Нелинейные интегрируемые системы тодовского типа в классической и квантовой областях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Памяти Михаила Владимировича Савельева

Введение

I Системы Тоды в классической области

1. Конформные абелевы системы Тоды

2. Аффинные системы Тоды

3. Солитонная специализация

3.1. Главная градуировка.

3.2. Однородная градуировка.

4. Некоторые свойства Ж—градуировок простых алгебр Ли

4.1. Тонкая структура локальной части 0.

4.2. Структура пространства представления.

4.3. Пример

5. Системы неабелевой Тоды, связанные с классическими группами Ли

5.1. Неабелевы системы уравнений Тодьт.

5.2. Конформная инвариантность.

5.3. Комплексная общая линейная группа.

5.4. Комплексная ортогональная группа.

5.5. Комплексная симплектическая группа.

5.6. Дополнительные замечания

6. Интегрируемые модели на основе генераторов старших подпространств градуировок

6.1. Обобщения уравнений конформных аффинных систем Тоды.

6.2. Общие решения.

6.3. Главная и однородная градуировки.

6.4. Случай алгебры slz: однородная градуировка

И Квантовал область

7. Квантование в формализме светового конуса

7.1. Конформные системы Тодьт.

7.2. Аффинные системы Тоды.

8. Подход Янга-Фельдмана

9. Квантово-групповые решения систем Тоды

9.1. Построение квантовых решений с использованием генераторов квантовых групп

9.2. Решения квантовых конформных систем.

9.3. Решения квантовых аффинных систем

9.4. Сравнение подходов

III Частичная картина

10. S—матрица квантовой модели sin—Гордон

10.1. Точная факторизующаяся S-матрица.

10.2. Квантово—дилогарифмическая структура ¿"-матрицы

11. Квантовые вертексные операторы

12. Антисолитонный сектор

Двумерные интегрируемые теории поля привлекали в последние десятилетия большое внимание исследователей - не только специалистов в этой области, но также математиков и физиков, работающих в других областях [1-11]. Интерес к этим теориям возникает со многих точек зрения. Подобные системы являются важным средством в понимании основных непертурбативных аспектов физических теорий. Несмотря на то. что размерность пространства, на котором вводится большинство интегрируемых систем, заведомо менее четырех, можно рассматривать интегрируемые теории как лабораторию по разработке новых методов и по проверке предположений, которые применимы в других областях физики. При этом многие явления выглядят значительно проще. В некоторых случаях, интегрируемые системы выступают в роли реалистических моделей явлений физики конденсированных состояний [12-16]. статистической физики [17-20]. общей теории относительности [21]. решеточных теорий поля [22. 23] и физики высоких энергий [7. 24-26]. Интегрируемые модели неожиданно проявились также в описании зависимости констант связи низкоэнергетических действий суперсимметрических теорий Янга-Миллса в четырехмерии (см. например. [27]). Двумерность интегрируемых теорий естественна также с точки зрения теории струн [8-10].

Важность двумерных интегрируемых систем заключается также в том. что как в классической, так и в квантовой областях они представляют собой красивые примеры теорий, имеющих богатую алгебраическую структуру. Именно в двумерии особенно явно проявляется алгебраический характер интегрируемости и происхождения специальных, в частности солитонных. решений [28]. Однако, как было показано в [29.31.32]. можно построить многомерные обобщения точно интегрируемых систем. Кроме того, на примере двумерных интегрируемых систем можно развить некоторый алгебраический аппарат, состоящий из специальных объектов классической и квантовой теорий поля, для того, чтобы проще и нагляднее описать структуру теории и её наблюдаемые. Различные специальные (в частности, солитонные и инстантонные) решения двумерных теорий возникают в моделях квантовой теории поля [1. 26.33].

Исследование алгебраических основ классических и квантовых двумерных точно интегрируемых систем приводит также к интересным результатам как в теории классических (бесконечномерных) алгебр и групп Ли. так и в теории q-деформированных структур. В частности. [34-38]. некоторые отдельные главы теории алгебр Каца-Муди были разработаны под влиянием конкретных примеров солитонных систем уравнений. Алгебраические конструкции, используемые в теории классических интегрируемых систем нашли применение в различных разделах современной математики.

В квантовом случае ситуация в некотором смысле аналогична. Вопросы построения и решения квантовых интегрируемых систем приводят к интересным темам в структурной теории деформированных универсальных обертывающих алгебр Ли [39— 41]. Кроме того, некоторые объекты квантовых групп могут быть построены на основе специальных конструкций, возникающих в квантовых интегрируемых системах. Отдельным, не до конца ясным вопросом, например, остается вопрос о выделении главной гейзенберговой подалгебры квантованной универсальной обертывающей ия(о) аффинной алгебры Ли д. Существует возможность это сделать, вводя специальные операторы градуировки. Главная квантовая гейзенбергова подалгебра обязана играть особенно важную роль не только в теории квантовых аффинных систем Тоды. квантовых статистических моделях, но и в других областях теоретической физики.

Можно было бы выделить также задачу отыскания квантово-групповой структуры некоторых объектов квантовых двумерных теорий, которые могли бы соответствовать специальным решениям (солитонным или инстантонным) в классической теории [11]. Это вызывает особый интерес, поскольку солитоны можно, до некоторой степени, интерпетировать как частицы теории. Прояснение вопроса о том. что следует неформально называть квантовым солитоном. помогло бы понять реальную динамику моделей, содержащих солитонные решения.

