Бустовы моды в квантовой теории поля и рождение пар тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

4853

54

Гельфер Евгений Григорьевич

Бустовы моды в квантовой теории поля и рождение пар

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автор:

2 2 СЕН 2011

Москва — 2011

Работа выполнена в Национальной исследовательском ядерном университете «МИФИ»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Нарожный Николай Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Никишов Анатолий Ильич

(Физический институт РАН)

доктор физико-математических наук, профессор Попов Владимир Степанович (Институт теоретической и экспериментальной физики)

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Защита состоится 5 октября 2011 года в 18 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212,130.06 при Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ» .но адресу: 115409, г. Москва, Каширское шоссе, 31, тел. (495)323-95-26 ;

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЯУ МИФИ. Автореферат разослал L ' сентября 2011 г.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенном печатью организации, по адресу НИЯУ МИФИ на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор ' В.П.Яковлев

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы исследований. Как хорошо известно, нелинейный характер квантовой электродинамики (КЭД) начинает проявляться б полях с напряженностью порядка характерного для КЭД значения = тп2сг^/\е\1г — 1.32 ■ 101бВ/см, которое в лабораторных условиях пока не достигнуто. Поэтому исследование нелинейной КЭД долгое время интересовало только теоретиков, а ее экспериментальная проверка могла быть осуществлена только в экспериментах по почти лобовому столкновению электронов и фотонов высокой энергии с относительно слабым лазерным импульсом [1]. В этом случае условие Е ~ Ея оказывалось выполненным в системе отсчета, в которой налетающая частица покоится (для фотона в системе отсчета, в которой его энергия имеет порядок тес2).

Однако, для наблюдения нелинейных вакуумных эффектов, таких как рождение внешним полем электрон-позитронных пар из вакуума, необходимо иметь поле с напряженностью Е ~ Ез в лабораторной системе. Основные надежды на получение столь сильных полей в настоящее время связаны с развитием лазерных технологий. Рекордная на сегодняшний день интенсивность лазерного импульса составляет / ¡а 2 • 1022Вт/см2 [2]. Это еще значительно меньше, чем интенсивность, соответствующая характерной КЭД напряженности /я = {~Е23 = 4.6 ■ 1029 Вт/см2. Однако, в процессе реализации сейчас находятся проекты ЕЫ [3] и ШРЕ11 [4], па которых планируется достичь интенсивности порядка 1026_28Вт/см2. Оказалось [5,6], что при такой интенсивности эффект рождения пар уже может наблюдаться, так что исследование эффекта рождения пар внешним полем становится весьма актуальной задачей и с точки зрения эксперимента.

Для решения задач КЭД в присутствии сильного поля, как правило, используется картина Фарри, в которой взаимодействие заряженных частиц с полем излучения учитывается по теории возмущений, а с внешним полем точно. Последнее достигается за счет использования точных решений решений уравнений Дирака или Клейна-Фока-Гордона (КФГ) в соответствующем поле. Найти такие решения удается в том случае, если уравнение обладает симметриями, позволяющими разделить переменные. Полученные таким образом решения являются собственными функциями генераторов соответствующих симметрий и нумеруются собственными значениями этих генераторов. Как правило, используемые в КЭД сильного поля точные решения являются собственными функциями линейных комбинаций генераторов пространственных и временных трансляций, или пространственных вращений, и соответственно нумеруются значениями компонент 4-импульса, или момен-

та импульса. В частности, задача о рождении пар постоянным электрическим полем была детально исследована с использованием решений такого типа [7,8]. Тем не менее, группа изометрий пространства Минковского (группа Пуанкаре) помимо уже названных преобразований включает лоренцевы повороты - бусты.

Вустовая симметрия достаточно редко используется для квантования поля. Прежде всего, это связано с тем, что генератор буста не коммутирует с гамильтонианом, и поэтому бустовое квантовое число и энергия не могут входить ни в какой полный набор наблюдаемых величин одновременно. Впервые бустовы моды массивного скалярного поля обсуждались В. Унру в работе [9], хотя явный их вид приведен не был. Затем свойства скалярных бустовых мод изучались в целом ряде работ, см. [10-13]. В частности, два очень важных их свойства были установлены в работе [13]. Во-первых, было показано, что нулевая бустова мода свободного массивного скалярного поля с точностью до постоянного множителя совпадает с положительно частотной функцией Вайтмана. А во-вторых, бустова мода на поверхности светового конуса имеет особенность в виде ¿-функции от бустового квантового числа. Свойства фермионных бустовых мод изучены гораздо хуже.

Хотя бустовы моды редко используются в качестве базиса для квантования поля, они могут быть крайне полезны для квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, или в случае, если однородность пространства Минковского (ПМ) по времени и/или пространству нарушена присутствием внешнего классического поля. В этих случаях бустовая симметрия может оказаться единственной для квантованного поля. Примерами такой ситуации являются дилатонная [14] и обобщенная дилатонная [15] гравитация в двух измерениях, а также двумерная метрика Шварцшильда [16]. Здесь же можно упомянуть продольное хромоэлектрическое поле, возникающее при столкновении тяжелых ионов [17).

Актуальность исследования бустовых мод определяется еще одним обстоятельством. Использование комбинаций бустовых мод, называемых модами Унру, для квантования массивного скалярного поля служит обоснованием существования так называемого "эффекта Унру" [9]. В работах Н.Б. На-рожного с соавторами, см., например, [13], была продемонстрирована ошибочность квантования Унру в ПМ для скалярного поля. Однако, в последнее время в литературе постоянно появляются предложения по экспериментальной проверке "эффекта Унру"при взаимодействии электронов с интенсивными ультракороткими электромагнитными импульсами, а также о реализации на его основе запутанных состояний как бозонов, так и фермионов. Поэтому рассмотрение задачи Унру для фермионных полей не только принципиально

важно, но и своевременно.

В последнее время появился еще один подход к изучению эффекта рождения нар во внешнем поле, см., например, [18] и приведенные там ссылки, который основан на уравнениях, подобных кинетическим уравнениям, широко применяющимся в физике плазмы и других неравновесных задачах. Следуя авторам этих работ, будем называть такие уравнения квантовыми кинетическими уравнениями (ККУ). Среди очевидных преимуществ ККУ следует отметить простоту их использования в численных расчетах, а также возможность естественного учета обратной реакции рожденных пар на внешнее поле [19]. С другой стороны, существует также ряд недостатков такого подхода. Например, ограниченность только однородными внешними полями, кажущаяся калибровочная неинвариантность, трудности, возникающие при попытке найти аналитическое решение даже в тех случаях, когда оно может быть получено другими методами и, как мы покажем ниже, нетривиальность интерпретации физического смысла основных величин, входящих в ККУ. Тем не менее очевидно, что синтез различных подходов может быть очень полезен для дальнейшего развития теории.

Цель работы состоит в:

1. Построении бустовых мод свободного фермионного поля (как массивного, так и безмассового) и исследовании их свойств как обобщенных функций координат и бустового квантового числа.

2. Анализе квантования Унру для фермионного поля.

3. Построении полных наборов щ и оШ; бустовых мод для массивных скалярных частиц, находящихся во внешнем постоянном и однородном электрическом поле, вычислении количества частиц с определенным значением бустового квантового числа, рождаемых полем из вакуума в каждой моде, и полного числа рожденных частиц

4. Развитии формализма квантового кинетического уравнения и установлении соответствия этого метода другим подходам к задачам о рождении пар внешним полем.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые

1. Представлен метод получения полных наборов решений свободных уравнений Клейна-Фока-Гордона и Дирака из двухточечной функции Вайт-мана.

2. Построены бустовы моды свободных массивного и бсзмассового ферми-онных полей и проанализированы из свойства как обобщенных функций координат и бустового квантового числа.

3. Показано, что в фермионном случае исключение любой моды из полного набора бустовых мод делает этот набор неполным, из чего следует некорректность квантования Унру фермионного поля в ПМ, и отсутствие "эффекта Унру" для фермионов.

4. Построены бустовы in и out моды скалярных частиц, находящихся во внешнем постоянном однородном электрическом поле, и вычислено количество частиц с определенным значением бустового квантового числа, рождаемых полем из вакуума.

5. Показана эквивалентность метода квантового кинетического уравнения другим подходам к задаче о рождении пар внешним полем и впервые получено точное решение квантового кинетического уравнения для фермионов в случае постоянного внешнего электрического поля.

Практическая ценность работы.

Развитый в первой и третьей главах диссертации формализм бустового квантования может быть использован для решения фундаментальной задачи об испарении черных дыр (эффект Хокинга) в рамках дилатонной теории гравитации.

На базе критического анализа квантования Унру, представленного во второй главе диссертации, показана принципиальная несостоятельность предлагающихся в последнее время экспериментов по проверке "эффекта Унру", или реализации на его основе перепутанных состояний.

Наконец, рассмотренный в четвертой главе метод квантового кинетического уравнения может применяться для численного решения задач о рождении пар во внешнем переменном во времени электрическом поле или для учета обратной реакции рожденных частиц и античастиц на порождающее пары поле. В частности, это может быть использовано для описания экспериментов, которые планируется поставить на строящихся в данный момент лазерных установках высокой интенсивности ELI и HiPER.

Положения, которые выносятся на защиту.

1. Новый метод построения полных наборов решений свободных уравнений Клейна-Фока-Гордона и Дирака, основанный на использовании функции Вайтмана.

2. Построение бустовых мод свободного фермиошюго поля и доказательство того, что на световом конусе они являются дельта-функциями в комплексной плоскости бустового квантового числа.

3. Недопустимость исключения какой-либо моды из полного набора бустовых мод фермиошюго поля и вывод о некорректности квантования Унру в пространстве Минковского в фермионном случае. Доказательство того, что это утверждение остается верным и для сглаженных бустовых мод.

4. Построение полного набора бустовых мод уравнения Клейна-Фока-Гордона во внешнем постоянном однородном электрическом поле, а также вычисление количества частиц, характеризующихся определенным значением бустового квантового числа, рождаемых внешним полем из вакуума в каждой моде, и полного числа рожденных частиц.

5. Доказательство эквивалентности метода квантового кинетического уравнения другим походам к задаче о рождении пар внешним полем в вакууме. Явное решение ККУ в постоянном электрическом поле.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на конференциях Научная сессия МИФИ 2006 и Научная сессия МИФИ - 2011 и на семинарах кафедры Теоретической ядерной физики НИЯУ МИФИ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 статьи в реферируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК, 1 статья в архиве электронных препринтов и 2 работы в сборниках трудов конференций (список в конце автореферата).

Степень обоснованности полученных результатов достаточно высока, поскольку исследования опирались общепризнанные методы квантовой теории поля. Достоверность новых подходов, развитых в диссертации, подтверждается согласием со старыми подходами для одних и тех же задач.

Личный вклад автора. В диссертации представлены только те результаты, в получение которых автор внес существенный вклад.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и четырех приложений, изложена на 111 страницах, включая 14 рисунков, 1 таблицу и 121 наименование цитируемой литературы.

2 Содержание работы

Поскольку лоренцево вращение выделяет в пространстве Мииковского двумерную плоскость, мы обсуждаем специфические свойства бустового квантования в главах 1-3 на примере двумерного пространства-времени. Переход к четырем измерениям в скалярном случае осуществляется заменой

m!4m2+¿

где рх сохраняющийся поперечный к направлению поля импульс.

Во введении обоснована актуальность проводимых в работе исследований, сформулированы основные задачи диссертационной работы, приведен обзор литературы по теме диссертации, изложена ее структура.

В первой главе получены бустовы моды свободных полей и исследованы их свойства. Для построения бустовых мод используются положительно и отрицательно частотные функции Вайтмана скалярного А^\х) и фермионного полей. Функции Вайтмана свободных полей полностью определяются (с точностью до постоянного множителя) трансляционной и лоренц инвариантностью теории. В диссертации показано, что зная функции Вайтмана и используя симметрию поля можно построить любой полный набор положительно и отрицательно частотных решений уравнений КФГ и Дирака.

