Числа Хелли, Радона, Каратеодори и Голди в решетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

<-■ .

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХ/ЛИКИ

На правах рукописи

ЗОЛОТАРЕВ Анатолий Петрович

ЧИСЛА ХЕЛЛИ, РАДОНА, КАРАТЕОДОРИ И ГОЛЛИ В РЕШЕТКАХ

01.01.06 - математическая логика, алгебра, теория чисел

Автореферат диссертации не соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7'

Екатеринбург - 1952

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Уральского ордена Трудового Красного Знамени Государственного университета имени А.М.Горького

Научный руководитель! доктор физико-математических наук, профессор БАРАНСКИЙ В.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор МИХАЛЕВ A.B. кандидат физико-математических наук . ЕЕШИНОВ Е.А. Ведущая организация: Саратовский государственный университет

Защита состоится * // " J^ffk-f* J 1993 г. в " /3 "час на заседании специализированного совете К.002.07.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620066, г.Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

■ Г -

Автореферат разослан года

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физико-математических наук А.С.Кондратьев

í "i

POCC^íCKAI i , i-.-- • -rt'.i'i.. :•• --.i-ij

í>¡■ Ъ-i'-'•(-> λ¿»'.Л

Направление, посгященное кэучени) чиглоаьгх характеристик юшегок, среди которых едсла Хелли, Радона, Коратеодори и Голди, формировалось благодаря внутренним потребностям теории рыяеквк, i также под влиянием идей и результатов из абстрактной теории гы-1уклости, теории колец и модулей. С привлечением указанных чисел сдается по-новому осмыслить рдц классических теорем теории решеток, теории колец и модулей, теории выпуклости и получить их обоб-цения.

В теорля выпуклых множеств известны три фундаментальных ре-

Ü

зультата: теореш Хелли, Радона и Каратеодори (см., например, в книге

Ci] ).

ТЕОРЕМА А С £ . КъНц, 19Г31. Пусть^ - семейство, содержащее не кенее tl+í выпуклых подмножеств в ti -верном :юм пространстве , причем Л конечно или kw.çsk: множество из Л комтктно. Тогда, если кяздье /1 + 1 множеств семейства Jb км«-ют общую точку, го существ! ет точка, абг;ая всем множествам семейства Л.

ТЕОРЕМА В ( J • Râctoa , Î92I). Каждое из И+2

или бoj.ee tj4f;4 б Л* может быть представлено как объединение двух непересекающихся мнохеегг, выпуклы* обозточки которых имеют общую точку.

ТЕОРЕМА С ( С. C¿tdítiéocLoby , IS07). Кчадак точка, приняд/етацяя выпуклой оболочке CON-vX > гАе X ~ подмножество из R. , может быть представлена, ь виде выпуклой комбинации М.+ Í (или меньшего числа.) точек, принадлежащих X.

Теоремы Хелли, Ргдона и Каратеодори ихе>ет многочисленные и разнообразные прилояс.'Ния и обобщения, (см., например, )'.

Ранитие выпуклого анализа привело к создали» аксиоматической теории еьтукжзеги. С алгебраической точки аренич пространство выпуклости предстдвлйет иг себя непустое wnorecf во рассматривай-

кое вместе с вьщеленкой е нем системой подмножеств & со свойством замыканий. Обзор работ по теории выпуклости выполненных до 1983 года содержатся в монографии В.П.Солтана [2] .

В аксиоматической теории выпуклости теоремы Хелли, Радона и Карате од ори служат отправным моментом для введения чисгл Хеллн, Радона и Каратеодори пространств Еылуклосги. Взаимосвязь между этики числами интенсивно изучалась во многих работах (см. библиографию б [2] ).

Хорошо изьестно. что система подможеств со свойством замыканий является полной решеткой относительно теоретико-множественного включения. В связи с этим естественно рассмотреть следующие задачи.

ЗАДАЧА I. Распространить определения чисел Хелли, Радона и Каратеодори на произвольные решетки с нулзы так, чтобы для случая пространств выпуклости эти определения были эквивалентны обычным определениям чисел Хелли, Радона и Каратеодори.

ЗАДАЧА 2. Изучать взаимосвязь между числамч Хелли, Радона и Каратеодори в различных, в том числе наиболее важных, классах решеток.

ЗАДАЧА 3. Изучить пзаимосвязь между числами Хелли, Радона, Каратеодори и другими наиболее употребительными .числовыми характеристиками решеток.

