Брегговское рассеяние, комплексный потенциал и перепутывание состояний в атомной оптике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Петропавловский Сергей Владимирович

БРЕГГОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ, КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И ПЕРЕПУТЫВАНИЕ СОСТОЯНИЙ В АТОМНОЙ ОПТИКЕ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автор:

Москва 2006

Работа выполнена в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Яковлев Валерий Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Быков Владимир Павлович

доктор физико-математических наук Пальчиков Виталий Геннадьевич

Ведущая организация: Институт спектроскопии РАН

Защита состоится "¡24<2006 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.130.06 в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете) по адресу': 115409, Москва, Каширское шоссе, д.31, тел. 323-84-98,323-91-67.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МИФИ.

Автореферат разослан " 2006 г.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Ученый секретарь

диссертационного совета Кельнер С.Р.

2,00 £ А-

ЗоЮ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена теоретическому анализу эффектов резонансного взаимодействия атомов с классическими и квантованными электромагнитными полями.

Актуальность темы.

На протяжении последних двадцати лет исследование различных аспектов резонансного взаимодействия атомов с внешним электромагнитным излучением находится в центре внимания многочисленных теоретических и экспериментальных групп. Интерес к этому разделу физики объясняется многообразием эффектов, наблюдаемых в рамках резонансного атомно-полевого взаимодействия, доступностью и непрерывным совершенствованием экспериментальных методов, возможностью точного либо приближенного описания явлений в этой области, наконец, практическими приложениями.

Резонансное лазерное излучение давно и успешно используется для управления внутренними и поступательными степенями свободы нейтральных атомов. С его помощью можно ускорять и тормозить частицы, создавать оптические ловушки, охлаждать атомы до сверхнизких температур. Кроме того, внешнее поле может выполнять функцию дифракционной решетки, что позволяет изучать интерференцию и дифракцию материальных волн. Повышенный интерес вызывает существенно квантовый - брегтовский - режим дифракции, позволяющий селективно расщеплять атомные волны на две когерентные компоненты. Практические приложения этого явления весьма разнообразны - от создания высокоточных атомных интерферометров, способных регистрировать тонкие гравитационные эффекты, до так называемого атомного лазера - источника когерентных атомных волн.

При этом значительные экспериментальные усилия направлены на реализацию брегговской дифракции высших порядков, обеспечивающую макроскопическое расщепление между дифрагирующими в

«чншч

СП«тер| 3 10»

литературе аналитические выражения для расчета вероятности такого процесса получены в неоправданных приближениях и неадекватно воспроизводят экспериментальные данные.

Другим важным примером управления движением атомов посредством лазерного излучения является формирование сверхузких атомных пучков с помощью поглощающих световых масок. Недавно осознанный факт того, что образующиеся при этом атомные волновые пакеты эволюционируют в пространстве не расплываясь, имеет непосредственное практическое значение с точки зрения предельно достижимых размеров фокусировки атомных пучков. Последнее обстоятельство особенно важно в атомной литографии - перспективном аналоге одноименной оптической технологии. Однако существующая теория формирования атомных нерасплывающихся волновых пакетов базируется на открытой модели двухуровневого атома, игнорирующей факт спонтанного распада в нижнее резонансное состояние, что не позволяет оценить влияние этого фактора на характеристики образующихся пакетов и полным образом описать экспериментально наблюдаемую картину.

Наконец, резонансное взаимодействие атомов, помещенных в резонатор, с квантованным электромагнитным полем представляет большой интерес для физики квантовой информации. С помощью этой простейшей физической системы успешно продемонстрированы основные особенности манипулирования квантовой информацией. Важная роль в этих исследованиях отводится генерации перепутанных состояний системы "атом+поле".

В реализованных схемах перепутывание формируется под влиянием единственного фактора - взаимодействия с внешним полем. Вместе с тем современный эксперимент позволяет запускать в резонатор требуемое число атомов с достаточно точным контролем расстояния между частицами. Если межчастичные расстояния достаточно малы, то заметное влияние на динамику системы оказывает обмен возбуждением между атомами за счет резонансного диполь-дипольного взаимодействия. При этом интерференция двух элементарных

типов взаимодействия - с внешним полем и межчастичного - может существенно модифицировать конечные состояния такой квантовой системы. Исследование этого вопроса, а также построение адекватного теоретического описания других перечисленных выше явлений составляет актуальную задачу современной физики взаимодействия электромагнитного излучения с веществом.

Цель и задачи работы.

Целью диссертации является разработка и развитие аналитического описания эффектов распространения атомных волн в поглощающих световых средах, а также исследование процесса перепутывания атомно-полевых состояний. В частности, в работе предполагается

1) Получить адекватные реальному эксперименту аналитические выражения для расчета вероятности многофотонной брегговской дифракции атомов.

2) Дать количественную оценку влиянию спонтанных переходов в нижнее резонансное состояние на пространственные и импульсные характеристики атомных нерасплывающихся волновых пакетов. Обобщить метод формирования нерасплывающихся пакетов на двухмерный случай.

3) Исследовать процесс перепутывания квантовых состояний двухатомной системы под воздействием двух конкурирующих процессов - взаимодействия с внешним квантованным полем и резонансного диполь-дипольного взаимодействия между атомами.

Научная новизна результатов работы.

1) В адиабатическом и квазиклассическом приближении получена формула для расчета вероятности многофотонного брегговского рассеяния атомов, а также более общие выражения, определяющие эволюцию атомного импульсного распределения. В отличие от известных ранее результатов, предложенное аналитическое описание справедливо в практически важ-

ном диапазоне амплитуд светового поля, который, в частности, включает значение, отвечающее первому максимуму вероятности рассеяния.

2) В приложении к задаче о брегговском рассеянии метод комплексного оптического потенциала использован для учета явлений, связанных со спонтанной релаксацией в нижнее резонансное состояние. Корректно описан эффект затухания вероятности брегговского рассеяния в интенсивных световых полях.

3) Теория формирования нерасплывающихся атомных волновых пакетов в поле стоячей световой волны обобщена на реалистичный случай полуоткрытой двухуровневой системы. В рамках формализма обобщенных оптических уравнений Блоха получена количественная оценка степени уширения стационарного пространственного распределения частиц за счет спонтанных переходов в нижнее резонансное состояние. По сравнению с известными ранее результатами уточнена структура импульсного распределения атомов - теоретически описан фон, связанный с некогерентным перемешиванием атомных импульсов при спонтанном излучении фотона. Предложен метод формирования двухмерных нерасплывающихся пакетов и способы управления их формой.

