Численно-аналитический метод исследования краевых задач в критическом случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ки!вський уншерситет ¡мен! Тараса Шевченка

На правах рукопису КОПИСТИРА Серий Миколайович

ЧИСЕЛЬНО - АНАЛ1ТИЧНИЙ МЕТОД ДОСЛ1ДЖЕННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ У КРИТИЧНОМУ ВИПАДКУ

01.01.02 • диференщальн! р1вняння

АВТОРЕФЕРАТ дисертацП на здобугтя наукового ступени кандидата ф1зико-математичних наук

КиТв - 1997

Дисертацюю е рукопис.

Робота виконана на кафедр! ¡нтегральних 1 диференц!альних р1внянь механжо-математичного факультету Ки'шського ун1верситету ¡мен1 Тараса Шевченка

Науковий кер!вник: доктор ф!зико-математичних наук, професор ПЕРЕСТЮК Микола Олексмович

Оф1ц1йн( опоненти: доктор фЫко-математичних наук БОЙЧУК Олександр АндрШович; кандидат фЬико-математичних наук, доцент ОРДИНСЬКА Зоя Павлшна Провщна установа: Одеський державний университет ¡мен! 1.1.Мечн!кова

Захист вщбудеться "3{" с1еА?ЛИ1997 року о /У годин! на зааданн)' спецюлЬовано! ради К 01.01.21 в КиТвському уншь, ситет1 ¡меж Тараса Шевченка за адресою: КиТв, пр. Глушкова, 2, механко - математичний факультет, ауд. 42

3 дисертацюю можна ознайомитись в б|'блютец| Ки1вського университету ¡мен! Тараса Щевченка, КиТв, вул.Володимирська, 58.

Автореферат розюлано 1997р.

Вчений секретар спещалЬовано! ради

О.О.Курченко

Загальна характеристика роботи

Актуальн!сть теми. Проблема пошуку перюдичних розв'язкш нелМйних систем диференщальних ртнянь е дуже актуальною як в якюжй теорн диференц1апьних р1внянь, так ! в прикладжй математик. Важливють дослщжень в цьому напрямку пщтверджуеться багатьма задачами електро- I радютехнки, динамки косм1чних польотщ та ¡ншими задачами прикладного характеру. В останжй час питания пошуку перюдичних розв'язюв нелМйних систем диференц1апьних ршнянь активно дослцукуються. Але не дивлячись на велику юльк1сть роб1т, деяы питания конструктивно! теорн перюдичних розв'язкш нелМйних диференцгальних систем в загальнм постанови! не отримали свого розв'язку. Це стосуеться питань ¡сиування, вщшукання перюдичних розв'язюв, питания про Тх ст1йкють. В теори коливань найбшьш розвиненими е асимптсгичн! методи нелМйноТ механ!ки, як1 розроблеш в фундаментальних працях М.М.Крилова, М.М.Боголюбова, Ю.О.Митропольського. Ц1 методи доцшьно застосовувати для дослдження слабо нелМйних систем, ефект в1д нелМйност! яких проявляеться поступово I може виникати ¡з розгляду асимптотичних розвинпнь. 3 появою ЕОМ, що виконують операцй диференц|ювання, ¡нтегрування I т.д., з'явилися нов1 можливост! в розвитку I розширенню ' област1 використання асимптотичних метода. Разом з тим ц1 можливост! не розв'язують а п^нн!й м!р1 проблему досл!дження нав1ть чисто гармошйних коливань систем, в яких нелЫмнють е (стотньою. Ось чому 1итерес до теорм пер!одичних розв'язюв нелМйних систем не згасае, що пояснюеться, з одн!еТ сторони, важлив1стю практичних застосуеань ц1е! теорПГ, а з ¡ншо! - труднощами Я розробки для (стотньо нелМйних систем.

Багато математик!в прид!ляють увагу чисельно-аналггичному методу посл1довних наближень, який був эапропонований А.М.Самойленком в 1965 роц! для розв'язування перюдичних-задач. Цей метод дозволяе знаходити розв'язок системи у

вигляд|" ршном1рно зб1жно1 послщовност! перюдичних функцм. В1н застосовуеться при розв'язуванж багатьох задач. Наприклад: дослщження перюдичних розв'язкш звичайних диференц1альних р!внянь в роботах А.М.Самойленка, Т.Г.Стрижак, для знаходження розв'язкш злмених систем [Ю.В.ТеплЫський, Д.Шартинкж], систем ршнянь з частинними похщними [Б.П.Ткач]; систем, яю описуються звичайними диференииапьними р1вняннями з ¡мпульсною Д1вю [М.О.Перестюк, С.1.Трофимчук]; крайових задач [М.Й.Ронто, В.А.Ронто].

