Частичная и условная устойчивость линейных функционально-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Чудинов Кирилл Михайлович

ЧАСТИЧНАЯ И УСЛОВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01 01 02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Пермь — 2005

Работа выполнена в Пермском государственном техническом университете

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент

Малыгина Вера Владимировна

доктор физико-математических наук, профессор

Смолин Юрий Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Гусаренко Сергей Алексеевич

Уральский государственный им. А. М. Горького

университет

Защита состоится " " 2005 г в ^ч. 00 мин на за-

седании диссертационного совета К 212 188 02 в Пермском государственном техническом университете по адресу- 614000, г. Пермь, Комсомольский пр., 29а, ауд. З/О

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан 9- " ОUTAbf>& 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

fi-

Соколов В. А.

-у

ns¿/

% PO

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Математическое моделирование ряда прикладных задач приводит к функционально-дифференциальным уравнениям (ФДУ), которые содержат в себе как частные случаи обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом и интегро-дифференциальные уравнения. Роль некоторых классов таких уравнений в современной физике, биологии и экономике становится все более значительной, и применение ФДУ, по словам Р Беллмана, „пронизывает все ветви современных наук" Классические результаты теории ФДУ содержатся в монографиях Н. В Азбелева, В. П. Максимова, Л Ф. Рахматуллиной; В Б. Колмановского, В Р. Носова; Н. Н. Красовского; А Д. Мышкиса; Л.Э Эльсгольца, С Б Норкина, зарубежных авторов R Bellman, К. L Cooke; К Gopalsamy, A Halanay; J Hale.

Вопросы асимптотического поведения решений (в частности, устойчивости) занимают одно из центральных мест при изучении ФДУ Авторами эффективных признаков устойчивости ФДУ являются Н. В Азбелев, Л. М. Бе-резанский, В. В. Власов, С. А Гусаренко, Ю. Ф Долгий, А. М Зверкин, М М. Кипнис и М Ю. Вагина, А. И. Кирьянен, В Б Колмановский и В Р. Носов, В. В. Малыгина, 3. Б. Рехлицкий, П. М. Симонов, Ю. Н. Смолин, В. А. Соколов, С. Н Шиманов, Т Amemiya, R. Bellman, К. L. Cooke, К. Gopalsamy, G. Ladas, Т. Yoneyama, J. A. Yorke и др.

Ещё А М.Ляпуновым была сформулирована задача устойчивости относительно части переменных как обобщение задачи устойчивости относительно всех переменных. Сам Ляпунов этой задачей не занимался, а систематические исследования устойчивости относительно части переменных, или частичной устойчивости, начались в 50-х годах прошлого столетия, что было стимулировано потребностями прикладной механики и техники, в частности, ракетно-космической. В В Румянцевым была показана практическая значимость таких исследований, что инициировало появление большого количества работ в СССР и за рубежом Достижения в области частичной устойчивости систематизированы в монографиях В В Румянцева и А С Озиранера (1987) и В И Воротникова (1991). Прикладным аспектам исследований частичной устойчивости посвящена, в В И Воротникова

БИБЛИОТЕКА J

i^jCT.;

и В. В. Румянцева (2001).

Авторы теоретических работ по исследованиям частичной устойчивости до сих пор, как правило, ограничивались рассмотрением систем ОДУ, и даже в случае ФДУ использовали в основном классические методы, оказавшиеся плохо приспособленными к новым задачам и не дающими существенных продвижений. Таким образом, выяснилось, что в силу общности объекта исследование частичной устойчивости ФДУ требует принципиально новых идей и методов.

Условная устойчивость отражает непрерывную зависимость решения уравнения от начальных данных, на изменение которых наложены ограничения. Теоретические результаты исследования условной устойчивости ОДУ до сих пор ограничиваются, в основном, несколькими теоремами существования, задача условной устойчивости ФДУ, видимо, никем не ставилась

Связь частичной и условной устойчивости в литературе не отмечена' исследования этих свойств велись независимо.

Наиболее существенные результаты и их новизна Центральным результатом работы является метод сведения задач частичной и условной устойчивости относительного заданного подпространства определенного класса ФДУ к задаче классической устойчивости уравнений того же класса.

Впервые обнаружена связь между частичной и условной устойчивостью Выяснилось, что эта связь допускает простое описание, и поэтому задачи частичной и условной устойчивости естественно рассматривать вместе. Обобщены на случаи частичной и условной устойчивости теоремы о связи устойчивости относительно начальных данных и относительно правой части Получены критерии частичной и условной устойчивости автономных систем с последействием, выраженные через параметры системы.

Практическая значимость Полученные результаты позволяют исследовать частичную и условную устойчивость важных классов ФДУ. Предложены эффективные методы, позволяющие формулировать критерии частичной и условной устойчивости через параметры исходной задачи. Результаты работы могут быть использованы при решении задач автоматического управления, радиотехники, гидродинамики, экономики, биологии и в других областях науки

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались иа Пермском семинаре по ФДУ (2002-2005 гг), на научной конференции „Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" {Ижевск, 2002 г.), на Воронежской весенней математической школе „Понтрягинские чтения-Х1У" (Воронеж, 2003 г.), на семинаре проф. А Г. Костюченко и проф. В. В. Власова в Московском государственном университете (Москва, 2003 г.), на VI Международном конгрессе по матеметическому моделированию (Н. Новгород, 2004 г.), на семинаре кафердры теоретической механики Уральского государственного университета (Екатеринбург, 2005 г.), на семинаре проф. Ю. Н. Смолина в Магнитогорском государственном университете (Магнитогорск, 2005 г.).

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в восьми работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 98 страниц. Список литературы содержит 72 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введем обозначения: I — единичная матрица, е* — к-й столбец единичной матрицы, Ат — транспонированная матрица А, [5] — пространство линейных преобразований пространства 5, = [0,+оо), А = {(£,$) : t ^ а}. Отождествим п х п-матрицы и линейные преобразования из пространства [С].

Во введении обосновывается актульность темы исследования, дается описание предмета исследования и обзор литературы по теме диссертации, ставится задача исследования и анонсируются основные результаты работы

Первая глава содержит доказательства некоторых свойств линейных преобразований конечномерных пространств. Полученные результаты, которые могут рассматриваться как самостоятельные утверждения, сформулированные языком классической линейной алгебры, применяются в последующем изложении к исследованию устойчивости ФДУ.

Пусть А — комплексная п х п-матрицэ.

Обозначим через Ир множество всех многочленов, являющихся минорами порядка р А-матрицы размера пхр, образуемой р левыми столбцами А-матрицы (А — А/); через <5Р(А) — наибольший общий делитель всех многочленов из множества

Далее, обозначим через Я линейную оболочку множества столб-

цов единичной матрицы порядка п и через 5 линейную оболочку множества столбцов (таким образом, С" = ДФ5). Через На обозначим макси-

мальное инвариантное относительно преобразования А € [Сп] подпространство, содержащееся в А, и через ва — минимальное инвариантное относительно преобразования Ат € [Сп] подпространство, содержащее 5.