Действительно, функции Вайтмана Д^(х-а) и S^^-a), а — {а0,«1}, со сдвинутыми аргументами, так же как и Д^х) и ¿"^'(ж), являются решением уравнений КФГ и Дирака соответственно. Множество функций с различными а представляет собой переполненный набор, поскольку эти функции нумеруются двумя независимыми параметрами а0, а1. Тем не менее, через них можно выразить любой полный набор положительно частотных решений Fa(x). Например, для скалярных частиц можно написать

ВД = J &г/в(а)Д<+>(® - а). (1)

В силу того, что набор Л^(х-а) является переполненным, коэффициенты /о(а) нельзя определить однозначно. Для того, чтобы это сделать, необходимо наложить на коэффициенты а0, а1 некоторые ограничения, которые следует выбирать исходя из соображений симметрии. Так, если положить а0 = 0 и потребовать, чтобы функции Fa(х) были собственными функциями генератора пространственных трансляций (оператора импульса), то формула (1) сводится к плоским волнам. А если выбрать а отвечающим некоторой орбите группы Лоренца а2 = а°2 — а12 = const и потребовать, чтобы F„(х) были собственными функциями оператора буста

BK = i{zdt + tdzi (2)

к бустовым модам. Таким образом в работе получены бустовы моды для массивного скалярного, массивного и безмассового фермионных нолей. В частности, ортонормированный набор бустовых мод для массивного фермионного поля, которые нумеруются значениями квантового числа к (собственными значениями оператора буста), имеет вид

00

(3)

Бустовы моды скалярного поля в начале координат, х = 0, с точностью до числового множителя представляют собой дельта-функцию Дирака от бу-стового квантового числа к [13]. Нетрудно видеть, что в фермионном случае функции (3) также являются не обычными, а обобщенными, причем устроены они существенно более сложно, чем в скалярном случае. Поэтому смысл имеют функционалы вида

ос

3(±>(М = {¿кф^Шк). (4)

—оо

Такие функционалы естественно возникают, например, при вычислении матричных элементов оператора поля. В диссертации строго доказано, что основные функции ()(к) принадлежат классу аналитических в полосе

-1/2-е <1тк< 1/2 +е, б > 0. (5)

и убывают по крайней мере как «Г2 при |к| -> оо. Это означает, что путь интегрирования в (4) можно деформировать в пределах полосы (5).

Рассмотрим функционал (4) в вершине светового конуса х = 0. Сдвинув контур интегрирования для верхней компоненты на г/2 вверх, а для нижней компоненты на г/2 вниз, получим

(6)

Этот результат означает, что фермионные бустовы в вершине светового конуса являются дельта-функциями комплексного аргумента (ср. с [20])

<7)

где

00

У с1к8(к т г/2)Ь(к) = &(±»/2). (8)

Во второй главе анализируется квантование Унру для фсрмиоипого поля. В [13] было показано, что схема квантования Унру предполагает исключение бустовой моды, отвечающей значению к = О, из полного набора бустовых мод. Другими словами, интегралы по всем значениям к (например, (4), (8)) заменяются на интегралы в смысле главного значения. На первый взгляд, точка к — 0 в фермионном случае не является чем-то выделенной, поскольку особенности (7) расположены вк = ±г/2. На самом же деле, в отличие от скалярного случая [13], из спектра не может бьггь исключена ни одна точка, а не только к = 0. Такая процедура является безболезненной только для полей вне светового конуса х± = t ± z — 0.

Действительно, рассмотрим интеграл

/ а—д оо\

ud{±)(h, 0) = lim I I + J\ dn 4=)(0)Í)(k.) . (9)

Voo a+á /

Для вычисления верхней компоненты этого выражения рассмотрим контур С, изображенный на Рис. 1. Интегралы по верхней прямой Im«; = 1/2 + е' и по вертикальным отрезкам Re к —> ±оо равны нулю, а интегралы по косым отрезкам, очевидно, взаимно компенсируются. Таким образом, верхняя компонента ^^'(f^O) сводится к интегралу

(«о

сг

по незамкнутой окружности C¿ радиуса е' с центром в точке к = г/2. Это выражение может быть вычислено в пределе <5/е' <С 1. В итоге получаем

Аналогичный результат получается и для нижней компоненты (9).

Из (11) очевидно следует, что результат вычисления ^Sup'Cl 0) существенно зависит от порядка переходов к пределам 5 -> 0 и а —>• 0. Порядок а —»• 0, 6 0 означает, что от "^(М) (Ю)

мы возвращаемся обратно к функционалу 3^(^,0) (4). Неудивительно, что в этом случае выражение (11) воспроизводит (6). Обратный порядок <5 —> 0,<т —» 0, отвечающий вычислению функционала (10), приводит к бессмысленному выражению. Это означает, что в фермионном случае недопустимо выбрасывание любой точки из интеграла по действительной оси к. Другими словами, набор бустовых мод (3)

. Im/s

¡/2 + к

Рис. 1: Контур С.

уже не является полным после исключения из спектра одной единственной

произвольной точки.

Более наглядно это можно проиллюстрировать следующим рассуждением. Поскольку дельта-функция комплексного аргумента является аналитической обобщенной функцией, она может быть представлена рядом1 [20]

Л(к-»/ 2) = ¿(K°~J/2)>)(K-Ko). (12)

n=0

Но в то же время для (9) имеем

/ а—$ оо\ /а~<5 оо\

(/+1)<м*-imK)=¿;;/2)n /+/jdKíW(«-«o)ij(«)=

VÍ ai/ "=0 V» a+i/

íf)(i/2), Ko^a [о, Ко = a'

(13)

т.е. в зависимости от выбора произвольной точки к0 можно получить различные результаты для значения функционала (13). Таким образом, этот функционал, а следовательно, и матричные элементы оператора фермионно-го поля и функции Вайтмана в представлении Унру являются бессмысленными выражениями. Из интеграла (8) нельзя выкалывать никакую точку к,

в частности, точку 0.

Для устранения некорректности квантования Унру необходимо сделать набор бустовых мод несингулярным. Поскольку их особенности сосредоточены на световом конусе, набор бустовых мод без может быть полон только в ПМ без светового конуса (четыре несвязанных сектора ПМ). Во

"Гонкий вопрос сходимости ряда подробно рассмотрен в диссертации.

всем пространстве Минковского совокупность правых и левых мод Унру не полна, а значит квантование Упру не может привести к последовательной квантовой теории. В этом смысле наши выводы согласуются с результатами анализа квантования Унру в бозонном случае [13].

Поскольку левое и правое пространства Риндлера в случае исключения из : ПМ светового конуса становятся абсолютно независимыми, то из мод Унру невозможно конструировать перепутанные состояния и рассматривать вопросы квантовых сообщений между риндлеровским и инерциальным наблюдателями. Такие задачи следует формулировать и решать в рамках стандартной квантовой теории поля в пространстве Минковского.

То же самое касается и эффектов взаимодействия релятивистских электронов с интенсивными лазерными пучками. В частности, предложенное в работах [21] в качестве "подписи эффекта Унру" излучение электроном в сильном лазерном поле пар скореллированных друг с другом фотонов было ранее предсказано и изучено стандартными методами, например, в работе [22], и в действительности не имеет к "эффекту Унру" никакого отношения.

В третьей главе рассматривается рождение скалярных пар с определенным значением бустового квантового числа во внешнем постоянном однородном электрическом поле Е. Бустовая симметрия позволяет получить решения уравнения КФГ во внешнем ноле

— + ^-х+х--еЕВк + т^фк(х) = 0 (14)

в каждом из четырех секторов ПМ по-отделыюсти (см. Рис. 2). Однако для того, чтобы получить последовательную квантовую теорию поля, необходимо построить моды, отвечающие частицам и античастицам2 в глобально определенных in [t —— оо) и out (t —> оо) областях пространства Минковского.

Классифицировать решения на положительно и отрицательно частотные помогает анализ классических траекторий бустовых частиц и античастиц в электрическом поле, изображенных на Рис. 3 и 4. За е обозначена величина

е=1 (15>

Видно, что в in и out областях прошлого и будущего секторов присутствуют как частицы, так и античастицы. Поскольку поле сносит частицы вправо, а античастицы влево, в in и out областях правого сектора вообще нет античастиц, но зато есть падающий и уходящий потоки частиц, которым

2Мы будем называть их положительно и отрицательно частотными модами соответственно.

Рис. 2: Разбиение пространства Минковского ца правый (R), левый (L), прошлый (Р) и будущий (F) секторы. Штриховкой обозначены in п out области, Т -> оо.

Рис 3: Траектории бустовых частиц: а) 2ек >16) 2ек < 1. Классические точки поворота показаны штриховой линией. Стрелками указано направление движения частиц.

соответствуют два линейно независимых решения уравнения (14). В левом секторе, соответственно, есть падающий и уходящий потоки античастиц. Это подтверждается анализом вкладов найденных в каждом секторе решений в нормировку

{Фк, Фк>) = г J dz(ipldt^ - icEz-tfrprj). (16)

Так, в прошлом и будущем секторах ПМ решения, отвечающие частицам и античастицам, дают, соответственно, положительные и отрицательные вклады в нормировку. Падающий поток частиц в правом секторе дает конечный положительный вклад при вычислении нормировки в in области (при t —> —оо) и бесконечно малый, но тоже положительный вклад в out области

Рис 4: Траектории бустовых античастиц: а) 2ек < -1 б) 2ек > -1. Классические точки поворота показаны штриховой линией. Стрелками указано направление движения античастиц.

(4 оо). Уходящий поток наоборот дает бесконечно малый вклад в т. области и конечный в отИ. Аналогично дело обстоит с падающим и уходящим потоками античастиц в левом секторе, однако вклады в нормировку там отрицательные.

Для того, чтобы построить полный набор бустовых мод, надо связать полученные и классифицированные в разных секторах решения, а для этого надо научиться продолжать их через световой конус х± — 0. Для этого существуют, вообще говоря, два способа. Первый использует подстановку

-х± -»х±е*к, х± -ж±е~'\ (17)

а второй

-х± х±е~(7Г, х± —х±е™. (18)

Отметим, что в свободном случае, рассмотренном в главе 1, бустовы моды тоже могут быть получены подобным образом, однако там задача значительно проще, потому что требуется продолжать всегда только одним способом: (17) для частиц и (18) для античастиц. В данной ситуации, из-за рождения пар, приходится строить продолжение, являющееся некоторой комбинацией (17) и (18). Оно строится из следующих соображений:

1. В н1 области положительно (отрицательно) частотные моды в прошлом секторе представляют собой решения, отвечающие частицам (античастицам) и не должны содержать падающие потоки античастиц (частиц) в 1 (й) секторах. В oi.it области все аналогично с точностью до замены прошлого сектора на будущий и падающих потоков на уходящие.

2. Преобразование Боголюбова от in мод к out модам должно быть одним и тем же во всех четырех секторах ПМ.

Послс определения глобальных положительно и отрицательно частотных in и out мод становится возможным вычисление коэффициентов ак и 0К преобразования Боголюбова

= = + (19)

где irbK, "Ък, ""Ък, ""'б* - операторы уничтожения частиц и античастиц в in и out областях ПМ. Для числа пар с определенным значением бустового квантового числа к, рождаемых полем из вакуума, можем получить

NK =< 0mr'bIOT"M0m >=< ОтГ&,.Ч-к|01Г1 >= 1/3^(0) = е?<5(0), (20)

т.е. распределение количества рожденных пар не зависит от квантового числа, как и в [7]. Значение для полного числа рожденных пар совпадает тем, что было получено в [7], т.е. не зависит от выбора квантового числа, характеризующего пары. Это подтверждает самосогласованность полученных результатов.

На основе предложенного подхода возможно, по-видимому, перейти к решению различных задач, в которых внешнее поле обладает бустовой симметрией. К таким задачам, в частности, относятся рождение пар при столкновении.тяжелых ионов и эффект Хокинга в дилатонной теории гравитации.