На примере конформных и аффинных систем уравнений Тоды в классической и квантовой областях [1-5. 28. 42-66] мы исследуем наиболее важные свойства двумерных точно интегрируемых систем, с применением методов теории деформированных универсальных обертывающих алгебр Ли [210.145.146.207]. Классические конформные и аффинные системы Тоды относительно просты в смысле построения и интегрирования. Несмотря на то. что большая работа была проделана в этой области, множество вопросов остаются открытыми и интерес к системам Тоды не потерян. Системы Тоды имеют приложения во многих разделах математики, в частности, в алгебраической геометрии [2.67-69]. На примере этих теорий, можно проследить проявления алгебраических структур в двумерных точно интегрируемых системах. Особое внимание к аффинным системам Тоды вызвано существованием солитонных решений и их алгебраической интерпретацией.

В пионерской работе [28] общее решение классических аффинных систем Тоды было построено на основе теоретико-группового метода [1]. Из общего решения можно выделить [70] солитонные решения. Построение основано на существовании главной (однородной) гейзенберговой подалгебры соответствующей аффинной алгебры Ли д.

Конкретные примеры классических и квантовых конформных и аффинных систем Тоды интересны как с алгебраической точки зрения так и в смысле приложений в теоретической физике. Среди аффинных систем Тоды случай уравнения sin-Гордон, который отвечает аффинной алгебре Ли siz. является наиболее разработанным. Это уравнение возникает в теории конденсированных состояний [12]. нелинейной оптике [7]. космологии и общей теории относительности [71-78]. а также в дифференциальной геометрии и других областях современной математики [3.4.7.25.79-82].

Квантовые конформные и аффинные теории поля Тоды на компактном (цилиндр) или некомпактном (двумерная плоскость) пространстве могут быть введены различными способами [42.43. 50. 83-114. 117-120. 154]. В данной работе мы будем касаться только случая некомпактного пространства. Основным из подходов к квантованию является формализм светового конуса [110. 111]. Возможны также и пертурбативные вычисления [108]. совпадающие с квантово—групповыми [109].

В подходе Замолодчиковых [121]. квантовая модель sin-Гордон рассматривалась в рамках ¿'-матричного формализма [52.63.121126]. Эта модель известна как пример релятивистской квантовой теории поля с факторизуемой матрицей рассеяния. Солитоны и антисолитоны генерируются некоммутирующими операторами F(6) и F(9) (в обозначает быстроту (rapidity) солитона (анти-солитона)). которые действуют на вакуум теории и образуют ассоциативную алгебру, описывающую рассеяние соответствующих частиц (см. Раздел 10.1). Спектр квантовой теории sin-Гордон состоит из солитонов. антисолитонов и связанных солитон— антисолитонных состояний (квантовых дублетов). В работах [113.114.127-131] квантовая модель sin-Гордон была рассмотрена в рамках подхода углового квантования. Частичная картина стала бы намного яснее, если бы удалось получить некоторый неэмпирический (как в [132-134]) способ вычисления ¿"-матриц (скажем, в факторизующихся теориях), форм факторов, корреляционных функций и т.д.

Попытка отыскать, по аналогии с классикой, проявления алгебраической структуры в квантовом случае предпринималась в статье [126], где была введена квантовая функция взаимодействия квантовых солитонных вертексных операторов - аналог функции взаимодействия, играющей важную роль на классическом уровне. В классике, вертекс-операторная конструкция возникает при построении солитонных решений двумерных интегрируемых систем.

Общая идея, реализуемая в диссертации состоит в том, чтобы, по аналогии с достаточно проработанным теоретико-групповым (алгебраическим) подходом к классическим точно интегрируемым системам, развить общий квантово-групповой подход к квантовым аналогам точно интегрируемых систем. Мы рассматриваем только двумерные системы, но, в перспективе, подобный подход может быть применен и к многомерным системам. Новый метод разрабатывается на примерах квантовых конформных и аффинных систем Тоды. Прежде всего нужно определиться с методами квантования таких систем. При этом необходимо сформулировать способ построения квантовых уравнений, способ отыскания общих (и классов специальных частных) решений, проработать вопросы обоснования, а также алгебраические аспекты построения данных теорий.

В этом направлении, базой для исследований могут быть некие g-деформированные алгебраические структуры, например квантованные универсальные обертывающие [41, 135-138]. ян-гианы [136]. квантовые дубли [139]. квантовые алгебры [140144]. Как показывает практика, в квантовой области уже недостаточно классических алгебраических (групповых) структур, скажем, алгебр Каца-Муди, для того, чтобы корректно построить теорию. В случае квантовых конформных и аффинных систем Тоды. естественной идей (подтверждаемой некоторыми предварительными результатами [108. 109]) было бы рассмотрение квантовых групп в качестве алгебраических структур, лежащих в основе теоретико-группового подхода. Подобные идеи появились достаточно давно, но не получили развития и не подвергались соответствующей проработке.

Квантовые (двумерные) интегрируемые системы могут быть построены в терминах некоторых квантово-групповых объектов. Это достаточно очевидно в случае квантовых теорий поля Тоды. на что указывает квантово-дилогарифмическая структура 5-матрицы квантовой модели зт-Гордон. которая была найдена ранее [126]. Примерами таких объектов могут служить квантовые солитонные вертексные операторы, введенные в настоящей диссертации. [145. 146]. В случае квантовой модели вт-Гордон, мы видим, что структура солитонных операторов в подходе Замолод-чиковых тесно связана со свойствами соответствующей квантовой группы. С другой стороны, в операторном подходе, формулируемом в Главе II. мы также наблюдаем проявления квантово-групповых структур, лежащих в основе квантования теории и построения её решений.