Лемма 1. Имеет, место соотношение С" = Да © 5а.

Теорема 1. Многочлен 6Р(Х) является характеристическим для сужения преобразования А на инвариантное подпространство Я.а; многочлен ДР(А) = является характеристическим для сужения преобразо-

вания АТ на инвариантное подпространство 5а.

Рассматривая вместо матрицы А матрицу АТ и наоборот, получаем для приведённых результатов двойственные утверждения Эта двойственность играет важную роль в описании свойств частичной и условной устойчивости ФДУ.

Получен алгоритм построения матрицы сужения линейного преобразования на минимальное инвариантное подпространство, содержащее заданное.

Последовательность векторов линейного пространства X

назовем серией со значением Ао относительно пары преобразований Р, б? € [X], если выполнены соотношения

/Ц ф 0, ¿71! = ССАоЛх), = <3(АО/12 + Лх),..., ¿71, = + Л_1).

В процессе доказательства теоремы 1 используется следующий факт

Лемма 2. Пусть (7 € [X] и число Ао является корнем кратности та многочлена — АО). Тогда существует подпространство Хо С X

размерности т, базис которого состоит из серий со значением Ао относительно пары преобразований Р, (3.

Это утверждение является следствием результатов К Вейерштрасса, установившего в 1867 г. критерий эквивалентности регулярных пучков матриц и их каноническую форму на основании созданной им теории конечных и бесконечных элементарных делителей. В диссертации приведено доказательство, основанное на геометрических свойствах линейных отображений и не использующее теории элементарных делителей.

Положив (7 = I, получим теорему о жордановой форме матрицы.

Теорема 1, двойственная ей теорема и следствия из них позволяют получать критерии и признаки частичной и условной устойчивости ФДУ.

Во второй главе получен центральный результат данной работы: алгоритм сведения для некоторого класса ФДУ задач частичной и условной устойчивости относительного заданного подпространства к классической задаче устойчивости

В § 2 1 излагается подход к пониманию устойчивости решений, выработанный Пермским семинаром по ФДУ. Изложение ведется применительно к изучавшемуся школой Н. В. Азбелева с начала 70-х годов линейному ФДУ вида

е

А(*) - j а)х(в) = /(г), г € [0, +оо). (1)

о

Данное уравнение включает как частные случаи ОДУ, дифференциальное уравнение с сосредоточенным запаздыванием аргумента и интегро-дифферен-циальное уравнение.

Пусть уравнение однозначно разрешимо при любом начальном значении х(0) = хо. Тогда классические определения устойчивости, данные для ОДУ, переносятся на уравнение (1) дословно, а задача непрерывной зависимости решения от начальной функции, рассматриваемая авторами первых исследований устойчивости ФДУ, оказывается вариантом задачи устойчивости уравнения (1) относительно правой части.

В предположении однозначной разрешимости задачи Коши для уравнения (1), его решение имеет представление в виде формулы Коши

<

®(4) = С(4,0)®(0) + I С&8)/(з)&. о

Ядро C(t, s) интегрального оператора называется матрицей Коши Устойчивость уравнения (1) естественно рассматривать как свойство матрицы Коши

Определение 1. Уравнение (1) называется

• устойчивым по Ляпунову, если для любого s € М+ имеем

sup |C(i, s)| < оо; te[i,+oo)

• равномерно устойчивым, если sup |C(f, s)| < оо;

• экспоненциально устойчивым, если для любого s € R+ существуют такие ЛГ, > 0 и 7S > 0, что |C(t, s)| < ЛГае_Т'<4_я> при всех t € [s, +оо).

• равномерно экспоненциально устойчивым, если существуют такие N > 0 и 7 > 0, что \C(t, s)| ^ TVe-7^-5' при всех (t,s) 6 Д.

В § 2.2 свойства уравнения (1), определения которых обобщают классическое определение устойчивости, рассматриваются с геометрических позиций.

Свойства решений уравнения, не связанные с выбором системы координат фазового пространства, будем называть геометрическими свойствами.

Устойчивость в классическом понимании — как непрерывная зависимость решений от начального значения — является геометрическим свойством уравнения (1).

Также геометрическим свойством является непрерывная зависимость решений уравнения (1) от изменения начального значения в пределах некоторого подпространства S. Такой тип устойчивости естсественно назвать (в соответствии с термином, применяемом в теории ОДУ) условной устойчивостью относительно подпространства S.

Уравнение (1) называется устойчивым относительно части компонент, если определенные компоненты решений непрерывно зависимы от начального значения Такой тип устойчивости называется частичной устойчивостью. Это свойство при его традиционном определении оказывается зависящим не только от направляющих векторов исследуемых компонент решения, но и остальных базисных векторов фазового пространства Но приведенный

в диссертации пример 2 1 показывает, что частичная устойчивость ОДУ вида х — Ах должна быть геометрическим свойством!

Действительно, выясняется, что частичная устойчивость уравнения (1) равносильна свойству, которое, как и условная устойчивость, определяется указанием некоторого подпространства фазового пространства и не зависит от выбора системы координат. Это свойство выявляет геометрическую природу частичной устойчивости, которую традиционное определение последней скрывает.

Рассматривая устойчивость как свойство матрицы Коши, оказывается возможным учесть геометрическую природу частичной и условной устойчивости уравнения (1).

Пусть 5 С С". Обозначим 5Х = {х € <С" : хТ ■ у = 0 Чу <Е 5}.

Определение 2. Уравнение (1) будем называть а-устойчивым относительно подпространства 5 С С (по Ляпунову, равномерно и т д), если для любого а € Бх имеет место соответствующая (см. определение 1) оценка нормы в) ■ а|.

Определение 3. Уравнение (1) будем называть ¡3-устойчивым относительно подпространства 5 С С" (по Ляпунову, равномерно и т. д), если при любом /3 £ в имеет место соответствующая (см определение 1) оценка нормы |С(£, з) • (31.

Частичная устойчивость равносильна «-устойчивости относительно подпространства, являющегося линейной оболочкой направляющих векторов определенных компонент Условная устойчивость равносильна /3-устойчивости При этом а- и ^-устойчивость являются геометрическими свойствами уравнения (1)

Другим достоинством данных определений является то, что они вскрывают единство свойств частичной и условной устойчивости. Так, очевидным следствием определений является

Теорема 2. Пусть два уравнения вида (1) таковы, что матрица Коши одного из них является транспонированной матрицей Коши другого. Тогда а-устойчивостъ относительно подпространства любого из них равносильна ¡3-устойчивости относительно подпространства Б другого

В § 2.3 рассматриваются задачи частичной и условной устойчивости уравнения

t

x{t) -A j x(s) d,r(t, s) = /(£), t e [0, +oo), (2)

о

являющегося частным случаем уравнения (1). Здесь А — комплексная пхп матрица, r(t, s) — скалярная функция.

