Частотные условия существования периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

1И1ЕГ0Р0ДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.Н.И-ЛОБАЧЕВСКОГО

V

РГ6 од

На правах рукописи

г

Сперанская Надпила Сергеевна

ЧАСТОТНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.04.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание степени кандидата физико-математических наук

нижний Новгород; юз*

. .Работа выполнена на каредро математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета

.Научные руководители - доктор физико-математических наук,

профессор Леонов Г.А.

кандидат ф эико-математических наук, доцент Смирнова В.Б.

Официальные оппоненты:

доктор фиэико-ыатематическет наук, профессор Б.Н.Белых

доктор физико-математических наук, профессор А. Д.Морозов

Ведущая организация - Санкт-Петербургский япектротехначеский ,

институт

Защита диссертации состоится " № " и^ЫХЛ^ 1994 г. в часов на заседании Специализированного Совета К 063.77.01

б Нижегородском государственном университете имени Н.И.Лобачевского по адресу: 603600, г.Н.Новгород, ГСП-20, проспект Гагарина, 23

С диссертацией можно ознакомиться в .библиотеке Нижегородского ..государственного университета имени Н.И.Лобачевского

Автореферат разослан » " Ом^аМАЛ. 1994 г.

Ученый се1фетарь Специализированного * к

Совета,- доцент " ¿/¡3^1 В.И.Лукьянов

ОБЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ^

Актуальность проблемы, работа посвящена исследованию периодических решений нелинейных систем дифференциальное и интегро-диффэренциальных уравнений, являющихся математическими моделями задач, возникающих в важных для современной техники отраслях радиоэлектроники, радиотехники, техники связи и управления.

Задачи проектирования и анализа работы систем автоматического управления требуют подробного изучения основных характеристик работы этих систем в различных режимах. Такими характеристиками являются параметры периодических режимов.

Современное состояние проблемы исследования периодических режимов в системах автоматического управления освещено в книгах "Фазовая синхронизация" и "Системы фазовой синхронизации" под редакцией В.В.Шахгильдяна и Л.Н.Еелюстиной, в монографиях В.В.Шахгильдяна и А.А.Ляховкина^ и В.Лщцсея2^, обзорах Е.С.Пятницкого'' и М.Р.Либерзона . Анализ работ по предлагаемой тематике показывает, что задачи исследования периодических решений для многомерных нелинейшх систзк рзшзии'только в частных случаях.

Цель -работы состоит в развитии частотных методов анализа многомерных нелинейных систем автоматического управления для изучения условий существования их периодических решений.

Методика исследования. Исследование основано на использовании тригонометрических рядов, процедуры Бакаева-Г^ка, выделяющей из периодической нелинейности Функцию с нулевым средним на лерио-де, идеи Е.Д.Гарбера, выявляющей противоречие между возможностью существования периодического решения и его конкретной реализацией. В работе также использованы методика оценочных лемм В.А.Плие-

Т)-

Шахгильдян В.В. .Ляховкин A.A. Системы фазовой автоподстройки

частоты.-Ы.: Связь, 1972

'Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении.-М.: Сов.-радио, К78 ■

'Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивое^* нестационарных систем автоматического регулирования. //Авторам.. тика и телемеханика.- 1968,- S® 6 / 4'Либерзон М.Р. Новые результаты-по абсолютной устойчивосги нз-стационарных регулируемых систем. //Азтоматика и теяетханякс,-1979.- Р8 , '■■■frid

. са, реализующая идею сравнения рэзз двух систем с одинаковой линейной частью, штод .матричных неравенств В.А.Якубовича, позволивши? перенести методику В.А.Плиссе на исследование систем произвольного порядка.

Научная новизна. В диссертации впервые подучены: I) частотные оценки интервала часточ,; на котором отсутствуют предельные циклы второго рода для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с щ:линдр;:чс - "л ' аьш пространством} "2) условия отсутствия периодически-. кшмов второго рода определенной частоты для ккогомернкх систем интегро-диф^зренциальных уравнений о периодической нелинейностью;

3) условия существовали.1: периодических решений для систем обыкновенных -ди^еренцпалъктс уравнений с нелинейной Функцией, удовлетворяющее обобщенном ^словчям Гурзица, в случае, когда характеристическое уравнение линейно" части этой системы имеет пару _ чисто мнимых и одно нулевое решения.

