Численно-аналитические методы исследования многоточечных краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб од

,5 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

“ и .кИЇВСІЙШЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

На правах рукопису

. РОНТО Андрій Миколайович

УДК 517.927.4

ЧИСЕЛЬНО-АНАЛІТИЧНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ

01.01.02 — диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на одобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ - 1997

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі інтегральних та диференціальних рівнянь Національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

ПЕРЕСТКЖ МИКОЛА ОЛЕКСІЙОВИЧ,

Національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедрою інтегральних та диференціальних рівнянь

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник БОЙЧУК ОЛЕКСАНДР АНДРІЙОВИЧ, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник ■

каіідидат фізико-математичних наук, доцеїгт ОРДИНСЬКА ЗОЯ ПАВЛІВНА, Київський політехнічний інститут, донепт Провідна установа

Одеський державний університет імені І.І. Мечіпкова, кафедра оптимального

керування

:мсідаині спеціалізованої вченої ради К 01.U1.21 при механіко-математичному факультеті Національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 252127, Ки'р , *27, нр. Глушковя, 6, ауд. 42 •

Захист дисертації відбудеться

годині на

і дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Національного університету імені 1 і|'іси Шевченка за адресою- м. Київ. вул. Володимирська, 58.

'і п горефера г розісланий

Вчений секре спеціалізованої вче

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Крайові задачі для рішнх типів диференціальних рівнянь, як відомо, часто виникають як математичні моделі різноманітних процесів в механіці та електротехніці, математичній біології та багатьох інших галузях науки і техніки. Численні застосування в теорії нелінійних коливань, теорії керування, теорії с Никое ri руху, яким присвячено значну кількість публікацій вітчизняних та зарубіжних вчених наприклад, роботи ІО.О. Митропольського, А.М. Самойленка, І.Т. Кітурадзе, Є.О. Г'ре-бенікова, Г.М Вайнікко, А.ІО. Лучки, J Mawhin’a, М.В. Азбелсва, О.А. Бойчука, підтверджують актуальність досліджень в теорії крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, рівнянь з імпульсами, інтегро-днференціальннх рівнянь за більш складних класів функціонально-диференціальних рівнянь. Разом із подальшим розвитком вказаної теорії, важливою значення набувають методи, шо дозволяють поряд із встановленням факту розв’язності задачі також одержувати апроксимації шуканих розв’язків.

Серед сучасних засобів вивчення нелінійних крайових задач досить широкою поширення набули так звані чисельно аналітичні мепюои, зокрема, метод іюі-.іп)<шііих періодичних наближень, запропонований А.М. Самойленком у 1%5-му році для дослідження періодичних розв’язків ліпшіцевих нормальних систем диференціальнії* рівнянь першого порядку. Певна універсальність ідеї меюду та, у ряді випадків, просіоіа йою реалізації на практиці, спричинили серію активних досліджень шило йою узагальнення для застосування до більш широких класів дво- та багазоточкових крайових задач, оптимальному виборі схеми методу та покращення оцінок збіжності Цим питанням було присвячено роботи Д.І. Мартинюка, М.О. ІІереспока, МТІ. Забрейка, Д. Вайпова. М. Kwapisz’a, М.Н. Роїпо, Ле Лиоііг Тая, О П. Трофімчук та інших авіорів. Недостатньо вивченими при цьому опинились, зокрема, багатоточкові крайові задачі, які задано за допомогою у певному розумінні вирінУнеїтх крайових умов, таких, як, наприклад, умова вигляду + Л,х(<,) = 0, де х : [/,,/, j -» R”, а для н х я-маїриць Л, і Л, кнко-

нано співвідношення

Виявилось, то роіроблені раніше варіант чисельно-аналіпічного методу принц.imur, не можуть бути застосовані до іадач вкаїаною типу, у ів'язку з чим виникла прп('"іеч;і побудови НОВИХ схем методу, вільних віл 111.(4 О нелотіку. Молішчас, ЗЗН.'ЯІ.И РГ-f, ТИЯ'КІІ крайових tawi Дія лннпіцених днфгреншзтьннч рівітн. бп/кано оігрі.ии і • <_ 11: j (1 и і > і

алгоритми, які є придатними до дослідження задач цього класу незалежно від значень відповідних констант Ліпшіца.