Чисельно-анал1тичш методи на осиов1 ¡терацмних схем розроблен! в працях В.А.Ронто, О.А.Бойчука, С.1.Трофимчука, Б.П.Ткача, З.П.Ординсько!. Роботи А.О.Лучки, О.Д.Нуржанова, Ю.Парасюка присвячеж розвитку чисельно-аналпичних методш з позици проекц!йних та проекцтно-пгерац1йних метод ¡в.

Ця дисертацйна робота присвячена узагальненню чисельно-анажтичного методу для одного типу диференцшльних ршнянь другого1 порядку,. нелш'|йних систем диференц'шльних ршнянь та нелМйних двоточкових крайових задач.

Мета дано! роботи. Розвинення чисельно-анажтичного методу послщовних наближень для дослщження розв'язюа одного класу ршнянь другого порядку, нелМйних систем диференц1альних р1внянь I нелМйних крайових задач з двоточковими крайовими умовами.

. Методи досл!дження базуються на розроблекому А.М.Самойленком пщход! до дослщження розв'язкш диференц1альних ршнянь за допомогою чисельно-аналггичного методу послщовних наближень.

Наукова новизна результата роботи:

е

• обгрунтовано чисельно-анал1тичний метод послщовних наближень для нелМйних диференщапьних ршнянь другого порядку в резонансному випадку;

• розвинено метод побудови послщовних наближень для систем нелЫ1йних диференц1альних ршнянь першого порядку ! нелшмних крайових задач з двоточковими крайовими умовами;

• отримаж умови розв'язуваност1 визначапьних р1внянь, достатж умови ¡снування розв'язюв, а також оцтено похибку наближеного розв'язку 'I його початкового значения.

Теоретична та практична цшжсть дисертацм. Одержан! результати узагальнюють 1 доповнюють вщповщж досл1дження в теорп крайових задач.

Запропоноваж алгоритми можуть бути використаж при розв'язуванж ряду задач ф1зики, техжки, яю зводяться до нелМйних крайових задач.

Апробацш роботи. Основж результати дисерташйно! роботи доповщалися на сем1нар1 кафедри ¡нтегральних 1 диференц1альних р1внянь КиТвського ужверситету ¡меж Тараса Шевченка, на конференциях: Всесоюзна наукова студентська конференция "Студент и научно-технический прогресс" (Новосиб!рськ, 9 - 11 кв1тня 1991 р.), "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Ки'|'в 24 - 28 травня 1993 р.), "Моделирование и исследование устойчивости систем" (КиТв 15 -19 травня 1995 р.), "Всеукрашська конференц'т диференц1ально-функцюнальж р1вняння та Тх застосування" (Черлшц1, 15-18 травня 199^).

Об'ем та структура роботи. Дисертац'ш складаеться з вступу, двох глав, висновку та списку цитовано! лпгератури, який м'ютить 100 найменувань. Загапьний обсяг роботи - сторшок машинописного тексту.

ЗМ1СТ РОБОТИ

У встугм . обгрунтовуеться актуальна гь теми дисертацп, формулюсться мета дослщжень, коротко анал1зуються основж

прац|, що в'щносяться до теми дисертаци, наводяться оснэвж одержан! результати.

В перилй глав! "Чисельно-анал1тичний метод для диференц1альних ршнянь другого порядку в резонансному випадку", до якоТ входять §§1 - 6 , узагальнюеться I поширюеться чисельно-анаттичний метод послщовних наближень на досл!Дження диференщального рщняння другого порядку в резонансному випадку вигляду:

*" + х = /(/,г,*')> (1)

де /(/,*,х-') - визиачена в облаем (/,*,*')еЯхО (де О- деяка область Л!), перюдична по / з перюдом 1к, неперервиа по сукупност1 змЫних /,х,у функц!я. Функщя /(/,*,*') обмежена ,

тобто |/(/,5 М I задовольняе умов! Лтшиця:

V)! * К>\х>-х"\+кг\у> -,у'-|

4

для вах / еЯ/х\х",у\у" £/), де - додатж сталь

и §1 приводиться схема методу А.М.Самойленка для

знаходження перюдичних розв'язкш нелМйних систем диференщальних р!внянь першого порядку. Розглядаеться також питания ¡снування Г-перюдичних розв'язкщ задано! системи.