Вместе с тем, желательно было бы с помощью такого подхода получить все те результаты (форм факторы, корреляционные функции и т.д.) данной квантовой теории, которые были найдены ранее при помощи пертурбативных и непертур-бативных методов квантовой теории поля. Как представляется автору, в ряде случаев, вычисления на основе квантово-группового подхода оказываются намного более прозрачными и простыми. Ясное представление алгебраической структуры подобных двумерных квантовых интегрируемых систем, а также использование специально сконструированных алгебраические объектов, позволяют не только лучше понять полученные стандартными методами результаты, но и, возможно, поможет отыскать новые методы. Помимо этого, раскрытие квантово-групповой структуры конкретных квантовых моделей (скажем, конформных или аффинных систем Тоды) позволило бы систематизировать в целом наши знания о квантовых двумерных интегрируемых системах и продемонстрировать их алгебраическую глубину, также, как это имеет место в классике. Таким образом, речь идет о развитии общего, квантово-группового метода решения квантовых двумерных интегрируемых моделей.

Исследования квантово-групповых структур, которые лежат в основе квантовых интегрируемых моделей, проводились и ранее [97.107.109,112.116.148—154]. Однако, по большей части, подобные исследования, а также применения теории квантовых групп, носили несколько хаотичный характер. Кроме того, полученные результаты плохо сочетались с результатами проработанной классической теоретико-групповой структуры двумерных точно интегрируемых систем. Часто не удавалость поставить в соответствие квантовым объектам известные классические алгебраические объекты. Это говорит о том, что теория квантовых точно интегрируемых систем должна иметь в этом смысле правильную алгебраическую подоплеку.

Укажем далее структуру диссертации и отметим основные результаты. В классической области, Глава I, рассматриваются конформные и аффинные системы уравнений Тоды. Кратко изложены известные групповые методы построения конформных и аффинных систем уравнений Тоды и нахождения их общих решений (Разделы 1, 2). Раздел 3 посвящен специальным решениям аффинных систем Тоды, в частности, солитонной специализации в теоретико-групповом подходе. В подразделе 3.2 мы строим в явной форме солитонные решения уравнения 8т-Гордон в случае однородной градуировки [145]. Для этого мы используем вертекс-операторную конструкцию представлений аффинной алгебры £»[2 на основе её однородной гейзенберговой подалгебы. Это построение легко обобщается на случай любой аффинной алгебры Ли. Похожее построение квантовых вертексных операторов будет выполнено в Главе III.

В Разделе 4 мы доказываем некоторые свойства 2-градуиро-вок простых алгебр Ли [155]. Рассматривается тонкая структура локальной части некоторой комплексной алгебры д. снабженной Ж-градуировкой [155]. Результаты Раздела полезны при исследовании двумерных точно интегрируемых систем, построенных на основе общего алгебраического метода Лезнова—Савельева. Обсуждаются также некоторые схемы базисов неприводимых представлений и приводятся примеры.

В Разделе 5 мы вводим системы уравнений неабелевой Тоды, которые возникают при использовании неабелевых градуировок алгебр Ли классических групп Ли [147]. В явном виде блочных матриц построены градуировочные операторы всех неэквивалентных Ж-градуировок классических алгебр Ли. Выписаны возникающие на их основе неабелевы системы уравнений Тоды. Рассматриваются случаи общей линейной, комплексной ортогональной и комплексной симлектической групп.

В Разделе 6 мы применяем методы построения точно интегрируемых систем на основе генераторов старших подпространств градуировок к случаю конформных аффинных систем Тоды [207]. В явном виде выписаны уравнения обобщенных конформных аффинных системы Тоды (введенных в [156]) в однородной градуировке алгебры Возникающие модели интересны как с точки зрения теории точно интегрируемых систем, так и с точки зрения физических применений. Мы обсуждаем некоторые свойства решений этих уравнений. Случай алгебры представляет особый интерес, поскольку содержит пример аналога двумерного кон-файнмента, впервые найденого в работе [48] (см. также [157]). Для обобщенных конформных аффинных систем Тоды возможно ввести квантовые вертексные операторы, как это было сделано для модели вш-Гордон (см. Раздел 11).

1. A. V. Razumov, M. V. Saveliev. Lie algebras, Geometry, and Toda-type systems. Cambridge lecture notes in physics. Cambridge University Press. 1997;

2. Б. А. Дубровин, И. M. Кричевер, С. П. Новиков. Интегрируемые системы I. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-4, ВИНИТИ, 1985;

3. М. А. Олыпанецкий, А. М. Переломов. Интегрируемые системы и конечномерные алгебры Ли. Интегрируемые системы II. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-1, ВИНИТИ, 1985;

4. А. М. Переломов. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. Москва, "Наука", 1990;

5. Л. А. Тахтаджян. Л. Д. Фаддеев. Гамильтонов подход в теории солитонов. Москва, "Наука". 1986; English translation: L. D. Faddeev, L. A. Takhtajan. Hamiltonian methods in the theory of solitons. Springer-Verlag. Berlin-New-York, 1987;

6. A. C. Newell. Solitons in mathematics and physics. Society for Industrial and Applied Mathematics, русский перевод: А. Ньюэлл. Солитоны в математике и физике. Москва. "Мир", 1989;

7. A. Yu. Morozov. Integrability and matrix models. ITEP-M2/93 IT-FA 93-10, Phys. Usp. 37, 1-55, 1994, hep-th/9303139;

8. С. В. Кетов. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. Новосибирск. "Наука". Сибирское отделение. 1990;

9. М. В. Green. J. Н. Schwarz, Е. Witten. Superstring theory, русский перевод: М. Грин. Дж. Шварц. Е. Виттен. Теория суперструн. т. 1-2. Москва. "Мир", 1990;

10. С. Gomez, М. Ruiz-Altaba, G. Sierra. Quantum groups in two-dimensional physics. Cambridge University Press, 1996;