В четвертой главе рассмотрен метод квантового кинетического уравнения в применении к задаче о рождении пар из вакуума внешним однородным, но нестационарным электрическим полем. Для удобства и для введения обозначений в начале главы приведен краткий вывод ККУ для простой модельной задачи - параметрического возбуждения одномерного квантового осциллятора с меняющейся во времени частотой ui(t) [23].

Рассмотрим зависящие от времени операторы

a{t) = {u>{t)Q + iPW{t), a)(t) = {u(t)Q - iP) Ф(4), (21)

где Q и Р - операторы координаты и импульса осциллятора (пользуемся гейзенберговской картиной), a $(t) - квазиклассическое решение осцилля-торного уравнения Q + ш2(t)Q = 0. Если теперь ввести оператор "числа возбуждений" N(t) — a^(t)a(t) , то для среднего значения этого оператора 7\f(t) в данном квантовом состоянии осциллятора можно получить кинетическое уравнение

t

AT(i) = ||y/rfi'^|y[l + W)]cos2(0(i)-e(i')), (22)

-00

(

где = Jш{1) (И. В диссертации показано, что точное решение ККУ (22) с

может быть выражено через точное положительно частотное решение Ф(4) уравнения

Ф + ш2(4)Ф = 0. (23).

Если осциллятор в начальный момент времени находился в состоянии |п), то

Щ) - п + +]»(')!' - "(')(! + 2п). т

ККУ для скалярного поля имеет тот же вид (22) [18], что и для осциллятора, причем

ш(*) = л/тг2 + б2, я- = Рх + еА(г), е2 = Рх + т2, (25)

где А({) - векторный потенциал поля, направленный вдоль оси г. Величина ,Л/*(0 теперь определяется, как Л/"р(<) = (0|а|,ар|0) = (0|Ь* Ьр|0), где ар({) и 6Р(<) - операторы уничтожения для частиц3 и античастиц соответственно, и имеет смысл "мгновенного среднего числа частиц" (или пар).

Квантовое кинетическое уравнение для фермионного случая имеет вид [24]

-00

х сов [2(0(0-6(0)1- (26)

Введя "аномальное среднее" Ур(<) = е_24врО(0|ар6р|0), это уравнение можно записать в виде системы (мы опустили спиновый индекс и индекс р, поскольку коэффициенты в уравнении от них не зависят)

У(0 = -2М«)У + ^(1-2Л0. (28)

В фермионном случае, в отличие от скалярного, сведение решения уравнений (27), (28) к решению уравнения Дирака во внешнем поле, несколько менее тривиально, прежде всего, из-за другого "статистического веса" множителя 1 — 2Л/" в правой части уравнения. Тем не менее, если известно точное решение уравнения Дирака во внешнем однородном поле, которое имеет вид

3В данной главе заряд частицы принят за —с, а заряд античастицы за е

Рис. 5: Число заполнения Л/" (слева) и модуль "аномального среднего" V (справа) для скалярного (точечная линия) и фермионного (сплошная линия) полей в зависимости от безразмерного времени —£ = \/ёЕ(Ь — рг/еЕ) для е = 0.4. Штриховые линии отвечают ассимптотическим значениям при (+оо.

ДО, г) = (2тг)-3/2Ф^)(г) егрги±, где 7°73и± — ±«± , а функции Ф^ являются решениями уравнения

Ф(±) + \uj\t) ± *еЛ(*)]фФ = 0, (29)

то из него можно получить точные решения уравнений (27), (28)

т = 0 / >2|ф(±)12 + |Ф(±)12

¿иуш — тт)

Т^(Ф(±,ФС±)*-Ф(±)Ф(±)*)}, (30)

У(£) = -¿{ш21ф(±)12 - |Ф(±)Р

Тга;(Ф(±)Ф(±)* + Ф(±)Ф(±)*)}- (31)

Применим этот метод к частному случаю постоянного поля Л^) = —ЕЬ. Точные решения уравнений КФГ и Дирака во внешнем поле для этого случая уже были получены ранее в [7] и в главе 2 данной диссертации. Зависимость функций Я и |У| от времени в случае как скалярного, так и фермионного полей показана на рисунках 5 и 6 для £ = еЕ/с2, — 0.4 (напряженность электрического поля меньше критической) и е = 10 (напряженность электрического поля больше критической) соответственно. Начальное состояние всегда предполагается вакуумным. Видно, что в обоих случаях Л/*(£) при £ —> —оо стремятся к нулевому значению, что соответствует выбранному нами начальному условию, а при £ —> +оо выходят на некоторые постоянные асимптотические значения. Эти асимптотики - Л/"(+оо) = е-« (как для

-4

Рис. 6'. Число заполнения Я (слева) и модуль "аномального среднего" V (справа) для скалярного (точечная линия) и фермионного (сплошная линия) полей в зависимости от безразмерного времени = /еЕ^-рг/еЕ) для е = 10. Штриховые линии отвечают ассимптотическим значениям при Ь —> +оо.

бозонов, так и для фермионов) и |У(+оо)| = ± е"7)1/2 (для бозонов и

фермионов соответственно), как и полное число частиц, которое можно получить проинтегрировав по всем импульсам и просуммировав по значениям спина, находятся в согласии с результатами, полученными с помощью других подходов.

Следует отметить, что полученные зависимости не монотонные, а сопровождаются осцилляцкями в некоторой переходной области в районе точки I = рг/еЕ шириной Дt ~ 1 /у/ёШё, совпадающей с "длиной когерентности" (или временем формирования) [7] процесса рождения пар. Эти колебания нельзя считать отражением реального увеличения количества рожденных пар, поскольку само понятие частиц и античастиц в переходной области не может быть строго определено. Величина N характеризует одновременно как реальные частицы, так и вакуумные возмущения, и не существует способа извлечь из нее информацию только о частицах. Это означает, что, вопреки утверждениям, сделанным в некоторых других работах, процесс рождения пар не может быть разрешен на временных и пространственных масштабах, меньших длины когерентности.

3 Основные результаты и выводы работы

• Представлен новый метод построения полных наборов решений свободных уравнений Клейна-Фока-Гордона и Дирака, основанный на использовании функции Вайтмана.

• Построены наборы бустовых мод свободных фермионных массивного и безмассового полей и проанализированы их свойства. Показано, что в фермиошюм случае бустовы моды, как функции бустового квантового числа, обладают очень необычными особенностями на световом конусе: они представляют собой дельта-функции комплексного аргумента. Для этих обобщенных функций определен класс основных функций, т.е. вид допустимых волновых пакетов бустовых частиц.

• Проанализировано квантование Унру для случая ферштопного поля и показано, что, как и в скалярном случае, процедура квантования Унру предполагает исключение нулевой моды из полного набора бустовых мод. Установлено, что выбрасывание любой (а не только нулевой, в отличие от скалярного случая) бустовой моды приводит к бессмысленным выражениям для оператора поля и функций Вайтмана. Из этого, в частности, следует некорректность квантования Упру для свободного ферми-онного поля в пространстве Минковского и отсутствие "эффекта Унру" для фермиоиов. Это утверждение остается верным и при рассмотрении сглаженных бустовых мод. На основании этих соображений сделан вывод о принципиальной несостоятельности предлагающихся в последнее время экспериментов по проверке "эффекта Унру" и реализации на его основе перепутанных состояний.

• Впервые найдены полные наборы in и out решений уравнения Клейна-Фока-Гордона во внешнем постоянном однородном электрическом поле, являющихся собственными функциями оператора буста. Вычислено количество частиц, характеризующихся определенным значением бустового квантового числа, рождаемых внешним полем из вакуума в каждой моде. Показано, что полное число рожденных частиц не зависит от выбора квантового числа.

• Развит новый подход к задачам о рождении пар во внешнем поле, основанный на методе квантового кинетического уравнения (ККУ) и продемонстрирована эквивалентность метода ККУ другим походам к этой задаче. Для фермионного поля это сделано впервые. Получены явные решения ККУ в постоянном электрическом поле.

Публикации автора по теме диссертации

1. Мур В. Д., Нарожный Н. Б., Федотов А. М., Гельфер Е. Г. Проблема Унру для фермионов в двумерном пространстве-времени// Сборник научных трудов «Научная Сессия МИФИ-2006» - 2006. - Т. 5, С. 173-175.

2. Федотов А. М., Нарожный Н. В., Мур В. Д. и Гельфер Б. Г. О неполноте фермионных модУнру в пространстве Минковского// Письма в ЖЭТФ. - 2009. - Т. 89. - С. 449-453.

3. Fedotov А. М., Gelfer Е. G., Korolev К. Yu. and Smolyansky S. A. Kinetic equation approach to pair production by a time-dependent electric field// Phys. Rev. D. - 2011. - Vol. 83. - 025011.

4. Гельфер E. Г., Мур В, Д., Нарожный Н. В., Федотов А. М. О рождении бустовых пар постоянным электрическим полем// ЖЭТФ. — 2011. — Т. 140. - Вып. 5. - С. 1-15.

5. Гельфер Е. Г., Федотов А. М., Мур В. Д., Нарожный Н. Б. Квантование на бустовых модах скалярного и фермионного полей// Сборник научных трудов «Научная Сессия МИФИ-2011» - 2011. - Т. 2, С. 171.

6. Gelfer Е. G., Fedotov А. М., Mur V. D., Narozhny N. В. Boost modes for а massive fermion field. arXiv:1107.0881 [hep-th] (2011).

Цитируемая литература

[1] Studies of nonlinear QED in collisions of 46.6 GeV electrons with intense laser pulses / C. Bamber, S. J. Boege, T. Koffas, T. Kotseroglou, A. C. Melissinos, D. D. Meyerhofer, D. A. Reis et al. // Phys. Rev. D. - Oct 1999. - Vol. 60, no. 9. - P. 092004.

[2] Ultra-high intensity- 300-TW laser at 0.1 Hz repetition rate / V. Yanovsky, V. Chvykov, G. Kalinchenko, P. Rousseau, T. Planchon, T. Matsuoka, A. Maksimchuk et al. // Opt. Express. 2008. - Vol. 16, no. 3. - Pp. 2109-2114.

[3] Extreme Light Infrastructure: Report on the Grand Challenges Meeting, 27-28 April 2009, Paris / Ed. by G. Korn, P. Antici. - Paris, 2009.

[4] Dunne M. A high-power laser fusion facility for euiope // Nature Phys. — 2006. — Vol. 2. — Pp. 2-5.

[5] Narozhny N. В., Bvlanov S. S., Миг V. D., Popov V. S. e+e~-pair production by a focused laser pulse in vacuum // Physics Letters A. 2004. Vol. 330, no. 1 2. Pp. 1 C.

[6] Bvlanov S. S., Миг V. D., Narozhny N. В., Nees J., Popov V. S. Multiple colliding electromagnetic pulses: A way to lower the threshold of e+e— pair production from vacuum // Phys. Rev. Lett. — 2010. - Vol. 104, no. 22. - P. 220404.

[7J Никишов А. И. Образование пар постоянным внешним полем // ЖЭТФ. — 1969. —Т. 57.— С. 1210 - 1216.

[8] Никишов А. И., Нарожный Н. Б. Простейшие процессы в электрическом поле, порождающем пары // Ядерная Физика. — 1970. — Т. 11. — С. 1072-1077.

[9] Unmh W. G. Notes on black-hole evaporation // Phys. Rev. D. — 1976. — Vol. 14, no. 4. — Pp. 870-892.

[10] SoBfl M; Mailer В., Greincr W. Dirac particles in Rindler space // Phys. Rev. D.— 1980,— Vol. 22, no. 8,- Pp. 1935-1937.

[11] Никишов А. #., Ритус В. И. Процессы, вызванные заряженной частицей в электрическом поле и концепция тепловой бани Упру // ЖЭТФ. — 1988. — Т. 94. — С. 31.

[12] Gerlach U. Я. Minkowski Bessel modes // Phys. Rev. D. - 1988. - Vol. 38, no. 2. - Pp. 514-521.

[13] Narozhny N. В., Fcdatov A. M., Karriakov В. M., Миг V. D., Belinskii V. A Boundary conditions in the Unruh problem // Phys. Rev. D. 2001. Vol. G5, no. 2. P. 025004.