В §2 пропонуеться поширення цього методу на ршняння

другого порядку з перюдичною перюду Т правою частиною.

' В §3 пропонуеться розвинення чисельно-аналличного

методу для пошуку2я-перЮдичних розв'язюв диференщального р!вняння (1), а також наведен! необхщж умови ¡снування 1л-перйдичних розв'язюв. „„

Означения. ДиференЗДальне рШняння (1) назвемо 2л--диференц!альним р1внянням в облает! О, якщо область

£>г:= не порожня I виконуеться умова:

2 +-+ -1^1 +! 1+-+- К, <1.

3 V. 3 з)

Зауважимо, що п1д О-р ми розумшмо множину тонок 1з О, ям належать 0 разом з своТм р-околом. Справедлива наступна теорема.

Теорема 1. Нехай вщомо, що ¡снуе 2п -перюдичний розв'язок 1л -диференц/ального р!вняння (1) I в!дом1 початковI умови, яким в'м задовольняе *(0) = = Год/ цей розв'язок можна знайти як границю послщовност1 2 я- - перюдичних функц/'й:

I

('. *о • хо ) = х'о ¡а"' + хо ■' + / ■"С - г)[/(г, х^,, х'^,) -

¿т,т = 1,2,....

1

— //(*.дс»-1>дС-|)с05(г я о

Встановлен1 оцЫки м1ж точним I наближеним розв'язками, як) сформульован1 в наступжй лем1

Лома 1. Для точного розв'язку *(/,*„,х'„) р1вняння (1) I його

т-го наближення х,((, х0, х;)справедлив! оц/нки:

И»,*„.*;)- ^ (I*, - ;

* Ч

д, = 3,2 /Г,; 9, =2,6К,;

Дал! з'ясовуеться питания ¡снування розв'язку. Для цього будуеться воображения = 1,2 I визначаюч1 р!вняння:

де г^Хо.Х^),?'^,*^) - точний розв'язок ршняння (1) \ його похщна.

Знайти вщображення Д можна лише наближено. Тому поряд з визачаючою системою (2) вводимо наближену визначаючу систему:

Формулюеться теорема про ¡снування 2л- - перюдичного

Теорема 2. Нехай для 2п - диференц1ального ршняння *

х" + х = /(1,х,х') в областг£>, виконуються умови:

для деякого т система р1внянь (3) мае единий розв'язок (*„,*„')

ненульового (ндекса;

2) на границ! Г^ виконуються нер1вностг

2«

(3)

розв'язку рюняння (1).

1) ¡снуе випукла, замкнена область £>, с така, що в цгй облает

- 4.2 АО{4 + 2я) + \2Мл2 ];

О

- 4.2А/Х4 + 2я-) + ПМтг ].

Тод1 р1вняння (1) мае 2^-перюдичний розв'язок x = x(t), початков^ значения якого лежать в D,.

В §4 пор1внюються достатш умови для збЬкносп

послщовних наближень методу А.М.Самойленко з запропонованим методом для диференщального ршняння (1).

В §5 пропонуеться ¡нший пщх'щ до в!дшукання 2л--

перюдичних розв'язюв диференцгального ршняння (1).

Поряд э ршнянням (1) розглядаеться система з ¡мпульсною

д1ею:

*" + * = /(/.*,*'):

Д*'^ ^ =Д, ;/,=£ + (/-1)*;» = 1,2;* = 1,2,...; И)

де f(t,x,x') - 2л перюдична по t, неперервна по сукупносН Bcix ЗМ1ННИХ функц1я, А, = (-1)'Д - Const. Доведено наступну теорему.

Теорема 4. Нехай р1вняння (1) мае 2/г -перюдичний розв'язок, який задовольняе початковим умовам: х(0) = х0,*'(°) = ж'; область of = D-AM не порожня i виконуеться умова

Тод! цей розв'язок можна знайти як границю послщовност1 2 л--пер.одичних функцШ:

x(i,xc,xl) = де

t

Xm(t,Х0,лг0') - х'ь ein/ + х0cos/ + Jsin(/-s)/(st Vi.'l-i)^-0

-2A:sin[/-j],m = l,2.....

ii

|sini /(.V, , (J), X^ , (i)) <&

Д'

„ . я

*

З'ясуемо питания юнування розе'язку. Для цього будуеться вщображення Д(,):0-> / = 1,2 I визначаюч1 ршнянмя (2).