Бее условия сформулированы в терминах частотной характеристики емстекк, удобна!1 для инненерных расчетов.

Практическая ценность работы. Результаты работы могут', быть использованы для расчета нелинейных систем автоматического регу-• лирования и систем синхронизации.

' Агтробагтия таботн. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах каФедрн теоретической кибернетики математико-мехашческого Факультета ЛГУ (шиэ С-П5ГУ), кафедр математического анализа ЛТШ им.А.И.Герцена '{нътне РГПУ) и 'КПШ им.М.Горького (нкне НГПУ), на всесо:сг-ной научно-технической конференции по проблемам яошязния эффективности и качества систем синхронизации (1982, 198-5 г.), на заседаниях школы-семинара института математики Воронежского государственного университета "Современные метода качественной теории краевых задач" (1991 г.), на Третьей Северо-Кавказской региональной 'конференции ' %йкционально-даФФе-..ренциальные уравнения" (1992 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть рабск.. 3 - совместно выполненных работах соавторам принадлежат постановка * . задачи и общее руководство исследованиями.

Структура' й объем диссертации.-Диссертация состоит из вве- ' дешя и двух глав, объел¡»нягаих 5 параграфов. Диссертация содержит 98 страниц машинописного текста, 9 рисунков, Список лптера-_ туры перечисляет 79 налменованкГ:.

• . СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИЙ

Во введении дана историческая справка, поставлены задачи исследования и описана структура работы.

В первой главе диссертации получены частотные условия.от- , сутствия периодических решений второго рода для многомерных и бесконечномерных фазовых систем. Такие системы широко применяются в системах связи, управления, радиолокации и радионавигации.

При исследовании указанных систем используется методика, предложенная в статье Е.Д.Гарбера^ для исследования автономной системы с кусочно-непрерывной нелинейной функцией, .удовлетворяющей обобщенным условиям Гурвща. Присутствие в исследуемых системах периодической нелинейности потребовало применения процедуры Бакаева-Гука, распространенной на многомерный случай.

В § I первой главы изучаются фазовые системы с одной скаляр-* ной нелинейностью

(I) ¿«Лг + Й^, =

где ст - постоянная гур=:-:цеза л-*гг. -мггтряца. 6 и с - постоянные гь -мгрнне векторы, ^ - число, - дифференцируемая, Д -периодическая функция, удовле творящая условиям:

■ А* . О*))*- О;

Здесь и - некоторые чи^ла, причем из периодичности

функции следует, что < О , улг>0 . Не -исклвчазэтся .

и случаи, когда ^ = - =-о , а ¡и.. - ■+ , При этом считается, что у*./1 = ¿7 и ju.iT1- - О ,

В формулировках и доказательствах используется понятие передаточной функции линейной части системы, которая для систсмк (I) находится по Формуле

■ Здесь и далее - знак эрмитова сопряжения матрицы, I -единичная матрица соответствующей размерности, о - комллянснгя переменная.

• . Для рассмотрения выделены раиания* юторда называвтся п^х-дельными циклами второго рода.

^Гарбер Е.Д. О частотных критериях отсутствия периодических режимов. //Автоматика и тело>.'схат->:п.- Ё? II ■ ■ -

Определение. Решение н (■£) , системы (I) называется

предеда^йд" дакяом второго рода, если существуют числа Т> О и целое .'у ^ @ такие, что . .

3 (Т)~*СО), ь(т)-бг(о) - / Л .

%оло у? такое, что 7~= называем частотой предель-

ного циющ второго рода.

Б работе поставлена цзль :ть интервал частот, на котором отсутствуют предельные циклы 1.дорого рода у системы (I),

Для йормуяировки основного результата $ I вводится, число .

* = (]Ч>6>) ) (

к о о

Теопема I, Пусть для неотрицательного числа и0 существуют чдала В>0 , г» О и У такие, что выполнены условия:

1) Т) К'х(о)-# О,

2) ^^(^Г1 ¡К(Ы)!г-& О К(ы)~

+ )) + £ <¿0 при ьсех гЛ? г*т0 ,

Тогда у систсш (I) кс еу^сствует предельных циклов второго рода частоты .