ЗАДАЧА 4. Указать приложения чисел Хелли, Радона и Каратео-

1

дери в теории решеток.

Отмети«, что начальный шаг в изучении чисел Хелли, Радона л Кератеодори ъ решетках в русле зздач ?-4 сделали Биркгофф и Бинне1 п совместной работе [3} , в которой они установили теоретико-реи^е точный аналог теореи Хсллч, Рсдоча, Каратеодор:; и ввели понятия рангов Хелдк, Радона Каратеодори для точечных решеток (в над^й тер&гнолегка это буду? кап роз числа Хегс.г/, Радона л Каратеодори)

В § £1 диссертации основной реоультат из этой работы был нами Д0И0ЛИЗН.

При исследовании задач 1-4 к числа*: Хелл^ Радона и Ка;птео-дорл ш добавляем и число Голди. Наполним, вкратце, историю возникновения числа Голди.

Известны многочисленные исследования по поиску критериев вло-.кимости колец в тела (сн. обзор р&бот в книге К.Фейса [4] ). В 1958 году А.Голди доказал следуюода теорему.

1Е0РЕМА 1) . Кольцо без делателей нуля будет правым телом частных тогда и только тогда, когда оно не содержит ни одного правого идеала, являющегося бесконечной прямой суммой ненулевых правых идеалов.

В дальнейшем стали говорить, что лрагый }^-модульМ имеет конечную размерность Голди, если К не содержит бесконечных прямых сумм ненулевых подмодулей. По следствию из хороао известной теоремы Крулля-Римака-Шмидта тогда(Д содержит не более чем№ независимых подмодулей, для некоторого натурального Ц определяемого однозначно и называемого размерностью Голди модуля М-

Размерность Гол;',п (а нацией терминологии число Голди 1 и дуальная размерность Говди модулей и колец были предметом самостоятельного исследования во многих работах (с;.!., например, библиографию по этой теме в книге К.Файса (41 и в работе [бЗ ). С 1984 года разкернасть Годци в модулярных решетках издали Гржпчцук и Пучилов-ский [61

Приведем теперь точные определения чисел Хелли, Радона, Ка-ратеодери и Голди в произвольны* релстках с нулем. В ддльнэйяем решет кг. с нулем 0.

Подмножество X называется |»н е з аИ -

синим (независимым по Хелли), если для любого коночного под-

множества Х^ X выполняется соотношение

Подмножество называется ^-незави-

симы м (независимым по Радону), если для любых конечных дизъ-: юнктных подмножеств Х^) Х^ X. выполняется соотношение

Подмножество ^ с |_Л10| называется ^-независимым (независимым по Голди), если для любого конечного подмножества

ХсХ

даеем

где & - произвольный элемент кз Х^» Число Хелли

, число Радона £ =

и

число Голди определим, соответственно формулами

-независимо в $ ир { | XI : X 1 независимо в М;

9(Ь)=ди|>11Х1 -X <|-независимо в Для определения числа Каратеодорд нам необходимо еще'одно понятие.

Подмножество р из Ь называется каркасом (снизу), если для любого ненулевого € Ь существует ОС 6 р* такой, что о < Я з ^ • •

Числом К. а р а I е о д о р и решетки Ь по каркасу Р назове;»! наименьшее целое вдело О (если оно существует),

такое, что для кзбых ¡э <£ Р, I € Р , удовлетворяющих условиям ЗС,^ I £>1 ^} существует подмножество Т^ $ » УД0Б

летворялщее условиям

X 3 V Т, |Т\ $ к . Если такое число £ не существует, то считаем, что число Каратеодори разно оо . Число Каратеодори решегхи Ь по каркасу (Г будем обозначать через Ср-Ср<-1

В случае пространства выпуклости ) каркасом является,

например, множество | ( ■эс.б [ (через Д обозначаем замыкание множества .Д. £ X ) •

Можно докозатЬ, что число Каретеодори пространства Еылуклости ( X, & ) совпадает с числом Каратеодори решетки в по каркасу |Г> число Хелли пространства ьыпуклости ('Х)(3' ) совпадает с числом Хелли решетки С- . а число Радона простр.чнс;за випумости и обычном определении на единицу больше числа Радона решзгки & в смысле нашего определения.

Хотя э нашем определении числа 1а) > могут

быть бесконечными, мы, в основном, сосредотачиваем свое внимание • на исследовании конечных (классических) этих чисел.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из яведения и трех глав.

