Частотные критерии С-инвариантности систем управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗШБЕРСИТЕТ

а=эза«яввгавгавзявзагааавяая8зяззавзс»зазвааава

На правах рукописи ЗАКАРИЯ Иустафа Закария

ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ С-ИНВАРИАНТНОШ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кавдццата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1992

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики ыатеыатнхо-иеханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ЯКУБОВИЧ В.А.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор ФРАДКОВ А.Л.; кандидат физико-математических наук ГУСЕВ Д.Е.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский политехнический университет

Защита диссертации состоится "2 % и 1992 1

в час* на заседании специализированном совета

К 063.5*7.49 по присузвдению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., д.2, математико-механический факу. тет Санкт-Петербургского государственного университета.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им.Ы.Горького СПбУ по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "09 " (О^^М* 1992 г.

Ученый секретарь специализированного

совета, кандидат физ.-мат. наук ШЕПЕЛЯВЫЙ А.

- ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

" "Л

•• -Актуальность тема. Теория инвариантности - одно из важных современных направлений теоретической кибернетики. Ее развитие связано с именами Г.В.Щипанова, H.H.Лузина, П.И.Кузнецова, А.И.Кухтенко, Б.Н.Петрова и др. В работах указанных авторов была поставлена и изучена задача С-инвариантности. В современной постановке эта задача состоит в определении условий, при которых выполнена оценка И1»-)!! <C|Vi-3fl' , где -вход в систему управления, 7Ц-) - выход, С - заданное число и II • II - норма в соответствующих функциональных пространствах. Подобным задачам посвящено большое число статей и ряд конференций. Общеизвестно значение условий С-инвариантности для приложений. В последние годы в работах зарубежных авторов (Зеймс, Френсис, Сафонов, Хелтон и др.) найдены новые подходы к задачам С-инвариантности, связанные с оптимизацией; в истоке этого направления лежат результаты В.Ы.Ада-мяна, Д.З.Арова, М.Г.Крейна. Наличие этих и других работ, появившихся в последние годы, свидетельствует об актуальности темы диссертации.

В данной работе рассматриваются задачи С-инвариантности для нелинейных систем с одной скалярной нелинейностью.

Цель работы состоит в установлении оценки выхода через вход нелинейной системы.

Научная новизна. В диссертации решаются новые задачи об установлении критериев С-инвариантности, аналогичных критериям абсолютной устойчивости (относящихся к системам без внешнего воздействия), в первую очередь аналогичных круговому критерию. Для дискретной системы получены также частотные критерии С-инвариантности, аналогичные критериям абсолютной устойчивости Пирсона и Сеге. Результаты этих авторов частично усилены и распространены на более общий случай - на случай, когда входное возмущающее воздействие отлично от нуля. Для непрерывной системы найдены критерии С-инвариантности, охватывающие все условия, которые могут быть получены с использованием функции Ляпунова из некоторого стандартного

ыногопарамэтрического класса функций.

Методика исследований базируется на методе функции Ляпунова, на идеях, связанных с так называемыми частотными теоремами и с S-процедурой. В третьей главе использовались результаты В.И.Скородинского и Е.С.Пятницкого.

Практическая ценность. Так яв как и другие результаты по теории инвариантности, полученные критерии С-инвариантнос-ти «огут быть использованы при решении специальных задач управления техническими объектами и технологическими процесса«!

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах кафедры теоретической кибернетики ыатемати-ко-мехаиического факультета Санкт-Петербургского университет!

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения» трех глав к списка цитированной литературы из 83 наименований; общий ее объем - 112 стр. машинописного тенета.

СОДЕРШИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор результатов диссертаци приводится ряд известных результатов, которые используются в дальнейшем в доказательствах.

Первая глава посвящена частотным критериям С-инвариант-ности дискретных систем управления с одним нестационарным не линейным блоком. .

В разд. I.I, 1.2 изучается дискретная нелинейная систем управления со скалярным входом У* , выходом ^ и одним нелинейным блоком:

(I)

, t = 0,1,... . • (2)

Здесь A - вещественная тг хп -матрица;^0 ,8'*0> . С 4 0, d - вещественные п-векторы; b"t , 4+ ~ ВХ°Д и выход нелинейного блока; Ф-t - внесшее воздействие; вектор по-

зядка тг . Ниже предполагается, что пары (А »6 ) и (А*.с1) управляемы.

Будем обозначать энергетическуп норму для произвольной зектор-функции через :

II2 = ^ £ £ и41а • О)

Относительно нелинейности У(<гД) предполагается, .что

И)

для всех <т , -Ь .

