Численно-аналитические решения задачи двухфазной фильтрации с учетом капиллярных и массовых сил

Кондратьева, Найля Рашитовна

Численно-аналитические решения задачи двухфазной фильтрации с учетом капиллярных и массовых сил тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Кондратьева, Найля Рашитовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Уфа МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Численно-аналитические решения задачи двухфазной фильтрации с учетом капиллярных и массовых сил»

Автореферат диссертации на тему "Численно-аналитические решения задачи двухфазной фильтрации с учетом капиллярных и массовых сил"

На правах рукописи

0050ЛЬ»ои

КОНДРАТЬЕВА Найля Рашитовна

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С УЧЕТОМ КАПИЛЛЯРНЫХ И МАССОВЫХ СИЛ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 0 щи.! ¿Ь|2

Уфа-2012

005016954

Работа выполнена на кафедре математики ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет»

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор

Булгакова Гузель Талгатовна

Официальные оппоненты: Хабибуллин Ильдус Лутфурахманович

доктор физ.-мат. наук, профессор ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет»

профессор кафедры прикладной физики

Никифоров Анатолий Иванович

доктор физ.-мат. наук, профессор ФГБУН «Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН»

заведующий лабораторией

Ведущая организация: ФГБУН «Институт механики Уфимского

научного центра РАН»

Защита состоится «ЛР» мая 2012 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д. 212.013.09 при ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет» по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Заки Валиди, д. 32.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан « ^ » апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л.А. Ковалева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. На современном этапе развития нефтяной промышленности при проектировании и разработке нефтяных месторождений широко внедряется математическое моделирование. Оно используется для решения проблем прогнозирования, контроля и управления процессом разработки пласта.

Важной сферой применения математического моделирования является решение исследовательских задач теории фильтрации, таких как создание моделей течения в неоднородных и трещиновато-поровых средах, изучение воздействия механизмов на пласт и моделирование новых технологий.

Фильтрация многофазной жидкости описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений. Прямые задачи обычно ставятся как смешанные начально-краевые задачи, а универсальным методом их решения является численное моделирование. Особое место занимают аналитические решения, полученные в рамках достаточно простых моделей, но важные для понимания механизмов фильтрационных процессов и применяемые для тестирования компьютерных моделей фильтрации. Однако до настоящего времени не имеется аналитических методов решения задач многофазной фильтрации в многомерном случае, особенно при учете неоднородности пласта, капиллярных и гравитационных сил, фазовых переходов и во многих других случаях. В связи с этим, надежным из доступных методов оценки производительности пласта в будущем является тщательно выполненный проект по моделированию месторождения. Симуляторы основаны на общепризнанных законах потока флюидов и совершенствовались в течение многих лет. Однако ряд факторов вносит в результаты прогнозов определенную степень погрешности. Аналитическое решение, даже при ряде упрощений, позволяет произвести достаточно полный анализ группы значимых факторов и повысить точность прогнозов.

Таким образом, исследование результатов моделирования в совокупности с аналитическими расчетами является актуальной и востребованной проблемой.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании процессов двухфазной фильтрации с учетом капиллярных и массовых сил на основе аналитических решений, и оценки численных решений, реализованных в гидродинамическом симуляторе.

Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:

1. Построение аналитических решений задачи вытеснения нефти водой с учетом вязкостных, гравитационных и капиллярных сил.

2. Построение гидродинамических моделей рассматриваемых процессов вытеснения.

3. Применение аналитических оценок для определения оптимального числа слоев в численных моделях для задач сегрегации двухфазной жидкости и установления капиллярно-гравитационного равновесия.

4. Проведение сравнительного анализа аналитического и численного решения задач вытеснения, и применение полученных результатов к адаптации и мониторингу технологических моделей.

Научная новизна результатов, выносимых на защиту

1. Исследовано влияние вязкостных, гравитационных и капиллярных сил на процесс вертикального вытеснения нефти водой на основе аналитического решения задачи двухфазной фильтрации в одномерном случае.

3. Получены аналитические оценки определения разрешающей способности численной модели для процесса сегрегации двухфазной жидкости под действием гравитационных сил, а также при установлении капиллярно-гравитационного равновесия в слоисто-неоднородных коллекторах.

4. Предложены способы минимизации ориентационной ошибки для гидродинамических моделей с неортогональными сетками.

Практическая значимость

Полученные аналитические решения углубляют понимание механизма взаимодействия различных сил на процессы фильтрации и могут служить основой для тестирования создаваемых компьютерных симуляторов. Результаты диссертационной работы применялись при построении геолого-гидродинамических моделей, вошедших в технологические документы по ряду месторождений «НК «Роснефть».

Достоверность результатов

Предложенные в диссертации аналитические решения и вытекающие из них результаты основаны на общих законах и уравнениях подземной гидромеханики, физически обоснованных гипотезах и упрощениях. Численные решения получены в программном комплексе "Eclipse 100", применение которого для проектирования разработки месторождений одобрено ЦКР «Роснедра».