Матрица Коши C(t,s) уравнения (2) обладает замечательным свойством перестановочности с матрицей А:

Лемма 3. AC(t, s) — C(t, для всех (t, s) е Д.

Именно это свойство можно рассматривать как естественную причину существования простого сведёния задачи частичной и условной устойчивости ФДУ вида (2) к задаче классической устойчивости уравнения того же вида С использованием результатов § 14 получен конструктивный метод такого сведения

Матрица Ат приводится к виду TalA^Ta = ( а а 1, где Ua —

\ 0 WaJ

матрица сужения преобразования на минимальное инвариантное подпространство, содержащее 5; аналогично матрица А приводится к виду

Тр1АТц — ^^j8 ^^, где Up — матрица сужения преобразования А на минимальное инвариантное подпространство, содержащее S

Теорема 3. Уравнение (2) а-устойчиво относительно подпространства Sx тогда и только тогда, когда уравнение

t

Ш-Uaj №dAt,s)=g(t)

о

устойчиво в классическом смысле.

Теорема 4. Уравнение (2) /?-устойчиво относительно подпространства 5 тогда и только тогда, когда уравнение

(

о

устойчиво в классическом смысле.

т-Щ J Z(s)dAt,s)=g(t)

Результаты первой главы дают возможность сформулировать ряд признаков равносильности частичной и условной устойчивости уравнения (2) его классической устойчивости.

Признак 1. Пусть матрица А не содержит нулевых элементов кроме, может быть, находящихся на главной диагонали. Тогда а-устой-чивостъ уравнения (2) относительно любой прямой х ■ е*, х е С, где к 6 {1,2,..., п}, равносильна классической устойчивости.

Признак 2. Пусть среди многочленов из множества Бр найдутся несколько взаимно простых. Тогда а-устойчивость уравнения (2) относительно линейной оболочки множества столбцов равносильна классической устойчивости.

Признак 3. Пусть среди всех кроме верхнего элементов левого столбца матрицы А есть ненулевые. Тогда а-устойчивостъ уравнения (2) относительно прямой х ■ е\, леС, равносильна классической устойчивости.

Признак 4. Пусть при отбрасывании от каждого из двух левых столбцов матрицы А двух верхних элементов получаются два линейно независимых столбца. Тогда а-устойчивость уравнения (2) относительно линейной оболочки столбцов е\ и е.г равносильна классической устойчивости.

Аналогичные признаки получаются для /пустойчивости В § 2.4 рассматривается уравнение с постоянным запаздыванием т ^ О

¿(0 - Ах(1 -т) = /(£), I е [0, +оо),

(5)

*(4) = 0, £е[-т,0),

для которого получены выраженные через компоненты матрицы А критерии а- и ^-устойчивости относительно подпространства, являющегося линейной оболочкой нескольких столбцов единичной матрицы.

Положим агдО = 7г/2. Обозначим Г = {г € С : \г\т ^ | arg.il - 7г/2}, 5Г = {г € С : \г\т = | - тг/2}.

Теорема 5. Уравнение (5) экспоненциально устойчиво относительно линейной оболочки множества столбцов (относительно переменных с номерами из множества {р 1, р+2,..., п}) тогда и только тогда, когда все корни многочлена АР(А) принадлежат внутренности множества Г.

Теорема 6. Уравнение (5) устойчиво по Ляпунову относительно линейной оболочки множества столбцов (относительно переменных с номерами из множества {р+ 1,р+2,..., п}) тогда и только тогда, когда все корни многочлена ДР(А) принадлежат множеству Г, причём те из них, что лежат на кривой ЭГ, имеют простые элементарные делители.

Аналогично формулируются критерии /3-устойчивости уравнения (5). В случае р = п приведенные теоремы переходят в известные критерии классической устойчивости В частности, если т = 0, то получаем классический результат теории устойчивости ОДУ

§25 посвящен обобщению восходящих к работам П. Г. Боля и О. Перрона теорем о связи классической устойчивости относительно правой части и относительно начальных данных Приведены два пути обобщения известных для классической устойчивости результатов такого типа на случаи частичной и условной устойчивости уравнения (2)

Например, для равномерной а-устойчивости получаемые утверждения выглядят следующим образом. Обозначим

(£/)(*) = / С(1,з)/(з)с1з-, Jo

(с/т = С ст (1,з)} й3-

Jo

Ь" — пространство суммируемых вектор-функций / : К+ —> С"; где 5 С С", — пространство таких вектор-функций / € Ц\ что /(£) € 5 для всех £ е

Теорема 7. Для того чтобы уравнение (2) было равномерно а-устойчи-вым относительно подпространства 3, необходимо и достаточно, чтобы аТ - С/ € Ьоо при любых а € 5 и / е Ь?.

Теорема 8. Для того чтобы уравнение (2) было равномерно а-устой-чивым относительно подпространства 3, необходимо и достаточно, чтобы С'/ е Ьпри любом / £ .

В третьей главе предлагаются пути применения предложенных во второй главе методов к исследованию уравнений, не являющихся частными случаями уравнения (2), а также произведено сопоставление результатов диссертации с известными результатами.

В § 3.1 рассматриваются уравнения вида

¿(0 - = 0, « € [0, +оо), (6)

где матрица-функция А(Ь) локально суммируема и Л^ + ш) ^ А(1) для некоторого из > 0. Устойчивость уравнения (6) в ее классическом понимании обладает следующими качествами' во-первых, если уравнение устойчиво, то оно равномерно устойчиво; во-вторых, для устойчивости решения х — Ь € [0,+оо), достаточно устойчивости последовательности Вы-

ясняется, что в общем случае частичная устойчивость уравнения (6) обладает только первым из этих качеств, а условная — только вторым. Если известна матрица монодромии уравнения (6), то методом, аналогичным описанному во второй главе, получен критерий условной устойчивости уравнения (6). Для частичной устойчивости аналогичный критерий можно получить только для устойчивости последовательности значений решения в „узловых" точках кш,

к е {0,1,2,...}

В § 3 2 рассматриваются разностные уравнения, обладающие общими алгебраическими свойствами с дифференциальными уравнениями, рассматриваемыми во второй главе диссертации. При этом аналитическая природа разностных уравнений проще и, следовательно, разностные уравнения можно использовать как „полигон" для исследования алгебраических свойств дифференциальных уравнений

Дифференциальному уравнению (1) сопоставляется разностное уравнение

(¿х)(4)-530(«,а)1(в) = /(1)1 1Е {0,1,2,...}, (7)

5=0

где (5х)(t) = x(t 4-1) — x(t), на значения функций Q(t, s) и f(t) не накладывается никаких ограничений Для уравнения (7) определяется аналог функции Коши и получено представление решения в виде аналога формулы Коши

t

x(t) = C(t, 0)х(0) + Y, <?(*> s)f(s ~ !)• i=i

Далее для разностных уравнений получены аналоги результатов §§ 2 1-3 1.