Если , ~иТс~ О , то полученный результат совпадает с условиями глобальной асимптотики системы (I). Если жъ ъГс¥-О , то теорема I позволяет выделить диапазон частот, на котором невозможно существование предельных циклов второго рода.

Для иллюстрации использования теоремы I приведены результаты исследования конкретных систем. 9?АПЧ, динамика работы которых описывается уравнениями (I). Приведены оценки интервалов частот, на которых рассматриваете системы не могут иметь предельных циклов второго рода. Отсутствие предельных циклов .второго рода любой - частоты является необходимым условием глобальной асимптотики системы (I). Поэтоцу с помощью полученных оценок можно оценить область глобальной устойчивости системы. В кавдом из примеров' эта оценка сравнивается с полученными другими авторами результат тами. •

. Для оценки частоты предельных циклов второго рода для фазовых систем разработано много приближенных методов.

По-видимому, впервые задача об оценке частоты предельных циклов второго рода была поставлена Ю.В.Эльтерканом и В.С.Дулиц-•ким, которые предложили использовать для ее решения метод гарио-

кического баланса. Прибяккекный метод гармонического баланса основан на некоторых физичесга;х гипотезах, которые не выполняются даяе для некоторых систем первого и второго порядков.

В § 2 первой главы проведен расчет частот предельных циклов второго рода для системы ФАПЧ второго порядка по методу гармони-•ческого баланса, а таксе построена граница существования предельных циклов второго рода с использованием результатов теоремы I. Показано, что для зтой системы мзтод гармонического баланса дает значения частоты предельное цикла второго рода, которые попадают в область отсутствия предельных циклов второго рода, рассчитанную по теореме I.

Далее проведено сравнение результатов теоремы I с результатами решения задачи о нахождении частоты предельных циклов ето-рого рода асимптотическим методом. Для системы ФА1ТЧ второго порядка проведено сравнение результатов, полученных С.И.Евтяновеь. и В.К.Снедковой^ методом медленно меняющейся энергии- и по условиям теоремы I. Сравниваемые результаты не противоречат дат

—уяттпг,

' V* » !

В § 3 исследутотся системы интегро-дифференциальных уравне- ■ ний ^

(2) *(Ь)=<К±)+Я <е(Ъ(г))с&, ¿2 0, Л? С,

где , о") , ¥(<$) - и -мерные вектор-пункции,

- постоянная и- * и. -матрица, ^ {-¿) - матричная функция размер-'" ности п.* п.. , -

Вектор-йункция = {^¿(^Л), 4, ••• ,->*•} удовлетворяет следующим условиям.

I.Функции ^ (1 = 1,2.;. ? к) являются Ь , -перлодачас- ,

кими.

2Л>ункцш (бе) (С-£>...) и.) ровно даа раза меняю? знак . на промежутке [ О • д « ) . '¿сли % (ь/) = ) = О} * ^ то < , 0, к = /, Л,

З.Фуняции .... и). кепрвршзис

на Я и существуют числа и^ >0 такие, сто

^Евгянов С.И. »Снедкова В .К. О" зависимой®? лэлосн захвата Шаговой автоподстройки от хаг-актарясггка-Чва^вого при * пропорци онально-кнтзгр'.фущеи: *>идь пМ;

- е -

&1триадое ядро ■ - М 5 « к) и внеинтеграль-ный.член «6О) = ¿т)3 (¿=1,...,*) обладают следующими свойствами.

1. ^с НЗГфарЫБШ на [О, ~ оъ) , при

2.Существует постоянная С±> О такая, что

3.Шункции ^ (±) измеримы л существует постоянная сг > О такая, что

' **/> (с* *)Гч & & = < •• V *•-)•

Вводится определение периодических режимов второго рода для системы (2).

Определение. Решение 6" I = { 6«. №5 (£•> 4,...] ь.) .системы (2) назовем периодическим режимом второго рода, если существуют числа Т 0 и целые ь) гакие, что

б"е (*) = Д 60 + (к .