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы представлялись и обсуждались на следующих конференциях:

- Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике (Уфа, 2005);

- XVI Всероссийская школа-конференция «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2007);

- Всероссийская конференция с международным участием «Фундаментальный базис новых технологий нефтяной и газовой промышленности» (Москва, 2007);

- Научно-практическая конференция "Математическое моделирование и компьютерные технологии в разработке месторождений" (Уфа, 2008);

- VIII научно-практическая конференции «Геология и разработка месторождений с трудноизвлекаемыми запасами» (Краснодарский край, 2008);

- Всероссийская научная конференция «Мавлютовские чтения» (Уфа,

2008)

- Вторая научно-практическая конференция молодых специалистов научно-исследовательского проектного института «РН-УфаНИПИнефть» (Уфа, 2008);

- Первая кустовая научно-техническая конференция молодых специалистов ОАО «НК «Роснефть» (Уфа, 2008).

Работа обсуждалась на научно-технических советах ООО «РН-УфаНИПИнефть» и на заседании кафедры математики УГАТУ.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, три из которых -в изданиях, рекомендуемых ВАК.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований

Диссертационная работа выполнялась в рамках тематического плана НИР Минобразования и науки РФ 2009-2011 гг. (№ госрегистрации НИР 01200902076) и при финансовой поддержке РФФИ (проект 08-01-97031).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит 7 таблиц, 39 рисунков. Список литературы включает 144 наименования. Общий объем диссертации 123 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель, и аргументирована научная новизна исследований. Показана практическая значимость результатов и представлено краткое содержание работы.

Первая глава носит обзорный характер.

В п. 1.1 представлен обзор развития моделей и методов расчета процессов вытеснения в пористой среде.

В п. 1.2 рассматриваются нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие процессы многофазной фильтрации в пласте. Данные уравнения относятся к уравнениям математической физики и в общем случае не имеют аналитического решения, что вызывает необходимость использования численных методов.

При дискретизации исходных уравнений во времени и в пространстве существуют две проблемы:

1. Построение конечно-разностной сетки таким образом, чтобы решение дискретной задачи было близко к решению исходной дифференциальной задачи.

2. Выбор метода решения системы алгебраических уравнений, обеспечивающего необходимую точность при приемлемых временных затратах.

Выбор метода дискретизации и методов решения определяется особенностями задачи, однако при любых условиях, будет иметь место численная погрешность.

Численная погрешность - это особенность методов численного анализа, которая может привести к серьезным ошибкам в расчетах в ситуации, когда насыщенность меняется очень быстро, а такие условия достаточно часто встречаются в реальности. Способа полностью устранить расчетную ошибку при моделировании не существует. Тем не менее, аналитические решения, полученные при ряде упрощений, при сопоставлении с результатами моделирования аналогичных процессов позволяют оценить величину погрешности и найти способы её минимизации.

Во второй главе представлены две математические модели задачи вытеснения нефти водой. Аналитические решения задач сопоставляются с результатами численных расчетов, построенных в программном комплексе "Eclipse 100".

В п. 2.1 решается задача о вертикальном вытеснении нефти водой с учетом трех основных сил: капиллярных, гравитационных и вязкостных.

Большинство гидродинамических моделей фильтрационных процессов в нефтяных пластах базируются на теории подземной гидрогазодинамики, основы которой были заложены фундаментальными работами С. Баклея и М. Леверетта, М. Маскета и М. Мереса, JL Раппопорта и В. Лиса. В дальнейшем развитие моделей двухфазной многокомпонентной фильтрации и их приложение к решению различных практических задач нашли свое отражение в работах Г.И. Баренблатга, П.Г. Бедриковецкого, Г.Т. Булгаковой, В.Я. Булыгина, P.P. Гайфуллина, Р.Д. Каневской, В.М. Конюхова, А.Б. Мазо, А.И. Никифорова, А.Х. Пергамент, В.М. Рыжика, K.M. Федорова, И.А. Чарного, Н. Aziz, J. Fanchi, М. Carlson, A. Settari и многих других.

Уравнения двухфазной фильтрации несмешивающихся несжимаемых жидкостей с учетом капиллярных и массовых сил в изотропной среде имеют вид:

Э?

от—+ iftv«, =0, (1)

dt '

где и - скорость фильтрации вытесняющей (/ = w) и вытесняемой (z' = o) фазы; т - пористость; - насыщенность фазы г; t - время.

щ = ~кХн (s, )grad (р, + p,gh ), (2)

где Äri - относительная подвижность фазы i;k - абсолютная проницаемость; pi - давление фазы i; р, - плотность фазы г; g - ускорение свободного падения; h - функция координаты.

Давления в фазах связаны соотношением:

РАК)=р,-Р»- (3)

Насыщенности фаз связаны следующим уравнением:

s„,+5„ = I. (4)

Функции относительных подвижностей и капиллярного давления представлены как функции от приведенной водонасыщенности

М„ Мо

где цо - вязкость воды и нефти, соответственно; \ и / - насыщенность пласта остаточной нефтью и связанной водой, , кт - значения относительной фазовой проницаемости для нефти и воды при связной воде и остаточной нефти, соответственно; по, гм - показатели степени; р' -множитель капиллярного давления.