Первая глава посвяцена соотношениям между числам Хелли, Радона, Каратеодори и Галди в произвольных решетках с нулем'и взаимосвязи этих чисел с другими числовыми характеристиками решеток.

Очевидно, справедливы импликации: К -независимость Ч>~ независимость ^-независимость. Следояетедьно, выполняются неравенства

Имеются примеры, когда в этом соотношении достигаются равенств* и гтрогие неравенства.

В 5 2 нами установлено, что фзктически все мзвветные соотношения между числами Хелли, Радона и Каратеодори я пространствах выпуклости могут быть распространены на произвольные решетки с нулем. Укажем одно из наиболее интересных соотношений.

Если числа а конечны, гдо - некоторый кар-

кас решетки Ь то справедливо Нерменстпо

»Ц^и СрШ.аси-1)+*.

Это неравенство обобщает и уточняет неравенство Экхоффа-Диеймсона для пространств выпуклости.

Кроме известных соотношений в пространствах выпуклости наш установлены и другие соотношения меладу числами Хелли, Радона, Ка-ратеодори и Голди.

Укажем здесь, как наиболее интересное, аналог неравенства Эк-хоффа-Джеймсона, который установлен в § 3. В начале напомним определение Н-дистрибутивных решеток, которые систематически изучались к широко использовались в последние десятилетия (см., например, библиографии в р!^ ).

Решетка называется И--дистрибутивной, если в ней выполняете; тождество

у&х: - VI* Л V¡^«г. I £4< 1е<-< и < Н+А •

Наименьшее из натуральных чисел Ц (если такое число Н сущесТ' вует), при котором решетка К-дистрибутивна, кы называем числом дистрибутивность решетки Ь •' Если такое число К не существует, го считаем, что число дистрибутивности решетки равно ое> . Число дистрибутивности решетки Ь обозначаем через ¿1- Ь) ■

Нами установлена

ТЕОРЕИАЗИ. СираредлиЕО' неравенство

г(ЬН cLíLHL(L)-l)t^,

при ус.-тогки, что числа и й- () конечны.

Следующее ¿твердение из.§ 3 не только устанавливает взкмо-связь мс«ду числом Каратеодори и числом дистркбуг'вноотг решетки

, но и используется для установления И -дистрибутивности некоторых конкретных решеток.

ТЕОРЕМА 3,5 Пусть в алгебраической решетке Ь каркас ]Г состоит из вполне неразложимых с объединение элементом и к&ядый элемент

является объединил некоторого подмножества (вообще говоря, бесконечного) из{? . Тогда число Каратеодори решетки Ь по кяркасу'(Т' совпадает с числом дистрибутивности этой решетки.

В 5 5 рассмотрены и случаи, когда имеют место неравенства

Элемент ОС € Ь называется Л -неразложимом, если условие » где влечет условия ' •. .. г

X иди ОС-4- X. • . С.

Предстаплениа х 1 х^у ... У элемента ОС С Ь 'ТФзыва-

ется несократимым (неприводимым) j-разложением, если

Для любого и элементы

-неразложимы. ,

Двойственным образом определяется несократимое (Н-разлсженив элемента а := аг^Л л ОС

Для решетки Ь с единицей I, очевидно, двойственным образом можно определить дуальные числа Хелли, Ц) > Радона и Голди , напр,'.мер, ) X ДУально

независимо в \ . В диссертации рассматриваются также- вопросы о взаимосвязи чисел Хелли, Радона и Голди с дуальными числами Хелли, Радона и Голди.

Следующая теорема из § 15 обобщает теорему 2.39 Варадараяна К. из работы [5] , которую он фактически доказал для решетки подиоду-т лей данного модуля, и устанавливает приложение дуальных чисел Хел- ■ ли к теория конечных разложений элементов ре-летки.

ТЕОРЕАА 5.4. Если Ь - пепрериЕнак в;:из решетка с эдиницей С, " то для натурального числа (V следующие ус по а.1 я равносильны: . ]

1) =

2) существует неприводимое ./-разложение единицы

^^' •и для любого другого неприводимого разложения

^У 'Л'^яг справедливо неравенство улйп, .

Заметим, что здесь мы дали более слабую форму предыдущей теоремы по сравнению с доказанной з диссертации, чтобы нэ приводить специальных дополнительных понятий теории решеток.