4) Исследован процесс перепутывания квантовых состояний системы "два атома + однофотонное электромагнитное поле". Особенностью рассматриваемой модели является учет резонансного диполь-дипольного взаимодействия между атомами. Показано, что интерференция двух элементарных процессов - взаимодействия с внешним полем и обмена возбуждением за счет диполь-дипольного взаимодействия - существенно модифицирует конечные состояния системы по сравнению со стандартными схемами перепутывания. На масштабах, меньших длины волны внешнего поля, конечные состояния системы резко зависят от расстояния между траекториями взаимодействующих атомов. Демонстрируется чувствительность

перепутанных состояний к разности фаз внешнего поля, действующего на атомы.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1) Результаты расчета вероятности многофотонного брегговского рассеяния атомов в интенсивных световых полях.

2) Развитие метода комплексного оптического потенциала применительно к задачам распространения атомных волн в поглощающих световых средах.

3) Метод формирования двухмерных атомных нерасплывающихся волновых пакетов и способы управления их формой.

4) Эффект перепутывай ия состояний двухатомной системы в резонаторе с учетом резонансного диполь-дипольного взаимодействия между атомами.

Практическая ценность полученных результатов.

Аналитические выражения, полученные в первой главе диссертации, позволяют рассчитывать вероятность многофотонного брегговского рассеяния атомов - явления, широко используемого в приложениях (атомная интерферометрия, оптика бозе-конденсатов и т.д.). Полученные результаты учитывают реальные экспериментальные условия (продольная огибающая светового поля, спонтанная релаксация атомов) и справедливы в практически важном диапазоне амплитуд светового поля.

Установленные свойства нерасплывающихся атомных волновых пакетов (вторая глава) представляют интерес для целей атомной литографии - нового метода формирования наноструктур. С этой же точки зрения важен предложенный метод формирования двухмерных нерасплывающихся пакетов.

Излагаемая в третьей главе схема перепутывания квантовых состояний принципиально реализуема на практике. Обнаруженные дополнительные эффекты, связанные с диполь-дипольным взаимодействием атомов, могут быть полезны для будущих экспериментов по многочастичному перепутыванию, на-

правленных, в конечном счете, на поиск новых механизмов по управлению и обработке квантовой информации.

Апробация диссертаиионной работы:

Изложенные в диссертации результаты докладывались на Научной сессии МИФИ (2003, 2006); на международных конференциях 11th International Laser Physics Workshop (Bratislava, Slovak Republic, July 2002), 12th International Laser Physics Workshop (Hamburg, Germany, August 2003), ХХШ Съезде по спектроскопии (Звенигород, Россия, октябрь 2005), Четвертом семинаре памяти Д.Н. Клышко в Московском университете (май 2005).

По теме диссертации опубликовано 10 работ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 63 наименований и одного приложения. В работе представлен 21 рисунок. Общий объем диссертации составляет 99 страниц.

СОДЕРЖАЩИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, поставлены цели и задачи работы, отмечена практическая ценность полученных результатов, сформулированы положения, выносимые на защиту, и охарактеризована апробация научных работ автора.

В первой главе диссертации приводится приближенное решение задачи о многофотонном брегговском рассеянии атомов в поле стоячей световой волны E(r)cosfccsinfirf.

Под брегговским рассеянием понимают расщепление плоской атомной волны с поперечным импульсом px=Nk (здесь и далее й = 1) на две состав-

ляющие с импульсами рх = ±Nk (W» 1 - порядок рассеяния). При больших отстройках от резонанса, dE с А, этот процесс описывается нестационарным гамильтонианом Н = р1/2М + V(x,t) с эффективным оптическим потенциалом

V(x,t) = V0exp{-t2/T2}cos2kx, (1)

где dE - частота внутриатомных переходов, к = со/с - волновое число, Т -время взаимодействия, определяемое шириной продольной огибающей поля. Известные из литературы пертурбативные методы анализа этой задачи [см., например, D.M. Giltner, R.W. McGowan, and S.A. Lee, Phys. Rev. A, 52, 3996 (1995)] получены в предположении малой заселенности нерезонансных импульсных состояний и справедливы в неактуально слабых полях, V„ <к erN2 (er = k2¡2M - энергия отдачи).

Излагаемый в диссертации подход опирается на два основных приближения: 1) ввиду плавности включения-выключения взаимодействия (1) атомная волновая функция ищется в адиабатическом приближении,

= exp{-i ^сй1}^*,*) 2) дальнейший анализ сводится к квазиклассическому (из-за больших значений импульса, характерных для рассеяния высших порядков) исследованию уравнения Матье для медленно меняющейся части волновой функции <p(x,t) либо к решению эквивалентного трехчленного рекуррентного соотношения для коэффициентов Фурье-разложения этой величины. В последнем случае используется дискретный ВКБ-метод ¡ДА. Браун, ТМФ, 37, 355 (1978); P.A. Braun, Rev. Mod. Phys., 65,115 (1993)], позволяющий непосредственно, без промежуточных вычислений в координатном представлении, рассчитывать амплитуды импульсных состояний методами и приемами стандартной квазиклассики, развиваемой в дискретном импульсном представлении.

Рис 1 Зависимость адиабатической энергии от времени (а) и вероятность брегговского рассеяния 5-ого порядка (б) как функция амплитуды потенциала. При t ±оо энергетические уровни совпадают с начальной поперечной кинетической энергией атома, е± —> erN2. (б) Сплошная пиния построена по формуле (2); штрихованная кривая - результат численного интегрирования исходного уравнения Шредингера. Время взаимодействия Т = 0.9/«, соответствует реальному эксперименту [А.Е.А. Koolen et al, Phys. Rev. A, 65, 041601 (2002)] и не вполне удовлетворяет критерию егТ »1 брегговского режима рассеяния и, одновременно, применимости адиабатического приближения. Даже в такой нехарактерной ситуации видно преимущество полученных результатов по сравнению с пертурбативным подходом [D.M. Giltner et al.Phys. Rev. A, 52, 3996 (¡995)] (точечная линия).

Рис. 2 Вероятность рассеяния 5-ого порядка с учетом спонтанной релаксации атомов. Точками обозначены экспериментальные данные [А.Е.А. Koolen et al., Phys. Rev. A, 65, 041601 (2002)] no рассеянию He*, отношение у/А = 1/222. Затухание осцилляции в интенсивных полях объясняется ростом населенности возбужденного уровня и количества спонтанных переходов, рассматриваемых как необратимые потери частиц.