Введение безразмерных переменных и ряд преобразований уравнений (1) - (5) в одномерном случае приводит задачу к нелинейному параболическому дифференциальному уравнению второго порядка, в которое вязкостные, массовые и капиллярные силы входят независимо:

дг

= 0, (6)

АГ КГ кЛ^АудН где Ыс =--—г и N(1 = ———---- безразмерное капиллярное и

кЯт рс и, дг

безразмерное гравитационное число, соответственно; и,=и„ + и0 - суммарная скорость,

, , (1-5)"У-' м_ р-^'У" . , . М*~

-зТ+Мз"' ^"(1 -з)"°+МГ' У*> (1 -зТ + Мз-

безразмерные функции, характеризующие работу капиллярных,

гравитационных и вязкостных сил, соответственно.

У-, - ЕР,; Л/ = —т- - отношение подвижностей фаз.

Л.™

Задача вытеснения нефти водой в

пористой среде (рис. 1), первоначально

насыщенной нефтью и связной водой,

при условии, что на границе закачки

водонасьпценность максимальна,

описывается уравнением Раппопорта-

Лиса (6) с начальными и граничными

условиями: Рис. 1. Задача о вертикальном вытеснении

нефти водой s{z, t = О) = 0 и

s(z = 0,f)=l, а(г-»оо,г)=0 (7)

Для произвольных безразмерных капиллярных и гравитационных чисел Nc=p и Nc=n, при условии £>r = 1, V = s, G=l-s, рф 0, пф- 1, получено аналитическое решение в виде:

Профили распределения водонасыщенности при различных значениях капиллярного и гравитационного числа представлены на рис. 2. Эффективность вытеснения будет выше в случае, когда направление гравитационных сил и направление движения закачиваемого флюида различны. Полученное решение показывает, что при заданных условиях капиллярные эффекты доминируют в потоке по сравнению с гравитационными. В случае гидрофильного коллектора уменьшение капиллярного числа, обратно пропорционального капиллярному давлению, приводит к увеличению нефтеотдачи.

В гидродинамическом симуляторе «Eclipse 100» построена аналогичная модель вытеснения нефти водой для одномерного случая на сетке из 300 ячеек с шагом 1 м. На рис. 3 представлено сравнение профиля водонасыщенности для задачи, решенной аналитически и численно в момент времени t =0,1.

вода

i 1 II

Рис. 2. Профиль водонасьпценности при различных N0 и Л'с

Рис. 3. Сравнение аналитического и численного решения задачи вытеснения.

Результаты свидетельствуют об удовлетворительной сходимости численного решения во всей рассматриваемой области.

В п. 2.2 решается задача о горизонтальном вытеснении нефти водой с учетом гравитационных сил в двумерном случае. На левой границе при постоянном давлении закачивается вода, на правой границе при постоянном давлении осуществляется отбор жидкости (рис. 4).

Уравнения неразрывности (1), * дополненные обобщенным

жидкость законом Дарси (2), для двух „ переменных без учета

капиллярных сил в безразмерном виде

вода

Рис. 4. Задача о горизонтальном вытеснении нефти

водой

записываются

образом:

следующим

йу д д . д , \ д , ч „

— + —ы,, Н--и.. =0, —[и. +и,) + —(м. +к. 1 = 0,

-л 1х л 1; ' \ IX 2х / ^ \ 1г 2т/ '

от ох дг ах ск

ах

'% + Вр, аг

= 0,

где у - ~, В - - безразмерные комплексы; kri(s)- относительная

К Pi~Pi

проницаемость фазы i; Rk - характерный размер области фильтрации, р, -характерное давление на левой границе; р1 - характерное давление на правой границе; компоненты тензора проницаемости.

Для корректности постановки задачи для давления задаются граничные условия первого рода:

р = р,+ pwBz, при х =0; р = р2-г pwBz, при х = 1 , 0 < z < h. Для насыщенности на входной границе задается нестационарное граничное условие в виде дифференциального уравнения с малым параметром г при старшей производной:

s(x,z)L0 =s0; T— + s=st,при x=0, 0<z<A,t>0. dt

На кровле и подошве пласта выполняется условие непроницаемости:

% 0Л А=0,0 <x<Rt. А» Iz 0 Л» Iг " *

oz oz

Решение задачи ищется в виде степенного ряда по малому параметру г: S(t,x,z, г)= ¿г" S(i,х,z,t), P{t,*,z,r)=f>" P(t,x,z,t).