В § 3.3 основные результаты работы сопоставляются с полученными другими исследователями. В этом вопросе автора интересуют критерии и признаки частичной и условной устойчивости дифференциальных уравнений, выраженные через исходные параметры — в случае уравнения (2) это коэффициенты матрицы А, оператор запаздывания р и правая часть /.

Автор выражает благодарность участникам Пермского семинара по ФДУ за интерес, проявленный к работе, и плодотворное обсуждение ее результатов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1 Чудинов К М. Критерий устойчивости по части переменных линейной системы дифференциально-разностных уравнений // Известия Института математики и информатики УдГУ. — Ижевск, 2002. — Вып. 2 (25). — С. 103-106.

2. Chudinov К Partial stability criterion for autonomous systems of differential equations // Functional Differential Equations — 2002. — Vol.9. — №34. - P. 315-323.

3 Чудинов К M Критерий устойчивости по части переменных автономной системы дифференциальных уравнений // Известия вузов Математика - 2003 -№4(491). -С.67-72

4 Чудинов КМ Об одном обобщении жордановой формы матрицы // Тез. Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - Vb. — Воронеж, 3-9 мая 2003 г. — С. 154-155.

5 Чудинов КМ. О сведении задачи устойчивости по подпространству к классической задаче устойчивости // Вестник ПГТУ Прикладная математика и механика — Пермь, 2003 — С 152-155.

Чудинов КМ Об устойчивости по части переменных линейных автономных систем с последействием // Изв. вузов. Математика — 2004. — №6(505).-С.72-80.

Chudinov К. М. On stability of linear delayed systems with respect to a subspace // Тез VI Международного конгресса по математическому моделированию. — H Новгород, 20-26 сентября 2004 г. — С. 74

Чудинов К. М. Об устойчивости по подпространству и 5-условной устойчивости решений периодических уравнений // Вестник Пермского университета. Математика. Механика Информатика. — Пермь, 2005 — Вып. 2. - С. 139-146.

111 8 599

РНБ Русский фонд

2006-4 17581

Лицензия ЛР № 020370

Сдано в печать 28.09.05. Формат 60x84/16. Объём 1,0 уч.изд.п.л. _Тираж 100. Заказ 1460._

Печатная мастерская ротапринта 111 ТУ.

Обозначения

Введение

Глава I Об инвариантных подпространствах

§ 1.1 Многочлен 5Р(Х).

§ 1.2 Обобщение теоремы о жордановой форме матрицы

§ 1.3 Теорема о характеристическом многочлене.

§ 1.4 Максимальные и минимальные инвариантные подпространства

Глава II Частичная и условная устойчивость 3G

§ 2.1 Устойчивость линейного уравнения как свойство матрицы

Коши.3G

§ 2.2 Устойчивость как геометрическое свойство.

§ 2.3 Сведение задач а- и /^-устойчивости к задаче классической устойчивости

§ 2.4 Уравнение с постоянным запаздыванием аргумента . GO

§ 2.5 Устойчивость относительно правой части.

Глава III Некоторые обобщения

§ 3.1 Уравнения с периодической матрицей.G

§ 3.2 Разностные уравнения

§ 3.3 Сопоставление с известными результатами.

История вопроса. Начало систематических исследований функциоиалыю-дифференциалышых уравнений (ФДУ) относится к середине XX столетия. Важнейшим подклассом ФДУ являются линейные уравнения с последействием. Для таких уравнений, заданных на полуоси, первостепенное значение имеет устойчивость решений. Классические результаты, полученные в исследованиях устойчивости, содержатся в монографиях Н. В. Азбелева и П. М. Симонова [6], Р. Беллмана и К. JI. Кука [10], К. Гопалсами [67], В. Б. Колмановского и В. Р. Носова [31], А. Д. Мышкиса [41], А. Халаная [68], Дж. Хейла [52]. Наиболее полная библиография работ по устойчивости ФДУ (415 наименований) находится в работе [6].

Обобщения на ФДУ определений устойчивости, данных для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), у разных исследователей формально различаются, что неизбежно уже в силу разного понимания решения уравнения. Все эти определения объединяет то, что устойчивость является в сущности в том или ином смысле непрерывной зависимостью нормы вектора решения от определяющих его данных. В силу эквивалентности всех норм в конечномерном пространстве смысл определений не зависит от вида нормировки. Такая устойчивость в данной работе называется классической.

Наибольшее количество работ по неклассическим видам устойчивости посвящены задаче устойчивости относительно части переменных, впервые поставленной ещё А. М. Ляпуновым [33] как обобщение задачи устойчивости относительно всех переменных. Сам Ляпунов этой задачей не занимался; систехматические исследования устойчивости относительно части переменных, или частичной устойчивости, начались в 50-х годах прошлого столетия, что было стимулировано потребностями прикладной механики и техники, в частности, ракетно-космической. Практическая значимость исследований в области частичной устойчивости была показана В. В. Румянцевым, что инициировало большое количество работ в СССР и за рубежом. Достижения в этой области систематизированы в монографиях В. В. Румянцева и А. С. Озиранера [44] и В. И. Воротникова [17], а также в новой монографии В. И. Воротникова и В. В. Румянцева [18], одной из основных тем которой является рассмотрение приложений исследований частичной устойчивости.

До сих нор исследования частичной устойчивости, как правило, ограничивались рассмотрением ОДУ, а основным методом исследований являлся метод функций Ляпунова. Но каждый метод имеет свои естественные границы применимости и свои естественные возможности. Главным достоинством метода функций Ляпунова является его универсальность, возможность получать условия устойчивости широких классов дифференциальных систем. Особенно успешно применяется этот метод в решении прикладных задач. Достаточно полный обзор результатов, касающихся развития метода функции Ляпунова применительно к задаче частичной устойчивости, дан в монографии [44]. Но при этом, как замечают авторы монографии [G], „для уравнений с запаздывающим аргументом классические концепции и приёмы Ляпунова иногда оказываются неестественными и часто не приводят к желаемым результатам".

Так, стремление свести решение задачи частичной устойчивости именно к использованию метода функций Ляпунова помешало В. И. Воротникову с помощью предложенного им конструктивного алгоритма построения вспомогательной системы, разработке применений которого, как говорит сам автор, посвящена монография [17], получить эффективный критерий частичной устойчивости автономных систем с последействием. Подробнее результаты В. И. Воротникова и других исследователей частичной устойчивости рассматриваются в § 3.3 данной работы.

Частичная устойчивость до сих пор исследовалась вне взаимосвязи с условной устойчивостью, то есть непрерывной зависимостью решения от начальных данных, на изменение которых наложены ограничения ([50], с. 294). Эта связь описывается в данной работе — по-видимому, впервые. Для ОДУ известны признаки существования устойчивого многообразия ([23], гл. IV, § 22), но отсутствуют попытки его описания через параметры системы. Задача условной устойчивости ФДУ, видимо, до сих пор никем не ставилась.