11. K. Nomura. Correlation functions of the 2D sine-Gordon model. J. Phys. A28, 5451-5468, 1995, cond-mat/9504074;

12. S. Kehrein. Flow equation solution for the weak to strong-coupling crossover in the sine-Gordon model. Phys. Rev. Lett. 83, 4914-4917, 1999, cond-mat/9908048;

13. D. Carpentier. Renormalization of modular invariant Coulomb gas and Sine-Gordon theories, and quantum Hall flow diagram. J. Phys. A32, 3865-3874, 1999, cond-mat/9810311;

14. J. M. Park, Т. C. Lubensky. Sine-Gordon Field Theory for the Kosterlitz-Thouless Transitions on Fluctuating Membranes. Phys. Rev. E, 53 2665, 1996, cond-mat/9512109;

15. N. R. Quintero, A. Sanchez, ac driven sine-Gordon solitons: dynamics and stability. European Physical Journal B. cond-mat/9808288:

16. M. Jimbo, R. Kedem, T. Kojima, H. Konno, T. Miwa. XXZ chain with a boundary. Nucl. Phys. B441 (1995) 437-470, hep-th/9411112;

17. B. Davies, O. Foda, M. Jimbo, T. Miwa, A. Nakayashiki. Diago-nalization of the XXZ Hamiltonian by vertex operators. RIMS, hep-th/9204064;

18. O. Foda, M. Jimbo, T. Miwa, K. Miki, A. Nakayashiki. Vertex operators in solable lattice models. J. Math. Phys. 35, 13-46, 1994, hep-th/9305100;

19. M. Jimbo, T. Miwa. Algebraic analysis of solvale lattice models. American Mathematical Society, 1995. Русский перевод: M. Джимбо, Т. Мива. Алгебраический анализ точно решаемыхрешеточных моделей. Издательский дом "Удмурдский университет" . 2000;

20. Г. Н. Шикин. Основы теории солитонов в общей теории относительности. Москва. "УРСС", 1995;

21. М. Hasenbusch, М. Marcu, К. Pinn. The Sine Gordon Model: Perturbation Theory and Cluster Monte Carlo. Preprints CERN TH.7374/94. MS-TPI-94-9. Physica A211 255, 1994, hep-lat/9408005;

22. M. Grabenstein, B. Mikeska. Multigrid Monte Carlo with higher cycles in the Sine Gordon model, figure contained in ps-file, DESY 93-007, Phys. Rev. D47, 3103-3105, 1993, hep-lat/9301011;

23. A. Chodos, E. Hadjimichael, C. Tze, Solitons in Nuclear and Elementary Particle Physics, Proceedings of the Lewes Workshop, World Scientific, 1984;

24. R. Radjaraman. Solitons and instantons. North-Holland Publishing Company, 1982, русский перевод: P. Раджараман. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. "Мир", Москва, 1985:

25. В. А. Рубаков. Классические калибровочные поля. "Эдиториал УРСС", Москва, 1999;

26. Е. Martinec, N. Warner. Integrable systems and supersymmetric gauge theory. Nucl. Phys. В 459, 97-112, 1996, hep-th/9509161;

27. D. I. Olive, N. Turok, J. W. R. Underwood. Solitons and the energy-momentum tensor for affine Toda theory. Nucl. Phys. B401, 663-697, 1993;

28. A. V. Razumov, M. V. Saveliev. Multidimensional Toda-type systems. Theor. Math. Phys. 112, 999-1022, 1997, hep-th/9609031;

29. A. V. Razumov, M. V. Saveliev. On Some Class of Multidimensional Nonlinear Integrable Systems. Talk given at the Ilnd International Sakharov Conference on Physics, May, 20-24, 1996, Moscow, Russia. hep-th/9607017;

30. О. Alvarez. L. A. Ferreira. J. S. Guillen. Integrable theories in any dimension: a perspective. Invited talk at the Meeting "Trends in Theoretical Physics II". Buenos Aires. Argentina. December 1998. hep-th/9903168;

31. L. A. Ferreira. J. F. Gomes, A. V. Razumov, M. V. Saveliev. A. H. Zimerman. Riccati-type equations, generalised WZNW equations, and multidimensional Toda systems. Commun. Math. Phys. 203, 649-666, 1999, math-ph/9807017;

32. A. M. Поляков. Калибровочные поля и струны. Москва, ИТФ, им. Л. Д. Ландау, 1994

33. V. G. Кас. Infinite dimensional Lie algebras. Third edition, Cambridge university Press, Cambridge, 1990; русский перевод: В. Г. Кац. Бесконечномерные алгебры Ли. Москва. "Мир", 1993;

34. V. G. Кас, D. Н. Peterson. 112 constructions of the basic representation of the loop group of E%. In: Symp. on Anomalies, Geometry and Topology, W. A. Bardeen, A. R. White (eds.). World Scientific, Singapore, 1985;

35. I. B. Frenkel, V. G. Kac. Invent. Math. 62, 23, 1980;

36. V. G. Kac, D. A. Kazhdan. J. Lepowsky, R. L. Wilson. Advances in Math. 42, 83, 1981;

37. G. Segal. Commun. Math. Phys. 80, 301, 1981;

38. V. Chari, A. Pressley. A guide for quantum groups. Cambridge university press, 1994;

39. C. Kassel. Quantum groups. Springer-Verlag. русский перевод: К. Кассель. Квантовые группы. "Фазис", Москва, 1999;

40. Д. П. Желобенко. Представления редуктивных алгебр Ли. Москва, "Наука", 1994:

41. J L. Gervais. Nucl. Phys. В 209, 125, 1982;

42. J.- L. Gervais. Nucl. Phys. В 224, 329, 1982;

43. D. M. J. Calderbank. The geometry of the Toda equation. math.DG/9908164;

44. J.- L. Gervais, A. Neveu. Nucl. Phys. B 199, 69, 1982;

45. J.- L. Gervais. Nucl. Phys. B 238, 125, 1984;

46. J.- L. Gervais. Nucl. Phys. B 238, 396, 1984;

47. J.- L. Gervais. Nucl. Phys. B 257 FS14], 59, 1985;

48. J.- L. Gervais. Comm. Math. Phys. 100, 15, 1985;

49. J.- L. Gervais. Phys. Lett. B151, 271, 1985;

50. J.- L. Gervais. Nucl. Phys. B264, 557, 1986;

51. J.- L. Gervais, J. Schnittger. The many faces of quantum Liouvilleexponentials. Nucl. Phys. B 413, 433, 1994, hep-th/9308134;

52. J. L. Gervais. Comm. Math. Phys. 130;

53. J. L. Gervais. Systematic approach to conformal field theories. Nuclear Physics B (Proc. Suppl.), 5B, 119-136, 1988;

54. T. Hollowood. Quantizing SL(N) solitons and the Hecke algebra. OUTP-92-03P, Int. J. Mod. Phys. A8, 947-982, 1993, hep-th/9203076;

55. T. Hollowood. Quantum Soliton Mass Corrections in SL(N) Affine Toda Theory. OUTP-92-19P, Phys. Lett. B300, 73-83, 1993, hep-th/9209024;

56. J. Underwood. В. Spence. Restricted Quantum Theory of Affine Toda Solitons. Phys. Lett. B349, 83, 1995, hep-th/9501078;

57. T. Fujiwara, H. Igarashi, Y. Takimoto. Exact Operator Solution of A2-Toda Field Theory. Phys. Lett. B430, 120-126, 1998, hep-th/9802188;

58. T. Fujiwara, H. Igarashi, Y. Takimoto. Quantum Exchange Algebra and Locality in Liouville Theory. Phys. Lett. B391, 78-86, 1997, hep-th/9608040;

59. Y. Takimoto, H. Igarashi, H. Kurokawa, T. Fujiwara. Quantum Exchange Algebra and Exact Operator Solution of A2-Toda Field Theory. Nucl. Phys. B543, 615-651, 1999, hep-th/9810189;

60. T. Fujiwara, H. Igarashi, Y. Takimoto. On the Three-Point Couplings in Toda Field Theory. Prog. Theor. Phys. 99, 45-54, 1998, hep-th/9707229;

61. T. Fujikawa. H. Igarashi, Y. Takimoto. Exact operator solution for Liouville theory with q a root of unity. IU-MSTP/18, hep-th/9703022;

62. В. E. Корепин, Jl. Д. Фаддеев. Квантование солитонов. Теоретическая и математическая физика, т. 25, 147, 1975;

63. В. Е. Корепин, П. П. Кулиш, Л. Д. Фаддеев. Квантование солитонов. Письма в ЖЭТФ. т. 21, вып. 5, стр. 302-305, 1975;

64. О. Babelon, D. Bernard, F. A. Smirnov. Quantization of solitons and the restricted sine-Gordon model. Commun. Math. Phys. 182, 319-354, 1996, hep-th/9603010;

65. A. H. Лезнов, И. А. Федосеев. Явно интегрируемые модели квантовой теории поля с экспоненциальным взаимодействием в двумерном пространстве. Теор. Мат. Физ. в. 53, 3, п. 358, 1982, Theor. Math. Phys. v.53, 3, p. 1175, 1982 (English);

66. A. N. Leznov, M. A. Mukhtarov. Integral symmetry alegbra of exactly integrable dynamical systems in the quantum domain. Theor. Math. Phys. v. 71, 1., p. 46-53, 1987, (Russian), p. 370-375 (English);

67. P. Mansfield. Solution to Toda systems. Nucl. Phys. B. 208, p. 277300, 1982;

68. P. Mansfield. Light-cone quantization of the Liouville and Toda field theory. Nucl. Phys. B 222, 419-455, 1983;

69. T. Hollowood, P. Mansfield. Quantum group structure of quantum Toda conformal field theories (I). Nucl. Phys. B 330, 720, 1990;

70. V. Brazhnikov, S. Lukyanov. Angular quantization and form-factors in massive integrable models. Nucl. Phys. B512, 616-636, 1998, hep-th/9707091;

71. S. Khoroshkin, A. LeClair, S. Pakuliak. Angular quantization of the sine-Gordon model at the free fermion point, hep-th/9904082;

72. A. Leclair. Infinite Quantum Group Symmetry in 2d Quantum Field Theory. CLNS 91-1056, Invited talk at the XXth International Conference on Differential Geometric Methods in Theoretical Physics, New York City, June 1991, hep-th/9109020;

73. A. Mironov. Group theory structure underlying integrable systems. Talk presented at the II Sakharov International Conference, hep-th/9607123;

74. H. J. Otto, G. Weight. Phys. Lett. B 159, 341, 1985;

75. H. J. Otto, G. Weight. Z. Phys. C 31. 219, 1986;

76. G. Weight. Critical exponents of conformal fields coupled to two-dimensional quantum gravity in the conformal gauge. Talk given at 1989 Karpacz Winter School of Theor. Physics, preprint PHE-90-15;

77. A. B. Zamolodchikov, Al. B. Zamolodchikov. Factorized S-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory models. Ann. Phys. 120, 253-291, 1979;

78. Н. Н. Боголюбов. Д. В. Ширков. Введение в теорию квантовых полей. Москва. "Наука". 1984;

79. G. М. Gandenberger. Exact 5-matrices for quantum affine Toda solitons and their bound states. Ph. D. Thesis, 1996;

80. P. Dorey. Exact S-matrices. hep-th/9810026;

81. A. E. Arinshtein. V. A. Fateev, A. B. Zamolodchikov. Quantum S-matrix of the (l+l)-dimensional Toda chain. Phys. Lett. 87 B, 4, 389-392, 1979;