Дана дисертаційна робота частково розв’язує вказані проблеми.

Основною метою роботи є побудова та обгрунтування нових чисельно-аналітичних методів дослідження існування та наближеного відшукання розв’язків нелінійних (вироджених) багатоточкових крайових задач для ліпшіиевих диференціальних рівнянь першого та другого порядків з великими сталими Ліпшіца.

Методи дослідження базуються на ідеях чисельно-аналітичного методу послідовних наближень А.М. Самойленка; теорії лінійних операторів на частково впорядкованих бпияхових просторах; методі Лере-Шаудера.

Наукова новизна результатів дисертації полягає в наступному:

• На базі запропонованого чисельно-аналітичного алгоритму отримано умови

розв'язності багато-точкової крайової задачі для нормальної системи диференціальних рівнянь з гладкою правою частиною із, взагалі кажучи, виродженими крайовими умовами. .

• Розроблено нову схему чисельно-аналітичного методу послідовних наближень для дослідження систем ліпшіцевих диференціальних рівнянь першого порядку з лінійними багатсггочковими крайовими умовами, як)' може бути застосовано незалежно від значень сталих Ліпшіца. При цьому єдиним обмеженням на крайові умови є їх лінійна незалежність.

• Запропоновано нову схему методу для дослідження періодичної крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку КОЛИВНОГО ТИП)’, шо не вимагає його зведення до системи у нормальній формі.

• На базі методу послідовних періодичних наближень знайдено нижні оцінки для періодів періодичних рухів у ліпшіиевих динамічних системах в частково впорядкованих банахових просторах.

Зв'язок робот з науковими програмами, планами, темами: робота відповідає ішяну наукових робот Національного університету імені Тараса Шевченка в рамках науково-дослідницьких тем «Розробка методів дослідження інтегральних множин диференціальних рівнянь», №019411030931; «Дослідження коливних режимів іа інтегральних множин детермінованих і стохастичних динамічних систем», № 97043

Тспрсгнчне та практичне значения одержаних реіулматів: отримані в роботі Р’-п.імаїи >злгальнюют>> та доповнюють відповідні твердження іеорп чисельно-аналі-

• з

іичного методу. Запропоновані алгоритми можуть бути застосовані до аналізу більш загальних, порівняно з дослідженими в попередніх роботах з цієї тематики, багатоточ-кових крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь та певних класів функціонально-диференціальних рівнянь. Результати може бути використано для дослідження різних класів прикладних задач, розробки спеціальних курсів з теорії крайових задач, подальшого розвитку теорії. .■

Апробація роботи: основні результати дисертації доповідалися на Другій всеукраїнській конференції «Сучасні фізико-математичні дослідження молодих науковців вузів України» (16-18 травня 1995 р., м. Київ); міжнародній конференції «Nonlinear Differential Equations» (21—27 серпня 1995 р., м. Київ); П’ятому колоквіумі з якісної

теорії диференціальних рівнянь (29 липня-2 серпня 1996 р., м. Сегед, Угорщина); Все-

українській конференції «Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування» (15-18 травня 1996 р., м. Чернівці); семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь механіко-математичного факультету Національного університету імені Тараса Шевченка (керівник — професор М.О. Переспок); міжнародній науковій конференції «Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань» (18-23 серпня 1997 р , м. Київ); міжнародній конференції «Equadiff 9» (25 -29 серпня 1997 p., м. Брно, Чехія).

Публікації: зміст дисертації відображено у 4 журнальних статтях, одному препринті та 5 тезах всеукраїнських та міжнародних наукових конференцій. Повну бібліографічну інформацію про ці роботи подано у загальному списку використаних джерел.