В нашем понимании, исследовать вектор-функцию и отдельные её компоненты — существенно разные задачи. Представляется, что при исследовании пеклассических видов устойчивости применяются методы, разработанные для классических задач, только потому, что пока ещё мало усилий было уделено поискам других. Поэтому не стоит удивляться тому, что устойчивость по части переменных и условная устойчивость диффенциаль-ных систем только в тривиальных случаях изучены на уровне, сравнимом с уровнем разработки задач устойчивости в её классическом понимании. Данная работа является попыткой восполнить этот пробел.

Объект исследования и основные результаты. Как отмечено выше, к формальному определению классической устойчивости решений ФДУ нет единого общепризнанного подхода. Данная работа следует в этом вопросе традициям школы Н. В. Азбелева.

Пермскими математиками с начала 70-х годов исследуется линейное функционально-дифференциальное уравнение с конечномерным фазовым пространством вида ь x{t) - J dsR{t, s)z(s) = f(t), t G [a, 6]. a

Данное уравнение включает как частные случаи обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение с сосредоточенным отклонением аргумента и интегро-дифференциальное уравнение. Если уравнение имеет вид t x(t) - J dsR(t, s):z(s) = f(t), t G [a, 6], (0.1) a то оно называется уравнением с распределённым запаздыванием. В работе В. П. Максимова [34] получены естественные условия на матрицу-функцию R(t,s), обеспечивающие однозначную разрешимость уравнения при задании начального значения гс(0) = В таком случае данные для ОДУ определения классической устойчивости относительно начального значения переносятся на уравнение (0.1) дословно, а задача непрерывной зависимости решения от начальной функции, рассматриваемая авторами первых исследований устойчивости ФДУ, оказывается вариантом задачи устойчивости уравнения (0.1) относительно правой части.

Пусть уравнение (0.1) задано и однозначно разрешимо для любого b € Ra. Тогда его решение имеет представление в виде формулы Коти (И-[Зб]) t x(t) = 'C(t, а)х(а) + J C{t, s)/(s) ds. (0.2) a

Классическая устойчивость на основании этого представления исследована в монографиях [49] и [6]. Устойчивость при таком подходе рассматривается как свойство матрицы Коши C(t,s).

В данной работе даны определения частичной и условной устойчивости уравнения (0.1) как свойств матрицы Коши, обобщающие определение классической устойчивости. При этом показано, что задачи частичной и условной устойчивости уравнения (0.1) тесно связаны. Становится очевидным, что в некоторых случаях эти задачи неестественно рассматривать но отдельности.

Центральным результатом диссертации является сведение задач частичной и условной устойчивости уравнения t x(t) -Л J x(s) dsr{t, s) = /(£), t e Ro, (0.3) о с постоянной матрицей А и скалярной функцией r(t, s) (являющегося частным случаем уравнения (0.1)) к задаче классической устойчивости уравнения того же вида (0.3). Благодаря такому сведению, к исследованию уравнения (0.3) оказываются применимы многочисленные результаты исследования его классической устойчивости. Выраженные в терминах параметров уравнения применимые к уравнению (0.3) критерии и признаки классической устойчивости относительно начальных данных получали Н. В. Азбелев, JI. М. Березанский, В. В. Власов, С. А. Гусаренко, 10. Ф. Долгий, М. М. Кипнис и М. 10. Вагина, А. И. Кирьянен, В. В. Малыгина, 3. Б. Рех-лицкий, В. А. Соколов, 10. Н. Смолин, С. Н. Шиманов, Т. Amemiya, R. Bellman и К. L. Cooke, G. Ladas, Т. Yoneyama, J. A. Yorke и др. (см. [5], [G], [10]-[16], [20], [21], [24], [30], [31], [38], [39], [43], [45], [4G], [53], [63], [67]-[69], [71], [72]). В диссертации обобщены на случаи частичной и условной устойчивости уравнения (0.3) теоремы о связи классической устойчивости относительно начальных данных и относительно правой части из монографии [6] (см. также [1]-[4], [9], [22], [49]).

Краткое содержание работы. Первая глава содержит доказательства некоторых свойств линейных преобразований конечномерных пространств. Полученные результаты, которые могут рассматриваться как самостоятельные утверждения, сформулированные языком классической линейной алгебры, применяются в последующем изложении к исследованию устойчивости ФДУ.

Пусть А — комплекснозначная п х п-матрица.

Обозначим через Dp множество всех многочленов, являющихся минорами порядка р А-матрицы размера пхр, образуемой р левыми столбцами А-матрицы (А — А/); через £Р(А) — наибольший общий делитель всех многочленов из множества Dp.

Далее, обозначим через R линейную оболочку множества {ekYk=\ столбцов единичной матрицы порядка п и через S линейную оболочку множества столбцов (таким образом, Сп = R®S). Через Ra обозначим максимальное инвариантное относительно преобразования A G [Сп] подпространство, содержащееся в R, и через Sa — минимальное инвариантное относительно преобразования Лт £ [Сп] подпространство, содержащее

S.

Лемма 0.1. Имеет место соотношение Cn = Ra Ф Sa.

Теорема 0.1. Многочлен 5Р(Х) является характеристическим для суэюе-иия преобразования А па инвариантное подпространство Ra; многочлен = является характеристическим для суэ1сепия преобразования АТ па инвариантное подпространство Sa.

Рассматривая вместо матрицы А матрицу АТ и наоборот, получаем для приведённых результатов двойственные утверждения. Эта двойственность играет важную роль в описании свойств частичной и условной устойчивости ФДУ.

Получен алгоритм построения матрицы сужения линейного преобразования на минимальное инвариантное подпространство, содержащее заданное.

Во второй главе излагаются основные результаты работы. В § 2.1 излагается подход к пониманию устойчивости решений, выработанный Пермской школой исследования ФДУ. Показано, что устойчивость уравнения (0.1) естественно рассматривать как свойство матрицы Коши — ядра C(t, s) интегрального оператора в формуле (0.2). Даны определения разновидностей классической устойчивости в виде оценок сверху нормы матрицы Коши.

В § 2.2 понятия частичной и условной устойчивости уравнения (0.1), обобщающие понятие классической устойчивости, рассматриваются с геометрических позиций.

Выясняется геометрическая природа частичной устойчивости, которую скрывает традиционное определение. Даются определения а-устой-чиоости и ft-устойчивости уравнения (0.1). Эти свойства матрицы Коши описывают соответственно частичную и условную устойчивость уравнения, выявляя единство этих свойств.

В § 2.3 рассматриваются задачи а- и /^-устойчивости уравнения (0.3). Его матрица Коши C(t, s) обладает замечательным свойством перестановочности с матрицей A: AC(t,s) = C(t,s)A. Именно это свойство можно рассматривать как естественную причину существования простого сведения задачи частичной и условной устойчивости ФДУ вида (0.3) к задаче классической устойчивости уравнения того же вида. С использованием результатов первой главы получен конструктивный алгоритм такого сведения. пространство, содержащее S; аналогично матрица А приводится к виду минимальное инвариантное подпространство, содержащее S.