82. P. R. Johnson. Exact quantum 5-matrices for soliton in simply-laced affine Toda field theories. Nucl. Phys. B496, 505-550, 1997, hep-th/9611117;

83. S. Lukyanov. Form-factors of exponential fields in the affine 2 Toda model. Phys. Lett. B408, 192-200, 1997, hep-th/9704213;

84. S. Lukyanov. Form-factors of exponential fields in the sine-Gordon. Mod. Phys. Lett. A12, 2543-2550, 1997, hep-th/9703190:

85. S. Lukyanov. Free Field Representation For Massive Integrable Models. Commun. Math. Phys. 167, 183, 1995, hep-th/9307196;

86. V. V. Mkhitaryan, R. H. Poghossian, T. A. Sedrakyan. Perturbation theory in radial quantization approach and the expectation values of exponential fields in sine-Gordon model. LAPTH-752/99, hep-th/9910128;

87. R. H. Poghossian. Perturbation theory in angular quantization approach and the expectation values of exponential fields in sin-Gordon model, hep-th/9904194;

88. V. Fateev, S. Lukyanov, A. Zamolodchikov. Al. Zamolodchikov. Expectation values of boundary fields in the boundary sine-Gordon model. Phys. Lett. В 406, 83-88, 1997, hep-th/9702190;

89. V. Fateev, S. Lukyanov, A. Zamolodchikov, Al. Zamolodchikov. Expectation values of local fields in Bullough-Dodd model and integrable perturbed conformal field theories. Nucl. Phys. В 516, 652674, 1998, hep-th/9709034;

90. S. Lukyanov, A. Zamolodchikov. Exact expectation values of local fields in quantum sine-Gordon model. Nucl. Phys. В 493. 571-587, 1997, hep-th/9611238;

91. V. G. Drinfeld. Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter equation, Sov. Math. Dokl. 32, 254, 1985;

92. V. G. Drinfeld. A new realization of Yangians and quantized affine algebras. Soviet Math. Dokl. 36, 212-216, 198;

93. I. B. Frenkel, N. Jing. Vertex representations of quantum affine algebras. Proc. Nat. Acad. Sci., USA. Vol. 85, 9373-9377, 1998;

94. M. Jimbo. A g-difference analogue of U(g) and the Yang-Baxter equation. Lett. Math. Phys. 10, 63, 1985;

95. L. D. Faddeev, N. Yu. Reshetikhin, L. A. Takhtajan. Quantum groups. In: C. N. Yang, M. L. Ge (eds.). Braid groups, knot theory and statistical mechanics. Singapore: World Scientific. 1989;

96. G. W. Delius, C. Gardner, M. D. Gould. The structure of quantum Lie algebras for the classical series B\, Ci and D/. J. Phys. A: Math. Gen. 31, 2019, 1995, q-alg/9706029.;

97. G. W. Delius, A. Hueffmann. Introduction to Quantum Lie algebra. Contribution to the Proceedings of theBanach Minisemester on Quantum Groups, Warsaw, November 1995, q-alg/9605026.:

98. G. W. Delius, A. Hueffmann. On quantum Lie algebras and quantum root systems. J. Phys. A 29, 1703, 1996, q-alg/9506017;

99. G. W. Delius. M. D. Gould. Quantum Lie algebras, their existence uniqueness and g-antysymmetry. Commun. Math. Phys. 185, 709722, 1997, q-alg/9605025;

100. V. Lyubashenko. A. Sudbery. Quantum Lie algebras of type An. q-alg/9510004;

101. А. Б. Зуевский. Квантовые солитонные операторы аффинных систем Тоды. Исследовано в России, 016/000228, стр. 217-236, 2000, http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/016.pdf;

102. М. V. Saveliev, А. В. Zuevsky. Quantum vertex operators for the sine-Gordon model. International Journal of Modern Physics A. Vol. 15, No. 24, 3877-3897, 2000; Препринт ИФВЭ 2000-04 (ОТФ), 09.02.2000;

103. М. Jimbo. Quantum R matrix for the generalized Toda systems. Comm. Math. Phys. 102, 537-547, 1986;

104. N. Reshetikhin, F. Smirnov. Hidden quantum group symmetry and integrable perturbations of conformal field theories. Comm. Math. Phys., 131, 157-177, 1990;

105. N. Ganoulis. Quantum Toda systems and Lax pairs. Commun. Math. Phys. 109, 23-32, 1987;

106. J. M. Maillet. Lax equations and quantum groups. Phys. Lett. B, v. 245, 3/4, 480-486;

107. B. Jurco, M. Schlieker. Quantized lax equations and their solutions. Commun. Math. Phys. 185, 397-41, 1997, q-alg/9508001;

108. B. Jurco, P. Schupp. Twisted Quantum Lax Equations. Int. J. Mod. Phys. A12. 5735-5752, 1997, solv-int/9701011;

109. R. M. Konik, A. Leclair. Short distance expansions of correlation functions in the sine-Gordon theory. CLNS 95/1326, Nucl. Phys. В 479, 619-653, 1996, hep-th/9503112;

110. H. Aratyn, L. A. Ferreira, J. F. Gomes, A.H. Zimerman, Phys. Lett. 254B (1991) 372;

111. H. Bias. The sl(2) affine Toda model coupled to the matter: solitons and confinement. Prepared for Hadron Physics 2000 Workshop. Caraguatatuba, SP, Brazil. 10-15 Apr, 2000. hep-th/0005037;

112. F. A. Smirnov. Form factors in completely integrable models of quantum filed theory. Advanced series in mathematical physics, Vol. 14, World Scientific, Singapore, 1992;