Приближенное решение краевой задачи получено в виде: s(t,x,z, т)=

t+^o-^J-expl-^jpl' "Pu(x+At)<0

■Го»

при (д:+ Ai)>0

При -А(> 1:

P{t,x,z,r)«Pi +х{р2-Pl)+^^- + CxtA{s0 -iJexp^Jl-exp^-j-J-

--(-■КтМ^Ш^

При -At< 1:

P(t,x,z,r)«px + х{рг -+ Cxtá(s0 -sk)exp^

Rkrt>

Cr{s0 - sk )A expj —Jl^l - exp|^- -j-jj

Cr(S<¡ - st )A expí — ] 1 - exp - + C(s0 - sk \x + At),

1 - exp| -11 +

при x <—At при x > -At

Где:

/ г exp

■JyRk (2n +

л л 1

exp

~jyRt (2 n + \)лх h

exp -V V r

1 - exp

^JyRk{ln + h

\Л r exp

) )

4ÍRt{2n + \)nx

1(2« +1)2

exp -V \

J¡Rk{2n + \)A _ (^Rk(2n + l)7r

(in + lf

• eos

(2 n +1 )nzRt

7k - значение водонасьпценности на входе х = 0 в момент времени t.

В гидродинамическом симуляторе «Eclipse 100» построена аналогичная модель горизонтального вытеснения нефти водой. Для исследования изменения фронта насыщенности проведен расчет моделей с разным шагом сетки. Модель с мелкой сеткой по вертикали точнее определяет граничное значение насыщенности, модель с мелкой сеткой по горизонтали точнее предсказывает положение фронта. Сравнение результатов аналитического решения с результатами численного моделирования на сетке 5x10 по осям X, Z соответственно, свидетельствуют о хорошей согласованности решений, полученных только при больших значениях т (при г = 0,25 ), рис. 5, 6.

Рис. 5. Сравнение профилей Рис. б. Сравнение профилей

водонасыщенноста при т = 0,25 давления при т = 0,25

в различные моменты времени. в различные моменты времени.

Для малых значений г (при г = 0,1) различия между аналитическим и численным решением становятся существенными. В расчетной модели обводнение правой границы наступает раньше, чем в аналитическом решении. Фронт вытеснения нефти водой, полученный в программном модуле Eclipse, характеризуется пологой формой, и выделение скачка становится затруднительным. Таким образом, в классе рассматриваемых процессов, численные гидродинамические модели не обладают достаточной степенью точности для описания фильтрации при малом значении нестационарного параметра, что соответствует ситуациям, когда насыщенность меняется очень быстро. Данный факт позволил объяснить расхождение расчетных и фактических данных по ряду скважин на месторождениях «НК «Роснефть».

В третьей главе на основе аналитических оценок исследовано влияние гидродинамических эффектов на процессы фильтрации в пластах сложной структуры.

В п. 3.1 рассматривается влияние капиллярных и гравитационных сил на процессы равновесия в слоисто-неоднородных пластах.

В геолого-гидродинамических моделях для коллекторов со значительно изменяющейся проницаемостью наблюдается особенность - распределение

насыщенности в переходной зоне имеет скачкообразный характер. Максимально точное определение положения скачков насыщенности становится важным параметром при инициализации гидродинамических моделей, поскольку знание поля насыщенности является необходимым условием проведения эффективного управления пластом.

При построении гидродинамических моделей чаще всего начальным условием пласта принимается состояние статического равновесия, при котором скорости всех фаз равны нулю. Согласно обобщенному закону Дарси (2) давление фазы распределено по гидростатическому закону и зависит только от вертикальной координаты:

В переходных зонах, распределение насыщенностей определяется из условия капиллярно-гравитационного равновесия:

^ = (8)

аг

Функция капиллярного давления рс связана с пористостью и проницаемостью среды безразмерной функцией Леверетта ./(5):

Р.-Л'Ртгг. (9)

Vк/т

где: а - коэффициент межфазного натяжения, в - краевой угол смачивания.

В случае, когда природные пласты характеризуются слоистым строением, функции пористости и абсолютной проницаемости могут быть разрывными. Из условия непрерывности давления в каждой фазе, а значит, и капиллярного давления, на разрыве проницаемости или пористости возникают "висячие" скачки насыщенности, которые имеют место даже в условиях равновесия.

Области инверсного распределения насыщенности —<0 относительно

эффективного радиуса к/т пористой среды устанавливаются из уравнений (7)//

ds 1

(9) и сводятся к анализу выражения: — = —;—

a cos 0 2kjmdz

Критерий немонотонного распределения насыщенности в коллекторах такого

- Р„)к/т д(к/т) /?

типа имеет вид: ——-—<—^—-, где £ = я,---И - величина,

РЛ & Ра

имеющая размерность длины. Построение графиков функций левой и правой

части неравенства позволяет определить области с нехарактерным

распределением насыщенности (рис. 7).

Водонасыщенность, доли ед. О 0.2 0,4 0,6 0,8

-X—N=8 - - - N=20 ■

-N=40

Сопоставление полученных областей

с функцией распределения

насыщенности, вычисленной в

гидродинамическом симуляторе,

свидетельствует о приемлемой

сходимости результатов для модели

с общим количеством слоев, равным

40, при толщине пласта 20 м.

Модели с числом слоев 8 и 20

определяют поле насыщенности, а Рис. 7. Распределение водонасьпценности при

количестве слоев: 8, 20, 40 в сравнении с значит и градиенты давления с

областями, определенными аналитическими -

большой погрешностью.

В п. 3.2 исследуется влияние наличия (или отсутствия) угла наклона у

верхней и нижней грани ячеек модели.