Теорема 0.2. Уравнение (0.3) устойчиво относительно части координат, задающих базис подпространства S тогда и только тогда, когда уравнение

Матрица АТ приводится к виду матрица сужения преобразования Ат на минимальное инвариантное подпреобразования А на о устойчиво в классическом смысле.

Теорема 0.3. Уравнение (0.3) условно устойчиво относительно подпространства S тогда и только тогда, когда уравнение t iW -U0 J dsr{t, s) = git) о устойчиво в классическом смысле.

Результаты первой главы предоставляют также возможность сформулировать ряд признаков равносильности частичной и условной устойчивости уравнения (0.3) его классической устойчивости.

В § 2.4 рассматривается уравнение с постоянным запаздыванием x(t) - Axit - т) = /(£), t е К0>

0.4) ж(0 = о, о), для которого получены выраженные через коэффициенты матрицы А критерии частичной и условной устойчивости относительно подпространства, являющегося линейной оболочкой нескольких столбцов единичной матрицы.

Положим argO = 7г/2. Обозначим Г = {z G С : \z\r < | argz| — 7г/2}, дГ = {z Е С : \z\t = | argz| - vr/2}.

Теорема 0.4. Уравнение (0.4) экспоненциально устойчиво относительно переменных с номерами из множества {р+1,р+2,., п} тогда и только тогда, когда все корни многочлена АР(Л) принадлео/сат внутренности Muooicecmea Г.

Теорема 0.5. Уравнение (0.4) устойчиво по Ляпунову относительно переменных с номерами из множества {р + 1,р + 2,., п} тогда и только тогда, когда все корпи многочлена АР(Х) припадлсоюат мпооюсству Г, причём те из них, что леэюат на кривой 5Г, имеют простые элементарные делители.

Получены также аналогичные критерии условной устойчивости уравнения (0.4).

§ 2.5 посвящен обобщению теорем о связи классической устойчивости относительно правой части и относительно начальных данных. В диссертации приводятся но два варианта результатов такого типа для частичной и условной устойчивости уравнения (0.3).

В третьей главе предлагаются пути применения предложенных во второй главе методов исследования уравнения (0.3) к уравнениям, не являющимся его частными случаями, а также произведено сопоставление результатов диссертации с известными результатами.

В § 3.1 рассматриваются уравнения вида x(t) - A(t)x{t) = 0, [*,+оо), (0.5) где матрица-функция A(t) локально суммируема и A(t + и) = A(t) для некоторого и > 0. Устойчивость уравнения (0.5) в ее классическом понимании обладает следующими качествами: во-первых, если уравнение устойчиво, то оно равномерно устойчиво; во-вторых, для устойчивости решения х = x(t), t Е [0,+оо), достаточно устойчивости последовательности Выясняется, что в общем случае частичная устойчивость уравнения (0.5) обладает только первым из этих качеств, а условная — только вторым. Если известна матрица монодромии уравнения (0.5), то методом, аналогичным описанному во второй главе, получается критерий условной устойчивости уравнения (0.5). Для частичной устойчивости аналогичный критерий можно получить только для устойчивости последовательности значений решения в точках ки>, к = 0,1,2,.

В § 3.2 рассматриваются разностные уравнения, обладающие общими алгебраическими свойствами с дифференциальными уравнениями, рассматриваемыми во второй главе диссертации. При этом аналитическая природа разностных уравнений проще и, следовательно, разностные уравнения можно использовать как „полигон" для исследования алгебраических свойств дифференциальных уравнений.

Дифференциальному уравнению (0.1) сопоставляется разностное уравнение t ■

5x)(t) - X] W, s)x(s) = fit), t = 0,1,2,., s=0 где (Sx)(t) = x(t + 1) — x(t), на значения функций Q{t, s) и /(£) не накла-дывется никаких ограничений. Для этого уравнения определяется аналог функции Коши и получено представление решения в виде аналога формулы Коши t x(t) = С(£, 0)s(0) + С(1> s)x(s ~ !)•

5=1

Для разностных уравнений получены аналоги результатов §§ 2.1-3.1.

В § 3.3 основные результаты работы сопоставляются с полученными другими исследователями. В этом вопросе автора интересуют критерии и признаки частичной и условной устойчивости дифференциальных уравнений, выраженные через исходные параметры — в случае уравнения (0.3) это коэффициенты матрицы А, оператор запаздывания р и правая часть

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Пермском семинаре по ФДУ (2002-2005 гг.), на научной конференции „Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Ижевск, 2002 г.), в Воронежской весенней математической школе „Понтрягинские чтения-XIV" (Воронеж, 2003 г.), на семинаре проф. А. Б. Костюченко и проф. В. В. Власова в Московском гос. университете (Москва, 2003 г.), на VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Н. Новгород, 2004 г.), на семинаре кафедры теоретической механики Уральского гос. университета (Екатеринбург, 2005 г.), на семинаре проф. Ю. Н. Смолина в Магнитогорском гос. университете (Магнитогорск, 2005 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [54]-[G2].

Основные результаты диссертации заключаются в получении критериев и признаков частичной и условной устойчивости ФДУ, выраженных через параметры уравнения. В данном параграфе рассмотрим результаты такого типа, полученные другими авторами.

Видимо, наиболее существенными из таковых являются конструктивные методы сведения задачи устойчивости по части переменных к задаче классической устойчивости, предложенные В. И. Воротниковым в монографии [17]. Эти результаты требуют наиболее подробного рассмотрения.

В § 1.1 указанной работы приводится алгоритм построения для системы ОДУ х = Ах вспомогательной системы, классическая устойчивость которой равносильна устойчивости по части переменных исходной системы. Но В. И. Воротников не исследует вопроса, какими именно свойствами исходной системы обусловливается возможность использования приводимого им алгоритма. В справедливости результата предлагается убедиться „непосредственным интегрированием" (с. 3G) скалярных уравнений, определяющих производные интересующих компонент системы. Фактически автором монографии строится (неявно) сужение задаваемого матрицей Ат линейного преобразования на минимальное подпространство, содержащее заданное подпространство фазового пространства. Но автор не использует линейно-алгебраических свойств исследуемой системы и, как следствие, возможности абстрагироваться от вида запаздывания аргумента. В. И. Воротников использовал то свойство вспомогательной системы, что к ней можно применить метод функций Ляпунова. Тем самым приобретается общность подхода к системам разных видов, но для систем с постоянной матрицей построение вспомогательной системы дает возможность получить существенно более глубокие результаты.

В § 1.2 В. И. Воротниковым рассматриваются периодические системы ОДУ вида (3.1), но с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами. Предложен алгоритм построения вспомогательной системы, классическая устойчивость которой равносильна частичной устойчивости исходной. В отличие от случая постоянной матрицы, здесь предложенный алгоритм указывает на принципиальную возможность построения вспомогательной системы, но не ясны условия его практической осуществимости. Таким образом, возникает вопрос, для какого класса систем алгоритм эффективен и в каком смысле.