Установлена структура спектра "мгновенного" гамильтониана и ее связь с вероятностью рассеяния. Показано, что конкретному порядку рассеяния отвечает единственный уровень, расщепленный на две составляющие, е±(г) (рис. 1, случай а). Максимальная величина расщепления увеличивается с ростом амплитуды поля, а площадь между ветвями £;(/) и £■_(*) определяет вероятность рассеяния по формуле

Интерпретация этих результатов особенно очевидна при расчете в дискретном импульсном представлении, где выкладки трактуются в духе задачи о двухъям-ном потенциале. Показано, что в слабых полях, V0 « erN2, найденные формулы совпадают с упомянутыми выше результатами, полученными методами теории возмущений.

Основным фактором, лимитирующим применимость построенной теории в произвольно сильных полях, оказывается нарушение адиабатического приближения. Показано, что при достаточно больших амплитудах внешнего поля, К и £± ~ £rN2, когда расщепление между уровнями значительно и фаза синуса в (2) является величиной порядка я/2, условие применимости адиабатики erT »1 совпадает с условием брегговского режима рассеяния. Это гарантирует корректное описание по меньшей мере первого максимума вероятности рассеяния, что важно с точки зрения приложений, причем удовлетворительные результаты наблюдаются и при частичном соблюдении этого критерия (рис. 1, случай б).

В реальном эксперименте [А.Е.А. Koolen et al., Phys. Rev. A, 65, 041601 (2002)] взаимодействие с внешним полем сопровождается спонтанной релаксацией атомов, причем преимущественно в нижнее резонансное состояние. Даже при таком - закрытом - характере перехода спонтанно излучающий атом, приобретая случайный по величине дополнительный импульс, эффективно теряет-

(2)

и

ся для брегтовского рассеяния, характеризующегося сохранением поперечной кинетической энергии частиц. Факт потери частиц можно учесть с помощью комплексного оптического потенциала [см., например, D.O. Chudesnikov and V.P. Yakovlev, Laser Phys., 1, 110 (1991)], сделав в (1) замену A —> Д + ///2, где у - ширина возбужденного уровня. Исследование такой более общей задачи подразумевает отыскание спектра комплексных адиабатических энергий и приводит к модифицированной формуле для вероятности рассеяния

С „о \ г f 00 \

VV = ехр -i ——-dt J 2 V X sin ч-® J

Рис. 3. Эволюция населенности резонансных | р„ =±5к) и промежуточных импульсных состояний. Амплитуда поля У0 = Пег соответствует первому максимуму вероятности рассеяния.

Расчет по формуле (3), сопоставленный с экспериментальными данными, приведен на рис. 2.

На рис. 3 приводится картина перераспределения вероятности между импульсными состояниями в ходе взаимодействия, полученная при расчете задачи в дискретном импульсном представлении.

Во второй главе исследуются особенности формирования одно- и двухмерных атомных нерасплывающихся волновых пакетов в поглощающем световом поле.

Известно [см., например, A. Turlapov, A. Tonyushkin, and Т. Sleator, Phys. Rev. A, 68, 023408 (2003)], что стоячая световая волна может выступать в роли

оптической маски для атомных волн, описывающих движение центра масс открытой двухуровневой системы. При этом вблизи узлов поля формируются узкие волновые пакеты. Существенное наблюдение, подтвержденное недавно и экспериментально [R. StOtzle et al., Phys. Rev. Lett., 95,110405 (2005)], состоит в том, что ширина этих пакетов стабилизируется в ходе взаимодействия, определяя, при фиксированных параметрах внешнего поля, предельные размеры фокусировки атомных пучков. Данный эффект возникает на временах i»l/o0,

где о)а = 2П0Л/2ог/у, й, и - частота Раби и частота отдачи, у - полная ширина возбужденного уровня, и достигается за счет равновесия двух конкурирующих процессов - непрерывного удаления периферии пакетов вследствие необратимой спонтанной релаксации и их квантового расплывания.

Процесс формирования таких нерасплывающихся пакетов рассматривается в данной главе с позиции реалистичной полуоткрытой модели двухуровневого атома, учитывающей спонтанный распад как в нерезонансные, так и в нижнее резонансное состояние (в проделанном эксперименте доля таких переходов доходит до 32%). Имеющиеся в литературе аналитические результаты [М.А. Efremov et al., Laser Phys., 13, 995 (2003); M.B. Федоров и др., ЖЭТФ, 124, 578 (2003)] принципиально не способны учесть последнее обстоятельство и оценить его влияние на обсуждаемое явление.

Объектом анализа в данной части работы являются обобщенные оптические уравнения Блоха, описывающие всю гамму оптических и механических свойств атомов во внешнем поле, а также все аспекты, связанные со спонтанной релаксацией частиц [см., например, А.П. Казанцев, Г.И. Сурдутович, В.П. Яковлев, Механическое действие света на атомы, М.: Наука, 1991.].

Сформулированы приближения, позволяющие найти аналитическое решение этой достаточно сложной системы. Ключевым моментом здесь является обоснованная возможность решения эволюционных уравнений вблизи узлов стоячей волны, где, с одной стороны, коэффициенты системы можно

ау = 0.7 <ц,* = 1.1 = 2.2 ¿ц,/ = 3.1 ^ = 4.0

■1 I "I1 I I

Г

-4^2 0 2 4рЛ -4-20 2 4-4-2 0 2 4 рЛ -4-2 0 2 4рЛ. -4-2 0 2 4р/к:

о>д^0.7

>>11

А

.„1-3.1

дц^

-4-2 0 2 4рЖ -4-2 0 2 4рЛ( -4-2 0 2 4рЛс -4-2 0 2 4р* -4-2 0 2 4рЛ(

Рис. 4 Эволюция экспериментального (верхний ряд) и теоретического (нижний ряд) импульсного распределения, рассчитанного в рамках модели полуоткрытой двухуровневой системы. Отношение Уа/т-У^, а параметр щ/еог =18 . Для сравнения на последнем графике в нижнем ряду изображена огибающая дифракционных пиков в пренебрежении распадом в нижнее состояние, т.е. при - О (при этом фон в распределении отсутствует). У

(а) (б)

Рис. 5. Формирование двухмерных нерасплывающихся пакетов с помощью двух стоячих волн, поляризованных в одной плоскости, (а) векторы поляризации ортогональны (б) Вращение стационарного распределения на произвольный угол при изменении взаимного расположения векторов поляризации. Нерасплывающиеся пакеты образуются в узлах косоугольной решетки.

линеаризовать, а с другой - допустима процедура адиабатического исключения верхнего уровня, даже несмотря на неплавный продольный профиль поля. Как следствие, система уравнений Блоха редуцируется к одному уравнению, определяющему атомное движение в нижнем резонансном состоянии, которое, в свою очередь, после гиперболического поворота осей координат и факторизации матрицы плотности в соответствии с ее определением сводится к нестационарному уравнению Шредингера с мнимым осцилляторным потенциалом. Его известное из анализа открытой модели решение обобщено на случай произвольного угла падения плоской атомной волны на стоячую световую волну. Представляя собой функцию Грина в импульсном представлении, этот результат позволяет в принципе учесть и конечную ширину начального распределения частиц.