Пусть в (I) ||Ф(.)1К оо . Задача С-инвариантности состоит в получении условий, наложенных на коэффициенты системы (I), (2), гарантирующих выполнение неравенства

«•ЧоИССЙЧЫ», (5)

где 00 - заданное число.

В раэд.1.2 показано, что имеет место С-инвариантность выхода ^ относительно входа Ч^ (т.е. что выполнено (5)), если существует неотрицательная функция У(х) (функция Ляпунова) такая, что

V(xt+1)-V(DC,) .<-(1иг-С2|^|3). (6)

Функция Vfx) ищется в классе квадратичных форы У(х) ~ х*Нз: , Н = Н* = const > 0. Для установления условий существования (необходимых и достаточных) функции V(x) указанного вида используется частотная теорема'1'. Эти условия формулируются через передаточный функции дискретной системы (I), (2) от вхо- . до в 4t » к выходам , и, таким образом, инвари-

^ Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления // Сибирский матем. журн. 1973. Г.14, Ж. С.384.

антны относительно линейных преобразований системы. Напомним что эти функции определяется следующим образом. Заменим оператор сдвига в <1) оператором умножения на комплексную переменную Л и все переменные - на соответствующие комплексные величины:

Ах -Ах + ^ + в'ч» + .

Отсюда находим

а—УК*)= , (7>

где , \ » 1,4 - следующие передаточные функции: -С*(А-Л1Г1 % , С*(А-Д1)~1€/.

мд^-ст-лУб-*, «та-лт'в'.

Из сделанных предположений следует, что"ЭДШФО ,\/3(Л)ФО

Отметим, что при существовании функции Ляпунова указанного вида и при выполнении некоторых малоограничительных условий должны быть асимптотически устойчивы все линейные системы (1) 0 (2) в » 0, = , , а также долота быть абсолютно устойчивой система (I), (2) с Ч^ = О в классе нелинейностей (4). Простейшим критерием, гарантирующим последнее свойство, является критерий Цылкина (круговой критерий)

М? + ИеТ^Се^) > О УоОб СО, 2*3 . (9)

В связи со сказанным ниже предполагается, что А - устойчивая матрица и что выполнено частотное условие (9).

В разд.1.3 получены основныэ результаты главы, а именно Теорема I.

а) Предположим, что в системе (I), (2Т матрица А устойчива (т.е. все|А1(А)К1) и что выполнено неравенство (9)'. Пусть

t. « w

oOÉCWSCI

и в (I> НЧ'с.)Il< oo . Тогда для любого решения системы (I), (2) выполнено ЦХ(.>11< оо > й % со И < оо и справедлива оценка ГСо II < Со II Фсо I! • ГЯ0

:,8 « in( Sup

IW ,®+ '

(II)

I Щ .¥{(е1М) -функции (8).

б) Условие (9) достаточно, а условие

1 £ > о; + Не1^ > £ |¥3 Ге'ш)|а Уюе СО,ЗД

юобходиыо для существоаания функции У{х)«ос:*Нх и числа

2 > 0, для которах выполнено (6) при любой нелинейности, -довлетворяющеи условию (4). При этой Со в (II) - наименьшее начение из всех таких С .

Теорема 2. Пусть А - устойчивая матрица и выполнено 9). Пусть 4>гш , - два произвольных входа и ,

■ЧЦг) - соответствующие выходы системы (I), (2). Пусть

нелинейность ^(с^ ,-fc) при любых <JC1> , б(1) ,-fc удовлетво-яет условию

>о>

0 4 [ ¥(<5('Vfc) -4(ea>,t)]/(<s«>-a<*>) 4

(12)

эгда ||Д12С., |1 С, Il à Ч'с., !1 , где С0- значение из (II),

Следующая теорема дает более грубые, но более удобные 1Я проверки оценки. Теорема 3. Положим

= тааШе1")! ,М,-та%|№г(е,1%Л1,- mai |lV3(ellJ)j,

M4= max|w4(eiw) I, v= -max [Щс^ШеЧ) •

Пусть патрица А устойчива (т.е.|^(А)< I) и -f líe V/jíe^) > A > 0 • Если выполнено (4), то справедлива оценка ЦЧ<.)11 «C84WÍ, где

С» miaCJViM^A"1*^^1], (13'

и ^о - число в (10). Если, кроме того, нелинейность V(<r,i удовлетворяет условию (12), то справедлива оценка 114*4« К С I йЧЫ! 0 где С - значение из (13).