В последующем изложении автор развивает свой подход, приспосабливая его к исследованию более сложных систем.

В главе G рассматривается уравнение с постоянным запаздыванием аргумента x(t) = Ax(t — т) + Bx{t). Согласно алгоритму, аналогичному приведенному в главе 1, строится вспомогательная система, классическая устойчивость которой является достаточным условием частичной устойчивости исходной системы. Приводятся некоторые частные случаи, когда эти условия являются также необходимыми. Но формулировка соответствующего утверждения содержит опечатки. По-видимому, условия 1) и 2) теоремы G.2.1 должны иметь вид соответственно (В = О)A(B'D — 0)Л(B'D' = 0) и (В = 0) Л (B'D — 0) Л (B'D' — 0), но в таком случае автор почему-то не формулирует необходимых условий частичной устойчивости простой системы вида (2.12) x(t) — Ax{t — т), хотя они выводятся из алгоритма построения вспомогательной системы. Критерий частичной устойчивости исходной системы выражается не через исходные параметры, а через корни характеристического квазимногочлена, оценка которых представляет собой отдельную задачу.

Представляется важным отметить следующее. Простой путь исследования системы с постоянной матрицей заключается в использовании свойства: из устойчивости компоненты Xi(t) решения системы следует устойчивость ее производной ii(t). Это свойство справедливо, в частности, для системы x(t) — Ax(t—r(t)) при условии r(£) ^ К < сю, и его использование резко расширяет границы применимости предлагаемого В. И. Воротниковым метода сведения задачи частичной устойчивости к задаче классической устойчивости (и вообще делает ненужным раздельное исследование этого метода для случаев т = 0 и г > 0 уравнений вида x(t) = Ax{t — т)). Более того, как показано в § 2.3 данной диссертации, справедлив ещё более сильный результат: запаздывание аргумента не играет роли при сведении частичной устойчивости уравнения (2.7) к классической! Возможность использования метода определяется свойством, сформулированным в лемме 2.1, которое для уравнения с постоянной матрицей имеет место всегда.

Условия частичной устойчивости систем ОДУ вида x(t) = A(t)x(t) и x(t) = Ax(t) с помощью метода функций Ляпунова получали К. Корду няну [65], В. И. Зубов [25], В. М. Матросов [40] и др. Не будем здесь рассматривать результаты такого типа, поскольку авторы не приводят критериев и признаков устойчивости, выраженных через параметры исходного уравнения. В работе [66] К. Кордуняну впервые был применён метод функционалов Ляпунова-Красовского к исследованию задачи частичной устойчивости ФДУ.

Исследованию устойчивости но части переменных ФДУ с помощью lV-метода Н. В. Азбелева посвящены работы С. Г. Карнипшна. В статье [27] рассматривается уравнение x(t) = A(t)x(t) + /(£), t G R0. (3.14)

Для сравнения нас интересует только простейший случай постоянной матрицы A(t) = А. Например, для устойчивости по Ляпунову относительно первой компоненты уравнения третьего порядка х = Ах получаем следующие достаточные условия (положим А = (а^), = 1,3): ац ^ 0 и, кроме того, одно из следующих: 1) а22 ^ 0, азз ^ 0, а\2 — ахз = а2заз2 = 0,

1/iWI < Си \f2(t)\ ^ С2ехр(а330, |/з(01 < С3ехр(а220; 2) а22 ^ 0, азз > 0, ахз = a2i = а23 = 0, \fi(t)\ < С1} |/2(£)| ^ C2cxp(a22t), |/з(01 < С3ехр(аззО; 3) а22 ^ 0, а33 ^ 0, а12 = а31 = а32 = 0, |/i(£)| ^ Си

1/2(01 ^ Огехр(а220> 1/з(01 ^ Сзехр(азз£)- Полученный признак устойчивости можно назвать тривиальным: в случае 1) первая компонента независима от остальных, в случаях 2) и 3) две компоненты составляют независимую устойчивую систему; при этом некоторые из накладываемых условий лишние. Условия экспоненциальной устойчивости имеют ту же силу, а устойчивость первой компоненты системы из приводимого С. Г. Карнишиным примера сразу следует из устойчивости системы

Xi(t) = -Xi(t) +ехр(—2£)ж2(0, ®2 (0 = ехР txi(t) + x2 (t), которая очевидна: показатель экспоненты из первой строки „забивает" показатель из второй.

В последующих работах [28] и [29] С. Г. Карнипшн на основе результ татов исследования уравнения (3.14) рассматривал более общее уравнение (2.1).

Условная устойчивость исследовалась до сих пор в основным в связи с конкретными прикладными вопросами. Признаков условной устойчивости ОДУ, выраженных через параметры исходного уравнения, и постановок задачи условной устойчивости ФДУ автором данной работы в литературе не обнаружено.

1. Азбелев Н. В., Березаиский Л. М., Симонов П. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. 1.// Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23. - № 5. - С. 745-754.

2. Азбелев Н. В., Березаиский Л. М., Симонов П. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. II // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27. - №4. - C.555-5G2.

3. Азбелев Н. В., Березаиский Л. М., Симонов П. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. III // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27. - № 10. - С. 1659-1668.

4. Азбелев Н. В., Березаиский Л. М., Симонов П. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. IV // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29. - № 2. - С. 196-204.

5. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллииа Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991. 280 с.

6. Азбелев Н. В., Симонов П. М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. — Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2001. 230 с.

7. Антопсвич А. Б. Линейные функциональные уравнения: операторный подход. — Минск: Университетское, 1988. — 232 с.

8. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 4-е изд. — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000. — 3G8 с.

9. Барбашии Е. А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 224 с.

10. Бсллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967. 548 с.

11. Березаиский Л. А. Существование решений и устойчивость линейных дифференциальных уравнений с последействием: Дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01-01-02. — Новосибирск, 1990. — 263 с.

12. Березаиский Л. А., Малыгина Б. В., Соколов В. А. Признаки экионен-циальной устойчивости решений уравнений с ограниченным последействием // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 289. - № 1. - С. 11-14.

13. Вагина М. Ю. Логистическая модель с запаздывающим усреднением // Автоматика и телемеханика. — 2003. — №4. — С. 167-173.

14. Вагина М. 10., Кипнис М. М. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с запаздываниями // Матем. заметки. — 2003. Т. 74. - № 5. - С. 786-789.

15. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. — М.: Наука, 1991. — 288 с.

16. Воротников В. И., Румянцев В. В. Устойчивость и управление ио части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. — М.: Научный мир, 2001. — 320 с.

17. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 3-е изд. — М.: Наука, 19G7. — 576 с.

18. Гусаренко С. А. Об устойчивости системы двух линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. — Пермь, 1989. — С. 3-9.