Показано, что вблизи узлов поля пространственное распределение частиц имеет вид гауссовского пакета с зависящей от времени шириной

<?х(0 = {1+Г°/г)2 , (4)

О-Го/Г) зтЬ +

где у0 - парциальная ширина верхнего уровня, связанная с переходами в ниж-

нее резонансное состояние, = , a = к'1 [ycojcil )'/4 -

стационарная ширина пакета в приближении открытой двухуровневой системы. Первый множитель в (4) показывает степень уширения стационарного распределения (при t»1/©о) за счет спонтанных переходов в нижнее резонансное состояние.

Рассчитано импульсное распределение атомов, измеряемое в реальном эксперименте [R. Sttttzle et al, Phys. Rev. Lett., 95, 110405 (2005); R. StUtzle, M. G6bel, I. Mourachko, M. St6rzer, and M. Oberthaler, частное сообщение, 2005]. Показано (рис. 4), что наряду с дифракционными пиками, отвечающими когерентному набору импульса дискретными порциями 2к, в распределении появ-

ляется фон, обусловленный дополнительным перемешиванием атомных импульсов в пределах интервала 2 к за счет отдачи при спонтанном излучении фотона.

Предложен метод формирования двухмерных нерасплывающихся пакетов, образующихся при взаимодействии двухуровневых атомов с двумя стоячими волнами, поляризованными в одной плоскости (рис. 5, случай а). Показано, что ввиду линейности основных уравнений аналитическое описание такого процесса не вызывает дополнительных трудностей по сравнению с одномерным случаем и проводится как в терминах уравнения Шредингера, так и в рамках формализма атомной матрицы плотности.

Отмечено, что при специальном выборе атомного перехода, \e,Je =l)<->|g,J? = 0^, процесс формирования двухмерного нерасплываюшего-

ся пакета сводится к независимой эволюции двух одномерных пакетов. При этом стационарное пространственное распределение имеет вид эллипса, форму которого можно менять, регулируя отношение амплитуд двух стоячих волн. Существует дополнительная возможность вращения стационарного распределения на произвольный угол при изменении взаимного расположения векторов поляризации стоячих волн (рис. 5, случай б). Такие механизмы контроля за формой нерасплывающихся пакетов важны с точки зрения возможных приложений.

В третьей главе обсуждается процесс переттутывания квантовых состояний системы "два атома + однофотонное электромагнитное поле". Предлагаемая модель комбинирует известную идею управления внутриатомными состояниями с помощью контролируемого взаимодействия с внешним квантованным полем [см., например, J.M. Raimond, М. Brune, and S. Haroche, Rev. Mod. Phys., 73, 565 (2001)] с продемонстрированной возможностью обмена возбуждением между атомами за счет резонансного диполь-дипольного взаимодействия [S. Osnaghi et al., Phys. Rev. Lett., 87, 037902 (2001)].

Рассматривается ситуация, когда через резонатор с квантованным полем, приготовленным в однофотонном состоянии, одновременно и симметрично пролетают два изначально невозбужденных атома (рис. 6). Поглощение фотона любым из атомов инициирует резонансное диполь-дипольное взаимодействие между частицами. Интерференция этих двух элементарных процессов приводит к более сложному характеру перепутывания состояний системы.

резонаторе.

Вектор состояния системы "атомы + поле" имеет вид

С^К'""21^)10) + С^Ое*"2 |ед2)|0) + Св(0| Дй)|1>, (5)

где и \е) - основное и возбужденное состояние атома, а |0) и ¡1} — фоков-ские состояния поля. Движение происходит по классическим траекториям, причем даже для сильно охлажденных атомов можно считать, что отдача при поглощении-излучении фотона и межчастичное взаимодействие ~ ¿/2/<з3 не влияют на продольную скорость частиц и их поперечное смещение.

В геометрии, представленной на рис. 6, динамика рассматриваемой системы определяется нестационарным гамильтонианом вида

# = - а1Ё(г1,0-й2Е(г2,0 + -^, (6)

где ¿12 - операторы дипольного момента атомов, Ё(г,/) = у]2яй)/Уег(сеЯа~ш + с е'*"*1*") - оператор полевой моды резонатора

(а)

0.4 0.6 0.8 1.0 //Т

(б)

Ы

(г)

Рис. 7. Эволюция вероятностей (?)|2 (сплошная линия) и |СЧ (/)|2 (штрихованная пиния)

для разлитых расстояний между атомными траекториями. Точечная линия соответствует случаю невзаимодействующих частиц (7). На вставке к случаю (б) показана окрестность точки / = Г/2, где диполь-дипольное взаимодействие имеет острый максимум. Штрихпунктирная линия является аналитическим решением задачи, практически совпадающим с численным интегрированием системы вне этой окрестности Разрыв в аналитических решениях является следствием аппроксимации диполь-дипольного взаимодействия делыпа-функционным встряхиванием.

0.5 0.4 03 0.2 0.1 О,

Рис. 8. Вероятности (С^, (Г)]2 (сплошная линия), |С,е(7*)|2 (штрихованная линия) как

функции параметра ка. Остальные параметры совпадают с рис.7. Точечная линия отвечает случаю невзаимодействующих между собой атомов (7).

01 02

0,3

0.4

0.5

ка

объема V. Предполагается, что элементарным возбуждением полости является бегущая волна с частотой о) = кс, что реализуется в резонаторах кольцевого типа. Межчастичное расстояние R(t) = yja2 + v2(T-2tf зависит от времени и минимально в момент t = Г/2, где Т - время пролета через резонатор.

При межтраекторных расстояниях, много больших длины волны внешнего поля, ка »1, межатомным взаимодействием в (6) можно пренебречь. Тогда поведение системы сводится к обычным квантовым осцилляциям Раби

Са(0 = costa, Cegge(t) = -j=s'mQt (7)

где О = 2d^7t(o¡V - частота Раби. В этом случае единственное отличие от известных ранее результатов [см., например, М. Brune et al., Phys. Rev. Lett., 76, 1800 (1996)] состоит в том, что в перепутывают участвуют две, а не одна, массивные частицы.

В области ка < 1 диполь-дипольное взаимодействие существенно меняет характер эволюции вектора состояний.