Вторая глава посвящена частотным критериям С-инвариант ности дискретных систем с одной стационарной дифференцируем! нелинейностью. Свойство стационарности и дифференцируемости нелинейности позволяет сформулировать и использовать дополн тельные сведения о нелинейности.

Введеи следующие нормы

Здесь - некоторая конечномерная вектор-функция.

Пусть в (I) 1/Ц>£.)Л < оо . Нияе решается задача получею

условий, наложенных на коэффициенты системы (I), (2), гара! тирующих выполнение неравенства

П«.> И С Но II , (К

а при условии КЧ'оИ^ < оо - выполнение неравенства

Ио С2 ПЧЫ^+МХв'^ + К,* , <г

где С > 0 - заданное число, Т - число, приведенное ниже; числа к, , К2 - одни и те же для всех решений системы (I), (2) и ).

Относительно нелинейного блока

(18)

предполагавгея, что У (а) ~ скалярная дифференцируемая функция скалярного переменного С , удовлетворяющая условиям

О « ™ < У о > < * (19)

Здесь , <х , - заданные числа, ^ О, & ».Мр . Ниже будем пользоваться обозначениями

где М^ - произвольная функция.

et = ^ (crt St) >0;

(20)

V

Рассмотрим форму где ер,о, i= Пз ; Xt'•= (э^ , |t . Ф* ).

Утверждается, что из (19) следует ЗГ»0 : ОТ»1). (22)

•ио

Рассмотрим также форму

- 2аС(аЕ4М4П,Л'чм) + ¿«аХх/, Е(х/, ^ ),

где £¿»0, 3-«. 5 х; . ( , ^ , % ). Утзервдается, что из (19) следует

зЬо: Сути), (24>

-с«0

Соотноаения (22), (24) будем называть суммируемыми связями. Далее будем предполагать, что (22), (24) выполнены, не предполагая, что справедливы соотношения (18), (19).

Пусть вначале выполнена суммируемая связь (22). Б разделах 2.1 и 2.2 показано, что неравенства (16) и (17) выполнены, если для некоторого Х> 0 существует функция Ляпунова У(х')-»"'Нх' >0 (где х'е Кп+г) такая, что для любого ■Ь:>0 выполнено соотношение

УСО-ЖУ+ТСх/, (25)

Напомним, что здесь, в отличие от гл.1, функция Ляпунова V зависит от ЭС^ = ( Хк , ^ , 4\, ). В первой главе она зависела только от ; таким образом, функция Ляпунова здесь ищется в более щмрохоы классе (функций, чем в гл.1.

Цусть теперь выполнена суммируемая связь (24). Аналогично можно показать, что неравенства (16), (17) выполнены, если

;7(<н>-у(х;>+£(*:,д+()«-го^,!2-№„)*). (26)

Итак, достаточно установить условия существования функции Ляпунова У(х')> 0, для которой выполнено неравенство (25) для,первого случая и (26) для второго случая.

В разделе 2.2 с помощью частотной теоремы установлены следующие критерии существоваяия требуемой функции Ляпунова и, следовательно, критерии С-инвариантности.

Теорема 4.

а) Предположим, что в системе (I) матрица А устойчива, что выполнена суммируемая связь (22) для некоторых £$. > О ( I = I.3 ), а также что выполнено следующее частотное неравенство

■Ц (Л) = £з Ск1 + ) + е, Не [(1- ЛГ1 Щ ] + €,1?е Г(Д-1ЯЙ>

(27)

-ЬЙ ц.л-М^!1- ^Ц-Н1^!* >0 М;|ДМ)-

Пусть Г, =

им

(28)

и в (I) |Це(.)|| < оо • Тогда для любого решения системы (I), (2) выполнено ||а(.)1| < од , || £(.)!) < со и справедлива оценка

йиЖС, IV(•>» ' ГД0 •

С?. Чп| вир (1*+ ( <»>

+ +г1)^ ] + % -('-^ IД-Ц* + V И-ХЧ^Уа-ад!

И Wi = , ч = м - функции (8).

б) Условие (27) достаточно, а условие ЗоО'.иШ^МО)!* необходимо для существования функцииУ(х') * х'*Нх' (где х'<=Кп+2 ) и числа С>0, для которых справедливо (25). При этом С, в (29) - наименьшее значение из всех С 3 (25). Теорема 5.