Зауважимо, що вщображення Д можна знайти лише наближено, тому поряд з визначаючою системою (2) розглянемо систему (3). Справедлива

Теорема 5. Нехай для ртняння (1) виконуеться умова (5). Кр 'м того:

1) ¡снуе випукла замкнена область О, с Ог така, що в ц'ш облает! система ршнянь (3) для деякого цюого т мае единий розв'язок (ха,х'0) ненульового ¡ндекса;

2) на границ/' Гч для деякого теЫ виконуються нершносл:

* А * Ч

Ы |д'^(х0,х0| > + 2п\Ш - 8 М) + 16М].

* »» » * 9

Год/р1вняння (1) мае 2я-перюдичний розв'язок х = ¡(1), початковI значения якого лежать в />,.

В §6 теоретичн1 результати шюструються конкретиим прикладом.

Друга глава "Дослщження розв'язш нелМйно! системи диференц!альних р1внянь першого порядку" присвячена дослщженню 2л--перюдичних розв'язюв нелИйних систем диференщальних р!внянь першого порядку, а також розв'язк!в нел!н!йноТ двоточково! крайово? задача В $7 розглядаеться нелМйна система диференц!альних р'шнянь першого порядку:

*'= Агч-/(/,*), * (6)

е

де * = (*,.....*„)еЛ" - точка л-вим!рного евклщового простору £.,

функц!я /(/,*) = (/|С,*),/!(',г), .,/,('.*)) визначена I неперервна в облает!

(/,Х) 6 А А £) - (-00,00) х £) ,

2п -пер!одична по I ¡з значениями в £„, неперервна но !,х\ О -замкнута, обмежена область простору Е„. Л - стала матриця в жордановЮ формк Вважаемо, що функщя

|/(',*)| = ([/,(<, 41/: (Л *)|.....|/.М)

обмежена вектором М = (Л/,,Л/2,..., Л/„) \ задовольняе умов1 /Ипшиця з матрицею

к = (ки 2 0, >',7 = 1,2,...,«), |

(7)

для век < бЛ/*,*',*" 60. Зауважимо, що нер1вност1 (7) розум1ються покомпонентно.

Без обмеження загальност1 можемо вважати, що матрицю А ми можемо представити у виглядм

де Аа,АКЛГТИНИ розм1рност! »/,/>», (ет,+т2 = п) ; КеД;(4,) = 0, Тод1 систему (в) можемо представити у виглядк

де .Я"1)-» Л"4; £(/,*,.><) (я,Л"\ Я"")-* Л"1.

Як в1домо з теорй, друга система з (8) мае единий 2л -перюдичний розв'язок, який записуеться за допомогою функци ГрЫа. Тому надал1 нас буде щкавити лише система

х' = Л*+/0,х) (9)

у випадку Д, = А1 = Г° М,у <;ет,.

Зокрема, нехай матриця Ла мае вигляд:

чз-

Встановлено р1вном1рну збЬкысть послщовних наближень *«(',*„), де:

т = 1,2,...

де а, (х) = («'•><*).....А,(х) = (б<»(х),...,^>),

,1« _

т, - р03Мфн1сТЬ

Дал! з'ясовуеться питания ¡снування 2т - перюдичного розв'язку. Будуеться воображения Д(,):£) = 1,2 I визначаюч! ршняння: 11»

= - //(г.5Г(г.х,))со«*г Л = 0,

* о 1 }*

Д<«ы = 1 //(г,х(г,х0))51п^г «/г = 0,

( 11 )

де *(/,*„) - точний розв'язок системи (9).

Поряд з визначаючою системою (11) вводимо наближену визначаючу систему

А'Лч) =1 г//(г,хЛч))с05*т иг-0 ,

л о 1 г"

= 1 </г = о .

( 12)

Вводиться означения 2я-системи.

ОзнаыеыЫя- Система диференц!альних ршнянь (6) називаеться 2п -системою, якщо виконуються умови:

1) множина Ир тонок х екщ , яка лежить в обласп Р разом з! своТм /?-околом, не порожня:

£>„ * 0, де /7 = 3,2 М \

2) вс) власж числа Д(0 матриц'| 0-3,2К мютяться в круз1 з центром в нул11 рад1усом 1:

Л (0 < 1 •

Теорема 6. Нехай 2л - система диференц/альних р'тчянь

*'= 4,*+/('.*) (13)

така, що:

1) виконуються нер'юност/ (7);

2) ¡снуе випукла, замкнена область Д с £>, така, що для деякого фксованого т й 1 наближене визначальне ршняшт (12) мае о /*>, единий розв'язок х0 ненульового ¡ндексу;

3) на П границ/ ГА виконано умову:

¡пГ|д„(хо)|>2^О"(£-0)"'((^5*-£) + 3.2ЛУ) , (14)

Год/ система (13) мае 2п -перюдичний розв'язок х = ?(г), для якого х„ е£>,. Цей розв'язок е границею р'тном!рно збЫно/ послщовносл (10) .