Особистий внесок здобувача: резульїати дисертації є новими і належать автору. З публікацій, шо відображають іміст дисертації:

• роботи (1, 3J написано у співавторстві 3 доктором фізико-маїематнчних наук, професором кафедри ііпегральних та диференціальних рівнянь Національною університету /мені Тараса Шевченка Перестюком М.О. Наведені у цій дисертаційній роботі результати статей [1, 3] одержані автором самостійно

• Роботу {4] написано у співавторстві 3 докторами фізико-мзтемапічних наук,

провідними науковими співробітниками Інституту математики ПАН України Рон-го М Л та Трофімчуком С 1. Викладені А пій яисер'Гяцгї реіультятн | IJ одержані автором сямосгійно. '

Ов’гмт* структур* роботи: дисертація складете* іі вступу. чотирьо* роїді.ик, (Одного додатку та висновків. Повний обсяг дисертації — I3R друкомних сторінок (Ч-мврпий і»бс»г переліку умпяниУ тнмчем., ІЗ рисупкіи. jhvwtkv. •иснримч п гп'К>'\ йтіори'.щичх ;D<fepe,i. який ші'Н'іу ІОЯ птімемуиннь, склйдас IS ctopinntr

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ'

У першому розділі «Пагатотачкові крайові задачі для диференціальних рівнянь з дкою неМтішістю», що складається з підрозділів 1.1—1.3, пропонується новий чисельно-аналітичний алгоріггм дослідження крайових задач вигляду

*’(0 = /('> *('))> <є[0,і], (1)

те лг:[0,1] —> Н”, / :[0,і]х П-> И', </єІГ, П — замкнена область 11";

— 0 < Г, < ... <іг < ІГІІ - 1 —деяке розбиття [0, і], а с Розв'язком за-

дачі (1), (2) вважається вектор-функція х : [0,1] —> И" з абсолютно неперервними компонентами, яка мас властивість (2) та для м.в. І е [0,1 ] задовольняє диференціальне рівняння (1)

Припу скається виконання наступних умов.

НІ) Існує деякий набір и V и—матриць {'1',}^, такий, шо

«)

ле !„ —одинична маїриня виміру я.2 М?) Функція Каратеодорі / = (/',/*,..•>/*) задовольняє умову Ліпший за векторною змінною, тобто

И'>*і)-/'('•*!І 2 1 Мф/ - *■*)(» = 1,2,...,и; 0 < і < 1),

/*■1

пе {£,„}*„, с ^([О.І]^).

Толі, коли (2 ^ ІГ. вважаються виконаними ще такі два припущення:

431 Дчя всіх х е П та майже кожного ї є [0, і] має місце очіпка |/(/,х)| < «{/). де

І чгрлження тут позначено номерами, що співпадають з наведеними у тексті роботи ' Можна показати, шо умова (II) еквівалентна лінійній незалежності складових вектор-ф>нкніочЕі;та/у (2) Отже, використання матричних коефіцієнтів ІЧ\) в умові невиролжсності І <) •цчоріяЕ позбулися додаткових обмежень на структуру крайових умов (2), необхідних для мсіосупаїїмя відомих раніше конструкцій

»І є Ь'([ОД],Н*).

Н4) Множина 0{р0) тих точок £ є Л", що містятся в О разом із своїм ри(4)—околом,3 Ра{£) ;= тах[| т{!У!< і '«(#) + .

1 ьо г

+ тах|У(/

н».ч

НЄ € ПОРОЖНЬОЮ.

В умові Н4) г—фіксована точка відрізку [0, і], а 4і: [0,1] -» — довільним

чином обрана матричнозначна функція з абсолютно неперервними елементами, що «іігтерполюе»значення 4*0,Ч*,,...,Ч*,,, зумовиШ): ■

Ч'(МвЧ'* (* = 0,1.....г+ 1).

Нехай V( є И")— відображення в себе простору £^[0, і], Я" ] вектор-функцій з

абсолютно неперервними складовими, задане згідно з формулами:

[{/,*](/) ,= * + //(*,*(»))* + Щ • Д(^х), (4)

4 + \

(5)

Доведено теку теорему про зведення крайової задачі (І), (2) до певного еквівалентного вигляду:

Теорем* 1.1.1. Функція х є д([0,і],Н') с розв’язком крайової задачі (І), (2) тоді, і тільки тоді, коли «иконучться система рівнянь

* = {/;*, (6)

Д(£*) = 0. (7)

При цьому оператор ІІ{ відображає гіпертощичу /'’(</) простору• /^[0, і]. Я") лсегіе.

З приводу розв’язання задачі (І), (2) шляхом її зведення до системи вигляду (6), О) справедливе наступне твердження.