Из известной теоремы Куроща-Оре следует, что если единица I модулярной решетки конечной длины имеет два неприводимых ^разложения, то эти ^-разложения имеют одно и то же число элементов. •

В следующей теореме из / 5 для установления этого факта не предполагается наличие ни лодуляркости, ни конечности длины решетки

ТЕОРЕМА 5.0. Если в решетке с единицей í для любого ^неразложимого элемента элемент ^ V является -неразложимым в лодрешегке С £ Ь | 2 ^ и существует неприводимое ^ -разложение V , то имеет мес. о раьенство

Известно, что дистрибутивные, модулярные и полукодулярные решетки .наиболее популярны в теории решеток и наиболее часто используются в приложениях. В настоящее вреде в теории релеток и приложениях большую роль играют к другие классы решеток, например, полудистрибутивные вверх или вниз решетки. Представлялось естественны.! изучить числа Хелли, Родона, Каратоодори и Галди именно в Еьгае перечисленных классах решеток. Поэтому автор первоначально занимался изучением этих чисел 'в хорошо известных классах решеток [20-23^] . Наш было установлено, что в большинстое из этих классов числа Хел ли, Радона и Голди для решеток совпадают. Далее естественно возник вопрос о наховдешы достаточно обширного класса решеток, в которл. содержатся упомянутые ранее классы решеток и в котором имеет кесто отмеченный факт. Для этого, а также для приложений чисел Хелли, Радона, Каратеодори и Голди, автором был Еыделен и достаточно подробно изучен естЕестве;;ный класс уравновешенных решеток и решеток с уравновешенным каркасом, представляющий, по нашему мнению, и самостоятельный интерес.

Итак, глава 2 диссертации посвящена изучению уравновешенных решеток и решеток с уравновешенны!« каркасом, а также рассмотрению задач 3-4 в этих классах решетках.

Каркас р решетки ;«ы называем уравновешенным, если для любого конечного ^-независимого подмнокества Х£ £М0} и любых элементов О.*, З^а, ё РЧО} условия Ж^ЛСЛаУ^УХПгв, *-аЛ(\/Х)=0 влекут условие Хд (¿»¿У СУХ))г0-

Если при этом Р:: С» • то решетку ^ называем уравновешенной.

о

Уравновешенными являются ьодулярнуе, о-дистрибутивные (в частности полудистрибутпвные зниз решетки и решетки с псевдодополнениями) и другие решетки. Немодулярные геометрические (и некоторые другие) решетки принадлежат к классу решеток с уравновешенным каркасом.

В частности, в § 8 диссертации установлено, что атомчйя решетка является уравновешенной тогда и только тогда, когда она не содержит о-подрвыеток вида и Ь.

О О

Из классических теорем Хелли, Радона и Каратеодори вытекает,

что рассматриваете нами ч«4сла Хелли Я , Радона Ч. и Каратеодори С Н-мерного аффинного лространсгва связаны соотношением

х= с= к +

Естественно иознпкает вопрос. 3 каких решетках Ь имеют место' равенства:

= (г :

к&\ = чШ - - ^

Ш - ни = ,

где Н'- натуральное число некоторым естественным образом связанное

>

с решеткой?

В § 5 диссертации мы доказываем ряд утверждений о независимых подмножествах в решетках с уравновешенным каркасом (в частности г уравновешенных решетках), многие из которых обобщают аналогичные утверждения в модулярных решетках (например, из книги Л.А.Скорня-КОЕ«[8]).

Как следствие из этих результатов вытекает

ТЕОРЕМА 6.5. Если решетка Ь имеет уравновешенный каркас р1, то &.сМ

После того как ? этой теореме установлены равенства (I), мы а 5 9 изучаем свойства уравновешенных решеток и решзток с уравновешенным каркасом, имеющих конечное число Голди, а такте устанавливаем равенства (2) - (3).

.Нам необходимо еще несколько понятий.

Элемент ¿Св называется существенным в

решетке > если для любого элемента выполняется

условие ССЛ^О.

Элемент X называется существенным в

элементе 6 ^ {о1) , если ас. < и справедлива импликация

ХЛ(г^О для нр

для произвольного элемента

Элемент ¿,\{0\ назыврется равномерным, если

любой элемент 1л удовлетворяющий условию О < X ^ ^ ,

существенный в ' '

Следующие три утверждения обобщает г.калогиччче утверждения для решетки подмодулей данного модуля [93 и существенно используются во многих утверждениях из §§ 9-12 диссертации.