а) Предположим, что в системе (I) матрица А устойчива, что выполнена суммируемая связь (22) с формой (21), а

также что выполнено частотное неравенство (27) и в (I)

|Ш11{ < оо . Тогда IIX(• оо||£С)й| <« и справедлива

04eHK¿. цчов£ <с0г тп( + к, |х;А Кг/,

где С, определяется из (29) и (28), числа К, , Кг завися! лишь от коэффициентов системы (I), (2) и формы (21), х„' = • (x4Jfeo,V0) И JT - число в (22).

б) Цуеть>для любой нелинейности, удовлетворяющей суммируемой связи (22) с формой (21) xi , , ^ £ и выполнено неравенство (I?), где Са , К, , Кг - общие для всех решений постоянные. Тогда С i С» , где С0 определяется соотношением (29), в котором t0 определяется из (28).

Отметим, что из пункта а) теоремы 5 следуют критерии Се re Cere и Пирсона®^, если в (27) взять tL =0, £, = I. "Если в (25) взять Сг » 0. 6a= I, то из той же теоремы еле дует критерий Джури и Ли % Отметим, что в этих работах пред полагается, что ^ » 0, а также отсутствуют утверждения о необходимости частотных условий, аналогичных п.б) теоремы 5. Аналогичные утверждения доказаны в диссертации для суммируемой связи (24).

Третья глава посвящена частотным критериям С-инвариант-ности систем управления с одной стационарной дифференцируемо нелинейностью для непрерывней системы. В этой главе испольэо вен прием В.И.Скородинского \ который был применен им в дру гой ситуации. В нашем случае это позволило получить необходи мое и достаточное условие существования функции Ляпунова вид V(x)«3E*Ha .где *-[*w] , Ö=c»x .

В разделе 3,1 приводится общая постановка задачи С-инва риантностм для непрерывной системы. Рассматривается нелинейная непрерывная система управления со скалярным входом ,

2) Siego О. П Coop. Rend. Soi. (Paria). 1Э&3. Т.257.

Ssego Q., Pearson J.B. // Automatic Control. 1964-.

V.9, »2.

^ Jury B.J., lee B.W. // Automatic Control. 19G4.

v.ac-9, h1.

^ Скородинский В.И. // Автоматика и телемеханика.

1981. *9. С.21-29.

заходом \ и нелинейным блоком со входом сг и выходом § , шнейная часть которой описывается системой

dx

= Ах + , OfeC*X, |»-У(в) , (30)

ч = d*x + 5| . (3IJ

Здесь xé r", а - вещественная постоянная гурвицева п»п-матрица; £ , , С 4 О, d - вещественные постоянные век-горы порядка n ; <r = tf(-fc) , fe(-t)» VCCf(i)] - вход и вы-сод нелинейного блока; Y « Ц»(-Ь) - внедаев воздействие; Y(cr) - дифференцируемая вещественная функция, заданная на вещественной оси и удовлетворяющая условиям

7(0) = 0 , Oí (<J*0)

о v

04 7Q<jíí Ccy6Rl)

(32)

(Здесь и (/х1 - заданные положительные числа, ).

Обозначим энергетическую норму для произвольной вектор-

пункции 2.Ш через !(€(•)([: - т

т.)Н?= йш 15|г(о|\и: .. <зэ):

Т-»оо 1 о

Пусть Я II < оо . В данной главе решается задача получения условий, наложенных на коэффициенты системы (30), (31), гарантирующих выполнение неравенства

11П(0|| < С ШОП, . (34)

где С > 0 - заданное число.

Предполагается, что И > 2, пара ( А , С ) наблюдаема и пары (А . % ), (Л*. А- ) управляемы. . а

Введем вспомогательный вектор % = ) и вспомогательную "нелинейность" £ р ЧЧс) • Тогда система (30) перепишется в виде

-д^-Вг+^й (35)

где

В разделе 3.1 с помощью функции Ляпунова вида

У(х)»г*Н2 , где Н = Н* И *я(ч{ф)'бвС*х (365

устанавливаются условия С-инвариантности выхода \ относительно входа V . Эти условия охватывают все случаи, котор1 могут быть получены с помощью функции Ляпунова вида (36). Результаты формулируются громоздко и здесь не приводятся.

(

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Закария 3. Частотные критерии С-инвариантности дискретных систем управления с одним нелинейным блоком // Вестник ЛГУ. СврЛ. 1991. Вып.З. С.19.

2. Закария 3., Нудельман Ы.А.. Частотные условия существования функции Ляпунова в задаче об абсолютной устойчивост! системы с одной дифференцируемой нелинейностью // Сб. науч. тр. 2-Я межреспубликанской конференции. Саранск, 1991.