113. F. A. Smirnov. A new set of exact form factors. Int. J. Mod. Phys. A9, 5121, 1994, hep-th/9312039;

114. F. A. Smirnov. Counting the local fields in SG theory. Nucl. Phys. B 453, 807-824, 1995, hep-th/9501059;

115. H. Babujian, A. Fring, M. Karowski, A. Zapletal. Exact Form Factors in Integrable Quantum Field Theories: the Sine-Gordon Model. Nucl. Phys. B538, 535-586, 1999, hep-th/9805185;

116. A. Fring, G. Mussardo, P. Simonetti. Form Factors for Integrable La-grangian Field Theories, the Sinh-Gordon Model. Nucl. Phys. B393, 413-441, 1993, hep-th/9211053;

117. M. Karowski, P. Weisz. Exact form factors in (1 + l)-dimensional field theoretic models with soliton behaviour. Nucl. Phys. B 139, 455-476, 1978;

118. B. Berg, M. Karowski, P. Weisz. Construction of Green's functions from an exact S-matrix. Phys. Rew. D, v. 19, 8, 2477-2479;

119. H. Babujian, M. Karowski. The exact quantum sine-Gordon field equation and other non-perturbative results. Phys. Lett. B4711, 5357, 1999, hep-th/9909153;

120. A. Leclair. Form factors from vertex operators and correlation functions at q = 1. Proceedings of SMQFT Conference, USC, Los Angeles, May 1994, hep-th/9501076;

121. A. Leclair. Affine Lie algebras in Massive field theory and form factors from vertex operators. Theor. Math. Phys. 98, 297-305, 1994, hep-th/9311004;

122. Yas-Hiro Quano. Form factors of the XXZ model and the affine quantum group symmetry. J. Phys. A31. 1791-1800. 1998. hep-th/9708148;

123. V. Fateev, D. Fradkin, S. Lukyanov, A. Zamolodchikov, Al. Zamolodchikov. Expectation values of descendent fields in the sine-Gordon model. Nucl. Phys. В 540, 587-609, 1999, hep-th/9807236;

124. S. Lukyanov. Correlators of the Jost functions in the Sine-Gordon model. Phys. Lett. В 325, 409-417, 1994, hep-th/9311189;

125. C. Ahn, V. A. Fateev, C. Kim, C. Rim, B. Yang. Reflection Amplitudes of ADE Toda Theories and Thermodynamic Bethe Ansatz. Nucl. Phys. В 565, 611-628, 2000, hep-th/9907072;

126. V. Fateev, A. Zamolodchikov. Al. Zamolodchikov. Boundary Li-ouville Field Theory I. Boundary State and Boundary Two-point Function, hep-th/0001012;

127. V. Bazhanov, S. Lukyanov, A. Zamolodchikov. On nonequilibrium states in QFT model with boundary interaction. Nucl. Phys. В 549, 529-545, 1999, hep-th/9812091;

128. V. A. Brazhnikov. Wave function renormalization constants and one-particle form factors in D\l) Toda field theories. Nucl. Phys. В 542, 694-718, 1999, hep-th/9809074;

129. А. Б. Зуевский. Пространства Харди на компактных ри-мановых поверностях с краем I. Исследовано в России. 043/991021, http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/1999/043.pdf, 1999;

130. М. A. Namazie, К. S. Narain, М.Н. Sarmadi. Fermionic string loop amplitudes with external bosons. Phys. Lett. B, 177, 3/4, 329 334, 1986;

131. T. Eguchi, H. Ooguri. Chiral bosonization on a Riemann surface. Phys. Lett. B, 187, 1/2, 127 134, 1987;

132. S. Sen, A. K. Raina. Grassmannians, multiplicative ward identies and theta-function identities. Phys. Lett. B, 203, 3, 256 262, 1988;

133. A. K. Raina. An algebraic geometry study of the b c system with arbitrary twist fields and arbitrary statistics. Comm. Math. Phys. 140, 373 -397, 1991;

134. D. Alpay, V. Vinnikov. Indefinite Hardy spaces on finite bordered Riemann surfaces, (to appear in J. Funct. Anal.);

135. J. A. Ball, V. Vinnikov. Zero-pole interpolation for meromorphic matrix functions on an algebraic curve and transfer functions of 2D systems. Acta. Appl. Math., 45: 239-316, 1996;

136. J. A. Ball, V. Vinnikov. Zero-pole interpolation for meromorphic matrix functions on a compact Riemann.surface and a matrix Fay trise-cant identity, (to appear in Amer. J. of Math.), alg-geom/9712028;

137. M. V. Saveliev. On the integrability problem of a continuous Toda system. Teor. Math. Phys. v. 92, 3 pp. 457-465, 1992;

138. M. V. Saveliev. Integro-differential non-linear equations associated with continual Lie algebras. IX Int. Congr. on Matematical Physics;

139. M. V. Saveliev. Integro-differential non-linear equations and continual Lie algebras. Commun. Math. Phys. 121, 283-290, 1989;

140. M. V. Saveliev, A. M. Vershik. Continuum analogues of contragre-dient Lie algebras. Commun. Math. Phys. 126, 367. 1989;

141. M. V. Saveliev, A. M. Vershik. New examples of continuum graded Lie algebras. Phys. Lett. A 143, 121, 1990;

142. Ch. Devchand, M. V. Saveliev. Comultiplication for quantum deformations of the centerless Virasoro algebra in the continuum formulation. Phys. Lett. B, v. 258, 3/4, 364-368, 1991;

143. M. V. Saveliev, S. A. Savelieva. PFoc-geometry and associated con-tinuus Toda system. ETH-TH/93-21, Phys. Lett. B313, 55-58, 1993, hep-th/9305152;