где Ф&) = ¡4с М) некоторая непрерывно дифференцируе-

мая функция, имещая период Т « При этом -иг такое, что Т- называется частотой периодического рекима.

Передаточной функцией системы (2) считается функция комплексной переменной р :

К (р) = - И ел/> (-/> Л ) + Техфгр ь) х (4) сС£.

Для дальнейшего вводятся числа

^«(54(0^))~£ (С-

х о о

и диагональные матрицы М {

Теорема 2. Если существуют диагональные матрицы

■ К,.:.,О, 0 = /У«,..., ^ =

IcU.ua {г1>,,,г г^З такие, что выполнены условия

I) Уе>£?, ^ .

» 2) КЧ0)СЕ^М)КГ0)~

• 35существует число г^ г <9 такое, что для любых гсг? гс^. :матрица

Ь. (К*(£*о)(Е+1-/А)К(1-и)- ' К г+ X) ) ' отрицательно определена, тсгда система (2) не имеет периодических режимов второго рода частоты

Для шшострацж теоремы приведены результаты исследований, конкретных систем 5АПЧ с аапайдпзаниеи в цепи обратной связи и проведено 'сравнение этих результатов с результатами, полученными в монографии З.Лиццсея.

Сравнение результатов, порченных с помощью теоремы 2,и результатов В.Линдсея с о дне!; стороны, со значениями полос захвата, полученными вачвстаенно-чис.юзпглтл методами, с другой стороны, • ПОЗВОЛЯвТ ВЫЯВИТЬ границы ПТЛГМ'ЗПИ!. 1эсти формул В.Линцсея. Могно указать такие значения параметров системы, прч которых результаты теоремы 2 дадот более тошную оценку полосы захвата, нежели формулы В.Линдсея.

В § 4 показана возмогнссть применения той же методики исследования для систем вида

— ё ~~ 1 • I = ~ - ^ + '

ос = Лх + в >

где Л - постоянная гурввдева и.* и. -матрица, В и С постоянные к ? уп. -матрицы, ■£('о} - непрерывно дифференцируемая А -периодическая ип. -мерная вектор-пункция,. и

- непрерывно дифферонцтоуечыэ функции, удовлетворяющие .

условиям

Ч^+сО» ч<г, е**)» е), «"ел.

Здесь и у-'.г_ - некотори? числа.

К исследованию таких сьсте;,: приводит, например, задача диализа работы регулятора факг.ч»Сйрда.

Теорема 3. Зслк' 0 ,. С0 а ьипояюкн услсвкй

о * ' % '

1) матрица V (О) д олени?« гг»ип стурзлек^ка,

2) существует лае ? О таксе, ч?с для любого иг? гсс -

положительно сгтг.еле.геьз., то система (3) не кмпот пгеделмаг: отчяов второго рода частоте

Здесь КСр) - матричная функция комплексной, переменной р

КС

Приведен пример исследования системы, описывающей работу синхронного двигателя с нулевой нагрузкой и получен вывод о ее глобальной устойчивости.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию периодичес-'ких решений системы дифференциальных уравнений вида

(4) X = ЛX + 6 ,

где ' Л- - постоянная к% п -матрица, ё и с - постоянные к -векторы, - непрерывная скалярная функция, удовлет-

воряющая условию Липшица, а также условиям

(5) 0 < аде-^дб-2-5 6-е ¿е, 4(0)* о,

где угг - некоторое положительное число.

досматривается система, у которой характеристическое уравнение линейной части имеет пару чисто мнимых корней, один нулевой корень, а остальные корни ймзп? отрицательные действительные части.

Передаточной функцией системы (4) названа функция комплексной переменной р

которая предполагается невырожденной.

В рассматриваемом случае X (р) имеет один нулевой р^О, два чисто мнимых р25 - ± ¿-и!© полюса, остальные полюса имеют отрицательные действительные части.

Кроме того, предполагается, что система (4) обладает свойст-,'вом предельной устойчивости, то есть линейная система, получающаяся из (4) при Ч'('5')=£€Г , где & - некоторое малое положительное число, является устойчивой.