Рассматривается зависимость движения фронта воды от способа

разбиения ячеек: (a) uniform; (b) nonuniform (рис. 8).

области, определенные аналитически

Рис. 8. Тип разбиения на слои: (a) uniform; (b) nonuniform

По физической картине течения, фронт распространения насыщенности должен быть близок к окружности, в моделях с типом разбиения (а) он имеет форму эллипса. При ненулевых углах наклона между нормалью и прямой, соединяющей центры соседних ячеек возникает ошибка, увеличивающаяся с увеличением угла отклонения от нормали. Это означает, что погрешность вычислений для моделей с типом разбиения (а) выше, чем для моделей с типом разбиения (Ь). Основные различия по показателям разработки происходят до достижения обводненности в 75%, в период, когда происходит основной отбор запасов углеводородов.

По результатам исследований влияния объема ячеек, отношения вертикальной и горизонтальной проницаемостей на картину распределения водонасьпценности, установлено, что при моделировании многослойного пласта с низкой вертикальной проницаемостью предпочтение следует отдать моделям с неравномерным разбиением. Области с большими углами наклона кровли и подошвы требуют создания более мелкой сетки, поскольку в этом случае погрешность аппроксимации снижается.

В п. 3.3 решается задача о сегрегации двухфазной жидкости.

Из основных уравнений фильтрации в поле массовых сил (1), (2) определяется положение фронта в момент времени г:

Сравнивалось время, необходимое для того, чтобы фронт нефти достиг кровли пласта, а фронт воды - подошвы пласта, полученное по

величина, имеющая размерность

скорости, У (■*) =

к„ (s)kjs)

/<А, 00+ *„(«)

результатам гидродинамического моделирования задачи и в аналитическом решении. В рамках поставленной задачи в пласте образуются небольшие зоны с повышенной насыщенностью определенным флюидом, чтобы верно смоделировать этот эффект, необходимо обеспечить достаточное количество слоев в сетке.

В таблице показано, что с увеличением числа слоев по вертикали в численной модели, значения времени, при котором на соответствующих границах пласта достигается фронтовая водонасыщенность, приближаются к точному, вычисленному аналитически.

Аналит.реш. 2 сл 8 сл 10 сл 16 сл 20 сл 40 сл

Время (сут), необходимое для достижения яф1 на подошве пласта. 151 51 92 96 102 104 108

Время (сут), необходимое для достижения на кровле пласта. 309 208 232 241 258 265 283

В четвертой главе проводится анализ геолого-гидродинамического моделирования карбонатных пористо-трещиноватых коллекторов, которые в силу специфики литологии и физических свойств пород требуют специальных подходов и методик, как в отношении их изучения, так и особенно в методологии гидродинамического моделирования.

В п. 4.1 на примере ряда месторождений «НК «Роснефть» показаны этапы построения и адаптации геолого-гидродинамических моделей карбонатного пористо-трещиноватого коллектора.

Сложная, резко неоднородная емкостно-фильтрационная система, характеризующая коллектора подобного типа, описывается моделями двойной пористости/двойной проницаемости. Системы уравнений, применяемые при расчетах моделей двойной пористости/двойной проницаемости, включают в себя обменный член между ячейкой матрицы и соответствующей ей ячейкой трещины, который существенно уменьшает набор параметров для адаптации.

Несмотря на ограничение числа адаптационных параметров, проведенные в п. 3,2, исследования позволили корректно описать движение фронта воды в областях с большими углами наклона кровли, и провести адаптацию к истории разработке скважин, расположенных в проблемных зонах.

При вытеснении нефти водой по системе трещин в условиях малоэффективной капиллярной пропитки матричной породы имеются области с резко изменяющейся насыщенностью. Из п. 2.2 известно, что гидродинамические модели не обладают достаточной степенью точности для описания фильтрации в таких областях. В результате, при построении прогнозных вариантов и планировании мероприятий по повышению эффективности работы пласта для рассматриваемых месторождений было учтено, что в реальности по ряду скважин картина обводнения более оптимистична, чем прогнозная.

П. 4.2 ориентирован на выявление особенностей построения гидродинамических моделей карбонатного пористо-трещиноватого коллектора.

Расчеты скорости перемещения водонефтяного и газонефтяного фронтов в блоке матрице, насыщенным нефтью, полностью окруженным водой или газом соответственно, позволили определить безразмерное гравитационное и капиллярное число, характерные для данных месторождений. На основе анализа полученных безразмерных величин установлено, что эффективность вытеснения нефти из матричной среды в большей степени обуславливается капиллярными эффектами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получено аналитическое решение задачи о вертикальном вытеснении нефти водой с учетом гравитационных и капиллярных сил в одномерном случае. Определено, что к увеличению эффективности вытеснения нефти приводит уменьшение безразмерного капиллярного числа и увеличение безразмерного гравитационного числа. Нефтеотдача будет выше в случае, когда

направление гравитационных сил и направление движения закачиваемого флюида различны.