[14] Grvmiller D., Kummer W., Vassilevich D. V. Dilaton gravity in two dimensions IJ Physics Reports. - 2002. - Vol. 369, no. 4. - Pp. 327 - 430.

[15] Katanaev M. O., Kummer W., Liebl H. Geometric interpretation and classification of global solutions in generalized dilaton gravity // Phys. Rev. D. — 1996. — Vol. 53, no. 10. — Pp. 56095618.

[16] Christensen S. M., Fulling S. A. Trace anomalies and the Hawking effect // Phys. Rev. D.— Apr 1977. Vol. 15, no. 8. Pp. 2088 2104.

|17] Tvchin K. Pair production by boost-invariant fields in comoving coordinates /[ J. Phys. G. — 2007. - Vol. 34. - P. 2633.

[18] Pervushin V., Skokov V. V., Reichel A., Smolyansky S. A., Prozorkevich A. The kinetic description of vacuum particle creation in the oscillator representation // lnt.J-Mod.Phys. A. — 2005. — Vol. 20. - P. 5689.

[19] Bloch J. G. R., Mizemy V. A., Prozorkevich A. V., Roberts C. D., Schmidt S. M., Smolyansky S. A., Vinnik D. V. Pair creation: Back reactions and damping // Phys. Rev. D. — 1999,— Vol. CO, no. 11.-P. 116011.

[20] Гелыранд И. M., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над шши. — Москва: ФМ, 1955. — Т. 1.

[21] Schiitzhold R., Schaller G., ffabs О. Signatures of the Unruh effect from electrons accelerated by ultrastroiig laser fields // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol. 97, no. 12. - P. 121302.

[22] Motozov D. A., Ritus V. I. Elastic electron scattering in au intense field and two-photou emission // Nucl Phys. B. - 1975. - Vol. 86,110. 2. - Pp. 309-332.

[23] Popov V. S., Trusov M. A. Generating functions and sum rules for quantum oscillator // Physics Letters A. - 2009. - Vol. 373, no. 22. - Pp. 1925 - 1927.

[24] Schmidt S., Blaschke D., Ropke G., Smolyansky S. A., Prozorkevich A. V. A quantum kinetic equation for particle production in the Schwinger mechanism // Int.J.Mod.Phys. E.— 1998.— Vol. 7.-Pp. 709-722.

Подписано в печать: 01.09.2011

Заказ № 5840 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 wvvw.autoreferat.ru

Введение

1 Бустовы моды свободных полей.

1.1 Бозонное поле. '.

1.2 Массивное фермионное поле

1.3 Безмассовос фермионное поле

1.4 Заключительные замечания к главе 1.

2 Анализ квантования Унру в случае фермионного поля.

2.1 Квантование Унру и исключение нулевой бустовой моды.

2.2 Функция Вайтмана и квантование Унру на языке сглаженных бустовых мод.

2.3 Заключительные замечания к главе 2.

3 Бустовы моды в электрическом поле.

3.1 Траектории бустовых частиц.

3.2 Решения уравнения КФГ во внешнем поле.

3.3 Бустовы in и out моды в электрическом поле.

3.4 Коэффициенты Боголюбова.

3.5 Предельный переход к случаю свободного поля

3.6 Рождение бустовых пар.

3.7 Заключительные замечания к главе 3.

4 Метод квантового кинетического уравнения

4.1 Квантовое кинетическое уравнение: иллюстрация с помощью модели одномерного осциллятора.

4.2 Рождение скалярных и фермионных пар.

4.3 Заключительные замечания к главе 4.

Задача о рождении в вакууме электрон-позитронных пар внешним сильным электромагнитным полем впервые была рассмотрена в 1931 году футером (1] в контексте парадокса Кледна [2) в 19зе году Геязенберг и

Эйлер в работе [3] вычислили эффективный лагранжиан постоянного электромагнитного поля и попрали, которые вноепт в уравнения Максвелла поляризация вакуума. В этих же работах была впервые введена критическая напряженность поля квантовой электродинамики (КЭД), те такого поля, которое совершает работу, равную энергии покоя электрона, „а расстоянии комптоновской длины волны а)

Здесь ше п -е - масса и заряд электрона, с - скорость света, А - постоянная Планка. в работе [4) Швиигер повторил результат Гейзенберга и Эйлера [3] Для эффективного Лагра„жиа„а с помощью оригинаЛьного метода для вычисления матричных элементов оператора эволюции и вывел выражение Для функции Грина электрона в интенсивном внешнем поле. Также в [4] Для случая постоянного электрического поля была вычислена вероятность перехода вакуум-вакуум, т.е. вероятность того, что не родится ни одна ча

Т/Г/ ^-21111 БеГГ

2) где 8.„ - эффективное действие, после чего эффект рождения пар внеш-полем часто называв эффектом Швингера. Отметим, что широко распространенное убеждение в том, что величина 21ш5е// является вероятностью рождения пары в единице объема в единицу времени, верно только

В случае слабых полей Е <с Е3. i i

Рис. 1. Рост интенсивности лазерных систем. Пунктиром показаны лазеры высокой мощности, которые строятся в настоящее время. Использован Рис. 1 из [5].

Вероятность рождения пары w очень резко зависит от напряженности поля, w ~ [4]. Поскольку напряженность критического поля (1) составляет Es = 1.3 • 1016 В/см, а соответствующая ей интенсивность поля равна Is = f¿E2s = 4.6 • 1029 Вт/см2, до последнего времени вопрос о рождении пар электромагнитным полем в вакууме вызывал сугубо теоретический интерес, так как возможности лазерных систем не позволяли задумываться об экспериментальной проверке этого эффекта. Однако бурный прогресс, связанный, прежде всего, с технологией Chirped Pulse Amplification (CPA) [6] и развитой на ее основе Optical Parametric Chirped Pulse Amplification (ОРСРА) [7], см. Рис. 1, дает возможность достичь ин-тенсивностей всего на несколько порядков меньших критической Is в течение ближайших лет [5,8]. В настоящее время уже получена интенсивность / = 2 ■ 1022 Вт/ см [9], и строятся две установки, на которых эффект рождения пар из вакуума в принципе может быть проверен экспериментально: High Power laser for Energy Research (HiPER) в Великобритании [10,11] и

Extreme Light Infrastructure (ELI) [12,13], которая будет располагаться в Чехии, Венгрии и Румынии.

Пиковая интенсивность этих лазеров должна будет достигать I — 2Q26-28 2т/см2. Это все еще значительно меньше критической интенсивности Is. Тем не менее в [14-16] было показано, что рождение пар одним сфокусированным циркулярно поляризованным лазерным импульсным можно экспериментально наблюдать уже при интенсивности порядка I = 1028 Вт/см2. Это объясняется очень большим значением предэкспоненциально-го множителя в формуле для числа рожденных пар, который имеет порядок отношения 4-объема фокусной области лазерного импульса, в которой рождаются пары, к комптоновскому 4-объему, т.е. (Л/Лс)4, где Л - длина волны лазера, Хс - комптоновская длина волны электрона. Более того, было показано, что использование нескольких сталкивающихся импульсов в определенной геометрии позволяет еще существеннее снизить пороговую интенсивность, необходимую для рождения пар. Так, для двух сталкивающихся импульсов пороговая интенсивность составляет порядка 1(2) — Ю26 Вт/см2 [15], а для 24 импульсов пороговая интенсивность снижается до /(24) — 5 • 1025 Вт/см2 [17]. Такие значения интенсивности должны быть достигнуты на HiPER и ELI в течение нескольких лет.

Кроме того, в [18] было показано, что единственная рожденная лазерным импульсом из вакуума пара при достаточной интенсивности импульса инициирует квантовоэлектродинамический каскад рождений новых пар. Это связано с тем, что возникшие электрон и позитрон очень быстро ускоряются лазерным полем до релятивистских энергий и излучают жесткие фотоны, которые рождают новые пары. Этот эффект уже наблюдался в эксперименте на Стенфордском линейном ускорителе [19]. Однако случаи рождения там были единичными, и каскад не развивался из-за недостаточной интенсивности лазерного поля. При интенсивности порядка I ~ 2.7 • 1026 Вт/см2 суммарная энергия частиц в каскаде становится сравнимой с энергией лазерного поля, что приводит к разрушению импульса [18]. Получается, что эффект рождения пар ограничивает максимально возможную напряженность фокусированного лазерного импульса, **

-^лЛГЫ 15 ния порядка критической напряженности Е$ не могут быть достЛ1 принципе1 [16].

Таким образом, изучение вопросов, связанных с рождением ^ тенсивным внешним полем представляется сейчас очень актуальна

Среди основных подходов к изучению эффекта рождения пар отметить

1. Вычисление мнимой части действия [3,4], упоминавшееся вЫ^6

251

2. Построение квантовой теории во внешнем классическом поле I,

3. Квазиклассические методы, которые рассматривают рожден Я^ внешним полем как туннелирование через потенциальный оар^*^^ риной Аг = 2у/т2 + р'^/еЕ, где р^ - импульс частицы в попер* ^ полю направлении [26-29],

4. Метод квантового кинетического уравнения [30-34].

Обзоры подходов 1-3 и некоторых других содержатся, в частности, -о нографиях [35-37], подход 4 начал развиваться сравнительно настоящей диссертации мы сосредоточимся преимущественно на ш& ^ 2 и 4

Как известно, процедура квантования в квантовой теории поля ^ся ит в разложении оператора поля по полному набору мод, которые явл^-^^^ решениями соответствующих классических полевых уравнений -Фока-Гордона (КФГ) для бозонов и Дирака для фермионов. Поэтому г точных решений этих уравнений является одной из центральных про квантовой теории во внешнем классическом поле. Для решения дифф циальных уравнений в частных производных часто помогает использов свойств симметрии физической системы, которая описывается этими нениями. Согласно теореме Нетер [38], каждому непрерывно зависяцХ?

1Интересно отметить, что это утверждение было сделано еще Нильсом Бором, см., например главы IV в книге [20]. от одного параметра преобразованию, оставляющему инвариантным действие физической системы, соответствует закон сохранения.Оказывается возможным так выбрать переменные в уравнении, что изменение одной из них является преобразованием симметрии. Поскольку генератор преобразования симметрии коммутирует с дифференциальным оператором уравнения, можно отделить соответствующую переменную. Если существуют другие генераторы симмстрий уравнения, которые, к тому же, коммутируют друг с другом, задача может быть сведена к решению обыкновенного дифференциального уравнения второй степени. Полученные решения нумеруются собственными значениями генераторов симметрий, и их набор является полным.

Все наиболее важные и широко используемые решения релятивистских квантовых уравнений во внешних классических полях были получены именно таким образом. В качестве примеров можно привести кулоново поле, см., например, [39], постоянное магнитное [39] и электрическое [21-23] поля, поле плоской электромагнитной волны [40], а также некоторые другие более сложные конфигурации внешнего поля [22,41].

В частности, в однородном, т.е. не зависящем от координат и времени, электрическом поле Е, направленном вдоль оси с дифференциальным оператором К,Е уравнения2 КФГ

КЕф{х) - 0, 1СЕ = (дц + геА^д» + 1еА») + ш2, (3) где Ац - 4-потенциал поля, /х = 0,1,2,3, {ж^} = коммутируют операторы Рг = -г<9~ + еАх - еЕЬ и Рь = 1дь - еАь - еЕг [21,22].

Квантование скалярного и фермионного полей во внешнем однородном электрическом поле в базисе собственных функций этих операторов и их линейных комбинаций Рь = — Рг было развито в работах [21-25]. Было показано, что несмотря на то, что поле присутствует во всем пространстве-времени Минковского (ПМ), пары с определенными значениями квантовых чисел рождаются только в ограниченных хотя бы по

23десь и далее, как правило, используются единицы Н = с = 1.