ТЕОРЕМА 9Л. Пусть ураЕновешиглый каркас р является верхней подполурешеткой решетки , Ч ~ натуральное число. Тогда следующие усгория эквивалентны:

«) асы»*-,

2) Рсодержит такое ^-независимое подмножество что элементы _,,. . л:^ - равномерные, а элемент -З^У«.. существенен в решетке и . .

ТЕОРЕМА 9.5. Пусть решетка Ь имеет уравновешенный каркас Т^ II ~ натуральное число. Тогда следующие условия эквивалентны:

■ 1) ^и^п)

2^ для тобой последовательности 0 ^ * • • элементов

из и существует конечная подпоследовательности ^ < «•-< такая, что ■< И- и для любого числа И1. ^ элемент у,', существенен г ^ , а элемент - несущественный в элементе

■ I К-1,...,.М), кроме того для некоторой последовательности имеем 1 = И -

Пусть Ь - непрерывная вверх рэшэтка, , -ЗСЛ "Ц-О-

Используя лемму Цорка, легко показать, что существует элемент Ь такой, что = ас^ , (-га2=0

Пусть = ¿(гс)1хеЦ.-

ТЕОРЕМА 9.9. Пусть Ь - уравновешенная непрерывная взерх решетка, К - натуральное число. Тогда следующие условия эквивалентны:

V $<!*)=и.;

21 = И , где - длина частично '

упорядоченного множества '

Наиболез общей теоремой диссертации, в которой устанавливаются равенства (3), является . . : '•■ ТЮРЕГ.1А Э.18. Пусть решеткаЬ имеет уравновешенный каркас!?, из атомов решетки ¡^ , Р - каркас, элементы которого всевозможные объединения конечных совокупностей атомов из , ¡1 - натуральное число. Тогда ' .

-Л 1 конечность любого из чисел • , 'С , Ср- " блечет конечность остыньте- чисел;

2) соотношение A-'L: Cj? И- справедливо в решетке L тогда и только тогда, когда верхняя подполурешетка F 11(0} имеет дл/iny Ц,

В частности, теорема 9.Ï8 позволяет установить СЛЕДСТШЕ 9.19. Пусть Ь - геометрическая решетка, F ~ совокупность компактных ¡элементов, Я ~ натуральное число. Равенства Jl - ч; X H, №сют место тогда и только тогда, ког-

да решетка L-кмеет длину ti ■

В § 9 диссертации содержится ряд других утьервденлй, в которых устанавливаются условия эквивалентные условию конечности числа Голди решеткл. .

В § 12 для хорошо известной в классе модулярных решеток теоремы Ope (см., например, £8} ) ш установили ее аналоги в других естественных классах решеток. При этом, если в теореме Ope налагается условие конечност»; длины модулярной решетки, то в наших теоремах мы используем условие конечности числа Голди рассматриваемых решеток (кстати, легко показать, что если решетка имеет конечнув длину, то она имеет и конечное число Голди, обратное, вообще говоря,: не верно).

Заметим, что теория различного типа разложений элементов в решетках4 занимает зн-метное место в теории решеток и в приложениях. В последние годы наблюдается также устойчивый интерес к данной теории. Из не столь давних работ упомянем, например, работы: ' JUtU:»-*-1982 ClO-lIJ , R-t^le t К. 4989 fK] , А. 1990 [И}'. Преждз чём сформулировать основные результаты, напомним некоторые занятия.

Элемент flt решетки L 5 Я-неразлоким, если условия X^VX^J влеку г условия .-О, X ¿E¡.

или ^ • ОСл = CUj X¿ г О • Разложение Х= V.

мы называем прямым и пишем Х-~ •«« V , если под-

множество . i., ОСц-V ^-независимо. Это разложение называем

¿¿-разложением элемента ОС , если элементы 3C¿ с£-неразложимы

К )• Если элементы ,ОС^. -равномерные, то (¿-разложение . будем называть равномерным или

разложением.

Итан, в § 12 главы 2 мы рассматриваем утверждения о существовании ¿-разчржений в уравновешенных решетках,, а также утверждения, согласно которым, если элемент £С уравновешенной решетки L имеет два V-d-разложечия Л. - у х*. - ^ ,

то

^ ft = fn-, (4)

2) для л-обого элемента существуем элемент у. , для которого X ~ <1... Ñr V у. ... V , (Б)

i.e. выполняется свойство замены Оре.

Из рада теорем установленных автором, основньйм мы считаем следующие.