2. Получено аналитическое решение задачи о горизонтальном вытеснении нефти водой для произвольных значений гравитационных сил в двумерном случае с учетом нестационарного параметра, характеризующего время перераспределения водонасыщенности на границе. Установлено, что в классе рассматриваемых процессов гидродинамические модели не обладают достаточной степенью точности для описания фильтрации в областях с быстроизменяющейся насыщенностью, что соответствует малому значению нестационарного параметра.

3. Показано, что схема разбиения на ячейки моделируемого объема существенно влияет на расчет перетоков между блоками в моделях со сложной геометрией. С уменьшением угла между нормалью к границе ячейки и прямой, соединяющей центры соседних ячеек, ошибка при расчете проводимости по направлениям уменьшается. Установлено, что в областях с большими углами наклона кровли и подошвы сетка должна быть достаточно мелкой, чтобы корректно учесть свойства и состояние горных пород, в пустотах которых наблюдается многофазное течение.

4. Доказано, что в процессе сегрегации двухфазной жидкости под действием гравитационных сил, а также при установлении капиллярно-гравитационного равновесия в слоисто-неоднородных коллекторах недостаточная разрешающая способность гидродинамической модели приводит к ошибкам при определении распределения насыщенности, что в свою очередь приводит к ошибкам при расчете дебитов и эффективности вытеснения.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ В рецензируемых журналах из списка ВАК

1. Кондратьева, Н.Р. Влияние выбора сетки на моделирование процесса фильтрации / Н.Р. Кондратьева, Н.Ф. Лукманов // Вестник УГАТУ / Уфа: РИК УГАТУ.- 2009.-т. 12. № 1(30). - С. 151-155.

2. Кондратьева, Н.Р. Анализ влияния гравитационных и капиллярных сил на двухфазную фильтрацию жидкости / Н.Р. Кондратьева // Вестник Бурятского Государственного Университета. Сер. «Химия. Физика» / Улан-Удэ: издательство Бурятского госуниверситета.- 2011. - вып. 3. - С. 210-213.

3. Булгакова, Г.Т. Аналитическая модель вертикального вытеснения нефти водой с учетом вязкостных, гравитационных и капиллярных сил / Г.Т. Булгакова, Н.Р. Кондратьева // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. «Физико-математические науки» / Самара: СамГТУ. - 2012. - №1 (26). - С. 1-6

В других изданиях

4. Рахимова (Кондратьева), Н.Р. Моделирование двумерного двухфазного потока с учетом массовых сил / Н.Р. Рахимова (Кондратьева) // Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых: сб. трудов / Уфа: РИО БашГУ. -

2005.-т. 4.-С. 149-156.

5. Рахимова (Кондратьева), Н.Р. Двумерное моделирование потока с учетом эффекта гравитации / Н.Р. Рахимова (Кондратьева) // VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математики: сб. тезисов докладов / Москва: Ред. журнала «ОПиПМ». - 2006. - т. 13. - вып. 4. - С. 710-711.

6. Булгакова, Г.Т. Аналитическая и численная модель одной задачи многофазной фильтрации / Г.Т. Булгакова, Н.Р. Кондратьева // VIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математики: сб. тезисов докладов / Москва: Ред. журнала «ОПиПМ». - 2007. - т. 14. - вып. 4. - С. 687-688.

7. Булгакова, Г.Т. Гидродинамическое моделирование карбонатных трещиноватых коллекторов / Г.Т. Булгакова, Н.Р. Кондратьева // 16-я Всероссийская конференция молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках»: сб. тезисов докладов / Пермь: издательство Пермского государственного технического университета. - 2007. - С. 18-19.

8. Булгакова, Г.Т. Анализ эффектов при ЗБ-моделировании процессов многофазной фильтрации / Г.Т. Булгакова, Н.Р. Кондратьева // Всероссийская конференция «Фундаментальный базис новых технологий нефтяной и газовой промышленности»: сб. тезисов докладов / Москва: ГЕОС. - 2007. - С. 47-48.

9. Кондратьева, Н.Р. Фильтрация двухфазной жидкости с произвольными массовыми силами / Н.Р. Кондратьева // Третья всероссийская зимняя школа-семинар аспирантов и молодых ученых «Технические науки и моделирование»: сб. статей / Уфа: «Издательство «Диалог», 2008. - т. 2. - С. 242-247.

10. Кондратьева, Н.Р. Уменьшение расчетной ошибки путем выбора сетки / Н.Р. Кондратьева, Н.Ф Лукманов, А.И. Федоров // VIII научно-практическая конференция «Геология и разработка месторождений с трудноизвлекаемыми запасами»: сб. тезисов докладов / Москва: «Издательство «Нефтяное хозяйство». - 2008.- С. 26.

КОНДРАТЬЕВА Найдя Рашитовна

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С УЧЕТОМ КАПИЛЛЯРНЫХ И МАССОВЫХ СИЛ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 26.04.2012. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд.л. 1,3. Тираж 100 экз. Заказ № 733.

ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии УГАТУ 450000, Уфа-центр, ул. К. Маркса, 12.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Кондратьева, Найля Рашитовна, Уфа

61 12-1/1079

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Кондратьева Найля Рашитовна

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С УЧЕТОМ КАПИЛЛЯРНЫХ И МАССОВЫХ СИЛ

Специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Булгакова Г.Т.-

Уфа - 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................................4

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ............................................................................10

1.1 История развития моделирования процессов фильтрации...............................10

1.2 Постановка исследуемой проблемы....................................................................17

ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЫТЕСНЕНИЯ НЕФТИ ВОДОЙ С УЧЕТОМ ВЯЗКОСТНЫХ, ГРАВИТАЦИОННЫХ И КАПИЛЛЯРНЫХ СИЛ...............................................................................................29

2.1. Аналитическая модель вертикального вытеснения нефти водой с учетом вязкостных, гравитационных и капиллярных сил..................................29

2.1.1 Модель вертикального вытеснения нефти водой...........................................30

2.1.2 Аналитическое решение задачи вертикального вытеснения нефти

водой.....................................................................................................................34

2.1.3 Численное решение задачи вертикального вытеснения нефти

водой.....................................................................................................................41

2.2. Аналитическая модель горизонтального вытеснения нефти водой с учетом вязкостных и гравитационных сил...........................................................44

2.2.1 Модель горизонтального вытеснения нефти водой.......................................45

2.2.2 Аналитическое решение задачи горизонтального вытеснения

нефти водой.........................................................................................................47

2.2.3 Численное решение задачи горизонтального вытеснения нефти

водой.....................................................................................................................54

ГЛАВА 3. ВЛИЯНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ НА

ПРОЦЕССЫ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЛАСТАХ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ.............62

3.1 Влияние капиллярных и гравитационных сил на процессы

равновесия в слоисто-неоднородных пластах.....................................................62

3.1.1 Условия немонотонного распределения насыщенности в слоисто-неоднородных коллекторах................................................................................64

3.1.2 Численное решение задачи распределения насыщенности в слоисто-неоднородном пласте...........................................................................67

3.2 Влияние выбора сетки на моделирование процесса фильтрации....................69

3.2.1 Влияние угла наклона граней ячейки на расчет.............................................71

3.2.2 Сравнение моделей с различным типом разбиения на слои.........................74

3.3 Влияние гравитационных сил на процесс сегрегации двухфазной жидкости..................................................................................................................81

3.3.1 Математическая модель задачи гравитационной сегрегации.......................81

3.3.2 Численное решение задачи гравитационной сегрегации...............................84

ГЛАВА 4. АНАЛИЗ ГЕОЛОГО-ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ КАРБОНАТНЫХ ПОРИСТО-ТРЕЩИНОВАТЫХ КОЛЛЕКТОРОВ..........................................................................................................88

4.1 Анализ влияния гидродинамических эффектов на основе геолого-гидродинамических моделей месторождений вала Гамбурцева.......................88

4.2 Особенности моделирования карбонатных пористо-трещиноватых коллекторов..............................................................................................................97

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ............................................................109

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.................................................110

ВВЕДЕНИЕ

Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:

2. Построение гидродинамических моделей рассматриваемых процессов вытеснения.

Научная новизна результатов, выносимых на защиту

Практическая значимость

Достоверность результатов

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы представлялись и обсуждались на следующих конференциях:

- Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике (Уфа, 2005);

- XVI Всероссийская школа-конференция «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2007);

Научно-практическая конференция "Математическое

моделирование и компьютерные технологии в разработке месторождений" (Уфа, 2008);

- Всероссийская научная конференция «Мавлютовские чтения» (Уфа,

2008)

- Первая кустовая научно-техническая конференция молодых специалистов ОАО «НК «Роснефть» (Уфа, 2008).

Работа обсуждалась на научно-технических советах ООО "РН-УфаНИПИнефть" и на заседании кафедры математики УГАТУ. Публикации

По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, три из которых -в изданиях, рекомендуемых ВАК.

Структура и краткое содержание работы

В п. 1.1 первой главы представлен обзор развития моделей и методов расчета процессов вытеснения в пористой среде.

В п. 1.2 первой главы рассматриваются нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие процессы многофазной фильтрации в пласте.

В п. 2.1 второй главы решается задача о вертикальном вытеснении нефти водой с учетом трех основных сил: капиллярных, гравитационных и вязкостных. Уравнения двухфазной фильтрации несмешивающихся несжимаемых жидкостей с учетом капиллярных и массовых сил в изотропной среде приводятся к нелинейному параболическому дифференциальному уравнению второго порядка, в которое вязкостные, массовые и капиллярные

силы входят независимо. Приведено аналитическое решение задачи, позволяющее определить профили распределения водонасыщенности при различных значениях капиллярного и гравитационного числа. В гидродинамическом симуляторе «Eclipse 100» строится аналогичная модель вытеснения нефти водой для одномерного случая, исследуется влияние фильтрационных параметров на характер аналитического и численного решения задачи вытеснения.

В п. 2.2 второй главы решается задача о горизонтальном вытеснении нефти водой с учетом гравитационных сил в двумерном случае. Сформулированы начальные и граничные условия. Приведено аналитическое решение задачи, позволяющее учесть время перераспределения водонасыщенности на границе. Из сравнения аналитического и численного решения задачи сделаны выводы о точности гидродинамической модели рассматриваемого процесса.