’Для ДОВІЛЬНОГО ІІЄ8ІД*СМИ0Г0 пеістора р ПІЛ ^-ОКОЛОМ ІОЧКИ X Є Я" р03\м:і.'.'0 ЧНОЖп:і\ В(г,р), шо складається ) тих £ 4,), лпя яких [4 -- *,І 5 р, при всіх і

Теорема 1.1.3. Нехай виконуються умови НІ), Н2) (а, якщо П * 11", також ИЗ), Н4)), та. додатково, всі власні значення матриці де

’:вН.+»}^)||К^-*И|-

за абсолютною величиною менші одиниці. Тоді для кожного £ є П(Аі) оператор II{ дипу нерухому точку *(■,£), яка при цьому співпадає з рівномірною границею

маг ( нооідов пості

+1 /(*. *я-і ('і ф! - М /(*• *(№ е І0-1]- т є м)>

г г

і кожна з функцій {*„(-,£)} задовольняє лінійну 6а?атоточкову

крайову умову (2).

У підрозділі 1.2 за додаткових умов гладкості вигляду

(»,*)<: і у/6[о,і], (8)

511р

ісО

(V* Є[0,1] (9)

де І, Л — и х я -матриці з невід’ємними елементами, а Л є И", встановлено ряд оцінок стосовно характеру залежності членів послідовності {*„(•,£)} та їх фаннці *(•,£) від параметра £. Зокрема, в лемі 1.2.1 доведено, шо при виконанні умов теореми 1.1.3 при £ є П(д,) справджується нерівність

/!|

П]ЗХ

0.11

К'.фП2,

пе

З використанням одержаних у н. 1.2 оцінок встановлено теорем)- гро розв’язнісгь крайової задачі (2) для диференціального рівняння (1) з гладкою правою частиною.

Розділ 2 «Чисельно-аналітичні методи дослідження ліпшщегшх крайових задач», до якого входять пп. 2.1—2.7, в основному присвячено уз.ігальненігю схеми розділу 1 на чи палок, коли права частина ліпшіцевою диференціального рівняння, можливо, мас

велику константу Ліпшіца. Показано, що для кожної задачі (І), (2) з диференціальним рівнянням (І) вказаного типу завжди можна побудувати збіжний чисельно-аналітичний метод послідовних наближень.

Підрозділ 2.1 міспггь декілька загальних тверджень, що стосуються абстрактних квазілінішшх крайових задач вигляду

1.x = Рх, (10)

Іх = {х, (11)

(1.,Р:Х-*У, Х,У— певні банахові простори, N>1), де виділену

лінійну частину задано скрізь розв’язним відображенням

Центральною в підрозділі 2.1 є наступна 1

Теорема 2,1,4. Припустимо, що в (10) оператор І.; А' -» 1' оопуїкас і їм ю приьих обернених :У X, таку, що

VуєК £■'(,)* {Х.у І ^еН}.

Нехай ск.іадиві вектор-функціанаїа /: X —> лінійно незаіе.жні. Тооі шкіча (10), (І І) еквівалентна системі рівнянь

х=(1-Ч>1)К^х+Ч'[х, (12)

ІК.Рх = [х, (ІЗ)

де 4* і И* —* X дові льний праний обернений до І 4 При цьому оператор

Т(х\-(1 -ЧЧ)К/х + Ч'/х .

інваріантнії діс на множині

і/ := {* є X І їх = /*}.

Запропоновані в розділах 2, З чисельнй*а»іалпмчні алгоригми, а також відомі раніше чисельно-аналітичні методи, описані в роботах А М Самойленка іа сиір.авіирів. у певному розумінні с наслідками наведеної вище конструкції.

У підрозділі 2.2 розглядається бвгатоточкова .крайова задача (І), (2). до якої

застосовується схема зведення до системи рівнянь типу (6), (7). Як алмириаіипа до

підходу п.п. довозигьсаласгупна .

1 Можна довести, шо в умовах ■ горем и І -1 оператор / с обкрошим справа

Гсорема 2.2.1. Нехаіі справедливі припущення Н1),Н2) (а у випадку, коли П * ІГ, також НЗ), Н4)).

Тоді для кожного ^ є 0(/ґ\1) рівняння (6) мас єдиний розв 'язок *(■, якщо тільки матричнозначну функцію Ч'(-): [0, і] -> в (4) підібрано належним чином, так,

п/п І} -норми її компонентів с досить малими.

