine Toda field theories // -Commun. Math. Phys. -1996. -V. 177. -p.561-582. -arXiv:hep-th/9404030.

116. H. Ch. Liao, D. I. Olive, N. Turok. Topological solitons in Ar affine Toda theory // -Phys. Lett. -1993. -V. B298. -p.95-102.

117. Kh. S. Nirov, A. V. Razumov. Abelian Toda solitons revisited // -Rev. Math. Phys. -2008. -V. 20. -p. 1209-1248. -arXiv:08020593.

118. Kh. S. Nirov, A. V. Razumov. The rational dressing for Abelian twisted loop Toda systems // -J. High Energy Phys. -2008. -V. 12 048. -arXiv:0806.2597.

119. Kh. S. Nirov, A. V. Razumov. Solving non-Abelian loop Toda equations // -Nucl. Phys. -2009. -V. B815 РМ. -p.404-429. -arXiv:0809.3944.

120. Kh. S. Nirov, A. V. Razumov. More non-Abelian loop Toda solitons //J. Phys. A: Math. Theor. -2009. -V. 42 -p.285201. -arXiv:0810.1025.

121. J.-L. Gervais, M. V. Saveliev. Black holes from non-Abelian Toda theories // -Phys. Lett. -1992. -V. B286. -p.271-278. -arXiv:hep-th/9203039.

122. A. Bilal. Non-Abelian Toda theory: a completely integrable model for strings on a black hole background // -Nucl. Phys. -1994. -V. B422. -p.258-290. -arXiv:hep-th/9312108.

123. A. N. Leznov, M. V. Saveliev. Exactly and completely integrable nonlinear dynamical systems // -Acta Appl. Math. -1989. -V. 16. -p. 1-74.

124. F. A. Bais, T. Tjin, P. van Driel. Covariantly coupled chiral algebras // -Nucl. Phys. -1991. -V. B357. -p.632-654.

125. A. Bilal. Multi-component KdV hierarchy, V-algebra and non-Abelian Toda theory // -Lett. Math. Phys. -1994. -V. 32. -p. 103-120. -arXiv:hep-th/9401167.

126. A. Bilal. Nonlocal matrix generalizations of W-algebras j j -Comraun. Math. Phys. -1995. -V. 170. -p.117-150. -arXiv:hep-th/9403197.

127. J. P. Gomes, G. M. Sotkov, A. H. Zimerman. SU(2, R)q symmetries of non-Abelian Toda theories // -Phys. Lett. -1998. -V. B435. -p.49-60. -arXivrhep-th/9803122.

128. J. F. Gomes, G. M. Sotkov, A. H. Zimerman. Nonabelian Toda theories from parafermionic reductions of the WZW model // -Ann. Phys. -1999. -V. 274. -p.289-362.

129. V. G. Kac. Infinite Dimensional Lie Algebras // -1994. -Cambridge University Press. -Cambridge.

130. W. Rudin. Functional Analysis // -1973. -McGraw-Hill. -New York.

131. A. L. Onishchik, E. B. Vinberg. Lie Groups and Algebraic Groups j j -1990. -Springer. -Berlin.

132. R. Hamilton. The inverse function theorem of Nash and Moser // -Bull. Am. Math. Soc. -1982. -V. 7. -p.65-222.

133. J. Milnor. Remarks on infinite-dimensional Lie groups. In: Relativity, Groups and Topology II. (Eds. B. S. DeWitt, R. Stora) // -1984. -North-Holland. -Amsterdam, -p. 1007-1057.

134. L. A. Ferreira, J. L. Miramontes, J. S. Guillen. Solitons, r-functions and hamiltonian reduction for non-Abelian conformal affine Toda theories // -Nucl. Phys. -1995. -V. B449. -p.631-679. -arXiv:hep-th/9412127.

135. C. R. Fernandez-Pousa, M. V. Gallas, T. J. Hollowood, J. L. Miramontes. The symmetric space and homogeneous sine-Gordon theories // -Nucl. Phys. -1997. -B484. -p.609-630. -arXiv:hep-th/9606032.

136. A. Kriegl, P. Michor. Aspects of the theory of infinite dimensional manifolds // -Diff. Geom. Appl. -1991. -V. 1. -p.159-176.

137. A. Kriegl, P. Michor. The Convenient Setting of Global Analysis // -Mathematical Surveys and Monographs. -1997. -V. 53. -American Mathematical Society. -Providence.

138. G. Tzitzeica. Sur line nouvelle classe de surfaces // -Rendi<5onti del Circolo Matematico di Palermo. -1908. -V. 25. -p. 180-187.

139. R. K. Dodd, R. K. Bullough. Polynomial conserved densities for the Sine-Gordon equations // -Proc. Roy. Soc. -1977. -V. A352. -p.481-503.

140. E. J. Beggs, P. R. Johnson. Inverse scattering and solitons in Ai-i affine Toda field theories // -Nucl. Phys. -1997. -V. B484. -p.653-681. -arXiv:hep-th/9610104.

141. E. J. Beggs, P. R. Johnson. Inverse scattering and solitons in Ati affine Toda field theories. II // -Nucl. Phys. -1998. -V. B529. -p.567-587. -arXiv:hep-th/9803248.

142. Q-Han Park, H. J. Shin. Classical matrix sine-Gordon theory // -Nucl. Phys. -1996. -V. B458. -p.327-354. -arXiv:hep-th/9505017.

143. M, J. Ablowitz, H. Segur. Solitons and the Inverse Scattering Transform // -1981. -SIAM. -Philadelphia.

144. J. M. Evans. Complex Toda theories and twisted reality conditions // -Nucl. Phys. -1993. -V. B390. -p.225-252.

145. J. M. Evans, J. O. Madsen. Real forms of non-Abelian Toda theories and their ТУ-algebras // -Phys. Lett. -1996. -V. B384. -p. 131-139. -arXiv:hep-th/9605126.

146. J. M. Evans, J. O. Madsen. On the classification of real forms of non-Abelian Toda theories and W-algebras // -Nucl. Phys. -1998. -V. B536. -p.657-703. -arXiv:hep-th/9802201.

147. J. Dieudonne. Foundations of Modern Analysis // -1960. -Academic Press. -New York.

148. A. Dvoretzky, C. A. Rogers. Absolute and unconditional convergence in normed spaces // -Proc. Nat. Acad. Sci. USA -1950. -V. 36. -p. 192-197.