В §8 розглядаеться нелМйна система диференщальних ршнянь першого порядку :

х' = Лг+/(*.*) , (15)

яка п)дпорядкована двоточковим крайовим умовам вигляду

Вх(0) + Сх{Т) ~ ¿(х(0),х(Т)) , ( 16:

де х = (х,,...,х„)еЛ" - точка п-вим1рного евклщового простору Е„ функц1я /(<,х) = (/,(г,х),/¡(г,х),...,/,,(/,х)) визначена I неперервна ■ облает!

(1,х) еЛх£> = (-оо.оо) х£) 1з значениями в £., неперервна по /,х; О - замкнута, обмежена область простору Е,. А - стала матриця. Вважаемо, що функщя

|/М=(^М.1лМ.....1лМ)

обмежена вектором М = (М„Мг, - ,М.) 1 задовольняе умов! /Ипшиця з матрицею

К=(ки 2 0, /,) = 1,2.....и),

• (17)

|/(|.г)-/(лф*|г-г-| для всЫ / еЯ/ х.х'.х" ей.

С - стала, невироджена розм!рност1 (ихи) матриця, а с/ - деяка вектор-функцЫ, яка задовольняе умовам: |</(х(0),х(7'))| £ N.

( 18)

|4х(0),*1(Г))-4х(0),)г2(Г))) 2 Я)х,(Г)-х2(Г)|

для вс!х г,(7-),х3(Г)б£> ; ^ = .....Л',); Р =(^20, К) = ... .л)

Розглянемо випадок, коли

ае1(в + Се/|Г)*0,

тобго в!дпов!дна однор!дна двоточкова крайова задача мае лише трив!альний розв'язок.

В цьому випадку единий розв'язок крайово! задач! (15),(1в) !снуе та його можемо знайти, як границю посл!довност! функц!й

+ (£-е/,г)"'(£-в'")С-Цх(0),х.(7))+ ( 19 )

¿т.

и

Позначимо 5, (е"г-.Е)"|

Вважаемо, що а, / К таю, що

. (20)

Справедлива наступна лема.

Лема 2. Для точного роэв'язку 7(/,х0) / т - го наближення х„(/,х0) виконуються оцшки:

Будуеться воображения -у Я" I визначаюча система ршнянь:

+С|<"(г"/(г,х(г,х0))^г| = 0. о '

(21 )

Знайти воображения д можна лише наближено. Тому поряд з

визначаючою системою (21) вводиться наближена визначаюча система:

д.(*с) - С-'((5 + Се")х0 -4х0,х„(Г,х0)) +

т <22)

фС|е"<г-"/(г,х„(г,х0))^г] = 0.

ОцЫка м|'ж початковим значениям I першим наближенням до розв'язку матиме вигляд:

Ы'.*о)-афг>л/+Д(*о)' де

г

Н = А\еЛ1Т'*сЬ .

о

Будемо розглядати надал1 крайов1 задачу для яких множина О^ точок хе£„, яка належить облает! Э разом з1 своТм Д-околом не порожня:

1>0*0,

Теорема 7. Нехай крайова задача

х' = Ах+/(1,х),

Вх(0) + Сх(Г)=¿(х(0), х(Г))

гака, що:

1) виконуються нер'юност! (17), (1В) , (20);

2) юнуе випукла, замкнена область О, с О^ така, що для деякого

фжсованого т ^ 1 наближене виэначапьне р'юняння (22) мае в £>, сдиний роэв'язок х0 ненульового ¡ндексу;

3) на »7 границ/' Гд виконуегься умова:

Тод/ дана крайова задача мае роза'язок х = *(/), для якого х„ лежигь в О . Цей розв'язок е границею р'тномфно збЫноI послщовностI (19). Оцшка мЫ точним розв'язком / його т - тим наближенням даеться нер 'юностями з леми 2.