Рис. 2. Разбиение пространства Минковского на правый (R), левый (L), прошлый (Р) и будущий (F) секторы. Штриховкой обозначены in и out области, Т -» оо. одной из координат областях. Поэтому становится возможным определить in (t -оо) и out (t -оо) области ПМ (см. Рис. 2), в которых рождения пар не происходит, и решения уравнения (3) могут быть однозначно классифицированы на описывающие частицы и античастицы. Таким образом, в in и out областях может быть построена последовательная квантовая теория поля. Коэффициенты преобразования Боголюбова между in и out операторами рождения и уничтожения позволяют вычислить число пар, рождаемых электрическим полем из вакуума в каждой моде, и полное число частиц, рожденных в единице объема в единице времени [23,25].

Во всех упомянутых выше случаях [21-23, 39-41] решения уравнений КФГ и Дирака во внешних полях являлись собственными функциями линейных комбинаций генераторов временных и пространственных сдвигов или пространственных поворотов и нумеровались значениями 4-импульса или момента импульса соответственно. Между тем, с оператором Ке Клейна-Гордона-Фока во внешнем однородном электрическом поле коммутирует также любой из генераторов лорецевых поворотов, в частности генератор буста вдоль оси z

Вк: = -ге^х11ди = i(tdz + zdt), fj.,u = 0,3, £0з = = 1- (4)

Бустовая симметрия достаточно редко используется для квантования поля. Прежде всего, это связано с тем, что генератор буста не коммутирует с гамильтонианом, и поэтому бустовое квантовое число и энергия не могут входить ни в какой полный набор наблюдаемых величин одновременно. Тем не менее, бустовы моды могут быть крайне полезны для квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени или в случае, если однородность ПМ по времени и/или пространству нарушена присутствием внешнего классического поля. В этих случаях бустова симметрия может оказаться единственной для квантованного поля. Примерами такой ситуации являются дилатонная [42] и обобщенная дилатонная [43] гравитация в двух измерениях, а также двумерная метрика Шварцшильда. Здесь же можно упомянуть продольное хромоэлектрическое поле, возникающее при столкновении тяжелых ионов [44].

Таким образом, метод бустового квантования, сформулированный для случая достаточно хорошо изученного внешнего электрического поля, может быть применен в задачах дилатонной гравитации и квантовой хромодинамики. В частности, аналогом эффекта Хокинга [45] в дилатонной теории гравитации [46] и рождения частиц при столкновении тяжелых ионов [44] является рассмотренный в данной работе эффект рождения бу-стовых пар во внешнем электрическом поле.

Различные попытки квантования в базисе бустовых мод во внешнем однородном электрическом поле предпринимались и ранее [44,47-50], однако их нельзя признать вполне удовлетворительными, поскольку последовательной квантовой теории поля на базе бустовых мод, основанной на методе вторичного квантования, не было построено до сих пор. В работах [44, 47, 49, 50] квантование проводилось в каждом из четырех секторов ПМ (см. Рис. 2) по отдельности, т.е. каждый сектор рассматривался как замкнутое пространство, после чего делались достаточно произвольные предположения о связях между секторами. В таком подходе не может быть и речи о глобальных in и out вакуумных состояниях и вторичном квантовании. Более того, различные авторы получили разные результаты при подсчете количества рожденных бустовых пар (ср. [47,49,50] и [44]). называемый «эффект» Унру, который состоит в следующем: пусть произвольный детектор движется с постоянным собственным ускорением а в вакууме пространства Минковского. Согласно Унру [51], в этом случае детектор будет вести себя так, как если бы находился в термостате с определенной зависящей только от его ускорения температурой, называемой температурой Девиса-Унру гр аП (5) где П - постоянная Планка, с - скорость света, кв - постоянная Больц-мана. Другими словами, с точки зрения ускоренного детектора вакуумное состояние ПМ является смешанным состоянием, описываемым тепловой матрицей плотности с температурой (5). Заметим, что в самом по себе отклике ускоренного в вакууме им дь-тектора нет ничего необычного, поскольку его ускоряет некоторая внешняя сила, которая может возбуждать в том числе и его внутренние степени свободы. Суть «эффекта» Унру заключается именно в его универсальности, независимости от устройства детектора.

Эффект» Унру вызывает значительный интерес у теоретиков в том числе и потому, что в ряде работ [35,36,51,58-66] этот эффект связывают с эффектом Хокинга [45], считая рассмотрение Унру моделью испарения вечной черной дыры с температурой Бекенштейна-Хокинга

Т - дП ^

Твн - 2-кскв" где д - поверхностная гравитация черной дыры, аналог ускорения свободного падения на поверхности Земли.

Вечная черная дыра является частью максимально расширенного многообразия Крускала [67], которое описывается метрикой оо < й, V < оо. где М - масса черной дыры. Диаграмма Пенроуза для максимально расширенного двумерного пространства-времени Крускала изображена на Рисунке За. Для наблюдателя, находящегося в области I область III является черной дырой, область IV белой дырой, а область II параллельной вселенной. Линии й = 0, г; = 0 являются горизонтом событий. Существование горизонта делает невозможным сообщение между вселенными I и II. Жирные горизонтальные линии изображают точку г = 0 в прошлом и будущем-В этой точке метрика Крускала имеет особенность. г=О г=0 а) б)

Рис. 3. Диаграммы Пенроуза максимально расширенного пространства Крускала (а) и пространства Минковского (б).

Аналогия между «эффектом» Унру и эффектом Хокинга для вечной черной дыры строится на том основании, что часть метрики (7), содержащая йййю, везде, кроме точки г = 0, конформно эквивалентна метрике двумерного пространства Минковского в2 = сгж+с*с, (8) где х± = £ ± 2 координаты светового конуса, и диаграмма Пенроуза пространства Крускала на рисунке За топологически эквивалентна диаграмме Пенроуза пространства Минковского, изображенной на Рисунке 36- Поскольку равноускоренный наблюдатель все время своего движения находится в правом секторе ПМ, то для него в рамках этой аналогии будущий сектор является черной дырой, прошлый белой дырой, а левый недоступной параллельной вселенной. При этом световой конус (штриховые лй" сунке За. Для наблюдателя, находящегося в области I область III является черной дырой, область IV белой дырой, а область II параллельной вселенной. Линии й = О, V = 0 являются горизонтом событий. Существование горизонта делает невозможным сообщение между вселенными I и II. Жирные горизонтальные линии изображают точку г = 0 в прошлом и будущем. В этой точке метрика Крускала имеет особенность. г=0 а) г=0 б)

Рис. 3. Диаграммы Пенроуза максимально расширенного пространства Крускала (а) и пространства Минковского (б).

Аналогия между «эффектом» Унру и эффектом Хокинга для вечной черной дыры строится на том основании, что часть метрики (7), содержащая ййв.ь, везде, кроме точки г = 0, конформно эквивалентна метрике двумерного пространства Минковского йв2 = ¿х+(1х-, (8) где х± = £ ± £ координаты светового конуса, и диаграмма Пенроуза пространства Крускала на рисунке За топологически эквивалентна диаграмме Пенроуза пространства Минковского, изображенной на Рисунке 36. Поскольку равноускоренный наблюдатель все время своего движения находится в правом секторе ПМ, то для него в рамках этой аналогии будущий сектор является черной дырой, прошлый белой дырой, а левый недоступной параллельной вселенной. При этом световой конус (штриховые линии на Рис. 36) играет роль горизонта событий (подробнее см., например, в [61]).

Следует отметить, что связь между эффектами Унру и Хокинга не является бесспорной. Прежде всего, пространство Минковского, в отличие от пространства Крускала не содержит сингулярностей. Поэтому наличие или отсутствие эффекта Унру не может служить доказательством наличия или отсутствия эффекта Хокинга.

Существует два основных подхода к рассмотрению эффекта Унру. В первом из них изучаются различные модели детекторов и анализируется отклик этих детекторов в случае, когда они движутся равноускоренно [51, 68], см. также обзоры [64, 69]. Второй подход, основанный на построении специальной схемы квантования свободного поля в ПМ, был впервые представлен в оригинальной работе Унру [51]. Поскольку универсальность в поведении равноускоренного детектора не может быть связана с его структурой или способом ускорения, а должна являться следствием свойств квантованного поля в ПМ, мы сосредоточимся на анализе второго подхода. Отметим однако, что в [70] был приведен пример равноускоренного детектора, который не подчиняется универсальному поведению, предсказанному Унру.

Рис. 4. Траектории равноускоренного детектора в ПМ.

Траектория равномерно ускоренного классического детектора полностью лежит в правом секторе пространства Минковского, и множество всех траекторий целиком покрывает этот сектор (см. Рис. 4). Следовательно, такому детектору доступна информация только о событиях, происходящих в П-секторе. В 1973 году Фуллинг рассмотрел [71] задачу о квантовании скалярного поля в пространстве Риндлера4(ПР) . Он получил решения уравнения КФГ в ПР, и вакуум ПМ оказался смешанным состоянием в базисе этих решений. Однако, делать из этого вывод о том, что детектор представляет вакуумное состояние ПМ, как смешанное, неправильно, т.к. квантования свободного поля в ПМ и ПР унитарно неэквивалентны. В частности, решения Фуллинга соответствуют полю в ПМ, имеющему источники на световом конусе.

Чтобы обойти эту трудность, в 1976 году Унру рассмотрел [51] аналитические продолжения решений Фуллинга во все пространство Минковского и получил набор бустовых мод свободного скалярного поля. Квантование в базисе бустовых мод (см, например, [54]) является корректным квантованием свободного поля в пространстве Минковского и не имеет существенных отличий от стандартного квантования в скалярного поля в ПМ, |0М) - вакуум ПМ.

Для описания поведения детектора Унру предложил рассмотреть такие линейные комбинации Я(х) и Ь(х) положительно и отрицательно частотных бустовых мод, что Л моды равны 0 в левом секторе ПМ, а в правом совпадают с модами Фуллинга, а Ь моды равны 0 в правом секторе. Свободное скалярное поле было проквантовано в базисе Я и Ь функций, и были введены соответствующие им операторы рождения и уничтожения правых (г) и левых (I) частиц. Затем, усреднив по степеням свободы, пространством Риндлера называется пространство, состоящее из внутренности правого сектора пространства Минковского.

9) оо о, [№] = о, ьк |0м) = о базисе плоских волн. Здесь и Ък - операторы рождения и уничтожения соответствующим I частицам (они недоступны для равномерно ускоренного наблюдателя) и отождествив г частицы с частицами Фуллинга, Унру пришел к выводу, что вакуумному состоянию ПМ соответствует матрица плотности г частиц с температурой (5).

Описанная процедура квантования Унру содержит, однако, серьезные ошибки, подробно рассмотренные в [54,72,73], см. также дискуссию [74,75]. Прежде всего, разделение полного набора бустовых мод на правые и левые исключает из рассмотрения бустову моду с параметром к, равным нулю (нулевую бустову моду). Однако, как было отмечено выше, на световом конусе скалярные бустовы моды имеют по переменной к особенность вида ¿(к). Поэтому исключение нулевой бустовой моды, соответствующее переходу к интегралу в смысле главного значения в интегралах по к, критически влияет на свойства квантованного поля. В частности, в этом случае главное значение интеграла (9) равно 0. Более того, поскольку функция Вайтмана в скалярном случае пропорциональна нулевой бустовой моде [54], исключение нулевой бустовой моды также приводит к обращению в 0 функции Вайтмана. Однако, функция Вайтмана играет определяющую роль в квантовой теории, так как в силу теоремы реконструкции [76] с ее помощью можно построить все остальные величины, которые фигурируют в теории.

Кроме того, в [54] было показано, что для того, чтобы возможно было отождествить правые частицы Унру и частицы Фуллинга, необходимо выполнение условия

Фм(0, 0) = 0. (Ю)

Ясно, что поле, на которое наложено граничное условие в вершине светового конуса, уже не является свободным в ПМ.

На основе этих соображений в [54,72,73] было показано, что в случае скалярного поля схема квантования Унру приводит к квантовой теории поля в двойном риндлеровском клине, т.е. объединении правого и левого секторов в разбиении пространства Минковского световым конусом, см. Рис. 2. Это означает, что квантование Унру приводит лишь к независимым правым и левым частицам Фуллинга-Унру, так что о «термолизации» вакуума говорить не приходится.