ТЕОРЕМА Í2.2. Пусть L - уравновешенная решетка, Иг- натуральное число. Тогда следующие условия эквивалентны:

г =

для ллбого элемента з£ & Li4t°\. существует cL-раз-: ложоние Х - ^iV'«»^ ai^t. при этом tft ^ И, и для неко-'

■toporo элемента Х0 £ ¿i4Lo\ имеем

ТЕ0РЕГ.1Л 12.7. Пусть L - пплудистрибутивная вверх уравновешен- • ная решетка. Если элемент 31 & L n {0 ^ имеет два • U-¿-разлоте-ия <Х -- V . V ce^z: . ч, \У , то выполняются условия (4^ и (51. : В докяэатоиьотзо этой теоремы >.:ы используем уславие

- К г т- , которое справедливо в силу теоремы 9Л.

Отметим, сто класс полудистрибутнвных вверх уравновещокних ¿ч.и'этск достаточно широк. Среди них, например, по л уд и с три б у г н в ные ¿ьерх и вниз решетки, которые интенсивно изучаются и используются (см., например, библиографии з'книга Гретцера [14] и в работах 0®, 16] К '

' В заклвчение обзора основных результатов главы 2 приведем дополненный нам;; в § И результат, иг упоминавшейся работы Биркгоффа ' и Биннетт '[ЗД .

ТЕ0РР1А 11.7. Пусть Ь - решетка выпуклости с условием Пеано, Р -совокупность всех атомов, К' -натуральное число и вЬ выполнятся условие: если Х^е р , , то существует атол К ■> Ддя которого # . Тогда следующие условия

эквивалентны:

• г ЦЫ-^,

2) лШ^*',

3) срШ = п-(

4) "аффинный" ранг решетки Ь равен Ю.'

5) ерш- и

6) ¿Ц)

Решотка.^« , для которой выполняются условия предыдущей теоремы, это, вообще говоря, аналог решетки всех выпуклых подмножеств

(¿1,-1) — мерного дейсгвктацьного пространства^*"1

"Аффинный" ранг решетки равен длине ' некоторой особой . иод^эшеткс 1л ' , которая является аналогом решетки подпростран ста ИЗ В?'1. . '

Эквивалентность условий 1) - 4) в предыдущей теореме устано»-,"1' лзна Биркго^фои и Бишьтт. Условия 5) - СО добавлены нами. При этом

М) - чаеяо дистрибутивности решетки I, ели - число залога рошегки по каркасу р . Числа, замены рассмат^вались ь '

пространствах выпуклости. Мы также используем, числа замены в §§ 2, £1, при установлении соотношений между числами Хелли, Радона и Наратеодори.

Ч и с л о м - з а м е н ы О^ = Вр ( Ь) решетки Ь по каркасу р назовем наименьшее целое число й. 1 (если оно существует) такое, что для любого конечного подмножества А£ Р •» мощность которого | Аи & I и любого элемента ^ £ ч{.ОУ соотношения Ф 6 /Г ? X £ V Л влекут соотношение

ЗС. ^ ^ V С V С А4 10Л )) для некоторого элемента 0.6 А, зависящего от элемента ^ . Если такое число не существует, то полагаем €р х оо.

Пусть Ь - произвольная решетка. Размерности Хелли, Радона и Голди соответственно определим формулам?.

{ИтШ-к и»)) | ле Ц,

| ос е М,

где С? — ^^ОС}- главный фильтр, порожден-

ный элементом X € Ь•

Дельным образом определяем дуальные размерности Хелли, Радона и Голди. Например, •.. ' /

Глава 3 посвящона изучение размерностей Хелли, Радона и Голди по схеме наших задач 2 - 4 .

Отметим, что размерность Радона решетки [_, совпадает с верхней локальной размерностью ЕЫлтЬ решетки (_, , которую впергке для дистрибутивных решеток рассматривал Гагалец 1917 [17] и в' дальнейшем для произвольных решеток изучал Раманович

[ю, 19] .: ?

Перейдем к краткому изложению основных результатов главы Ш.

В теории р?иеток и вриложениях давно и широко используется понятие Ь -ширины

ки

решетки Ц . В" частности, если Ь рэ—

шетка с нулем, то имеем С^ (Ц) .

Основным результатом § 14, в котором устанавливается взимо-сеязь мегду размерностями Хелли, Радона, Голди' и ¿-шириной решетки, является

ТЕОРЕМА 14.2. Пусть L - произвольная решетка. Если одно из чисел k(Un<L) , ItUtnlL), $cLm(L) , kUittUUt^*dit>i(Llf 8Л£*7п(/|)) h(L) конечно,-.то все эти числа совпадают.