Функции Ч'Съ) выбираются из специального класса: ' Определение. Шберем числа Л Н 1 5" , & так,- ' чтобы выполнялись неравенства:

ГДе ьт), ¿ = ¿г

¡»-»оо! Г > .

' е, = йъ г).

о

Будем считать, что функция принадлежит классу

Е (к. Н, , если

при

= Ъ^Су*. при М>£.

После доказательства нескольких оценочных леш получена

Теорема 4. Пусть *€(е) е В (к, Н, Б) , где - достаточно малое по сравнению с нормами |ЦМ , I £ ¡1 , 1! с || й величинами (5. , Н число. Тогда существует траектория системы (4), не стремящаяся н началу координат при £ -» <-<=«=>.

Для формулировки теоремы о существовании у системы (4) пе- ' риодического решения вводится в рассмотрение Функция

и обозначение $"(<*>)* ~ а ■

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4 и, кроме того,

) _ п; ¿¿т.^СЗ'Ы) ~

Тогда система-(4) имеет периодическое решегаге, отличное от состояния равновесия.

Теорема 4 позволяет таете найти необходимое-условие абсолютной устойчивости системы (4) в классе /Л(0}^1 функций, удовлетворяющих условиям (5). _

Теорема б. Для абсолютной устойчивости системы С4) в классе необходимо, чтобы

« й -

^ Й ^ . -чУ

На основе теоремы б рассматривается проблема Айзерыака для ■ системы (4). Пусть известно, что полученная при - ^(Ч) ~ €в"е <£ линейная система имеет асимптотически устойчивое по-

ложение равновесия при любш: б") - 6* . Теорема б позволяет сделать вывод, что если у<. > О, то нелинейная оис**.

тема в классе М (0} ух] не будет абсолютно устойчивой.

Полученные во второй главе диссертации результаты и достав точное условие абсолютно!* устойчивости системы (4), доказана^,' В,А.Якубовичем, позволяют еформулт*розать еждузций результат*.

Теорема 7. Пусть выполнены условия. .¡£ > о > О

* -и!'-}

Тогда для абсолютной устойчивости системы (4) в классе функций . /М^уЛ необходимо и достаточно, чтобы

//д + JTi-Wj > р для любых гьг? С.

Приводится геометрическая интерпретация этого условия.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1.Леонов Г.А.,Сперанская Л.", Тгэнки чглтотк биений в многомер-- ных системах &ffl.//Рэдяотехкига.- 1985.-Р 3.- С.32-35

2.Сперанская Л,С. Оценки частоты предельных циклов второго-рода для фазовых систем.//Проблемы повышения эффективности -и качества CHCTeivj синхронизации: Тезисы докладов всесоюзной научно-технической конференции.-М.:Радио и связь, 1985,- С.25

3.Абрамович С.М. ,Первозванский A.A.,Сперанская Л.С. Устойчивость и колебания динамячесн-кс систсм с цилиндрическим фазовым пространством, //Дифференциальные уравнения (математическая физика): Тезисы докладов участников куйбышевского областного межвузовского научного совещания-семинара.-Куйбышев, 1984.- С.З

4.Сперанская Л.С. Необходимые частотные условия абсолютной устойчивости систем в критическом случае пары чисто мнимых и одного нулевого корня.//Матегатическая физика. Межвузовский сборник научных .трудов,- Л.; 1934.- С.46-48

5.Сперанская Л.С. Оценки частоты предельных циклов второго рода для интегро-дифйеренциалькых уравнений. //Научно-методическая конференция преподавателей математических кафедр, посвященная 75-летию КГГ1И: Тезисы докладов и сообщений.-Киров, I990.-C.6I

б'.Леонов Г.А.,Смирнова 3.Б.,Сперанская Л.С.,Фальк А.Е. Исследование периодичеогих ре:5кмов систем с распределенными парамет-. рами и периодической нелинейной функцией.//Функционально-диф-, -ференциальные уравнения и их приложения.:"Тезисы докладов Третьей Северо-Кавказской региональной конференции.-Махачкала, 1991.- С. 92

Подписано в печать 8.04.94. Тираж 100 экз. Заказ 54.

Ротапринт НГДУ