144. A. R. Chowdhury, Ch. Ghose. On continual Lie algebra and a new class of integrable nonlinear equations. Hadr. J. v. 13, 191-195, 1990;

145. A. V. Razumov, M. V. Saveliev. Some explicit solutions of the Lame and Bourlet type equations, solv-int/9611003;

146. F. Griffits, D. Harris. Principles of algebraic geometry. Willey-Interscience Publication, 1978. русский перевод: Ф. Гриффиц, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии, т. 1-2, Москва, "Мир", 1982;

147. Н. Джекобсон. Алгебры Ли. Москва, "Мир", 1964;

148. L. A. Ferreira, J. L. Miramontes, J. S. Guillen. Solitons, Tau-functions and Hamiltonian reduction for Non-Abelian Conformal affine Toda theories. Nucl. Phys. B449, 631-679, 1995, hep-th/9412127;

149. J. Lepowsky, J. Algebra, 49, 470, 1977;

150. A. V. Razumov. M. V. Saveliev. Maximally non-abelian Toda systems. Nucl. Phys. В 494, 657-686, 1997, hep-th/9612081;

151. A. N. Leznov. The exactly integrable systems connected with semisimple algebras of the second rank A2. C2. G2. math-ph/9809012;

152. A. N. Leznov. Graded Lie algebras, representation theory, integrable mappings and systems: nonabelian case, math-ph/9810006;

153. A. N. Leznov, E. A. Yusbashjan. The general solution of two-dimensional matrix Toda chain equations with fixed ends. Lett. Math. Phys. 35, 345-349, 1995;

154. Е. V. Damashinski, P. P. Kulish, V. V. Lyakhovsky, М. А. Sokolov, Gauss Decomposition for Quantum Groups and Duality. q-alg/9511004:

155. Е. V. Damaskinsky, P. P. Kulish, M. A. Sokolov. Gauss Decomposition for Quantum Groups and Supergroups, q-alg/9505001;

156. A. Morozov, L. Vinet. Free-Field Representation of Group Element for Simple Quantum Group. ITEP-M3/94, CRM-2202, Int. J. Mod. Phys. A13. 1651-1708, 1998, hep-th/9409093;

157. G. M. Gandenberger. Trigonometric S-Matrices, Affine Toda Solitons and Supersymmetry. Int. J. Mod. Phys. A13, 4553-4590, 1998, hep-th/9703158;

158. И. Я. Арефьева, В. E. Корепин. Рассеяние в двумерной модели с лагранжианом L = ^ (дци)2 + m2(cos и — 1) . Письма в ЖЭТФ, т. 20, вып. 10, стр. 680-684, 1974;

159. И. Я. Арефьева. Законы сохранения для четырехфермионно-го взаимодействия в двумерном пространстве-времени. Теор. Мат. Физ. т. 26, 3, 306-308, 1976;

160. R. F. Dashen, В. Hasslacher, A. Neveu. Partical spectrum in model field theories from semiclassical functional integral techniques. Phys. Rev. D. v. 11, 12, 3424-3450;

161. L. D. Faddeev, R. Kashaev. Quantum dilogarithm. Mod. Phys. Lett. A9, 423-434, 1994, hep-th/9310070;

162. L. D. Faddeev. Current-like variables in massive integrable models. Lectures delivered at the international school of physics 'Enrico Fermi', held in Villa Monastero, Varenna, Italy, 94, hep-th/9408041;

163. M. Jimbo, K. Miki, T. Miwa, A. Nakayashiki. Correlation functions of the XXZ model for S < -1. Phys. Let. A. 168, 256-263, 1992, hep-th/9205055;

164. F. A. Smirnov. Quantum GeFfand-Levitan-Marchenko equations for the sine-Gordon model. Theor. Math. Phys. v. 60, 3, p. 356-371, 1984;

165. E. Corrigan, P. E. Dorey. A representation of the exchange relation for affine Toda field theory. Phys. Lett. В 273, 237-245, 1991, hep-th/9109056;

166. J. Ding. Hopf algebra extension of a Zamolochikov algebra and its double, q-alg/9612008;

167. I. M. Krichever. Elliptic analog of the Toda lattice, hep-th/9909224;

168. H. Bias. B. M. Pimentel. The Faddeev-Jackiw Approach and the Conformal Affine sl(2) Toda Model Coupled to Matter Field, hep-th/9905026;

169. L. A. Ferreira. The structures underlying soliton solutions in integrate hierarchies. Talk given at the I Latin American Symposium on High Energy Physics, I SILAFAE, Merida, Mexico, November/96, solv-int/9701013;

170. A. Fring, C. Korff, B. J. Schulz. The ultraviolet Behaviour of Integrable Quantum Field Theories, Affine Toda Field Theory. Nucl. Phys. B549, 579-612, 1999, hep-th/9902011;

171. A. Fring, C. Korff, B. J. Schulz. On the universal Representation of the Scattering Matrix of Affine Toda Field Theory. Nucl. Phys. B 567, 409-453, 2000, hep-th/9907125;

172. A. Leclair. A. LeClair, D. Nemeschansky. Affine Lie algebra symmetry of sine-Gordon theory at reflectionless points. Mod. Phys. Lett. All, 139-146, 1996, hep-th/9506198;

173. S. Khoroshkin, D. Lebedev, S. Pakuliak. Traces of Intertwining Operators for the Yangian Double, q-alg/9605039;

174. O. A. Castro-Alvaredo, A. Fring, C. Korff, J. L. Miramontes. Thermodynamic Bethe Ansatz of the Homogeneous Sine-Gordon models. hep-th/9912196;

175. A. Koubek. The space of local operators in perturbed conformal field theories. Nucl. Phys. B435, 703-734, 1995, hep-th/9501029;