Легко ъидеть, что < fjiliMCL),

так как &.f Сх)) £ (С«.)) £ ^tCdc.)) для любого <ХбЬ-

В теореме 6.5 мы отмечали, что если решетка L* имеет уравновешенный каркас, то справедливы равенства t(L>) ;

Отсюда вытекает

СВДСТШЕ С4.3. Если в решетке h для любого элемента flcsL кодрешетка [х) имеет уравновешенный каркас, то справедливы равенства

HditnlUj-'CeiihtlD^QdifHCU) •

г

В частности, эти равенства имеют, место в модулярных, сильно атомных полумодулярных (например, геометрических) и в полудистрибутивных вниз решетках. ,

6 5 46 мы рассматриваем вопрос о совпадении и оценках размерностей Хелли, Радона и Голди в полных решетках. Установлены оценки ¡сверху стих размерностей посредством Ц^ширины (супремум мощностей антицепей) некоторых йодмиожеств решетки. •'

11В завершающем $ J6 мы рассматриваем вопрос о совпадении размерностей Хелли, Радона или Голди с; соответствующими числами Хелли, радона или Голди. Такие совпадения имеот место во многих классах решеток, Непример, в геометрических решетках.

Для формулировки последило основного результата в русле задачи 4 Ч2М удобно исшльэоватЬ понятие размерности Куроша-Оре решеток.

При -этом, мы говорим, что число Куроша-Оре решеткиЬ с нулем 0 равно Ц , где Н - натуральное число, и пишем

(. Ь) ~ К » ссли существует несократимое -Разложение нуля 0 = А* и любого подмножества [Хху-)

из М-неразложимых элементов (если такие существуют), либо Д;!^ ОН; £ 0 , либо разложение Л"!^ х,- ~ О сократимо.

Ее,'»' для любого натурального числа К- существует несократимое т-■ разложение 0~ Л*.^,- , то полагаем •

Во всех остальных случаях, считаем, что число Куроша-Оре решетки не определено.

ПустьЬ - произвольная решетка. Если для любого элемента

Ь определено число Куроша-Оре &.-ОС£ГСЬ7) , то число к-оМмСЬ) - ¿•ар! Й--О(ГХ)) (жб " будем называть размерностью Куроша-Оре решетки Ь.

Исп 'льэуя дуальную форму теоремы 5.4, получаем

СЛЗДСТШЕ 16.7. Пусть Ь - непрерывная вверх решетка, И' - натуральное число. Тогда следующие условия эквивалентны:

2)

Мы уже отмечали, что решет.ки конечной ¿-ширины весьма йопу-лярны в теории решеток и в приложениях. В силу теоремы Я4.2 и ' 'следствия 16.7 мы получили характеризацию решеток конечной ?-ширины в классе непрерывных вверх решеток посредством несократимых

№-разложений элементов роиетки - методом, широко используемым ■в \ теории рулеток в приложениях.

Все результату диссертации являются новым, носят теоретический характер и могут наРтл применение в обо;ей теории реше'то'к и е приложениях георик решеток,атак;?/.. в дальнейших исследованиях яо указанной тематике.

Результаты диссертации докладывались на заседаниях семинара "Алгебраические системы" в Уральском государственном университете (1938 - 19921, на семинаре "Компьютерная алгебра" в Московском государственном университете (5992): на Третьем Всесоюзном симпозиуме по теории полугрупп (Свердловск, 1938). Основные результаты опубликованы в работах автора ["20 - 243

Диссертация изложена на'13Ь страницах состоит из введения и трех глав, которые вместе содержат 16 параграфов со скозной нумерацией. Библиография содержит 52 налианоьахия.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору В.А.Баранскому за постоянное внимание и всестороннюю поддержку.

ЛИТЕРАТУРА

1. Данцер Л., Гранбаум В., Кли В., Теорема Хелли и ее приложения, М.: Мир, J968, 160 с.

2. Солтан В.П., Введение в аксиоматическую теорию выпуклости, Кишинев "Штиинца", 1934, 223с.

3.. Вацис^И-К ¿ad. fotkhotf G. Con*£Käy ¿аНссЫ//

A6cjeit<L univ-vw. is.- >/.го.- ri p,

4. Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, М.: Мир, 1977. -T.I, 688 с.