Атомы, движущиеся по пространственно разнесенным траекториям, начинают чувствовать разность фаз поля, что нарушает симметрию между двумя

возможными способами поглощения фотона, т.е. |Ci(,(f)f * |Ceg(0f (см. рис. 7,

где приведено численное решение уравнения Шредингера с гамильтонианом (6). Параметры задачи: QT = 0.45тг - фаза осцилляций Раби, близкая к условию 100% поглощения фотона по закону (7), ЬТ = 20ж - продольный размер резонатора в единицах длины волны внешнего поля, k3d2/tl = 0.55 - отношение величины межчастичного взаимодействия на длине волны поля к константе атом-но-полевой связи). При дальнейшем сближении траекторий эффект асимметрии пропадает, зато конечная вероятность поглощения фотона сильно осциллирует, обращаясь, в частности, в ноль (рис. 8). При этом заметим, что время пролета

Г «я/2П специально выбрано близким к условию 100% поглощения кванта поля в соответствии с законом (7).

Примечательны два обстоятельства: 1) указанные эффекты проявляются на малых (по сравнению с 1/к), но все же вполне макроскопических расстояниях, если иметь в виду проведение подобных экспериментов в СВЧ-диапазоне 2) обмен возбуждением между атомами за счет диполь-дипольного взаимодействия существен в течение малого промежутка времени а/у<кТ, отвечающего наибольшему сближению частиц, но тем не менее меняет ход всей дальнейшей эволюции системы. Показано, что вклад этого элементарного процесса в амплитуду вероятности поглощения фотона факторизуется по отношению к влиянию внешнего поля.

Кроме того, замечание 2) позволяет найти аналитическое решение задачи с помощью аппроксимации диполь-дипольного взаимодействия дельта-функционным встряхиванием в момент г = Г/2. Полученный результат хорошо согласуется с численным расчетом.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе:

• В адиабатическом и квазиклассическом приближении построено аналитическое описание многофотонного брегговского рассеяния атомов, позволяющее рассчитывать как конечные характеристики данного процесса (вероятность рассеяния), так и его динамическую картину (эволюция импульсного распределения). По сравнению с известными ранее аналитическими подходами, полученные результаты справедливы в существенно более широком диапазоне амплитуд внешнего поля и позволяют корректно воспроизвести, по крайней мере, первый максимум вероятности рассеяния. Сформулированы условия применимости развитого подхода.

• Показано, что даже при "закрытом" атомном переходе, подразумевающем спонтанный распад в нижнее резонансное состояние, эффект затуха-

ния вероятности брегговского рассеяния можно учесть с помощью комплексного оптического потенциала, не прибегая к формализму атомной матрицы плотности. Получена модифицированная формула для вероятности брегговского рассеяния в условиях спонтанной релаксации. Продемонстрировано согласие полученных результатов с экспериментальными данными в пределах применимости адиабатического приближения.

• Процесс формирования атомных нерасплывающихся волновых пакетов проанализирован в реалистичных условиях смешанного характера спонтанной релаксации (как в резонансное, так и нерезонансные состояния). Показано, что сформировавшиеся пакеты сохраняют гауссовский вид, однако их ширина увеличивается по сравнению с моделью открытого двухуровневого атома. В структуре импульсного распределения появляется фон, возникающий за счет отдачи при спонтанном переходе в нижнее резонансное состояние. Полученные результаты хорошо согласуются с данными эксперимента. Предложен метод формирования двухмерных нерасплывающихся пакетов и способы управления их формой.

• Исследован процесс перепутывания квантовых состояний системы из двух атомов, взаимодействующих с квантованным полем резонатора. Особенностью модели является учет резонансного диполь-дипольного взаимодействия между атомами. Показано, что в присутствии межатомного взаимодействия конечные состояния системы чувствительны к разности фаз внешнего поля. При этом вероятность поглощения фотона резко зависит от расстояния между траекториями взаимодействующих атомов. Предложено простое аналитическое описание данной модели, хорошо согласующееся с численным расчетом.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. M.R Kasimov, S.V. Petropavlovsky, N.M. Tilenin, V.P. Yakovlev, Multiphoton Bragg resonances in atom optics, Laser Phys., 12, 341 (2002).

2. S V Petropavlovsky, N.M. Tilenin, V.P. Yakovlev, Entanglement of dipole-dipole interacting atoms with a photon, Laser Phys., 13, 145 (2003).

3. S.V. Petropavlovsky, V.P. Yakovlev, Multiphoton Bragg scattering: PendellSsung effect for momentum state probabilities, Laser Phys., 14,111 (2004).

4. M.A. Ефремов, M.B. Федоров, C.B. Петропавловский, В.П. Яковлев, В.П. Шляйх, Формирование двухмерных нерасплывающихся атомных волновых пакетов в поле двух стоячих световых волн, Квантовая электроника, 35, 675 (2005).

5. S.V. Petropavlovsky, V P. Yakovlev, M.A. Efremov, M.V. Fedorov, W.P. Schleich, Coherent array of non-spreading atomic wave packets in absorptive optical potentials, Laser Phys. Lett., 3,31 (2006).

6. S V Petropavlovsky, N.M. Tilenin and V.P. Yakovlev, Entanglement of atomic states via passage of dipole-dipole interacting atoms through a single-photon resonator, 11-th International Laser Physics Workshop LPHYS'02, Bratislava, Book of Abstracts, 83 (2002).

7. Петропавловский C.B., Тиленин H.M., Яковлев В.П., Влияние ван-дер-ваальсовского взаимодействия на перепутывание состояний двухатомной системы и фотона, Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2003, 5, 182 (2003).

8 S.V Petropavlovsky, and V.P. Yakovlev, 12-th International Laser Physics Workshop LPHYS'03. Hamburg, Book of Abstracts, 231 (2003).

9. M.A. Ефремов, C.B. Петропавловский, MB. Федоров. В.П. Яковлев, Влияние эффекта отдачи на формирование нерасплывающихся волновых пакетов в мнимом оптическом потенциале, ХХ1П Съезд по спектроскопии, Звенигород, Тезисы докладов, 110(2005),

10.С.В Петропавловский, Особенности бездисперсионной динамики полуоткрытой атомной системы, Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2006, 5, 181 (2006).

к исполнению 20/04/2006 Исполнено 20/04/2006

Заказ №303 Тираж: 100 экз.

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (495) 975-78-56 (495) 747-64-70 www.autoreferat.ru

¿oogft Зо{0

90 1 Ô

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МНОГОФОТОННОЕ БРЕГГОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ АТОМОВ В ПОЛЕ СТОЯЧЕЙ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ

1.1. Введение.

1.2. Постановка задачи. Адиабатическое приближение.

1.3. Квазиклассическое решение уравнения (1.8) в координатном представлении.

1.3.1. Случай малых амплитуд потенциала.