19. Гусаренко С. А., Домошницкий А. И. Об асимптотических и осцил-ляционных свойствах линейных скалярных функционально-дифференциальных уравнений первого порядка // Дифференц. уравнения. — 1989. Т. 25. - № 12. - С. 2090-2103.

20. Далецкий 10. JI., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970. — 534 с.

21. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — 2-е изд. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. — 480 с.

22. Долгий 10. Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений: Учеб. пособие — Екатеринбург: Изд-во Уральск, ун-та, 199G. — 85 с.

23. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. — JL: Судпромгиз, 1959. — 324 е.; М.: Машиностроение, 1974. — 336 с.2G. Зубов В. И. Устойчивость движения. — М.: Высшая школа, 1984. — 232 с.

24. Карпишип С. Г. К вопросу об устойчивости по части переменных решений систем линейных дифференциальных уравнений // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. — Пермь, 198G. — С. 9-14.

25. Карпишип С. Г. Устойчивость решений дифференциального уравнения второго порядка. // Функционально-дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. — Пермь, 1987. — С. 48-52.

26. Карпишип С. Г. Устойчивость решений линейного функционально-дифференциального уравнения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях // Функционально-дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. — Пермь, 1989. — С. 118— 122.

27. Киръяиен А. И. Устойчивость систем с последействием и их приложения // СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1994. 237 с.

28. Колмаиовский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

29. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — М.: Наука, 19G8. — 432 с.

30. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения // Академик А. М. Ляпунов. Собрание сочинений. — М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. Т. 2. - С. 7-263.

31. Максимов В. П. Определяющие свойства матрицы Коши линейного функционально-дифференциального уравнения // Автоматизация хим. производств на основе базе мат. моделирования. Труды моек, инта хим. маш-ия. — М., 1974. — Вып. 53. — С. 3-5.

32. Максимов В. П. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. — 1977. — Т. 13. №4. - С. 601-606.

33. Максимов В. П., Рахматуллипа Л. Ф. О представлении решений линейного функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1973. - Т. 9. - №6. - С. 1026-1036.

34. Малыгина В. В. Оценки оператор-функции Коши и устойчивость дифференциально-разностных уравнений // Пермск. политехи, ин-т. — Пермь, 1985. 41 с. - Деп. в ВИНИТИ 01.08.85, №6128.

35. Малыгина В. В. Некоторые признаки устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. — 1992. — Т. 28. — № 10. С.1716-1723.

36. Малыгина В. В. Об оценке матрицы Коши некоторых систем с последействием // Изв. вузов. Математика. — 2002. — №6 (481). — С.42-44.

37. Матросов В. М. Развитие метода функции Ляпунова в теории устойчивости // Труды 2 Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Т. 1. - М.: Наука, 19G5. - С. 112-125.

38. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — 2-е изд. — М.: Наука, 1972. — 352 с.

39. Поптрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — С-е изд. — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 400 с.

40. Рсхлицкий 3. И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве // ДАН СССР. 195G. - Т. 111. - № 1. - С. 29-32.

41. Румянцев В. В, Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. — М.: Наука, 1987. — 25G с.

42. Смолин 10. Н. О матрице Коши функционально-дифференциального уравнения // Изв. вузов. Математика. — 1989. — №5. — С. 54-G2.

43. Треногин В. А. Функциональный анализ. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 2002. 488 с.

44. Тышкевич В. А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. — Киев: Наукова думка, 1981. 80 с.

45. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 3-е изд. СПб.: Лань, 2003. - 448 с.

46. Хартмаи Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970. 720 с.

47. Хейл Дою. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. 424 с.

48. Шимапов С. Н., Долгий 10. Ф. О существовании зоны устойчивости для уравнения с запаздыванием // Устойчивость и нелинейные колебания: Межвуз. сб. науч. тр. — Свердловск: Уральск, гос. ун-т, 1988. — С. 11-18.

49. Чудииов К. М. Критерий устойчивости по части переменных линейной системы дифференциально-разностных уравнений // Известия Института математики и информатики УдГУ. — Ижевск, 2002. — Вып.2 (25). С. 103-106.

50. Чудииов К. М. Критерий устойчивости по части переменных автономной системы дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 2003. - №4 (491). - С. 67-72.

51. Чудииов К. М. О сведении задачи устойчивости но подпространству к классической задаче устойчивости // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика. — Пермь, 2003. — С. 152-155.

52. Чудинов К. М. Об устойчивости по части переменных линейных автономных систем с последействием // Изв. вузов. Математика. — 2004. — №0(505). С. 72-80.

53. Чудинов К. М. Об устойчивости по подпространству и ^-условной устойчивости решений периодических уравнений // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. — Пермь, 2005. Вып. 2. - С. 139-146.

54. Чудинов К. М. Об устойчивости по подпространству решений линейных систем с переменным запаздыванием // Изв. вузов. Математика. — в печати.

55. Чудинов К. М. Об одном обобщении жордановой формы матрицы // Тез. Воронежской весенней математической школы „Понтрягинские чтения-VI". Воронеж, 3-9 мая 2003 г. — С. 154-155.

56. Chudinov К. Partial stability criterion for autonomous systems of differential equations // Functional Differential Equations. — 2002. — Vol.9. №3-4. - P.315-323.

57. Chudinov К. M. On stability of linear delayed systems with respect to a subspace. // Тез. VI Международного конгресса по математическому моделированию. — Н. Новгород, 20-26 сентября 2004 г. — С. 74.

58. Amemiya Т. On the delay-independent stability of a delayed differential equations of 1st order // J. Math. Anal, and Appl. — 1989. — V. 142. — №1. P. 13-25.

59. Bold P. Uber DifFerentialungleichungeii //J. rcinc unci angew. Math. — 1913. Bd. 144. — H4. — S. 284-318.

60. G5. Corduneanu C. Some problems concerning partial stability // Symp. math. V. G, Meccanica non-lineare e stabilita. 23-2G Febbrario, 1970. — L.-N.Y.: Acad. Press, 1971. P. 141-154.

61. GG. Corduneanu C. On partial stability for delay systems // Ann. Polon. Math. 1975. - V. 29. - P. 357-362.

62. G7. Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. — Kluwer Academic Publishers, 1992. — 501 p. + XII p.

63. Halanay A. Differential equations: stability, oscillations, time lags. — New York e. a.: Academic Press, 19GG. — 528 p.

64. G9. Ladas G., Sficas Y. G., Stavroulacis I. P. Asymptotic behaviour of solutions of retarded differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. — 1983. V. 88. - № 2. - P. 247-253.

65. Perron 0. Die Stabilitatsfrage bei Differentialungleichungen // Math. Z. — 1930. Bd. 32. - № 5. - S. 703-728.

66. Yoneyama T. On the 3/2 stability theorem for one dimensional delay-differential equations // J. Math. Anal, and Appl. — 1987. — V. 125. — №1. P. 161-173.

67. Yorkc J. A. Asymptotic stability for one dimensional differential-delay equations // J. Different. Equat. 1970. - V. 7. - № 1. - P. 189-202.