В п. 3.1 третьей главы рассматривается влияние капиллярных и гравитационных сил на процессы равновесия в слоисто-неоднородных пластах. Определены области инверсного распределения насыщенности, имеющие место на разрыве функций проницаемости или пористости. Приведено сопоставление полученных областей с функцией распределения насыщенности, вычисленной в гидродинамическом симуляторе.

В п. 3.2 третьей главы исследуется влияние наличия (или отсутствия) угла наклона у верхней и нижней грани ячеек модели. Рассматривается влияние объема ячеек, отношения вертикальной и горизонтальной проницаемостей на картину распределения водонасыщенности.

В п. 3.3 третьей главы решается задача о сегрегации двухфазной жидкости. Сравнение аналитического и численного решения задачи позволяет сделать выводы о разрешающей способности гидродинамической модели.

В п. 4.1 четвертой главы на примере ряда месторождений показаны этапы построения и адаптации геолого-гидродинамических моделей карбонатного пористо-трещиноватого коллектора.

В п. 4.2 четвертой главы выявлены особенности построения гидродинамических моделей карбонатного пористо-трещиноватого коллектора.

По расчетам скорости перемещения водонефтяного и газонефтяного фронтов в блоке матрице, насыщенным нефтью, полностью окруженным водой или газом соответственно, установлено, что эффективность вытеснения нефти из матричной среды в большей степени обуславливается капиллярными эффектами.

Личный вклад автора

Автору диссертации принадлежит участие в постановке задач, разработка методов решения задач двухфазной фильтрации с учетом капиллярных и массовых сил, их численная реализация и анализ результатов.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Гузель Талгатовне Булгаковой за ценные консультации и содействие в выполнении диссертационной работы.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 История развития моделирования процессов фильтрации

Методы и программы математического моделирования различных процессов разработки прошли более чем полувековую историю развития.

Отечественная школа теории фильтрации была основана профессором Н.Е. Жуковским, академиками H.H. Павловским и JI.C. Лейбензоном. Исследования этих выдающихся ученых, их многочисленных учеников и последователей послужили фундаментальной основой развития теории фильтрации.

Н.Е. Жуковский вывел общие дифференциальные уравнения теории фильтрации, показал математическую аналогию теплопроводности и фильтрации, определил, что напор как функция координат удовлетворяет уравнению Лапласа, исследовал вопросы капиллярного поднятия воды в пористой среде, решил ряд задач о притоке воды к скважинам.

H.H. Павловскому [66] принадлежит основополагающая роль в развитии теории фильтрации в гидротехническом направлении. Он сформулировал и поставил задачу о фильтрации как краевую задачу математической физики. Им впервые было предложено применение метода электродинамической аналогии для решения фильтрационных задач, что в последующем нашло широкое применение для решения задач фильтрации воды, нефти и газа в неоднородных коллекторах. H.H. Павловский также впервые предложил использовать параметр Рейнольдса в качестве критерия существования закона Дарси, что имеет важное значение для исследования законов сопротивления при фильтрации [65].

Л.С. Лейбензон - основатель советской школы ученых и специалистов, занимающихся развитием теории фильтрации применительно к проблемам разработки нефтяных и газовых месторождений. Ему принадлежит [53] постановка и решение ряда задач нефтегазовой и подземной гидромеханики. Им проведены первые исследования по фильтрации газированных жидкостей, сформулированы задачи нестационарной фильтрации при расчетах стягивания

контуров нефтеносности при вытеснении нефти водой, получены фундаментальные результаты в развитии теории фильтрации природного газа.

С.А. Христианович [83] исследовал движение жидкостей, не следующих закону Дарси, а также построил аналитическое решение нелинейного уравнения для установившегося течения газированной жидкости.

Фундаментальные результаты в развитии теории движения грунтовых вод получены академиком П.Я. Полубариновой-Кочиной [68]. Она получила решение задачи о дебите скважины в центре залежи, имеющей форму эллипса. Ею же рассматривались неустановившиеся движения в теории фильтрации и пространственное перемещение контура нефтеносности. Эти работы посвящены решению так называемых "обратных" задач, т.е. определению положения контуров нефтеносности и гидродинамических параметров пласта по данным отбора из скважины.

Работа А.Ван Эвердингена и У. Херста [140] о притоке упругой жидкости к скважине и полученные в ней решения позволили существенно усовершенствовать гидродинамические расчеты продвижения воды в пределы нефтяной и газовой скважины.

В работе С.Н. Бузинова и И.А Чарного [11] показано, что однозначность системы, описывающей совместную фильтрацию нефти и воды, подчиняющуюся обобщенному закону Дарси без учета капиллярных сил с произвольными относительными фазовыми проницаемостями, достигается построением обобщенного решения, в котором насыщенность имеет скачки типа ударной волны. А.Н. Чекалин и P.P. Гайфуллин [24] для нефтяного пласта, сложенного из пропластков с различной абсолютной проницаемостью, определили предельные значения насыщенносте