Підрозділ 2.3 присвячено зауваженням до теореми 2.2.1 та наслідкам з неї. У підрозділі 2.4 встановлюється ряд тверджень, що стосуються випадку періодичної крайової задачі

*•(/) =/(»,*(г)), / є [0, Г], (14)

*(0) = х[Т). (15)

Зокрема, доводоггься така лема.

Лем» 2.4.1. Нехай дія (14) виконуються наступні умови:

.4) функція Каратеодорі / : [0,і]хП->Н" при всіх х є СІ тсі майже кожному

і є[0,Т] задовольняє оцінку |/(/,*)| < Ці), <)е т є /.^[0,7]^"),

П) И^і) -У(*>*і)| * ~*гІ (У{*і,*,}сП, м.в. < є[0,Г]), де Щ — мат-ричнозначиа функція і інтегровними на [0, Г] компонентами;

С) тдмножина П(Д-) множ ини П, належність до якої точки лт є П характеризу-

ап’ ся виконання.» включення В{х,р^) с П. де ^ тах(АГ,,.»«)(!). я

(ІС,*)(0:=|/,-Ч'(/)|}и(і>/* + |Ч'(«)|}и(5^ (/е[0,Г]), (16)

. о *

"С ' поро )Г!Ч,ПЮ.

То*)’') ія всіх £ є П(/ї|.) послідовні наближення вигляду

" і+!/('• 1(*■ - ч’(')£ /('.і('-Ф* (17)

(О < / й Г, т>\,х єй([0,Г],П))

-><■ Ч'(): [0,Г] -» /’(и' ) - (Шільна абсолютно неперервна матричнозначна функція з іпастипістю Ч'(Т')-Ч'(0) = рівномірно збігаються до границі х[-,£), якщо тільки і!-норми компонентів Ч'(-) г настільки малими, лцо г[К^ в І) < 1. При цьому

справджується оцінка

1*и - х| £ {K4.L)”{1 - K,rLY'\xt - х,| (mil).

З використанням леми 2.4.1 отримано наступну теорему про існування розв’язку періодичної крайової задачі (14), (15):,

Теорема 2.4.5. Нехай виконуються умови (А) ((')■ Нехай t'(-) у (17) обрано так, що r(Kv oL) <1 (і/е завжди можна зробити). Припустимо, що д ія деякого т 5: 0 т -те визначальне рівняння

Л„(£): = |/(/,х„(/,£))Л = 0 0

мас у деякому окплі а> с Сї(Д,,) ізольований корінь ненульсюого топологічного індекса. Нехай, додатково, при кожному £ на границі frty області со хоча б одна із скіадових вектора f(s,Xn(s,4))ds за абсолютною величиною сметною за відповідну

координату вектора j L(s)\xm(s,g) ~ x(s,£)\ds.

Тоді періодична крайова задача (14), (15) мас. разе 'язок.

Встановлено також спрощені варіанти теореми 2.4.5, перевірка умов яких не вимагає оцінки різниці jx„ - х). Одержано деякі твердження з приводу обчислення спектрального радіуса оператора (16), які доповнюють відповідні результати цитованих у тексті робот О.П. Трофімчук та М. Kwapisz’a.

Підрозділ 2.5 присвячено розгляду того часткового випадку задачі (1). (2), коли матриці {.А,}»!, у (2) мають властивість

detIblA*0.

У підрозділі 2.6 описаний у п. 2.2 метод застосовується до дослідження періодичної крайової задачі для системи лінійних диференціальних рівнянь

*'(/) = l\t)x(t) + b(t), t є [О, Г], х(0) = х(Т), ■

У нерезонансному випадку доведено ефективність ітераційного алгоритму

*-('> £) * і+J' - 'К')],,’ 4# +

■<(■'<№ (05/ST, m> 1),

де

4'()i[0,r]-»Z,(R'v), Ч^(Г) - Ч-(О) =

Одержано формули для обчислення наближених визначальних функцій

МФЧІ*(0+4'к('-£)]Л

та відповідної точної визначальної функції

. А(£): “ Г [Н') + 40 і™ *- ('• ^

(в термінах фундаментальної матриці).