1.3.2. Рассеяние в интенсивном световом поле.

1.4. Квазиклассическое решение уравнения (1.8) в дискретном импульсном представлении.

1.4.1. ВКБ-приближение для трехчленных рекуррентных соотношений.

1.4.2. Расщепление энергии в ВКБ-приближении.

1.4.3. Режим сильного поля.

1.5. Анализ полученных результатов. Учет спонтанной релаксации атомов

ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ ОДНО- И ДВУХМЕРНЫХ АТОМНЫХ НЕРАСПЛЫВАЮЩИХСЯ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ

2.1. Введение.

2.2. Основные уравнения и приближения.

2.3. Импульсное распределение.

2.4. Двухмерные нерасплывающиеся волновые пакеты.

ГЛАВА 3. ПЕРЕПУТЫВАНИЕ СОСТОЯНИЙ ДВУХАТОМНОЙ СИСТЕМЫ В РЕЗОНАТОРЕ

3.1. Введение.

3.2. Модель и основные уравнения.

3.3. Интерференция квантовых осцилляции Раби и обмена возбуждением между атомами.

3.4. Приближенное аналитическое решение.

Данная диссертация посвящена теоретическому анализу эффектов резонансного взаимодействия атомов с классическими и квантованными электромагнитными полями, протекающих, в том числе, в условиях спонтанной релаксации частиц.

Актуальность темы.

Резонансное взаимодействие атомов с внешним электромагнитным излучением сопровождается обменом энергией и импульсом между частицами и полем. Это обстоятельство позволяет влиять на внутренние и поступательные степени свободы нейтральных атомов, причем для резонансных частиц это влияние сказывается уже в слабых полях. Важно, что степень воздействия на атомы можно легко регулировать, изменяя интенсивность внешнего излучения, его частоту, поляризацию и т.д. Многообразие эффектов, наблюдаемых в рамках резонансного атомно-полевого взаимодействия, доступность и непрерывное совершенствование экспериментальных методов, возможность точного либо приближенного описания явлений в этой области, наконец, практические приложения - все эти факторы способствуют неугасающему интересу к данному разделу физики.

Резонансное лазерное излучение давно и успешно используется для управления пространственным движением атомов. С его помощью можно ускорять и тормозить нейтральные частицы, создавать оптические ловушки, охлаждать атомы до сверхнизких температур [17]. Внешнее поле может выполнять функцию дифракционной решетки, что позволяет изучать интерференцию и дифракцию световых волн [1]. Повышенный интерес вызывает существенно квантовый - брегговский — режим дифракции, когда пучок атомов падает под определенным углом на стоячую световую волну и расщепляется на две пространственно разнесенные компоненты [2-4]. Практические приложения этого явления весьма разнообразны — от создания высокоточных атомных интерферометров, способных регистрировать тонкие гравитационные эффекты [16], до так называемого атомного лазера — источника когерентных атомных волн [10].

При этом значительные экспериментальные усилия направлены на реализацию брегговской дифракции высших порядков, обеспечивающую макроскопическое расщепление между дифрагирующими пучками. Однако имеющиеся в литературе аналитические выражения для расчета вероятности такого процесса получены в неоправданных приближениях и неадекватно воспроизводят экспериментальные данные.

Другим важным примером управления движением атомов посредством лазерного излучения является формирование сверхузких атомных пучков с помощью поглощающих световых масок [38]. Осознанный недавно факт того, что образующиеся при этом атомные волновые пакеты эволюционируют в пространстве не расплываясь [36], имеет непосредственное практическое значение с точки зрения предельно достижимых размеров фокусировки атомных пучков. Последнее обстоятельство особенно важно в атомной литографии — перспективном аналоге одноименной оптической технологии [39]. Однако существующая теория формирования атомных нерасплывающихся волновых пакетов базируется на открытой модели двухуровневого атома, игнорирующей факт спонтанного распада в нижнее резонансное состояние, что не позволяет оценить влияние этого фактора на характеристики образующихся пакетов и полным образом описать экспериментально наблюдаемую картину.

Наконец, резонансное взаимодействие атомов, помещенных в резонатор, с квантованным электромагнитным полем представляет большой интерес для физики квантовой информации. С помощью этой физической системы успешно продемонстрированы основные особенности манипулирования квантовой информацией [45]. Важная роль в этих исследованиях отводится генерации перепутанных состояний системы "атом + поле" [46]. Высокая степень корреляции таких состояний необходима для функционирования алгоритмов квантовой обработки информации.

В большинстве реализованных схем перепутывание формируется под влиянием единственного фактора - взаимодействия с внешним полем. Вместе с тем современный эксперимент позволяет запускать в резонатор требуемое число атомов с достаточно точным контролем расстояния между частицами. Если межчастичные расстояния малы (меньше длины волны внешнего поля), то заметное влияние на динамику системы оказывает обмен возбуждением между атомами за счет резонансного диполь-дипольного взаимодействия [57]. При этом интерференция двух элементарных типов взаимодействия — с внешним полем и межчастичного - может существенно модифицировать конечные перепутанные состояния. Исследование этого вопроса, а также построение адекватного теоретического описания других перечисленных выше явлений составляет актуальную задачу современной физики взаимодействия электромагнитного излучения с веществом.

Структура и объем диссертации:

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и одного приложения. Общий объем - 99 страниц, включая 21 рисунок и список цитируемой литературы из 63 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование резонансного взаимодействия атомов с внешним электромагнитным полем важно как с фундаментальной, так и с прикладной точки зрения. Успехи эксперимента в этой области физики стимулируют развитие теории резонансного атомно-полевого взаимодействия.

Общий результат настоящей диссертации заключается в том, что с помощью достаточно простых рассуждений удалось аналитически воспроизвести и уточнить главные особенности экспериментально наблюдаемых явлений. Особенно это касается первых двух глав работы.

Перечислим основные результаты, полученные в диссертационной работе:

• В адиабатическом и квазиклассическом приближении построено аналитическое описание многофотонного брегговского рассеяния атомов, позволяющее рассчитывать как конечные характеристики данного процесса (вероятность рассеяния), так и его динамическую картину (эволюцию импульсного распределения). По сравнению с известными ранее аналитическими подходами, полученные результаты справедливы в существенно более широком диапазоне амплитуд внешнего поля и позволяют корректно воспроизвести, по крайней мере, первый максимум вероятности рассеяния. Сформулированы условия применимости развитого подхода.