Однако, в последнее время в связи с бурным развитием лазерной техники появляются предложения по экспериментальной проверке [77-82] «эффекта» Унру при взаимодействии электронов с интенсивными ультракороткими электромагнитными импульсами, а также о реализации на его основе запутанных состояний как бозонов, так и фермионов [83-87]. Поэтому рассмотрение задачи Унру в контексте фермионных полей не только принципиально важно, но и своевременно.

Поскольку лоренцево вращение выделяет в пространстве Минковско-го двумерную плоскость, мы обсуждаем специфические свойства бустового квантования в главах 1-3 на примере 1+1-мерного пространства-времени. При этом удобно использовать координаты светового фронта х± = г±х. С11)

Переход к четырем измерениям в скалярном случае осуществляется заменой т2 —У т2 +р\,

12) где р^ - сохраняющийся поперечный к направлению поля импульс. Всюду ниже, если не оговорено обратное, используются единицы Н = с — кв =

В последнее время появился еще один подход к изучению эффекта рождения пар во внешнем поле [30-34], который основан на уравнениях, подобных кинетическим уравнениям, широко применяющихся в физике плазмы и других неравновесных задачах. Следуя авторам этих работ, будем называть такие уравнения квантовыми кинетическими уравнениями (ККУ) • Среди очевидных преимуществ ККУ следует отметить удобство для применения в численных расчетах, а также возможность естественного учета обратной реакции рожденных пар на внешнее поле [88]. С другой стороны, существует также ряд недостатков такого подхода, например, ограниченность только однородными внешними полями, кажущуюся калибровочную неинвариантность, невозможность найти аналитическое решение даже в тех случаях, когда оно может быть получено другими методами и, как мы покажем ниже, нетривиальноеть интерпретации физического смысла основных величин, входящих в ККУ. Тем не менее очевидно, что синтез различных подходов может быть очень полезен для дальнейшего развития теории.

ККУ были строго получены из первых принципов квантовой электродинамики (КЭД) в частном случае однородного зависящего от времени электрического поля, рождающего как бозонныс [32,34], так и ферм ионные [31,33] пары. Следовательно, этот подход должен быть эквивалентен всем остальным точным методам, перечисленным выше. Тем не менее, Д° сих пор не предпринималось усилий доказать эту эквивалентность, за исключением недавней работы [89]. Более того, следует отметить попытки противопоставить результаты, полученные с помощью ККУ, результатам, полученным с помощью более традиционных методов, перечисленных выше [90], а также работу [91], в которой с помощью S-матричного поДХоДа выводится другой вид правой части ККУ. Что касается работы [89], несМ°т' ря на то, что в ней впервые была показана вышеупомянутая эквиваЛеНТ~ ность, строгое доказательство было проведено только в случае скаляр!*01"0 поля, причем в форме, не лучшим образом подходящей для практичесКОго применения (например, для проверки численных алгоритмов на известных точных решениях).

Данная диссертация посвящена теоретическому исследованию cj?°P"" мализма бустовых мод в квантовой теории поля и задач о рождении г13!? внешним полем из вакуума.

В связи с этим в ней рассмотрены следующие вопросы:

1. Построение бустовых мод свободного фермионного поля (как м^ссИВ ного, так и безмассового) и исследование их свойств как обобщенных функций координат и бустового квантового числа.

2. Поиск бустовых in и out мод скалярного поля, находящегося во внешнем постоянном однородном электрическом поле. Построение тсван-тования в этом базисе в in и out областях и вычисление коль^'с-э:еСТва бустовых частиц, рождаемых полем из вакуума в каждой моде и полного числа рожденных частиц

3. Критический анализ квантования Унру для фермионного поля.

4. Развитие формализма квантового кинетического уравнения и установление соответствия этого метода другим подходам к задачам о рождении пар внешним полем.

Диссертация состоит из четырех глав.

Первая глава посвящена получению и изучению свойств бустовых мод свободных полей. Для построения бустовых мод использовались функции Вайтмана. Положительно и отрицательно частотные функции Вайтма-на свободных полей полностью определяются (с точностью до постоянного множителя) трансляционной и лоренц инвариантностью теории [92]. Верно и обратное: из функций Вайтмана, используя симметрию поля, можно построить любой полный набор положительно и отрицательно частотных решений уравнений КФГ и Дирака. Это является прямым следствием теоремы реконструкции Вайтмана [76, 93]. В §1.1, основываясь на трансляционной и лоренц инвариантности ПМ, были построены плоские волны и бустовы моды свободного бозонного поля из функции Вайтмана. В §1.2 и §1.3 таким же образом строятся, соответственно, бустовы моды массивного и безмассового фермионного поля. Поскольку эти моды являются обобщенными функциями бустового квантового числа, для них был изучен класс основных функций, т.е. допустимых волновых пакетов, на которых они определены. В конце §1.3 явно проведен предельных переход т 0 от массивных бустовых мод к безмассовым. В §1.4 приведены заключительные замечания к первой главе.

Во второй главе анализируется квантование Унру для фермионного поля. В §2.1 показано, что, как и в случае скалярного поля [54], квантование Унру предполагает исключение из полного набора бустовых мод нулевой моды. В связи с этим исследуется вопрос о допустимости исключение какой-либо точки из полного набора бустовых мод с учетом того, что, как было показано в первой главе, бустовы моды являются обобщенными функциями переменной к. В §2.2 рассматривается вопрос о том, как влияет сглаживание бустовых мод по пространственной и временной переменной на результаты, полученные в §2.1 и дается качественное объяснение особой роли бустовой нулевой моды в скалярном случае. В §?? приведены заключительные замечания ко второй главе.

В третьей главе строятся бустовы in и out моды скалярного поля, находящегося во внешнем однородном постоянным электрическом поле и вычисляется количество пар частиц и античастиц с определенным значением бустового квантового числа, которые рождаются полем из вакуума. Бустовая симметрия позволяет получить решения уравнения КФГ во внешнем поле в каждом из четырех секторов ГШ по-отдельности. Однако для построения мод необходимо еще правильно классифицировать их на положительно и отрицательно частотные в in и out областях, а также вывести правила продолжения через световой конус при переходе из одного сектора в другой, которые не совпадают с полученными в свободном случаем [54] из-за рождения пар. Классификация решений на соответствующие частицам и соответствующие античастицам производится по знаку вклада, которые они вносят в нормировку в in и out областях (положительный для частиц и отрицательный для античастиц). А условие, что коэффициенты Боголюбова во всех секторах ПМ должны быть одинаковыми дает систему уравнений, из которой можно получить правила продолжения мод из одного сектора в другой. В §3.1 рассмотрены траектории классических бустовых частиц во внешнем электрическом поле и вычислена квазиклассическая вероятность рождения бустовой пары. В §3.2 представлены бустовые решения уравнения КФГ. В §3.3 построены in и out бустовы моды". В §3-4 найдены коэффициенты Боголюбова и явный вид правил продолжения мод через световой конус. В §3.5 рассмотрен предельный переход к случало свободного поля. В §3.6 вычислены квазиклассическая вероятность рождения бустовой пары, количество пар, рожденных полем из вакуума в каждой моде и полное число рожденных частиц. В §3.7 приведены заключительные замечания к третьей главе. В приложении А вычислена нормировка, а в приложении В приведен явный вид бустовых мод во внешнем поле.

В четвертой главе рассмотрен метод квантового кинетического уравнения в применении к задаче о рождении пар из вакуума внешним однородным, но зависящем от времени электрическим полем. В §4.1 на примере модели параметрического возбуждения одномерного квантового гармонического осциллятора с меняющейся во времени частотой вводятся основные величины и приводится вывод ККУ. Показывается, каким образом может быть получено точное решение ККУ для осциллятора из точного решения уравнения Шредингера. В §4.2 выводится связь точных решений ККУ для бозонов и фермионов с точными решениями уравнений КФГ и Дирака во внешнем поле. В частном случае постоянного электрического поля, когда решения ККУ могут быть получены в явном виде, результаты сравниваются с ответами для числа рожденных пар, полученными другими методами. Также в §4.2 анализируется физический смысл величин, входящих в ККУ. В §4.3 приведены заключительные замечания к четвертой главе. В приложении С приводится явное решение ККУ для осциллятора, а в приложении Б выводится условие нормировки решения уравнения Дирака во внешнем поле.

На защиту автором выносятся следующие положения

1. Новый метод построения полных наборов решений свободных уравнений Клейна-Фока-Гордона и Дирака, основанный на использовании функции Вайтмана.

2. Построение бустовых мод свободного фермионного поля и доказательство того, что на световом / конусе они являются дельта-функциями в комплексной плоскости бустового квантового числа.

3. Недопустимость исключения какой-либо моды из полного набора бустовых мод фермионного поля и вывод о некорректности квантования Унру в пространстве Минковского в фермионном случае. Доказательство того, что это утверждение остается верным и для сглаженных бустовых мод.

4. Построение полного набора бустовых мод уравнения Клейна-Фока-Гордона во внешнем постоянном однородном электрическом поле, а также вычисление количества частиц, характеризующихся определенным значением бустового квантового числа, рождаемых внешним полем из вакуума в каждой моде, и полного числа рожденных частиц.

5. Доказательство эквивалентности метода квантового кинетического уравнения другим походам к задаче о рождении пар внешним полем в вакууме. Явное решение ККУ в постоянном электрическом поле.

Результаты исследований, изложенные в диссертации, опубликованы в ведущих российских и международных научных журналах из списка ВАК (ЖЭТФ, Письма в ЖЭТФ, Physical Review D) [94-96], докладывались на следующих конференциях:

• Научная сессия МИФИ-2006, Москва, Январь 23-27, 2006,

• Научная сессия МИФИ-2011, Москва, Февраль 1-5, 2011, и опубликованы в трудах конференций [97,98].

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Представлен новый метод построения полных наборов решений свободных уравнений Клейна-Фока-Гордона и Дирака, основанный на использовании функции Вайтмана.

2. Построены наборы бустовых мод свободных фермионных массивного и безмассового полей и проанализированы их свойства. Показано, что в фермионном случае бустовы моды, как функции бустового квантового числа, обладают очень необычными особенностями на световом конусе: они представляют собой дельта-функции комплексного аргумента. Для этих обобщенных функций определен класс основных функций, т.е. вид допустимых волновых пакетов бустовых частиц.

3. Проанализировано квантование Унру для случая фермионного поля и показано, что, как и в скалярном случае, процедура квантования Унру предполагает исключение нулевой моды из полного набора бустовых мод. Установлено, что выбрасывание любой (а не только нулевой, в отличие от скалярного случая) бустовой моды приводит к бессмысленным выражениям для оператора поля и функций Вайтма на. Из этого, в частности, следует некорректность квантования Унру для свободного фермионного поля в пространстве Минковского и отсутствие "эффекта Унру" для фермионов. Это утверждение остается верным и при рассмотрении сглаженных бустовых мод. На основании этих соображений сделан вывод о принципиальной несостоятельности предлагающихся в последнее время экспериментов по проверке "эффекта Унру" и реализации на его основе перепутанных состояний.

4. Впервые найдены полные наборы in и out решений уравнения

Клейна-Фока-Гордона во внешнем постоянном однородном электрическом поле, являющихся собственными функциями оператора бу-ста. Вычислено количество частиц, характеризующихся определенным значением бустового квантового числа, рождаемых внешним полем из вакуума в каждой моде. Показано, что полное число рожденных частиц не зависит от выбора квантового числа.

5. Развит новый подход к задачам о рождении пар во внешнем поле, основанный на методе квантового кинетического уравнения (ККУ) и продемонстрирована эквивалентность метода ККУ другим походам к этой задаче. Для фермионного поля это сделано впервые. Получены явные решения ККУ в постоянном электрическом поле.

В диссертации развито несколько подходов к задачам о рождении интенсивным внешним полем пар из вакуума, которые могут быть полезны для дальнейших исследований по квантовой теории поля.

В заключение, я хотел бы выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю Николаю Борисовичу Нарожному, а также Вадиму Давыдовичу Муру и Александру Михайловичу Федотову за плодотворное сотрудничество, постоянный интерес и поддержку в работе.