Розглянемо так званий вироджений випадок ам(в + Сг'"') = 0 ,

тобто коли вщповщна однородна крайова задача мае нетрив1альн'| розв'язки. У цьому випадку розв'язки шукаемо як границю послщовност! функций:

( 23 )

+

о

]ел<-

Чо / о

¿г,

де х3 - розв'язок системи ршнянь

(в + СеАТ)ха =0. (24)

Наближена визначаюча система (22) запишеться у вигляд!:

Оц1ика м1ж початковим значениям I першим наближенням до розв'язку матиме вигляд:

Г,М = \е*Т-Е)х„ +Н-'(Е-е^(х„х0)\, И =

Для критичного випадку отримаемо теорему. Теорема

1*.

Нехай крайова задача

х' = Ах+/0,х), йг(0) + Сх(Л-<х(0),х(Г))

така, що:

1) виконуються нер'мносц (17), (18), (20) ;

2) ¡снуе випукла, замкнена область £>, с така, що для деякого фксованого т 21 наближене визначальне р/вняннл (25) мае в £>, единий розв'язок х0 ненульового мдексу, який е розв'язком системи (24);

3) на П границ/' Г^ виконуеться умова:

К Ы > г - £)"'|Иб"(£ - 0-'(5, А/ + х

Год/ задана крайова задача мае розв'язок х = х(/), для якого х0 лежить в О. Цей розв'язок е границею р'тном1рно зб/'жно/ послщовносгп (23).

Основа результати роботи

1. Обгрунтовано чисельно-анажтичний метод послщовних наближень для нелМйних диференцгальних ршнянь другого порядку в резонансному випадку.

2. Розвинеио метод побудови послщовних наближень для систем нелМйних диференцгальних ршнянь першого порядку i нелМйних крайових задач з двоточковими крайовими умовами.

3. Отримаж умови розв'язуваност1 визначальних р'шнянь, достатн! умови ¡снування розв'язкю, а також оц1нено лохибку наближеного розв'язку i його початкового значенння.

Основн! результати дисертацП опублкован! в наступних роботах.

1. М.О.Перестюк, С.М.Копистира. Перюдичт розв'язки диференц'|альних ршнянь в резонансному випадку // Вюник Ки5вського университету . Серю: ^¡з.-мат. науки. - КиТв, 1993, -с.34-44.

2. С.М.Копистира. Перюдичж розв'язки диференц1альних р1внянь в резонансному випадку //Допов'цу HAH У кражи. -1995,№5 - с. 12 - 14.

3. С.М.Копистира. Чисельно-аналпичний метод досл|дження 2я--пер'юдичних розв'язк'щ системи р)внянь. /Дези "Всеукрашська конференфя диф.-функцюнальж ршняння та Ix застосування". 15 -18 травня 1996р., Чернюц), ст. 94.

4. С.Н.Копыстыра. Об одном методе отюкания периодических решений уравнений второго порядка /Дезисы Украинской конференции Моделирование и исследование устойчивости систем, 15 - 19 мая 1995г., с.62.

5. С.Н.Копыстыра. Периодические решения дифференциальных уравнений в резонансном случае // Тезисы Украинской конференции Моделирование и исследование устойчивости систем, 24 - 28 мая 1993г., с.70.

6.С.М.Копистира., • Про ' 2я--пер1одичж розв'язки нелМйних систем диференц!альних р!внянь першого порядку // Дел. в Укр1НТЕД 13.01.97, №30 - У1 97. 13 С.

7. С.М.Копистира. Про один метод вЩшукання перюдичних розв'язюв диференшального р!вняння другого порядку // Деп. в У' ">1НТЕД 15.01.97, №15 - У1 97, 10 с.

Копыстыра С.Н.

Численно - аналитический метод исследования краевых задач в критическом случае. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1997.

Предлагается обобщение численно - аналитического метода последовательных приближений для исследования и приближенного построения решений одного класа уравнений второго порядка, нелинейных систем дифференциальных уравнений и нелинейных краевых задач с двухточечными краевыми условиями.

Kopystyra S.N.

An numerical - analytic method of investigation of boundary value problems in critical case. Thesis for a degree of Candidate of Science (Ph.D.) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.02 -Differential Equations. National University T. Shevchenko, Kiev, 19Э7.

The generalization of numerical - analytic consecutive iteration method is proposed for investigation and finding approximate solutions of one type of second order differential equations, nonlinear systems of differential systems and nonlinear two - point boundary value problems.

Ключов! слова: чисельно - анал1тичний метод послщовних наближень, нелМйна система, резонансний випадок, наближене визначальне р1внямня, тонне визначальне р1вняння.