• Показано, что даже при "закрытом" атомном переходе, подразумевающем спонтанный распад в нижнее резонансное состояние, эффект затухания вероятности брегговского рассеяния можно учесть с помощью комплексного оптического потенциала, не прибегая к формализму атомной матрицы плотности. Получена модифицированная формула для вероятности брегговского рассеяния в условиях спонтанной релаксации. Продемонстрировано согласие полученных результатов с экспериментальными данными в пределах применимости адиабатического приближения.

• Процесс формирования атомных нерасплывающихся волновых пакетов проанализирован в реалистичных условиях смешанного характера спонтайной релаксации (как в резонансное, так и нерезонансные состояния). Показано, что сформировавшиеся пакеты сохраняют гауссовский вид, однако их ширина увеличивается по сравнению с моделью открытого двухуровневого атома. В структуре импульсного распределения появляется фон, возникающий за счет отдачи при спонтанном переходе в нижнее резонансное состояние. Полученные результаты хорошо согласуются с данными эксперимента. Предложен метод формирования двухмерных нерасплывающихся пакетов и способы управления их формой. Исследован процесс перепутывания квантовых состояний системы из двух атомов, взаимодействующих с квантованным полем резонатора. Особенностью модели является учет резонансного диполь-дипольного взаимодействия между атомами. Показано, что в присутствии межатомного взаимодействия конечные состояния системы чувствительны к разности фаз внешнего поля. При этом вероятность поглощения фотона резко зависит от расстояния между траекториями взаимодействующих атомов. Предложено простое аналитическое описание данной модели, хорошо согласующееся с численным расчетом.

1. Р.Е. Moskowitz, P.L. Gould, S.R. Atlas, and D.E. Pritchard, Diffiaction of anatomic beam by standing-wave radiation, Phys. Rev. Lett., 51,370 (1983).

2. P.J.Martin, B.G.Oldaker, A.H.Miklich, and D.E.Pritchard, Bragg scattering of atoms from a standing light wave, Phys. Rev. Lett., 60, 515 (1988).

3. S.Durr, S.Kunze, and G.Rempe, Pendellosung oscillations in second-order Bragg scattering of atoms from a standing light wave. Quantum Semiclass.Opt., 8,531 (1996).

4. S.Kunze, S.Durr, and G.Rempe, Bragg scattering of slow atoms from a stand- ing light wave, Europhys. Lett., 34,343 (1996).

5. M.K.Oberthaler, R.Abfalterer, S.Bemet, J.Schmiedmayer, A.Zeilinger, Atom waves in crystals of light, Phys. Rev. Lett., 77,4980 (1996).

6. S. Durr, G. Rempe, Acceptance angle for Bragg reflection of atoms from a standing light wave, Phys. Rev. A, 59,1495 (1999).

7. Y. Torii, Y. Suzuki, M. Kozuma, T. Sigiura, T. Kuga, L. Deng, and E.W. Hagley, Mach-Zehnder Bragg interferometer for a Bose-Einstein condensate,Phys. Rev. A 61, 041602 (2000).

8. M. Kosuma, L. Deng, E.W. Hagley, J. Wen, R. Lutwak, K. Helmerson, S.L. Rolston, W.D. Phillips, Coherent splitting of Bose-Einstein condensed atomswith optically induced Bragg diffraction, Phys. Rev. Lett., 82, 871 (1999).

9. D.E. Miller J.R. Anglin, J.R. Abo-Shaeer, K. Xu, J.K. Chin, W. Ketterle, High contrast interference in a thermal clouds of atoms, Phys. Rev. A, 71,043615(2005).

10. E.W. Hagley, L. Deng, M. Kosuma, J. Wen, K. Helmerson, S.L. Rolston, and W.D. Phillips, A well-collimated quasi-continuous atom laser. Science, 283,1706(1999).

11. A.H. Khosa, M. Ikram, M.S. Zubairy, Measurement of entangled states via atomic beam deflection in Bragg's regime, Phys. Rev. A, 70, 052312 (2004).95

12. S. Hamar, S.Y. Zhu, M.S. Zubairy, Teleportation of atomic momentum state, Phys. Rev. A, 67, 042318 (2003).

13. J.R. Abo-Shaeer, D.E. Miller, J.K. Chin, K. Xu, T. Mukaiyama, W. Ketterle, Coherent molecular optics using ultracold sodium dimmers, Phys. Rev. Lett.,94, 040405 (2005).

14. A.E.A. Koolen, G.T. Jansen, K. Domen, H. Beijerinck, K.A.H. van Leeuwen, 1.arge-angle adjustable coherent atomic beam splitter by Bragg scattering,Phys. Rev. A, 65,041601 (2002).

15. A. Miffre, M. Jacquey, M. Buchner, G. Trenec, J. Vigue, Measurement of electric polarizability of lithium by atom interferometer, Phys. Rev. A, 73,011603(2006).

16. J.M. McGuirk, G.T. Foster, J.B. Fixler, M.J. Snadden, M.A. Kasevich, Sensi- tive absolute-gravity gradiometer using atom interferometry, Phys. Rev. A,65, 033608 (2002).

17. А.П. Казанцев, Г.И. Сурдутович, В.П. Яковлев, Механическое действие света на атомы, М.: Наука, 1991.

18. D.M.Giltner, R.W. McGowan, and S.A. Lee, Theoretical and experimental study of the Bragg scattering of atoms from a standing light wave, Phys. Rev.A, 52,3996 (1995).

19. M.R. Kasimov, S.V. Petropavlovsky, N.M. Tilenin, V.P. Yakovlev, Mul- tiphoton Bragg resonances in atom optics. Laser Phys., 12,341 (2002).

20. S.V. Petropavlovsky and V.P. Yakovlev, High order Bragg resonances in dis- crete momentum representation: temporal Pendellosung oscillations, 12-th In-ternational Laser Physics Workshop LPHYS'O3, Hamburg, Book of Ab-stracts, 231 (2003).

21. S.V. Petropavlovsky, V.P. Yakovlev, Multiphoton Bragg scattering: Pendell6sung effect for momentum state probabilities. Laser Phys., 14, 111(2004).

22. П.А. Браун, Метод ВКБ для трехчленных рекуррентных соотношений и квазиэнергии ангармонического осциллятора, ТМФ, 37,355 (1978).96

23. P.A. Braun, Discrete semiclassical methods in the theory of Rydberg atoms in external fields, Rev. Mod. Phys., 65,115 (1993)

24. D.O. Chudesnikov, A.V. Tsvetnov, V.P. Yakovlev, The resonance Kapitza- Dirac effect in quantized electromagnetic field. Opt. Commun., 66, 191(1988).

25. D.O. Chudesnikov and V.P. Yakovlev, Bragg scattering on complex potential and formation of supemarrow momentum distribution of atoms in light fields.1.aser Phys., 1,110(1991).