5. UkxacUttUdrt- К. itc<££ £ot<{ce, cUntiitj<on// Ср/н/п^и

6. Q-x Ui acztxA P., E-H Vk CcUUe,

<£\t-cl cLv-it (roteLib (Uvi<i.n.&oii-i// J. Pa Apf>& •

7. H*tlut P. tt-dlUti^U vity an.it 40Htb

c( iyx-ihictcd^ -tkecb-ij ^ UtticM/ltoK^ilv-tiCM

to uhirtml AtylM , Caiic^.mä-tk . Л>е. j. üofyii 14, Mbth, -

8. Скорняков Л.А., Элементы теории структур, М.: Наука, 1970, 148о. ' ." .

9. 0-oZcLlt A.W. Til J^tuLbou. ttsei/fth^iu. ibLhfl-i.

on. lib.^ ditcL Htociu ¿n// hiivrt.

10. H Vt C** tfa. ftl^e-ttXHEs ¿¿Hic&l ttb bridtk.,

ewig t£e,ne.bvt ¡1 4 join, с/ jct'H -ix->iedtiiu£6. mtKt-i// Period - Htzth .

11. /¿Ickten. G-. ГК.«, KiuW-tfte. ikno^tt^, Anii * Ulft/tUe. cUcompo i-üicmß i/fu<Li4 klHtilu-m. Iftj-th .

H-iuijj'.-а"; *т.-р. мз-г^о •

12. JUtU&K к, T&e кexr^je.

рч-сpe-t^// ЛеЫ m¿M. Hu.Ka-isi9.-M.S3,' V: 1-Я.- p. 119-127.

13. A.Tike K»ttoi-Pte popcti^ lepfecedUe tt-t^ttuciatt-* decompojiitpHi// De.moitj¿t. JTtaík .-¿9SO.-V. Z3.~^3.-p.S49~SSS.

14. Гретцер Г., Общая теория решеток» Ы.: Ыир, 1902, 466 о.

15. McKénüie Я. £аа&Иопл£ j áncí notittiodufat t¿Uice •vrá'úetíe-\l( Tt&tti. /Une*. ttlMk, Joc-Í9?2.~ V- ±T4.~ Р, 1-4-3.

16. J£oie Н. A^h-modiiLÍdt (Unico. v&xteiteiff Ийпх. A. m. V.

п. £ес M. ítrrtertd-tofu of lüd^L&'U-ttv-e

tlULcei// tna.t.iídivp.- Í9?i.-V.2i.~/V£ f. 1П-190.

18. Романович В.А., Кимеденова Т.К. О локальной разтфиости упорядоченного произведения решеток //В сб.! Упорядоченные ьножества и решетки, Саратов: изд-во Саратовского ун-та. - 1986. - Вып. 9 - с. 80-80.

19. Романович В.А. О размерности кардинальной степени модулярной решетки // Ред. ж.Изб. вузов. Мат. - Казань, 1989. - 16 с. - Еиблиогр. i 15 назв. - Рус. - Дел. в ВИНИТИ 23.05.89, № 3396 - В89.

' РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

20» Золотарев А.П. О числах Хелли, Радона и Каратеодори в модулярных и в полумодулярных .решетках // Ш Всесоюзный симпозиум по теории полугрупп. Свердловск, 1988. Тез. докл. - о. 29.

21. Золотарев А.П. О неравенстве Экхоффа в решетках с нулем // Сибирский математический журнал. - 1990. - Т.31, № б. -

с#217.

22. Золотарев А.П. О числах Хелли и Радона в дистрибутивных решетках и в решетках с псевдодополнениями // Изв. вузов. Математика. - 1990. - № 5. - с.41-47.

23. Золотарев А.П. О числах Хелли, Радона и Каратеодори в модулярных и в атомных полумодулярных решетках // В кн.: Упорядоченные множества и решетки, Саратов2 издгво Саратовского ун-та. - 1991. - ВыпЛО. - с. 31-40. .

24. Золотарев А.П. О взаимосвязи меящу числами Каратеодори и Иг-дистрибутивностью в решетках // Мат.заметки. - 1992.-Т.52. - № 3. - с.44-47.

Подписано в печ. // Формат 60 х 84

ЬуисгагииИ1,С Обгеи /(О./т.Тир. ЮС Згк. №//<Г Екатеринбург, К-83, пр. Ленина, 51 Типолаборатория УрГУ.