Підрозділ 2.7 містить декілька модельних прикладів, що ілюструють застосування запропонованих в роботі алгоритмів. Досліджуються, зокрема, періодичні розв'язки рівняння типу Ріккаті (приклад 2.7.1) ти одного лінійного функціонально-диференціального рівняння з відхиленням аргументу вигляду (5дг)(() = х(у) (приклад 2.7.2). Результати використання програмних пакетів символічних обчислень доповнено відповідними наборами рисунків.

Розділ 3 «Періодична крайова задача О.ія систем другого порядку» присвячено побудові на базі теореми 2.1.4 чисельно-аналітичного методу дослідження періодичної крайової задачі для одного класу диференціальних рівнянь другого порядку.

У випадку Т•періодичної крайової задачі для рівняння коливного типу

х”(/) + ^Дг(/)«/(/,х(/),х’(/)), (18)

jr{0) = ж(Т), х'(0) = д-’(Г) (19)

доведено наступне твердження.

Лема 3.1.1. Всі розв'зки (18), (19) містяться серед (завжди Т-періодичних римач з похідною) функцій *(,£), що задовольняють рівняння ■

*(>) * + “>{> *- s)f(hx(s),x'(s))ds - :

“ іч'«(,)£г"іп Кг - sV(s’x(s)'x'(s))i!) - <2°)

“ ~ s)f(s>x{s)’*'(,))ds (о s / S Т),

It

^і cos atT «"ЧіпоГ Ф(7\ю): = . _ _

- m sm toi cos cut

а {Ч'0,Ч'І} : [0,Г] -> ^ІГ) - довільні матриці з елементами кіасу VV^1,1 [0t Т], які мають властивості

%(Т) = !,+%( 0), 'Ф) = V, (0),

%’(Т) = Ч'0’( о), чї(г)»/. +ч«;(о).

Умовою, що виділяє розв'язки задачі (Ifi), (19) з множини розв’язків {Ч-* рівняння (20), є визначальне рівняння відносно параметра eR".'

І|%іп w{T - £),*’(/,£))Л

Jor cos (o{T - s)f(.t, x(s, 4),x'(s, 4))ds

(ф(7>)

(22)

Для ліпшіцевих крайових задач типу (18), (19) встановлено теорему, що гарантує розв’язність параметризованого рівняння (20) при належним чином підібраних функціях : [0,Г] -> Г(К") (теорема 3.1.2). .

У підрозділі 3.2 наведено ряд тверджень про розв’язність нерезонансних кранових задач вигляду (18), (19) у випадках, коли функція / задовольняє умову Ліпшіца за останніми двома змінними (теорема 3.2.3, наслідок 3.2.6), або має підлінійне зростання на нескінченності (теорема 3.2.7).

У четвертому розділі роботи — чКіетод послідовних періодичних наближень для диференціальних рівнянь у банахових просторах»—розглядається питання реалізації методу послідовних періодичних наближень у випадку періодичної крайової задачі дія диференціального рівняння у частково впорядкованому банаховому просторі. У п. 4.1 наведено схему методу послідовних періодичних наближень для періодичної задачі для функціонально-диференціального рівняння вигляду

г’-Лг, (23)

х(0) = х(Г), (24)

де * : [0,Г] -* X — частково впорядкований нормований простір з модулем т :Х -+ X, (див. додаток А), який мас наступні властивості:

(і) для довільної множини М, такої, и/о

3£м є*, : М с. {х е X ~ ,

існує число км > 0. таке, що Ух е X Ы 5 км;

(ii) Зо О V* єЛ" |[ю(х)] £ ф|.

(iii) звуження n\x с ізотопним операторам.

Вважається, що F—деяке неперервне відЬбраження С([0,Т],Лґ) в себе з властивістю типу Ліпшіца:

m(Fxl-Fxl)-<L<>m(xi-xi) V{jr,,Ar2} с X , (25)

де лінійний неперервний оператор L залишає інваріантним конус

СДО.Г],*):» {* еС([0,Г]Д) І*(/)>;О V/ є[0,Г]}

невід'ємних функцій простору С(|0,Т],ЛГ) (природне часткове впорядкування

С([0,Г]Д) , породжене порядком “ч ”, тут позначається у той самий спосіб).