26. A. Buchleitner, D. Delande, Nondispersive electronic wave packets in mul- tiphoton processes, Phys. Rev. Lett., 75,1487 (1995).

27. H. Maeda, T.F. Gallagher, Nondispersing wave packets, Phys. Rev. Lett., 92, 133004(2004).

28. L.G. Hanson, P. Lambpropoulos, Nondispersing wave packets in two-electron atoms: atomic mode locking by loss modulation, Phys. Rev. Lett., 74, 5009(1995).

29. M. Kalinski, J.H. Eberly, J.A. West, C.R. Stroud, Rutherford atom in quan- tum theory, Phys. Rev. A, 67, 032503 (2003).

30. M. Kalinski and J.H. Eberly, New states of hydrogen in circularly polarized electromagnetic field, Phys. Rev. Lett., 77,2420 (1996).

31. J. von Milczewski, G.H.F. Diercksen, and T. Uzer, Computation of Amol'd web for the hydrogen atom in crossed electric and magnetic fields, Phys. Rev.1.ett. 76,2890 (1996).

32. M.A. Efremov, M.V. Fedorov, V.P. Yakovlev, W.P. Schleich, Dynamical suppression of radiative decay via atomic defiection by a standing light wave.1.aser Phys., 13,995(2003).97

33. M.V. Fedorov, M.A. Efremov, V.P. Yakovlev, W.P. Schleich, Dynamics of spontaneous radiation of atoms scattered by a resonance standing light wave,JETP, 97, 522 (2003).

34. R. Stutzle, M. Gobel, I. Mourachko, M. Storzer, M. Oberthaler, M.A. Efre- mov, M.V. Fedorov, V.P. Yakovlev, K.A.H. van Leuween, W.P. Schleich,Observation of nonspreading wave packets in an imaginary potential, Phys.Rev. Lett., 95 110405 (2005).

35. M.V. Berry, D.H.J. O'Dell, Diffraction by volume gratings with imaginary potentials, J. Phys. A: Math. Gen., 31,2093 (1998).

36. A. Turlapov, A. Tonyushkin, T. Sleator, Optical mask for laser-cooled atoms, Phys. Rev. A 68,023408 (2003).

37. R. Arun, I. Sh. Averbukh, T. Pfau, Atom nanolithography with multilayer <'•') l ight masks : particle optics analysis, Phys . Rev . A, 72 , 023417 (2005)

38. S.V. Petropavlovsky, V .P. Yakovlev, M.A. Efremov, M.V. Fedorov , W.P . Schleich, Coherent array of non-spreading a tomic wave packets in absorpt iveoptical potentials. Laser Phys. Lett., 3,31 (2006).

39. M.A. Ефремов, M.B. Федоров, В. Петропавловский, В.П. Яковлев, В.П. Шляйх, Формирование двухмерных нераснлывающихся атомных волно-вых пакетов в поле двух стоячих световых волн. Квантовая электроника,35, 675 (2005).

40. М.А. Ефремов, В. Петропавловский, М.В. Федоров, В.П. Яковлев, щ Влияние эффекта отдачи на формирование нерасплывающихся волно-вых пакетов в мнимом оптическом потенциале, XXIII Съезд по спектро-скопии, Звенигород, Тезисы докладов, 110 (2005).

41. В. Петропавловский, Особенности бездисперсионной динамики полу- открытой атомной системы. Сборник научных трудов Паучная сессияМИФИ 2006,5,181(2006).

42. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория поля, М.: Паука, 1973. ^ 45. Физика квантовой информации, под. ред. Д. Боумейстра, А. Эккерта, А.Цайлингера, М.: Постмаркет, 2002.98

43. J.M. Raimond, M. Brune, S. Haroche, Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity. Rev. Mod. Phys., 73, 565 (2001).

44. W. Tittel, J. Brendel, B. Gisin, T. Herzog, H. Zbinden, N. Gisin, Experimen- tal demonstration of quantum correlations over more than 10 km, Phys. Rev.A, 57, 3229 (1998).

45. D. Bouwmeester J. W. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurter, A. Zeilinger, Experimental quantum teleportation. Nature, 390, 575 (1997).

46. M. Riebe, H. Haffner, C.F. Roofs, W. Hansel, J. Benhelm, G.P.T. Lancaster, T.W. Korber, C. Becher, F. Schmidt-Kaler, D.F.V. James, R. Blatt, Deter-menistic quantum teleportation with atoms. Nature, 429, 734 (2004).

47. M. Brune F. Scmidt-Kaler, A. Maali, J. Dreyer, E. Hagley, J. M. Raimond, S. Haroche, Quantum Rabi oscillations: a direct test of field quntization in a cav-ity, Phys. Rev. Lett., 76,1800 (1996).

48. E. Hagley X. Maitre, G. Nogues, C. Wunderlich, M. Brune, J.M. Raimond, S. Haroche, Generation of Einstein-Podolsky-Rosen pairs of atoms, Phys. Rev.1.ett., 79,1 (1997).

49. B.Julsgaard, A. Kozhekin, and E.S. Polzik, Experimental long-lived entan- glement of two macroscopic objects. Nature 413,400 (2001).

50. Cavity Quantum Electrodynamics. Advances in atomic, molecular and optical physics, edited by P.R. Berman, Academic Press, New York, 1994.

51. Нетронавловский СВ., Тиленин H.M., Яковлев В.Н., Влияние ван-дер- ваальсовского взаимодействия на перенутывание состояний двухатом-ной системы и фотона. Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ2003,5,182(2003).

52. S.V. Petropavlovsky, N.M. Tilenin, V.P. Yakovlev, Entanglement of dipole- dipole interacting atoms with a photon. Laser Phys., 13,1 (2003).99

53. S. Osnaghi, P. Bertet, A. Auffeves, P. Maioli, M. Brune, J.M. Raimond, S. Haroche, Coherent control of an atomic collision in a cavity, Phys. Rev. Lett.,87,037902 (2001).

54. D. Jaksch, J.I. Cirac, P. Zoller, S.L. Rolston, R. Cote and M.D. Lukin, Fast quantum gates for neutral atoms, Phys. Rev. Lett., 85,2208 (2000).

55. T. Opartny, B. Deb, G. Kurizki, Proposal for translational entanglement of di- pole-dipole interacting atoms in optical lattices, Phys. Rev. Lett., 90, 250404(2003).

56. O. Cakir, A.A. Klyachko, and A.S. Shumovsky, Steady-state entanglement of two atoms created by classical driving field, Phys. Rev. A, 71, 034303(2005).

57. Справочник no специальным функциям, под. ред. М. Абрамовица и И. Стиган, М.: Наука, 1979.