1. Sauter F. Zum "Kleinschen Paradoxon" // Z. Phys. A Hadrons and Nuclei - 1932. - Vol. 73. - Pp. 547-552.

2. Klein O. Die Reflexion von Elektronen an eimem Potentialsprung nach der Relativistischen Dynamik von Dirac // Z Phys. — 1929. — Vol. 53. — Pp. 157-162.

3. Heisenberg W., Euler H. Folgerungen aus der Diracschen Theorie des Positrons ¡¡Z. Phys.- 1936.- Vol. 98,- Pp. 714-732.

4. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization // Phys. Rev. 1951. - Vol. 82. — Pp. 664-679.

5. Tajima T., Mourou G. Zettawatt-exawatt lasers and their applications in ultrastrong-field physics // Phys. Rev. ST Accel. Beams. — 2002. — Vol. 5, no. 3.- P. 031301.

6. Strickland D., Mourou G. Compression of amplified chirped optical pulses // Optics Communications. — 1985. — Vol. 56, no. 3. — Pp. 219 221.

7. Dubietis A., Jonusauskas G., Piskarskas A. Powerful femtosecond pulse generation by chirped and stretched pulse parametric amplification in bbo crystal // Optics Communications. — 1992. —Vol. 88, no. 4-6.— Pp. 437 -440.

8. Mourou G. A., Tajima T., Bulanov S. V. Optics in the relativistic regime // Rev. Mod. Phys. — 2006. Vol. 78, no. 2. - Pp. 309-371.

9. Ultra-high intensity- 300-tw laser at 0.1 hz repetition rate / V. Yanovsky, V. Chvykov, G. Kalinchenko, P. Rousseau, T. Planchon, T. Matsuoka, A. Maksimchuk et al. // Opt. Express. — 2008.— Vol. 16, no. 3.— Pp. 2109-2114.

10. Dunne M. A high-power laser fusion facility for europe // Nature Phys. — 2006. Vol. 2. - Pp. 2-5.

11. High Power laser for Energy Research.— http://www.hiperlaser.org/index.asp.

12. Extreme Light Infrastructure : Report on the Grand Challenges Meeting, 27-28 April 2009, Paris / Ed. by G. Korn, P. Antici. Paris, 2009.

13. The Extreme Light Infrastructure.— http://www. extreme-light-infrastructure.eu/.

14. Narozhny N. В., Bulanov S. S., Миг V. D., Popov V. S. e+e~-pair production by a focused laser pulse in vacuum // Physics Letters A. — 2004. — Vol. 330, no. 1-2. Pp. 1 - 6.

15. Нарожный H. Б., Буланов С. С., Мур В. Д., Попов В. С. О рождении е+е~-пар сталкивающимися электромагнитными импульсами // Письма в ЖЭТФ. — 2004. — Т. 80. — С. 434.

16. Буланов С. С., Нарожный Н. Б., Мур В. Д., Попов В. С. О рождении электрон-позитронных пар электромагнитными импульсами // ЖЭТФ. 2006. - Т. 125. - С. 14.

17. Bulanov S. S., Миг V. D., Narozhny N. В., Nees J., Popov V. S. Multiple colliding electromagnetic pulses: A way to lower the threshold of e + e— pair production from vacuum // Phys. Rev. Lett — 2010.— Vol. 104, no. 22. — P. 220404.

18. Fedotov A. M., Narozhny N. В., Mourou G., Korn G. Limitations on the attainable intensity of high power lasers // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Vol. 105, no. 8. P. 080402.

19. Positron production in multiphoton light-by-light scattering / D. L. Burke, R. C. Field, G. Horton-Smith, J. E. Spencer, D. Walz, S. C. Berridge, W. M. Bugg et al. // Phys. Rev. Lett 1997. - Vol. 79, no. 9. - Pp. 16261629.

20. Зоммерфелъд А. Строение атома и спектры. — Москва: Гос. Изд. Технико-теоретической литературы, 1956. — Т. 2.

21. Нарожный Н. Б., Никишов А. И. Решения уравнений Клейна Гордона и Дирака для частицы в постоянном электрическом поле и распространяющейся вдоль него плоской электромагнитной волне // ТМФ. - 1976. - Т. 26. - С. 16-33.

22. Никишов А. И. Образование пар постоянным внешним полем // ЖЭТФ. 1969. - Т. 57. - С. 1210 - 1216.

23. Никишов А. И., Нарожный Н. Б. Простейшие процессы в электрическом поле, порождающем пары // Ядерная Физика. — 1970. — Т. 11. — С. 1072-1077.

24. Никишов А. И. Проблемы внешнего поля в квантовой электродинамике // Квантовая электродинамика явлений в интенсивном поле. Сборник трудов ФИАН / Под ред. В. Л. Гинзбурга. — Москва: Наука, 1979, —Т. 111.-С. 152-272.

25. Brezin Е., Itzykson С. Pair production in vacuum by an alternating field // Phys. Rev. D. — 1970. — Vol. 2, no. 7,- Pp. 1191-1199.

26. Попов В. С. Рождение пар е+е~ в переменном внешнем поле // Письма в ЖЭТФ. 1971. - Т. 13. — С. 185.

27. Попов В. С. И ЖЭТФ. 1972. - Т. 34. - С. 709.

28. Попов В. С. О швингеровском механизме рождения электрон-позитронных пар из вакуума полем оптических и рентгеновских лазеров // Письма в ЖЭТФ. 2001. — Т. 74. — С. 151.

29. Rau J. Pair production in the quantum Boltzmann equation // Phys. Rev. D. 1994. - Vol. 50. - Pp. 6911-6916.

30. Kluger Y., Mottola E., Eisenberg J. M. Quantum vlasov equation and its markov limit // Phys. Rev D. — 1998. — Vol. 50.

31. Schmidt S., Blaschke D., Ropke G., Smolyansky S. A., Prozorkevich A. V. A quantum kinetic equation for particle production in the Schwinger mechanism I/ Int. J.Mod.Phys. E.~ 1998.- Vol. 7.- Pp. 709-722.

32. Pervushin V.} Skokov V. V., Reichel A., Smolyansky S. A., Prozorkevich A. The kinetic description of vacuum particle creation in the oscillator representation // Int. J.Mod.Phys. A. — 2005. — Vol. 20. —P. 5689.

33. Greiner W., Muller В., Rafelski J. Quantum Electrodynamics of Strong Fields. — Berlin: Springer-Verlag, 1986.

34. Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. — Москва: Энергоатомиздат, 1988.

35. Фрадкин Е. С., Гитман Д. М., Шварцман Ш. М. Квантовая электродинамика с нестабильным вакуумом. — Москва: Наука, 1991.

36. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — Москва: Гостехиздат, 1957.

37. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика,— Москва: Наука, 1981.

38. Volkov D. М. // Z. Phys. 1935. - Vol. 94. - P. 250.

39. Redmond P. J. Solution of the Klein-Gordon and Dirac equations for a particle with a plane electromagnetic wave and a parallel magnetic field // Journal of Mathematical Physics. — 1965.— Vol. 6, no. 7.— Pp. 11631169.

40. Grumiller D., Kummer W., Vassilevich D. V. Dilaton gravity in two dimensions // Physics Reports. 2002. - Vol. 369, no. 4. - Pp. 327 - 430.

41. Katanaev M. O., Kummer W.} Liebl H. Geometric interpretation and classification of global solutions in generalized dilaton gravity // Phys. Rev. D. — 1996. — Vol. 53, no. 10.-Pp. 5609-5618.

42. Tuchin K. Pair production by boost-invariant fields in comoving coordinates //J. Phys. G. 2007. - Vol. 34. - P. 2633.

43. Hawking S. W. Particle creation by black holes // Commun. Math. Phys. 1975. - Vol. 43. - P. 199.

44. Giddings S. В., Nelson W. M. Quantum emission from two-dimensional black holes // Phys. Rev. D.- 1992.- Vol. 46.- P. 2486.

45. Cooper F., Eisenberg J. M., Kluger Y., Mottola E., Svetitsky B. Particle production in the central rapidity region // Phys. Rev. D.— 1993.— Vol. 48, no. l.-Pp. 190-208.

46. Gabriel С., Spindel P. Quantum charged fields in (1+1) Rindler space // Annals of Physics. 2000. - Vol. 284, no. 2. - Pp. 263 - 335.

47. Berkooz M., Pioline B. Strings in an electric field, and the milne universe // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics.— 2003.— Vol. 2003, no. 11.-P. 007.

48. Narozhny N. В., Миг V. D., Fedotov A. M. Pair creation by homogeneous electric field from the point of view of an accelerated observer // Physics Letters A. 2003. - Vol. 315, no. 3-4. - Pp. 169 - 174.

49. Unruh W. G. Notes on black-hole evaporation // Phys. Rev. D. — 1976. — Vol. 14, no. 4. Pp. 870-892.

50. Никишов А. И., Риту с В. И. Процессы, вызванные заряженной частицей в электрическом поле и концепция тепловой бани Унру // ЖЭТФ. 1988. - Т. 94. — С. 31.

51. Gerlach U. Н. Minkowski bessel modes // Phys. Rev. D. 1988. - Vol. 38, no. 2.-Pp. 514-521.

52. Narozhny N. В., Fedotov A. M., Karnakov В. M., Миг V. D., Belin-skii V. A. Boundary conditions in the Unruh problem // Phys. Rev. D. — 2001. Vol. 65, no. 2. - P. 025004.

53. Soffel M., Mutter В., Greiner W. Dirac particles in Rindler space // Phys. Rev. D.— 1980.— Vol. 22, no. 8,- Pp. 1935-1937.

54. Гелъфанд И. M., Шилов Р. Е. Обобщенные функции и действия над ними, — Москва: ФМ, 1955.— Т. 1.

55. Вайтман А. С. Проблемы релятивистской динамики квантованных полей, — Москва: Наука, 1968.

56. Israel W. Thermo-field dynamics of black holes // Physics Letters A.— 1976. Vol. 57, no. 2. - Pp. 107 - 110.

57. Dowker J. S. Quantum field theory on a cone // Journal of Physics A: Mathematical and General— 1977. — Vol. 10, no. 1, — P. 115.

58. Sciama D. W., Candelas P., Deutsch D. Quantum field theory, horizons and thermodynamics // Adv. Phys. 1981. - Vol. 30. - Pp. 327 - 366.

59. Биррелл H., Девис П. Квантовые поля в искривленном пространстве-времени. — Москва: Мир, 1984.

60. Sewell G. L. Quantum fields on manifolds: PCT and gravitationally induced thermal states // Annals of Physics. — 1982.— Vol. 141, no. 2.— Pp. 201 224.

61. Зельдович Я. Б., Рожанский Л. В., Старобинский А. А. Излучение ускоренного электрона // Письма в ЖЭТФ.— 1986.— Т. 43, № 9.— С. 407.

62. Takagi S. Vacuum noise and stress induced by uniform acceleration // Progr. Theor. Phys. 1986. — Vol. 88. - Pp. 1-142.

63. Гинзбург В. Л., Фролов В. П. Вакуум в однородном гравитационном поле и возбуждение равномерно ускоренного детектора // Успехи физических наук.-— 1987, — Vol. 153, по. 12,— Pp. 633-674.

64. Wald R. М. Quantum Field Theory in Curved Space—Time and Black Hole Thermodynamics. — Chicago: Chicago University Press, 1994.

65. Kruskal M. D. Maximal extension of Schwarzschild manifold // Phys. Rev. 1960. - Vol. 119. - P. 1743.

66. Bumm Б. С. Д. Квантовая гравитация: новый синтез // Общая теория относительности / Под ред. С. Хокинга, В. Израэля. — Москва: Мир, 1983. — С. 296-360.

67. Rosu Н. С. On the estimates to measure Hawking effect and Unruh effect in the laboratory // Int. J. Mod. Phys. D. — 1994. — Vol. 3. — P. 545.

68. Fedotov A. M., Narozhny N. В., Миг V. D., Belinski V. A. An example of a uniformly accelerated particle detector with non-Unruh response // Physics Letters A. — 2002. — Vol. 305, no. 5. — Pp. 211 217.