Встановлено справедливість наступного твердження, яке можна розглядати як частковий випадок теореми 2.1.4:

Теорема 4.1.2. Абстрактна функція х і [0,Т] -* X с розв’язком (23), (24) з початковою умовою х(0) = £ іноді, І тільки тоді, коли

х = 4 + V о / о Fx ■ (26)

' (7-P)«/of* = 0. (27)

де

(Р*)(/):« 40-гГ'[*(Г)-*(<))], /е[0,Г] а ] - -операція інтегрування,

(/*Х,),“Л*(,)Л« ‘ €1°-Г]

Доведено, що за умов (i)-(iii) має місце наступна Теорема 4.1.4. Нехай у (23) оператор F задовольняє умову (25), причому ° і) < 1, де лінійний Інтегральний оператор, що діє в С([0,Г],Х) за формулою

(Ап*Х,)!а(,“,г')Й,У,+/Г,Г' е[°<Г]

Тоді рікняння (26) однозначно pose 'язпе для довільного £ є X, та його розв ’язок 1 £) с границею послідовних наближень

*.(•*$ e4 + P°!°f*»~ibS) (»*N)

при бп>ь-якану *„(•, .

К)

В останньому піл розділі 4. 2 показано, як із використанням вказаних тверджень можна одержати наступний результат:

Теорема 4.2.6. Нехаіі виконано умовч (і)-(ііі). Припустимо, що оператор 5 запиши інваріантним тдпростір Сг„м([0,Г],Л') = X стоїш функцій з С([0,7~], А’)’

Тоді Т-пернн)ичпа задача (23). (24) мас.лініє спиш розв’язки.

З теореми 4.2.6, зокрема, виаіивяс [4), шо період Т кожного відмінного віл положення рівноваги періодичного руху автономної системи х' = /(*). у якім ( : X -» X — неперервне відображення, що задовольняє умову Ліпшіца Ц/ї*!)-/(*:)):< А ги(х, -хг) У{дг,, гг} с X з деяким Л є С(X), таким, шо ЛХ, с X., задовольняють нерівність

Тк 5 1/г{,\).

де к * 0. 2927 є більший додатний корінь рівняння

V = і £ехр-■-ііі .

Додаток А містить формулювання оіначень та тверджень, що використовуються у четвертому розділі. В кінці дисертаційної роботи наведено підсумкові висновки пі список використаних джерел.

Автор висловлює ширу подяку своєму науковому керівникові — професору Миколі Олексійовичу Перестюку — за постійну уваїу до робота та цііпіі поради.

В И С II О В К И

Основні результати дисертаційної роботи с наступні.

• Побудовано та обгруїгтовано нову чисельно-аналітичну схему дослідження розв'язності багатоточкових крайових задач для систем нелінійних диференціальних рівнянь норматьної форми з гладкими правими частинами. Метод дозволяє вивчати і такі класи крайових задач з виродженими умовами, до яких застосування відомих варіантів методу було неможливим.

• Розроблено тикни варіаігг чисельно-аналітичного методу послідовних наближень для нелінійних диференціальних рівнянь з лінійними багатоточковими крановими умовами, дія доведення збіжності якого не вимагається малості констант Ліншімп

диференціального рівняння.

• Ідеї запропонованих методів поширено на дослідження періодичної крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку коливного типу без його зведення до системи у нормальній формі.

• 3 використанням виконаних теоретичних побудов встановлено нові достатні умови існування розв’язків досліджуваних задач.

• Метод послідовних періодичних наближень узагальнено на вивчення періодичних

розв’язків диференціальних рівнянь в частково впорядкованих банахових просторах. На базі цих результатів встановлено нові нижні оцінки для періодів періодичних розв'язків ліпшіцевих автономних диференціальних рівнянь в частково впорядкованих банахових просторах. .

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

1. Перестюк Н.А., Рото А.Н. Об одном методе построения последовательных приближений для исследования многоточечішх краевых задач // Укр. мат. журн. —

1995, — 47,№9, — С. 1243-1253. ISSN 0041-6053. .

2. Ronto A. On the boundary value problems with linear multipoint restrictions // Publ. Univ. Miskolc. Series D, Natural Sciences. — 1995. —Vol. 36. —№ 1 (Mathematics). — P. 8189. ISSN 1219-4255.

3. Perestyuk М., Ronto A, Numerical-analytic method for the equations of non-linear oscillator// Publ. Univ. Miskolc. Series D, Ni'U’.ral Sciences. — 1995. — Vo! 36. — № 2 (Mathematics).— P. 115-124. ISSN 1219-4255.

4. Ronto A.N., Ronto М., Trofimchuk S.l. Numerical-analytic method for differential and difference equations in partially ordered Banach spaces, and some its applications. — Miskolc,

1996. — 51 p. —(Preprint / University of Miskolc, Institute of Mathematics; 96-02).

5. Ронто A.H. Об одной итерационной схеме приближённого решения нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // Збірки нра’іь студентів і аспірантів Київського університету імені Тараса Шевченка Природничі науки (випуск 2) / Київ. ун-т. — Київ. 1995. — С. 17- 22. — Бібліогр.: З наїв. — Рос.

— Дсп. у ДНТБ України 4.09.95, № 2033 - Ук 95.

Ч. Ронто А. Про крайові задачі з лінійними дискрегннми обмеженнями !' І1сг\ крлііїська конференція «Диференціально-функціональні ріпняішя та їх штосуййнИ» Чернівці,

15-1R травня 1996 p.: Тези доповідей —Київ. 1992. —С. 163.

Ронто А.М. Чисельно-аналітичні методи дослідження багатоточкових крайових задач

— Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук зя спеціальністю 01.01.02 — диференціальні рівняння. — Національний університет імені Тараса Шевченка.

Побудовано нові чисельно-аналітичні методи дослідження крайових задач дія систем звичайних диференціальних рівнянь із у певному розумінні виродженими афінними багатоточковими крайовими умовами. Для ліпшіцевих диференціальних рівнянь розроблено схему чисельно-аналітичного методу послідовних наближень, яку може бути застосовано незалежно від значень констант Лінійіца. Побудовано абстрактну реалізацію методу послідовних періодичних наближень у випадку періодичної крайової задачі для диференціального ріоняішя у частково впорядкованому банаховому просторі.

Ключові слова: багатоточкова крайова задача, умова Ліпшіца, частково впорядкований простір, диференціальне рівняння у банаховому просторі.

Роитр А.Н. Численно-аналитические методы исследования многоточечных краевых задач. — Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения. — Национальный университет имени Тараса Шевченко.

Построены новые численно-аналитические методы исследования краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с вырожденными в определённом смысле аффинными многоточечными краевыми условиями. Для липшипевых дифференциальных уравнений разработана схема численно-аналитического метода последовательных приближений, применимая независимо от значений постоянных Липшица. Построена абстрактная реализация метода последовательных периодических приближений в случае периодической краевой задачи для дифференциального уравнения в частично упорядоченном банаховом пространстве.

Ключевые слова: многоточечная краевая задача, условие Липшица, частично упорядоченное пространство, дифференциальное уравнение в банаховом пространстве.

Hi

Romo A N. Numerical-analytic methods of investigating multipoint boundary value problems.

— Manuscript.

Thesis for a Kandidat (Ph.D.) degree by th<j speciality 01.01.02 — differential equations. — National Taras Shevchenko University.

New numerical-analytical methods of investigating boundaiy value problems for systems of ordinary differential equations with degenerate in a sense affine boundary conditions are developed. For Lipschitzian differential equations, a scheme of the numerical-analytic successive approximation method has been developed which is applicable independently of the values of the Lipschitz constants. An abstract realization of the periodic successive approximation method in case of the periodic boundary value problem for differential equation in a partially ordered Banach space has been built.

Key words; multipoint boundary value problem, Lipschitz condition, partially ordered space, differential equation in a Banach space.

1ІІДП. до друку 17.11.97. уормат 60x84/16. Папір друк. 0£ю.друк. Ум, друк. арк. 1,16. Ум. фарсіо-відО. 1,16. Обл.-вид.арк. 1,0, Тиран 100 пр. Зам. 1(30. Ііизкоштовно. ііі/уіруковано в Інституті математики НАИ України 252Б01 Київ 4, МСП, вуя. 'і'ирмценківоьіса, й