69. Fulling S. A. Nonuniqueness of canonical field quantization in Riemannian space-time // Phys. Rev. D. — 1973. — Vol. 7, no. 10, — Pp. 2850-2862.

70. Белинский В. А.} Карнаков Б. М., Мур В. Д., Нарожный Н. Б. Существует ли эффект Унру? // Письма в ЖЭТФ. 1997. - Т. 65, № 12.1. C. 861.

71. Fedotov А. М., Миг V. D., Narozhny N. В., Belinskii V. АКаг-nakov В. М. Quantum field aspect of the Unruh problem // Physics Letters A. 1999. - Vol. 254, no. 3-4. - Pp. 126 - 132.

72. Fulling S. A.; Unruh W. G. Comment on "Boundary conditions in the Unruh problem" // Phys. Rev. D. 2004. - Vol. 70, no. 4. - P. 048701.

73. Narozhny N., Fedotov A., Karnakov В., Миг V., Belinskii V. Reply to "comment on 'Boundary conditions in the Unruh problem' " // Phys. Rev.

74. D. 2004. - Vol. 70, no. 4. - P. 048702.

75. Cmpumep P., Вайтман A. PCT, спин, статистика и все такое. — Москва: ФМ, 1966.

76. Chen P., Tajima Т. Testing Unruh radiation with ultraintense lasers // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 83, no. 2. - Pp. 256-259.

77. Ringwald A. Fundamental physics at an X-ray free electron laser. — 2001. arXiv:hep-ph/0112254.

78. Schützhold R., Schaller G., Habs D. Signatures of the Unruh effect from electrons accelerated by ultrastrong laser fields // Phys. Rev. Lett. — 2006. Vol. 97, no. 12. - P. 121302.

79. Schützhold R., Schaller G., Habs D. Tabletop creation of entangled multi-keV photon pairs and the Unruh effect // Phys. Rev. Lett. — 2008.— Vol. 100, no. 9. —P. 091301.

80. Obadia N. Moving detectors in cavities // Phys. Rev. D. — 2007. — Vol. 76, no. 4,- P. 045013.

81. Bell F. On the generation of X-ray photon pairs: A verification of the Unruh effect?- 2007, — arXiv:quant-ph/0809.1505.

82. Fuentes-Schuller I., Mann R. B. Alice falls into a black hole: Entanglement in noninertial frames // Phys. Rev. Lett. — 2005. — Vol. 95, no. 12. — P. 120404.

83. Alsing P. M., Fuentes-Schuller I., Mann R. В., Tessier Т. E. Entanglement of dirac fields in noninertial frames // Phys. Rev. A. — 2006. — Vol. 74, no. 3. P. 032326.

84. Adesso G., Fuentes-Schuller I., Ericsson M. Continuous-variable entanglement sharing in noninertial frames // Phys. Rev. A. — 2007. — Vol. 76, no. 6.-P. 062112.

85. Brddler K. Eavesdropping of quantum communication from a noninertial frame // Phys. Rev. A. — 2007. — Vol. 75, no. 2, — P. 022311.

86. Han M., Olson S. J., Dowling J. P. Generating entangled photons from the vacuum by accelerated measurements: Quantum-information theory and the Unruh-Davies effect // Phys. Rev. A — 2008. —Vol. 78, no. 2.— P. 022302.

87. Bloch J. C. R., Mizerny V. A.} Prozorkevich A. V., Roberts C. D., Schmidt S. M., Smolyansky S. A., Vinnik D. V. Pair creation: Back reactions and damping // Phys. Rev. D. 1999. — Vol. 60, no. 11. — P. 116011.

88. Dumlu С. K. Quantum kinetic approach and the scattering approach to vacuum pair production // Phys. Rev. D. — 2009. — Vol. 79.

89. Hebenstreit F., Alkofer R., Gies H. Pair production beyond the Schwinger formula in time-dependent electric fields // Phys. Rev. D. — 2008. — Vol. 78, no. 6. P. 061701.

90. Tanji N. Dynamical view of pair creation in uniform electric and magnetic fields I/ Annals of Physics. 2009. - Vol. 324, no. 8. - Pp. 1691 - 1736.t/

91. Мост, P. Общая теория квантованных полей. — Москва: Мир, 1967.

92. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — Москва: Наука, 1969.

93. Федотов А. М., Нарожный Н. БМур В., Гельфер Е. О неполноте фермионных мод Унру в пространстве Минковского // Письма вi

94. ЖЭТФ. 2009. - Т. 89. — С. 449-453.

95. Fedotov А. М., Geifer Е. G., Korolev К. Г., Smolyansky S. A. Kinetic equation approach to pair production by a time-dependent electric field // Phys. Rev. D. 2011. - Vol. 83. - P. 025011.

96. Гельфер E. Г., Мур В. Д., Нарожный Н. В., Федотов А. М. О рождении бустовых пар постоянным электрическим полем // ЖЭТФ. — 2011. — № 5.

97. Гельфер Е. Г., Федотов А. М., Мур В. Д., Нарожный Н. Б. Проблема Унру для фермионов в двумерном пространстве-времени // Научная сессия МИФИ 2006. Сборник научных трудов. — Т. 5. — 2006. — С. 174-175.

98. Гельфер Е. Г., Федотов А. М., Мур В. Д., Нарожный Н. Б. Квантование на бустовых модах скалярного и фермионного полей // Научная сессия МИФИ 2011. Сборник научных трудов. — Т. 2. — 2011. — С. 171.

99. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва: ФМ, 1963.

100. Поли Р, Винер Н. Преобразование Фурье в комплексной плоскости. — Москва: Наука, 1964.

101. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. — Москва: Издательство иностранной литературы, 1949.

102. Красников Н. В., Матвеев В. А., Рубаков В. А., Тавхелидзе А. Н.; Токарев В. Ф. Структура основного состояния в двумерной безмассовой квантовой электродинамике // ТМФ. — 1980. — Т. 45,- С. 313-328.

103. Попов В. С. Фсйнмановский метод распутывания операторо. представлений групп // УФН. 2007. — Т. 177. — С. 1319.

104. Popov V. S., Trusov М. A. Generating functions and sum rules tum oscillator // Physics Letters A. — 2009. — Vol. 373, no. 22. -- 1927.

105. Haug H.; Koch S. W. Quantum theory of the optical and electn erties of semiconductors. — Singapore: World Scientific, 2004.

106. Schmidt S., Blaschke D., Röpke G., Prozorkevich A. V.,sky S. A., Toneev V. D. Non-markovian effects in strong-fieldation // Phys. Rev. D. 1999. - Vol. 59, no. 9. - P. 094005.

107. Smolyansky S. A. Observable effects caused by vacuum pair creati* field of high-power optical lasers // Proceedings of SPIE. — Vol.

108. Blaschke D. В., Prozorkevich A. V., Röpke G.; Roberts Schmidt S. M., Shkirmanov D. S., Smolyansky S. A. Dynamical Sc effect and high-intensity lasers. Realising nonperturbative С EPJD. 2009. - Vol. 55, no. 2. - Pp. 341-358.

109. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятив теория. — Москва: Физматлит, 2002.

110. Blaschke D. В., Filatov А. V., Egorova I. A., Prozorkevich2007.

111. Снеддон И. Преобразование Фурье.— Москва: Издательство иностранной литературы, 1955.

112. Crispino L. С. В., Higuchi A., Matsas G. Е. A. The Unruh effect and its applications // Rev. Mod. Phys. 2008. - Vol. 80, no. 3. - Pp. 787-838.

113. Morozov D. A., Ritus V. I. Elastic electron scattering in an intense field and two-photon emission // Nucl. Phys. В. — 1975.— Vol. 86, no. 2.— Pp. 309-332.

114. Фок В. А. Собственное время в классической и квантовой механике // Изв. АН СССР. Серия физ. 1937. - Vol. 4-5. - Pp. 551-568, url =.

115. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Москва: Наука, 1988.

116. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.— Москва: Наука, 1973, — Т. 1.

117. Переломов А. М., Попов В. С., Терентъев М. В. Ионизация атомов в переменном электрическом поле // ЖЭТФ. — 1966. — Т. 50. — С. 1333.

118. Переломов А. М., Попов В. С., Терентъев М. В. Ионизация атомов в переменном электрическом поле // ЖЭТФ. — 1966. — Т. 51. — С. 309.

119. Мур В. Д., Карнаков В., Попов В. Релятивистская версия метода мнимого времени // ЖЭТФ. 1998. — Т. 114. — С. 798.

120. Карнаков Б. М., Мур В. Д., Попов В. С. Релятивистское обобщение теории ионизации Келдыша // ЖЭТФ. — 2007.— Т. 132.— С. 331.

121. Popov V. On feynman method of disentangling of noncommuting operators // Physics Letters A. — 2005. — Vol. 342, no. 4. Pp. 281 - 285.

122. Попов В. С. Фейнмановский метод распутывания некоммутирующих операторов в квантовой механике // ЖЭТФ.— 2005.— Т. 128.— С. 944.

123. Снеддон И. Преобразование Фурье. — Москва: Издательство иностранной литературы, 1955.

124. Crispino L. С. В., Higuchi A., Matsas G. Е. A. The Unruh effect and its applications // Rev. Mod. Phys. 2008. - Vol. 80, no. 3. - Pp. 787-838.

125. Morozov D. A., Ritus V. I. Elastic electron scattering in an intense field and two-photon emission // Nucl. Phys. B. — 1975. — Vol. 86, no. 2. — Pp. 309-332.

126. Фок В. А. Собственное время в классической и квантовой механике // Изв. АН СССР. Серия физ. 1937. - Vol. 4-5. - Pp. 551-568, url =.

127. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля, — Москва: Наука, 1988.

128. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции,— Москва: Наука, 1973. — Т. 1.

129. Переломов А. М., Попов В. С., Терентьев М. В. Ионизация атомов в переменном электрическом поле // ЖЭТФ. — 1966. — Т. 50. — С. 1333.

130. Переломов А. М., Попов В. С., Терентьев М. В. Ионизация атомов в переменном электрическом поле // ЖЭТФ. — 1966. — Т. 51. — С. 309.

131. Мур В. Д., Карнаков В., Попов В. Релятивистская версия метода мнимого времени // ЖЭТФ. — 1998,- Т. 114,— С. 798.

132. Карнаков Б. М., Мур В. Д., Попов В. С. Релятивистское обобщение теории ионизации Келдыша // ЖЭТФ. — 2007. — Т. 132. — С. 331.

133. Popov V. On feynman method of disentangling of noncommuting operators 11 Physics Letters A. — 2005. Vol. 342, no. 4. - Pp. 281 - 285.

134. Попов В. С. Фейнмановский метод распутывания некоммутирующих операторов в квантовой механике // ЖЭТФ. — 2005.— Т. 128.— С. 944.1. П и

135. Popov V. S., Trusov М. A. Generating functions and sum rules for quantum oscillator // Physics Letters A. — 2009. — Vol. 373, no. 22. — Pp. 1925 1927.

136. Haug H., Koch S. W. Quantum theory of the optical and electronic properties of semiconductors. — Singapore: World Scientific, 2004.

137. Schmidt S., Blaschke D., Röpke G., Prozorkevich A. V., Smolyan-sky S. A., Toneev V. D. Non-markovian effects in strong-field pair creation // Phys. Rev. D.— 1999. — Vol. 59, no. 9.- P. 094005.

138. Blaschke D. ВFilatov A. V., Egorova I. A., Prozorkevich A. V., Smolyansky S. A. Observable effects caused by vacuum pair creation in the field of high-power optical lasers // Proceedings of SPIE. — Vol. 6537. — 2007.

139. Blaschke D. В., Prozorkevich A. V., Röpke G., Roberts C. D., Schmidt S. M., Shkirmanov D. S., Smolyansky S. A. Dynamical Schwinger effect and high-intensity lasers. Realising nonperturbative QED // EPJD. 2009. - Vol. 55, no. 2. - Pp. 341-358.

140. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — Москва: Физматлит, 2002.